Bài tập ôn tập cuối năm

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 33 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #BàiTậpÔnTậpCuốiNăm #SGK_Tập2 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 1★Trang 90— Trắc nghiệm — khoảng nghịch biến của hàm bậc ba

Bài 1 (trang 90). Khoảng nghịch biến của hàm số

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1

là
A.

(- \infty; 1)

.
B.

(3; + \infty)

.
C.

(1; 3)

.
D.

(- \infty; + \infty)

Kiến thức cần nhớ

$y^{'} < 0$ trên $K$ (dấu bằng chỉ tại hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên $K$ .
Tam thức bậc hai $a x^{2} + b x + c$ với $a > 0$ âm giữa hai nghiệm, dương ngoài hai nghiệm.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc ba có hệ số

a = 1 > 0

và

y^{'}

có hai nghiệm phân biệt nên hàm nghịch biến đúng trên khoảng nằm giữa hai nghiệm của

y^{'}

. Chỉ cần tìm hai nghiệm của

y^{'}

. Bẫy: nhớ nhầm dáng đồ thị, chọn hai khoảng ngoài.

1Cách 1. Xét dấu đạo hàm

Định hướng. Tìm nghiệm của $y^{'}$ rồi xét dấu tam thức bậc hai.

D = R

y^{'} = 3 x^{2} - 12 x + 9 = 3 (x^{2} - 4 x + 3) = 3 (x - 1) (x - 3)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1

hoặc

x = 3

y^{'} < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 3

Vậy hàm số nghịch biến trên $(1; 3)$ , chọn C.

2Cách 2. Bảng biến thiên

Định hướng. Lập bảng biến thiên đầy đủ, đọc khoảng mũi tên đi xuống.

y^{'} = 3 (x - 1) (x - 3)

;

y (1) = 5

;

y (3) = 1

$x$	$- \infty$		$1$		$3$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$5$	↘	$1$	↗	$+ \infty$

Vậy trên $(1; 3)$ mũi tên đi xuống, chọn C.

3Cách 3. Loại trừ bằng thử điểm

Định hướng. Hàm nghịch biến trên khoảng thì $y^{'}$ không dương tại mọi điểm của khoảng đó; thử một điểm trong mỗi phương án.

y^{'} (0) = 9 > 0

(loại)
B:

y^{'} (4) = 48 - 48 + 9 = 9 > 0

(loại)
D: chứa

x = 0

mà

y^{'} (0) > 0

(loại)
C:

y^{'} (2) = 12 - 24 + 9 = - 3 < 0

Vậy chọn C.

Nhận xét. Thử điểm chỉ để loại nhanh; kết luận chắc chắn vẫn dựa vào dấu của $y^{'} = 3 (x - 1) (x - 3)$ ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: phân tích

y^{'}

thành nhân tử là thấy ngay khoảng giữa hai nghiệm.

Đáp số. C.

(1; 3)

Sai lầm thường gặp. Chọn A hoặc B vì nhớ nhầm “hàm bậc ba

a > 0

nghịch biến ở hai đầu”. Thực ra với

a > 0

hàm đồng biến trên

(- \infty; 1)

và

(3; + \infty)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: mọi hàm bậc ba có

y^{'} = 3 (x - p) (x - q)

với

p < q

đều nghịch biến đúng trên

(p; q)

; ví dụ

y = x^{3} - 3 x

nghịch biến trên

(- 1; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2★★Trang 90— Trắc nghiệm — giá trị lớn nhất trên đoạn

Bài 2 (trang 90). Giá trị lớn nhất

M

của hàm số

y = \frac{x ^{2} + 3}{x - 1}

trên đoạn

[2; 4]

là
A.

M = 6

.
B.

M = 7

.
C.

M = \frac{19}{3}

.
D.

M = \frac{20}{3}

Kiến thức cần nhớ

Hàm liên tục trên $[a; b]$ : so sánh giá trị tại hai đầu mút và tại các điểm trong $(a; b)$ mà $y^{'} = 0$ hoặc không xác định.
Chia đa thức: $\frac{x ^{2} + 3}{x - 1} = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hàm liên tục trên đoạn

[2; 4]

(không chứa

x = 1

) nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút hoặc điểm tới hạn. Tách

y = x + 1 + \frac{4}{x - 1}

cho đạo hàm rất gọn. Bẫy: thấy

y^{'} = 0

tại

x = 3

liền lấy

y (3) = 6

làm giá trị lớn nhất, trong khi đó là giá trị nhỏ nhất.

1Cách 1. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất trên đoạn

Định hướng. Tính $y^{'}$ , tìm nghiệm thuộc $(2; 4)$ rồi so sánh ba giá trị.

y^{'} = \frac{2 x ( x - 1 ) - ( x ^{2} + 3 )}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{x ^{2} - 2 x - 3}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x + 1 ) ( x - 3 )}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0, x \in (2; 4) \Leftrightarrow x = 3

y (2) = \frac{7}{1} = 7

;

y (3) = \frac{12}{2} = 6

;

y (4) = \frac{19}{3}

[2; 4] max y = max {7; 6; \frac{19}{3}} = 7

Vậy $M = 7$ đạt tại $x = 2$ , chọn B.

2Cách 2. Tách phần nguyên, dùng bảng biến thiên

Định hướng. Viết $y = x + 1 + \frac{4}{x - 1}$ để đạo hàm gọn và thấy chiều biến thiên.

y = x + 1 + \frac{4}{x - 1}

y^{'} = 1 - \frac{4}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ^{2} - 4}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} < 0

trên

(2; 3)

y^{'} > 0

trên

(3; 4)

$x$	$2$		$3$		$4$
$y^{'}$		$-$	$0$	$+$
$y$	$7$	↘	$6$	↗	$\frac{19}{3}$

Vậy trên $[2; 4]$ hàm giảm rồi tăng, lớn nhất tại một đầu mút: $y (2) = 7 > y (4) = \frac{19}{3}$ ; chọn B.

3Cách 3. Bất đẳng thức (đặt ẩn phụ)

Định hướng. Đặt $t = x - 1 \in [1; 3]$ ; khi đó $y = t + \frac{4}{t} + 2$ , và trên $[1; 3]$ có $(t - 1) (t - 4) \leq 0$ .

y = t + \frac{4}{t} + 2 = \frac{t ^{2} + 2 t + 4}{t}

7 - y = \frac{7 t - t ^{2} - 2 t - 4}{t} = \frac{- ( t ^{2} - 5 t + 4 )}{t} = \frac{- ( t - 1 ) ( t - 4 )}{t} \geq 0

với

t \in [1; 3]

y = 7 \Leftrightarrow t = 1 \Leftrightarrow x = 2

Vậy $M = 7$ , chọn B.

Nhận xét. Cách 3 chứng minh trực tiếp $y \leq 7$ mà không cần bảng biến thiên; cách này cũng cho ngay $y \geq 6$ nhờ Cô-si $t + \frac{4}{t} \geq 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ba giá trị, một phép so sánh — nhanh và không sót đầu mút.

Đáp số. B.

M = 7

(đạt tại

x = 2

)

Sai lầm thường gặp. Lấy

y (3) = 6

(điểm có

y^{'} = 0

) làm giá trị lớn nhất — sai, đó là giá trị nhỏ nhất; hoặc quên tính

y (2)

nên chọn

\frac{19}{3}

🚀 Mở rộng. Cùng hàm trên đoạn

[2; 5]

y (5) = 7

nên giá trị lớn nhất vẫn là

7

nhưng đạt tại hai điểm

x = 2

và

x = 5

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3★★Trang 90— Trắc nghiệm — đếm đường tiệm cận

Bài 3 (trang 90). Tổng số các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

y = \frac{x ^{2} - 1}{x}

là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

$y = b$ là tiệm cận ngang nếu $x \to + \infty lim y = b$ hoặc $x \to - \infty lim y = b$ .
$x = x_{0}$ là tiệm cận đứng khi có ít nhất một giới hạn một phía tại $x_{0}$ bằng vô cực — cần hàm xác định ở một phía gần $x_{0}$ .
$x^{2} = ∣ x ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Có căn thức nên phải tìm tập xác định trước:

x^{2} - 1 \geq 0

và

x \neq = 0

, tức

D = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)

. Mẫu bằng

0

tại

x = 0

nhưng

x = 0

không thuộc lân cận nào của

D

nên không có tiệm cận đứng. Bẫy:

x^{2} = ∣ x ∣

, nên hai phía vô cực cho hai giới hạn khác nhau.

1Cách 1. Tính các giới hạn

Định hướng. Tìm tập xác định, rồi xét giới hạn tại $\pm \infty$ và tại các điểm biên.

D = (- \infty; - 1] \cup [1; + \infty)

x \to + \infty lim \frac{x ^{2} - 1}{x} = x \to + \infty lim \frac{x 1 - \frac{1}{x ^{2}}}{x} = 1

x \to - \infty lim \frac{x ^{2} - 1}{x} = x \to - \infty lim \frac{- x 1 - \frac{1}{x ^{2}}}{x} = - 1

y (1) = 0

;

y (- 1) = 0

(hữu hạn),

x = 0 \in / D

Vậy đồ thị có hai tiệm cận ngang $y = 1$ , $y = - 1$ và không có tiệm cận đứng; tổng cộng $2$ , chọn C.

2Cách 2. Viết lại theo dấu của

x

Định hướng. Với $∣ x ∣ \geq 1$ : $y = \frac{∣ x ∣}{x} 1 - \frac{1}{x ^{2}}$ , dấu của $\frac{∣ x ∣}{x}$ quyết định giới hạn.

x \geq 1

y = 1 - \frac{1}{x ^{2}} \to 1

x \leq - 1

y = - 1 - \frac{1}{x ^{2}} \to - 1

∣ y ∣ \leq 1

trên

D

nên

y

bị chặn

Vậy hàm bị chặn nên không có tiệm cận đứng; có đúng $2$ tiệm cận ngang, chọn C.

3Cách 3. Tính giá trị tại điểm xa (kiểm tra số)

Định hướng. Thay số lớn để thấy xu hướng, thay điểm gần biên để thấy $y$ không tiến ra vô cực.

y (1000) \approx 0, 9999995

;

y (- 1000) \approx - 0, 9999995

y (1, 001) \approx 0, 0447

;

y (- 1, 001) \approx - 0, 0447

Vậy hai tiệm cận ngang, không tiệm cận đứng; chọn C.

Nhận xét. Cách 3 dùng máy tính để dự đoán, chỉ làm kiểm tra; lập luận chặt là Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn ra

\frac{∣ x ∣}{x} = \pm 1

là có ngay hai tiệm cận ngang, còn

∣ y ∣ \leq 1

loại tiệm cận đứng.

Đáp số. C.

2

tiệm cận (

y = 1

và

y = - 1

)

Sai lầm thường gặp. Tưởng

x = 0

là tiệm cận đứng vì mẫu bằng

0

(chọn D) — sai vì hàm không xác định trên

(- 1; 1)

; hoặc chỉ tính giới hạn tại

+ \infty

nên chọn B.

🚀 Mở rộng. So sánh:

y = \frac{x ^{2} + 1}{x}

xác định với mọi

x \neq = 0

nên có thêm tiệm cận đứng

x = 0

— tổng cộng

3

tiệm cận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4★Trang 90— Trắc nghiệm — nhận dạng đồ thị hàm bậc ba

Bài 4 (trang 90). Đường cong trong hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?
A.

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1

.
B.

y = x^{3} - 3 x^{2} + 3

.
C.

y = - x^{2} + 2 x + 1

.
D.

y = \frac{x + 1}{x - 1}

Kiến thức cần nhớ

Hàm bậc ba $y = a x^{3} + \dots$ : $a > 0$ thì $x \to + \infty lim y = + \infty$ ; $a < 0$ thì $x \to + \infty lim y = - \infty$ .
Parabol chỉ có một cực trị; hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Đồ thị có hai điểm cực trị và nhánh phải đi lên, nhánh trái đi xuống — dấu hiệu hàm bậc ba với

a > 0

. Điểm cực đại nằm trên trục tung, điểm cực tiểu nằm dưới trục hoành. Loại ngay parabol (một cực trị) và hàm phân thức (có tiệm cận).

1Cách 1. Loại trừ theo dạng đồ thị

Định hướng. Đọc hình: hai cực trị, nhánh cuối đi lên.

C: parabol, chỉ một cực trị (loại)
D: có tiệm cận

x = 1

y = 1

(loại)
A:

a = - 1 < 0

nên

x \to + \infty lim y = - \infty

(loại)
B:

a = 1 > 0

;

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

Vậy chọn B.

2Cách 2. Đối chiếu cực trị

Định hướng. Hình có cực đại tại điểm trên trục tung ( $x = 0$ ), cực tiểu tại $x > 0$ với giá trị âm.

y^{'} = 3 x (x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

y (0) = 3 > 0

(cực đại trên trục tung)

y (2) = 8 - 12 + 3 = - 1 < 0

(cực tiểu dưới trục hoành)
A:

y^{'} = - 3 x^{2} + 6 x

;

y (0) = 1

là cực tiểu (không khớp)

Vậy hàm số là $y = x^{3} - 3 x^{2} + 3$ , chọn B.

3Cách 3. Giao điểm với trục tung và dấu ở xa

Định hướng. Hình cắt trục tung tại điểm cao nhất của đoạn giữa và đi lên khi $x$ lớn; thử $x = 0$ và $x = 3$ .

y (0) = 3

;

y (3) = 27 - 27 + 3 = 3 > 0

;

y (- 1) = - 1 - 3 + 3 = - 1 < 0

y (3) = - 27 + 27 + 1 = 1

nhưng

y (4) = - 15 < 0

(nhánh phải đi xuống)

Vậy chỉ B phù hợp, chọn B.

Nhận xét. Thứ tự loại trừ hiệu quả: dạng hàm → dấu hệ số $a$ → vị trí cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhìn dạng đồ thị và dấu hệ số

a

là loại xong ba phương án trong vài giây.

Đáp số. B.

y = x^{3} - 3 x^{2} + 3

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì thấy hệ số

3 x^{2}

giống nhau mà quên xét dấu

a

; hoặc chọn C vì nhìn đoạn giữa giống parabol.

🚀 Mở rộng. Nếu đồ thị lật ngược (nhánh phải đi xuống, cực tiểu trên trục tung) thì đáp án sẽ là dạng A:

y = - x^{3} + 3 x^{2} + 1

có cực tiểu

(0; 1)

, cực đại

(2; 5)

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 5★Trang 90— Trắc nghiệm — nguyên hàm của đa thức

Bài 5 (trang 90). Cho hàm số

f (x) = x^{2} + 3

. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.

\int f (x) d x = 2 x + C

.
B.

\int f (x) d x = x^{2} + 3 x + C

.
C.

\int f (x) d x = x^{3} + 3 x + C

.
D.

\int f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + 3 x + C

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ $(α \neq = - 1)$ ; $\int k d x = k x + C$ .
$F$ là nguyên hàm của $f$ khi $F^{'} (x) = f (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Nguyên hàm của tổng bằng tổng các nguyên hàm;

x^{2}

có nguyên hàm

\frac{x ^{3}}{3}

. Bẫy: phương án A là đạo hàm chứ không phải nguyên hàm.

1Cách 1. Dùng bảng nguyên hàm

Định hướng. Tách thành hai nguyên hàm cơ bản.

\int (x^{2} + 3) d x = \int x^{2} d x + \int 3 d x = \frac{x ^{3}}{3} + 3 x + C

Vậy chọn D.

2Cách 2. Đạo hàm ngược từng phương án

Định hướng. Phương án đúng phải có đạo hàm bằng $x^{2} + 3$ .

(2 x)^{'} = 2

(x^{2} + 3 x)^{'} = 2 x + 3

(x^{3} + 3 x)^{'} = 3 x^{2} + 3

(\frac{x ^{3}}{3} + 3 x)^{'} = x^{2} + 3

Vậy chọn D.

3Cách 3. Kiểm tra bằng tích phân xác định

Định hướng. Nếu $F$ đúng thì $F (1) - F (0) = \int_{0}^{1} (x^{2} + 3) d x = \frac{1}{3} + 3 = \frac{10}{3}$ .

2 - 0 = 2

; B:

4 - 0 = 4

; C:

4 - 0 = 4

\frac{1}{3} + 3 - 0 = \frac{10}{3}

Vậy chọn D.

Nhận xét. Cách 3 hữu ích khi phương án là biểu thức phức tạp khó đạo hàm nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, một dòng là xong; Cách 2 để tự kiểm.

Đáp số. D.

\int f (x) d x = \frac{x ^{3}}{3} + 3 x + C

Sai lầm thường gặp. Chọn A vì nhầm nguyên hàm với đạo hàm; chọn C vì quên chia cho số mũ mới:

\int x^{2} d x = \frac{x ^{3}}{3}

chứ không phải

x^{3}

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int (a x^{2} + b x + c) d x = \frac{a}{3} x^{3} + \frac{b}{2} x^{2} + c x + C

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 6★★Trang 90— Trắc nghiệm — tìm hàm từ đạo hàm rồi tính tích phân

Bài 6 (trang 90). Cho hàm số

f (x)

thoả mãn

f (0) = 1

và

f^{'} (x) = 2 sin x + 1

. Khi đó

\int_{0}^{\frac{π}{2}} f (x) d x

bằng
A.

\frac{π ^{2} + 12 π - 16}{8}

.
B.

\frac{π ^{2} - 4 π + 16}{8}

.
C.

\frac{π ^{2} + 6 π - 8}{4}

.
D.

\frac{π ^{2} - 2 π + 8}{4}

Kiến thức cần nhớ

$\int sin x d x = - cos x + C$ ; $\int cos x d x = sin x + C$ .
$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết

f^{'}

và một giá trị

f (0)

nên tìm được

f

duy nhất bằng nguyên hàm. Sau đó tích phân

f

trên

[0; \frac{π}{2}]

. Bẫy: nguyên hàm của

sin x

là

- cos x

(dấu trừ).

1Cách 1. Tìm

f (x)

rồi tính tích phân

Định hướng. Nguyên hàm $f^{'}$ , dùng $f (0) = 1$ tìm hằng số.

f (x) = \int (2 sin x + 1) d x = - 2 cos x + x + C

f (0) = - 2 + C = 1 \Rightarrow C = 3

;

f (x) = - 2 cos x + x + 3

\int_{0}^{\frac{π}{2}} (- 2 cos x + x + 3) d x = (- 2 sin x + \frac{x ^{2}}{2} + 3 x)_{0}^{\frac{π}{2}}

= - 2 + \frac{π ^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} = \frac{π ^{2} + 12 π - 16}{8}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Viết

f

dưới dạng tích phân có cận

Định hướng. $f (x) = f (0) + \int_{0}^{x} f^{'} (t) d t$ — không cần tìm hằng số riêng.

f (x) = 1 + \int_{0}^{x} (2 sin t + 1) d t = 1 + (- 2 cos t + t)_{0}^{x} = 1 - 2 cos x + x + 2

f (x) = x + 3 - 2 cos x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} 3 d x - 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos x d x = \frac{π ^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} - 2

Vậy tích phân bằng $\frac{π ^{2} + 12 π - 16}{8}$ , chọn A.

3Cách 3. Ước lượng số và loại trừ

Định hướng. Tính gần đúng giá trị cần tìm và bốn phương án.

\frac{π ^{2}}{8} + \frac{3 π}{2} - 2 \approx 1, 2337 + 4, 7124 - 2 = 3, 9461

\approx 3, 946

; B

\approx 1, 663

; C

\approx 5, 180

; D

\approx 2, 897

Vậy chọn A.

Nhận xét. Cách 3 chỉ dùng để đối chiếu; phải có $f (x)$ ở Cách 1 hoặc Cách 2 mới tính được giá trị $3, 946$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai bước nguyên hàm, không lẫn cận.

Đáp số. A.

\frac{π ^{2} + 12 π - 16}{8}

Sai lầm thường gặp. Viết

\int sin x d x = cos x

(sai dấu) dẫn tới

f (x) = 2 cos x + x - 1

và ra kết quả khác; hoặc quên hằng số

C = 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

\int_{0}^{b} f (x) d x = b f (0) + \int_{0}^{b} (b - t) f^{'} (t) d t

— thử kiểm lại kết quả bằng công thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 7★Trang 90–91— Trắc nghiệm — diện tích hình phẳng qua dấu của

f

Bài 7 (trang 90–91). Cho hàm số

f (x)

liên tục trên

R

. Gọi

S

là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = f (x)

y = 0

x = - 1

và

x = 4

như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?
A.

S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x

.
B.

S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x

.
C.

S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} f (x) d x

.
D.

S = - \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) ∣ d x$ .
$f (x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $∣ f (x) ∣ = f (x)$ ; $f (x) \leq 0$ thì $∣ f (x) ∣ = - f (x)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Diện tích luôn là

\int ∣ f (x) ∣ d x

; đọc hình để bỏ dấu giá trị tuyệt đối: trên

[- 1; 1]

đồ thị ở trên trục hoành, trên

[1; 4]

ở dưới. Bẫy: viết tích phân không có trị tuyệt đối (phương án A) — phần dưới trục sẽ bị trừ đi.

1Cách 1. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo hình

Định hướng. Tách $[- 1; 4]$ tại nghiệm $x = 1$ của $f$ .

S = \int_{- 1}^{4} ∣ f (x) ∣ d x = \int_{- 1}^{1} ∣ f (x) ∣ d x + \int_{1}^{4} ∣ f (x) ∣ d x

= \int_{- 1}^{1} f (x) d x + \int_{1}^{4} (- f (x)) d x = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x

Vậy chọn B.

2Cách 2. Xét dấu từng tích phân

Định hướng. $S$ là tổng hai diện tích dương $S_{1}$ (trên trục) và $S_{2}$ (dưới trục).

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = S_{1} > 0

\int_{1}^{4} f (x) d x = - S_{2} < 0

S = S_{1} + S_{2} = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x

Vậy chọn B.

3Cách 3. Kiểm bằng một hàm cụ thể có cùng dáng

Định hướng. Lấy $f (x) = \frac{1}{2} (x + 1) (x - 1) (x - 4)$ — dương trên $(- 1; 1)$ , âm trên $(1; 4)$ như hình.

\int_{- 1}^{1} f (x) d x = \frac{8}{3}

;

\int_{1}^{4} f (x) d x = - \frac{63}{8}

S = \int_{- 1}^{4} ∣ f (x) ∣ d x = \frac{8}{3} + \frac{63}{8} = \frac{253}{24}

\frac{8}{3} - \frac{63}{8} = - \frac{125}{24}

; C:

- \frac{8}{3} - \frac{63}{8} = - \frac{253}{24}

; D:

- \frac{8}{3} + \frac{63}{8} = \frac{125}{24}

; B:

\frac{8}{3} + \frac{63}{8} = \frac{253}{24}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Hàm cụ thể chỉ để kiểm; lập luận tổng quát là Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: phần trên trục mang dấu cộng, phần dưới trục mang dấu trừ — nhìn hình là chọn.

Đáp số. B.

S = \int_{- 1}^{1} f (x) d x - \int_{1}^{4} f (x) d x

Sai lầm thường gặp. Chọn A (quên trị tuyệt đối) — khi đó phần dưới trục bị trừ, có thể ra số âm; chọn C vì đặt dấu trừ nhầm vào phần trên trục.

🚀 Mở rộng. Hình có nhiều lần đổi dấu tại

x_{1} < x_{2} < \dots

thì tách tích phân tại từng nghiệm, phần nào dưới trục thì đổi dấu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 8★Trang 91— Trắc nghiệm — thể tích khối tròn xoay quanh

O x

Bài 8 (trang 91). Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = 2 x

y = 0

x = 0

và

x = 4

. Thể tích

V

của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng

(H)

quanh trục

O x

là
A.

V = 32

.
B.

V = 32 π

.
C.

V = \frac{32}{3}

.
D.

V = \frac{32 π}{3}

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình phẳng giới hạn bởi

y = f (x)

, trục hoành và hai đường thẳng đứng, quay quanh

O x

: dùng

V = π \int f^{2}

. Bình phương làm mất căn nên tích phân rất gọn. Bẫy: quên

π

hoặc quên bình phương.

1Cách 1. Công thức thể tích

Định hướng. Áp dụng trực tiếp.

V = π \int_{0}^{4} (2 x)^{2} d x = π \int_{0}^{4} 4 x d x = π \cdot 2 x^{2}_{0}^{4} = π \cdot 32 = 32 π

Vậy chọn B.

2Cách 2. Nhận ra khối paraboloid

Định hướng. $y = 2 x \Leftrightarrow x = \frac{y ^{2}}{4}$ : quay quanh $O x$ được khối paraboloid chiều cao $4$ , bán kính đáy $r = 24 = 4$ ; thể tích paraboloid bằng nửa thể tích hình trụ cùng đáy, cùng chiều cao.

V_{tru} = π r^{2} h = π \cdot 4^{2} \cdot 4 = 64 π

V = \frac{1}{2} \cdot 64 π = 32 π

Vậy chọn B.

3Cách 3. Cộng các lát cắt (tổng tiết diện)

Định hướng. Lát cắt tại hoành độ $x$ là hình tròn bán kính $2 x$ , diện tích $S (x) = 4 π x$ — tuyến tính theo $x$ , nên thể tích bằng chiều dài nhân tiết diện trung bình.

S (0) = 0

;

S (4) = 16 π

V = \int_{0}^{4} S (x) d x = 4 \cdot \frac{0 + 16 π}{2} = 32 π

Vậy chọn B.

Nhận xét. Vì $S (x)$ bậc nhất nên tích phân đúng bằng diện tích hình thang — đây cũng là lí do paraboloid bằng nửa hình trụ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một dòng tích phân.

Đáp số. B.

V = 32 π

Sai lầm thường gặp. Quên

π

(chọn A) hoặc tính

π \int_{0}^{4} 2 x d x = \frac{32 π}{3}

vì quên bình phương (chọn D).

🚀 Mở rộng. Tổng quát: quay miền dưới

y = k x

trên

[0; h]

quanh

O x

được

V = \frac{π k ^{2} h ^{2}}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9★★Trang 91— Trắc nghiệm — biến đổi tổng vectơ trong tứ diện

Bài 9 (trang 91). Cho tứ diện

A B C D

, gọi

G

là trọng tâm của tam giác

B C D

và

M

là trung điểm của đoạn thẳng

A G

. Khi đó

M A + M B + M C + M D

bằng
A.

M G

.
B.

2 M G

.
C.

3 M G

.
D.

4 M G

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ thì $GB + GC + G D = 0$ , và với mọi $M$ : $M B + M C + M D = 3 M G$ .
$M$ là trung điểm $A G$ thì $M A + M G = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba vectơ

M B

M C

M D

gợi tính chất trọng tâm tam giác

B C D

: chen điểm

G

vào. Còn

M A = - M G

vì

M

là trung điểm

A G

. Bẫy: cộng nhầm ra

4 M G

vì quên

M A

ngược hướng.

1Cách 1. Chen trọng tâm

G

Định hướng. Dùng $M B + M C + M D = 3 M G$ .

M A + M B + M C + M D = M A + 3 M G

= - M G + 3 M G = 2 M G

Vậy chọn B.

2Cách 2. Trọng tâm tứ diện

Định hướng. Gọi $O$ là trọng tâm tứ diện: $M A + M B + M C + M D = 4 M O$ , và $O$ nằm trên $A G$ với $A O = \frac{3}{4} A G$ .

A O = \frac{3}{4} A G

;

A M = \frac{1}{2} A G

M O = A O - A M = \frac{1}{4} A G = \frac{1}{2} M G

4 M O = 4 \cdot \frac{1}{2} M G = 2 M G

Vậy chọn B.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt toạ độ cụ thể $A (0; 0; 3)$ , $B (0; 0; 0)$ , $C (3; 0; 0)$ , $D (0; 3; 0)$ rồi tính.

G (1; 1; 0)

;

M (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2})

M A + M B + M C + M D = (0 + 0 + 3 + 0; 0 + 0 + 0 + 3; 3 + 0 + 0 + 0) - 4 (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{3}{2}) = (1; 1; - 3)

M G = (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

nên tổng

= 2 M G

Vậy chọn B.

Nhận xét. Toạ độ hoá một trường hợp cụ thể chỉ để kiểm tra đáp án trắc nghiệm; hệ thức vectơ đúng cho mọi tứ diện nhờ Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai dòng, chỉ dùng tính chất trọng tâm và trung điểm.

Đáp số. B.

2 M G

Sai lầm thường gặp. Viết

M A = M G

(quên đổi hướng) nên ra

4 M G

— chọn D sai.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: nếu

A M = k A G

(

k \neq = 1

) thì

M A + M B + M C + M D = \frac{3 - 4 k}{1 - k} M G

; với

k = \frac{1}{2}

được

2 M G

, với

k = \frac{3}{4}

(trọng tâm tứ diện) được

0

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 10★★Trang 91— Trắc nghiệm — vectơ trong hình hộp

Bài 10 (trang 91). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có tâm

O

và gọi

G

là trọng tâm của tam giác

B D A^{'}

. Tỉ số

\frac{A G}{A O}

bằng
A.

\frac{1}{3}

.
B.

\frac{1}{2}

.
C.

\frac{2}{3}

.
D.

\frac{3}{4}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình hộp: $A B + A D + A A^{'} = A C^{'}$ .
$G$ trọng tâm tam giác $B D A^{'}$ : $A G = \frac{1}{3} (A B + A D + A A^{'})$ .
Tâm hình hộp là trung điểm các đường chéo: $A O = \frac{1}{2} A C^{'}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba đỉnh

B

D

A^{'}

đều nối với

A

bằng ba cạnh của hình hộp, nên

A G

biểu diễn gọn qua

A B + A D + A A^{'} = A C^{'}

(quy tắc hình hộp). Tâm

O

là trung điểm

A C^{'}

. Bẫy: tưởng

G

trùng

O

1Cách 1. Quy tắc hình hộp

Định hướng. Biểu diễn $A G$ và $A O$ theo $A C^{'}$ .

A G = \frac{1}{3} (A B + A D + A A^{'}) = \frac{1}{3} A C^{'}

A O = \frac{1}{2} A C^{'}

\frac{A G}{A O} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}

Vậy chọn C.

2Cách 2. Toạ độ hoá hình hộp

Định hướng. Đặt $A (0; 0; 0)$ , $B (1; 0; 0)$ , $D (0; 1; 0)$ , $A^{'} (0; 0; 1)$ (hình lập phương là một hình hộp).

C^{'} (1; 1; 1)

;

O (\frac{1}{2}; \frac{1}{2}; \frac{1}{2})

;

G (\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3})

A G = \frac{3}{3}

;

A O = \frac{3}{2}

;

\frac{A G}{A O} = \frac{3}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}

Vậy chọn C.

3Cách 3. Hình học phẳng trong mặt chéo

Định hướng. Mặt phẳng $(B D A^{'})$ cắt đường chéo $A C^{'}$ tại điểm chia $A C^{'}$ theo tỉ số $1 : 2$ (kết quả quen thuộc), và điểm đó chính là trọng tâm $G$ .

A G = \frac{1}{3} A C^{'}

;

A O = \frac{1}{2} A C^{'}

\frac{A G}{A O} = \frac{2}{3}

Vậy chọn C.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về một ý: $G$ và $O$ cùng nằm trên đường chéo $A C^{'}$ , tại $\frac{1}{3}$ và $\frac{1}{2}$ độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: quy tắc hình hộp cho kết quả trong một dòng.

Đáp số. C.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm

G

là trung điểm

A C^{'}

(chọn B là tỉ số

A O : A C^{'}

); hoặc tính

\frac{A O}{A G} = \frac{3}{2}

rồi lấy nghịch đảo sai thành

\frac{3}{4}

🚀 Mở rộng. Tương tự, trọng tâm

G^{'}

của tam giác

C B^{'} D^{'}

nằm trên

A C^{'}

với

A G^{'} = \frac{2}{3} A C^{'}

: hai mặt phẳng

(B D A^{'})

và

(C B^{'} D^{'})

chia đường chéo

A C^{'}

thành ba phần bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 11★★Trang 91— Trắc nghiệm — góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 11 (trang 91). Trong không gian

O x y z

, cho đường thẳng

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 - t y = 3 z = - 1 + 2 t

và mặt phẳng

(P) : 2 x - y - 2 z + 1 = 0

. Côsin của góc giữa đường thẳng

d

và mặt phẳng

(P)

là
A.

\frac{2 5}{5}

.
B.

\frac{5}{5}

.
C.

\frac{2 3}{5}

.
D.

\frac{3}{5}

Kiến thức cần nhớ

$sin (d, (P)) = \frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ n ∣}$ với $u$ chỉ phương của $d$ , $n$ pháp tuyến của $(P)$ .
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thuộc $[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]$ nên $cos φ = 1 - sin^{2} φ$ .

🧠 Phân tích tư duy

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng tính qua sin:

sin φ = ∣ cos (u, n) ∣

. Đề hỏi côsin nên phải thêm một bước

cos φ = 1 - sin^{2} φ

. Bẫy lớn: lấy luôn

∣ cos (u, n) ∣ = \frac{2 5}{5}

(phương án A).

1Cách 1. Tính sin rồi suy ra côsin

Định hướng. Lấy $u = (- 1; 0; 2)$ , $n = (2; - 1; - 2)$ .

sin φ = \frac{∣ ( - 1 ) \cdot 2 + 0 \cdot ( - 1 ) + 2 \cdot ( - 2 ) ∣}{1 + 0 + 4 \cdot 4 + 1 + 4} = \frac{6}{3 5} = \frac{2}{5}

cos φ = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. $cos φ = sin (u, n) = \frac{∣ [ u , n ] ∣}{∣ u ∣ \cdot ∣ n ∣}$ — tính thẳng côsin, không qua sin.

[u, n] = (0 \cdot (- 2) - 2 \cdot (- 1); 2 \cdot 2 - (- 1) \cdot (- 2); (- 1) \cdot (- 1) - 0 \cdot 2) = (2; 2; 1)

cos φ = \frac{4 + 4 + 1}{5 \cdot 3} = \frac{3}{3 5} = \frac{5}{5}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Hình chiếu vectơ chỉ phương lên mặt phẳng

Định hướng. Côsin góc cần tìm bằng độ dài hình chiếu của vectơ đơn vị chỉ phương lên $(P)$ .

u_{⊥} = \frac{u \cdot n}{∣ n ∣ ^{2}} n = \frac{- 6}{9} (2; - 1; - 2) = (- \frac{4}{3}; \frac{2}{3}; \frac{4}{3})

u_{∥} = u - u_{⊥} = (\frac{1}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{2}{3})

;

∣ u_{∥} ∣ = 1

cos φ = \frac{∣ u _{∥} ∣}{∣ u ∣} = \frac{1}{5} = \frac{5}{5}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Cách 3 giải thích vì sao côsin góc giữa đường và mặt là $sin$ của góc giữa $u$ và $n$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, nhưng nhớ dòng cuối

cos φ = 1 - sin^{2} φ

— đây là chỗ đề cài bẫy.

Đáp số. B.

cos φ = \frac{5}{5}

Sai lầm thường gặp. Chọn A: lấy

\frac{∣ u \cdot n ∣}{∣ u ∣∣ n ∣} = \frac{2 5}{5}

làm côsin — thực chất đó là

sin φ

🚀 Mở rộng. Tự luyện: với cùng

(P)

, đường thẳng có chỉ phương

(1; 2; 0)

song song hoặc nằm trong

(P)

vì

u \cdot n = 0

, khi đó

cos φ = 1

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 12★★Trang 91— Trắc nghiệm — phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Bài 12 (trang 91). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

M (2; - 1; 3)

. Gọi

A

B

C

lần lượt là hình chiếu vuông góc của

M

trên trục

O x

O y

O z

. Phương trình mặt phẳng

(A B C)

là
A.

3 x - 6 y + 2 z + 6 = 0

.
B.

3 x - 6 y + 2 z + 6 = 0

.
C.

3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0

.
D.

3 x - 6 y + 2 z - 1 = 0

Kiến thức cần nhớ

Hình chiếu của $M (a; b; c)$ trên $O x$ , $O y$ , $O z$ là $(a; 0; 0)$ , $(0; b; 0)$ , $(0; 0; c)$ .
Mặt phẳng qua $(a; 0; 0)$ , $(0; b; 0)$ , $(0; 0; c)$ ( $ab c \neq = 0$ ): $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình chiếu trên các trục cho ngay ba giao điểm với trục toạ độ, nên dùng phương trình đoạn chắn. Đáp số đúng là

3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0

; ảnh sách in phương án A và B giống hệt nhau là

3 x - 6 y + 2 z + 6 = 0

— không phương án nào đúng nguyên văn. Bẫy: thấy hệ số

3; - 6; 2

khớp liền chọn A/B mà không kiểm hệ số tự do.

1Cách 1. Phương trình đoạn chắn

Định hướng. $A (2; 0; 0)$ , $B (0; - 1; 0)$ , $C (0; 0; 3)$ .

\frac{x}{2} + \frac{y}{- 1} + \frac{z}{3} = 1

3 x - 6 y + 2 z = 6

3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0$ . Không trùng phương án nào; sách in A và B trùng nhau, nhiều khả năng một phương án đúng ra là $3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0$ .

2Cách 2. Tích có hướng

Định hướng. Pháp tuyến $n = [A B, A C]$ .

A B = (- 2; - 1; 0)

;

A C = (- 2; 0; 3)

n = ((- 1) \cdot 3 - 0 \cdot 0; 0 \cdot (- 2) - (- 2) \cdot 3; (- 2) \cdot 0 - (- 1) \cdot (- 2)) = (- 3; 6; - 2)

- 3 (x - 2) + 6 (y - 0) - 2 (z - 0) = 0 \Leftrightarrow 3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0

Vậy $(A B C) : 3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0$ .

3Cách 3. Thay toạ độ để loại trừ

Định hướng. Mặt phẳng đúng phải chứa cả ba điểm $A$ , $B$ , $C$ .

A, B: tại

A (2; 0; 0)

6 + 6 = 12 \neq = 0

(không qua

A

)
C: tại

A

6 - 1 = 5 \neq = 0

; D: tại

A

6 - 1 = 5 \neq = 0

3 x - 6 y + 2 z - 6

: tại

A

0

; tại

B

6 - 6 = 0

; tại

C

6 - 6 = 0

Vậy không phương án nào qua $A$ ; phương trình đúng là $3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0$ .

Nhận xét. Phép thay điểm cho thấy lỗi in nằm ở hệ số tự do ( $+ 6$ thay vì $- 6$ ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đoạn chắn cho kết quả ngay, rồi thay một điểm để kiểm tra dấu.

Đáp số.

(A B C) : 3 x - 6 y + 2 z - 6 = 0

(không trùng phương án in trong sách; A và B in trùng nhau)

Sai lầm thường gặp. Nhân nhầm dấu khi quy đồng:

\frac{y}{- 1}

thành

+ 6 y

; hoặc chuyển vế quên đổi dấu nên được

+ 6

như phương án in.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

M (a; b; c)

ab c \neq = 0

, mặt phẳng qua ba hình chiếu là

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1

và nó cách gốc

O

một khoảng

\frac{1}{\frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 13★★Trang 91— Trắc nghiệm — khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm

Bài 13 (trang 91). Thống kê thời gian trong tuần dành cho đọc sách của một số nhân viên trong một công ty được cho trong bảng sau:

Thời gian (giờ)	$[0; 2)$	$[2; 4)$	$[4; 6)$	$[6; 8)$	$[8; 10)$
Số nhân viên	$3$	$8$	$15$	$7$	$2$

a) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này là
A.

13

. B.

10

. C.

8

. D.

6

.
b) Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm này là (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)
A.

1, 99

. B.

2, 02

. C.

3, 97

. D.

4, 09

Kiến thức cần nhớ

Khoảng biến thiên $R = a_{k + 1} - a_{1}$ .
Giá trị đại diện $x_{i}$ là trung điểm nhóm; $\overset{x}{ˉ} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}$ ; $s^{2} = \frac{1}{n} \sum n_{i} x_{i}^{2} - \overset{x}{ˉ}^{2}$ ; $s = s^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Khoảng biến thiên của mẫu ghép nhóm lấy đầu mút phải nhóm cuối trừ đầu mút trái nhóm đầu. Độ lệch chuẩn dùng giá trị đại diện là trung điểm mỗi nhóm. Bẫy: phương án C là phương sai

3, 97

chứ không phải độ lệch chuẩn.

1Cách 1. Công thức

s^{2} = \overline{x^{2}} - \overset{x}{ˉ}^{2}

Định hướng. Giá trị đại diện $1; 3; 5; 7; 9$ , cỡ mẫu $n = 3 + 8 + 15 + 7 + 2 = 35$ .

R = 10 - 0 = 10

\overset{x}{ˉ} = \frac{3 \cdot 1 + 8 \cdot 3 + 15 \cdot 5 + 7 \cdot 7 + 2 \cdot 9}{35} = \frac{169}{35}

\overline{x^{2}} = \frac{3 \cdot 1 + 8 \cdot 9 + 15 \cdot 25 + 7 \cdot 49 + 2 \cdot 81}{35} = \frac{955}{35}

s^{2} = \frac{955}{35} - (\frac{169}{35})^{2} = \frac{33 425 - 28 561}{1 225} = \frac{4 864}{1 225} \approx 3, 9706

s \approx 1, 99

Vậy a) chọn B; b) chọn A.

2Cách 2. Tổng bình phương độ lệch

Định hướng. Tính $\sum n_{i} (x_{i} - \overset{x}{ˉ})^{2}$ với $\overset{x}{ˉ} \approx 4, 8286$ .

3 (1 - 4, 8286)^{2} + 8 (3 - 4, 8286)^{2} + 15 (5 - 4, 8286)^{2} + 7 (7 - 4, 8286)^{2} + 2 (9 - 4, 8286)^{2}

\approx 43, 974 + 26, 749 + 0, 441 + 33, 006 + 34, 802 = 138, 97

s^{2} \approx \frac{138 , 97}{35} \approx 3, 970

;

s \approx 1, 99

Vậy b) chọn A (a) vẫn là $R = 10$ , chọn B).

3Cách 3. Đổi biến cho gọn số

Định hướng. Đặt $u = \frac{x - 5}{2}$ : giá trị đại diện thành $- 2; - 1; 0; 1; 2$ , khi đó $s_{x} = 2 s_{u}$ .

\overset{u}{ˉ} = \frac{3 ( - 2 ) + 8 ( - 1 ) + 0 + 7 \cdot 1 + 2 \cdot 2}{35} = \frac{- 3}{35}

\overline{u^{2}} = \frac{3 \cdot 4 + 8 \cdot 1 + 0 + 7 \cdot 1 + 2 \cdot 4}{35} = \frac{35}{35} = 1

s_{u}^{2} = 1 - \frac{9}{1 225} = \frac{1 216}{1 225}

;

s_{x} = 2 \frac{1 216}{1 225} \approx 2 \cdot 0, 9963 = 1, 99

Vậy b) chọn A.

Nhận xét. Đổi biến tuyến tính làm số nhỏ, tránh sai khi bình phương; độ lệch chuẩn nhân với hệ số co $2$ , không phụ thuộc phép tịnh tiến.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 với máy tính (chế độ thống kê có tần số); Cách 3 khi phải tính tay.

Đáp số. a) B.

R = 10

; b) A.

s \approx 1, 99

Sai lầm thường gặp. Lấy

R = 8 - 0

hoặc

10 - 2

(dùng nhầm đầu mút); chọn C vì quên khai căn phương sai

3, 97

; chọn B khi chia cho

n - 1 = 34

thay vì

n

🚀 Mở rộng. Nếu mỗi nhân viên đọc thêm đúng

1

giờ mỗi tuần, khoảng biến thiên và độ lệch chuẩn không đổi, chỉ số trung bình tăng

1

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 14★Trang 92— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện đếm trực tiếp

Bài 14 (trang 92). Trong một nhóm 25 người, có 15 người thích uống trà, 17 người thích uống cà phê, 9 người thích uống cả cà phê và trà. Chọn ngẫu nhiên một người trong nhóm. Biết rằng người đó thích uống cà phê. Xác suất để người đó thích uống trà là
A.

\frac{9}{17}

.
B.

\frac{8}{17}

.
C.

\frac{9}{19}

.
D.

\frac{10}{19}

Kiến thức cần nhớ

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = \frac{n ( A B )}{n ( B )}$ khi các kết quả đồng khả năng.

🧠 Phân tích tư duy

“Biết rằng người đó thích uống cà phê” thu hẹp không gian mẫu còn 17 người thích cà phê; trong đó có 9 người thích cả trà. Bẫy: lấy nhầm

\frac{9}{15}

(điều kiện ngược).

1Cách 1. Thu hẹp không gian mẫu

Định hướng. Chỉ xét 17 người thích cà phê.

P (T ∣ C) = \frac{n ( T C )}{n ( C )} = \frac{9}{17}

Vậy chọn A.

2Cách 2. Công thức xác suất có điều kiện

Định hướng. Tính $P (T C)$ và $P (C)$ trên cả nhóm 25 người.

P (T C) = \frac{9}{25}

;

P (C) = \frac{17}{25}

P (T ∣ C) = \frac{9}{25} : \frac{17}{25} = \frac{9}{17}

Vậy chọn A.

3Cách 3. Bảng phân loại 2 × 2

Định hướng. Lập bảng để thấy đủ các nhóm (kiểm tra số liệu hợp lí).

Thích cà phê:

9

thích trà,

17 - 9 = 8

không thích trà
Không thích cà phê:

15 - 9 = 6

thích trà,

25 - 17 - 6 = 2

không thích gì

P (T ∣ C) = \frac{9}{9 + 8} = \frac{9}{17}

Vậy chọn A.

Nhận xét. Phương án B là $\frac{8}{17}$ — xác suất không thích trà khi đã biết thích cà phê.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm trong nhóm điều kiện là xong.

Đáp số. A.

\frac{9}{17}

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{9}{15}

(xác suất thích cà phê biết thích trà) hoặc

\frac{9}{25}

(quên điều kiện).

🚀 Mở rộng. Cùng số liệu: xác suất người đó thích cà phê biết rằng người đó thích trà là

\frac{9}{15} = \frac{3}{5}

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 15★★Trang 92— Trắc nghiệm — xác suất có điều kiện kết hợp quy tắc cộng

Bài 15 (trang 92). Trong số 40 học sinh lớp 12A, có 22 em đăng kí thi ngành Kinh tế, 25 em đăng kí thi ngành Luật, 3 em không đăng kí thi cả hai ngành này. Chọn ngẫu nhiên một học sinh, biết rằng em đó đăng kí thi ngành luật. Xác suất để em đó đăng kí thi ngành kinh tế là
A.

\frac{3}{5}

.
B.

\frac{2}{5}

.
C.

\frac{3}{7}

.
D.

\frac{4}{7}

Kiến thức cần nhớ

$n (K \cup L) = n (K) + n (L) - n (K \cap L)$ .
$P (K ∣ L) = \frac{n ( K L )}{n ( L )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phải tìm số em đăng kí cả hai ngành trước: số em đăng kí ít nhất một ngành là

40 - 3 = 37

, dùng công thức cộng. Sau đó đếm trong nhóm 25 em đăng kí Luật.

1Cách 1. Quy tắc cộng rồi đếm

Định hướng. Tìm $n (K L)$ , rồi thu hẹp về nhóm đăng kí Luật.

n (K \cup L) = 40 - 3 = 37

n (K L) = 22 + 25 - 37 = 10

P (K ∣ L) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

2Cách 2. Biểu đồ Ven theo phần bù

Định hướng. Đếm số em chỉ đăng kí Luật: $37 - 22 = 15$ (những em có trong $K \cup L$ mà không thuộc $K$ ).

Chỉ Luật:

15

; cả hai:

25 - 15 = 10

P (K ∣ L) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

3Cách 3. Công thức xác suất

Định hướng. Tính trên cả lớp 40 em.

P (K L) = P (K) + P (L) - P (K \cup L) = \frac{22}{40} + \frac{25}{40} - \frac{37}{40} = \frac{10}{40}

P (K ∣ L) = \frac{10}{40} : \frac{25}{40} = \frac{2}{5}

Vậy chọn B.

Nhận xét. Phương án A $\frac{3}{5}$ là xác suất em đó không đăng kí Kinh tế khi đã biết đăng kí Luật.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép cộng trừ và một phân số.

Đáp số. B.

\frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Quên trừ 3 em không đăng kí nên tính

n (K L) = 22 + 25 - 40 = 7

, ra

\frac{7}{25}

; hoặc chia cho

22

thay vì

25

🚀 Mở rộng. Cùng số liệu: xác suất em đó đăng kí Luật biết rằng em đó đăng kí Kinh tế là

\frac{10}{22} = \frac{5}{11}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 16a★★Trang 92— Khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba

Bài 16 (trang 92). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2}

; b)

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

; c)

y = \frac{2 x ^{2} + x - 2}{x - 1}

.
Ý a).

Kiến thức cần nhớ

Sơ đồ khảo sát: tập xác định → đạo hàm, xét dấu → cực trị, giới hạn, tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm $I$ có hoành độ là nghiệm của $y^{''} = 0$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm bậc ba

a = 1 > 0

có

y^{'} = 3 x (x - 2)

hai nghiệm phân biệt nên đồ thị có hai cực trị, dáng “lên – xuống – lên”. Để ý

y = x^{2} (x - 3)

: đồ thị tiếp xúc trục hoành tại gốc và cắt tại

x = 3

— rất tiện khi vẽ.

1Cách 1. Sơ đồ khảo sát đầy đủ

Định hướng. Đi đúng các bước của sơ đồ khảo sát.

D = R

;

y^{'} = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)

;

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 2

y^{'} > 0

trên

(- \infty; 0)

và

(2; + \infty)

;

y^{'} < 0

trên

(0; 2)

y_{CD} = y (0) = 0

;

y_{CT} = y (2) = 8 - 12 = - 4

x \to - \infty lim y = - \infty

;

x \to + \infty lim y = + \infty

y = 0 \Leftrightarrow x^{2} (x - 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0

hoặc

x = 3

$x$	$- \infty$		$0$		$2$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$0$	↘	$- 4$	↗	$+ \infty$

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; 0)$ và $(2; + \infty)$ , nghịch biến trên $(0; 2)$ ; cực đại $(0; 0)$ , cực tiểu $(2; - 4)$ ; đồ thị qua $(3; 0)$ , $(- 1; - 4)$ và nhận $I (1; - 2)$ làm tâm đối xứng.

2Cách 2. Tịnh tiến về hàm lẻ

Định hướng. Đặt $x = t + 1$ (hoành độ tâm đối xứng, nghiệm của $y^{''} = 6 x - 6$ ).

y = (t + 1)^{3} - 3 (t + 1)^{2} = t^{3} + 3 t^{2} + 3 t + 1 - 3 t^{2} - 6 t - 3 = t^{3} - 3 t - 2

y + 2 = t^{3} - 3 t

là hàm lẻ theo

t

g (t) = t^{3} - 3 t

g^{'} (t) = 3 t^{2} - 3

; cực đại

g (- 1) = 2

, cực tiểu

g (1) = - 2

t = - 1 \Leftrightarrow x = 0, y = 0

;

t = 1 \Leftrightarrow x = 2, y = - 4

Vậy đồ thị $y = x^{3} - 3 x^{2}$ là đồ thị $y = t^{3} - 3 t$ tịnh tiến sang phải $1$ và xuống $2$ đơn vị; đối xứng qua $I (1; - 2)$ , cực đại $(0; 0)$ , cực tiểu $(2; - 4)$ .

3Cách 3. Vẽ nhanh từ dạng tích và kiểm tra bằng đạo hàm cấp hai

Định hướng. $y = x^{2} (x - 3)$ : dấu của $y$ theo dấu $x - 3$ ; nghiệm kép $x = 0$ nên đồ thị chạm trục hoành tại $O$ .

y \leq 0

khi

x \leq 3

;

y > 0

khi

x > 3

y^{''} = 6 x - 6

;

y^{''} (0) = - 6 < 0

(cực đại);

y^{''} (2) = 6 > 0

(cực tiểu)

y^{''} = 0 \Leftrightarrow x = 1

;

y (1) = - 2

Vậy đồ thị chạm $O x$ tại $O$ (cực đại), xuống tới cực tiểu $(2; - 4)$ rồi cắt $O x$ tại $(3; 0)$ ; điểm uốn $I (1; - 2)$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy mọi hàm bậc ba có hai cực trị đều là ảnh tịnh tiến của một hàm lẻ dạng $t^{3} - k t$ (sau khi co giãn).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Bài tự luận nên trình bày Cách 1 (đúng sơ đồ SGK); Cách 3 giúp vẽ đồ thị nhanh và đúng dáng.

Đáp số. Đồng biến trên

(- \infty; 0)

(2; + \infty)

; nghịch biến trên

(0; 2)

; CĐ

(0; 0)

, CT

(2; - 4)

; tâm đối xứng

I (1; - 2)

Sai lầm thường gặp. Viết cực đại tại

x = 2

vì thấy

2 > 0

; hoặc quên rằng đồ thị tiếp xúc (không cắt) trục hoành tại

O

🚀 Mở rộng. Phương trình

x^{3} - 3 x^{2} = m

có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

- 4 < m < 0

— đọc ngay từ đồ thị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 16b★★Trang 92— Khảo sát hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Bài 16 (trang 92). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2}

; b)

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

; c)

y = \frac{2 x ^{2} + x - 2}{x - 1}

.
Ý b).

Kiến thức cần nhớ

Sơ đồ khảo sát: tập xác định → đạo hàm, xét dấu → cực trị, giới hạn, tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm $I$ có hoành độ là nghiệm của $y^{''} = 0$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.

🧠 Phân tích tư duy

Hàm

y = \frac{a x + b}{c x + d}

không có cực trị;

a d - b c = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 > 0

nên đồng biến trên từng khoảng xác định. Hai tiệm cận

x = - 2

y = \frac{a}{c} = 2

. Bẫy: viết “đồng biến trên

R ∖ {- 2}

”.

1Cách 1. Sơ đồ khảo sát

Định hướng. Đạo hàm, giới hạn, tiệm cận, bảng biến thiên.

D = R ∖ {- 2}

;

y^{'} = \frac{2 ( x + 2 ) - ( 2 x + 1 )}{( x + 2 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 2 ) ^{2}} > 0

x \to \pm \infty lim y = 2

;

x \to - 2^{-} lim y = + \infty

;

x \to - 2^{+} lim y = - \infty

Tiệm cận ngang

y = 2

; tiệm cận đứng

x = - 2

Giao

O y

(0; \frac{1}{2})

; giao

O x

(- \frac{1}{2}; 0)

$x$	$- \infty$		$- 2$			$+ \infty$
$y^{'}$		$+$			$+$
$y$	$2$	↗	$+ \infty$	$- \infty$	↗	$2$

Vậy hàm số đồng biến trên $(- \infty; - 2)$ và $(- 2; + \infty)$ , không có cực trị; đồ thị nhận $I (- 2; 2)$ làm tâm đối xứng.

2Cách 2. Tách phần nguyên — tịnh tiến hypebol

Định hướng. Chia tử cho mẫu để đưa về $y = 2 - \frac{3}{x + 2}$ .

y = \frac{2 ( x + 2 ) - 3}{x + 2} = 2 - \frac{3}{x + 2}

Đặt

X = x + 2

Y = y - 2

Y = - \frac{3}{X}

Vậy đồ thị là hypebol $Y = - \frac{3}{X}$ (hai nhánh ở góc phần tư II và IV, cùng tăng) tịnh tiến theo $v = (- 2; 2)$ ; tâm đối xứng $I (- 2; 2)$ , tiệm cận $x = - 2$ , $y = 2$ .

3Cách 3. Dấu hiệu

a d - b c

và điểm đặc biệt

Định hướng. Với $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ : dấu $y^{'}$ là dấu $a d - b c$ ; chỉ cần tiệm cận và hai giao điểm với trục là vẽ được.

a d - b c = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 3 > 0

x = - 2

;

y = \frac{2}{1} = 2

y (0) = \frac{1}{2}

;

y = 0 \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}

;

y (- 3) = 5

;

y (- 5) = 3

Vậy hàm đồng biến trên từng khoảng xác định; đồ thị qua $(0; \frac{1}{2})$ , $(- \frac{1}{2}; 0)$ , $(- 3; 5)$ , $(- 5; 3)$ .

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao tâm đối xứng là giao hai tiệm cận: phép tịnh tiến đưa về hàm lẻ $Y = - \frac{3}{X}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày tự luận theo Cách 1; Cách 3 để kiểm tra nhanh chiều biến thiên và chọn điểm vẽ.

Đáp số. Đồng biến trên

(- \infty; - 2)

và

(- 2; + \infty)

; TCĐ

x = - 2

, TCN

y = 2

; tâm đối xứng

I (- 2; 2)

Sai lầm thường gặp. Viết “hàm số đồng biến trên

R ∖ {- 2}

” — sai, vì

y (- 3) = 5 > y (0) = \frac{1}{2}

dù

- 3 < 0

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

y = \frac{a x + b}{c x + d} = \frac{a}{c} - \frac{a d - b c}{c ^{2} ( x + \frac{d}{c} )}

— mọi đồ thị dạng này là hypebol

Y = \frac{k}{X}

tịnh tiến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 16c★★★Trang 92— Khảo sát hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất

Bài 16 (trang 92). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a)

y = x^{3} - 3 x^{2}

; b)

y = \frac{2 x + 1}{x + 2}

; c)

y = \frac{2 x ^{2} + x - 2}{x - 1}

.
Ý c).

Kiến thức cần nhớ

Sơ đồ khảo sát: tập xác định → đạo hàm, xét dấu → cực trị, giới hạn, tiệm cận → bảng biến thiên → đồ thị.
Đồ thị hàm bậc ba nhận điểm $I$ có hoành độ là nghiệm của $y^{''} = 0$ làm tâm đối xứng.
Đồ thị $y = \frac{a x + b}{c x + d}$ và $y = \frac{a x ^{2} + b x + c}{m x + n}$ nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
$y = a x + b$ là tiệm cận xiên khi $x \to \pm \infty lim [y - (a x + b)] = 0$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chia đa thức:

y = 2 x + 3 + \frac{1}{x - 1}

— lộ ngay tiệm cận xiên

y = 2 x + 3

và tiệm cận đứng

x = 1

. Đạo hàm

y^{'} = 2 - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}}

có hai nghiệm nên có hai cực trị (cực đại ở nhánh trái, cực tiểu ở nhánh phải). Bẫy: giá trị cực đại

5 - 22

nhỏ hơn giá trị cực tiểu

5 + 22

— không mâu thuẫn vì chúng ở hai nhánh khác nhau.

1Cách 1. Sơ đồ khảo sát

Định hướng. Viết $y = 2 x + 3 + \frac{1}{x - 1}$ rồi đạo hàm.

D = R ∖ {1}

;

y = 2 x + 3 + \frac{1}{x - 1}

y^{'} = 2 - \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = \frac{2 ( x - 1 ) ^{2} - 1}{( x - 1 ) ^{2}}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow (x - 1)^{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = 1 - \frac{2}{2}

hoặc

x = 1 + \frac{2}{2}

y (1 - \frac{2}{2}) = 2 - 2 + 3 - 2 = 5 - 22

;

y (1 + \frac{2}{2}) = 5 + 22

x \to 1^{-} lim y = - \infty

;

x \to 1^{+} lim y = + \infty

;

x \to \pm \infty lim [y - (2 x + 3)] = x \to \pm \infty lim \frac{1}{x - 1} = 0

Giao

O y

(0; 2)

; giao

O x

2 x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{- 1 \pm 17}{4}

$x$	$- \infty$		$1 - \frac{2}{2}$		$1$			$1 + \frac{2}{2}$		$+ \infty$
$y^{'}$		$+$	$0$	$-$			$-$	$0$	$+$
$y$	$- \infty$	↗	$5 - 22$	↘	$- \infty$	$+ \infty$	↘	$5 + 22$	↗	$+ \infty$

Vậy hàm đồng biến trên $(- \infty; 1 - \frac{2}{2})$ và $(1 + \frac{2}{2}; + \infty)$ , nghịch biến trên $(1 - \frac{2}{2}; 1)$ và $(1; 1 + \frac{2}{2})$ ; CĐ $(1 - \frac{2}{2}; 5 - 22)$ , CT $(1 + \frac{2}{2}; 5 + 22)$ ; TCĐ $x = 1$ , TCX $y = 2 x + 3$ , tâm đối xứng $I (1; 5)$ .

2Cách 2. Tịnh tiến về hàm lẻ

Định hướng. Đặt $X = x - 1$ , $Y = y - 5$ (tâm là giao hai tiệm cận $x = 1$ , $y = 2 x + 3$ ).

y = 2 (X + 1) + 3 + \frac{1}{X} = 2 X + 5 + \frac{1}{X}

Y = 2 X + \frac{1}{X}

là hàm lẻ

Y^{'} = 2 - \frac{1}{X ^{2}} = 0 \Leftrightarrow X = \pm \frac{2}{2}

;

Y (\pm \frac{2}{2}) = \pm 22

Vậy đồ thị đối xứng qua $I (1; 5)$ , cực trị tại $x = 1 \pm \frac{2}{2}$ với giá trị $5 \pm 22$ .

3Cách 3. Bất đẳng thức Cô-si cho cực trị

Định hướng. Trên mỗi nhánh, $2 (x - 1)$ và $\frac{1}{x - 1}$ cùng dấu và có tích không đổi bằng $2$ .

x > 1

2 (x - 1) + \frac{1}{x - 1} \geq 2 2 (x - 1) \cdot \frac{1}{x - 1} = 22

y = 2 (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 5 \geq 5 + 22

, dấu bằng khi

2 (x - 1)^{2} = 1 \Leftrightarrow x = 1 + \frac{2}{2}

x < 1

: tương tự

y \leq 5 - 22

, dấu bằng khi

x = 1 - \frac{2}{2}

Vậy giá trị cực tiểu (nhỏ nhất trên nhánh phải) là $5 + 22$ , giá trị cực đại (lớn nhất trên nhánh trái) là $5 - 22$ .

Nhận xét. Cách 3 xác nhận độc lập hai giá trị cực trị mà không cần xét dấu đạo hàm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày theo Cách 1; dùng Cách 2 hoặc 3 để kiểm tra giá trị cực trị — chỗ dễ tính sai nhất.

Đáp số. CĐ

(1 - \frac{2}{2}; 5 - 22)

, CT

(1 + \frac{2}{2}; 5 + 22)

; TCĐ

x = 1

; TCX

y = 2 x + 3

; tâm đối xứng

I (1; 5)

Sai lầm thường gặp. Chia đa thức sai thành

y = 2 x + 3 - \frac{1}{x - 1}

(sai dấu phần dư:

2 x^{2} + x - 2 = (x - 1) (2 x + 3) + 1

); hoặc cho rằng không thể có

y_{CD} < y_{CT}

🚀 Mở rộng. Với

y = a x + b + \frac{k}{x - c}

(

a, k

cùng dấu dương) luôn có hai cực trị tại

x = c \pm \frac{k}{a}

, chênh lệch

y_{CT} - y_{CD} = 4 ak

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 17★★★Trang 92— Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm chứa căn

Bài 17 (trang 92). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
a)

y = \frac{x + 1}{x ^{2} + 1}

trên đoạn

[- 1; 2]

; b)

y = x + 1 - x^{2}

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm liên tục trên đoạn.
Bu-nhi-a-cốp-xki: $(a x + b y)^{2} \leq (a^{2} + b^{2}) (x^{2} + y^{2})$ .
$sin t + cos t = 2 sin (t + \frac{π}{4})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả hai hàm liên tục trên một đoạn (ý b: tập xác định chính là

[- 1; 1]

) nên dùng quy tắc so sánh giá trị tại đầu mút và điểm tới hạn. Biểu thức

x + 1 - x^{2}

gợi phép đặt lượng giác

x = sin t

; biểu thức

\frac{x + 1}{x ^{2} + 1}

gợi bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki.

1Cách 1. Quy tắc trên đoạn

Định hướng. Tính đạo hàm, tìm điểm tới hạn trong khoảng, so sánh giá trị.

y^{'} = \frac{x ^{2} + 1 - ( x + 1 ) \cdot \frac{x}{x ^{2} + 1}}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{2} + 1 - x ^{2} - x}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1} = \frac{1 - x}{( x ^{2} + 1 ) x ^{2} + 1}

y^{'} = 0 \Leftrightarrow x = 1 \in (- 1; 2)

;

y (- 1) = 0

;

y (1) = \frac{2}{2} = 2

;

y (2) = \frac{3}{5}

D = [- 1; 1]

;

y^{'} = 1 - \frac{x}{1 - x ^{2}} = \frac{1 - x ^{2} - x}{1 - x ^{2}}

(- 1 < x < 1)

y^{'} = 0 \Leftrightarrow 1 - x^{2} = x \Leftrightarrow {x \geq 0 1 - x^{2} = x^{2} \Leftrightarrow x = \frac{2}{2}

y (- 1) = - 1

;

y (\frac{2}{2}) = \frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2

;

y (1) = 1

Vậy a) $[- 1; 2] max y = 2$ tại $x = 1$ , $[- 1; 2] min y = 0$ tại $x = - 1$ ; b) $max y = 2$ tại $x = \frac{2}{2}$ , $min y = - 1$ tại $x = - 1$ .

2Cách 2. Bất đẳng thức

Định hướng. Ý a dùng Bu-nhi-a-cốp-xki cho cặp $(1; 1)$ và $(x; 1)$ ; ý b dùng cho $(1; 1)$ và $(x; 1 - x^{2})$ .

(x + 1)^{2} = (1 \cdot x + 1 \cdot 1)^{2} \leq (1 + 1) (x^{2} + 1)

nên

y \leq 2

, dấu bằng khi

x = 1

x \in [- 1; 2]

thì

x + 1 \geq 0

nên

y \geq 0

, dấu bằng khi

x = - 1

(x + 1 - x^{2})^{2} \leq (1 + 1) (x^{2} + 1 - x^{2}) = 2

nên

y \leq 2

, dấu bằng khi

x = 1 - x^{2}

, tức

x = \frac{2}{2}

y = x + 1 - x^{2} \geq x \geq - 1

, dấu bằng khi

x = - 1

Vậy a) giá trị lớn nhất $2$ , nhỏ nhất $0$ ; b) giá trị lớn nhất $2$ , nhỏ nhất $- 1$ .

3Cách 3. Lượng giác hoá

Định hướng. a) đặt $x = tan t$ thì $x^{2} + 1 = \frac{1}{cos t}$ ; b) đặt $x = sin t$ , $t \in [- \frac{π}{2}; \frac{π}{2}]$ .

y = (tan t + 1) cos t = sin t + cos t = 2 sin (t + \frac{π}{4})

t \in [- \frac{π}{4}; arctan 2]

t + \frac{π}{4} \in [0; arctan 2 + \frac{π}{4}] \subset [0; π]

nên

0 \leq y \leq 2

y = sin t + cos t = 2 sin (t + \frac{π}{4})

t + \frac{π}{4} \in [- \frac{π}{4}; \frac{3 π}{4}]

- \frac{2}{2} \leq sin (t + \frac{π}{4}) \leq 1

nên

- 1 \leq y \leq 2

Vậy a) $max = 2$ , $min = 0$ ; b) $max = 2$ , $min = - 1$ .

Nhận xét. Hai hàm số “khác nhau” nhưng cùng quy về $sin t + cos t$ — lí do cả hai đều có giá trị lớn nhất $2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: bất đẳng thức cho giá trị lớn nhất trong một dòng; phần giá trị nhỏ nhất nhìn dấu là có.

Đáp số. a)

max = 2

(

x = 1

min = 0

(

x = - 1

); b)

max = 2

(x = \frac{2}{2})

min = - 1

(

x = - 1

Sai lầm thường gặp. Ý b giải

1 - x^{2} = x

mà quên điều kiện

x \geq 0

nên nhận thêm

x = - \frac{2}{2}

(tại đó

y = 0

, không phải cực trị). Ý a quên so sánh

y (2) = \frac{3}{5} \approx 1, 34

🚀 Mở rộng. Tổng quát:

y = a x + b 1 - x^{2}

có giá trị lớn nhất

a^{2} + b^{2}

(khi

b > 0

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 18★★★Trang 92— Ứng dụng nguyên hàm, tích phân trong chuyển động

Bài 18 (trang 92). Khi đạp phanh thì một ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc

10 m/s^{2}

.
a) Nếu khi bắt đầu đạp phanh ô tô đang chạy với vận tốc

54 km/h

thì sau bao lâu kể từ khi đạp phanh, ô tô sẽ dừng lại?
b) Nếu ô tô dừng lại trong vòng

20 m

sau khi đạp phanh thì vận tốc lớn nhất của ô tô ngay trước lúc đạp phanh (tính bằng km/h) có thể là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

$v (t) = \int a (t) d t$ ; $s = \int_{t_{1}}^{t_{2}} v (t) d t$ (khi $v \geq 0$ ).
$1 m/s = 3, 6 km/h$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chậm dần đều với gia tốc

10 m/s^{2}

nghĩa là

v^{'} (t) = - 10

, nên

v (t) = v_{0} - 10 t

; quãng đường là tích phân của vận tốc. Phải đổi km/h sang m/s trước khi tính. Ý b là bài toán ngược: quãng đường phanh

\frac{v _{0}^{2}}{20} \leq 20

1Cách 1. Nguyên hàm và tích phân

Định hướng. Viết $v (t)$ từ gia tốc, cho $v = 0$ tìm thời điểm dừng, tích phân ra quãng đường.

v_{0} = 54 km/h = 15 m/s

;

v (t) = 15 - 10 t

v (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1, 5

v (t) = v_{0} - 10 t

; dừng tại

t_{0} = \frac{v _{0}}{10}

s = \int_{0}^{\frac{v _{0}}{10}} (v_{0} - 10 t) d t = (v_{0} t - 5 t^{2})_{0}^{\frac{v _{0}}{10}} = \frac{v _{0}^{2}}{10} - \frac{v _{0}^{2}}{20} = \frac{v _{0}^{2}}{20}

\frac{v _{0}^{2}}{20} \leq 20 \Leftrightarrow v_{0} \leq 20 m/s = 72 km/h

Vậy a) ô tô dừng sau $1, 5$ giây; b) vận tốc lớn nhất là $72 km/h$ .

2Cách 2. Diện tích dưới đồ thị vận tốc

Định hướng. Đồ thị $v (t)$ là đoạn thẳng từ $(0; v_{0})$ tới $(t_{0}; 0)$ ; quãng đường là diện tích tam giác vuông.

t_{0} = \frac{v _{0}}{10} = \frac{15}{10} = 1, 5

s = \frac{1}{2} \cdot v_{0} \cdot t_{0} = \frac{1}{2} \cdot v_{0} \cdot \frac{v _{0}}{10} = \frac{v _{0}^{2}}{20} \leq 20

v_{0}^{2} \leq 400 \Leftrightarrow v_{0} \leq 20 m/s

Vậy a) $1, 5$ s; b) $72 km/h$ .

3Cách 3. Công thức động học

Định hướng. Chuyển động biến đổi đều: $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a s$ với $a = - 10$ , $v = 0$ .

t = \frac{v - v _{0}}{a} = \frac{0 - 15}{- 10} = 1, 5

0 - v_{0}^{2} = 2 \cdot (- 10) \cdot s \Rightarrow s = \frac{v _{0}^{2}}{20}

s \leq 20 \Leftrightarrow v_{0} \leq 20 m/s = 72 km/h

Vậy a) $1, 5$ s; b) $72 km/h$ .

Nhận xét. Công thức $v^{2} - v_{0}^{2} = 2 a s$ chính là kết quả của tích phân ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày theo Cách 1 (đúng tinh thần chương nguyên hàm – tích phân); Cách 2 để hình dung.

Đáp số. a)

1, 5

giây; b)

72 km/h

Sai lầm thường gặp. Để nguyên

54

km/h mà chia cho

10 m/s^{2}

5, 4

giây; ở ý b quên đổi

20 m/s

sang km/h.

🚀 Mở rộng. Quãng đường phanh tỉ lệ với bình phương vận tốc: chạy

108 km/h

(gấp rưỡi

72

) thì cần

45 m

để dừng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 19★★Trang 92— Tìm hàm số biết đạo hàm và một giá trị

Bài 19 (trang 92). Tìm hàm số

f (x)

biết rằng

f^{'} (x) = x - \frac{1}{x ^{2}} + 2

và

f (1) = 2

Kiến thức cần nhớ

$\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + C$ $(α \neq = - 1)$ ; $\int \frac{1}{x ^{2}} d x = - \frac{1}{x} + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Biết đạo hàm thì

f

là một nguyên hàm; điều kiện

f (1) = 2

xác định hằng số. Viết

\frac{1}{x ^{2}} = x^{- 2}

để dùng công thức lũy thừa.

1Cách 1. Nguyên hàm rồi tìm hằng số

Định hướng. Nguyên hàm từng hạng tử.

f (x) = \int (x - x^{- 2} + 2) d x = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x + C

f (1) = \frac{1}{2} + 1 + 2 + C = 2 \Rightarrow C = - \frac{3}{2}

Vậy $f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{3}{2}$ $(x \neq = 0)$ .

2Cách 2. Tích phân có cận từ

1

Định hướng. $f (x) = f (1) + \int_{1}^{x} f^{'} (t) d t$ .

f (x) = 2 + (\frac{t ^{2}}{2} + \frac{1}{t} + 2 t)_{1}^{x} = 2 + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{7}{2}

f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{3}{2}

Vậy $f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{3}{2}$ .

3Cách 3. Dự đoán dạng và đồng nhất hệ số

Định hướng. $f^{'}$ gồm các lũy thừa $x^{1}$ , $x^{- 2}$ , $x^{0}$ nên $f$ có dạng $a x^{2} + \frac{b}{x} + c x + d$ .

f^{'} (x) = 2 a x - \frac{b}{x ^{2}} + c = x - \frac{1}{x ^{2}} + 2

a = \frac{1}{2}

;

b = 1

;

c = 2

f (1) = \frac{1}{2} + 1 + 2 + d = 2 \Rightarrow d = - \frac{3}{2}

Vậy $f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{3}{2}$ .

Nhận xét. Kiểm lại: $f^{'} (x) = x - \frac{1}{x ^{2}} + 2$ và $f (1) = \frac{1}{2} + 1 + 2 - \frac{3}{2} = 2$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọn, và luôn thay lại

x = 1

để kiểm.

Đáp số.

f (x) = \frac{x ^{2}}{2} + \frac{1}{x} + 2 x - \frac{3}{2}

Sai lầm thường gặp. Nguyên hàm

- \frac{1}{x ^{2}}

- \frac{1}{x}

(sai dấu, đúng là

+ \frac{1}{x}

); hoặc quên hằng số

C

nên không dùng được điều kiện

f (1) = 2

🚀 Mở rộng. Nếu

f^{'}

có hạng tử

\frac{1}{x}

thì nguyên hàm là

ln ∣ x ∣

— trường hợp duy nhất công thức lũy thừa không dùng được.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · Bài 20★★Trang 92— Tính tích phân

Bài 20 (trang 92). Tính các tích phân sau:
a)

I = \int_{0}^{2} ∣ x^{2} - x ∣ d x

; b)

I = \int_{0}^{1} (2 x - 1)^{3} d x

;
c)

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (3 sin x - \frac{2}{cos ^{2} x}) d x

; d)

I = \int_{1}^{2} (2 e^{x} - \frac{1}{x}) d x

Kiến thức cần nhớ

$\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ .
$\int (a x + b)^{n} d x = \frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )} + C$ ; $\int \frac{d x}{cos ^{2} x} = tan x + C$ ; $\int \frac{d x}{x} = ln ∣ x ∣ + C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ý a phải bỏ trị tuyệt đối — tách tại nghiệm

x = 1

của

x^{2} - x

trong

[0; 2]

. Ý b có dạng

(a x + b)^{n}

nên nguyên hàm

\frac{( a x + b ) ^{n + 1}}{a ( n + 1 )}

, hoặc để ý tính đối xứng quanh

x = \frac{1}{2}

. Ý c, d dùng bảng nguyên hàm.

1Cách 1. Bảng nguyên hàm

Định hướng. Tính từng ý bằng công thức Niu-tơn – Lai-bơ-nit.

I = \int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x + \int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x = (\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x ^{3}}{3})_{0}^{1} + (\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{2})_{1}^{2}

= \frac{1}{6} + (\frac{8}{3} - 2) - (\frac{1}{3} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{6} + \frac{2}{3} + \frac{1}{6} = 1

I = \frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{8}_{0}^{1} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8} = 0

I = (- 3 cos x - 2 tan x)_{0}^{\frac{π}{4}} = (- \frac{3 2}{2} - 2) - (- 3) = 1 - \frac{3 2}{2}

I = (2 e^{x} - ln x)_{1}^{2} = 2 e^{2} - ln 2 - 2 e

Vậy a) $1$ ; b) $0$ ; c) $1 - \frac{3 2}{2}$ ; d) $2 e^{2} - 2 e - ln 2$ .

2Cách 2. Đổi biến và tính chất đối xứng

Định hướng. a) đổi biến không cần; dùng diện tích: tích phân là diện tích hai mảnh giữa parabol $y = x^{2} - x$ và trục hoành. b) đặt $u = 2 x - 1$ .

\int_{0}^{1} (x - x^{2}) d x = \frac{1}{6}

(diện tích mảnh dưới trục),

\int_{1}^{2} (x^{2} - x) d x = \int_{0}^{1} ((u + 1)^{2} - (u + 1)) d u = \int_{0}^{1} (u^{2} + u) d u = \frac{5}{6}

I = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} = 1

u = 2 x - 1

d u = 2 d x

I = \frac{1}{2} \int_{- 1}^{1} u^{3} d u = 0

(hàm lẻ trên đoạn đối xứng)
c)

3 \int_{0}^{\frac{π}{4}} sin x d x - 2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{cos ^{2} x} = 3 (1 - \frac{2}{2}) - 2 \cdot 1 = 1 - \frac{3 2}{2}

2 \int_{1}^{2} e^{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{d x}{x} = 2 (e^{2} - e) - ln 2

Vậy a) $1$ ; b) $0$ ; c) $1 - \frac{3 2}{2}$ ; d) $2 e^{2} - 2 e - ln 2$ .

3Cách 3. Khai triển (ý b) và kiểm tra số

Định hướng. Ý b khai triển nhị thức; các ý còn lại kiểm bằng giá trị gần đúng.

(2 x - 1)^{3} = 8 x^{3} - 12 x^{2} + 6 x - 1

;

I = (2 x^{4} - 4 x^{3} + 3 x^{2} - x)_{0}^{1} = 2 - 4 + 3 - 1 = 0

1 - \frac{3 2}{2} \approx - 1, 1213

(âm, hợp lí vì

\frac{2}{cos ^{2} x} \geq 2 > 3 sin x

trên

[0; \frac{π}{4}]

)
d)

2 e^{2} - 2 e - ln 2 \approx 14, 7781 - 5, 4366 - 0, 6931 = 8, 6484

Vậy kết quả trùng với Cách 1.

Nhận xét. Ý b là ví dụ đẹp của tính chất: hàm lẻ quanh tâm $x = \frac{1}{2}$ trên đoạn đối xứng qua tâm thì tích phân bằng $0$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: ý a, c, d dùng Cách 1; ý b dùng tính đối xứng (Cách 2) — nhìn là ra

0

Đáp số. a)

1

; b)

0

; c)

1 - \frac{3 2}{2}

; d)

2 e^{2} - 2 e - ln 2

Sai lầm thường gặp. Ý a bỏ trị tuyệt đối luôn:

\int_{0}^{2} (x^{2} - x) d x = \frac{2}{3}

(sai). Ý b quên chia cho

a = 2

\frac{( 2 x - 1 ) ^{4}}{4}

. Ý c nhầm

\int sin x d x = cos x

🚀 Mở rộng. Tổng quát ý b:

\int_{0}^{1} (2 x - 1)^{n} d x = 0

với

n

lẻ và bằng

\frac{1}{n + 1}

với

n

chẵn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · Bài 21★★Trang 92— Diện tích hình phẳng giữa hai đồ thị

Bài 21 (trang 92). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = x^{2} - 1

y = x + 5

x = - 2

x = 3

Kiến thức cần nhớ

$S = \int_{a}^{b} ∣ f (x) - g (x) ∣ d x$ .
Parabol $y = a x^{2} + b x + c$ và dây cung cắt tại $x_{1}$ , $x_{2}$ : diện tích bằng $\frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Diện tích giữa hai đồ thị là

\int ∣ f - g ∣

. Hiệu

x^{2} - 1 - (x + 5) = x^{2} - x - 6 = (x + 2) (x - 3)

có nghiệm đúng bằng hai cận

- 2

và

3

, nên trên cả đoạn hiệu không đổi dấu (âm) — không phải tách tích phân.

1Cách 1. Tích phân của hiệu

Định hướng. Xét dấu $(x + 2) (x - 3)$ trên $[- 2; 3]$ .

S = \int_{- 2}^{3} ∣ x^{2} - x - 6∣ d x = \int_{- 2}^{3} (- x^{2} + x + 6) d x

= (- \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{2}}{2} + 6 x)_{- 2}^{3} = (- 9 + \frac{9}{2} + 18) - (\frac{8}{3} + 2 - 12)

= \frac{27}{2} + \frac{22}{3} = \frac{125}{6}

Vậy $S = \frac{125}{6}$ .

2Cách 2. Công thức diện tích hình parabol

Định hướng. Hai đồ thị cắt nhau tại đúng $x = - 2$ , $x = 3$ ; miền là “viên parabol” giữa dây cung và parabol.

S = \frac{∣ a ∣ ( x _{2} - x _{1} ) ^{3}}{6} = \frac{1 \cdot ( 3 - ( - 2 ) ) ^{3}}{6} = \frac{125}{6}

Vậy $S = \frac{125}{6}$ .

3Cách 3. Hiệu hai diện tích hình thang và parabol

Định hướng. $S = \int_{- 2}^{3} (x + 5) d x - \int_{- 2}^{3} (x^{2} - 1) d x$ (đường thẳng nằm trên parabol).

\int_{- 2}^{3} (x + 5) d x = \frac{( 3 + 8 ) \cdot 5}{2} = \frac{55}{2}

(diện tích hình thang)

\int_{- 2}^{3} (x^{2} - 1) d x = (\frac{x ^{3}}{3} - x)_{- 2}^{3} = 6 - \frac{- 2}{3} = \frac{20}{3}

S = \frac{55}{2} - \frac{20}{3} = \frac{125}{6}

Vậy $S = \frac{125}{6}$ .

Nhận xét. Cách 2 là kết quả của Ác-si-mét: viên parabol bằng $\frac{4}{3}$ tam giác nội tiếp — dùng để kiểm tra nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1; Cách 2 để kiểm tra kết quả trong vài giây.

Đáp số.

S = \frac{125}{6}

Sai lầm thường gặp. Lấy

\int_{- 2}^{3} (x^{2} - x - 6) d x = - \frac{125}{6}

rồi để nguyên số âm; hoặc sai dấu khi thay cận dưới

- 2

vào

- \frac{x ^{3}}{3}

🚀 Mở rộng. Nếu thay cận thành

x = - 3

x = 3

thì hiệu đổi dấu tại

x = - 2

, phải tách:

S = \int_{- 3}^{- 2} (x^{2} - x - 6) d x + \frac{125}{6} = \frac{17}{6} + \frac{125}{6} = \frac{71}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 24 · Bài 22★★Trang 92— Thể tích khối tròn xoay

Bài 22 (trang 92). Gọi

(H)

là hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = - x^{2} + 2 x

y = 0

x = 0

và

x = 2

. Tính thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng

(H)

xung quanh trục

O x

Kiến thức cần nhớ

$V = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x$ .

🧠 Phân tích tư duy

Quay quanh

O x

miền dưới đồ thị

y = f (x) \geq 0

trên

[0; 2]

V = π \int_{0}^{2} f^{2}

. Đa thức

- x^{2} + 2 x = x (2 - x)

đối xứng qua

x = 1

nên có thể đổi biến

u = x - 1

cho gọn.

1Cách 1. Khai triển rồi tích phân

Định hướng. Bình phương đa thức rồi nguyên hàm.

V = π \int_{0}^{2} (- x^{2} + 2 x)^{2} d x = π \int_{0}^{2} (x^{4} - 4 x^{3} + 4 x^{2}) d x

= π (\frac{x ^{5}}{5} - x^{4} + \frac{4 x ^{3}}{3})_{0}^{2} = π (\frac{32}{5} - 16 + \frac{32}{3}) = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

2Cách 2. Đổi biến đối xứng

Định hướng. Đặt $u = x - 1$ : $- x^{2} + 2 x = 1 - u^{2}$ , $u \in [- 1; 1]$ , hàm chẵn.

V = π \int_{- 1}^{1} (1 - u^{2})^{2} d u = 2 π \int_{0}^{1} (1 - 2 u^{2} + u^{4}) d u

= 2 π (1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{5}) = 2 π \cdot \frac{8}{15} = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

3Cách 3. Tích phân dạng tích

Định hướng. $(- x^{2} + 2 x)^{2} = x^{2} (2 - x)^{2}$ ; dùng $\int_{0}^{2} x^{2} (2 - x)^{2} d x$ khai triển theo $(2 - x)^{2} = 4 - 4 x + x^{2}$ .

x^{2} (4 - 4 x + x^{2}) = 4 x^{2} - 4 x^{3} + x^{4}

\int_{0}^{2} 4 x^{2} d x = \frac{32}{3}

;

\int_{0}^{2} 4 x^{3} d x = 16

;

\int_{0}^{2} x^{4} d x = \frac{32}{5}

V = π (\frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5}) = π \cdot \frac{160 - 240 + 96}{15} = \frac{16 π}{15}

Vậy $V = \frac{16 π}{15}$ .

Nhận xét. Cách 2 cho số gọn nhất nhờ đưa về hàm chẵn trên đoạn đối xứng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi biến đối xứng làm các số rất nhỏ gọn.

Đáp số.

V = \frac{16 π}{15}

Sai lầm thường gặp. Quên bình phương:

π \int_{0}^{2} (- x^{2} + 2 x) d x = \frac{4 π}{3}

— đó là

π

nhân diện tích, không phải thể tích.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: quay miền dưới

y = x (a - x)

trên

[0; a]

quanh

O x

được

V = \frac{π a ^{5}}{30}

(với

a = 2

\frac{32 π}{30} = \frac{16 π}{15}

Mở bài này trong app ↗

Bài 25 · Bài 23★★★Trang 92— Chứng minh đẳng thức tích vô hướng trong không gian

Bài 23 (trang 92). Cho tứ diện

A B C D

, chứng minh rằng:
a)

A B \cdot C D + A C \cdot D B + A D \cdot B C = 0

;
b) Nếu

A B ⊥ C D

và

A C ⊥ B D

thì

A D ⊥ B C

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng hai vectơ chỉ phương bằng $0$ .
Quy tắc hiệu: $C D = A D - A C$ .
Tích vô hướng có tính giao hoán và phân phối.

🧠 Phân tích tư duy

Đưa mọi vectơ về chung gốc

A

: đặt

b = A B

c = A C

d = A D

, rồi khai triển — các số hạng triệt tiêu từng cặp. Ý b là hệ quả trực tiếp của ý a: hai tích vô hướng bằng

0

thì tích thứ ba bằng

0

1Cách 1. Chung gốc

A

Định hướng. Đặt $b = A B$ , $c = A C$ , $d = A D$ .

A B \cdot C D = b \cdot (d - c) = b \cdot d - b \cdot c

A C \cdot D B = c \cdot (b - d) = c \cdot b - c \cdot d

A D \cdot B C = d \cdot (c - b) = d \cdot c - d \cdot b

Tổng

= (b \cdot d - d \cdot b) + (c \cdot b - b \cdot c) + (d \cdot c - c \cdot d) = 0

A B ⊥ C D \Rightarrow A B \cdot C D = 0

;

A C ⊥ B D \Rightarrow A C \cdot D B = 0

Theo a):

A D \cdot B C = 0 - 0 - 0 = 0 \Rightarrow A D ⊥ B C

Vậy đẳng thức a) đúng với mọi tứ diện và kéo theo b).

2Cách 2. Chen điểm bằng quy tắc ba điểm

Định hướng. Viết $A B = A D + D B$ trong số hạng đầu để xuất hiện các vectơ của hai số hạng sau.

A B \cdot C D = (A D + D B) \cdot C D = A D \cdot C D + D B \cdot C D

A C \cdot D B = (A D + D C) \cdot D B = A D \cdot D B + D C \cdot D B

Tổng hai số hạng đầu

= A D \cdot (C D + D B) + D B \cdot (C D + D C) = A D \cdot C B

Cộng

A D \cdot B C

A D \cdot C B + A D \cdot B C = A D \cdot 0 = 0

Vậy đẳng thức a) được chứng minh; ý b) suy ra như Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Chọn hệ trục gốc $A$ : $B (b_{1}; b_{2}; b_{3})$ , $C (c_{1}; c_{2}; c_{3})$ , $D (d_{1}; d_{2}; d_{3})$ ; khi đó $b \cdot c = b_{1} c_{1} + b_{2} c_{2} + b_{3} c_{3}$ …

A B \cdot C D = \sum b_{i} (d_{i} - c_{i})

;

A C \cdot D B = \sum c_{i} (b_{i} - d_{i})

;

A D \cdot B C = \sum d_{i} (c_{i} - b_{i})

Tổng

= \sum (b_{i} d_{i} - b_{i} c_{i} + c_{i} b_{i} - c_{i} d_{i} + d_{i} c_{i} - d_{i} b_{i}) = \sum 0 = 0

Vậy đẳng thức a) đúng; b) là hệ quả.

Nhận xét. Ý b cho kết luận hình học đẹp: tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc thì cặp cạnh đối thứ ba cũng vuông góc (tứ diện trực tâm).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày Cách 1: chung gốc là kĩ thuật chuẩn cho mọi đẳng thức vectơ trong tứ diện.

Đáp số. a) Tổng bằng

0

với mọi tứ diện; b)

A D \cdot B C = 0

nên

A D ⊥ B C

Sai lầm thường gặp. Viết

C D = A C - A D

(sai thứ tự hiệu) làm các số hạng không triệt tiêu; hoặc ở ý b chỉ vẽ hình rồi “thấy” vuông góc mà không chứng minh.

🚀 Mở rộng. Đẳng thức a) đúng cho bốn điểm bất kì trong không gian (kể cả đồng phẳng) — trong mặt phẳng nó cho ta định lí ba đường cao đồng quy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 26 · Bài 24★★★Trang 93— Biểu diễn vectơ và tính độ dài trong hình lập phương

Bài 24 (trang 93). Cho hình lập phương

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có cạnh bằng

a

. Gọi

G

là trọng tâm của tam giác

B C^{'} D^{'}

.
a) Chứng minh rằng

A G = \frac{2}{3} (A B + A D + A A^{'})

.
b) Tính theo

a

độ dài đoạn thẳng

A G

Kiến thức cần nhớ

$G$ là trọng tâm tam giác $M N P$ thì $A G = \frac{1}{3} (A M + A N + A P)$ với mọi điểm $A$ .
Quy tắc hình hộp: $A C^{'} = A B + A D + A A^{'}$ ; đường chéo lập phương cạnh $a$ dài $a 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Trọng tâm tam giác

B C^{'} D^{'}

A G = \frac{1}{3} (A B + A C^{'} + A D^{'})

; mỗi vectơ lại phân tích qua ba cạnh

A B

A D

A A^{'}

. Kết quả

A G = \frac{2}{3} A C^{'}

cho ngay độ dài.

1Cách 1. Quy tắc trọng tâm và quy tắc hình hộp

Định hướng. Phân tích từng vectơ theo ba cạnh xuất phát từ $A$ .

A C^{'} = A B + A D + A A^{'}

;

A D^{'} = A D + A A^{'}

A G = \frac{1}{3} (A B + A C^{'} + A D^{'}) = \frac{1}{3} (2 A B + 2 A D + 2 A A^{'}) = \frac{2}{3} (A B + A D + A A^{'})

A G = \frac{2}{3} A C^{'}

;

A C^{'} = a^{2} + a^{2} + a^{2} = a 3

A G = \frac{2}{3} \cdot a 3 = \frac{2 a 3}{3}

Vậy đẳng thức a) được chứng minh và $A G = \frac{2 a 3}{3}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt $A (0; 0; 0)$ , $B (a; 0; 0)$ , $D (0; a; 0)$ , $A^{'} (0; 0; a)$ .

C^{'} (a; a; a)

;

D^{'} (0; a; a)

;

G (\frac{a + a + 0}{3}; \frac{0 + a + a}{3}; \frac{0 + a + a}{3}) = (\frac{2 a}{3}; \frac{2 a}{3}; \frac{2 a}{3})

A B + A D + A A^{'} = (a; a; a)

;

A G = \frac{2}{3} (a; a; a)

A G = 3 \cdot \frac{4 a ^{2}}{9} = \frac{2 a 3}{3}

Vậy a) đúng; b) $A G = \frac{2 a 3}{3}$ .

3Cách 3. Tích vô hướng cho độ dài

Định hướng. Bình phương vô hướng $A G$ với ba cạnh đôi một vuông góc, cùng độ dài $a$ .

A G^{2} = \frac{4}{9} (A B + A D + A A^{'})^{2} = \frac{4}{9} (A B^{2} + A D^{2} + A A^{'2} + 2 A B \cdot A D + 2 A D \cdot A A^{'} + 2 A A^{'} \cdot A B)

= \frac{4}{9} (a^{2} + a^{2} + a^{2} + 0 + 0 + 0) = \frac{4 a ^{2}}{3}

A G = \frac{2 a}{3} = \frac{2 a 3}{3}

Vậy $A G = \frac{2 a 3}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 dùng được cả cho hình hộp bất kì khi biết độ dài cạnh và các góc giữa chúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trình bày Cách 1 cho ý a và dòng

A G = \frac{2}{3} A C^{'}

cho ý b; Cách 2 là lối kiểm nhanh nhất.

Đáp số. a) Đã chứng minh; b)

A G = \frac{2 a 3}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm trọng tâm tam giác

B C^{'} D^{'}

với trọng tâm tam giác

B D A^{'}

(khi đó hệ số là

\frac{1}{3}

); hoặc tính

A C^{'} = a 2

(đường chéo mặt).

🚀 Mở rộng. Hai tam giác

B D A^{'}

và

C B^{'} D^{'}

chia đường chéo

A C^{'}

thành ba phần bằng nhau; tam giác

B C^{'} D^{'}

không song song với chúng nhưng trọng tâm vẫn nằm trên

A C^{'}

tại vị trí

\frac{2}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 27 · Bài 25★Trang 93— Phương trình đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 25 (trang 93). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

I (- 1; 2; 1)

và mặt phẳng

(P) : 2 x - 2 y - z - 5 = 0

. Viết phương trình đường thẳng

d

đi qua

I

và vuông góc với mặt phẳng

(P)

Kiến thức cần nhớ

$d ⊥ (P)$ thì $u_{d} = n_{P}$ .
Đường thẳng qua $M (x_{0}; y_{0}; z_{0})$ , chỉ phương $(a; b; c)$ : $⎩ ⎨ ⎧ x = x_{0} + a t y = y_{0} + b t z = z_{0} + c t$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nhận pháp tuyến của mặt phẳng làm chỉ phương. Có điểm và chỉ phương là viết được phương trình tham số hoặc chính tắc.

1Cách 1. Phương trình tham số

Định hướng. $u = n_{P} = (2; - 2; - 1)$ .

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = 2 - 2 t z = 1 - t

(t \in R)

Vậy $d : x = - 1 + 2 t$ , $y = 2 - 2 t$ , $z = 1 - t$ .

2Cách 2. Phương trình chính tắc

Định hướng. Các thành phần chỉ phương đều khác $0$ nên viết được dạng chính tắc.

d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}

Vậy $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}$ .

3Cách 3. Qua hình chiếu vuông góc

Định hướng. Tìm hình chiếu $H$ của $I$ trên $(P)$ rồi viết đường thẳng $I H$ .

H (- 1 + 2 t; 2 - 2 t; 1 - t) \in (P)

2 (- 1 + 2 t) - 2 (2 - 2 t) - (1 - t) - 5 = 0 \Leftrightarrow 9 t - 12 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}

H (\frac{5}{3}; - \frac{2}{3}; - \frac{1}{3})

;

I H = (\frac{8}{3}; - \frac{8}{3}; - \frac{4}{3}) = \frac{4}{3} (2; - 2; - 1)

Vậy $d \equiv I H$ có chỉ phương $(2; - 2; - 1)$ , cùng phương trình như Cách 1.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng cho thêm khoảng cách $d (I, (P)) = I H = \frac{4}{3} \cdot 3 = 4$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc 2): lấy thẳng pháp tuyến làm chỉ phương.

Đáp số.

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + 2 t y = 2 - 2 t z = 1 - t

hay

\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 1}{- 1}

Sai lầm thường gặp. Viết sai dấu toạ độ điểm trong dạng chính tắc:

\frac{x - 1}{2}

thay vì

\frac{x + 1}{2}

; hoặc lấy nhầm

(2; - 2; - 5)

(lẫn hệ số tự do) làm chỉ phương.

🚀 Mở rộng. Từ

d

tìm ngay điểm đối xứng của

I

qua

(P)

I^{'} = 2 H - I = (\frac{13}{3}; - \frac{10}{3}; - \frac{5}{3})

Mở bài này trong app ↗

Bài 28 · Bài 26★★Trang 93— Đường thẳng song song; mặt phẳng chứa điểm và đường thẳng

Bài 26 (trang 93). Trong không gian

O x y z

, cho điểm

A (- 1; 1; 2)

và đường thẳng

d : ⎩ ⎨ ⎧ x = 2 + t y = 3 - 2 t z = - 1 + 2 t .

a) Viết phương trình đường thẳng

d^{'}

đi qua

A

và song song với đường thẳng

d

.
b) Viết phương trình mặt phẳng

(P)

chứa điểm

A

và đường thẳng

d

Kiến thức cần nhớ

$d^{'} ∥ d$ thì $u_{d^{'}} = u_{d}$ .
Mặt phẳng chứa hai vectơ không cùng phương $u, v$ có pháp tuyến $[u, v]$ .

🧠 Phân tích tư duy

Song song thì dùng lại chỉ phương

u = (1; - 2; 2)

của

d

(kiểm

A \in / d

). Mặt phẳng chứa

A

và

d

có hai vectơ chỉ phương

u

và

A M

với

M (2; 3; - 1) \in d

, pháp tuyến là tích có hướng.

1Cách 1. Tích có hướng

Định hướng. Lấy $M (2; 3; - 1) \in d$ ; kiểm $A \in / d$ .

A \in d \Leftrightarrow - 1 = 2 + t, 1 = 3 - 2 t

cho

t = - 3

và

t = 1

(vô lí) nên

A \in / d

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 1 - 2 t z = 2 + 2 t

A M = (3; 2; - 3)

;

u = (1; - 2; 2)

n = [A M, u] = (2 \cdot 2 - (- 3) \cdot (- 2); (- 3) \cdot 1 - 3 \cdot 2; 3 \cdot (- 2) - 2 \cdot 1) = (- 2; - 9; - 8)

(P) : 2 (x + 1) + 9 (y - 1) + 8 (z - 2) = 0 \Leftrightarrow 2 x + 9 y + 8 z - 23 = 0

Vậy a) $d^{'} : x = - 1 + t$ , $y = 1 - 2 t$ , $z = 2 + 2 t$ ; b) $(P) : 2 x + 9 y + 8 z - 23 = 0$ .

2Cách 2. Hệ số bất định cho mặt phẳng

Định hướng. $(P) : a x + b y + cz + e = 0$ chứa $d$ nên $n ⊥ u$ và chứa $M$ , $A$ .

a - 2 b + 2 c = 0

A

- a + b + 2 c + e = 0

;

M

2 a + 3 b - c + e = 0

Trừ hai phương trình:

3 a + 2 b - 3 c = 0

Chọn

a = 2

2 - 2 b + 2 c = 0

và

6 + 2 b - 3 c = 0

cho

c = 8

b = 9

;

e = - 23

Vậy $(P) : 2 x + 9 y + 8 z - 23 = 0$ (ý a như Cách 1).

3Cách 3. Chứa hai điểm của

d

Định hướng. Lấy thêm $N (3; 1; 1) \in d$ (ứng với $t = 1$ ); $(P)$ qua ba điểm $A$ , $M$ , $N$ .

A M = (3; 2; - 3)

;

A N = (4; 0; - 1)

[A M, A N] = (2 \cdot (- 1) - (- 3) \cdot 0; (- 3) \cdot 4 - 3 \cdot (- 1); 3 \cdot 0 - 2 \cdot 4) = (- 2; - 9; - 8)

Kiểm

N

2 \cdot 3 + 9 \cdot 1 + 8 \cdot 1 - 23 = 0

Vậy $(P) : 2 x + 9 y + 8 z - 23 = 0$ .

Nhận xét. Luôn kiểm lại bằng cách thay $A$ và một điểm của $d$ vào phương trình mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một tích có hướng, rồi thay điểm kiểm tra.

Đáp số. a)

d^{'} : ⎩ ⎨ ⎧ x = - 1 + t y = 1 - 2 t z = 2 + 2 t

; b)

(P) : 2 x + 9 y + 8 z - 23 = 0

Sai lầm thường gặp. Lấy

u

làm pháp tuyến của

(P)

(đó là mặt phẳng vuông góc với

d

chứ không chứa

d

); tính tích có hướng sai dấu thành phần giữa.

🚀 Mở rộng. Khoảng cách từ

A

đến

d

bằng

\frac{∣ [ A M , u ] ∣}{∣ u ∣} = \frac{4 + 81 + 64}{3} = \frac{149}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 29 · Bài 27★★★Trang 93— Mặt phẳng qua gốc; trung điểm; cực trị độ dài vectơ

Bài 27 (trang 93). Trong không gian

O x y z

, cho hai điểm

A (1; - 2; 3)

B (3; 0; - 1)

.
a) Viết phương trình mặt phẳng

(O A B)

.
b) Tìm toạ độ trung điểm

I

của đoạn thẳng

A B

.
c) Tìm điểm

M

thuộc mặt phẳng

(O x y)

sao cho

M A + M B

nhỏ nhất.

Kiến thức cần nhớ

$M A + M B = 2 M I$ với $I$ trung điểm $A B$ .
Hình chiếu của $(x; y; z)$ lên $(O x y)$ là $(x; y; 0)$ ; khoảng cách từ đó tới $(O x y)$ là $∣ z ∣$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mặt phẳng qua

O

có pháp tuyến

[O A, O B]

. Ý c:

M A + M B = 2 M I

nên chỉ cần

M I

nhỏ nhất với

M \in (O x y)

—

M

là hình chiếu của

I

lên

(O x y)

1Cách 1. Trung điểm và hình chiếu

Định hướng. Pháp tuyến bằng tích có hướng; ý c đưa về khoảng cách.

[O A, O B] = ((- 2) (- 1) - 3 \cdot 0; 3 \cdot 3 - 1 \cdot (- 1); 1 \cdot 0 - (- 2) \cdot 3) = (2; 10; 6)

(O A B) : x + 5 y + 3 z = 0

I (\frac{1 + 3}{2}; \frac{- 2 + 0}{2}; \frac{3 - 1}{2}) = (2; - 1; 1)

M A + M B = 2 M I \geq 2 d (I, (O x y)) = 2 \cdot 1 = 2

Dấu bằng khi

M

là hình chiếu của

I

M (2; - 1; 0)

Vậy a) $x + 5 y + 3 z = 0$ ; b) $I (2; - 1; 1)$ ; c) $M (2; - 1; 0)$ , giá trị nhỏ nhất bằng $2$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá ý c

Định hướng. Đặt $M (x; y; 0)$ và tính trực tiếp.

M A + M B = (4 - 2 x; - 2 - 2 y; 2)

M A + M B^{2} = (4 - 2 x)^{2} + (2 + 2 y)^{2} + 4 \geq 4

Dấu bằng khi

x = 2

y = - 1

Vậy $M (2; - 1; 0)$ , giá trị nhỏ nhất $2$ (a, b như Cách 1).

3Cách 3. Mặt phẳng qua gốc bằng hệ số bất định

Định hướng. $(O A B) : a x + b y + cz = 0$ (qua $O$ nên hệ số tự do bằng $0$ ).

A

a - 2 b + 3 c = 0

;

B

3 a - c = 0 \Rightarrow c = 3 a

a - 2 b + 9 a = 0 \Rightarrow b = 5 a

Chọn

a = 1

(O A B) : x + 5 y + 3 z = 0

Vậy a) $x + 5 y + 3 z = 0$ ; b), c) như Cách 1.

Nhận xét. Ý c minh hoạ kĩ thuật “thu gọn tổng vectơ về một vectơ” trước khi tìm cực trị.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi: ý a dùng tích có hướng, ý c dùng Cách 1 (trung điểm + hình chiếu) — không cần tính toán.

Đáp số. a)

(O A B) : x + 5 y + 3 z = 0

; b)

I (2; - 1; 1)

; c)

M (2; - 1; 0)

(khi đó

M A + M B = 2

Sai lầm thường gặp. Ý c tìm hình chiếu của

A

hoặc

B

thay vì của trung điểm

I

; hoặc quên hệ số

2

khi kết luận giá trị nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Với

M A + 2 M B

thì thay

I

bằng điểm

J

thoả

J A + 2 J B = 0

, tức

J = \frac{A + 2 B}{3} = (\frac{7}{3}; - \frac{2}{3}; \frac{1}{3})

Mở bài này trong app ↗

Bài 30 · Bài 28★★★Trang 93— Ứng dụng: bóng của đoạn thẳng — giao đường thẳng với mặt phẳng

Bài 28 (trang 93). Trong không gian

O x y z

, có một nguồn sáng phát ra từ điểm

S (2; 3; 5)

và một đoạn dây thẳng nối từ điểm

A (1; 2; 1)

đến điểm

B (3; 1; 2)

. Dưới nguồn sáng, đoạn dây trên có bóng trên mặt phẳng

(x O y)

là một đoạn thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng đó.

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng qua $S$ và $A$ : $M = S + t S A$ .
Điểm thuộc $(x O y)$ có cao độ $z = 0$ .
$A B = (x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2} + (z_{B} - z_{A})^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bóng của

A

là giao điểm của tia

S A

với mặt phẳng

(x O y)

(

z = 0

); tương tự với

B

. Bóng của đoạn

A B

là đoạn

A^{'} B^{'}

(phép chiếu xuyên tâm biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng).

1Cách 1. Tham số hoá tia sáng

Định hướng. Viết $S A$ , $S B$ dạng tham số, cho $z = 0$ .

S A = (- 1; - 1; - 4)

;

S A : (2 - t; 3 - t; 5 - 4 t)

;

5 - 4 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{4}

A^{'} (\frac{3}{4}; \frac{7}{4}; 0)

S B = (1; - 2; - 3)

;

S B : (2 + t; 3 - 2 t; 5 - 3 t)

;

5 - 3 t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{5}{3}

B^{'} (\frac{11}{3}; - \frac{1}{3}; 0)

A^{'} B^{'} = (\frac{11}{3} - \frac{3}{4})^{2} + (- \frac{1}{3} - \frac{7}{4})^{2} = (\frac{35}{12})^{2} + (\frac{25}{12})^{2} = \frac{1 850}{12} = \frac{5 74}{12}

Vậy độ dài bóng là $\frac{5 74}{12} \approx 3, 58$ (đơn vị dài).

2Cách 2. Tỉ số độ cao (Ta-lét)

Định hướng. Chiếu từ $S$ có cao độ $5$ : điểm có cao độ $z$ có bóng $P^{'} = S + \frac{5}{5 - z} (P - S)$ .

A

z = 1

, hệ số

\frac{5}{4}

A^{'} = (2; 3; 5) + \frac{5}{4} (- 1; - 1; - 4) = (\frac{3}{4}; \frac{7}{4}; 0)

B

z = 2

, hệ số

\frac{5}{3}

B^{'} = (2; 3; 5) + \frac{5}{3} (1; - 2; - 3) = (\frac{11}{3}; - \frac{1}{3}; 0)

A^{'} B^{'} = (\frac{35}{12}; - \frac{25}{12}; 0) = \frac{5}{12} (7; - 5; 0)

;

A^{'} B^{'} = \frac{5}{12} 49 + 25 = \frac{5 74}{12}

Vậy $A^{'} B^{'} = \frac{5 74}{12}$ .

3Cách 3. Phương trình chính tắc của tia sáng

Định hướng. Viết $S A : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 3}{- 1} = \frac{z - 5}{- 4}$ rồi thay $z = 0$ .

S A

\frac{0 - 5}{- 4} = \frac{5}{4}

nên

x = 2 - \frac{5}{4} = \frac{3}{4}

y = 3 - \frac{5}{4} = \frac{7}{4}

S B : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 5}{- 3}

\frac{0 - 5}{- 3} = \frac{5}{3}

nên

x = \frac{11}{3}

y = 3 - \frac{10}{3} = - \frac{1}{3}

A^{'} B^{'} = \frac{5 74}{12}

Vậy $A^{'} B^{'} = \frac{5 74}{12} \approx 3, 58$ .

Nhận xét. Bóng dài hơn dây ( $A B = 6 \approx 2, 45$ ) vì dây ở gần nguồn sáng hơn mặt phẳng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: nhìn tỉ số độ cao là ra ngay toạ độ bóng.

Đáp số.

A^{'} B^{'} = \frac{5 74}{12} \approx 3, 58

Sai lầm thường gặp. Chiếu vuông góc xuống

(x O y)

(lấy

(1; 2; 0)

và

(3; 1; 0)

, được

5

) — sai vì nguồn sáng là một điểm, tia sáng đi qua

S

🚀 Mở rộng. Nếu nguồn sáng ở rất xa theo phương

(0; 0; - 1)

(ánh sáng song song thẳng đứng) thì bóng đúng là hình chiếu vuông góc, dài

5

Mở bài này trong app ↗

Bài 31 · Bài 29★★Trang 93— Khoảng tứ phân vị của mẫu ghép nhóm

Bài 29 (trang 93). Thu nhập của người lao động trong một công ty được cho trong bảng sau:

Mức thu nhập (triệu đồng)	$[8; 10)$	$[10; 12)$	$[12; 14)$	$[14; 16)$	$[16; 18)$
Số người	$2$	$60$	$90$	$50$	$1$

Tính khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu này.

Kiến thức cần nhớ

$Q = a_{p} + \frac{\frac{k n}{4} - c f _{p - 1}}{n _{p}} \cdot (a_{p + 1} - a_{p})$ với nhóm $[a_{p}; a_{p + 1})$ chứa tứ phân vị.
Khoảng tứ phân vị $Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cỡ mẫu

n = 203

;

Q_{1}

ở vị trí

\frac{n}{4} = 50, 75

Q_{3}

ở vị trí

\frac{3 n}{4} = 152, 25

. Lập tần số tích luỹ để xác định nhóm chứa. Bẫy:

Q_{3}

rơi vào nhóm

[14; 16)

chỉ vừa vượt mốc

152

— dễ chọn nhầm nhóm

[12; 14)

1Cách 1. Công thức nội suy

Định hướng. Tần số tích luỹ: $2; 62; 152; 202; 203$ .

n = 2 + 60 + 90 + 50 + 1 = 203

\frac{n}{4} = 50, 75

thuộc nhóm

[10; 12)

(

c f

= 2

Q_{1} = 10 + \frac{50 , 75 - 2}{60} \cdot 2 = 10 + 1, 625 = 11, 625

\frac{3 n}{4} = 152, 25

thuộc nhóm

[14; 16)

(

c f

= 152

Q_{3} = 14 + \frac{152 , 25 - 152}{50} \cdot 2 = 14 + 0, 01 = 14, 01

Δ_{Q} = 14, 01 - 11, 625 = 2, 385

Vậy khoảng tứ phân vị là $2, 385$ (triệu đồng).

2Cách 2. Nội suy tuyến tính trên đường tần số tích luỹ

Định hướng. Trên mỗi nhóm, tần số tích luỹ tăng đều theo $x$ ; tìm $x$ ứng với $c f = 50, 75$ và $c f = 152, 25$ .

Trên

[10; 12)

c f (x) = 2 + 30 (x - 10)

;

2 + 30 (x - 10) = 50, 75 \Leftrightarrow x = 11, 625

Trên

[14; 16)

c f (x) = 152 + 25 (x - 14)

;

152 + 25 (x - 14) = 152, 25 \Leftrightarrow x = 14, 01

Q_{3} - Q_{1} = 2, 385

Vậy $Δ_{Q} = 2, 385$ triệu đồng.

3Cách 3. Tính theo phần bù từ phía trên

Định hướng. $Q_{3}$ cũng là mốc mà phía trên còn $n - \frac{3 n}{4} = 50, 75$ người; đếm ngược từ đầu mút $18$ .

Nhóm

[16; 18)

có

1

người, nhóm

[14; 16)

có

50

: cần thêm

50, 75 - 1 = 49, 75

người trong nhóm

[14; 16)

Q_{3} = 16 - \frac{49 , 75}{50} \cdot 2 = 16 - 1, 99 = 14, 01

Q_{1} = 11, 625

(như Cách 1);

Δ_{Q} = 2, 385

Vậy $Δ_{Q} = 2, 385$ triệu đồng.

Nhận xét. Hai cách đếm xuôi và ngược cho cùng $Q_{3}$ — một phép kiểm tra rất nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, lập bảng tần số tích luỹ trước để chọn đúng nhóm.

Đáp số.

Δ_{Q} = Q_{3} - Q_{1} = 14, 01 - 11, 625 = 2, 385

(triệu đồng)

Sai lầm thường gặp. Chọn nhóm

[12; 14)

cho

Q_{3}

vì

152, 25 \approx 152

(được

Q_{3} \approx 14, 0

theo công thức sai); hoặc dùng vị trí

\frac{n + 1}{4}

của mẫu không ghép nhóm.

🚀 Mở rộng. Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi hai giá trị ngoại lệ ở hai nhóm đầu, cuối (chỉ

2

và

1

người) — khác với khoảng biến thiên

18 - 8 = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 32 · Bài 30★★★Trang 93— Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 30 (trang 93). Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 8 con gà trống và 13 con gà mái. Chuồng II có 10 con gà trống và 6 con gà mái. An bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng II đem thả vào chuồng I. Sau đó, Bình bắt ngẫu nhiên một con gà từ chuồng I.
Giả sử Bình bắt được con gà mái. Tính xác suất để Bình bắt được con gà mái của chuồng I.

Kiến thức cần nhớ

Công thức xác suất toàn phần: $P (M) = P (T) P (M ∣ T) + P (\overline{T}) P (M ∣ \overline{T})$ .
Công thức Bayes / xác suất có điều kiện: $P (E ∣ M) = \frac{P ( E M )}{P ( M )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Sau khi An thả gà, chuồng I có

22

con. Biến cố cần tính là “con gà Bình bắt là gà mái vốn của chuồng I” với điều kiện “Bình bắt được gà mái”. Xác suất bắt đúng một con gà mái gốc của chuồng I không phụ thuộc An thả con gì: luôn là

\frac{13}{22}

. Bẫy: nhầm “gà mái của chuồng I” thành “gà mái đang ở chuồng I”.

1Cách 1. Xác suất toàn phần rồi điều kiện

Định hướng. Gọi $F$ : “An thả gà mái”, $M$ : “Bình bắt gà mái”, $E$ : “Bình bắt gà mái gốc chuồng I” ( $E \subset M$ ).

P (F) = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

;

P (M ∣ F) = \frac{14}{22}

;

P (M ∣ \overline{F}) = \frac{13}{22}

P (M) = \frac{3}{8} \cdot \frac{14}{22} + \frac{5}{8} \cdot \frac{13}{22} = \frac{42 + 65}{176} = \frac{107}{176}

P (E) = \frac{13}{22} = \frac{104}{176}

P (E ∣ M) = \frac{P ( E )}{P ( M )} = \frac{104}{107}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{104}{107} \approx 0, 972$ .

2Cách 2. Công thức Bayes theo con gà được thả

Định hướng. Nếu An thả gà trống thì mọi gà mái ở chuồng I đều là gà gốc; nếu thả gà mái thì $13$ trên $14$ con là gà gốc.

P (F ∣ M) = \frac{\frac{3}{8} \cdot \frac{14}{22}}{\frac{107}{176}} = \frac{42}{107}

;

P (\overline{F} ∣ M) = \frac{65}{107}

P (E ∣ M) = P (\overline{F} ∣ M) \cdot 1 + P (F ∣ M) \cdot \frac{13}{14} = \frac{65}{107} + \frac{42}{107} \cdot \frac{13}{14} = \frac{65 + 39}{107} = \frac{104}{107}

Vậy $P = \frac{104}{107}$ .

3Cách 3. Đếm trên các kết quả đồng khả năng

Định hướng. Mỗi kết quả là cặp (con An bắt; con Bình bắt): $16 \cdot 22 = 352$ cặp đồng khả năng.

Bình bắt gà mái:

6 \cdot 14 + 10 \cdot 13 = 84 + 130 = 214

cặp
Bình bắt gà mái gốc chuồng I:

16 \cdot 13 = 208

cặp

P = \frac{208}{214} = \frac{104}{107}

Vậy $P = \frac{104}{107}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ: xác suất nhỏ hơn $1$ chỉ vì có $6$ trường hợp Bình bắt đúng con gà mái vừa được An thả vào.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: đếm cặp, không cần nhớ công thức; Cách 1 là cách trình bày theo đúng bài học.

Đáp số.

\frac{104}{107} \approx 0, 972

Sai lầm thường gặp. Hiểu “gà mái của chuồng I” là gà mái đang ở chuồng I sau khi thả, dẫn đến xác suất bằng

1

; hoặc quên rằng chuồng I có

22

con (dùng

21

🚀 Mở rộng. Cùng số liệu, xác suất An đã thả một con gà mái khi biết Bình bắt được gà mái là

P (F ∣ M) = \frac{42}{107}

Mở bài này trong app ↗

Bài 33 · Bài 31★★Trang 93— Công thức Bayes

Bài 31 (trang 93). Trong một tuần, Sơn chọn ngẫu nhiên ba ngày chạy bộ buổi sáng. Nếu chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là

0, 7

. Nếu không chạy bộ thì xác suất Sơn ăn thêm một quả trứng vào bữa sáng hôm đó là

0, 25

. Chọn ngẫu nhiên một ngày trong tuần của Sơn. Tính xác suất để hôm đó Sơn chạy bộ nếu biết rằng bữa sáng hôm đó Sơn có ăn thêm một quả trứng.

Kiến thức cần nhớ

Công thức Bayes: $P (R ∣ E) = \frac{P ( R ) P ( E ∣ R )}{P ( R ) P ( E ∣ R ) + P ( R ) P ( E ∣ R )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Chọn ngẫu nhiên một ngày trong

7

ngày:

P (R) = \frac{3}{7}

. Cho xác suất ăn trứng theo từng trường hợp, hỏi ngược “chạy bộ khi biết có ăn trứng” — dạng Bayes điển hình.

1Cách 1. Công thức Bayes

Định hướng. $R$ : “hôm đó chạy bộ”, $E$ : “hôm đó ăn thêm trứng”.

P (R) = \frac{3}{7}

;

P (\overline{R}) = \frac{4}{7}

P (E) = \frac{3}{7} \cdot 0, 7 + \frac{4}{7} \cdot 0, 25 = \frac{2 , 1 + 1}{7} = \frac{3 , 1}{7}

P (R ∣ E) = \frac{\frac{2 , 1}{7}}{\frac{3 , 1}{7}} = \frac{21}{31}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{21}{31} \approx 0, 677$ .

2Cách 2. Tần số trên nhiều tuần

Định hướng. Xét $100$ tuần = $700$ ngày: $300$ ngày chạy, $400$ ngày không chạy.

Ngày chạy có trứng:

300 \cdot 0, 7 = 210

Ngày không chạy có trứng:

400 \cdot 0, 25 = 100

P (R ∣ E) = \frac{210}{210 + 100} = \frac{21}{31}

Vậy $P = \frac{21}{31}$ .

3Cách 3. Sơ đồ cây và tỉ lệ nhánh

Định hướng. Hai nhánh dẫn tới “có trứng” có trọng số $3 \cdot 0, 7 = 2, 1$ và $4 \cdot 0, 25 = 1$ (bỏ chung mẫu $7$ ).

Tỉ lệ nhánh chạy bộ : không chạy bộ

= 2, 1 : 1 = 21 : 10

P (R ∣ E) = \frac{21}{21 + 10} = \frac{21}{31}

Vậy $P = \frac{21}{31}$ .

Nhận xét. Cách 3 là cách nhẩm nhanh của công thức Bayes: chỉ cần tỉ lệ trọng số các nhánh dẫn tới kết quả đã biết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đổi ra số ngày cụ thể, không lo nhầm công thức.

Đáp số.

P (R ∣ E) = \frac{21}{31} \approx 0, 677

Sai lầm thường gặp. Lấy

0, 7

làm đáp số (nhầm

P (E ∣ R)

với

P (R ∣ E)

); hoặc cho

P (R) = \frac{1}{2}

vì “chạy hoặc không chạy”.

🚀 Mở rộng. Nếu Sơn chạy bộ

5

ngày một tuần thì

P (R ∣ E) = \frac{5 \cdot 0 , 7}{5 \cdot 0 , 7 + 2 \cdot 0 , 25} = \frac{3 , 5}{4} = \frac{7}{8}

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcHoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 12