Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra

SGK Toán 12 — Kết nối tri thức, tập 2 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán12 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập2 #trang86–89 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · Tam giác Penrose – dựng ba lăng trụ★★Trang 86— Dựng hình hộp chữ nhật trong không gian

O x y z

bằng GeoGebra

O x z

).
• DaGiac((0, 9, 0), (0, 10, 0), 4, TrucZ): Hình vuông có toạ độ 2 đỉnh là (0, 9, 0), (0, 10, 0) và nằm trong mặt phẳng (

O x y

).
• DaGiac((−1, 0, 0), (−1, 1, 0), 4, TrucHoanh): Hình vuông có toạ độ 2 đỉnh là (−1, 0, 0), (−1, 1, 0) và nằm trong mặt phẳng (

O y z

).
• HìnhLăngTrụ(TenDaGiac1, 9): Hình lăng trụ có đáy là TenDagiac1 và chiều cao bằng 9 nằm ở phần dương của trục

O y

.
• HìnhLăngTrụ(TenDaGiac2, 9): Hình lăng trụ có đáy là TenDagiac2 và chiều cao bằng 9 nằm ở phần dương của trục

O z

.
• HìnhLăngTrụ(TenDaGiac3, −9): Hình lăng trụ có đáy là TenDagiac3 và chiều cao bằng 9 nằm ở phần âm của trục

O x

.
• DaGiac((0, 9, 0), (0, 10, 0), (0, 10, 9), (0, 9, 8)): Đa giác có toạ độ 4 đỉnh là (0, 9, 0), (0, 10, 0), (0, 10, 9), (0, 9, 8).
Lời giải dưới đây dành cho Bước 1, 2: dựng ba hình lăng trụ và đa giác q1.

Kiến thức cần nhớ

Mặt phẳng $(O x y)$ : $z = 0$ ; mặt phẳng $(O y z)$ : $x = 0$ ; mặt phẳng $(O x z)$ : $y = 0$ . Mặt phẳng $x = - 1$ song song với $(O y z)$ .
Hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục: ${(x; y; z) ∣ x_{1} \leq x \leq x_{2}, y_{1} \leq y \leq y_{2}, z_{1} \leq z \leq z_{2}}$ , thể tích $V = (x_{2} - x_{1}) (y_{2} - y_{1}) (z_{2} - z_{1})$ .
Tịnh tiến điểm $M$ theo vectơ $a$ : $M^{'} = M + a$ ; đỉnh trên của lăng trụ đứng = đỉnh đáy $+ h \cdot n$ với $n$ là vectơ đơn vị vuông góc với đáy.
Lệnh GeoGebra: DaGiac (Polygon), HìnhLăngTrụ (Prism), Tịnh tiến (Translate), Xoay (Rotate); GeoGebra nhận cả tên lệnh tiếng Anh khi đang dùng giao diện tiếng Việt.

🧠 Phân tích tư duy

Lệnh DaGiac(A, B, 4, trục) dựng hình vuông cạnh

A B

trong mặt phẳng vuông góc với trục đã chọn, còn HìnhLăngTrụ(đáy,

h

) đẩy đáy đi một đoạn

h

theo phương vuông góc với đáy. Vì vậy trước khi gõ lệnh nên tính sẵn toạ độ 8 đỉnh của mỗi khối để đối chiếu với khung Hiển thị danh sách đối tượng. Bẫy: chiều cao

- 9

của lăng trụ thứ ba (khối nằm về phía

O x

âm) và hình vuông thứ ba nằm trong mặt phẳng

x = - 1

chứ không phải chính mặt phẳng

(O y z)

1Cách 1. Gõ đúng bảng lệnh của SGK và đối chiếu toạ độ

Định hướng. Thực hiện hai bước đầu như sách; với mỗi lệnh, tính trước đối tượng GeoGebra sẽ sinh ra để kiểm tra khung danh sách.

DaGiac((0,0,0),(−1,0,0),4,TrucTung)

\to

TenDaGiac1:

(0; 0; 0), (- 1; 0; 0), (- 1; 0; 1), (0; 0; 1)

trong mặt phẳng

y = 0

DaGiac((0,9,0),(0,10,0),4,TrucZ)

\to

TenDaGiac2:

(0; 9; 0), (0; 10; 0), (- 1; 10; 0), (- 1; 9; 0)

trong mặt phẳng

z = 0

DaGiac((−1,0,0),(−1,1,0),4,TrucHoanh)

\to

TenDaGiac3:

(- 1; 0; 0), (- 1; 1; 0), (- 1; 1; 1), (- 1; 0; 1)

trong mặt phẳng

x = - 1

HìnhLăngTrụ(TenDaGiac1, 9)

\to

a

- 1 \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq 9, 0 \leq z \leq 1

;

a = 1 \cdot 1 \cdot 9 = 9

HìnhLăngTrụ(TenDaGiac2, 9)

\to

b

- 1 \leq x \leq 0, 9 \leq y \leq 10, 0 \leq z \leq 9

;

b = 1 \cdot 1 \cdot 9 = 9

HìnhLăngTrụ(TenDaGiac3, −9)

\to

c

- 10 \leq x \leq - 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

;

c = 1 \cdot 1 \cdot 9 = 9

DaGiac((0,9,0),(0,10,0),(0,10,9),(0,9,8))

\to

q_{1}

là hình thang trong mặt phẳng

x = 0

f = 1, g = 9, h = 1^{2} + 1^{2} = 2 \approx 1, 41, i = 8

q_{1} = \frac{( 8 + 9 ) \cdot 1}{2} = 8, 5

Vậy GeoGebra hiện ba lăng trụ $a = b = c = 9$ (thể tích), tứ giác $q_{1} = 8, 5$ (diện tích) và bốn đoạn thẳng $f = 1$ , $g = 9$ , $h \approx 1, 41$ , $i = 8$ — đúng như khung danh sách đối tượng trong SGK.

2Cách 2. Dựng lăng trụ trực tiếp từ toạ độ các đỉnh

Định hướng. Không cần dựng hình vuông trước: lệnh HìnhLăngTrụ nhận 4 đỉnh đáy và đỉnh trên ứng với đỉnh đáy thứ nhất; đỉnh trên tính bằng phép tịnh tiến theo $9 j$ , $9 k$ , $- 9 i$ .

(0; 0; 0) + 9 (0; 1; 0) = (0; 9; 0)

HìnhLăngTrụ((0,0,0),(−1,0,0),(−1,0,1),(0,0,1),(0,9,0))

\to

lăng trụ

a

(0; 9; 0) + 9 (0; 0; 1) = (0; 9; 9)

HìnhLăngTrụ((0,9,0),(0,10,0),(−1,10,0),(−1,9,0),(0,9,9))

\to

lăng trụ

b

(- 1; 0; 0) - 9 (1; 0; 0) = (- 10; 0; 0)

HìnhLăngTrụ((−1,0,0),(−1,1,0),(−1,1,1),(−1,0,1),(−10,0,0))

\to

lăng trụ

c

DaGiac((0,9,0),(0,10,0),(0,10,9),(0,9,8))

\to

q_{1} = 8, 5

Vậy thu được đúng ba hình hộp $1 \times 1 \times 9$ như Cách 1, chỉ với 4 lệnh.

3Cách 3. Dựng một khối rồi quay – tịnh tiến ra hai khối còn lại

Định hướng. Ba cạnh của tam giác Penrose là cùng một hình hộp $1 \times 1 \times 9$ đặt theo ba phương đôi một vuông góc, nên chỉ cần dựng lăng trụ $a$ rồi dùng phép quay $9 0^{\circ}$ và phép tịnh tiến.

a

- 1 \leq x \leq 0, 0 \leq y \leq 9, 0 \leq z \leq 1

Quay

9 0^{\circ}

quanh

O x

(x; y; z) \mapsto (x; - z; y)

\Rightarrow

- 1 \leq x \leq 0, - 1 \leq y \leq 0, 0 \leq z \leq 9

Tịnh tiến theo

(0; 10; 0)

\Rightarrow

- 1 \leq x \leq 0, 9 \leq y \leq 10, 0 \leq z \leq 9

= b

Quay

9 0^{\circ}

quanh

O z

(x; y; z) \mapsto (- y; x; z)

\Rightarrow

- 9 \leq x \leq 0, - 1 \leq y \leq 0, 0 \leq z \leq 1

Tịnh tiến theo

(- 1; 1; 0)

\Rightarrow

- 10 \leq x \leq - 1, 0 \leq y \leq 1, 0 \leq z \leq 1

= c

GeoGebra: b = Tịnh tiến(Xoay(a, 90°, TrucHoanh), Vector((0,10,0)));

c = Tịnh tiến(Xoay(a, 90°, TrucZ), Vector((−1,1,0)))

Vậy ba khối $a$ , $b$ , $c$ trùng khớp với ba lăng trụ của SGK.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy rõ bản chất “ba hình hộp cùng kích thước đôi một vuông góc” của tam giác Penrose. Lưu ý sách ghi hình vuông thứ ba “nằm trong mặt phẳng $(O y z)$ ” — chính xác là nằm trong mặt phẳng $x = - 1$ , song song với $(O y z)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Làm trên máy nên dùng Cách 2: mỗi khối một lệnh, toạ độ đỉnh tính trước nên không phải đoán chiều quay của hình vuông; Cách 3 dùng khi muốn hiểu vì sao ba cạnh của tam giác Penrose giống hệt nhau.

Đáp số. Lăng trụ

a

[- 1; 0] \times [0; 9] \times [0; 1]

;

b

[- 1; 0] \times [9; 10] \times [0; 9]

;

c

[- 10; - 1] \times [0; 1] \times [0; 1]

; mỗi khối có thể tích

9

; tứ giác

q_{1}

có diện tích

8, 5

Sai lầm thường gặp. Gõ HìnhLăngTrụ(TenDaGiac3, 9) thay vì

- 9

: khối

c

chạy về phía

O x

dương, đè lên khối

a

và không còn tạo được tam giác. Nghĩ hình vuông TenDaGiac1 nằm ở

z \leq 0

(quay sai chiều): khi đó các khối không ghép sát nhau và mặt

q_{1}

bị lệch. Đọc

h = 1.41

trong danh sách là số nguyên hay số “1,41 chính xác” — thật ra

h = 2

🚀 Mở rộng. Đổi chiều dài mỗi thanh từ

9

thành số dương

n

bất kì (dịch các toạ độ cho khớp) thì với hướng nhìn

(- 1; - 1; - 1)

ta vẫn được tam giác Penrose, vì đầu tự do của thanh

c

và góc trên của thanh

b

luôn chênh nhau vectơ

n (1; 1; 1)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Tam giác Penrose – tô màu, chọn góc nhìn★★★Trang 87— Phép chiếu song song trong không gian — chọn hướng nhìn

1. VẼ TAM GIÁC PENROSE (trang 85–88). Hình ảnh “Tam giác Penrose” thể hiện một mô hình trong không gian mà có thể nhìn nó như được ghép từ ba hình hộp chữ nhật cùng kích thước (ứng với ba cạnh) đôi một vuông góc với nhau. Đó cũng là một mô hình không thể thực hiện được trong thực tế.
Trong hoạt động trải nghiệm này, em hãy theo hướng dẫn sau, để vẽ tam giác Penrose bằng cách dựng các hình hộp chữ nhật và lựa chọn một góc nhìn thích hợp.
Chú ý. Sử dụng giao diện GeoGebra bằng Tiếng Việt: Vào mục Thiết lập, chọn Ngôn ngữ, chọn Tiếng Việt. Các hướng dẫn được đưa ra trong bài học này ứng với phiên bản GeoGebra Classic.
– Bước 3. Di chuyển con trỏ vào khoảng trắng trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, sau đó nháy chuột phải, lựa chọn mục Các đối tượng phụ.
– Bước 4. Di chuyển con trỏ vào mục Hình đa giác trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, sau đó nháy chuột phải và lựa chọn mục Hiển thị đối tượng để ẩn 3 hình vuông đã dựng.
Làm tương tự Bước 4 cho đối tượng Đoạn thẳng và đối tượng Hình tứ giác để ẩn tất cả các đoạn thẳng và tứ giác.
– Bước 5. Trong khung Hiển thị danh sách đối tượng, di chuyển con trỏ đến ô tròn màu trắng của mục Mat4, sau đó nháy chuột để hiển thị Mat4.
Tiếp tục nháy chuột chọn Mat4, di chuyển con trỏ đến biểu tượng Thiết lập màu và sự trong suốt để tô màu cho tứ giác (ở đây ta tô màu đỏ và kéo thanh trượt để ở độ đậm lớn nhất).
Làm tương tự Bước 5 cho các đối tượng: Mat12 (ở đây ta tô màu đỏ); Mat7, Mat11 (ở đây ta tô hai mặt này màu xanh da trời); Mat2, q1 (ở đây ta tô hai mặt này màu xanh lá cây).
– Bước 6. Di chuyển con trỏ vào khoảng trắng trong khung Vùng làm việc, chọn công cụ [OK] để chèn nút tạo góc nhìn thích hợp.
Sau đó nháy chuột vào khoảng trắng trong khung Vùng làm việc, cửa sổ mới được bật ra, điền tên tiêu đề, chẳng hạn “TamgiacPenrose” và GeoGebra Scrip, chẳng hạn “setview diretion [(−1, −1, −1)]”.
Sau khi tạo nút xong, nháy chuột vào nút Tam giác Penrose vừa tạo sẽ thu được hình vẽ.
Lời giải dưới đây dành cho Bước 3 – 6: ẩn đối tượng phụ, tô màu và chọn góc nhìn.

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song theo phương $d$ : $M$ và $N$ có cùng ảnh $\Leftrightarrow$ $M N$ cùng phương với $d$ .
Mặt phẳng có pháp tuyến ngoài $n$ nhìn thấy được theo hướng mắt $e$ khi $n \cdot e > 0$ .
Chiếu vuông góc lên mặt phẳng vuông góc với $(1; 1; 1)$ (phép chiếu đẳng cự): ba vectơ $i, j, k$ có ảnh dài bằng nhau $\frac{2}{3}$ và đôi một tạo góc $12 0^{\circ}$ .
GeoGebra: lệnh SetViewDirection((−1, −1, −1)) (tên tiếng Việt: Đặt hướng nhìn) đặt hướng nhìn của Vùng làm việc 3D; nút bấm được tạo bằng công cụ Chèn nút.

🧠 Phân tích tư duy

Ba khối dựng bằng bảng lệnh thật ra là một khung hở hình chữ U, không khép kín. Muốn “thấy” chúng khép thành tam giác thì phải chọn hướng nhìn sao cho đầu tự do của khối

c

và đỉnh trên của khối

b

chồng lên nhau: hai điểm có cùng ảnh qua phép chiếu song song khi và chỉ khi vectơ nối chúng cùng phương với hướng chiếu. Bẫy: để hiện đủ mọi mặt hay các hình vuông, đoạn thẳng thì chỗ nối giả bị lộ — chỉ được giữ đúng sáu mặt nhìn thấy.

1Cách 1. Làm theo các bước còn lại của SGK (nút bấm chứa lệnh chọn góc nhìn)

Định hướng. Ẩn mọi thứ không phải mặt của khối, chỉ hiện và tô sáu mặt rồi gắn lệnh chọn hướng nhìn vào một nút.

Danh sách đối tượng

\to

chuột phải

\to

Các đối tượng phụ
Hình đa giác, Đoạn thẳng, Hình tứ giác

\to

chuột phải

\to

bỏ chọn Hiển thị đối tượng
Hiện và tô: Mat4, Mat12 màu đỏ;

Mat7, Mat11 màu xanh da trời;

Mat2,

q_{1}

màu xanh lá cây (độ đậm lớn nhất)
Công cụ Chèn nút

\to

tiêu đề: Tam giác Penrose;

GeoGebra Script: SetViewDirection((−1, −1, −1))
Nháy nút Tam giác Penrose

\to

Vùng làm việc 3D quay về hướng nhìn

(- 1; - 1; - 1)

Vậy trên màn hình hiện một tam giác đều gồm ba thanh ba màu nối liền nhau — tam giác Penrose.

Nhận xét. Sách in đoạn script là “setview diretion [(−1, −1, −1)]”; lệnh GeoGebra đúng chính tả là SetViewDirection((−1, −1, −1)).

2Cách 2. Nhập thẳng lệnh hướng nhìn và kiểm chứng bằng toạ độ ảnh

Định hướng. Bỏ qua nút bấm: gõ SetViewDirection((−1,−1,−1)) vào Khung nhập lệnh. Để chắc chắn ảnh là tam giác đều, tính ảnh các vectơ đơn vị trên mặt phẳng màn hình vuông góc với $(1; 1; 1)$ , cơ sở $e_{1} = \frac{1}{2} (- 1; 1; 0)$ , $e_{2} = \frac{1}{6} (- 1; - 1; 2)$ .

i \mapsto (- \frac{1}{2}; - \frac{1}{6}), j \mapsto (\frac{1}{2}; - \frac{1}{6}), k \mapsto (0; \frac{2}{6})

i^{'} = j^{'} = k^{'} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3}

cos (i^{'}, j^{'}) = \frac{- \frac{1}{2} + \frac{1}{6}}{\frac{2}{3}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow (i^{'}, j^{'}) = 12 0^{\circ}

; tương tự các cặp còn lại
Ba thanh

a

(dọc

j

b

(dọc

k

c

(dọc

- i

) dài

9

\Rightarrow

ảnh dài bằng nhau, đôi một lệch

12 0^{\circ}

Vậy ảnh của ba thanh là ba cạnh của một tam giác đều — đúng hình tam giác Penrose.

3Cách 3. Tự tìm hướng nhìn bằng phép chiếu song song

Định hướng. Không cần đoán góc nhìn: buộc đầu tự do của thanh $c$ trùng ảnh với đỉnh trên của thanh $b$ , hướng nhìn phải cùng phương với vectơ nối hai điểm đó.

Đầu tự do của

c

M (- 10; 0; 0)

;

góc trên của

b

N (- 1; 9; 9)

M N = (- 1 + 10; 9 - 0; 9 - 0) = (9; 9; 9) = 9 (1; 1; 1)

d ∥ (1; 1; 1)

\Rightarrow

mắt đặt trên tia

(1; 1; 1)

, nhìn theo hướng

(- 1; - 1; - 1)

Mặt thấy được:

n \cdot (1; 1; 1) > 0

\Rightarrow

n \in {i, j, k}

; bỏ mặt trên

z = 9

của

b

và các mặt tiếp giáp giữa hai khối
Sáu mặt thấy được:

x = 0

của

a

và

b

(

q_{1}

) — xanh lá;

y = 1

của

c

y = 10

của

b

— xanh da trời;

z = 1

của

a

và

c

— đỏ

Vậy hướng nhìn thích hợp là $(- 1; - 1; - 1)$ , đúng như SGK chọn; mỗi màu ứng với một hướng mặt nên hai mặt cùng màu nối nhau liền mạch.

Nhận xét. Ảnh chỉ “khép kín” trong phép chiếu: thật ra $M$ và $N$ cách nhau $∣ M N ∣ = 93$ . Mặt $q_{1}$ bị cắt bỏ tam giác $(0; 9; 8), (0; 9; 9), (0; 10; 9)$ để thanh $c$ (ở xa mắt hơn) trông như đi phía trước — đó là mẹo tạo ảo giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 3 hay nhất: chỉ một phép trừ toạ độ đã tìm ra hướng nhìn

(- 1; - 1; - 1)

và giải thích được vì sao hình “không thể có thật” lại hiện ra; Cách 1 là thao tác cần làm trên máy.

Đáp số. Chọn hướng nhìn

(- 1; - 1; - 1)

(lệnh SetViewDirection((−1, −1, −1))), chỉ hiện sáu mặt tô ba màu, ta được tam giác Penrose là một tam giác đều.

Sai lầm thường gặp. Để nguyên các hình vuông, đoạn thẳng và mặt trên của khối

b

: chỗ nối giả giữa thanh

c

và thanh

b

lộ ra, ảo giác mất. Nhìn theo hướng

(1; 1; 1)

(ngược dấu) thì mắt ở phía sau, thấy các mặt

x = - 1

y = 0

z = 0

— ba thanh vẫn chồng ảnh nhưng màu sắc sai hoàn toàn. Gõ nguyên văn “setview diretion” vào GeoGebra Script sẽ báo lỗi vì sai tên lệnh.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với ba thanh dài

n

, đầu tự do của thanh

c

là

(- n - 1; 0; 0)

và góc trên của thanh

b

là

(- 1; n; n)

, vectơ nối luôn là

n (1; 1; 1)

nên hướng nhìn

(- 1; - 1; - 1)

không phụ thuộc

n

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Vẽ mặt Mobius★★★Trang 89— Vẽ mặt cho bởi phương trình tham số trong không gian

2. VẼ MẶT MOBIUS (trang 88–89). Từ một mảnh giấy hình chữ nhật

A B C D

, nếu dán hai mép

A B

và

D C

trùng nhau mà điểm

A

trùng điểm

D

, điểm

B

trùng điểm

C

thì ta được một hình có dạng mặt trụ, nhưng nếu dán hai mép

A B

và

C D

trùng nhau mà điểm

A

trùng điểm

C

, điểm

B

trùng điểm

D

thì ta sẽ được một hình có dạng gọi là mặt Mobius. Đối với mỗi mô hình có dạng mặt cầu, mặt trụ (hay nhiều mặt khác), ta có thể hình dung rõ ràng mỗi chúng có hai phía: trong và ngoài. Nhưng mô hình có dạng mặt Mobius không phân thành hai phía trong, ngoài như vậy.
Trong không gian toạ độ

O x y z

, tập những điểm có toạ độ

(x; y; z)

được xác định bởi

⎩ ⎨ ⎧ x = (1 + \frac{v}{2} \cdot cos (\frac{u}{2})) \cdot cos (u) y = (1 + \frac{v}{2} \cdot cos (\frac{u}{2})) \cdot sin (u) z = \frac{v}{2} \cdot sin (\frac{u}{2})

(với

u, v

là các tham số thay đổi, thoả mãn

0 \leq u < 2 π

và

- 1 \leq v \leq 1

), là một mặt Mobius.
Ta có thể sử dụng phần mềm GeoGebra để vẽ mặt Mobius trên theo các bước sau:
– Bước 1. Mở phần mềm GeoGebra, vào mục Phối cảnh\Vẽ đồ hoạ 3D, chọn hiển thị hệ trục toạ độ, Show Plane.
– Bước 2. Trong ô Nhập lệnh, nhập phương trình của mặt Mobius như sau:
a = BeMat((1 + v/2 cos(u/2)) cos(u), (1 + v/2 cos(u/2)) sin(u), v/2 sin(u/2), u, 0, 2π, v, −1, 1)
– Bước 3. Để đổi màu cho hình vẽ, chọn mặt cần đổi màu trong ô Nhập lệnh, nháy chuột phải và chọn Thiết lập. Trong mục Thiết lập, chọn mục Màu sắc.

Kiến thức cần nhớ

Mặt tham số: $r (u; v) = (x (u; v); y (u; v); z (u; v))$ ; GeoGebra: BeMat(x, y, z, u, $u_{1}$ , $u_{2}$ , v, $v_{1}$ , $v_{2}$ ) (Surface).
Pháp tuyến của mặt tham số: $n = r_{u} \times r_{v}$ .
Mặt Mobius: sau một vòng $u : 0 \to 2 π$ , điểm $(u; v)$ về trùng điểm $(0; - v)$ — mép được dán ngược chiều, pháp tuyến đổi hướng.
Lệnh bổ trợ: Sequence (Dãy), Segment (Đoạn thẳng), thanh trượt và Hiện vết (Trace).

🧠 Phân tích tư duy

Mặt cho bởi ba toạ độ phụ thuộc hai tham số

u, v

nên dùng lệnh BeMat (Surface) là tự nhiên nhất. Nhìn kĩ công thức: với

u

cố định, điểm chạy trên một đoạn thẳng dài 1 có trung điểm

(cos u; sin u; 0)

— đoạn này vừa đi một vòng quanh

O z

vừa lật được nửa vòng (góc

\frac{u}{2}

), nên có thể dựng mặt bằng cách “quét” đoạn thẳng. Bẫy: gõ sai miền

v

hoặc lấy

u

đến

4 π

thì mặt bị vẽ chồng hai lần.

1Cách 1. Lệnh BeMat theo SGK

Định hướng. Gõ đúng ba toạ độ và miền tham số vào lệnh BeMat, rồi kiểm tra hai mép $u = 0$ và $u = 2 π$ để thấy đó đúng là mặt Mobius.

Phối cảnh

\to

Vẽ đồ hoạ 3D; bật hệ trục toạ độ, Show Plane
a = BeMat((1 + v/2 cos(u/2)) cos(u), (1 + v/2 cos(u/2)) sin(u), v/2 sin(u/2), u, 0, 2π, v, −1, 1)

r (0; v) = (1 + \frac{v}{2}; 0; 0)

r (2 π; v) = ((1 + \frac{v}{2} cos π) cos 2 π; (1 + \frac{v}{2} cos π) sin 2 π; \frac{v}{2} sin π) = (1 - \frac{v}{2}; 0; 0) = r (0; - v)

Chuột phải vào a

\to

Thiết lập

\to

Màu sắc: chọn màu, kéo Tính chắn sáng

Vậy GeoGebra vẽ được mặt Mobius; mép $u = 2 π$ dán vào mép $u = 0$ theo chiều ngược ( $v \mapsto - v$ ), đúng kiểu dán $A$ trùng $C$ , $B$ trùng $D$ .

2Cách 2. Quét một đoạn thẳng — lệnh Sequence

Định hướng. Viết $r = M (u) + \frac{v}{2} w (u)$ : mặt Mobius là hợp của các đoạn thẳng dài 1, trung điểm $M (u)$ chạy trên đường tròn đơn vị, phương $w (u)$ quay nửa vòng.

M (u) = (cos u; sin u; 0)

w (u) = (cos \frac{u}{2} cos u; cos \frac{u}{2} sin u; sin \frac{u}{2})

∣ w (u) ∣^{2} = cos^{2} \frac{u}{2} (cos^{2} u + sin^{2} u) + sin^{2} \frac{u}{2} = 1

v \in [- 1; 1]

\Rightarrow

đoạn thẳng từ

M - \frac{1}{2} w

đến

M + \frac{1}{2} w

, dài

1

Sequence(Segment((cos(t) − cos(t/2) cos(t)/2, sin(t) − cos(t/2) sin(t)/2, −sin(t/2)/2), (cos(t) + cos(t/2) cos(t)/2, sin(t) + cos(t/2) sin(t)/2, sin(t/2)/2)), t, 0, 2π, π/24)

Vậy 49 đoạn thẳng hiện ra tạo thành “bộ khung kẻ” của mặt Mobius, cho thấy dải có bề rộng 1 quấn quanh đường tròn bán kính 1 và xoắn nửa vòng.

3Cách 3. Thanh trượt và vết của đoạn thẳng — kiểm chứng mặt chỉ có một phía

Định hướng. Cho đoạn thẳng ở Cách 2 chạy liên tục theo thanh trượt và bật vết để GeoGebra “sơn” dần mặt; đồng thời theo dõi pháp tuyến để thấy mặt chỉ có một phía.

t = Slider(0, 2π, 0.01);

s = Segment(M(t) − w(t)/2, M(t) + w(t)/2);

chuột phải s

\to

Hiện vết; chạy hoạt hình t

n = r_{u} \times r_{v}

n (0; 0) = (0; 0; - \frac{1}{2})

n (2 π; 0) = (0; 0; \frac{1}{2}) = - n (0; 0)

Vậy vết của đoạn thẳng phủ kín mặt Mobius; đi hết một vòng dọc đường giữa, pháp tuyến đổi thành vectơ đối nên con kiến bò từ phía “đỏ” sang phía “xanh” mà không cần leo qua mép.

Nhận xét. Diện tích mặt Mobius này tính số bằng $\iint ∣ r_{u} \times r_{v} ∣ d u d v \approx 6, 35$ , lớn hơn chút so với dải phẳng $2 π \cdot 1 \approx 6, 28$ vì dải bị xoắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Để vẽ nhanh dùng Cách 1 (một lệnh BeMat); để hiểu vì sao đó là mặt Mobius thì Cách 2 – 3 thuyết phục hơn: thấy rõ đoạn thẳng lật nửa vòng và pháp tuyến đổi dấu.

Đáp số. Lệnh a = BeMat((1 + v/2 cos(u/2)) cos(u), (1 + v/2 cos(u/2)) sin(u), v/2 sin(u/2), u, 0, 2π, v, −1, 1) vẽ mặt Mobius;

r (2 π; v) = r (0; - v)

và

n (2 π; 0) = - n (0; 0)

nên mặt chỉ có một phía.

Sai lầm thường gặp. Gõ BeMat(…, u, 0, 2π, v, 0, 1): chỉ được một nửa dải (bề rộng

\frac{1}{2}

). Thay

cos (\frac{u}{2})

bằng

cos u

: đoạn thẳng lật cả vòng sau một vòng quanh trục, được một dải hai phía (giống mặt trụ xoắn), không còn là mặt Mobius. Viết v/2cos(u/2) liền nhau không có dấu cách hoặc dấu nhân có thể khiến GeoGebra hiểu sai thứ tự phép toán.

🚀 Mở rộng. Thay

\frac{u}{2}

bằng

\frac{k u}{2}

(

k

nguyên):

k

lẻ cho dải một phía (Mobius xoắn

k

nửa vòng),

k

chẵn cho dải hai phía; mép của mặt Mobius (

v = \pm 1

) là MỘT đường cong khép kín dài khoảng

13, 01

, đi hai vòng quanh trục

O z

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcHoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang Bài tiếp theo ›Bài tập ôn tập cuối năm

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính nguyên hàm và tích phân với phần mềm GeoGebra. Tính gần đúng tích phân bằng phương pháp hình thang
▶ Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ đồ hoạ 3D với phần mềm GeoGebra