Chương IX. Quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác

Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang50 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 9.5★★★Trang 50— Chứng minh khoảng cách từ mọi điểm trên một đường thẳng đến đường thẳng song song với nó là như nhau

Bài 9.5 (trang 50). Cho hai đường thẳng song song

c

và

d

. Chứng minh rằng khoảng cách từ mọi điểm thuộc

c

đến đường thẳng

d

bằng nhau (khoảng cách đó được gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

c

và

d

Kiến thức cần nhớ

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (và ngược lại).
Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một; ngược lại, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho

c ∥ d

và yêu cầu so sánh khoảng cách từ hai điểm \textit{bất kì}

M

M^{'}

trên

c

đến

d

— dấu hiệu là phải dựng thêm hai đường vuông góc

M H

M^{'} H^{'}

rồi chỉ ra một tứ giác đặc biệt chứa chúng. Vì

M H ⊥ d

và

M^{'} H^{'} ⊥ d

nên

M H ∥ M^{'} H^{'}

; kết hợp

M M^{'} ∥ H H^{'}

(do

c ∥ d

) ta có ngay một hình bình hành, từ đó suy ra hai cạnh đối bằng nhau. Bẫy là quên chứng minh

M H ∥ M^{'} H^{'}

trước khi dùng tính chất hình bình hành — hai đoạn cùng vuông góc với một đường thẳng thì mới chắc chắn song song với nhau.

1Cách 1. Dùng tứ giác MHH'M' là hình bình hành

Định hướng. Kẻ $M H ⊥ d$ , $M^{'} H^{'} ⊥ d$ rồi chỉ ra $M H H^{'} M^{'}$ là hình bình hành.

Kẻ

M H ⊥ d

tại

H

M^{'} H^{'} ⊥ d

tại

H^{'}

(

M, M^{'} \in c

;

H, H^{'} \in d

M H ⊥ d

và

M^{'} H^{'} ⊥ d

nên

M H ∥ M^{'} H^{'}

M M^{'} \subset c

H H^{'} \subset d

, mà

c ∥ d

nên

M M^{'} ∥ H H^{'}

.
Tứ giác

M H H^{'} M^{'}

có

M H ∥ M^{'} H^{'}

và

M M^{'} ∥ H H^{'}

nên là hình bình hành.
Trong hình bình hành, hai cạnh đối bằng nhau nên

M H = M^{'} H^{'}

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $d$ bằng khoảng cách từ $M^{'}$ đến $d$ ; vì $M$ , $M^{'}$ tuỳ ý trên $c$ nên khoảng cách từ mọi điểm thuộc $c$ đến $d$ đều bằng nhau.

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông bằng nhau (cạnh huyền – góc nhọn)

Định hướng. Xét hai tam giác vuông chung cạnh huyền $M M^{'}$ , dùng góc so le trong tạo bởi $c ∥ d$ để chứng minh chúng bằng nhau.

△ M H M^{'}

vuông tại

H

và

△ M^{'} H^{'} M

vuông tại

H^{'}

có cạnh huyền chung

M M^{'}

M H ⊥ d

M^{'} H^{'} ⊥ d

nên

M H ∥ M^{'} H^{'}

, do đó

H M M^{'} = H^{'} M^{'} M

(so le trong, cát tuyến

M M^{'}

△ M H M^{'} = △ M^{'} H^{'} M

(cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy $M H = M^{'} H^{'}$ (hai cạnh tương ứng), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần nêu tên hình bình hành, chỉ dùng tam giác bằng nhau đã học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi thẳng tên hình bình hành rồi trích tính chất hai cạnh đối bằng nhau, ngắn hơn việc chứng minh hai tam giác bằng nhau ở Cách 2.

Đáp số. Khoảng cách từ mọi điểm thuộc

c

đến

d

đều bằng nhau (đã chứng minh

M H = M^{'} H^{'}

với

M

M^{'}

tuỳ ý trên

c

Sai lầm thường gặp. Mặc định

M H ∥ M^{'} H^{'}

mà không nêu lí do — phải chỉ rõ cả hai cùng vuông góc với

d

thì mới chắc chắn chúng song song với nhau (hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song).

🚀 Mở rộng. Đây chính là cơ sở để định nghĩa \textit{khoảng cách giữa hai đường thẳng song song} — một đại lượng không đổi, dùng lại được khi học về hình chữ nhật, hình bình hành sau này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 9.6★★★Trang 50— Chứng minh hai điểm cách đều một đường thẳng thì đoạn nối chúng song song với đường thẳng đó

Bài 9.6 (trang 50). Cho hai điểm phân biệt

M

M^{'}

ở cùng phía đối với đường thẳng

d

(

M

M^{'}

không thuộc

d

). Chứng minh rằng nếu

M

M^{'}

có cùng khoảng cách đến đường thẳng

d

thì

M M^{'}

song song với

d

Kiến thức cần nhớ

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (và ngược lại).
Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một; ngược lại, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

M H = M^{'} H^{'}

(cùng khoảng cách đến

d

) và

M

M^{'}

cùng phía — dấu hiệu ngược lại của Bài 9.5: ở đó biết

c ∥ d

suy ra khoảng cách bằng nhau, còn ở đây biết khoảng cách bằng nhau phải suy ra song song. Hướng an toàn là dùng đúng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau. Bẫy là quên điều kiện \enquote{cùng phía}: nếu

M

M^{'}

khác phía thì

M H ∥ M^{'} H^{'}

nhưng

M H H^{'} M^{'}

không còn là hình bình hành mà là một hình khác,

M M^{'}

sẽ cắt

d

1Cách 1. Dùng dấu hiệu nhận biết hình bình hành

Định hướng. Kẻ $M H$ , $M^{'} H^{'} ⊥ d$ rồi chỉ ra $M H H^{'} M^{'}$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Kẻ

M H ⊥ d

tại

H

M^{'} H^{'} ⊥ d

tại

H^{'}

;

M H ⊥ d

và

M^{'} H^{'} ⊥ d

nên

M H ∥ M^{'} H^{'}

.
Theo giả thiết,

M

M^{'}

có cùng khoảng cách đến

d

nên

M H = M^{'} H^{'}

.
Tứ giác

M H H^{'} M^{'}

có

M H ∥ M^{'} H^{'}

và

M H = M^{'} H^{'}

nên là hình bình hành (dấu hiệu: một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Vậy $M M^{'} ∥ H H^{'}$ , mà $H H^{'} \subset d$ nên $M M^{'} ∥ d$ .

2Cách 2. Dùng tính duy nhất của đường thẳng song song cách d một khoảng cho trước

Định hướng. Dùng Tiên đề Euclid: qua $M$ chỉ có đúng một đường thẳng song song với $d$ ; chỉ ra $M^{'}$ cũng nằm trên đường thẳng đó.

Gọi

m

là đường thẳng đi qua

M

và song song với

d

(theo Tiên đề Euclid, đường thẳng này là duy nhất).
Mọi điểm trên

m

đều có cùng khoảng cách đến

d

(bằng lập luận như Bài 9.5, áp dụng cho

m ∥ d

), khoảng cách đó bằng

M H

M^{'}

cùng phía với

M

và có khoảng cách đến

d

cũng bằng

M H

; vì trên tia vuông góc

H^{'}

chỉ có đúng một điểm cách

d

đúng

M H

(ở phía đã cho), điểm đó chính là giao của

m

với đường vuông góc qua

H^{'}

, nên

M^{'}

nằm trên

m

Vậy $M$ , $M^{'}$ cùng nằm trên $m ∥ d$ nên $M M^{'} \equiv m$ song song với $d$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng lại đúng Tiên đề Euclid vừa học ở Bài 10, cho một góc nhìn khác Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dấu hiệu hình bình hành cho lời giải ngắn gọn, trực tiếp một mạch, không cần lập luận về tính duy nhất như Cách 2.

Đáp số.

M M^{'}

song song với

d

(đã chứng minh bằng cả dấu hiệu hình bình hành và Tiên đề Euclid).

Sai lầm thường gặp. Quên giả thiết \enquote{

M

M^{'}

cùng phía} — nếu hai điểm khác phía đối với

d

mà vẫn cách đều

d

thì

M M^{'}

lại cắt

d

(tại trung điểm

H H^{'}

), không song song.

🚀 Mở rộng. Đây chính là chiều đảo của Bài 9.5: hai bài ghép lại cho một tính chất hai chiều đầy đủ giữa \enquote{song song} và \enquote{cách đều}.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 9.7★★★★Trang 50— Chứng minh một tia là phân giác bằng tính chất điểm cách đều hai cạnh của góc

Bài 9.7 (trang 50). Dùng thước hai lề ta có thể dựng cặp đường thẳng song song với khoảng cách

h

không đổi. Cho góc

x O y

. Dùng thước hai lề dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia

O x

và đường thẳng

x^{'}

(sao cho

x^{'}

cắt

O y

), rồi dùng thước hai lề đó, dựng cặp đường thẳng song song gồm đường thẳng chứa tia

O y

và đường thẳng

y^{'}

(sao cho

y^{'}

cắt

O x

). Hai đường thẳng

x^{'}

và

y^{'}

cắt nhau tại

P

. Chứng minh rằng tia

O P

là tia phân giác của góc

x O y

Kiến thức cần nhớ

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (và ngược lại).
Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một; ngược lại, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 9.8★★★Trang 50— Chứng minh hai khoảng cách bằng nhau trong tam giác cân bằng tam giác vuông bằng nhau hoặc diện tích

Bài 9.8 (trang 50). Cho tam giác cân

A B C

A B = A C

. Chứng minh rằng khoảng cách từ

B

đến đường thẳng

A C

bằng khoảng cách từ

C

đến đường thẳng

A B

Kiến thức cần nhớ

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (và ngược lại).
Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một; ngược lại, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì là hình bình hành.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 9.9★★★★Trang 50— Chứng minh tổng hai khoảng cách từ một điểm di động không đổi bằng phương pháp diện tích

Bài 9.9 (trang 50). Cho tam giác cân

A B C

(

A B = A C

) và một điểm

M

tuỳ ý thuộc đoạn thẳng

B C

. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm

M

đến hai đường thẳng

A B

A C

là một số không đổi.

Kiến thức cần nhớ

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.
Điểm nằm trong một góc và cách đều hai cạnh của góc thì nằm trên tia phân giác của góc đó (và ngược lại).
Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau từng đôi một; ngược lại, một tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau thì là hình bình hành.
Diện tích tam giác lớn bằng tổng diện tích các tam giác con khi bị chia bởi một đoạn thẳng từ đỉnh đến một điểm trên cạnh đối diện.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗