Bài 32. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định hướng. Nhận ra ngay $OA$ là đường vuông góc, còn $OB$, $OC$ là các đường xiên cùng kẻ từ $O$ đến bờ bên kia.

Vậy bơi cùng tốc độ, đường $OA$ ngắn nhất nên mất ít thời gian nhất — bạn Nam nên chọn đường bơi $OA$.

Định hướng. Vì $OA\perp$ bờ nên tam giác $OAB$ và $OAC$ đều vuông tại $A$, dùng Pythagore để tính trực tiếp.

Vậy $OA<OB$ và $OA<OC$, đường bơi $OA$ là ngắn nhất và nhanh nhất.

Định hướng. Trong tam giác $OAB$, góc $A$ vuông nên là góc lớn nhất, cạnh đối diện với nó phải là cạnh lớn nhất.

Vậy $OA$ nhỏ hơn cả $OB$ và $OC$ nên bạn Nam nên bơi theo đường $OA$.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một sự thật: cạnh huyền của tam giác vuông luôn lớn hơn cạnh góc vuông.

Định hướng. Tam giác $AHM$ vuông tại $H$ nên góc $H$ là góc lớn nhất của tam giác, cạnh đối diện với nó lớn nhất.

Vậy $AM>AH$, tức $AH<AM$.

Định hướng. Tam giác $AHM$ vuông tại $H$ nên áp dụng trực tiếp Pythagore rồi so sánh bằng đại số.

Vậy $AM>AH$ (vì cả hai đều dương), tức $AH<AM$.

Định hướng. Nhận ra ngay $AM$ đóng vai trò cạnh huyền của tam giác vuông $AHM$.

Vậy $AH<AM$.

Nhận xét. Đây chính là nội dung của Định lí (đường vuông góc là đường ngắn nhất) áp dụng cho một đường xiên bất kì.

Định hướng. Dùng ngay các góc vuông có sẵn của hình vuông $ABCD$, không cần dựng thêm hình.

Vậy đường vuông góc là $AB$, đường xiên là $AM$; $AB<AM$; khoảng cách từ $C$ đến $AB$ bằng $2$ cm.

Định hướng. Tính trực tiếp bằng số với cạnh hình vuông bằng $2$ cm để thấy rõ vì sao $AB<AM$.

Vậy $AB<AM$, khớp với Cách 1; khoảng cách từ $C$ đến $AB$ vẫn là $2$ cm.

Định hướng. Với ý c), thay vì đọc trực tiếp góc vuông tại $B$, dựng đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$ rồi nhận diện nó trùng với $CB$.

Vậy khoảng cách cần tìm bằng $2$ cm, đúng bằng độ dài cạnh hình vuông.

Nhận xét. Trong hình vuông, khoảng cách giữa hai cạnh kề chính là độ dài cạnh hình vuông vì hai cạnh đó đã vuông góc sẵn.

Định hướng. Gọi tên vai trò của $OA$, $OB$, $OC$ rồi áp dụng thẳng Định lí của Bài 32.

Vậy bơi cùng tốc độ thì đường $OA$ tốn ít thời gian nhất — bạn Nam nên chọn đường bơi $OA$.

Định hướng. Nhận ra $OA$ chính là khoảng cách từ $O$ đến bờ bên kia theo đúng định nghĩa vừa học.

Vậy $OA$ là đường bơi ngắn nhất nên bạn Nam nên chọn đường bơi $OA$.

Định hướng. Kiểm chứng lại bằng số để chắc chắn không có trường hợp ngoại lệ.

Vậy $OA$ nhỏ hơn cả $OB$ lẫn $OC$, khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Kết quả không phụ thuộc vị trí cụ thể của $B$, $C$ trên bờ, miễn $A$ là chân đường vuông góc hạ từ $O$.

Định hướng. Chỉ ra $\widehat{AMN}$ là góc tù để nó là góc lớn nhất của tam giác $AMN$.

Vậy $AN>AM$, đúng như dự đoán: $HM<HN$ thì $AM<AN$.

Định hướng. Tính trực tiếp $A{M}^2$, $A{N}^2$ theo $AH$ rồi so sánh bằng đại số.

Vậy $AM<AN$ (vì cả hai đều dương).

Nhận xét. Cách này cho thêm công thức $A{M}^2=A{H}^2+H{M}^2$, dùng lại được ở nhiều bài khác của chương.

Định hướng. Dựng hình vuông $ABCD$ theo thứ tự các đỉnh, xét $AM$ trên từng cạnh không chứa $A$.

Vậy $AM$ lớn nhất khi $M\equiv C$, tức khi $M$ trùng đỉnh đối diện với $A$; giá trị lớn nhất là đường chéo $AC$.

Định hướng. Đặt cạnh hình vuông là $a$, tính $AM$ theo Pythagore trên từng cạnh rồi so với $AC=a\sqrt{2}$.

Vậy trên mọi cạnh, $AM\le AC$, dấu bằng chỉ xảy ra khi $M\equiv C$ nên $AM$ lớn nhất khi $M\equiv C$.

Nhận xét. Kết quả khẳng định lại bằng số: đường chéo là đoạn dài nhất nối một đỉnh với một điểm trên biên hình vuông.

Định hướng. Viết lại định nghĩa đường cao và định nghĩa khoảng cách để so từng chữ một.

Vậy chiều cao ứng với một cạnh đúng là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Định hướng. Lấy một tam giác vuông đơn giản để kiểm chứng bằng số.

Vậy với tam giác cụ thể này, chiều cao $AH$ đúng là khoảng cách từ $A$ đến $BC$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Giả sử chiều cao không phải là khoảng cách rồi chỉ ra mâu thuẫn với định lí đã học.

Vậy không tồn tại đoạn nào ngắn hơn đường cao, chứng tỏ đường cao chính là khoảng cách (đoạn ngắn nhất) từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện.

Nhận xét. Đây thực chất là một cách phát biểu khác của Định lí vừa học ở đầu bài.

Định hướng. Với ý a), nhớ lại đường chéo $BD$ là trung trực của $AC$; với ý b), dùng tính đối xứng của hình vuông qua đường chéo $AC$.

Vậy a) $B$ và $D$ cách đều $A$, $C$. b) $C$ (và hiển nhiên $A$) cách đều hai đường thẳng $AB$, $AD$.

Định hướng. Đặt cạnh hình vuông là $a$ rồi tính trực tiếp các khoảng cách bằng Pythagore để kiểm chứng.

Vậy kết quả khớp với Cách 1: $B$, $D$ cách đều $A$, $C$; $C$ cách đều hai đường thẳng $AB$, $AD$.

Nhận xét. Ý b) không cần dựng thêm đường vuông góc vì $CB$, $CD$ đã vuông góc sẵn với $AB$, $AD$.

Định hướng. Kẻ $AH\perp BC$ tại $H$; mọi $AM$ ($M\ne H$) đều là đường xiên so với $AH$.

Vậy a) $AM$ nhỏ nhất khi $M$ là trung điểm $BC$ (chân đường cao từ $A$). b) $AM<AB$ với mọi $M$ nằm giữa $B$, $C$.

Định hướng. Tính $A{M}^2$ theo $AH$, $HM$ rồi so sánh bằng đại số.

Vậy $AM<AB$ với mọi $M$ nằm giữa $B$ và $C$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết luận vì cùng dựa trên một bổ đề Pythagore ở gốc.

Định hướng. Vì $\hat{A}=90^{\circ }$ nên $NA\perp AB$ và $BA\perp AC$; dùng hệ quả hình chiếu xa hơn thì xiên dài hơn, áp dụng hai lần.

Vậy $MN<BC$.

Định hướng. Dùng hai tam giác vuông tại $A$: $△AMN$ và $△ABC$, so sánh trực tiếp bình phương độ dài.

Vậy $M{N}^2<B{C}^2$, do đó $MN<BC$ (vì cả hai đều dương), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp hai bước so sánh của Cách 1 thành một bất đẳng thức duy nhất.