Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định hướng. $B$ nằm giữa $A,C$ nên tia $CB$ trùng tia $CA$, góc $\widehat{BCD}$ cũng là góc tù như $\widehat{ACD}$; xét lần lượt hai tam giác $BCD$, $ACD$ rồi tới $ABD$.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Góc $\widehat{ABD}$ chính là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $BCD$, nên lớn hơn góc trong không kề $\widehat{BCD}$ — so sánh nhanh hơn Cách 1.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $D$ xuống đường thẳng $ABC$; điểm nào cách $H$ xa hơn theo phương ngang thì cách $D$ xa hơn — quy về so sánh ba đoạn thẳng trên một đường thẳng.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Trong tam giác vuông có góc $30^{\circ }$, cạnh đối diện góc $30^{\circ }$ bằng nửa cạnh huyền — từ đó suy ra ngay thứ tự ba cạnh.

Vậy cạnh tăng dần $AB<AC<BC$, góc tăng dần $\hat{C}<\hat{B}<\hat{A}$; góc lớn nhất $\hat{A}$ đối diện cạnh lớn nhất $BC$, góc bé nhất $\hat{C}$ đối diện cạnh bé nhất $AB$.

Định hướng. Dùng thước đo ba cạnh của ê-ke thật rồi ghi số đo, không cần tính toán.

Vậy kết quả đo trùng khớp với Cách 1: góc lớn nhất $\hat{A}$ đối diện cạnh lớn nhất $BC$.

Định hướng. Không cần tính số: chỉ dùng thứ tự góc đã biết trên ê-ke rồi áp Định lí 1 (giới thiệu ngay sau hoạt động này) để suy ra thứ tự cạnh.

Vậy $AB<AC<BC$, khớp với hai cách đo/tính trực tiếp ở trên.

Định hướng. Dựng một tam giác thoả $AB=3$, $AC=5$ (chọn thêm $\hat{A}=90^{\circ }$ cho dễ vẽ bằng ê-ke), rồi đo hai góc còn lại.

Vậy góc $\hat{B}$ lớn hơn góc $\hat{C}$.

Định hướng. Với hình đã chọn $\hat{A}=90^{\circ }$, dùng $\tan$ để tính chính xác hai góc thay vì đo bằng thước đo góc.

Vậy $\hat{B}\approx 59,04^{\circ }>\hat{C}\approx 30,96^{\circ }$.

Định hướng. Không cần vẽ số liệu cụ thể: chỉ so sánh hai cạnh đã cho rồi suy luận theo đúng nội dung Định lí 1 sẽ học ngay sau hoạt động này.

Vậy dự đoán $\hat{B}>\hat{C}$, đúng với mọi tam giác thoả $AB=3$, $AC=5$ cm chứ không riêng hình đã dựng.

Định hướng. Xác định cạnh đối diện của từng góc rồi so sánh độ dài, áp Định lí 1 để suy ra thứ tự góc.

Vậy $\hat{A}>\hat{C}$; trong tam giác $ABC$, góc $\hat{B}$ lớn nhất, góc $\hat{C}$ nhỏ nhất.

Định hướng. Tính chính xác số đo từng góc bằng công thức côsin để kiểm chứng lại thứ tự suy ra ở Cách 1.

Vậy $\hat{A}>\hat{C}$; góc lớn nhất là $\hat{B}$, góc nhỏ nhất là $\hat{C}$ — khớp với Cách 1.

Định hướng. So sánh từng cặp cạnh kề nhau theo thứ tự tăng dần rồi ghép các bất đẳng thức góc lại bằng tính chất bắc cầu, không cần xét cả ba cạnh cùng lúc.

Vậy $\hat{A}>\hat{C}$; góc lớn nhất $\hat{B}$, góc nhỏ nhất $\hat{C}$.

Định hướng. Xác định đúng cạnh đối diện của từng góc rồi so sánh ba cạnh, từ đó suy ra thứ tự ba góc.

Vậy góc đối diện $MN,NP,MP$ lần lượt là $\hat{P},\hat{M},\hat{N}$; thứ tự tăng dần là $\hat{P}<\hat{M}<\hat{N}$.

Định hướng. Dùng công thức côsin tính chính xác ba góc để kiểm chứng thứ tự đã suy luận ở Cách 1.

Vậy $\hat{P}\approx 21,79^{\circ }<\hat{M}\approx 38,21^{\circ }<\hat{N}=120^{\circ }$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ghép hai bất đẳng thức từ hai cặp cạnh liền kề thay vì so cả ba cạnh cùng lúc.

Vậy thứ tự tăng dần là $\hat{P}<\hat{M}<\hat{N}$.

Định hướng. Từ hai góc đã cho, dự đoán cạnh đối diện góc lớn hơn cũng lớn hơn — đây chính là chiều ngược của Định lí 1.

Vậy dự đoán cạnh $AC$ (đối diện $\hat{B}$) lớn hơn cạnh $AB$ (đối diện $\hat{C}$).

Định hướng. Dùng thước đo hai đoạn $AC$, $AB$ trên Hình 9.4a rồi so sánh số đo thực tế.

Vậy $AC>AB$, khớp với dự đoán ở Cách 1.

Định hướng. Với $\hat{A}=180^{\circ }-80^{\circ }-45^{\circ }=55^{\circ }$, dùng định lí sin để tính tỉ lệ chính xác giữa $AC$ và $AB$.

Vậy $AC\approx 1,39\cdot AB$, tức $AC>AB$, khớp hai cách trên.

Định hướng. Đặt thước đo đúng hai đoạn $AC$ và $AB$ trên hình đã vẽ ở HĐ3, ghi lại số đo rồi so sánh.

Vậy kết quả đo xác nhận $AC>AB$.

Định hướng. Thay vì chỉ đo bằng mắt, tính tỉ lệ $AC:AB$ bằng định lí sin để có số liệu chính xác đối chiếu với phép đo.

Vậy số liệu tính toán khớp với phép đo: $AC>AB$.

Định hướng. Không cần thước: dùng chính Định lí 2 (học ngay sau HĐ4) để khẳng định kết quả thay vì đo bằng dụng cụ.

Vậy $AC>AB$ — khẳng định chắc chắn, không phụ thuộc sai số đo đạc.

Định hướng. Tính $\hat{A}$ từ tổng ba góc, so sánh ba góc rồi suy ra thứ tự ba cạnh đối diện.

Vậy $AC>BC>AB$.

Định hướng. Chọn một cạnh làm đơn vị rồi tính hai cạnh còn lại bằng định lí sin để so sánh bằng số cụ thể.

Vậy $AC>BC>AB$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ghép hai bất đẳng thức cạnh từ hai cặp góc liền kề thay vì so cả ba góc cùng lúc.

Vậy $AC>BC>AB$.

Định hướng. Tính $\hat{P}$ từ tổng ba góc, so sánh ba góc rồi suy ra thứ tự ba cạnh đối diện theo chiều tăng dần.

Vậy $NP<MP<MN$.

Định hướng. Đặt một cạnh làm đơn vị rồi tính hai cạnh còn lại bằng định lí sin để so sánh bằng số.

Vậy $NP<MP<MN$, khớp Cách 1.

Định hướng. Ghép hai bất đẳng thức cạnh từ hai cặp góc liền kề, không cần xét cả ba góc cùng lúc.

Vậy $NP<MP<MN$.

Định hướng. Cạnh đối diện $\hat{A}$ là $BC$; vì $\hat{A}$ tù nên theo Nhận xét, $BC$ phải là cạnh lớn nhất, không phải $AB$.

Vậy bạn thứ hai nói đúng: cạnh $BC$ lớn nhất.

Định hướng. Chỉ ra trực tiếp vì sao $AB$ không thể là cạnh lớn nhất, bằng cách xét góc đối diện $AB$.

Vậy $AB$ không thể là cạnh lớn nhất, bạn thứ nhất nói sai; bạn thứ hai nói đúng.

Định hướng. Lấy một tam giác tù cụ thể tại $A$ với số đo thật, tính ba cạnh rồi so sánh trực tiếp để kiểm chứng lập luận tổng quát ở Cách 1.

Vậy với số liệu cụ thể, $BC$ đúng là cạnh lớn nhất — xác nhận bạn thứ hai nói đúng.

Định hướng. Áp dụng trực tiếp Nhận xét "cạnh đối diện góc tù là cạnh lớn nhất" cho hai tam giác $BCD$ và $ACD$, rồi so $AD$ với $BD$ bằng góc ngoài.

Vậy $CD<BD<AD$: cầu thủ áo số 3 gần bóng nhất, cầu thủ áo số 4 xa bóng nhất.

Định hướng. Liệt kê so sánh từng cặp cạnh theo từng tam giác con để trình bày mạch lạc, dễ kiểm tra chéo.

Vậy $CD<BD<AD$, tức cầu thủ áo số 3 gần bóng nhất, cầu thủ áo số 4 xa bóng nhất, đúng như đã lập luận ở Mở đầu.

Định hướng. Dùng lại đường phụ là chân đường vuông góc từ $D$ để đối chiếu kết quả bằng một cách nhìn khác, không phụ thuộc vào lập luận góc tù.

Vậy $CD<BD<AD$, xác nhận lại kết luận ở Mở đầu.

Định hướng. $\hat{A}=105^{\circ }>90^{\circ }$ nên tam giác $ABC$ là tam giác tù tại $A$; áp ngay Nhận xét để tìm cạnh lớn nhất mà không cần tính $\hat{C}$.

Vậy a) Tam giác $ABC$ là tam giác tù (tù tại $A$). b) Cạnh lớn nhất là $BC$.

Định hướng. Tính $\hat{C}$ từ tổng ba góc, so sánh cả ba góc rồi suy ra cạnh lớn nhất bằng Định lí 2 (không cần nhận diện tam giác tù trước).

Vậy a) $\hat{A}$ là góc tù nên tam giác $ABC$ là tam giác tù. b) Cạnh lớn nhất là $BC$.

Định hướng. Gán một cạnh làm đơn vị rồi tính hai cạnh còn lại bằng định lí sin để kiểm chứng bằng số cụ thể.

Vậy $BC$ là cạnh lớn nhất, khớp Cách 1 và Cách 2.

Định hướng. $D$ nằm giữa $A,C$ nên $AC=AD+DC>DC=BC$; từ đó so hai cạnh đối diện $\hat{A}$ và $\hat{B}$ trong tam giác $ABC$.

Vậy kết luận c) $\hat{A}<\hat{B}$ là đúng.

Định hướng. $BC=DC$ nên tam giác $BDC$ cân tại $C$, hai góc đáy bằng nhau; kết hợp góc ngoài tại $D$ của tam giác $ABD$ để so trực tiếp $\hat{A}$ với $\widehat{ABC}$.

Vậy $\hat{B}>\hat{A}$, tức kết luận c) đúng — khớp Cách 1.

Định hướng. Dựng một tam giác cụ thể thoả điều kiện đề bài rồi tính số đo hai góc để kiểm chứng kết luận tổng quát ở Cách 1.

Vậy số liệu cụ thể xác nhận kết luận c) $\hat{A}<\hat{B}$ là đúng.

Định hướng. Trong cả hai loại tam giác, góc vuông hoặc góc tù luôn lớn hơn $90^{\circ }$ nên hai góc còn lại buộc phải nhỏ hơn $90^{\circ }$ — từ đó nó luôn là góc lớn nhất.

Vậy $BC$ là cạnh lớn nhất: đó là cạnh huyền khi $\hat{A}=90^{\circ }$, và là cạnh đối diện góc tù khi $\hat{A}>90^{\circ }$.

Định hướng. Giả sử có một cạnh khác ($AB$ hoặc $AC$) lớn hơn $BC$, chỉ ra điều này dẫn tới góc đối diện nó lớn hơn $\hat{A}$ — mâu thuẫn với $\hat{A}$ đã là góc $\ge 90^{\circ }$.

Vậy $BC$ lớn hơn cả $AB$ và $AC$, tức $BC$ là cạnh lớn nhất.

Định hướng. Lấy một tam giác vuông và một tam giác tù cụ thể, tính số đo ba cạnh để thấy rõ cạnh đối diện góc $\ge 90^{\circ }$ luôn lớn nhất.

Vậy cả hai ví dụ số đều xác nhận: cạnh đối diện góc $\ge 90^{\circ }$ luôn là cạnh lớn nhất.

Định hướng. $B$ nằm giữa $A,C$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{ACD}$ là góc tù; xét lần lượt tam giác $BCD$, $ACD$ rồi $ABD$.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Áp trực tiếp tính chất góc ngoài cho $\widehat{ABD}$ so với $\widehat{BCD}$, ngắn hơn việc tính góc kề bù như Cách 1.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $D$ xuống đường thẳng $ABC$; điểm càng xa $H$ thì càng xa $D$.

Vậy $CD<BD<AD$.

Định hướng. Vì $M$ nằm giữa $A,B$ nên $\widehat{MAC}=\widehat{BAC}=\hat{A}$ vẫn là góc tù trong tam giác $AMC$; áp Nhận xét để so $MC$ với $AC$.

Vậy $MC$ luôn lớn hơn 500 m nên tại $C$ không thể nghe rõ tiếng loa, dù đặt loa ở bất kì điểm nào giữa $A$ và $B$.

Định hướng. Không cần nhớ tên gọi Nhận xét: chỉ cần chỉ ra $\widehat{MAC}$ lớn hơn cả hai góc còn lại của tam giác $AMC$ rồi áp thẳng Định lí 2.

Vậy $MC>AC=500$ m nên $C$ không nghe rõ được tiếng loa.

Định hướng. Xét trường hợp "tốt nhất" — đặt loa gần $A$ nhất có thể — để kiểm chứng rằng ngay cả khi đó $MC$ vẫn không nhỏ hơn 500 m.