Bài 1 · Bài 8.12★★Trang 58— Nhận biết biến cố chắc chắn – không thể – ngẫu nhiên qua dấu hiệu chia hết
8.12 (trang 58). Một túi đựng các quả cầu có cùng kích thước, được ghi số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu “?” trong các câu sau: • Biến cố A: “Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương” là biến cố … • Biến cố B: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3” là biến cố … • Biến cố C: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 5” là biến cố …
Kiến thức cần nhớ
Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra; biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra; biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không.
Số chính phương là bình phương đúng của một số tự nhiên (0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; …).
Dấu hiệu chia hết cho 5: chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một tập hợp cụ thể gồm 7 số rồi hỏi loại của ba biến cố khác nhau — dấu hiệu để dùng định nghĩa (không phải công thức xác suất) và kiểm từng số theo tính chất được nêu. Hướng an toàn nhất là soát cả 7 số cho từng tính chất (chính phương, chia hết cho 3, chia hết cho 5) vì tập hợp chỉ có 7 phần tử, không cần công thức phức tạp. Bẫy ở chỗ 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều tận cùng 0 hoặc 5 nên rất dễ vội kết luận “ngẫu nhiên” cho cả ba biến cố mà quên kiểm tra riêng biến cố chia hết cho 5 — thực chất biến cố này chắc chắn xảy ra.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp cả 7 số rồi đối chiếu từng tính chất
Định hướng. Vì túi chỉ có 7 quả cầu nên liệt kê nguyên văn 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 rồi kiểm từng số theo ba tính chất đã cho.
Xét biến cố A (số chính phương): các số chính phương gần đó là 4; 9; 16; 25; 36; 49 — không số nào trong 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 trùng với các số này. Vậy A không bao giờ xảy ra. Xét biến cố B (chia hết cho 3): trong 7 số, 15 và 30 chia hết cho 3 (15 = 3.5; 30 = 3.10), còn 5; 10; 20; 35; 40 thì không. Vậy B có thể xảy ra và có thể không xảy ra. Xét biến cố C (chia hết cho 5): cả 7 số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên đều chia hết cho 5. Vậy C luôn xảy ra.
Vậy A là biến cố không thể, B là biến cố ngẫu nhiên, C là biến cố chắc chắn.
2Cách 2. Dùng dấu hiệu chia hết thay vì dò từng số
Định hướng. Thay vì liệt kê, dùng dấu hiệu chia hết cho 3 (tổng chữ số) và cho 5 (chữ số tận cùng) để phân loại nhanh cả dãy số, còn với số chính phương thì kẹp giữa hai bình phương liên tiếp.
Với A: 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều nằm giữa các số chính phương liên tiếp mà không trùng bình phương nào (ví dụ 15 nằm giữa 9 = 3² và 16 = 4², 35 nằm giữa 25 = 5² và 36 = 6²…): không có số nào là số chính phương nên A không thể xảy ra. Với B: xét chữ số tận cùng và tổng chữ số — 15 (1+5=6 chia hết 3), 30 (3+0=3 chia hết 3) thỏa mãn, còn 5, 10, 20, 35 (3+5=8), 40 (4+0=4) không chia hết cho 3 nên vừa có số thỏa mãn vừa có số không thỏa mãn nên B là biến cố ngẫu nhiên. Với C: mọi số trong dãy đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên toàn bộ 7 số đều chia hết cho 5 nên C chắc chắn xảy ra.
Vậy A không thể, B ngẫu nhiên, C chắc chắn — khớp với Cách 1.
3Cách 3. Xét phản ví dụ để kết luận nhanh, không cần soát hết cả dãy
Định hướng. Với biến cố ngẫu nhiên chỉ cần chỉ ra một số thỏa mãn và một số không thỏa mãn; với biến cố chắc chắn hoặc không thể phải khẳng định đúng cho toàn bộ dãy (không có phản ví dụ).
Với B: 15 chia hết cho 3 (thỏa mãn), còn 10 không chia hết cho 3 (phản ví dụ) nên chỉ cần hai số này đã đủ kết luận B là biến cố ngẫu nhiên, không cần xét hết 7 số. Với A: thử tìm một số chính phương trong dãy — không tồn tại (5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 không phải bình phương của số tự nhiên nào) nên không có phản ví dụ “có” nên A là biến cố không thể. Với C: thử tìm một số không chia hết cho 5 trong dãy — không tồn tại vì mọi số đều tận cùng 0 hoặc 5 nên không có phản ví dụ “không” nên C là biến cố chắc chắn.
Vậy kết luận không đổi: A không thể, B ngẫu nhiên, C chắc chắn — cách này chỉ cần rất ít phép kiểm tra.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 2 (dấu hiệu chia hết): tránh liệt kê dài dòng, ít khả năng bỏ sót số nào và kiểm tra được ngay cả ba biến cố trong một lượt.
Đáp số.A là biến cố không thể; B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn.
Sai lầm thường gặp.Nhiều học sinh thấy cả 7 số đều tận cùng 0 hoặc 5 rồi vội cho rằng biến cố C cũng chỉ là “ngẫu nhiên” giống B, quên kiểm tra riêng rằng MỌI số trong dãy đều chia hết cho 5 (không có phản ví dụ) nên C thực chất là biến cố chắc chắn.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi túi thành các số 5; 10; 15; 21; 30; 35; 40 (đổi 20 thành 21) thì biến cố C không còn chắc chắn nữa vì 21 không chia hết cho 5 — chỉ cần một phản ví dụ là đủ phá vỡ tính “chắc chắn”.
Bài 2 · Bài 8.13★★Trang 58— So sánh khả năng xảy ra qua số kết quả thuận lợi
8.13 (trang 58). Một thùng kín đựng 5 quả bóng màu đỏ, 10 quả bóng màu xanh, 20 quả bóng màu vàng, có cùng kích thước. Ngọc lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong thùng. Hỏi khả năng Ngọc lấy được quả bóng màu gì lớn nhất?
Kiến thức cần nhớ
Khi các quả bóng có cùng kích thước và được lấy ngẫu nhiên, mỗi quả có khả năng được lấy như nhau.
Với phép thử có n kết quả đồng khả năng, xác suất của một biến cố bằng số kết quả thuận lợi chia cho n; số kết quả thuận lợi càng lớn thì xác suất càng lớn.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho số lượng bóng từng màu khác nhau trong một phép thử đồng khả năng theo từng quả — dấu hiệu của việc so sánh xác suất bằng cách so sánh số kết quả thuận lợi. Vì tổng số bóng như nhau cho cả ba màu (đều lấy trên nền 35 quả), màu nào có số lượng nhiều hơn thì xác suất lớn hơn, không cần quy đồng phân số phức tạp. Bẫy ở chỗ dễ nhầm “khả năng lớn nhất” với “màu xuất hiện trước trong đề bài” (đỏ) thay vì xét đúng số lượng thực tế.
1Cách 1. So sánh trực tiếp số lượng bóng từng màu
Định hướng. Vì mỗi quả bóng có khả năng được lấy như nhau, màu nào có nhiều quả hơn thì khả năng lấy được màu đó lớn hơn — chỉ cần so sánh ba số lượng.
Số quả bóng: đỏ có 5 quả, xanh có 10 quả, vàng có 20 quả. So sánh: 20 > 10 > 5, tức là số quả màu vàng nhiều nhất trong ba màu.
Vậy khả năng Ngọc lấy được quả bóng màu vàng là lớn nhất.
2Cách 2. Tính xác suất từng màu theo công thức cổ điển rồi so sánh phân số
Định hướng. Tính hẳn xác suất của từng biến cố “lấy được màu…” theo công thức cổ điển, sau đó so sánh ba phân số cùng mẫu.
Tổng số quả bóng trong thùng là 5 + 10 + 20 = 35 (quả). Xác suất lấy được bóng đỏ: P(đỏ) = 5/35=1/7. Xác suất lấy được bóng xanh: P(xanh)=10/35=2/7. Xác suất lấy được bóng vàng: P(vàng) = 20/35=4/7. So sánh ba phân số cùng mẫu 7: 4/7>2/7>1/7.
Vậy P(vàng) lớn nhất nên khả năng lấy được bóng màu vàng là lớn nhất.
3Cách 3. Đổi ra tỉ lệ phần trăm để so sánh trực quan
Định hướng. Quy các phân số 1/7; 2/7; 4/7 ra phần trăm (làm tròn) để thấy rõ chênh lệch, phù hợp khi trình bày cho người không quen so sánh phân số.
P(đỏ) = 1/7≈14,3. P(xanh)=2/7≈28,6. P(vàng) = 4/7≈57,1. Tổng ba tỉ lệ: 14,3 (khớp kiểm tra), trong đó tỉ lệ của màu vàng cao nhất, hơn một nửa.
Vậy quả bóng màu vàng có khả năng được lấy lớn nhất (khoảng 57,1%).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: chỉ so sánh 3 số nguyên 5, 10, 20 thay vì tính xác suất và quy đồng, nhanh và không thể sai dấu.
Đáp số.Ngọc có khả năng lấy được quả bóng màu vàng là lớn nhất (P(vàng) = 4/7).
Sai lầm thường gặp.Một số học sinh tính đúng ba phân số 1/7; 2/7; 4/7 nhưng lại so sánh nhầm bằng mẫu số ban đầu 5, 10, 20 với tổng chung là 35 mà quên rút gọn nên dễ nhầm lẫn khi so sánh giữa các phân số không cùng mẫu ở bước trung gian.
🚀 Mở rộng.Nếu thêm 5 quả bóng màu tím vào thùng (tổng 40 quả, vàng vẫn 20 quả) thì P(vàng) = 20/40=1/2 — khả năng lấy được màu vàng giảm so với ban đầu dù số quả vàng không đổi, vì tổng số quả trong thùng tăng lên.
Bài 3 · Bài 8.14★★Trang 58— Xác suất cổ điển: biến cố chắc chắn – không thể – kết quả đơn lẻ
8.14 (trang 58). Một chiếc hộp đựng 7 tấm thẻ như nhau được ghi số 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tìm xác suất để rút được tấm thẻ: a) Ghi số nhỏ hơn 10. b) Ghi số 1. c) Ghi số 8.
Kiến thức cần nhớ
Nếu một phép thử có k kết quả đồng khả năng thì xác suất của mỗi kết quả bằng 1/k.
Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1; biến cố không thể có xác suất bằng 0.
Xác suất của một biến cố bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả đồng khả năng.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một hộp hữu hạn 7 thẻ với số ghi cụ thể — dấu hiệu để áp dụng xác suất cổ điển bằng cách đếm số thẻ thỏa mãn trên tổng 7 thẻ. Câu a) và b) thực chất không cần đếm vì rơi đúng vào biến cố chắc chắn (mọi số đều nhỏ hơn 10) và biến cố không thể (không có thẻ số 1), chỉ câu c) mới cần đếm số thẻ thuận lợi. Bẫy ở chỗ dễ máy móc đi đếm cả ba câu mà không nhận ra a) và b) có thể suy luận trực tiếp từ định nghĩa, tốn thời gian không cần thiết.
1Cách 1. Liệt kê 7 kết quả rồi đếm số thuận lợi cho từng câu
Định hướng. Liệt kê đủ 7 số ghi trên thẻ, sau đó với mỗi câu đếm số thẻ thoả mãn rồi chia cho 7.
Bảy số ghi trên thẻ: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. a) Số thẻ ghi số nhỏ hơn 10: cả 7 số 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 đều nhỏ hơn 10, có 7 thẻ thuận lợi trên 7 thẻ nên P=7/7=1. b) Số thẻ ghi số 1: không có thẻ nào ghi số 1 trong bảy thẻ, có 0 thẻ thuận lợi nên P=0/7=0. c) Số thẻ ghi số 8: chỉ có đúng một thẻ ghi số 8, có 1 thẻ thuận lợi trên 7 thẻ nên P=1/7.
VậyP(a)=1, P(b)=0, P(c)=1/7.
2Cách 2. Dùng định nghĩa biến cố chắc chắn – không thể cho a, b, chỉ đếm cho c
Định hướng. Nhận diện ngay câu a) là biến cố chắc chắn và câu b) là biến cố không thể để suy ra xác suất mà không cần đếm, tiết kiệm thời gian; chỉ câu c) mới cần áp dụng công thức đếm.
a) Mọi số ghi trên 7 thẻ (2 đến 8) đều nhỏ hơn 10 nên biến cố “rút được thẻ ghi số nhỏ hơn 10” luôn xảy ra nên đây là biến cố chắc chắn, do đó P=1. b) Trong hộp không có thẻ nào ghi số 1 (chỉ có 2 đến 8) nên biến cố “rút được thẻ ghi số 1” không bao giờ xảy ra nên đây là biến cố không thể, do đó P=0. c) Trong 7 kết quả đồng khả năng, chỉ có duy nhất 1 kết quả là “thẻ ghi số 8” nên P=1/7.
VậyP(a)=1, P(b)=0, P(c)=1/7 — khớp với Cách 1 nhưng nhanh hơn ở câu a, b.
3Cách 3. Dùng tổng xác suất của các kết quả đồng khả năng bằng 1
Định hướng. Vì có 7 kết quả đồng khả năng nên mỗi kết quả có xác suất 1/7 và tổng bảy xác suất này bằng 1; từ đó suy ra xác suất của các biến cố gộp nhiều kết quả.
Xác suất của từng kết quả đơn lẻ (thẻ 2, thẻ 3, …, thẻ 8) đều bằng 1/7, và 1/7+1/7+1/7+1/7+1/7+1/7+1/7=1. a) Biến cố “nhỏ hơn 10” gồm cả 7 kết quả đơn lẻ nói trên nên xác suất của nó bằng tổng cả 7 số hạng 1/7, tức bằng 1. b) Biến cố “ghi số 1” không gồm kết quả đơn lẻ nào (không có số hạng 1/7 nào ứng với nó) nên xác suất bằng 0. c) Biến cố “ghi số 8” chỉ gồm đúng 1 kết quả đơn lẻ nên xác suất bằng 1/7.
VậyP(a)=1, P(b)=0, P(c)=1/7, thống nhất cả ba cách.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2: nhận diện ngay biến cố chắc chắn/không thể cho câu a, b để trả lời tức thì, chỉ tốn công đếm ở câu c — nhanh hơn hẳn việc đếm cả ba câu như Cách 1.
Đáp số.P(a) = 1; P(b) = 0; P(c) = 1/7.
Sai lầm thường gặp.Có học sinh vẫn ngồi đếm và chia 7/7 cho câu a) hoặc viết nhầm P(b) = 1/7 do tưởng nhầm “ghi số 1” là một trong bảy kết quả (trong khi số 1 không xuất hiện trên bất kì thẻ nào, phải bằng 0).
🚀 Mở rộng.Nếu hộp có thêm thẻ ghi số 9 (tổng 8 thẻ: 2 đến 9) thì câu a) không còn là biến cố chắc chắn vì số 9 vẫn nhỏ hơn 10 nên vẫn chắc chắn — nhưng nếu đổi điều kiện thành “nhỏ hơn 9” thì P sẽ giảm còn 6/8 = 3/4 vì thẻ số 9 không thoả mãn.
Bài 4 · Bài 8.15★★★Trang 58— Xác suất cổ điển trên vòng quay 8 phần bằng nhau, gộp nhóm kết quả đồng khả năng
8.15 (trang 58). Một tấm bìa cứng hình tròn được chia làm 8 phần bằng nhau, mỗi phần là một hình quạt tròn có ghi một trong các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 như Hình 8.4, được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bạn Việt quay tấm bìa. a) Tìm xác suất để mũi tên chỉ vào hình quạt: • Ghi số lẻ. • Ghi số 6. b) Biết rằng nếu mũi tên dừng ở hình quạt ghi số 1 hoặc 2 thì Việt nhận được 100 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 3 hoặc 4 thì Việt nhận được 200 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 5 hoặc 6 thì Việt nhận được 300 điểm; dừng ở hình quạt ghi số 7 hoặc 8 thì Việt nhận được 400 điểm. Xét các biến cố sau: A: “Việt nhận được 100 điểm”; C: “Việt nhận được 300 điểm”; B: “Việt nhận được 200 điểm”; D: “Việt nhận được 400 điểm”. • Các biến cố A, B, C, D có đồng khả năng không? Vì sao? • Tìm xác suất của các biến cố A, B, C và D.
Kiến thức cần nhớ
Nếu một phép thử có k kết quả đồng khả năng thì xác suất của mỗi kết quả bằng 1/k.
Hai hay nhiều biến cố có cùng số kết quả thuận lợi (trong một phép thử có các kết quả đồng khả năng) thì đồng khả năng với nhau, dù chúng mô tả các sự việc khác nhau.
Xác suất của một biến cố bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả đồng khả năng.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho phép quay với 8 kết quả đồng khả năng (8 hình quạt bằng nhau) — dấu hiệu dùng xác suất cổ điển bằng cách đếm số hình quạt thuận lợi trên 8. Câu a) chỉ cần đếm trực tiếp, còn câu b) phải gộp đúng từng cặp số cùng mức điểm thành một nhóm rồi mới so sánh số lượng các nhóm để xét tính đồng khả năng. Bẫy ở chỗ dễ tưởng nhầm 4 biến cố A, B, C, D là các con số khác nhau về “mức độ” điểm (100 đến 400) nên không đồng khả năng, trong khi bản chất xác suất chỉ phụ thuộc vào SỐ hình quạt thuận lợi (đều là 2 hình quạt mỗi nhóm), không phụ thuộc vào giá trị điểm số.
1Cách 1. Liệt kê 8 kết quả đồng khả năng rồi đếm thuận lợi
Định hướng. Liệt kê 8 số trên vòng quay, xác định số nào thuộc từng biến cố rồi chia cho 8.
Tám kết quả đồng khả năng: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8. a) Số lẻ trong tám số: 1; 3; 5; 7, có 4 kết quả thuận lợi trên 8 nên P=4/8=1/2. Số 6 chỉ có đúng 1 hình quạt nên P=1/8. b) A gồm số 1, 2 (2 kết quả); B gồm số 3, 4 (2 kết quả); C gồm số 5, 6 (2 kết quả); D gồm số 7, 8 (2 kết quả) — mỗi biến cố đều có đúng 2 kết quả thuận lợi trên 8 nên P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=2/8=1/4.
Vậy P(lẻ) = 1/2, P(số 6) = 1/8; A, B, C, D đồng khả năng và đều có xác suất 1/4.
2Cách 2. Dùng tính đối xứng của vòng quay cho câu a
Định hướng. Vì 8 số 1 đến 8 chia đều thành 4 số lẻ và 4 số chẵn, tính đối xứng cho ngay tỉ lệ 1/2 mà không cần liệt kê; câu b vẫn đếm nhóm như Cách 1.
Trong 8 số liên tiếp 1 đến 8, đúng một nửa là số lẻ (1, 3, 5, 7) và một nửa là số chẵn (2, 4, 6, 8) — hai loại này đối xứng về số lượng nên biến cố “ghi số lẻ” và “ghi số chẵn” đồng khả năng, mỗi biến cố có xác suất 1/2. Số 6 là một kết quả đơn lẻ trong 8 kết quả đồng khả năng nên P(6)=1/8. Với câu b: các nhóm {1;2}, {3;4}, {5;6}, {7;8} đều gồm đúng 2 số liên tiếp nên có cùng số kết quả thuận lợi là 2, do đó P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=2/8=1/4.
Vậy kết quả không đổi: P(lẻ) = 1/2, P(số 6) = 1/8, bốn biến cố A, B, C, D đồng khả năng với xác suất 1/4 mỗi biến cố.
3Cách 3. Gộp nhóm thành “siêu kết quả” để so sánh nhanh tính đồng khả năng ở câu b
Định hướng. Thay vì tính riêng từng biến cố A, B, C, D rồi so sánh, gộp 8 hình quạt thành 4 nhóm điểm số và nhận xét ngay các nhóm này đều có cùng “cỡ” (2 hình quạt) nên đồng khả năng — cách này thấy được bản chất “vì sao” nhanh nhất.
Chia 8 hình quạt thành 4 nhóm theo đề: nhóm {1; 2} ↔ 100 điểm, nhóm {3; 4} ↔ 200 điểm, nhóm {5; 6} ↔ 300 điểm, nhóm {7; 8} ↔ 400 điểm. Mỗi nhóm đều gồm đúng 2 hình quạt, mà 8 hình quạt vốn đồng khả năng như nhau (mỗi hình quạt có xác suất 1/8) nên bốn nhóm — chính là bốn biến cố A, B, C, D — có cùng số kết quả thuận lợi (2 hình quạt mỗi nhóm) nên đồng khả năng với nhau, không phụ thuộc việc số điểm nhận được khác nhau (100, 200, 300, 400). Xác suất mỗi nhóm: P=2/8=1/4 cho cả bốn biến cố.
Vậy A, B, C, D đồng khả năng vì cùng gồm 2 hình quạt mỗi nhóm, và P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=1/4.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 3 ở câu b: nhìn ngay số hình quạt mỗi nhóm (đều bằng 2) để kết luận đồng khả năng mà không cần viết công thức xác suất cho từng biến cố riêng lẻ, tránh nhầm lẫn giữa “mức điểm khác nhau” và “xác suất khác nhau”.
Đáp số.a) P(ghi số lẻ) = 1/2; P(ghi số 6) = 1/8. b) A, B, C, D đồng khả năng vì mỗi biến cố đều có 2 kết quả thuận lợi trên 8; P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = 1/4.
Sai lầm thường gặp.Nhiều học sinh nghĩ A ứng với 100 điểm (mức thấp) nên “dễ xảy ra hơn” D ứng với 400 điểm (mức cao), từ đó kết luận sai rằng bốn biến cố không đồng khả năng — trong khi xác suất chỉ phụ thuộc số hình quạt thuận lợi (đều bằng 2), không phụ thuộc giá trị điểm số được gán cho nhóm đó.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi luật điểm để nhóm {1; 2; 3} nhận 100 điểm và nhóm {4; 5; 6; 7; 8} nhận 200 điểm (không chia đều số hình quạt) thì hai biến cố tương ứng sẽ có xác suất khác nhau (3/8 và 5/8), không còn đồng khả năng — cho thấy tính đồng khả năng phụ thuộc vào số kết quả thuận lợi bằng nhau, không phải số nhãn (mức điểm) bằng số lượng.
