Bài 1 · Bài 8.12★★Trang 58— Nhận biết biến cố chắc chắn – không thể – ngẫu nhiên qua dấu hiệu chia hết
8.12 (trang 58). Một túi đựng các quả cầu có cùng kích thước, được ghi số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Chọn từ thích hợp (chắc chắn, không thể, ngẫu nhiên) thay vào dấu “?” trong các câu sau:
• Biến cố A: “Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương” là biến cố …
• Biến cố B: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3” là biến cố …
• Biến cố C: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 5” là biến cố …
• Biến cố A: “Lấy được quả cầu ghi số là số chính phương” là biến cố …
• Biến cố B: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3” là biến cố …
• Biến cố C: “Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 5” là biến cố …
Kiến thức cần nhớ
- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra; biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra; biến cố ngẫu nhiên là biến cố có thể xảy ra hoặc không.
- Số chính phương là bình phương đúng của một số tự nhiên (0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; …).
- Dấu hiệu chia hết cho 5: chữ số tận cùng là 0 hoặc 5.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một tập hợp cụ thể gồm 7 số rồi hỏi loại của ba biến cố khác nhau — dấu hiệu để dùng định nghĩa (không phải công thức xác suất) và kiểm từng số theo tính chất được nêu. Hướng an toàn nhất là soát cả 7 số cho từng tính chất (chính phương, chia hết cho 3, chia hết cho 5) vì tập hợp chỉ có 7 phần tử, không cần công thức phức tạp. Bẫy ở chỗ 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều tận cùng 0 hoặc 5 nên rất dễ vội kết luận “ngẫu nhiên” cho cả ba biến cố mà quên kiểm tra riêng biến cố chia hết cho 5 — thực chất biến cố này chắc chắn xảy ra.
1Cách 1. Liệt kê trực tiếp cả 7 số rồi đối chiếu từng tính chất
Định hướng. Vì túi chỉ có 7 quả cầu nên liệt kê nguyên văn 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 rồi kiểm từng số theo ba tính chất đã cho.
Xét biến cố A (số chính phương): các số chính phương gần đó là 4; 9; 16; 25; 36; 49 — không số nào trong 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 trùng với các số này. Vậy A không bao giờ xảy ra.
Xét biến cố B (chia hết cho 3): trong 7 số, 15 và 30 chia hết cho 3 (15 = 3.5; 30 = 3.10), còn 5; 10; 20; 35; 40 thì không. Vậy B có thể xảy ra và có thể không xảy ra.
Xét biến cố C (chia hết cho 5): cả 7 số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên đều chia hết cho 5. Vậy C luôn xảy ra.
Xét biến cố B (chia hết cho 3): trong 7 số, 15 và 30 chia hết cho 3 (15 = 3.5; 30 = 3.10), còn 5; 10; 20; 35; 40 thì không. Vậy B có thể xảy ra và có thể không xảy ra.
Xét biến cố C (chia hết cho 5): cả 7 số 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều tận cùng bằng 0 hoặc 5 nên đều chia hết cho 5. Vậy C luôn xảy ra.
Vậy A là biến cố không thể, B là biến cố ngẫu nhiên, C là biến cố chắc chắn.
2Cách 2. Dùng dấu hiệu chia hết thay vì dò từng số
Định hướng. Thay vì liệt kê, dùng dấu hiệu chia hết cho 3 (tổng chữ số) và cho 5 (chữ số tận cùng) để phân loại nhanh cả dãy số, còn với số chính phương thì kẹp giữa hai bình phương liên tiếp.
Với A: 5; 10; 15; 20; 30; 35; 40 đều nằm giữa các số chính phương liên tiếp mà không trùng bình phương nào (ví dụ 15 nằm giữa 9 = 3² và 16 = 4², 35 nằm giữa 25 = 5² và 36 = 6²…): không có số nào là số chính phương nên A không thể xảy ra.
Với B: xét chữ số tận cùng và tổng chữ số — 15 (1+5=6 chia hết 3), 30 (3+0=3 chia hết 3) thỏa mãn, còn 5, 10, 20, 35 (3+5=8), 40 (4+0=4) không chia hết cho 3 nên vừa có số thỏa mãn vừa có số không thỏa mãn nên B là biến cố ngẫu nhiên.
Với C: mọi số trong dãy đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên toàn bộ 7 số đều chia hết cho 5 nên C chắc chắn xảy ra.
Với B: xét chữ số tận cùng và tổng chữ số — 15 (1+5=6 chia hết 3), 30 (3+0=3 chia hết 3) thỏa mãn, còn 5, 10, 20, 35 (3+5=8), 40 (4+0=4) không chia hết cho 3 nên vừa có số thỏa mãn vừa có số không thỏa mãn nên B là biến cố ngẫu nhiên.
Với C: mọi số trong dãy đều có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 nên toàn bộ 7 số đều chia hết cho 5 nên C chắc chắn xảy ra.
Vậy A không thể, B ngẫu nhiên, C chắc chắn — khớp với Cách 1.
3Cách 3. Xét phản ví dụ để kết luận nhanh, không cần soát hết cả dãy
Định hướng. Với biến cố ngẫu nhiên chỉ cần chỉ ra một số thỏa mãn và một số không thỏa mãn; với biến cố chắc chắn hoặc không thể phải khẳng định đúng cho toàn bộ dãy (không có phản ví dụ).
Với B: 15 chia hết cho 3 (thỏa mãn), còn 10 không chia hết cho 3 (phản ví dụ) nên chỉ cần hai số này đã đủ kết luận B là biến cố ngẫu nhiên, không cần xét hết 7 số.
Với A: thử tìm một số chính phương trong dãy — không tồn tại (5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 không phải bình phương của số tự nhiên nào) nên không có phản ví dụ “có” nên A là biến cố không thể.
Với C: thử tìm một số không chia hết cho 5 trong dãy — không tồn tại vì mọi số đều tận cùng 0 hoặc 5 nên không có phản ví dụ “không” nên C là biến cố chắc chắn.
Với A: thử tìm một số chính phương trong dãy — không tồn tại (5, 10, 15, 20, 30, 35, 40 không phải bình phương của số tự nhiên nào) nên không có phản ví dụ “có” nên A là biến cố không thể.
Với C: thử tìm một số không chia hết cho 5 trong dãy — không tồn tại vì mọi số đều tận cùng 0 hoặc 5 nên không có phản ví dụ “không” nên C là biến cố chắc chắn.
Vậy kết luận không đổi: A không thể, B ngẫu nhiên, C chắc chắn — cách này chỉ cần rất ít phép kiểm tra.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2 (dấu hiệu chia hết): tránh liệt kê dài dòng, ít khả năng bỏ sót số nào và kiểm tra được ngay cả ba biến cố trong một lượt.
Đáp số. A là biến cố không thể; B là biến cố ngẫu nhiên; C là biến cố chắc chắn.
Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh thấy cả 7 số đều tận cùng 0 hoặc 5 rồi vội cho rằng biến cố C cũng chỉ là “ngẫu nhiên” giống B, quên kiểm tra riêng rằng MỌI số trong dãy đều chia hết cho 5 (không có phản ví dụ) nên C thực chất là biến cố chắc chắn.
🚀 Mở rộng. Nếu đổi túi thành các số 5; 10; 15; 21; 30; 35; 40 (đổi 20 thành 21) thì biến cố C không còn chắc chắn nữa vì 21 không chia hết cho 5 — chỉ cần một phản ví dụ là đủ phá vỡ tính “chắc chắn”.
