Luyện tập chung (trang 56-57)

Định hướng. Liệt kê đủ 6 kết quả đồng khả năng của phép quay, đối chiếu từng biến cố với định nghĩa biến cố chắc chắn/không thể rồi đếm số kết quả thuận lợi.

Vậy $P(A)=1$, $P(B)=0$, $P(C)=1/6$; ba biến cố E, F, G đồng khả năng và $P(E)=P(F)=P(G)=2/6=1/3$.

Định hướng. Dùng thẳng công thức xác suất cổ điển (số kết quả thuận lợi chia cho số kết quả đồng khả năng), kể cả với biến cố chắc chắn và không thể.

Vậy $P(A)=1$, $P(B)=0$, $P(C)=1/6$, và $P(E)=P(F)=P(G)=1/3$ nên E, F, G đồng khả năng.

Định hướng. Dùng tính đối xứng của 6 hình quạt bằng nhau và tính chất tổng xác suất các biến cố đôi một xung khắc, hợp thành biến cố chắc chắn, bằng 1.

Vậy $P(A)=1$, $P(B)=0$, $P(C)=1/6$, $P(E)=P(F)=P(G)=1/3$.

Nhận xét. Khi các kết quả đồng khả năng được chia thành các nhóm bằng nhau, xác suất mỗi nhóm bằng 1 chia cho số nhóm, không cần đếm lại từng phần tử.

Định hướng. Xét lần lượt 6 số trong túi theo từng tính chất của đề bài rồi đối chiếu với định nghĩa ba loại biến cố.

Vậy biến cố A là biến cố ngẫu nhiên, biến cố B là biến cố chắc chắn, biến cố C là biến cố không thể.

Định hướng. Dùng thẳng dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 10 để xét mà không cần chia cụ thể.

Vậy A ngẫu nhiên, B chắc chắn, C không thể — trùng kết quả Cách 1.

Định hướng. Nhận ra 9; 12; 15; 18; 21; 24 là cấp số cộng công sai 3, số hạng đầu chia hết cho 3, rồi suy luận chung cho cả dãy thay vì thử từng số.

Vậy kết luận không đổi: A ngẫu nhiên, B chắc chắn, C không thể.

Nhận xét. Với một dãy có quy luật, xét dấu hiệu chia hết trên công sai và số hạng đầu nhanh hơn thử chia từng số hạng.

Định hướng. Lập bảng 6×6 các cặp (số chấm xúc xắc Vuông; số chấm xúc xắc Tròn), đếm trực tiếp số ô thoả mãn từng yêu cầu.

Vậy P(hiệu bằng 6) = 0/36 = 0; P(cả hai bé hơn 7) = 36/36 = 1.

Định hướng. Dùng nhận xét về miền giá trị 1 đến 6 của mỗi mặt xúc xắc để suy luận trực tiếp, không cần liệt kê 36 kết cục.

Vậy biến cố ở câu a) là biến cố không thể nên xác suất bằng 0; biến cố ở câu b) là biến cố chắc chắn nên xác suất bằng 1.

Định hướng. Cố định số chấm xúc xắc của Vuông là a, tìm xem có giá trị b hợp lệ nào của Tròn thoả mãn từng yêu cầu hay không.

Vậy kết quả không đổi: P(a) = 0, P(b) = 1.

Nhận xét. Khi phép thử có nhiều kết quả, xét cận giá trị (nhỏ nhất - lớn nhất) thường nhanh hơn liệt kê toàn bộ bảng kết cục.

Định hướng. Đếm số quả cầu mỗi màu trên tổng số quả cầu trong hộp rồi tính xác suất từng biến cố bằng công thức cổ điển.

Vậy hai biến cố A, B đồng khả năng (cùng có 15 kết quả thuận lợi trên 30); $P(A)=P(B)=1/2$.

Định hướng. So sánh trực tiếp số lượng quả cầu mỗi màu để kết luận đồng khả năng mà không cần tính xác suất trước.

Vậy vì đồng khả năng nên $P(A)=P(B)$, kết hợp $P(A)+P(B)=1$ suy ra $P(A)=P(B)=1/2$.

Định hướng. Hình dung hộp gồm hai phần bằng nhau về số lượng, quy đổi sang tỉ lệ phần trăm để so sánh và tính xác suất.

Vậy $P(A)=P(B)=1/2$, hai biến cố A, B đồng khả năng.

Nhận xét. Khi hai loại phần tử có số lượng bằng nhau trong một phép thử đồng khả năng, không cần tính xác suất cũng suy ra ngay tính đồng khả năng.

Định hướng. Xét lần lượt 4 số 11; 12; 13; 14 với từng tính chất của đề bài, đếm số phần tử thoả mãn.

Vậy P(a) = 0/4 = 0; P(b) = 4/4 = 1; P(c) = 2/4 = 1/2; P(d) = 1/4.

Định hướng. Dùng thẳng dấu hiệu chia hết cho 5, cho 2, cho 3 trên chữ số tận cùng và tổng chữ số, kết hợp định nghĩa số nguyên tố, không cần chia thử.

Vậy P(a) = 0; P(b) = 1; P(c) = 1/2; P(d) = 1/4 — trùng kết quả Cách 1.

Định hướng. Với mỗi ý, đếm số phần tử không thoả mãn rồi lấy 4 trừ đi để suy ra số thuận lợi, dùng để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy P(a) = 0/4 = 0; P(b) = 4/4 = 1; P(c) = 2/4 = 1/2; P(d) = 1/4.

Nhận xét. Với tập chỉ 4 phần tử, đếm phần bù không nhanh hơn đếm trực tiếp nhưng là cách kiểm tra chéo hữu ích để tránh sót số.