Bài 30. Làm quen với xác suất của biến cố

Định hướng. Xét từng câu độc lập, so mức độ hợp lý của sự việc với bốn cụm từ đã cho.

Vậy a) không thể; b) ít khả năng; c) nhiều khả năng.

Định hướng. Xác định trước câu nào chắc chắn không xảy ra, câu nào chắc chắn xảy ra (nếu có), phần còn lại xếp vào hai mức giữa theo mức độ hợp lý.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: a) không thể; b) ít khả năng; c) nhiều khả năng.

Nhận xét. Hai cách đều dựa vào hiểu biết thực tế nên luôn cho cùng một đáp án; Cách 2 hữu ích khi cần so sánh nhanh nhiều câu cùng lúc.

Định hướng. Vì mỗi viên bi có khả năng được lấy như nhau, so trực tiếp số viên bi đỏ và số viên bi đen.

Vậy khả năng Nam lấy được viên bi màu đỏ lớn hơn.

Định hướng. Quy số viên bi mỗi màu về tỉ lệ phần trăm trên tổng 20 viên để so sánh trực quan hơn.

Vậy khả năng lấy được bi đỏ (65%) lớn hơn khả năng lấy được bi đen (35%).

Định hướng. Lấy một nửa hộp (10 viên) làm mốc so sánh nhanh, không cần tính chính xác phần trăm.

Vậy khả năng lấy được bi đỏ lớn hơn khả năng lấy được bi đen.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định bi đỏ có khả năng lớn hơn; Cách 3 tuy không cho số chính xác nhưng kết luận nhanh nhất khi chỉ cần so sánh hơn/kém.

Định hướng. Ghi lại đủ 5 giá trị phần trăm rồi tìm số lớn nhất và số nhỏ nhất trong 5 số đó.

Vậy Hôm nay có khả năng mưa nhiều nhất (40%), Thứ Ba 11 có khả năng mưa ít nhất (15%).

Định hướng. Xếp cả 5 xác suất thành một dãy tăng dần, giá trị đầu dãy là nhỏ nhất, giá trị cuối dãy là lớn nhất.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: mưa nhiều nhất vào Hôm nay, ít nhất vào Thứ Ba 11.

Định hướng. So sánh lần lượt từng cặp hai ngày một, giữ lại ngày lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) để tìm ra cực trị mà không cần sắp toàn bộ dãy.

Vậy ngày mưa nhiều nhất là Hôm nay, ngày mưa ít nhất là Thứ Ba 11, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 3 phù hợp khi chỉ cần tìm cực trị mà không cần biết thứ hạng đầy đủ của cả 5 ngày.

Định hướng. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của tổng số chấm hai xúc xắc rồi đối chiếu với ngưỡng 13 và 1.

Vậy “Tổng nhỏ hơn 13” là biến cố chắc chắn (xác suất bằng 1); “Tổng bằng 1” là biến cố không thể (xác suất bằng 0).

Định hướng. Lập bảng số chấm của xúc xắc thứ nhất (1 đến 6) với xúc xắc thứ hai (1 đến 6), tạo thành 36 cặp kết quả đồng khả năng, rồi đếm số cặp thoả từng biến cố.

Vậy xác suất “Tổng nhỏ hơn 13” là $\frac{36}{36}=1$; xác suất “Tổng bằng 1” là $\frac{0}{36}=0$.

Định hướng. Với mỗi biến cố, xét biến cố đối lập của nó để kiểm chứng chéo mà không cần liệt kê lại từ đầu.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: xác suất lần lượt là 1 và 0.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì chỉ cần so giá trị biên; Cách 2 chắc chắn nhất vì liệt kê đầy đủ 36 kết quả.

Định hướng. Nhận ra ba biến cố chọn từng ô cửa là đồng khả năng rồi áp công thức $\frac{1}{k}$.

Vậy xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng là $\frac{1}{3}$.

Định hướng. Liệt kê hết các cách chọn ô rồi đếm đúng số cách trùng với ô có thưởng.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{3}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Ba ô cửa có vai trò hoàn toàn như nhau đối với người chơi (không ô nào được ưu tiên chọn hơn), nên ba xác suất trúng thưởng phải bằng nhau; kết hợp với tổng xác suất của mọi khả năng luôn bằng 1.

Vậy xác suất để người chơi chọn được ô cửa có phần thưởng là $\frac{1}{3}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất khi đã thuộc công thức $\frac{1}{k}$; Cách 3 hữu ích để hiểu VÌ SAO công thức đó đúng.

Định hướng. Nhận ra 6 mặt xúc xắc là 6 biến cố đồng khả năng rồi áp công thức $\frac{1}{k}$.

Vậy xác suất để số chấm xuất hiện là 2 bằng $\frac{1}{6}$.

Định hướng. Liệt kê hết 6 mặt có thể rồi đếm đúng số mặt ghi số 2.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{6}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Vì 6 mặt xúc xắc đối xứng vai trò và luôn xảy ra đúng một mặt, tổng 6 xác suất bằng nhau đó phải bằng 1.

Vậy xác suất để số chấm xuất hiện là 2 bằng $\frac{1}{6}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất khi đã quen công thức; Cách 3 giải thích rõ VÌ SAO công thức $\frac{1}{k}$ đúng với mọi mặt xúc xắc.

Định hướng. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tổng và của tích rồi so với ngưỡng đề cho.

Vậy a) biến cố chắc chắn, xác suất bằng 1; b) biến cố không thể, xác suất bằng 0.

Định hướng. Lập bảng 36 cặp $(a;b)$ với $a,b\in \{1;\dots ;6\}$ rồi đếm số cặp thoả từng biến cố.

Vậy a) xác suất là $\frac{36}{36}=1$; b) xác suất là $\frac{0}{36}=0$.

Định hướng. Xét biến cố đối lập để kiểm chứng chéo kết quả mà không cần liệt kê lại.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: a) xác suất bằng 1; b) xác suất bằng 0.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất, Cách 2 trực quan nhất cho học sinh mới học, Cách 3 rèn tư duy biến cố đối lập sẽ dùng nhiều ở lớp trên.

Định hướng. Nhận ra hai biến cố chọn hộp là đồng khả năng rồi áp công thức $\frac{1}{k}$.

Vậy xác suất để Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng là $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Liệt kê hết các cách chọn hộp rồi đếm đúng số cách trùng với hộp cờ Tây Ban Nha.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{2}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Biến cố đối của “chọn hộp Tây Ban Nha” là “chọn hộp Hà Lan”; do hai hộp đối xứng hoàn toàn nên hai xác suất này bằng nhau, cộng lại bằng 1.

Vậy xác suất để Paul dự đoán đội Tây Ban Nha thắng là $\frac{1}{2}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả vì bản chất bài toán chỉ là chọn ngẫu nhiên 1 trong 2 vật giống hệt nhau, không liên quan tới thực lực hai đội bóng.

Định hướng. So số kết quả thuận lợi của A và B để trả lời ý a), rồi áp công thức $\frac{1}{k}$ cho ý b).

Vậy a) A và B đồng khả năng vì số bạn nam bằng số bạn nữ (đều là 5 bạn); b) xác suất của A và B đều bằng $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Quy số bạn nam, nữ về tỉ lệ phần trăm trên tổng 10 bạn của tổ để so sánh và tính xác suất.

Vậy a) A và B đồng khả năng vì cùng chiếm 50% tổ; b) xác suất của A và B đều bằng $\frac{1}{2}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Vì số nam bằng số nữ, việc hoán đổi vai trò nam/nữ không làm thay đổi cấu trúc bài toán, nên hai xác suất phải bằng nhau; kết hợp tổng xác suất của A và B luôn bằng 1.

Vậy a) A và B đồng khả năng; b) xác suất của A và B đều bằng $\frac{1}{2}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định A, B đồng khả năng vì số nam bằng số nữ; nếu số nam khác số nữ thì cả ba cách đều cho kết quả KHÔNG đồng khả năng.

Định hướng. Kiểm tra điều kiện của A, B, C với tập giá trị $\{1;\dots ;6\}$ mà xúc xắc có thể cho ra.

Vậy A là biến cố chắc chắn (xác suất 1), B là biến cố không thể (xác suất 0), C có xác suất $\frac{1}{6}$.

Định hướng. Liệt kê 6 mặt có thể rồi đếm số mặt thoả điều kiện của từng biến cố.

Vậy xác suất của A, B, C lần lượt là 1; 0; $\frac{1}{6}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Với A và B, xét biến cố đối lập của chúng để kiểm chứng; với C áp trực tiếp tính chất đồng khả năng.

Vậy kết quả trùng khớp hai cách trên: xác suất của A, B, C lần lượt là 1; 0; $\frac{1}{6}$.

Nhận xét. Ba biến cố tuy cùng nói về một con xúc xắc nhưng thuộc ba loại hoàn toàn khác nhau — phải xét riêng từng biến cố, không suy diễn chung một kết luận cho cả ba.