Chương VIII. Làm quen với biến cố và xác suất của biến cố

Bài 30. Làm quen với xác suất của biến cố

Sách bài tập Toán 7 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán7 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang43 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.5★Trang 43— So sánh khả năng xảy ra của hai biến cố qua tỉ lệ số phần tử thuận lợi

Bài 8.5 (trang 43). Lớp 7A có 40 học sinh trong đó có 10 học sinh nam. Giáo viên gọi ngẫu nhiên một bạn lên bảng để kiểm tra bài tập. Hỏi bạn nam hay bạn nữ có khả năng được gọi lên bảng nhiều hơn? Tại sao?

Kiến thức cần nhớ

Khi gọi ngẫu nhiên, mỗi học sinh có khả năng được gọi như nhau.
Biến cố nào có nhiều kết quả thuận lợi hơn thì khả năng xảy ra của biến cố đó lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tổng 40 học sinh và chỉ nêu số nam (10) — dấu hiệu phải suy ra số nữ bằng phép trừ trước khi so sánh, vì đây không phải bài cho sẵn cả hai số như HĐ2 của bài học. Hướng nhanh nhất là tính số nữ rồi so trực tiếp với số nam. Bẫy là quên tính số nữ mà so nhầm 10 với 40 (tổng cả lớp) thay vì so với đúng số nữ.

1Cách 1. Tính số học sinh nữ rồi so sánh trực tiếp với số nam

Định hướng. Suy ra số học sinh nữ từ tổng số học sinh và số nam, rồi so hai số thuận lợi với nhau.

Số học sinh nữ của lớp 7A là

40 - 10 = 30

(học sinh)
Ta có

30 > 10

Vậy bạn nữ có khả năng được gọi lên bảng nhiều hơn, vì lớp có 30 bạn nữ nhiều hơn hẳn 10 bạn nam.

2Cách 2. Tính tỉ lệ phần trăm mỗi nhóm trên tổng số học sinh

Định hướng. Quy số học sinh nam, nữ về tỉ lệ phần trăm trên tổng 40 bạn để so sánh trực quan.

Tỉ lệ học sinh nam là

\frac{10}{40} = 25%

Tỉ lệ học sinh nữ là

\frac{40 - 10}{40} = \frac{30}{40} = 75%

Ta có

75% > 25%

Vậy khả năng gọi được bạn nữ (75%) lớn hơn khả năng gọi được bạn nam (25%), khớp Cách 1.

3Cách 3. So mỗi tỉ lệ với mốc một nửa lớp

Định hướng. Lấy nửa lớp (20 bạn) làm mốc so sánh nhanh, không cần tính chính xác phần trăm.

Một nửa lớp có

40 : 2 = 20

(học sinh)
Số học sinh nam

10 < 20

nên nam chiếm chưa đến một nửa lớp
Số học sinh nữ

30 > 20

nên nữ chiếm hơn một nửa lớp

Vậy khả năng gọi được bạn nữ lớn hơn khả năng gọi được bạn nam, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định nữ có khả năng lớn hơn; Cách 1 nhanh nhất vì chỉ cần một phép trừ và một phép so sánh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: trừ ra số nữ rồi so trực tiếp với số nam, không cần quy đổi phần trăm mất thời gian.

Đáp số. Bạn nữ có khả năng được gọi lên bảng nhiều hơn, vì lớp 7A có 30 bạn nữ (75%) nhiều hơn hẳn 10 bạn nam (25%).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp: so trực tiếp 10 (số nam) với 40 (tổng số học sinh cả lớp) rồi kết luận sai, quên phải tính số nữ

= 40 - 10 = 30

trước khi so sánh hai nhóm với nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu lớp có đúng 20 nam và 20 nữ thì hai biến cố “gọi được nam” và “gọi được nữ” trở thành đồng khả năng, mỗi biến cố có xác suất

\frac{1}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.6★★Trang 43— Xác định biến cố chắc chắn, biến cố không thể qua giới hạn tổng và tích số chấm ba xúc xắc

Bài 8.6 (trang 43). Nam, Việt và Mai mỗi người gieo một con xúc xắc. Tính xác suất của biến cố: a) “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 2”; b) “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 216”.

Kiến thức cần nhớ

Ba xúc xắc mỗi con cho số chấm từ 1 đến 6 nên tổng số chấm chạy từ $1 + 1 + 1 = 3$ đến $6 + 6 + 6 = 18$ .
Tích số chấm ba xúc xắc chạy từ $1 \times 1 \times 1 = 1$ đến $6 \times 6 \times 6 = 216$ .
Biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1; biến cố không thể có xác suất bằng 0.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai biến cố về TỔNG và TÍCH số chấm của BA xúc xắc với ngưỡng 2 và 216 — dấu hiệu cần xác định khoảng giá trị có thể của tổng (từ 3 đến 18) và của tích (từ 1 đến 216) rồi so ngưỡng, khác bài 8.4 (chỉ hai xúc xắc) ở chỗ có thêm một xúc xắc thứ ba. Hướng nhanh là so trực tiếp ngưỡng với giá trị biên nhỏ nhất/lớn nhất. Bẫy ở câu b: tích lớn nhất đúng BẰNG 216 (

6 \times 6 \times 6

) chứ không vượt quá, nên biến cố “tích lớn hơn 216” chắc chắn không xảy ra.

1Cách 1. Xác định khoảng giá trị biên của tổng và tích rồi so ngưỡng

Định hướng. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của tổng và của tích ba số chấm rồi so với ngưỡng đề cho.

a) Tổng nhỏ nhất của ba xúc xắc là

1 + 1 + 1 = 3

Vì

3 > 2

nên mọi tổng có thể đều lớn hơn 2
b) Tích lớn nhất của ba xúc xắc là

6 \times 6 \times 6 = 216

Vì tích không thể vượt quá 216 nên không có tích nào lớn hơn 216

Vậy a) biến cố chắc chắn, xác suất bằng 1; b) biến cố không thể, xác suất bằng 0.

2Cách 2. Xét biến cố đối lập của từng biến cố

Định hướng. Xét biến cố đối lập để kiểm chứng chéo mà không cần tính lại giá trị biên.

a) Biến cố đối của “tổng lớn hơn 2” là “tổng không vượt quá 2”
Vì mỗi xúc xắc có số chấm ít nhất là 1 nên tổng ba xúc xắc ít nhất là 3, không thể

\leq 2

— biến cố đối không thể xảy ra
Suy ra biến cố “tổng lớn hơn 2” chắc chắn xảy ra
b) Biến cố đối của “tích lớn hơn 216” là “tích không vượt quá 216”
Vì mỗi xúc xắc có số chấm nhiều nhất là 6 nên tích ba xúc xắc nhiều nhất là 216 — biến cố đối chắc chắn xảy ra
Suy ra biến cố “tích lớn hơn 216” không thể xảy ra

Vậy a) xác suất bằng 1; b) xác suất bằng 0, khớp Cách 1.

3Cách 3. So sánh với trường hợp hai xúc xắc đã biết ở bài học

Định hướng. Dùng lại kết quả quen thuộc của hai xúc xắc (tổng nhỏ nhất 2, tích lớn nhất 36) rồi suy luận thêm xúc xắc thứ ba làm tổng/tích biến đổi thế nào.

Với hai xúc xắc: tổng nhỏ nhất là

1 + 1 = 2

, tích lớn nhất là

6 \times 6 = 36

Thêm xúc xắc thứ ba (ít nhất 1 chấm, nhiều nhất 6 chấm): tổng nhỏ nhất tăng thêm ít nhất 1, thành

2 + 1 = 3

Tích lớn nhất nhân thêm nhiều nhất 6, thành

36 \times 6 = 216

Vậy ngưỡng 2 của câu a nhỏ hơn tổng nhỏ nhất mới (3); ngưỡng 216 của câu b đúng bằng tích lớn nhất mới

Vậy a) tổng luôn lớn hơn 2 — biến cố chắc chắn (xác suất 1); b) tích không thể lớn hơn 216 — biến cố không thể (xác suất 0), khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba xúc xắc chỉ làm khoảng giá trị của tổng/tích RỘNG hơn hai xúc xắc, nhưng cách lập luận biên vẫn giữ nguyên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: so ngưỡng với giá trị biên nhỏ nhất/lớn nhất của tổng và tích ba số từ 1 đến 6.

Đáp số. a) Xác suất của biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 2” bằng 1. b) Xác suất của biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên ba con xúc xắc lớn hơn 216” bằng 0.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp: áp nhầm giới hạn của HAI xúc xắc (tổng nhỏ nhất 2, tích lớn nhất 36) cho bài BA xúc xắc, dẫn đến tính sai tổng nhỏ nhất là 2 (đúng phải là 3) và tích lớn nhất là 36 (đúng phải là 216).

🚀 Mở rộng. Đổi ngưỡng câu b thành “tích lớn hơn 215” thì biến cố đó lại là ngẫu nhiên (chỉ xảy ra khi tích bằng 216, tức cả ba xúc xắc đều ra 6 chấm), xác suất bằng

\frac{1}{216}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.7★Trang 43— Nhận biết biến cố chắc chắn, biến cố không thể qua điều kiện chia hết và so sánh trên một tập số cho trước

Bài 8.7 (trang 43). Một túi đựng sáu tấm thẻ được ghi các số 6; 9; 10; 11; 12; 13. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi. Tính xác suất để: a) Rút được thẻ ghi số chia hết cho 7; b) Rút được thẻ ghi số lớn hơn 5.

Kiến thức cần nhớ

Biến cố không thể có xác suất bằng 0; biến cố chắc chắn có xác suất bằng 1.
Muốn xác định biến cố chắc chắn/không thể trên một tập hữu hạn, phải kiểm tra hết mọi phần tử của tập đó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.8★Trang 43— Tính xác suất theo tính chất đồng khả năng khi số phần tử hai nhóm bằng nhau

Bài 8.8 (trang 43). Tại một hội thảo có 50 đại biểu trong đó có 25 đại biểu nam. Phóng viên chọn ngẫu nhiên một đại biểu để phỏng vấn. Tính xác suất để đại biểu được chọn phỏng vấn là nữ.

Kiến thức cần nhớ

Hai biến cố đồng khả năng khi số kết quả thuận lợi của chúng bằng nhau.
$k$ biến cố đồng khả năng, luôn xảy ra đúng một biến cố thì xác suất mỗi biến cố bằng $\frac{1}{k}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.9★★Trang 43— Tính xác suất bằng đếm kết quả thuận lợi trên tập số cho trước, kết hợp tính chất đồng khả năng

Bài 8.9 (trang 43). Một túi đựng tám quả cầu được ghi các số 12; 18; 20; 22; 24; 26; 30; 34. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi. Tính xác suất để: a) Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 3; b) Lấy được quả cầu ghi số chia hết cho 11; c) Lấy được quả cầu ghi số 12 hoặc 18.

Kiến thức cần nhớ

Lấy ngẫu nhiên một quả cầu trong túi nên 8 quả cầu đồng khả năng được lấy.
Xác suất của một biến cố bằng số kết quả thuận lợi chia cho tổng số kết quả có thể (ở đây là 8).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗