Ôn tập chương VIII

Định hướng. Liệt kê các số có một chữ số và hai chữ số trong khoảng 1 đến 18 rồi đếm số lượng từng nhóm.

Vậy A và B đồng khả năng, $P(A)=P(B)=1/2$.

Định hướng. Không liệt kê từng số, chỉ dùng công thức đếm số nguyên trong một đoạn: số lượng số từ m đến n là n - m + 1.

Vậy kết quả khớp Cách 1: A và B đồng khả năng, đều có xác suất 1/2.

Định hướng. Vì mỗi câu hỏi từ 1 đến 18 chỉ có thể là “một chữ số” hoặc “hai chữ số” (không có khả năng thứ ba), A và B là hai biến cố đối lập nên $P(A)+P(B)=1$; kết hợp với việc đếm một nhóm là suy ra được nhóm kia.

Vậy chỉ cần đếm một nhóm là suy ra ngay cả hai: $P(A)=P(B)=1/2$, đồng khả năng.

Định hướng. Liệt kê tám số trên vòng quay rồi đếm số hình quạt thoả mãn từng điều kiện, chia cho 8.

Vậy $P(a)=1$, $P(b)=0$, $P(c)=1/2$, $P(d)=1/4$.

Định hướng. Nhận diện câu a) là biến cố chắc chắn, câu b) là biến cố không thể để trả lời ngay không cần đếm; câu c), d) mới dùng công thức đếm.

Vậy $P(a)=1$, $P(b)=0$, $P(c)=1/2$, $P(d)=1/4$, khớp Cách 1.

Định hướng. Nhóm 8 hình quạt thành 4 cặp liên tiếp {1;2}, {3;4}, {5;6}, {7;8} — mỗi cặp có 1 số lẻ và 1 số chẵn, và mỗi cặp đại diện cho 2/8 = 1/4 khả năng; từ đó suy luận nhanh câu c và d mà không cần liệt kê hết.

Vậy kết quả không đổi: $P(a)=1$, $P(b)=0$, $P(c)=1/2$, $P(d)=1/4$.

Định hướng. Liệt kê nguyên văn 14 số từ 10 đến 23 rồi đếm số quả cầu thoả điều kiện của từng câu.

Vậy $P(a)=0$, $P(b)=1/2$, $P(c)=1/14$, $P(d)=1/7$.

Định hướng. Xác nhận tổng số quả cầu bằng công thức đếm đoạn, rồi dùng tính chất “dãy chẵn số nguyên liên tiếp chia đôi đúng số chẵn – số lẻ” cho câu b thay vì liệt kê.

Vậy kết quả khớp Cách 1: $P(a)=0$, $P(b)=1/2$, $P(c)=1/14$, $P(d)=1/7$.

Định hướng. Chia 14 số thành 7 cặp liên tiếp {10;11}, {12;13}, …, {22;23} — mỗi cặp chiếm đúng $2/14=1/7$ khả năng, nên xác suất của biến cố ở câu d) đọc ra ngay từ cách chia này.

Vậy $P(a)=0$, $P(b)=1/2$, $P(c)=1/14$, $P(d)=1/7$ — thống nhất cả ba cách.

Định hướng. Xác nhận số lượng bóng mỗi màu bằng nhau, từ đó suy ra 5 biến cố đồng khả năng, rồi áp dụng công thức xác suất cổ điển cho từng biến cố.

Vậy A, B, C, D, E đồng khả năng, mỗi biến cố có xác suất 1/5.

Định hướng. Vì mỗi lần lấy chỉ được đúng 1 trong 5 màu (không trùng, không sót), 5 biến cố này luôn có đúng một biến cố xảy ra nên tổng xác suất của chúng bằng 1; kết hợp với việc chúng đồng khả năng để suy ra từng xác suất bằng 1/5 mà không cần chia riêng 4/20.

Vậy $P(A)=P(B)=P(C)=P(D)=P(E)=1/5$, khớp Cách 1.

Định hướng. Nhận xét ngay 20 quả bóng chia đều cho 5 màu ($20÷5=4$ quả mỗi màu, đúng như đề cho) nên đây là phép chia đều — dấu hiệu trực quan nhất của tính đồng khả năng, không cần lập luận qua nhiều bước.

Vậy A, B, C, D, E đồng khả năng, mỗi biến cố có xác suất 1/5 — thống nhất với hai cách trên.

Định hướng. Vì mỗi quả bóng chỉ có đúng một trong hai màu, biến cố “trắng” và “đen” đồng khả năng có nghĩa là số quả bóng mỗi màu bằng nhau; từ đó chia đôi tổng số 40 quả.

Vậy trong thùng có 20 quả bóng màu trắng.

Định hướng. Gọi ẩn là số bóng trắng, biểu diễn số bóng đen theo tổng, rồi dùng điều kiện “xác suất hai biến cố bằng nhau” để lập và giải phương trình.

Vậy $x=20$, tức trong thùng có 20 quả bóng màu trắng — khớp Cách 1.

Định hướng. Với hai biến cố đối lập, tổng hai xác suất luôn bằng 1; kết hợp với giả thiết đồng khả năng (hai xác suất bằng nhau) để suy ra mỗi xác suất bằng 1/2, rồi nhân với tổng số bóng.

Vậy trong thùng có 20 quả bóng màu trắng, thống nhất với hai cách trên.

Định hướng. Gọi $n$ là số hành khách nữ xuống xe, biểu diễn số nữ còn lại theo $n$, rồi dùng công thức xác suất cổ điển để lập phương trình với dữ kiện P(nữ) = $1/2$.

Vậy có 3 hành khách nữ đã xuống xe.

Định hướng. Vì mỗi hành khách còn lại chỉ có thể là nam hoặc nữ, xác suất chọn được nữ bằng 1/2 tương đương với số nữ còn lại bằng đúng số nam còn lại — không cần lập phương trình với mẫu số biến thiên.

Vậy có 3 hành khách nữ đã xuống xe — khớp Cách 1 nhưng không cần lập phương trình với mẫu số.

Định hướng. Từ nhận xét số nữ còn lại phải bằng số nam còn lại (28 người), suy luận ngược lại số nữ xuống xe, rồi thử lại bằng định nghĩa xác suất cổ điển để chắc chắn không sai sót.

Vậy việc thử lại xác nhận có 3 hành khách nữ đã xuống xe.

Định hướng. Vì mỗi viên bi chỉ mang đúng một trong năm màu, 5 biến cố đồng khả năng có nghĩa là số viên bi mỗi màu bằng nhau; chia đều tổng 50 viên cho 5 màu.

Vậy mỗi màu có đúng 10 viên bi (xanh, đỏ, trắng, tím, vàng đều 10 viên).

Định hướng. Gọi $x$ là số bi mỗi màu (vì 5 xác suất bằng nhau nên có thể dùng chung một ẩn), lập phương trình tổng số bi bằng 50 rồi giải.

Vậy $x=10$, mỗi màu có 10 viên bi — khớp Cách 1.

Định hướng. Vì luôn xảy ra đúng một trong 5 biến cố (mỗi lần lấy chỉ ra một màu), tổng 5 xác suất bằng 1; kết hợp tính đồng khả năng suy ra mỗi xác suất bằng 1/5, rồi nhân với tổng 50 viên để ra số lượng.

Vậy mỗi màu có 10 viên bi, thống nhất với hai cách trên.