Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định hướng. $BC$ dài nhất nên $\hat{A}$ (đối diện $BC$) là góc lớn nhất; cộng ba lần $\hat{A}$ so với tổng ba góc sẽ ra chặn dưới $60^{\circ }$.

Vậy $\hat{A}\ge 60^{\circ }$ (đpcm).

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai ($\hat{A}<60^{\circ }$), chỉ ra mâu thuẫn với việc $\hat{A}$ là góc lớn nhất.

Vậy điều giả sử sai, tức $\hat{A}\ge 60^{\circ }$ (đpcm).

Định hướng. Xét trường hợp đẳng thức xảy ra khi nào để thấy chặn $60^{\circ }$ là chặt, rồi thử thêm một tam giác không đều để kiểm tra $\hat{A}>60^{\circ }$.

Vậy cả hai ví dụ đều xác nhận $\hat{A}\ge 60^{\circ }$, với dấu bằng chỉ khi tam giác đều.

Định hướng. Xét lần lượt hai tam giác $ADC$ và $ACE$, mỗi tam giác dùng đúng một công cụ đã học.

Vậy $AD<AC<AE$ (đpcm).

Định hướng. Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$; vì cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm $BC$. So khoảng cách từ $D$, $E$ tới $H$ để suy ra khoảng cách tới $A$ theo Pythagore.

Vậy $AD<AC<AE$, khớp Cách 1.

Định hướng. Dựng một tam giác cân cụ thể với $D$, $E$ theo đúng thứ tự đề bài rồi tính số đo ba đoạn để kiểm chứng bất đẳng thức kép.

Vậy $AD\approx 4,12<AC=5<AE\approx 6,40$, xác nhận đúng bất đẳng thức kép $AD<AC<AE$.

Định hướng. Nếu $\hat{A}\ge 90^{\circ }$ thì hai góc còn lại buộc phải nhỏ hơn $90^{\circ }$ do tổng ba góc bằng $180^{\circ }$, nên $\hat{A}$ luôn là góc lớn nhất.

Vậy $BC$ là cạnh lớn nhất: là cạnh huyền khi $\hat{A}=90^{\circ }$, là cạnh đối diện góc tù khi $\hat{A}>90^{\circ }$.

Định hướng. Giả sử một trong hai cạnh kề góc $A$ lớn hơn hoặc bằng $BC$, chỉ ra điều này buộc tổng hai góc $\ge 180^{\circ }$, vô lí.

Vậy $BC$ lớn hơn cả $AB$ và $AC$, tức $BC$ là cạnh lớn nhất.

Định hướng. Lấy một tam giác vuông và một tam giác tù cụ thể để tính số đo ba cạnh, kiểm chứng lập luận tổng quát ở Cách 1.

Vậy cả hai ví dụ số đều xác nhận cạnh đối diện góc $\ge 90^{\circ }$ luôn là cạnh lớn nhất.

Định hướng. Lấy $P$ sao cho $M$ là trung điểm $AP$; vì $M$ cũng là trung điểm $BC$ nên hai tam giác $AMC$ và $PMB$ bằng nhau (c.g.c), từ đó $\widehat{CAM}$ "chuyển hoá" thành góc $\widehat{APB}$ trong tam giác $ABP$.

Vậy a) $\widehat{BAM}<\widehat{CAM}$.

Định hướng câu b). Tia phân giác $AD$ chia $\widehat{BAC}$ thành hai phần bằng nhau, nên $\widehat{BAD}$ chính là trung bình cộng của $\widehat{BAM}$ và $\widehat{CAM}$ — so trung bình cộng đó với $\widehat{BAM}$ sẽ xác định vị trí của $D$.

Vậy b) $D$ nằm giữa $M$ và $C$, tức $D$ thuộc đoạn thẳng $MC$.

Định hướng. Hai tam giác $ABM$, $ACM$ có đáy $BM=CM$ và chung đường cao từ $A$ nên diện tích bằng nhau; so sánh diện tích theo công thức $\frac{1}{2}\cdot$ cạnh $\cdot$ cạnh $\cdot \sin$(góc xen giữa) để suy ra quan hệ hai góc.

Vậy a) $\widehat{BAM}<\widehat{CAM}$; suy luận như phần Định hướng câu b) của Cách 1 (dùng $\widehat{BAD}$ là trung bình cộng), ta được b) $D$ thuộc đoạn thẳng $MC$.

Định hướng. Dựng một tam giác cụ thể thoả $AB>AC$ rồi tính toạ độ $M$ để đo trực tiếp hai góc, kiểm chứng kết luận tổng quát.

Vậy a) $\widehat{BAM}\approx 31,2^{\circ }<\widehat{CAM}\approx 44,5^{\circ }$; b) $D$ thuộc đoạn thẳng $MC$ — xác nhận đúng kết luận ở Cách 1 và Cách 2.