Bài 31. Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Định hướng. $BC$ dài nhất nên $\hat{A}$ (đối diện $BC$) là góc lớn nhất; cộng ba lần $\hat{A}$ so với tổng ba góc sẽ ra chặn dưới $60^{\circ }$.

Vậy $\hat{A}\ge 60^{\circ }$ (đpcm).

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai ($\hat{A}<60^{\circ }$), chỉ ra mâu thuẫn với việc $\hat{A}$ là góc lớn nhất.

Vậy điều giả sử sai, tức $\hat{A}\ge 60^{\circ }$ (đpcm).

Định hướng. Xét trường hợp đẳng thức xảy ra khi nào để thấy chặn $60^{\circ }$ là chặt, rồi thử thêm một tam giác không đều để kiểm tra $\hat{A}>60^{\circ }$.

Vậy cả hai ví dụ đều xác nhận $\hat{A}\ge 60^{\circ }$, với dấu bằng chỉ khi tam giác đều.

Định hướng. Xét lần lượt hai tam giác $ADC$ và $ACE$, mỗi tam giác dùng đúng một công cụ đã học.

Vậy $AD<AC<AE$ (đpcm).

Định hướng. Gọi $H$ là chân đường cao từ $A$; vì cân tại $A$ nên $H$ là trung điểm $BC$. So khoảng cách từ $D$, $E$ tới $H$ để suy ra khoảng cách tới $A$ theo Pythagore.

Vậy $AD<AC<AE$, khớp Cách 1.

Định hướng. Dựng một tam giác cân cụ thể với $D$, $E$ theo đúng thứ tự đề bài rồi tính số đo ba đoạn để kiểm chứng bất đẳng thức kép.

Vậy $AD\approx 4,12<AC=5<AE\approx 6,40$, xác nhận đúng bất đẳng thức kép $AD<AC<AE$.