Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 33. Hai tam giác đồng dạng

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 11 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang51–52 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 9.1★Trang 51— Đọc đúng tương ứng đỉnh từ kí hiệu đồng dạng

Bài 9.1 (trang 51). Khi viết

△ A B C ∽ △ M N P

thì góc nào của tam giác

A B C

tương ứng với góc

P N M

của tam giác

M N P

? Hãy viết các cặp góc bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ của hai tam giác đã cho.

Kiến thức cần nhớ

Trong tên góc ba chữ cái $X Y Z$ , đỉnh của góc luôn là chữ cái VIẾT Ở GIỮA.
$△ A B C ∽ △ M N P$ cho tương ứng $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề hỏi ngược: cho tên một góc của tam giác

M N P

(viết theo ba chữ

P, N, M

) rồi hỏi góc tương ứng bên

A B C

— dấu hiệu là phải hiểu

P N M

chính là góc tại ĐỈNH GIỮA

N

(đỉnh viết ở giữa ba chữ luôn là đỉnh của góc), không phải một kí hiệu lạ. Từ tương ứng gốc

A \leftrightarrow M

B \leftrightarrow N

C \leftrightarrow P

suy ra ngay góc ứng với

N

là

B

1Cách 1. Xác định đỉnh của góc PNM rồi tra bảng tương ứng

Định hướng. Góc $P N M$ có đỉnh là chữ cái ở giữa, tức đỉnh $N$ ; tra bảng tương ứng $A \leftrightarrow M$ , $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow P$ để tìm đỉnh bên $A B C$ ứng với $N$ .

P N M

có đỉnh

N

, tức

P N M = N

Theo

△ A B C ∽ △ M N P

B \leftrightarrow N

\Rightarrow

góc tương ứng với

N

bên

△ A B C

là

B

Vậy góc $P N M$ tương ứng với góc $A B C$ (góc $B$ ) của tam giác $A B C$ .

2Cách 2. Liệt kê đầy đủ ba cặp góc và ba cặp cạnh trước, rồi suy ra kết quả

Định hướng. Viết hết định nghĩa đồng dạng của $△ A B C ∽ △ M N P$ trước, câu hỏi về $P N M$ khi đó chỉ là đọc lại một dòng đã viết sẵn.

A = M

B = N

C = P

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{A C}{M P}

Vì

P N M = N

và dòng đầu đã có

B = N

Vậy $P N M$ tương ứng với $B$ ; đầy đủ ba cặp góc và ba cặp cạnh tỉ lệ như trên.

Nhận xét. Cách 2 vừa trả lời câu hỏi vừa hoàn thành luôn yêu cầu thứ hai của đề (viết đủ các cặp góc, cạnh).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần xác định đỉnh của góc rồi tra tương ứng, nhanh và đúng trọng tâm câu hỏi.

Đáp số. Góc

P N M

tương ứng với góc

B

của

△ A B C

. Các cặp góc bằng nhau:

A = M

B = N

C = P

. Các cặp cạnh tỉ lệ:

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{A C}{M P}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là đọc góc

P N M

nhầm thành góc có đỉnh

P

hoặc đỉnh

M

(do không nhớ quy tắc "đỉnh ở giữa") — dẫn tới tra sai tương ứng và trả lời nhầm thành

C

hoặc

A

🚀 Mở rộng. Quy tắc "đỉnh ở giữa" áp dụng cho MỌI cách viết góc ba chữ, kể cả khi đổi thứ tự:

X Y Z = Z Y X = Y

luôn cùng chỉ một góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 9.2★★Trang 52— Kiểm tra các cách viết lại kí hiệu đồng dạng theo hoán vị đỉnh

Bài 9.2 (trang 52). Cho

△ A B C ∽ △ D E F

. Những cách viết nào dưới đây đúng? (1)

△ B C A ∽ △ F E D

. (2)

△ C A B ∽ △ E D F

. (3)

△ B A C ∽ △ E D F

. (4)

△ C B A ∽ △ F E D

Kiến thức cần nhớ

Muốn viết lại $△ A B C ∽ △ D E F$ theo thứ tự khác, phải áp CÙNG một phép hoán vị cho vị trí của cả hai tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đưa bốn cách hoán vị cùng lúc — dấu hiệu là mỗi khẳng định phải kiểm tra bằng cách áp CÙNG một phép hoán vị lên cả hai vế, không được chỉ nhìn "có đủ chữ cái tương ứng". Bẫy của đề là (1) và (2) trông có vẻ hợp lí (giữ đúng bộ ba chữ

B, C, A

tương ứng

F, E, D

hoặc

E, D, F

) nhưng khi kiểm tra từng vị trí lại LỆCH.

1Cách 1. Áp cùng một phép hoán vị cho từng khẳng định

Định hướng. Với mỗi khẳng định, xác định phép hoán vị đã áp lên $(A, B, C)$ rồi kiểm tra phép đó có cho đúng $(D, E, F)$ ở vế sau hay không.

Gốc:

(A, B, C) \to (D, E, F)

(1)

(B, C, A) \to (F, E, D)

: hoán vị "dịch trái" cho

(A, B, C) \to (B, C, A)

phải cho

(D, E, F) \to (E, F, D)

, nhưng đề ghi

(F, E, D)

— SAI
(2)

(C, A, B) \to (E, D, F)

: hoán vị cho

(A, B, C) \to (C, A, B)

phải cho

(D, E, F) \to (F, D, E)

, nhưng đề ghi

(E, D, F)

— SAI
(3)

(B, A, C) \to (E, D, F)

: đổi chỗ hai vị trí đầu của

(A, B, C)

thành

(B, A, C)

, áp đúng cho

(D, E, F)

thành

(E, D, F)

— khớp — ĐÚNG
(4)

(C, B, A) \to (F, E, D)

: đảo ngược thứ tự

(A, B, C) \to (C, B, A)

, áp đúng cho

(D, E, F) \to (F, E, D)

— khớp — ĐÚNG

Vậy hai cách viết đúng là (3) và (4).

2Cách 2. Lập bảng tương ứng đỉnh cố định rồi tra từng vị trí

Định hướng. Ghi cố định bảng $A \leftrightarrow D$ , $B \leftrightarrow E$ , $C \leftrightarrow F$ rồi so từng chữ ở đúng vị trí của mỗi khẳng định, không cần nghĩ tới khái niệm "phép hoán vị".

(1)

B \to F

? Bảng cho

B \to E

, không phải

F

— SAI
(2)

C \to E

? Bảng cho

C \to F

, không phải

E

— SAI
(3)

B \to E

? đúng theo bảng;

A \to D

? đúng;

C \to F

? đúng — ĐÚNG
(4)

C \to F

? đúng;

B \to E

? đúng;

A \to D

? đúng — ĐÚNG

Vậy (3), (4) đúng; (1), (2) sai — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (tra bảng cố định theo từng vị trí) ít nhầm lẫn hơn Cách 1 khi làm nhanh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (tra bảng tương ứng

A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F

cố định) vì kiểm tra từng vị trí độc lập, ít sai sót nhất.

Đáp số. Các cách viết đúng: (3)

△ B A C ∽ △ E D F

và (4)

△ C B A ∽ △ F E D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là thấy bộ ba chữ cái

{B, C, A}

và

{F, E, D}

đều chứa "đủ" các đỉnh nên vội cho là đúng — phải kiểm tra ĐÚNG TỪNG VỊ TRÍ chứ không phải chỉ kiểm tra "có mặt đủ chữ".

🚀 Mở rộng. Trong

6

cách hoán vị

(A, B, C)

, khi áp cùng phép hoán vị cho

(D, E, F)

sẽ luôn cho kết quả đúng — đây là cách nhanh nhất để TỰ SINH các cách viết đúng thay vì đoán rồi kiểm tra từng cái.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 9.3★Trang 52— Phân biệt điều LUÔN đúng và điều CHỈ đúng khi tỉ số bằng 1

Bài 9.3 (trang 52). Với hai tam giác

A B C

và

M N P

bất kì sao cho

△ A B C ∽ △ M N P

. Những câu nào dưới đây đúng? (1)

A B = M N

A C = M P

B C = N P

. (2)

A = M

B = N

C = P

. (3)

\frac{A B}{M N} = \frac{A C}{M P} = \frac{B C}{N P}

. (4)

B = P

C = M

A = N

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa đồng dạng chỉ đảm bảo TỈ SỐ cạnh tương ứng bằng nhau và GÓC tương ứng bằng nhau, không đảm bảo ĐỘ DÀI cạnh bằng nhau (trừ khi $k = 1$ ).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 9.4★Trang 52— Tính góc còn lại của hai tam giác đồng dạng khi biết một góc mỗi tam giác

Bài 9.4 (trang 52). Cho

△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}

, biết

A = 60°

B^{'} = 50°

. Hãy tính số đo các góc còn lại của tam giác

A B C

và tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

$△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ cho $A = A^{'}$ , $B = B^{'}$ , $C = C^{'}$ .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 9.5★★Trang 52— Tính tỉ số đồng dạng và chu vi tam giác đồng dạng

Bài 9.5 (trang 52). Cho

△ A B C ∽ △ M N P

. Biết

A B = 5

cm,

M N = 8

cm và chu vi tam giác

A B C

bằng

20

cm. Hỏi

△ A B C

đồng dạng

△ M N P

với tỉ số đồng dạng bằng bao nhiêu và chu vi tam giác

M N P

bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số đồng dạng của $△ A B C$ so với $△ M N P$ : $k = \frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{A C}{M P}$ .
Chu vi hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với tỉ số đồng dạng: $\frac{chu vi A B C}{chu vi M N P} = k$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 9.6★★★Trang 52— Xác định tương ứng đỉnh của hai tam giác đồng dạng qua so sánh độ lớn góc

Bài 9.6 (trang 52). Cho tam giác

A B C

đồng dạng với một tam giác có ba đỉnh là

D

E

F

. Biết

A > B = 60° = D > E

, hãy chỉ ra các đỉnh tương ứng và viết đúng kí hiệu đồng dạng của hai tam giác đó.

Kiến thức cần nhớ

Trong hai tam giác đồng dạng, các góc bằng nhau phải cùng THỨ HẠNG so sánh (lớn nhất ứng lớn nhất, nhỏ nhất ứng nhỏ nhất).
Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 9.7★★★Trang 52— Xác định tương ứng đỉnh từ ba tỉ số cạnh đã ghép sẵn

Bài 9.7 (trang 52). Cho tam giác không cân

A B C

đồng dạng với một tam giác có ba đỉnh là

M

N

P

. Biết rằng

\frac{A B}{N P} = \frac{A C}{P M} = \frac{B C}{M N}

, hãy chỉ ra các đỉnh tương ứng và viết đúng kí hiệu đồng dạng của hai tam giác đó.

Kiến thức cần nhớ

Trong một tam giác, mỗi cạnh đối diện với đúng một đỉnh (cạnh $A B$ đối diện đỉnh $C$ ).
Hai tam giác đồng dạng có các cặp CẠNH ĐỐI DIỆN với các cặp ĐỈNH TƯƠNG ỨNG tỉ lệ với nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 9.8★★Trang 52— Tìm các cặp tam giác đồng dạng qua hai đường thẳng song song đáy

Bài 9.8 (trang 52). Trong Hình 9.3 (SBT), cho

P Q

và

M N

cùng song song với

A B

. Hãy liệt kê ba cặp tam giác phân biệt đồng dạng với nhau.

Kiến thức cần nhớ

Định lí mục 2: đường thẳng cắt hai cạnh và song song cạnh còn lại của tam giác tạo ra tam giác đồng dạng.
Tính chất bắc cầu của tỉ số đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 9.9★★★Trang 52— Chứng minh đồng dạng qua đường trung bình kết hợp tính chất hình bình hành

Bài 9.9 (trang 52). Cho hình bình hành

A B C D

và

E

F

lần lượt là trung điểm của

A B

và

A C

. Chứng minh rằng

△ A E F ∽ △ C D A

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau (c.c.c): $A B = C D$ , $B C = D A$ , cạnh $A C$ chung.
Tính chất bắc cầu của tỉ số đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 9.10★★★★Trang 52— Chứng minh đồng dạng hai tam giác cân qua góc đáy và tỉ số cạnh đáy

Bài 9.10 (trang 52). Cho tam giác

A B C

cân tại đỉnh

A

và tam giác

M N P

cân tại đỉnh

M

. Biết

A B C = M N P

và

B C = 2 N P

. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ M N P

và tìm tỉ số đồng dạng.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau; góc ở đỉnh $= 180°$ trừ tổng hai góc đáy.
Định lí mục 2 và trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc (g.c.g, đã học lớp 7).
Tính chất bắc cầu của tỉ số đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 9.11★★★★Trang 52— Nhận diện tam giác đồng dạng qua tỉ lệ đoạn thẳng trên hai cạnh xuất phát từ một đỉnh

Bài 9.11 (trang 52). Cho tam giác

A B C

với

A B = 6

cm,

A C = 9

cm. a) Lấy điểm

M

N

lần lượt trên các cạnh

A B

A C

sao cho

A M = 4

cm,

A N = 6

cm. Chứng minh rằng

△ A M N ∽ △ A B C

và tìm tỉ số đồng dạng. b) Lấy điểm

P

trên cạnh

A C

sao cho

A P = 4

cm. Chứng minh rằng

△ A P B ∽ △ A B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès đảo: nếu $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}$ thì $M N ∥ B C$ .
Định lí mục 2: đường thẳng song song một cạnh, cắt hai cạnh còn lại, tạo tam giác đồng dạng.