Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương VIII

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–48 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.17★★Trang 47— Xác suất cổ điển với cấu trúc bộ bài đều (4 chất × 13 giá trị)

8.17 (trang 47). Một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài chia thành bốn chất rô (hình thoi, màu đỏ), cơ (hình trái tim, màu đỏ), bích (hình mâu, màu đen) và nhép (hình cây, màu đen). Mỗi chất có 13 lá bài là: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A. Rút ngẫu nhiên một lá bài. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

A

: “Rút được lá bài có màu đen”;
b)

B

: “Rút được lá bài A màu đỏ”;
c)

C

: “Rút được lá bài mang số 3”;
d)

D

: “Rút được lá bài chất rô”;
e)

E

: “Rút được lá bài không phải chất bích”;
f)

F

: “Rút được lá bài tranh” (các lá bài J, Q, K gọi là lá bài tranh).

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .
Bộ bài 52 lá chia đều 4 chất, mỗi chất 13 giá trị; mỗi giá trị xuất hiện đúng 4 lần (một lần mỗi chất).

🧠 Phân tích tư duy

Bộ bài có cấu trúc đều: 4 chất × 13 giá trị = 52 lá, mỗi chất/giá trị xuất hiện đều nhau — dấu hiệu để tính nhanh bằng tỉ lệ theo chất (mẫu 4) hoặc theo giá trị (mẫu 13) thay vì luôn quy về mẫu 52. Bẫy ở câu f là nhầm 'lá tranh' J, Q, K chỉ tính 1 chất thay vì cả 4 chất.

1Cách 1. Đếm trực tiếp trên 52 lá

Định hướng. Đếm số lá thỏa mỗi biến cố rồi chia cho $52$ .

a) Số lá màu đen (bích + nhép) là

13 + 13 = 26

P (A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}

b) Số lá A màu đỏ (A rô, A cơ) là

2

P (B) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}

c) Số lá mang số

3

(mỗi chất một lá) là

4

P (C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

d) Số lá chất rô là

13

P (D) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}

e) Số lá không phải chất bích là

52 - 13 = 39

P (E) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}

f) Số lá tranh (J, Q, K ở cả 4 chất) là

3 \times 4 = 12

P (F) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}

Vậy $P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{1}{26}$ , $P (C) = \frac{1}{13}$ , $P (D) = \frac{1}{4}$ , $P (E) = \frac{3}{4}$ , $P (F) = \frac{3}{13}$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ theo cấu trúc chất/giá trị (không quy về 52)

Định hướng. Vì $4$ chất đều nhau và $13$ giá trị đều nhau, có thể lập tỉ số ngay trên mẫu nhỏ ( $4$ hoặc $13$ ) mà không cần quy đổi về $52$ .

2

trong

4

chất là màu đen,

P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

1

trong

4

chất là rô,

P (D) = \frac{1}{4}

3

trong

4

chất không phải bích,

P (E) = \frac{3}{4}

1

trong

13

giá trị là số

3

P (C) = \frac{1}{13}

3

trong

13

giá trị là lá tranh (J, Q, K),

P (F) = \frac{3}{13}

Vậy kết quả trùng Cách 1 cho các câu a, c, d, e, f.

3Cách 3. Dùng biến cố đối cho câu e

Định hướng. $E$ là biến cố đối của 'chất bích' nên lấy $1$ trừ xác suất chất bích.

Xác suất chất bích là

\frac{13}{52} = \frac{1}{4}

P (E) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Vậy trùng Cách 1, Cách 2: $P (E) = \frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Câu b không có biến cố đối đơn giản nên vẫn cần đếm trực tiếp như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất cho các câu liên quan nguyên một chất hoặc một giá trị (a, c, d, e, f); câu b bắt buộc đếm trực tiếp như Cách 1.

Đáp số.

P (A) = \frac{1}{2}

;

P (B) = \frac{1}{26}

;

P (C) = \frac{1}{13}

;

P (D) = \frac{1}{4}

;

P (E) = \frac{3}{4}

;

P (F) = \frac{3}{13}

Sai lầm thường gặp. Ở câu f, chỉ đếm

3

lá tranh của một chất mà quên nhân với

4

chất, ra nhầm

\frac{3}{52}

🚀 Mở rộng. Vì cấu trúc bộ bài rất đều, có thể tổng quát: xác suất rút được lá thuộc

k

trong

4

chất luôn là

\frac{k}{4}

, không phụ thuộc

13

giá trị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.18★★Trang 47— Xác suất cổ điển với sĩ số thay đổi theo diễn biến (học sinh chuyển lớp)

8.18 (trang 47). Lớp 8A có 23 học sinh nam và 35 học sinh nữ. Giả sử cuối năm lớp có 7 học sinh nam và 11 học sinh nữ chuyển lớp. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 8A (sau khi chuyển). Tính xác suất để chọn được học sinh nam.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ , với $n (Ω)$ phải tính đúng theo thời điểm phép thử xảy ra.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số liệu ban đầu và số học sinh chuyển đi theo từng giới tính — dấu hiệu là phải trừ đúng theo từng nhóm trước khi lập tỉ số trên sĩ số MỚI (sau khi chuyển), không phải sĩ số ban đầu. Bẫy là lấy mẫu số

58

(sĩ số ban đầu) thay vì

40

(sĩ số sau khi chuyển).

1Cách 1. Trừ trực tiếp số nam còn lại

Định hướng. Số nam còn lại bằng số nam ban đầu trừ số nam chuyển đi; mẫu số là tổng học sinh còn lại.

Số học sinh nam còn lại là:

23 - 7 = 16

(bạn)
Số học sinh nữ còn lại là:

35 - 11 = 24

(bạn)
Sĩ số lớp 8A sau khi chuyển là:

16 + 24 = 40

(bạn)
Xác suất chọn được học sinh nam là:

P = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}

Vậy $P = \frac{2}{5}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối qua số nữ

Định hướng. Tính xác suất chọn được nữ trước (đối của biến cố nam) rồi lấy $1$ trừ.

Số học sinh nữ còn lại là:

35 - 11 = 24

(bạn), sĩ số còn lại là

40

(bạn)
Xác suất nữ là

\frac{24}{40} = \frac{3}{5}

Xác suất nam là

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

Vậy trùng Cách 1: $P = \frac{2}{5}$ .

3Cách 3. Tính tổng học sinh chuyển đi trước để suy ra sĩ số mới

Định hướng. Cộng gộp số học sinh chuyển đi (cả nam lẫn nữ) rồi trừ một lần vào sĩ số ban đầu, sau đó mới tính riêng số nam.

Sĩ số ban đầu của lớp là:

23 + 35 = 58

(bạn)
Tổng số học sinh chuyển đi là:

7 + 11 = 18

(bạn)
Sĩ số còn lại là:

58 - 18 = 40

(bạn)
Số học sinh nam còn lại là:

23 - 7 = 16

(bạn),

P = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}

Vậy trùng hai cách trên: $P = \frac{2}{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn gọn và ít bước nhất nên dùng khi đi thi; Cách 3 hữu ích để kiểm tra lại sĩ số mới bằng một đường tính khác.

Đáp số.

P = \frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Lấy mẫu số là

58

(sĩ số ban đầu) thay vì

40

(sĩ số sau khi

18

bạn chuyển lớp).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số liệu chuyển đi thành ẩn

x

(nam) và

y

(nữ), công thức tổng quát là

P = \frac{23 - x}{58 - x - y}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.19★★★Trang 47— Xác suất cổ điển với số liệu cho dưới dạng xác suất ban đầu, cập nhật theo diễn biến thêm/bớt

8.19 (trang 47). Một hộp có 40 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, gồm ba màu: đỏ, vàng, đen. Biết rằng nếu lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp thì xác suất lấy được viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng tương ứng là

\frac{1}{4}

và

\frac{2}{5}

. Bạn Minh bỏ thêm 25 viên bi màu đỏ, 14 viên bi màu vàng và lấy ra 9 viên bi màu đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để Minh lấy được viên bi màu vàng.

Kiến thức cần nhớ

Từ xác suất cổ điển suy ngược số kết quả thuận lợi: $n (A) = P (A) \times n (Ω)$ .
Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho xác suất ban đầu (phân số) thay vì số viên trực tiếp — dấu hiệu cần đổi ngược từ xác suất ra số viên bằng công thức số thuận lợi = xác suất × tổng trước khi cộng/trừ theo diễn biến. Bẫy là quên đổi ra số viên mà cộng trực tiếp trên các phân số xác suất ban đầu và sau.

1Cách 1. Đổi xác suất ra số viên rồi cập nhật theo diễn biến

Định hướng. Dùng số thuận lợi = xác suất × tổng ban đầu, suy ra số viên đen bằng phần còn lại, rồi cộng trừ theo đề.

Số viên bi đỏ ban đầu là:

40 \times \frac{1}{4} = 10

(viên)
Số viên bi vàng ban đầu là:

40 \times \frac{2}{5} = 16

(viên)
Số viên bi đen ban đầu là:

40 - 10 - 16 = 14

(viên)
Sau khi thêm/bớt: đỏ là

10 + 25 = 35

(viên), vàng là

16 + 14 = 30

(viên), đen là

14 - 9 = 5

(viên)
Tổng số viên bi lúc sau là:

35 + 30 + 5 = 70

(viên)
Xác suất lấy được viên bi vàng là:

P = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}

Vậy $P = \frac{3}{7}$ .

2Cách 2. Tính độ thay đổi tổng số viên rồi suy tổng mới

Định hướng. Tính riêng tổng số viên tăng/giảm ròng rồi cộng vào $40$ ban đầu, tránh phải cộng lại từng màu để có tổng.

Số viên thêm vào là

25 + 14 = 39

(viên), số viên lấy ra là

9

(viên)
Tổng số viên lúc sau là:

40 + 39 - 9 = 70

(viên)
Số viên vàng lúc sau là:

16 + 14 = 30

(viên) (vàng ban đầu cộng vàng thêm vào)
Xác suất là:

P = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}

Vậy trùng Cách 1: $P = \frac{3}{7}$ .

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng cách cộng lại ba màu lúc sau

Định hướng. Cộng lại đỏ, vàng, đen lúc sau để chắc chắn đúng bằng $70$ trước khi lập tỉ số, tránh sai sót khi cộng nhiều bước.

Đỏ lúc sau:

10 + 25 = 35

; vàng lúc sau:

16 + 14 = 30

; đen lúc sau:

14 - 9 = 5

Cộng lại:

35 + 30 + 5 = 70

, khớp với Cách 2

P = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}

Vậy xác nhận $P = \frac{3}{7}$ .

Nhận xét. Việc cộng lại ba màu là bước kiểm chứng bắt buộc vì bài có nhiều thao tác cộng trừ liên tiếp, dễ sai sót.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 rõ ràng từng bước nên dùng chính; luôn kiểm tra lại bằng Cách 3 vì bài có nhiều phép cộng trừ liên tiếp dễ nhầm.

Đáp số.

P = \frac{3}{7}

Sai lầm thường gặp. Quên đổi xác suất ban đầu ra số viên cụ thể, cộng nhầm trực tiếp trên phân số

\frac{1}{4}

và

\frac{2}{5}

🚀 Mở rộng. Có thể tổng quát hoá: nếu thêm

a

viên đỏ,

b

viên vàng và bớt

c

viên đen, xác suất vàng lúc sau là

\frac{16 + b}{40 + a + b - c}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.20★★Trang 47— Xác suất cổ điển với số lượng biến động hai chiều (khách ra về, khách mới đến)

8.20 (trang 47). Tại một quán ăn, lúc đầu có 50 khách hàng, trong đó có 32 khách hàng nam. Sau một giờ, quán ăn có 12 khách hàng nam ra về và 27 khách hàng mới đến là nữ. Chọn ngẫu nhiên một người khách hàng trong quán ăn (sau khi có sự thay đổi trên). Tính xác suất để chọn được một khách hàng nữ.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ , với $n (Ω)$ phải cập nhật đúng theo diễn biến của đề.

🧠 Phân tích tư duy

Đề có hai biến động khác chiều: khách nam RA (giảm) và khách nữ MỚI ĐẾN (tăng) — dấu hiệu cần cập nhật riêng từng nhóm rồi cộng lại để có tổng khách mới, không được giữ nguyên tổng

50

ban đầu. Bẫy là quên cộng thêm

27

khách nữ mới vào tổng.

1Cách 1. Cập nhật riêng từng nhóm rồi tính tổng mới

Định hướng. Tính số nam còn, số nữ ban đầu rồi cộng thêm khách mới, sau đó cộng lại thành tổng mới.

Số khách hàng nữ lúc đầu là:

50 - 32 = 18

(người)
Số khách hàng nam còn lại sau khi

12

người ra về là:

32 - 12 = 20

(người)
Số khách hàng nữ sau khi có thêm

27

người mới đến là:

18 + 27 = 45

(người)
Tổng số khách hàng trong quán lúc sau là:

20 + 45 = 65

(người)
Xác suất chọn được khách hàng nữ là:

P = \frac{45}{65} = \frac{9}{13}

Vậy $P = \frac{9}{13}$ .

2Cách 2. Tính độ thay đổi ròng của tổng số khách

Định hướng. Tổng khách mới = tổng cũ trừ số ra về cộng số mới đến, tính một lần cho cả quán thay vì tách nam/nữ.

Tổng số khách hàng lúc sau là:

50 - 12 + 27 = 65

(người)
Số khách hàng nữ lúc sau là:

18 + 27 = 45

(người) (nữ ban đầu cộng nữ mới đến, vì

12

người ra về đều là nam)
Xác suất là:

P = \frac{45}{65} = \frac{9}{13}

Vậy trùng Cách 1: $P = \frac{9}{13}$ .

3Cách 3. Dùng biến cố đối qua số khách nam còn lại

Định hướng. Tính xác suất khách nam (đối của nữ) rồi lấy $1$ trừ.

Số khách nam còn lại là

20

(người), tổng là

65

(người)
Xác suất nam là

\frac{20}{65} = \frac{4}{13}

Xác suất nữ là

1 - \frac{4}{13} = \frac{9}{13}

Vậy trùng hai cách trên: $P = \frac{9}{13}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất vì tính tổng mới bằng một phép cộng trừ duy nhất; Cách 3 tiện khi đã lỡ tính ra số nam trước.

Đáp số.

P = \frac{9}{13}

Sai lầm thường gặp. Giữ nguyên tổng

50

ban đầu, quên cộng thêm

27

khách nữ mới đến khi tính mẫu số.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi thành nhiều đợt khách ra vào liên tiếp, vẫn áp dụng được công thức tổng mới = tổng cũ − số ra + số vào cho từng đợt.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.21★★Trang 47— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số điểm số

8.21 (trang 47). Bạn Bình thống kê số điểm trong 44 bài kiểm tra tiếng Anh của mình như sau (điểm tối đa là 100):
Nhỏ hơn 83 điểm: 3 bài. Từ 84 đến 87 điểm: 5 bài. Từ 88 đến 91 điểm: 7 bài. Từ 92 đến 95 điểm: 20 bài. Từ 96 đến 100 điểm: 9 bài.
Bạn Bình sẽ làm bài kiểm tra trong tuần tới. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:
a)

A

: “Bạn Bình được ít hơn 84 điểm”;
b)

B

: “Bạn Bình được số điểm từ 84 đến 95 điểm”.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng phân theo khoảng điểm không liên tục (thiếu đúng mốc

83

) — dấu hiệu cần đối chiếu 'ít hơn 84 điểm' với đúng cột 'Nhỏ hơn 83 điểm' vì không có điểm

83

trong thống kê. Câu b cộng gộp ba khoảng liên tiếp. Bẫy là hiểu nhầm 'ít hơn 84' gồm cả khoảng '84 đến 87' nếu không đọc kỹ mốc.

1Cách 1. Đếm trực tiếp trên bảng tần số

Định hướng. Đọc đúng cột tương ứng và cộng số bài kiểm tra rồi chia cho $44$ .

Tổng số bài kiểm tra đã thống kê là:

3 + 5 + 7 + 20 + 9 = 44

(bài), khớp với đề cho
a) Số bài có điểm ít hơn

84

chính là cột "Nhỏ hơn

83

điểm" (vì không có điểm

83

), bằng

3

(bài)
Xác suất thực nghiệm của

A

là:

P_{n} (A) = \frac{3}{44}

b) Số bài có điểm từ

84

đến

95

là:

5 + 7 + 20 = 32

(bài)
Xác suất thực nghiệm của

B

là:

P_{n} (B) = \frac{32}{44} = \frac{8}{11}

Vậy $P (A) = \frac{3}{44}$ , $P (B) = \frac{8}{11}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối cho câu b

Định hướng. Biến cố $B$ (84 đến 95) là đối của biến cố (dưới $84$ hoặc trên $95$ ); tính phần bù ngắn hơn vì chỉ có $2$ số hạng.

Số bài không thuộc khoảng

84

95

là:

3 + 9 = 12

(bài) (khoảng dưới

84

và khoảng

96

100

)
Số bài thuộc khoảng

84

95

là:

44 - 12 = 32

(bài)

P_{n} (B) = \frac{32}{44} = \frac{8}{11}

Vậy trùng Cách 1: $P (B) = \frac{8}{11}$ .

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng tổng năm khoảng

Định hướng. Cộng lại cả năm cột của bảng để chắc chắn đúng $44$ trước khi lập tỉ số, tránh đọc nhầm số liệu bảng.

3 + 5 + 7 + 20 + 9 = 44

, khớp với "44 bài kiểm tra" trong đề

P_{n} (A) = \frac{3}{44}

;

P_{n} (B) = \frac{5 + 7 + 20}{44} = \frac{32}{44} = \frac{8}{11}

Vậy khớp hoàn toàn với Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 ngắn hơn cho câu b (chỉ cộng

2

số thay vì

3

); luôn kiểm tra tổng bảng bằng Cách 3 trước khi kết luận.

Đáp số.

P (A) = \frac{3}{44}

;

P (B) = \frac{8}{11}

Sai lầm thường gặp. Nhầm "ít hơn 84 điểm" với khoảng "từ 84 đến 87 điểm" do đọc lướt đề.

🚀 Mở rộng. Có thể hỏi thêm xác suất thực nghiệm của biến cố "được từ 96 điểm trở lên" bằng

\frac{9}{44}

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 8.22★★★Trang 48— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số, dự đoán số ngày trong tương lai

8.22 (trang 48). Thống kê số vụ tai nạn giao thông trong tháng 8 và tháng 9 vừa qua của thành phố X, ta có bảng sau:
Số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; trên 7.
Số ngày tương ứng: 4; 9; 15; 10; 8; 6; 4; 3; 2.
a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

A

: “Ở thành phố X, trong một ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông”.
b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

B

: “Ở thành phố X, trong một ngày có từ 5 vụ tai nạn giao thông trở lên”.
c) Từ số liệu thống kê trên, hãy dự đoán xem trong 100 ngày tới ở thành phố X:
+ Có bao nhiêu ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông.
+ Có bao nhiêu ngày có từ 5 vụ tai nạn giao thông trở lên.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.
Khi $n$ đủ lớn, $P_{n} (A)$ xấp xỉ $P (A)$ , dùng để dự đoán số lần xảy ra trong một số lần thử lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng có cột 'trên 7' gộp nhiều giá trị thành một nhóm — dấu hiệu cần cộng đúng các cột rời rạc ứng với 'nhiều nhất 3 vụ' (0, 1, 2, 3) và 'từ 5 vụ trở lên' (5, 6, 7, trên 7) rồi mới lập tỉ số trên tổng

61

ngày. Bẫy là quên cột 'trên 7' khi tính câu b, hoặc lấy nhầm cột '4' vào nhóm 'nhiều nhất 3'.

1Cách 1. Đếm trực tiếp theo bảng tần số

Định hướng. Cộng đúng các cột ứng với từng biến cố rồi chia cho tổng $61$ ngày.

Tổng số ngày đã thống kê là:

4 + 9 + 15 + 10 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 = 61

(ngày)
a) Số ngày có nhiều nhất

3

vụ (ứng với

0; 1; 2; 3

vụ) là:

4 + 9 + 15 + 10 = 38

(ngày)
Xác suất thực nghiệm của

A

là:

P_{n} (A) = \frac{38}{61}

b) Số ngày có từ

5

vụ trở lên (ứng với

5; 6; 7

vụ và trên

7

vụ) là:

6 + 4 + 3 + 2 = 15

(ngày)
Xác suất thực nghiệm của

B

là:

P_{n} (B) = \frac{15}{61}

Vậy $P (A) = \frac{38}{61}$ , $P (B) = \frac{15}{61}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối qua cột '4 vụ'

Định hướng. Hai biến cố $A$ (nhiều nhất 3), $B$ (từ 5 trở lên) và 'đúng 4 vụ' chia trọn $61$ ngày làm ba nhóm rời nhau; tính nhóm '4 vụ' rồi lấy phần còn lại chia cho $A$ , $B$ .

Số ngày có đúng

4

vụ là

8

(ngày)
Số ngày không thuộc nhóm '4 vụ' là:

61 - 8 = 53

(ngày), đây là tổng của nhóm

A

và nhóm

B

Số ngày nhóm

A

(đã đếm ở Cách 1) là

38

, vậy nhóm

B

là

53 - 38 = 15

(ngày),

P_{n} (B) = \frac{15}{61}

Vậy trùng Cách 1: $P (B) = \frac{15}{61}$ .

3Cách 3. Ước lượng cho 100 ngày và kiểm tra chéo bằng tổng

Định hướng. Nhân xác suất thực nghiệm với $100$ để ước lượng, rồi cộng ngược lại với số ngày còn lại (đúng $4$ vụ, quy đổi theo tỉ lệ) để kiểm tra tổng có xấp xỉ $100$ .

c) Số ngày dự đoán có nhiều nhất

3

vụ trong

100

ngày là:

100 \times \frac{38}{61} \approx 62

(ngày)
Số ngày dự đoán có từ

5

vụ trở lên là:

100 \times \frac{15}{61} \approx 25

(ngày)
Số ngày dự đoán có đúng

4

vụ là:

100 \times \frac{8}{61} \approx 13

(ngày)
Kiểm tra:

62 + 25 + 13 = 100

, khớp đúng tổng

100

ngày

Vậy trong $100$ ngày tới, ước lượng có khoảng $62$ ngày nhiều nhất $3$ vụ và khoảng $25$ ngày từ $5$ vụ trở lên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 dùng để tính xác suất thực nghiệm chính xác; Cách 3 bắt buộc cho câu c và nên kiểm tra tổng bằng

100

để chắc chắn không làm tròn sai.

Đáp số.

P (A) = \frac{38}{61}

;

P (B) = \frac{15}{61}

; ước lượng trong 100 ngày: khoảng

62

ngày nhiều nhất 3 vụ, khoảng

25

ngày từ 5 vụ trở lên.

Sai lầm thường gặp. Quên cộng cột 'trên 7' (2 ngày) khi tính nhóm 'từ 5 vụ trở lên', ra nhầm

6 + 4 + 3 = 13

thay vì đúng

15

🚀 Mở rộng. Có thể hỏi thêm xác suất thực nghiệm của biến cố 'đúng 4 vụ tai nạn trong một ngày' bằng

\frac{8}{61}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 8.23★★Trang 48— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số, dự đoán số lượng cho tổng thể lớn hơn

8.23 (trang 48). Khảo sát vị trí công việc của 100 cán bộ công tác trong ngành giáo dục tại quận X, thu được kết quả như bảng sau:
Vị trí công việc: Cán bộ hành chính, Giáo viên, Công việc khác.
Số người: 16, 76, 8.
a) Chọn ngẫu nhiên một cán bộ công tác trong ngành giáo dục được khảo sát tại quận X. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:

A

: “Người đó là giáo viên”;

B

: “Người đó là cán bộ hành chính”.
b) Giả sử quận X có 921 cán bộ công tác ngành giáo dục. Hãy dự đoán xem trong đó:
+ Có bao nhiêu người là giáo viên.
+ Có bao nhiêu người là cán bộ hành chính.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.
Khi $n$ đủ lớn, $P_{n} (A)$ xấp xỉ $P (A)$ , dùng để dự đoán số lượng trong một tổng thể lớn hơn.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng đã có sẵn tổng đúng bằng

100

cán bộ nên xác suất thực nghiệm chính là số phần trăm — dấu hiệu để tính nhanh không cần rút gọn phức tạp. Câu b đổi từ tỉ lệ mẫu

100

người sang dự đoán cho

921

người thực tế của quận. Bẫy là quên nhóm 'công việc khác' (

8

người) khi kiểm tra tổng.

1Cách 1. Tính trực tiếp theo bảng

Định hướng. Mẫu $100$ người nên xác suất thực nghiệm chính là tỉ lệ phần trăm; nhân với $921$ để dự đoán.

Kiểm tra tổng bảng:

16 + 76 + 8 = 100

, khớp với "100 cán bộ" trong đề
a) Xác suất thực nghiệm của

A

(giáo viên) là:

P_{n} (A) = \frac{76}{100} = \frac{19}{25}

Xác suất thực nghiệm của

B

(cán bộ hành chính) là:

P_{n} (B) = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}

b) Số giáo viên dự đoán trong

921

cán bộ là:

921 \times \frac{76}{100} = 699, 96 \approx 700

(người)
Số cán bộ hành chính dự đoán là:

921 \times \frac{16}{100} = 147, 36 \approx 147

(người)

Vậy $P (A) = \frac{19}{25}$ , $P (B) = \frac{4}{25}$ ; dự đoán khoảng $700$ giáo viên và $147$ cán bộ hành chính.

2Cách 2. Dùng phần bù qua nhóm 'công việc khác'

Định hướng. Tính số người 'không phải giáo viên' rồi trừ đi số cán bộ hành chính để kiểm chứng $B$ , và ước lượng giáo viên qua phần bù trong $921$ người.

Số người không phải giáo viên là:

100 - 76 = 24

(người), trong đó có

16

cán bộ hành chính và

8

công việc khác
Vậy

P_{n} (B) = \frac{24 - 8}{100} = \frac{16}{100} = \frac{4}{25}

, khớp Cách 1
Số người không phải giáo viên dự đoán trong

921

người là:

921 \times \frac{24}{100} \approx 221

(người), vậy số giáo viên dự đoán là:

921 - 221 = 700

(người)

Vậy trùng Cách 1: khoảng $700$ giáo viên.

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng cách cộng ba nhóm dự đoán

Định hướng. Dự đoán cả ba nhóm (giáo viên, hành chính, khác) trong $921$ người rồi cộng lại, phải xấp xỉ đúng $921$ để kiểm chứng không làm tròn sai lệch nhiều.

Số công việc khác dự đoán trong

921

người là:

921 \times \frac{8}{100} = 73, 68 \approx 74

(người)
Cộng lại ba nhóm:

700 + 147 + 74 = 921

, khớp đúng tổng số cán bộ của quận X

Vậy kết quả câu b đúng: khoảng $700$ giáo viên và $147$ cán bộ hành chính.

Nhận xét. Bước cộng lại ba nhóm giúp phát hiện ngay nếu làm tròn sai ở một trong ba nhóm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 tính trực tiếp là nhanh nhất; nên kiểm tra lại bằng Cách 3 (cộng ba nhóm dự đoán) vì kết quả có làm tròn.

Đáp số.

P (A) = \frac{19}{25}

;

P (B) = \frac{4}{25}

; dự đoán trong 921 người: khoảng 700 giáo viên, khoảng 147 cán bộ hành chính.

Sai lầm thường gặp. Quên nhóm 'công việc khác' (

8

người) khi kiểm tra tổng bảng, hoặc làm tròn sai

699, 96

thành

699

thay vì

700

🚀 Mở rộng. Có thể hỏi thêm dự đoán số người làm 'công việc khác' trong

921

cán bộ, khoảng

921 \times \frac{8}{100} \approx 74

người.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 32. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng Bài tiếp theo ›Bài 33. Hai tam giác đồng dạng

Bài tập cuối chương VIII

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố