Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Bài tập cuối chương VIII

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–48 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.17★★Trang 47— Xác suất cổ điển với cấu trúc bộ bài đều (4 chất × 13 giá trị)

8.17 (trang 47). Một bộ bài tú lơ khơ gồm 52 lá bài chia thành bốn chất rô (hình thoi, màu đỏ), cơ (hình trái tim, màu đỏ), bích (hình mâu, màu đen) và nhép (hình cây, màu đen). Mỗi chất có 13 lá bài là: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; J; Q; K; A. Rút ngẫu nhiên một lá bài. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

A

: “Rút được lá bài có màu đen”;
b)

B

: “Rút được lá bài A màu đỏ”;
c)

C

: “Rút được lá bài mang số 3”;
d)

D

: “Rút được lá bài chất rô”;
e)

E

: “Rút được lá bài không phải chất bích”;
f)

F

: “Rút được lá bài tranh” (các lá bài J, Q, K gọi là lá bài tranh).

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .
Bộ bài 52 lá chia đều 4 chất, mỗi chất 13 giá trị; mỗi giá trị xuất hiện đúng 4 lần (một lần mỗi chất).

🧠 Phân tích tư duy

Bộ bài có cấu trúc đều: 4 chất × 13 giá trị = 52 lá, mỗi chất/giá trị xuất hiện đều nhau — dấu hiệu để tính nhanh bằng tỉ lệ theo chất (mẫu 4) hoặc theo giá trị (mẫu 13) thay vì luôn quy về mẫu 52. Bẫy ở câu f là nhầm 'lá tranh' J, Q, K chỉ tính 1 chất thay vì cả 4 chất.

1Cách 1. Đếm trực tiếp trên 52 lá

Định hướng. Đếm số lá thỏa mỗi biến cố rồi chia cho $52$ .

a) Số lá màu đen (bích + nhép) là

13 + 13 = 26

P (A) = \frac{26}{52} = \frac{1}{2}

b) Số lá A màu đỏ (A rô, A cơ) là

2

P (B) = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}

c) Số lá mang số

3

(mỗi chất một lá) là

4

P (C) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}

d) Số lá chất rô là

13

P (D) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}

e) Số lá không phải chất bích là

52 - 13 = 39

P (E) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}

f) Số lá tranh (J, Q, K ở cả 4 chất) là

3 \times 4 = 12

P (F) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}

Vậy $P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{1}{26}$ , $P (C) = \frac{1}{13}$ , $P (D) = \frac{1}{4}$ , $P (E) = \frac{3}{4}$ , $P (F) = \frac{3}{13}$ .

2Cách 2. Dùng tỉ lệ theo cấu trúc chất/giá trị (không quy về 52)

Định hướng. Vì $4$ chất đều nhau và $13$ giá trị đều nhau, có thể lập tỉ số ngay trên mẫu nhỏ ( $4$ hoặc $13$ ) mà không cần quy đổi về $52$ .

2

trong

4

chất là màu đen,

P (A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

1

trong

4

chất là rô,

P (D) = \frac{1}{4}

3

trong

4

chất không phải bích,

P (E) = \frac{3}{4}

1

trong

13

giá trị là số

3

P (C) = \frac{1}{13}

3

trong

13

giá trị là lá tranh (J, Q, K),

P (F) = \frac{3}{13}

Vậy kết quả trùng Cách 1 cho các câu a, c, d, e, f.

3Cách 3. Dùng biến cố đối cho câu e

Định hướng. $E$ là biến cố đối của 'chất bích' nên lấy $1$ trừ xác suất chất bích.

Xác suất chất bích là

\frac{13}{52} = \frac{1}{4}

P (E) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

Vậy trùng Cách 1, Cách 2: $P (E) = \frac{3}{4}$ .

Nhận xét. Câu b không có biến cố đối đơn giản nên vẫn cần đếm trực tiếp như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 2 nhanh nhất cho các câu liên quan nguyên một chất hoặc một giá trị (a, c, d, e, f); câu b bắt buộc đếm trực tiếp như Cách 1.

Đáp số.

P (A) = \frac{1}{2}

;

P (B) = \frac{1}{26}

;

P (C) = \frac{1}{13}

;

P (D) = \frac{1}{4}

;

P (E) = \frac{3}{4}

;

P (F) = \frac{3}{13}

Sai lầm thường gặp. Ở câu f, chỉ đếm

3

lá tranh của một chất mà quên nhân với

4

chất, ra nhầm

\frac{3}{52}

🚀 Mở rộng. Vì cấu trúc bộ bài rất đều, có thể tổng quát: xác suất rút được lá thuộc

k

trong

4

chất luôn là

\frac{k}{4}

, không phụ thuộc

13

giá trị.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.18★★Trang 47— Xác suất cổ điển với sĩ số thay đổi theo diễn biến (học sinh chuyển lớp)

8.18 (trang 47). Lớp 8A có 23 học sinh nam và 35 học sinh nữ. Giả sử cuối năm lớp có 7 học sinh nam và 11 học sinh nữ chuyển lớp. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong lớp 8A (sau khi chuyển). Tính xác suất để chọn được học sinh nam.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ , với $n (Ω)$ phải tính đúng theo thời điểm phép thử xảy ra.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số liệu ban đầu và số học sinh chuyển đi theo từng giới tính — dấu hiệu là phải trừ đúng theo từng nhóm trước khi lập tỉ số trên sĩ số MỚI (sau khi chuyển), không phải sĩ số ban đầu. Bẫy là lấy mẫu số

58

(sĩ số ban đầu) thay vì

40

(sĩ số sau khi chuyển).

1Cách 1. Trừ trực tiếp số nam còn lại

Định hướng. Số nam còn lại bằng số nam ban đầu trừ số nam chuyển đi; mẫu số là tổng học sinh còn lại.

Số học sinh nam còn lại là:

23 - 7 = 16

(bạn)
Số học sinh nữ còn lại là:

35 - 11 = 24

(bạn)
Sĩ số lớp 8A sau khi chuyển là:

16 + 24 = 40

(bạn)
Xác suất chọn được học sinh nam là:

P = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}

Vậy $P = \frac{2}{5}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối qua số nữ

Định hướng. Tính xác suất chọn được nữ trước (đối của biến cố nam) rồi lấy $1$ trừ.

Số học sinh nữ còn lại là:

35 - 11 = 24

(bạn), sĩ số còn lại là

40

(bạn)
Xác suất nữ là

\frac{24}{40} = \frac{3}{5}

Xác suất nam là

1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}

Vậy trùng Cách 1: $P = \frac{2}{5}$ .

3Cách 3. Tính tổng học sinh chuyển đi trước để suy ra sĩ số mới

Định hướng. Cộng gộp số học sinh chuyển đi (cả nam lẫn nữ) rồi trừ một lần vào sĩ số ban đầu, sau đó mới tính riêng số nam.

Sĩ số ban đầu của lớp là:

23 + 35 = 58

(bạn)
Tổng số học sinh chuyển đi là:

7 + 11 = 18

(bạn)
Sĩ số còn lại là:

58 - 18 = 40

(bạn)
Số học sinh nam còn lại là:

23 - 7 = 16

(bạn),

P = \frac{16}{40} = \frac{2}{5}

Vậy trùng hai cách trên: $P = \frac{2}{5}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 ngắn gọn và ít bước nhất nên dùng khi đi thi; Cách 3 hữu ích để kiểm tra lại sĩ số mới bằng một đường tính khác.

Đáp số.

P = \frac{2}{5}

Sai lầm thường gặp. Lấy mẫu số là

58

(sĩ số ban đầu) thay vì

40

(sĩ số sau khi

18

bạn chuyển lớp).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số liệu chuyển đi thành ẩn

x

(nam) và

y

(nữ), công thức tổng quát là

P = \frac{23 - x}{58 - x - y}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.19★★★Trang 47— Xác suất cổ điển với số liệu cho dưới dạng xác suất ban đầu, cập nhật theo diễn biến thêm/bớt

8.19 (trang 47). Một hộp có 40 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, gồm ba màu: đỏ, vàng, đen. Biết rằng nếu lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp thì xác suất lấy được viên bi màu đỏ, viên bi màu vàng tương ứng là

\frac{1}{4}

và

\frac{2}{5}

. Bạn Minh bỏ thêm 25 viên bi màu đỏ, 14 viên bi màu vàng và lấy ra 9 viên bi màu đen. Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi trong hộp. Tính xác suất để Minh lấy được viên bi màu vàng.

Kiến thức cần nhớ

Từ xác suất cổ điển suy ngược số kết quả thuận lợi: $n (A) = P (A) \times n (Ω)$ .
Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.20★★Trang 47— Xác suất cổ điển với số lượng biến động hai chiều (khách ra về, khách mới đến)

8.20 (trang 47). Tại một quán ăn, lúc đầu có 50 khách hàng, trong đó có 32 khách hàng nam. Sau một giờ, quán ăn có 12 khách hàng nam ra về và 27 khách hàng mới đến là nữ. Chọn ngẫu nhiên một người khách hàng trong quán ăn (sau khi có sự thay đổi trên). Tính xác suất để chọn được một khách hàng nữ.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ , với $n (Ω)$ phải cập nhật đúng theo diễn biến của đề.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.21★★Trang 47— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số điểm số

8.21 (trang 47). Bạn Bình thống kê số điểm trong 44 bài kiểm tra tiếng Anh của mình như sau (điểm tối đa là 100):
Nhỏ hơn 83 điểm: 3 bài. Từ 84 đến 87 điểm: 5 bài. Từ 88 đến 91 điểm: 7 bài. Từ 92 đến 95 điểm: 20 bài. Từ 96 đến 100 điểm: 9 bài.
Bạn Bình sẽ làm bài kiểm tra trong tuần tới. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:
a)

A

: “Bạn Bình được ít hơn 84 điểm”;
b)

B

: “Bạn Bình được số điểm từ 84 đến 95 điểm”.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 8.22★★★Trang 48— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số, dự đoán số ngày trong tương lai

8.22 (trang 48). Thống kê số vụ tai nạn giao thông trong tháng 8 và tháng 9 vừa qua của thành phố X, ta có bảng sau:
Số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; trên 7.
Số ngày tương ứng: 4; 9; 15; 10; 8; 6; 4; 3; 2.
a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

A

: “Ở thành phố X, trong một ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông”.
b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

B

: “Ở thành phố X, trong một ngày có từ 5 vụ tai nạn giao thông trở lên”.
c) Từ số liệu thống kê trên, hãy dự đoán xem trong 100 ngày tới ở thành phố X:
+ Có bao nhiêu ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông.
+ Có bao nhiêu ngày có từ 5 vụ tai nạn giao thông trở lên.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.
Khi $n$ đủ lớn, $P_{n} (A)$ xấp xỉ $P (A)$ , dùng để dự đoán số lần xảy ra trong một số lần thử lớn hơn.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 8.23★★Trang 48— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số, dự đoán số lượng cho tổng thể lớn hơn

8.23 (trang 48). Khảo sát vị trí công việc của 100 cán bộ công tác trong ngành giáo dục tại quận X, thu được kết quả như bảng sau:
Vị trí công việc: Cán bộ hành chính, Giáo viên, Công việc khác.
Số người: 16, 76, 8.
a) Chọn ngẫu nhiên một cán bộ công tác trong ngành giáo dục được khảo sát tại quận X. Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau:

A

: “Người đó là giáo viên”;

B

: “Người đó là cán bộ hành chính”.
b) Giả sử quận X có 921 cán bộ công tác ngành giáo dục. Hãy dự đoán xem trong đó:
+ Có bao nhiêu người là giáo viên.
+ Có bao nhiêu người là cán bộ hành chính.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ sau $n$ lần thử: $P_{n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số lần $A$ xảy ra.
Khi $n$ đủ lớn, $P_{n} (A)$ xấp xỉ $P (A)$ , dùng để dự đoán số lượng trong một tổng thể lớn hơn.