Bài 31. Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số

Định hướng. Cộng tổng số viên bi ba màu, đếm số viên bi trắng rồi lập tỉ số.

Vậy xác suất để Việt lấy được viên bi trắng là $\frac{17}{45}$.

Định hướng. Tính xác suất của hai màu xanh, đỏ rồi dùng tổng xác suất ba màu bằng 1 để suy ra xác suất màu trắng.

Vậy $P($trắng$)=\frac{17}{45}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Nhận xét bi trắng là nhóm nhiều nhất trong ba nhóm để ước lượng xác suất lớn hơn 1/3, rồi tính chính xác bằng tỉ số.

Vậy $P($trắng$)=\frac{17}{45}$, khớp hai cách trên và phù hợp với ước lượng ban đầu.

Nhận xét. So sánh nhanh nhóm nhiều nhất/ít nhất với mốc 1/3 (khi có 3 nhóm) giúp phát hiện sớm nếu tính sai đáp số.

Định hướng. Liệt kê đủ 11 số từ 10 đến 20, lọc theo từng tính chất.

Vậy ba xác suất cần tìm là $\frac{4}{11}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{3}{11}$.

Định hướng. Với câu a), loại các hợp số và số chẵn trước. Với câu b), dùng quy tắc xen kẽ chẵn-lẻ trong dãy liên tiếp. Với câu c), liệt kê bội của 4.

Vậy kết quả khớp Cách 1: $\frac{4}{11}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{3}{11}$.

Định hướng. Kiểm tra câu b) bằng biến cố đối 'số chẵn'; kiểm tra câu a) và c) bằng cách đếm phần bù.

Vậy ba kết quả đều khớp: $\frac{4}{11}$, $\frac{5}{11}$, $\frac{3}{11}$.

Nhận xét. Dùng biến cố đối cho cả ba câu là cách kiểm tra chéo toàn diện, phát hiện ngay nếu liệt kê ở Cách 1 bị thiếu hoặc thừa.

Định hướng. Viết ra 10 chữ cái theo đúng thứ tự trong từ, đánh số thứ tự từng thẻ rồi đếm.

Vậy $P(E)=\frac{1}{5}$ và $P(I$ hoặc $V)=\frac{3}{10}$.

Định hướng. Gộp các chữ cái giống nhau thành từng nhóm, ghi rõ số lượng mỗi nhóm rồi tính xác suất.

Vậy kết quả khớp Cách 1: $P(E)=\frac{1}{5}$, $P(I$ hoặc $V)=\frac{3}{10}$.

Định hướng. Kiểm tra câu b) bằng cách đếm các chữ cái KHÔNG phải I và không phải V rồi lấy phần bù trên 10.

Vậy $P(I$ hoặc $V)=\frac{3}{10}$, khớp cả hai cách trên; câu a) giữ nguyên $P(E)=\frac{1}{5}$.

Nhận xét. Đếm phần bù (7 thẻ còn lại) là cách kiểm tra nhanh khi đã liệt kê đủ nhóm chữ cái ở Cách 2.

Định hướng. Xác định đúng những nhóm nào thuộc diện 'nam' (câu a) và diện 'bà hoặc em trai' (câu b), rồi cộng số lượng.

Vậy $P(\text{nam})=\frac{7}{10}$ và $P($bà hoặc em trai$)=\frac{3}{5}$.

Định hướng. Tính xác suất của nhóm nữ (bà và em gái) rồi lấy phần bù để ra xác suất nam.

Vậy $P(\text{nam})=\frac{7}{10}$, khớp Cách 1; câu b) không đổi.

Định hướng. Lập bảng 2 hàng (lớn tuổi, nhỏ tuổi) 2 cột (nam, nữ) để đọc trực tiếp mọi tổ hợp cần hỏi.

Vậy bảng hai chiều cho cùng kết quả: $\frac{7}{10}$ và $\frac{3}{5}$.

Nhận xét. Lập bảng hai chiều giúp nhìn rõ mọi tổ hợp tiêu chí, tránh gộp nhầm nhóm khi bài có nhiều nhóm nhỏ như bài này.

Định hướng. Đổi 'bội của 4 và 6' thành 'bội của BCNN(4,6)=12' cho câu a); dùng nguyên lí bù trừ cho câu b).

Vậy $P(E)=\frac{1}{12}$ và $P(F)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Liệt kê hết các bội của 4, bội của 6 trong 1–36 rồi gộp lại, loại phần trùng khi đếm.

Vậy kết quả khớp Cách 1: $P(E)=\frac{1}{12}$, $P(F)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Đếm số KHÔNG là bội của 4 và cũng KHÔNG là bội của 6, rồi lấy phần bù trên 36.

Vậy $P(F)=\frac{1}{3}$; riêng câu a) vẫn tính trực tiếp $P(E)=\frac{3}{36}=\frac{1}{12}$ vì không có cách phần bù ngắn hơn cho bội chung.

Nhận xét. Nguyên lí bù trừ và cách đếm phần bù cho cùng kết quả — đây là phép kiểm tra chéo hiệu quả cho biến cố hợp.

Định hướng. Cộng số kẹo hai màu liên quan cho câu a), b); trừ trực tiếp cho câu c).

Vậy $P(E)=\frac{13}{24}$, $P(F)=\frac{11}{24}$, $P(G)=\frac{19}{24}$.

Định hướng. Tính xác suất từng màu riêng lẻ trước, rồi cộng cho câu a), b) và dùng biến cố đối cho câu c).

Vậy kết quả khớp Cách 1: $\frac{13}{24}$, $\frac{11}{24}$, $\frac{19}{24}$.

Định hướng. Kiểm tra tổng bốn xác suất theo màu bằng 1, và kiểm tra quan hệ giữa các biến cố đã tính.

Vậy ba kết quả nhất quán: $\frac{13}{24}$, $\frac{11}{24}$, $\frac{19}{24}$.

Nhận xét. Nhận thấy $E$ và $F$ ở bài này là hai biến cố đối nhau (đỏ/vàng đối lập đen/xanh) nên $P(E)+P(F)=1$ là một cách kiểm tra chéo rất nhanh.

Định hướng. Tính số viên bi đỏ và xanh từ xác suất đã cho, số bi đen là phần còn lại của tổng 24 viên.

Vậy số viên bi màu đen trong hộp là 12 viên.

Định hướng. Cộng hai xác suất đỏ và xanh, dùng biến cố đối để suy ra xác suất màu đen rồi nhân với tổng số bi.

Vậy số viên bi đen là 12 viên, khớp Cách 1.

Định hướng. Quy đồng hai xác suất đã cho về cùng mẫu số 6, biểu diễn ba màu theo tỉ lệ phần bằng nhau trên tổng.

Vậy số viên bi đen là 12 viên, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Quy đồng mẫu số các xác suất đã cho về một mẫu chung giúp nhìn thấy ngay tỉ lệ phần của từng màu.

Định hướng. Gọi $P(1)=a$, biểu diễn $P(3),P(2),P(4)$ theo $a$ theo đúng thứ tự các quan hệ đề cho, rồi giải từ điều kiện tổng bằng 1.

Vậy xác suất để rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố là $\frac{8}{15}$.

Định hướng. Biểu diễn bốn xác suất theo tỉ lệ số nguyên nhỏ nhất (không cần đặt ẩn phân số), rồi lập tỉ số trên tổng số phần.

Vậy $P($nguyên tố$)=\frac{8}{15}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính xác suất của biến cố đối (thẻ 1 hoặc thẻ 4, đều không phải số nguyên tố) rồi lấy 1 trừ đi.

Vậy $P($nguyên tố$)=\frac{8}{15}$, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Kiểm tra tổng bốn xác suất một lần nữa: $\frac{1+6+2+6}{15}=\frac{15}{15}=1$, xác nhận không tính sai ở bước đặt ẩn.