Bài 31. Cách tính xác suất của biến cố bằng tỉ số

Định hướng. Coi mỗi viên kẹo là một kết quả có thể, đếm số viên kẹo sữa rồi lập tỉ số.

Vậy xác suất để Lan lấy được viên kẹo sữa là $\frac{7}{20}$.

Định hướng. Tính xác suất của ba loại kẹo còn lại rồi dùng tổng xác suất của mọi kết quả bằng 1.

Vậy $P($kẹo sữa$)=\frac{7}{20}$, khớp với Cách 1.

Định hướng. Bác bỏ cách nghĩ sai bằng phản ví dụ trực tiếp, từ đó khẳng định lại kết quả đúng.

Vậy nhận định "4 loại đồng khả năng" là sai; xác suất đúng để Lan lấy được viên kẹo sữa là $\frac{7}{20}$, không phải $\frac{1}{4}$.

Nhận xét. Có bạn còn cho rằng xác suất kẹo sữa "cao nhất vì có nhiều viên nhất" — nhận xét này đúng hướng nhưng phải tính ra đúng con số $\frac{7}{20}$ mới đầy đủ.

Định hướng. Liệt kê tất cả số nguyên tố và số chính phương trong 1 đến 12 rồi lập tỉ số trên 12.

Vậy $P(A)=\frac{5}{12}$ và $P(B)=\frac{1}{4}$.

Định hướng. Xét từng số từ 1 đến 12 bằng cách loại các số không thoả mãn (sàng số nguyên tố, sàng số chính phương).

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P(A)=\frac{5}{12}$, $P(B)=\frac{1}{4}$.

Định hướng. Với $A$, đếm số không nguyên tố rồi lấy phần bù trên 12; với $B$, kiểm tra trực tiếp vì chỉ có 3 số chính phương.

Vậy $P(A)=\frac{5}{12}$, $P(B)=\frac{1}{4}$, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách phần bù hữu ích khi số phần tử KHÔNG thoả mãn ít hơn hoặc dễ đếm hơn số phần tử thoả mãn.

Định hướng. Đếm số viên kẹo của từng loại rồi lập tỉ số trên 20.

Vậy $P($sữa$)=\frac{7}{20}$ và $P(\text{chanh})=\frac{1}{5}$.

Định hướng. Dùng kết quả xác suất kẹo sữa đã biết từ tình huống mở đầu, rồi tính riêng xác suất kẹo chanh bằng đúng định nghĩa tỉ số.

Vậy hai xác suất cần tìm là $\frac{7}{20}$ và $\frac{1}{5}$.

Định hướng. Sau khi tính cả bốn loại kẹo, kiểm tra tổng bốn xác suất phải bằng 1 để chắc chắn không tính sai.

Vậy $P($sữa$)=\frac{7}{20}$, $P(\text{chanh})=\frac{1}{5}$, và tổng bốn xác suất đúng bằng 1 nên kết quả đáng tin cậy.

Nhận xét. Kiểm tra tổng xác suất các biến cố rời nhau và đầy đủ luôn bằng 1 là cách tự kiểm tra kết quả rất hiệu quả.

Định hướng. Gọi số viên bi đỏ là $x$, biểu diễn số viên bi vàng theo $x$, lập phương trình từ tổng 18 viên.

Vậy xác suất để Bình lấy được viên bi màu vàng là $\frac{2}{3}$.

Định hướng. Vì bi vàng gấp đôi bi đỏ nên tổng số bi chia thành 3 phần bằng nhau: 1 phần đỏ, 2 phần vàng.

Vậy $P($vàng$)=\frac{2}{3}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Nhận xét tỉ lệ bi vàng trên tổng bằng $\frac{2}{1+2}$ ngay từ đầu vì bi vàng luôn chiếm 2 phần trong 3 phần, không phụ thuộc tổng số bi cụ thể.

Vậy $P($vàng$)=\frac{2}{3}$, không cần tính ra số lượng cụ thể 12 và 6.

Nhận xét. Khi chỉ cần xác suất (không cần số lượng), có thể suy trực tiếp tỉ lệ phần mà không phải giải phương trình.

Định hướng. Tính tổng số sách sau khi thêm, suy ra số tiểu thuyết sau khi thêm từ xác suất, rồi trừ đi 5 cuốn mới mua.

Vậy lúc đầu trên giá sách có 10 cuốn tiểu thuyết.

Định hướng. Gọi $x$ là số cuốn tiểu thuyết lúc đầu, lập phương trình theo xác suất đã cho.

Vậy lúc đầu có $x=10$ cuốn tiểu thuyết, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính số sách KHÔNG phải tiểu thuyết từ xác suất đối, số này không đổi khi thêm tiểu thuyết mới nên dùng để kiểm tra kết quả.

Vậy lúc đầu có 10 cuốn tiểu thuyết, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Dùng biến cố đối 'không phải tiểu thuyết' là cách kiểm tra chéo nhanh vì nhóm này không bị ảnh hưởng bởi việc thêm sách.

Định hướng. Xác định đúng tập kết quả có thể là gì trước khi áp dụng công thức tỉ số.

Vậy bạn Tròn nói đúng, bạn Vuông nói sai.

Định hướng. Giả sử lập luận của Vuông đúng rồi chỉ ra mâu thuẫn với dữ kiện đề bài.

Vậy lập luận của Vuông sai ở cả hai chỗ: sai về đồng khả năng và sai cả tên màu; bạn Tròn nói đúng với $P(E)=\frac{8}{17}$.

Định hướng. Tính xác suất theo cách của Tròn cho cả ba màu rồi kiểm tra tổng có bằng 1 hay không, đối chiếu với cách của Vuông để lộ rõ chỗ sai.

Vậy chỉ cách tính của Tròn cho ra đúng xác suất của TỪNG màu theo đúng số viên thực tế; bạn Tròn đúng, $P(E)=\frac{8}{17}$.

Nhận xét. Tổng xác suất bằng 1 là điều kiện CẦN nhưng KHÔNG ĐỦ để khẳng định một cách tính đúng — còn phải đúng tỉ lệ so với số lượng thực tế.

Định hướng. Đếm trực tiếp số chia hết cho 4 và số không phải nguyên tố trong 1–20 rồi lập tỉ số trên 20.

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{4}$ và $\frac{3}{5}$.

Định hướng. Liệt kê hết các bội của 4 cho câu a); dùng biến cố đối của số nguyên tố cho câu b).

Vậy kết quả khớp Cách 1: $\frac{1}{4}$ và $\frac{3}{5}$.

Định hướng. Liệt kê hẳn 12 số không phải nguyên tố trong 1–20 để kiểm tra chéo kết quả phần bù của Cách 2.

Vậy cả ba cách đều cho $\frac{1}{4}$ và $\frac{3}{5}$, khẳng định đáp số đúng.

Nhận xét. Liệt kê trực tiếp 12 số ở Cách 3 tốn công hơn dùng biến cố đối ở Cách 2 nhưng là bước kiểm tra chéo đáng tin cậy.

Định hướng. Đếm số kẹo thoả mãn từng biến cố rồi lập tỉ số trên tổng 15 viên.

Vậy $P(E)=\frac{1}{3}$, $P(F)=\frac{8}{15}$, $P(G)=\frac{7}{15}$, $P(H)=\frac{4}{5}$.

Định hướng. Tính riêng xác suất từng màu rồi cộng lại cho câu b) (biến cố hợp của hai nhóm rời nhau); dùng biến cố đối cho câu d).

Vậy $P(F)=\frac{8}{15}$ và $P(H)=\frac{4}{5}$, khớp Cách 1; các câu a), c) giữ nguyên như Cách 1.

Định hướng. Dùng nhận xét $G$ (trắng) và $H$ (không đỏ) không trùng nhau hoàn toàn để kiểm tra lại toàn bộ bốn kết quả.

Vậy toàn bộ bốn kết quả nhất quán: $\frac{1}{3}$, $\frac{8}{15}$, $\frac{7}{15}$, $\frac{4}{5}$.

Nhận xét. $H$ có thể tính bằng hai cách — biến cố đối của đỏ, hoặc tổng đen cộng trắng — cho cùng một kết quả, đây là cách tự kiểm tra tốt.

Định hướng. Liệt kê đủ 15 số từ 10 đến 24, lọc số lẻ và số nguyên tố.

Vậy $P(A)=\frac{7}{15}$ và $P(B)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Với câu a), dùng quy tắc các số lẻ xen kẽ đều đặn trong dãy liên tiếp. Với câu b), loại các hợp số rõ ràng trước khi kiểm tra số còn lại.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P(A)=\frac{7}{15}$, $P(B)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Kiểm tra lại câu a) bằng biến cố đối 'số chẵn', kiểm tra câu b) bằng cách đếm số không nguyên tố còn lại.

Vậy $P(A)=\frac{7}{15}$, $P(B)=\frac{1}{3}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Số 10 không lẻ và không nguyên tố nên bị loại ở cả hai câu — đây là chỗ hay nhầm nếu đếm ẩu.

Định hướng. Đếm số hình quạt ứng với 400 điểm cho câu a); cộng số hình quạt của các mức từ 500 điểm trở lên cho câu b).

Vậy $P(A)=\frac{1}{6}$ và $P(B)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Tính xác suất của từng mức điểm liên quan rồi cộng lại, thay vì cộng số hình quạt trước khi chia.

Vậy kết quả khớp Cách 1: $P(A)=\frac{1}{6}$, $P(B)=\frac{1}{3}$.

Định hướng. Tính câu b) bằng biến cố đối 'được dưới 500 điểm' (tức 100, 200, 300, 400 điểm) rồi lấy 1 trừ đi.

Vậy $P(B)=\frac{1}{3}$, khớp cả hai cách trên; câu a) giữ nguyên $P(A)=\frac{1}{6}$ như Cách 1.

Nhận xét. Biến cố đối của "ít nhất 500 điểm" là "nhiều nhất 400 điểm" (tức dưới 500), không phải "đúng dưới 400".