Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVIII #SGK_Tập2 #trang74–75

Bài 1 · Ví dụ 1★★Trang 74— Tính xác suất của biến cố trong phép thử có các kết quả đồng khả năng

Ví dụ 1 (trang 74). Một hộp đựng 36 tấm thẻ giống nhau được đánh số 1; 2; 3;…; 36. Bạn Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

E

: "Rút được tấm thẻ ghi số chia hết cho 4";
b)

F

: "Rút được tấm thẻ ghi số là bội của 4 hoặc 6";
c)

G

: "Rút được tấm thẻ ghi số nguyên tố".

Kiến thức cần nhớ

Xác suất cổ điển: nếu phép thử có $n$ kết quả đồng khả năng và biến cố $A$ có $k$ kết quả thuận lợi thì $P (A) = \frac{k}{n}$ .
Nguyên lí bù trừ: số phần tử của $A \cup B$ bằng $∣ A ∣ + ∣ B ∣ - ∣ A \cap B ∣$ khi $A, B$ có thể giao nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho phép thử “rút ngẫu nhiên một tấm thẻ” với 36 kết quả đồng khả năng — dấu hiệu của xác suất cổ điển

P (A) = \frac{k}{n}

(với

k

là số kết quả thuận lợi,

n

là số kết quả có thể). Việc còn lại chỉ là đếm đúng số thẻ thoả từng dấu hiệu (chia hết cho 4, bội của 4 hoặc 6, số nguyên tố). Bẫy ở câu b) là đếm hai lần các số vừa là bội của 4 vừa là bội của 6 (bội của 12) nếu cộng trực tiếp

9 + 6

mà không trừ phần chung.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp các số thuận lợi

Định hướng. Với mỗi biến cố, liệt kê hết các số từ 1 đến 36 thoả dấu hiệu rồi đếm.

Có 36 kết quả có thể:

1; 2; 3; \dots; 36

, đồng khả năng vì rút ngẫu nhiên.
a) Số chia hết cho 4:

4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36

— có 9 số.

P (E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

.
b) Số là bội của 4 hoặc 6:

4; 6; 8; 12; 16; 18; 20; 24; 28; 30; 32; 36

— có 12 số.

P (F) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}

.
c) Số nguyên tố:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31

— có 11 số.

P (G) = \frac{11}{36}

Vậy $P (E) = \frac{1}{4}$ , $P (F) = \frac{1}{3}$ , $P (G) = \frac{11}{36}$ .

2Cách 2. Dùng công thức đếm bội số và nguyên lí bù trừ

Định hướng. Đếm bội số của $n$ trong $1$ đến $36$ bằng phép chia nguyên $⌊ \frac{36}{n} ⌋$ , câu b) trừ phần đếm hai lần bằng bù trừ, câu c) sàng bỏ hợp số.

a) Số bội của 4 trong

1

–

36

là

⌊ \frac{36}{4} ⌋ = 9

P (E) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

.
b) Số bội của 4 là 9, số bội của 6 là

⌊ \frac{36}{6} ⌋ = 6

, số bội của

BCNN (4, 6) = 12

là

⌊ \frac{36}{12} ⌋ = 3

.
Theo nguyên lí bù trừ:

9 + 6 - 3 = 12

số.

P (F) = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}

.
c) Sàng các số

1

–

36

, loại số 1 và mọi hợp số (chia hết cho một số nguyên tố nhỏ hơn), còn lại 11 số nguyên tố.

P (G) = \frac{11}{36}

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $P (E) = \frac{1}{4}$ , $P (F) = \frac{1}{3}$ , $P (G) = \frac{11}{36}$ .

Nhận xét. Cách 2 tránh phải viết hết danh sách 12 số ở câu b), chỉ cần ba phép chia lấy phần nguyên và một phép bù trừ — nhanh hơn khi $n$ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu b): chỉ ba phép chia

⌊ 36/4 ⌋, ⌊ 36/6 ⌋, ⌊ 36/12 ⌋

rồi bù trừ, tránh liệt kê dài dễ sót hoặc đếm trùng; câu a), c) hai cách nhanh như nhau.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{4}

;

P (F) = \frac{1}{3}

;

P (G) = \frac{11}{36}

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), cộng trực tiếp

9 + 6 = 15

mà quên trừ 3 số vừa là bội của 4 vừa là bội của 6 (12; 24; 36), dẫn tới đáp số sai

P (F) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi hộp thành 60 tấm thẻ đánh số

1

–

60

, cách tính bội số bằng

⌊ 60/ n ⌋

và bù trừ ở Cách 2 vẫn dùng được nguyên vẹn, chỉ đổi số liệu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★Trang 74— Xác suất thực nghiệm từ bảng thống kê và ứng dụng dự đoán số liệu

Ví dụ 2 (trang 74–75). Một cơ quan quản lí đã thống kê được số lượt khách đến tham quan di tích

X

trong năm qua như sau:

Tháng	1; 2	3; 4	5; 6	7; 8	9; 10	11; 12
Số lượt khách	137	181	148	117	116	111

a) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

E

: "Khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8";
b) Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

F

: "Khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12";
c) Giả sử năm tới có 1 196 lượt khách đến tham quan di tích. Hãy dự đoán xem:
• Có bao nhiêu lượt khách đến tham quan di tích trong tháng 7 và tháng 8.
• Có bao nhiêu lượt khách đến tham quan di tích trong thời gian từ tháng 7 đến tháng 12.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ trong $n$ lần quan sát: $P_{tn} (A) = \frac{n _{A}}{n}$ , với $n_{A}$ là số lần $A$ xảy ra.
Khi $n$ đủ lớn, xác suất thực nghiệm xấp xỉ xác suất, nên có thể dùng để dự đoán số liệu tương lai theo tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho tần số (số lượt khách) theo từng cặp tháng — dấu hiệu của xác suất thực nghiệm

P_{tn} (A) = \frac{n _{A}}{n}

(với

n_{A}

là số lần

A

xảy ra,

n

là tổng số lần quan sát), ở đây “một lần quan sát” là một lượt khách. Câu c) chỉ là áp tỉ lệ đó lên một tổng mới bằng phép nhân, không phải tính lại từ đầu. Bẫy là quên cộng đúng nhóm tháng: “từ tháng 7 đến tháng 12” gồm BA cột cuối (7;8 và 9;10 và 11;12), không phải chỉ cột 7;8.

1Cách 1. Tính xác suất thực nghiệm rồi nhân trực tiếp

Định hướng. Tính tổng số lượt khách, lập tỉ số cho từng biến cố rồi nhân tỉ số đó với 1 196 để dự đoán.

Tổng số lượt khách trong năm qua:

137 + 181 + 148 + 117 + 116 + 111 = 810

.
a) Khách tháng 7 và tháng 8: 117 lượt.

P_{tn} (E) = \frac{117}{810} \approx 0, 144

.
b) Khách từ tháng 7 đến tháng 12:

117 + 116 + 111 = 344

P_{tn} (F) = \frac{344}{810} \approx 0, 425

.
c) Dự đoán khách tháng 7, 8 năm tới:

1196 \cdot \frac{117}{810} \approx 172, 76

, khoảng 173 lượt.
Dự đoán khách tháng 7–12 năm tới:

1196 \cdot \frac{344}{810} \approx 507, 93

, khoảng 508 lượt.

Vậy $P_{tn} (E) \approx 0, 144$ ; $P_{tn} (F) \approx 0, 425$ ; dự đoán khoảng 173 lượt (tháng 7, 8) và khoảng 508 lượt (tháng 7–12).

2Cách 2. Dùng phương trình tỉ lệ thức (quy tắc tam suất)

Định hướng. Thay vì tính xác suất trung gian, lập trực tiếp tỉ lệ thức giữa số liệu năm qua và số liệu dự đoán.

Gọi

x

là số lượt khách tháng 7, 8 năm tới:

\frac{x}{1 196} = \frac{117}{810}

x = \frac{117 \cdot 1 196}{810} \approx 172, 76

, khoảng 173 lượt.
Gọi

y

là số lượt khách tháng 7–12 năm tới:

\frac{y}{1 196} = \frac{344}{810}

y = \frac{344 \cdot 1 196}{810} \approx 507, 93

, khoảng 508 lượt.
Xác suất thực nghiệm tương ứng vẫn là

P_{tn} (E) = \frac{117}{810} \approx 0, 144

và

P_{tn} (F) = \frac{344}{810} \approx 0, 425

như Cách 1.

Vậy hai cách cho cùng kết quả: khoảng 173 lượt và khoảng 508 lượt.

Nhận xét. Cách 2 hữu ích khi đề chỉ hỏi thẳng số lượt dự đoán mà không yêu cầu nêu xác suất thực nghiệm — bỏ qua bước viết $P_{tn}$ tường minh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 khi đề có hỏi xác suất thực nghiệm (bắt buộc phải trình bày

P_{tn}

trước); dùng Cách 2 khi đề chỉ hỏi thẳng số lượt dự đoán, viết tỉ lệ thức rồi giải nhanh hơn.

Đáp số.

P_{tn} (E) \approx 0, 144

;

P_{tn} (F) \approx 0, 425

; dự đoán khoảng 173 lượt khách tháng 7, 8 và khoảng 508 lượt khách tháng 7–12 năm tới.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chỉ lấy khách tháng 7, 8 (117) cộng nhầm với chính nó hoặc quên cộng đủ ba cột 7;8 và 9;10 và 11;12, dẫn tới tổng sai khác 344.

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi “năm tới có

N

lượt khách” với

N

bất kì, công thức dự đoán tổng quát là

N \cdot P_{tn} (A)

— vẫn dùng đúng hai tỉ số

\frac{117}{810}

và

\frac{344}{810}

đã tính.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.14★Trang 75— Tính xác suất của biến cố khi gieo một con xúc xắc

Bài 8.14 (trang 75). Gieo một con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

A

: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc khác 6";
b)

B

: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bé hơn 3";
c)

C

: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc lớn hơn 2";
d)

D

: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số nguyên tố".

Kiến thức cần nhớ

Xác suất cổ điển: $P (A) = \frac{k}{n}$ (với $k$ là số kết quả thuận lợi, $n$ là số kết quả có thể), áp dụng khi các kết quả đồng khả năng.
Biến cố đối $\overline{A}$ của $A$ có $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Gieo xúc xắc cân đối cho 6 kết quả đồng khả năng

1

đến

6

— dấu hiệu áp dụng ngay công thức xác suất cổ điển. Các cụm từ “khác”, “bé hơn”, “lớn hơn”, “nguyên tố” chỉ là bốn cách mô tả tập con khác nhau của

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

, nên chỉ cần đếm đúng số phần tử thuận lợi từng câu. Bẫy ở câu a): “khác 6” dễ nhầm với “bé hơn 6” nhưng thực chất cùng một tập.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp kết quả thuận lợi

Định hướng. Viết ra tập kết quả thuận lợi của từng biến cố trong ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$ rồi đếm.

Có 6 kết quả có thể

1; 2; 3; 4; 5; 6

, đồng khả năng vì xúc xắc cân đối.
a) Kết quả thuận lợi cho

A

1; 2; 3; 4; 5

— có 5 kết quả.

P (A) = \frac{5}{6}

.
b) Kết quả thuận lợi cho

B

1; 2

— có 2 kết quả.

P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

.
c) Kết quả thuận lợi cho

C

3; 4; 5; 6

— có 4 kết quả.

P (C) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

.
d) Kết quả thuận lợi cho

D

2; 3; 5

— có 3 kết quả.

P (D) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Vậy $P (A) = \frac{5}{6}$ , $P (B) = \frac{1}{3}$ , $P (C) = \frac{2}{3}$ , $P (D) = \frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối

Định hướng. Với các biến cố có phần bù ít phần tử hơn (như “khác 6”, “lớn hơn 2”), tính qua biến cố đối cho gọn.

\overline{A}

: "bằng 6" chỉ có 1 kết quả,

P (\overline{A}) = \frac{1}{6}

P (A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

.
c)

\overline{C}

: "bé hơn hoặc bằng 2" có 2 kết quả

1; 2

P (\overline{C}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (C) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

.
b), d) không có phần bù gọn hơn nên vẫn đếm trực tiếp như Cách 1:

P (B) = \frac{1}{3}

P (D) = \frac{1}{2}

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P (A) = \frac{5}{6}$ , $P (B) = \frac{1}{3}$ , $P (C) = \frac{2}{3}$ , $P (D) = \frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Kiểm tra bằng máy tính cầm tay

Định hướng. Dùng MTCT nhập từng phân số rồi rút gọn để đối chiếu kết quả hai cách trên, không thay cho lời giải chính.

Nhập

5 \div 6

2 \div 6

4 \div 6

3 \div 6

rồi bấm phím rút gọn phân số (SHIFT

\to

\frac{b}{c}

5 \div 6 \to \frac{5}{6}

;

2 \div 6 \to \frac{1}{3}

;

4 \div 6 \to \frac{2}{3}

;

3 \div 6 \to \frac{1}{2}

Vậy cả bốn kết quả khớp với Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. MTCT chỉ dùng để kiểm tra lại phân số đã rút gọn đúng chưa, không thay được bước xác định đúng tập thuận lợi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu a), c): tính qua biến cố đối chỉ với 1–2 kết quả thay vì đếm 4–5 kết quả, giảm khả năng bỏ sót; câu b), d) đếm trực tiếp là nhanh nhất.

Đáp số.

P (A) = \frac{5}{6}

;

P (B) = \frac{1}{3}

;

P (C) = \frac{2}{3}

;

P (D) = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm biến cố

A

“khác 6” với “bé hơn 6” rồi quên rằng đó thực chất là cùng một tập

{1, 2, 3, 4, 5}

, hoặc ở câu d) liệt kê thiếu số 2 (cho rằng nguyên tố phải là số lẻ) dẫn tới đáp số sai

P (D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi xúc xắc cân đối thành xúc xắc 8 mặt đánh số

1

–

8

, các biến cố tương tự vẫn tính bằng đúng hai cách trên, chỉ đổi mẫu số từ 6 thành 8 và đếm lại tập thuận lợi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.15★Trang 75— Tính xác suất của biến cố khi lấy ngẫu nhiên một phần tử từ tập hữu hạn phần tử đồng khả năng

Bài 8.15 (trang 75). Một túi đựng các quả bóng giống hệt nhau, chỉ khác màu, trong đó có 15 quả bóng màu xanh, 13 quả bóng màu đỏ và 17 quả bóng màu trắng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ trong túi. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

C

: "Lấy được quả bóng màu xanh";
b)

D

: "Lấy được quả bóng màu đỏ";
c)

E

: "Không lấy được quả bóng màu trắng".

Kiến thức cần nhớ

Xác suất cổ điển: $P (A) = \frac{k}{n}$ (với $k$ là số kết quả thuận lợi, $n$ là số kết quả có thể).
Với mọi phép thử, tổng xác suất của mọi kết quả (ở đây là mọi màu) luôn bằng 1.

🧠 Phân tích tư duy

Các quả bóng “giống hệt nhau, chỉ khác màu” là dấu hiệu để coi việc lấy ngẫu nhiên một quả cho các kết quả đồng khả năng, nên chỉ cần đếm đúng số bóng mỗi loại trên tổng số bóng. Câu c) “không lấy được màu trắng” là biến cố đối của “lấy được màu trắng”, cũng chính là hợp của hai biến cố

C

và

D

đã tính ở câu a), b) — bẫy là quên cộng hai đáp số này lại.

1Cách 1. Đếm trực tiếp từng màu rồi cộng cho câu c)

Định hướng. Tính tổng số bóng, lập tỉ số cho từng màu; câu c) cộng số bóng xanh và đỏ vì đó là hai màu không trắng.

Tổng số bóng trong túi:

15 + 13 + 17 = 45

.
a)

P (C) = \frac{15}{45} = \frac{1}{3}

.
b)

P (D) = \frac{13}{45}

.
c) Không lấy được màu trắng nghĩa là lấy được màu xanh hoặc đỏ:

15 + 13 = 28

quả.

P (E) = \frac{28}{45}

Vậy $P (C) = \frac{1}{3}$ , $P (D) = \frac{13}{45}$ , $P (E) = \frac{28}{45}$ .

2Cách 2. Dùng biến cố đối cho câu c)

Định hướng. $E$ = "không lấy được bóng trắng" chính là biến cố đối của "lấy được bóng trắng" — gọi $T$ là biến cố lấy được bóng màu trắng, tính $P (T)$ rồi lấy $1$ trừ đi.

P (T) = \frac{17}{45}

P (E) = 1 - P (T) = 1 - \frac{17}{45} = \frac{28}{45}

Vậy $P (E) = \frac{28}{45}$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 không cần biết riêng $P (C)$ , $P (D)$ ở câu a), b) — chỉ cần một phép trừ, nên nhanh hơn khi đề chỉ hỏi mỗi câu c).

3Cách 3. Dùng tính chất tổng xác suất bằng 1 để kiểm tra

Định hướng. Vì mỗi quả bóng chỉ có đúng một màu, gọi $T$ là biến cố lấy được bóng màu trắng thì ba xác suất $P (C), P (D), P (T)$ phải cộng lại đúng bằng 1 — dùng tính chất này để kiểm tra chéo cả ba câu.

P (C) + P (D) + P (T) = \frac{15}{45} + \frac{13}{45} + \frac{17}{45} = \frac{45}{45} = 1

.
Do đó

P (E) = P (C) + P (D) = 1 - P (T) = \frac{28}{45}

, thống nhất cả hai cách tính trên.

Vậy ba xác suất khớp tính chất tổng bằng 1, khẳng định $P (C) = \frac{1}{3}$ , $P (D) = \frac{13}{45}$ , $P (E) = \frac{28}{45}$ đều đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 cho câu c): chỉ một phép trừ

1 - \frac{17}{45}

, ngắn hơn hẳn so với cộng hai phân số của Cách 1.

Đáp số.

P (C) = \frac{1}{3}

;

P (D) = \frac{13}{45}

;

P (E) = \frac{28}{45}

Sai lầm thường gặp. Ở câu c), nhầm “không lấy được màu trắng” với “lấy được màu trắng” rồi ghi nhầm

P (E) = \frac{17}{45}

; hoặc quên rút gọn

\frac{15}{45}

thành

\frac{1}{3}

🚀 Mở rộng. Nếu túi có thêm màu vàng, chỉ cần thay 45 bằng tổng số bóng mới và biến cố c) sẽ là tổng ba màu không trắng — cách làm ở Cách 2, Cách 3 vẫn dùng nguyên công thức phần bù và tính chất tổng xác suất bằng 1.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.16★★Trang 75— Xác suất thực nghiệm từ bảng tần số của một đại lượng rời rạc

Bài 8.16 (trang 75). Trong trò chơi “Xúc xắc may mắn”, ở mỗi ván chơi, người chơi gieo đồng thời hai con xúc xắc và ghi lại tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc. Một người chơi 80 ván và ghi lại kết quả trong bảng sau:

Tổng số chấm	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Số ván	2	5	6	8	11	14	12	9	6	4	3

a) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là 5 hoặc 7. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

E

: "Người chơi thắng trong một ván chơi".
b) Giả sử người chơi thắng nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc từ 10 trở lên. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

F

: "Người chơi thắng trong một ván chơi".

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm: $P_{tn} (A) = \frac{n _{A}}{n}$ với $n_{A}$ là tần số của $A$ trong $n$ lần quan sát.
Nếu $A_{1}, A_{2}, \dots$ xung khắc từng đôi một (không cùng xảy ra) thì $P (A_{1} \cup A_{2} \cup \dots) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + \dots$

🧠 Phân tích tư duy

Bảng cho tần số của “tổng số chấm” qua 80 ván — mỗi ván là một lần quan sát nên áp dụng ngay xác suất thực nghiệm

P_{tn} (A) = \frac{n _{A}}{80}

. Vì “tổng bằng 5” và “tổng bằng 7” là hai kết quả không thể cùng xảy ra trong một ván (biến cố xung khắc), số ván thắng của

E

chính là tổng hai tần số cột 5 và cột 7. Bẫy ở câu b) là “từ 10 trở lên” gồm CẢ BA cột 10, 11, 12.

1Cách 1. Cộng tần số rồi chia cho tổng số ván

Định hướng. Cộng số ván thuận lợi của từng biến cố trước, rồi chia một lần cho 80.

Tổng số ván:

2 + 5 + 6 + 8 + 11 + 14 + 12 + 9 + 6 + 4 + 3 = 80

(khớp đề).
a) Số ván có tổng 5 hoặc 7:

8 + 14 = 22

P_{tn} (E) = \frac{22}{80} = \frac{11}{40} \approx 0, 275

.
b) Số ván có tổng từ 10 trở lên:

6 + 4 + 3 = 13

P_{tn} (F) = \frac{13}{80} = 0, 1625

Vậy $P_{tn} (E) = \frac{11}{40}$ , $P_{tn} (F) = 0, 1625$ .

2Cách 2. Cộng xác suất thực nghiệm của các biến cố xung khắc

Định hướng. Tính riêng xác suất thực nghiệm của mỗi tổng rồi cộng lại, vì các tổng khác nhau không thể cùng xảy ra trong một ván.

Gọi

S

là tổng số chấm trên hai xúc xắc.
a)

P_{tn} (S = 5) = \frac{8}{80}

P_{tn} (S = 7) = \frac{14}{80}

P_{tn} (E) = \frac{8}{80} + \frac{14}{80} = \frac{22}{80} = \frac{11}{40}

.
b)

P_{tn} (S = 10) = \frac{6}{80}

P_{tn} (S = 11) = \frac{4}{80}

P_{tn} (S = 12) = \frac{3}{80}

P_{tn} (F) = \frac{6}{80} + \frac{4}{80} + \frac{3}{80} = \frac{13}{80}

Vậy kết quả khớp Cách 1: $P_{tn} (E) = \frac{11}{40}$ , $P_{tn} (F) = \frac{13}{80}$ .

3Cách 3. Dùng biến cố đối

Định hướng. Với câu b), phần bù “tổng từ 2 đến 9” gọn để cộng hơn hẳn phần bù của câu a), nên chỉ áp dụng cho câu b).

b) Số ván có tổng từ 2 đến 9:

2 + 5 + 6 + 8 + 11 + 14 + 12 + 9 = 67

P_{tn} (\overline{F}) = \frac{67}{80}

P_{tn} (F) = 1 - \frac{67}{80} = \frac{13}{80}

.
a) Phần bù “tổng khác 5 và khác 7” gồm 9 cột còn lại, không gọn hơn cộng trực tiếp hai cột 5 và 7 nên vẫn giữ kết quả Cách 1:

P_{tn} (E) = \frac{11}{40}

Vậy $P_{tn} (F) = \frac{13}{80}$ khớp hai cách trên, xác nhận đáp số đúng.

Nhận xét. Biến cố đối chỉ nên dùng khi phần bù có ít cột dữ liệu hơn phần thuận lợi — ở câu b) phần bù có 8 cột trong khi phần thuận lợi chỉ có 3 cột, nên Cách 1/2 vẫn nhanh hơn; Cách 3 chủ yếu để đối chiếu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2, cho cùng một phép tính): cộng tần số các cột cần thiết rồi chia 80 một lần, ít bước hơn Cách 3 vì phần bù ở bài này không gọn hơn phần thuận lợi.

Đáp số.

P_{tn} (E) = \frac{11}{40} = 0, 275

;

P_{tn} (F) = \frac{13}{80} = 0, 1625

Sai lầm thường gặp. Ở câu b), chỉ lấy cột “10” (6 ván) mà quên cộng thêm cột “11” và “12”, dẫn tới đáp số sai

P_{tn} (F) = \frac{6}{80}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi điều kiện thắng thành “tổng số chấm là số chẵn”, cách làm không đổi: cộng tần số các cột

2; 4; 6; 8; 10; 12

rồi chia cho 80.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 8.17★★★Trang 75— Ứng dụng xác suất thực nghiệm để dự đoán số liệu trong tương lai

Bài 8.17 (trang 75). Thống kê số vụ tai nạn giao thông trong hai tháng 8 và 9 của thành phố

X

được kết quả như bảng sau:

Số vụ tai nạn giao thông xảy ra trong một ngày	0	1	2	3	4	5	6	7	≥ 8
Số ngày	4	9	15	10	8	6	4	3	2

Từ bảng thống kê trên, hãy dự đoán xem trong ba tháng 10; 11; 12 tới tại thành phố

X

:
a) Có bao nhiêu ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông.
b) Có bao nhiêu ngày có ít nhất 5 vụ tai nạn giao thông.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm: $P_{tn} (A) = \frac{n _{A}}{n}$ , dùng để dự đoán số lần xảy ra $A$ trong $N$ lần tương lai bằng $N \cdot P_{tn} (A)$ .
Số ngày của ba tháng 10, 11, 12 dương lịch: $31 + 30 + 31 = 92$ ngày.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng thống kê 61 ngày (đúng số ngày của tháng 8 và tháng 9) cho tần số theo số vụ tai nạn mỗi ngày — dấu hiệu tính xác suất thực nghiệm rồi nhân với số ngày dự đoán (ba tháng 10, 11, 12 có

31 + 30 + 31 = 92

ngày). Bẫy của đề là “nhiều nhất 3” nghĩa là

\leq 3

(gồm cả 0, 1, 2, 3 vụ) còn “ít nhất 5” nghĩa là

\geq 5

(gồm cả cột “

\geq 8

”), dễ đọc sót một đầu.

1Cách 1. Tính xác suất thực nghiệm rồi nhân với 92 ngày

Định hướng. Gọi $M$ là biến cố “có nhiều nhất 3 vụ tai nạn trong ngày”, $N$ là biến cố “có ít nhất 5 vụ tai nạn trong ngày”. Lập tỉ số tần số trên tổng 61 ngày, rồi nhân với 92 để dự đoán số ngày trong ba tháng tới.

Tổng số ngày quan sát:

4 + 9 + 15 + 10 + 8 + 6 + 4 + 3 + 2 = 61

(đúng

31 + 30

ngày của tháng 8, 9).
a) Số ngày có nhiều nhất 3 vụ (0, 1, 2 hoặc 3 vụ):

4 + 9 + 15 + 10 = 38

P_{tn} (M) = \frac{38}{61}

.
Số ngày dự đoán trong 92 ngày tới:

92 \cdot \frac{38}{61} \approx 57, 31

, khoảng 57 ngày.
b) Số ngày có ít nhất 5 vụ (5, 6, 7 hoặc

\geq 8

vụ):

6 + 4 + 3 + 2 = 15

P_{tn} (N) = \frac{15}{61}

.
Số ngày dự đoán:

92 \cdot \frac{15}{61} \approx 22, 62

, khoảng 23 ngày.

Vậy dự đoán khoảng 57 ngày có nhiều nhất 3 vụ và khoảng 23 ngày có ít nhất 5 vụ trong ba tháng tới.

2Cách 2. Dùng biến cố đối

Định hướng. Với $M$ , $N$ như Cách 1: “ $N$ ” là biến cố đối của “có nhiều nhất 4 vụ”; “ $M$ ” là biến cố đối của “có từ 4 vụ trở lên” — tính phần bù rồi lấy 1 trừ đi.

a) Số ngày từ 4 vụ trở lên:

8 + 6 + 4 + 3 + 2 = 23

P_{tn} (M) = 1 - \frac{23}{61} = \frac{38}{61}

.
Dự đoán:

92 \cdot \frac{38}{61} \approx 57, 31

, khoảng 57 ngày.
b) Số ngày nhiều nhất 4 vụ:

4 + 9 + 15 + 10 + 8 = 46

P_{tn} (N) = 1 - \frac{46}{61} = \frac{15}{61}

.
Dự đoán:

92 \cdot \frac{15}{61} \approx 22, 62

, khoảng 23 ngày.

Vậy kết quả khớp Cách 1: khoảng 57 ngày và khoảng 23 ngày.

Nhận xét. Cách 2 hữu ích để tự kiểm tra chéo Cách 1 vì hai cách cộng theo hai nhóm cột bù nhau, tổng hai tần số luôn bằng 61.

3Cách 3. Lập tỉ lệ thức trực tiếp cho số ngày dự đoán

Định hướng. Không viết xác suất thực nghiệm tường minh, lập ngay tỉ lệ thức giữa số ngày quan sát và số ngày dự đoán.

a) Gọi

x

là số ngày (trong 92 ngày tới) có nhiều nhất 3 vụ:

\frac{x}{92} = \frac{38}{61}

x = \frac{38 \cdot 92}{61} \approx 57, 31

, khoảng 57 ngày.
b) Gọi

y

là số ngày có ít nhất 5 vụ:

\frac{y}{92} = \frac{15}{61}

y = \frac{15 \cdot 92}{61} \approx 22, 62

, khoảng 23 ngày.

Vậy hai kết quả trùng khớp Cách 1 và Cách 2: khoảng 57 ngày và khoảng 23 ngày.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính

P_{tn}

tường minh rồi nhân 92 — vừa đúng yêu cầu trình bày xác suất thực nghiệm (nếu đề hỏi), vừa ít bước hơn lập tỉ lệ thức riêng cho từng câu như Cách 3.

Đáp số. Khoảng 57 ngày có nhiều nhất 3 vụ tai nạn giao thông và khoảng 23 ngày có ít nhất 5 vụ tai nạn giao thông trong ba tháng 10, 11, 12 tới.

Sai lầm thường gặp. Đếm “nhiều nhất 3 vụ” thiếu cột “0 vụ” (chỉ cộng

9 + 15 + 10 = 34

thay vì

4 + 9 + 15 + 10 = 38

), hoặc đếm “ít nhất 5 vụ” quên cộng cột “

\geq 8

”.

🚀 Mở rộng. Nếu đề đổi thành dự đoán cho một năm tới (365 ngày) thay vì ba tháng, chỉ cần thay 92 bằng 365 trong cả ba cách, công thức

N \cdot P_{tn} (A)

vẫn giữ nguyên.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 32. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 8

Luyện tập chung

🎯 Học tiếp

📚 Cùng chương: Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố