Bài 32. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng

Định hướng. Kiểm tra xem hiện tượng tắc đường có thoả điều kiện đồng khả năng của công thức tỉ số đã học ở Bài 31 hay không.

Vậy không thể tính xác suất của biến cố này bằng công thức tỉ số cổ điển đã học.

Định hướng. Từ chỗ không dùng được xác suất cổ điển, tìm cách khác để vẫn ước lượng được khả năng xảy ra.

Vậy ta vẫn có thể ƯỚC LƯỢNG được xác suất của biến cố này bằng xác suất thực nghiệm, sẽ được tính cụ thể ở Luyện tập 2.

Nhận xét. Đây chính là lí do bài học giới thiệu khái niệm xác suất thực nghiệm và mối liên hệ của nó với xác suất.

Định hướng. Xác định các giá trị số cuộc gọi nhiều hơn 6 rồi cộng số ngày tương ứng.

Vậy trong 59 ngày theo dõi, biến cố $A$ xuất hiện 5 ngày.

Định hướng. Dùng biến cố đối "không nhiều hơn 6 cuộc" (tức từ 0 đến 6 cuộc) rồi lấy 59 trừ đi.

Vậy biến cố $A$ xuất hiện 5 ngày, khớp Cách 1.

Định hướng. Cộng dồn số ngày từ giá trị lớn nhất (8 cuộc) giảm dần cho tới khi vừa qua mốc 6.

Vậy tổng cộng dồn dừng đúng tại 5 ngày, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách cộng dồn từ trên xuống hữu ích khi bảng tần số có nhiều cột và điều kiện là "nhiều hơn một mốc".

Định hướng. Liệt kê các cột thoả "ít nhất 5" cho $E$ và các cột thoả "nhiều nhất 3" cho $F$, rồi cộng số ngày tương ứng.

Vậy $P_{tn}(E)=\frac{18}{59}$ và $P_{tn}(F)=\frac{39}{59}$.

Định hướng. Biến cố đối của $E$ là "nhiều nhất 4 cuộc", biến cố đối của $F$ là "ít nhất 4 cuộc" — tính qua phần bù rồi đối chiếu.

Vậy kết quả trùng Cách 1: $P_{tn}(E)=\frac{18}{59}$, $P_{tn}(F)=\frac{39}{59}$.

Định hướng. Nhận xét $E$ chính là hợp của biến cố $A$ (nhiều hơn 6, đã đếm được 5 ngày ở HĐ1) với "đúng 5 hoặc 6 cuộc", tránh đếm lại từ đầu.

Vậy $P_{tn}(E)=\frac{18}{59}$, $P_{tn}(F)=\frac{39}{59}$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Tận dụng kết quả bài trước giúp kiểm tra chéo nhưng phải cộng lại cẩn thận từng mốc, tránh cộng trùng hoặc thiếu.

Định hướng. Cộng số lượng ba loại điện thoại để có tổng số chiếc đã bán, rồi lập tỉ số với số lượng loại A.

Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố $E$ là $\frac{89}{354}$ (xấp xỉ 25,14%).

Định hướng. Tính xác suất thực nghiệm của "không phải loại A" (tức loại B hoặc C) trước, rồi lấy 1 trừ đi.

Vậy $P_{tn}(E)=\frac{89}{354}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Tính tỉ lệ phần trăm của loại A trên tổng để có con số trực quan, rồi kiểm tra khớp với phân số tối giản.

Vậy $P_{tn}(E)\approx 25,14\%$, khớp phân số $\frac{89}{354}$ ở hai cách trên.

Nhận xét. Viết thêm dạng phần trăm giúp hình dung trực quan mức độ phổ biến của loại A so với hai loại còn lại.

Định hướng. Lập tỉ số giữa số ti vi lỗi và tổng số ti vi kiểm tra, rồi đổi sang phần trăm.

Vậy xác suất của biến cố $E$ được ước lượng là $0,8\%$.

Định hướng. Rút gọn phân số $\frac{4}{500}$ về dạng tối giản để kiểm tra chéo với Cách 1.

Vậy $P(E)\approx 0,8\%$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đổi tỉ số $\frac{4}{500}$ sang "số phần nghìn" (‰), đơn vị hay dùng cho tỉ lệ lỗi sản phẩm rất nhỏ, để đối chiếu ý nghĩa thực tế.

Vậy $P(E)\approx 0,8\%$, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách quy đổi phần nghìn giúp nhà máy hình dung trực quan số lượng lỗi dự kiến trên một lô hàng lớn.

Định hướng. Xác định $n$ là tổng số ngày theo dõi, $k$ là số ngày tắc đường, rồi lập tỉ số.

Vậy xác suất của biến cố $E$ được ước lượng là $\frac{217}{365}\approx 0,5945$, tức khoảng $59,45\%$.

Định hướng. Tính xác suất thực nghiệm của biến cố đối rồi lấy 1 trừ đi để kiểm tra chéo.

Vậy $P(E)\approx \frac{217}{365}\approx 59,45\%$, khớp Cách 1.

Định hướng. Quy tỉ số $\frac{217}{365}$ về đơn vị "trên 7 ngày" (một tuần) để hình dung trực quan mức độ thường xuyên tắc đường.

Vậy $P(E)\approx 59,45\%$, tương ứng khoảng 4 đến 5 ngày mỗi tuần, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Đây là ví dụ cho thấy xác suất thực nghiệm giải quyết được đúng câu hỏi đặt ra ở Mở đầu mà xác suất cổ điển không làm được.

Định hướng. Xác định $n$ là tổng số người nhiễm, $k$ là số người tử vong, lập tỉ số rồi tính giá trị gần đúng.

Vậy xác suất người nhiễm Covid-19 bị tử vong được ước lượng là $0,0193$, tức khoảng $1,93\%$.

Định hướng. Làm tròn hai số liệu về đơn vị triệu để tính nhẩm tỉ số gần đúng, sau đó so sánh với kết quả chính xác.

Vậy kết quả làm tròn vẫn cho $P\approx 1,93\%$, khớp Cách 1.

Định hướng. Quy tỉ số về dạng "trên 10 000 người nhiễm có bao nhiêu người tử vong" để có ý nghĩa thống kê dễ hình dung hơn phần trăm.

Vậy $P\approx 1,93\%$ (hay gần 194/10 000), khớp hai cách trên.

Nhận xét. Với dữ liệu dịch bệnh, đơn vị "trên 10 000 người" đôi khi trực quan hơn phần trăm rất nhỏ như $1,93\%$.

Định hướng. Lấy tổng số trẻ sơ sinh trừ đi số bé trai để ra số bé gái, rồi lập tỉ số trên tổng.

Vậy xác suất của biến cố "trẻ sơ sinh là bé gái" được ước lượng là $\frac{487}{1000}=0,487$ (khoảng $48,7\%$).

Định hướng. Vì bé trai và bé gái là hai biến cố đối nhau, tính xác suất thực nghiệm của bé trai trước rồi dùng tổng xác suất bằng 1.

Vậy xác suất của "bé gái" là $\frac{487}{1000}=0,487$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đổi trực tiếp tỉ số phần trăm của cả hai giới để đối chiếu, xem tổng có đúng bằng 100% hay không.

Vậy xác suất của bé gái là khoảng $48,7\%$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Kiểm tra tổng hai tỉ lệ bằng 100% là cách tự kiểm tra kết quả rất hiệu quả khi bài có đúng hai biến cố đối nhau.

Định hướng. Tính ba xác suất thực nghiệm từ 100 sản phẩm, sau đó nhân từng xác suất với 120 để dự đoán.

Vậy $P(A)\approx 0,62$, $P(B)\approx 0,35$, $P(C)\approx 0,03$; dự đoán trong 120 sản phẩm có khoảng 74 sản phẩm không lỗi, 42 sản phẩm đúng 1 lỗi, 4 sản phẩm nhiều hơn 1 lỗi.

Định hướng. Với mỗi biến cố ở câu b), gọi số sản phẩm cần dự đoán là một ẩn rồi lập tỉ lệ bằng xác suất đã ước lượng ở câu a).

Vậy kết quả trùng Cách 1: khoảng 74, 42 và 4 sản phẩm tương ứng.

Định hướng. Sau khi có ba số dự đoán đã làm tròn, cộng lại và đối chiếu với tổng số 120 sản phẩm để kiểm tra tính hợp lí.

Vậy bộ ba dự đoán $74$, $42$, $4$ vừa khớp tính toán vừa khớp kiểm tra tổng, xác nhận kết quả đúng.

Nhận xét. Khi làm tròn từng số riêng lẻ, nên cộng lại kiểm tra tổng đúng bằng cỡ mẫu mới để phát hiện sai số làm tròn.

Định hướng. Cộng số học sinh trong đúng khoảng điểm của từng biến cố, rồi lập tỉ số trên 100.

Vậy $P_{tn}(A)=0,5$, $P_{tn}(B)=0,65$; dự đoán trong 80 học sinh có 40 học sinh điểm không vượt quá 5 và 52 học sinh điểm từ 4 đến 9.

Định hướng. Với $A$, tính số học sinh điểm từ 6 đến 10 (biến cố đối) rồi lấy 100 trừ đi; với $B$ vẫn đếm trực tiếp vì không có đối đơn giản.

Vậy kết quả trùng Cách 1: 40 và 52 học sinh.

Định hướng. Nhận xét phần giao của $A$ và $B$ là điểm 4, 5; dùng nguyên lí cộng để kiểm tra lại tổng số học sinh của cả hai nhóm.

Vậy hai xác suất đã tính ở Cách 1 được xác nhận đúng; dự đoán 80 học sinh vẫn là 40 và 52 học sinh.

Nhận xét. Dùng nguyên lí cộng để kiểm tra chéo là cách phát hiện sai sót hiệu quả khi hai biến cố có phần giao nhau.

Định hướng. Lập tỉ số giữa số lần mỗi biến cố xảy ra và tổng số 145 lần tung.

Vậy $P_{tn}(E)=\frac{113}{145}\approx 0,7793$ và $P_{tn}(F)=\frac{32}{145}\approx 0,2207$.

Định hướng. Vì kẹp giấy chỉ có hai khả năng (trong hình vuông hoặc trên cạnh), $F$ là biến cố đối của $E$ nên dùng tổng xác suất bằng 1.

Vậy $P_{tn}(F)=\frac{32}{145}$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đổi hai tỉ số sang phần trăm rồi cộng lại, phải ra đúng 100% vì hai biến cố đầy đủ.

Vậy hai kết quả $77,93\%$ và $22,07\%$ được xác nhận đúng vì tổng bằng $100\%$.

Nhận xét. Kiểm tra tổng phần trăm bằng 100% là cách soát lỗi nhanh cho các bài có đúng hai biến cố đối nhau.

Định hướng. Xác định đúng cột ứng với mỗi biến cố rồi lập tỉ số trên tổng 20 ngày.

Vậy $P_{tn}(M)=0,7$, $P_{tn}(N)=0,15$, $P_{tn}(K)=0,15$.

Định hướng. $K$ ("ít nhất 2") là biến cố đối của "nhiều nhất 1" (tức $M$ hợp $N$), tính qua phần bù.

Vậy $P_{tn}(K)=0,15$, khớp Cách 1; $P_{tn}(M)=0,7$ và $P_{tn}(N)=0,15$ giữ nguyên như Cách 1.

Định hướng. Gộp lại thành đúng ba nhóm mà đề hỏi ($M$, $N$, $K$) và kiểm tra tổng ba xác suất phải bằng 1 vì đây là ba biến cố đầy đủ, rời nhau.

Vậy ba xác suất $0,7$; $0,15$; $0,15$ được xác nhận đúng vì tổng vừa đúng bằng 1.

Nhận xét. $M$, $N$, $K$ vừa khéo là ba biến cố đầy đủ và rời nhau của cùng phép thử, nên kiểm tra tổng bằng 1 là cách soát nhanh nhất.

Định hướng. Đổi "trên 1 phút" thành "trên 60 giây" để khớp cột cuối, rồi lập ba tỉ số trên tổng 78.

Vậy $P_{tn}(E)=\frac{19}{39}$, $P_{tn}(F)=\frac{2}{39}$, $P_{tn}(G)=\frac{19}{26}$.

Định hướng. $G$ là biến cố đối của "dưới 20 giây hoặc trên 60 giây", tính qua phần bù để kiểm tra chéo.

Vậy $P_{tn}(G)=\frac{19}{26}$, khớp Cách 1; $E$ và $F$ giữ nguyên như Cách 1.

Định hướng. Đổi bốn cột gốc sang phần trăm, cộng lại phải bằng 100%, từ đó suy ra $E$, $F$, $G$ theo phần trăm.

Vậy $P_{tn}(E)\approx 48,72\%$, $P_{tn}(F)\approx 5,13\%$, $P_{tn}(G)\approx 73,08\%$, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Kiểm tra tổng bốn phần trăm gốc bằng 100% giúp phát hiện ngay nếu đọc nhầm số liệu một cột nào đó.

Định hướng. Lập tỉ số số người tử vong trên số người nhiễm cho từng bệnh, giữ nguyên tách biệt hai bộ số liệu.

Vậy xác suất tử vong khi nhiễm SARS được ước lượng khoảng $9,64\%$, khi nhiễm EBOLA khoảng $44,00\%$ — EBOLA nguy hiểm hơn SARS rất nhiều lần theo số liệu này.

Định hướng. Đổi cả hai tỉ số về dạng "trên 1 000 người nhiễm có bao nhiêu người tử vong" để so sánh trực tiếp bằng số nguyên gần đúng.

Vậy cứ 1 000 người nhiễm SARS có khoảng 96 người tử vong, còn với EBOLA là khoảng 440 người — khớp tỉ lệ phần trăm ở Cách 1.

Định hướng. Làm tròn số nhiễm và tử vong về hàng nghìn gần nhất để ước lượng nhanh, rồi so sánh với kết quả chính xác.

Vậy ước lượng nhanh vẫn cho cùng kết luận: EBOLA có xác suất tử vong cao hơn SARS rất nhiều, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Làm tròn số liệu giúp kiểm tra nhanh bằng nhẩm nhưng chỉ nên dùng để đối chiếu, đáp số chính thức vẫn phải lấy số liệu gốc.

Định hướng. Lấy 600 trừ đi số lỗi để có số không lỗi, lập xác suất thực nghiệm rồi nhân với 1 500.

Vậy dự đoán trong lô hàng 1 500 chiếc có khoảng 1 488 chiếc điều hoà không bị lỗi.

Định hướng. Tính xác suất lỗi trước, dự đoán số lỗi trên 1 500 chiếc, rồi lấy 1 500 trừ đi để ra số không lỗi.

Vậy kết quả trùng Cách 1: khoảng 1 488 chiếc không lỗi (tương ứng khoảng 12 hoặc 13 chiếc lỗi).

Định hướng. Gọi $k$ là số chiếc không lỗi trong lô 1 500 chiếc, lập tỉ lệ bằng xác suất thực nghiệm đã ước lượng từ 600 chiếc.

Vậy $k\approx 1488$ chiếc, khớp hai cách trên.

Nhận xét. Kết quả $1487,5$ nằm đúng giữa hai số nguyên nên có thể chấp nhận làm tròn thành 1 487 hoặc 1 488 chiếc tuỳ quy ước làm tròn.

Định hướng. Liệt kê các số điểm thoả từng tính chất, cộng số lần tương ứng của Mai, lập xác suất thực nghiệm rồi nhân với 120.

Vậy dự đoán trong 120 lần gieo của Việt có khoảng 61 lần số điểm chẵn, 49 lần số điểm nguyên tố, 52 lần số điểm lớn hơn 7.

Định hướng. Với "chẵn" dùng đối là "lẻ", với "lớn hơn 7" dùng đối là "nhỏ hơn hoặc bằng 7", tính phần bù để kiểm tra chéo; câu b) vẫn đếm trực tiếp.

Vậy kết quả trùng Cách 1: khoảng 61 lần chẵn và 52 lần lớn hơn 7; câu b) vẫn là 49 lần nguyên tố.

Định hướng. Chia 11 giá trị điểm thành các nhóm không giao nhau theo tính chẵn/lẻ và theo mốc 7 để kiểm tra tổng đúng bằng 100.

Vậy ba dự đoán cho Việt là khoảng 61 lần chẵn, 49 lần nguyên tố, 52 lần lớn hơn 7 — được xác nhận đúng qua phép kiểm tra tổng.

Nhận xét. Dùng xác suất thực nghiệm của người gieo trước để dự đoán người gieo sau chỉ hợp lí khi hai người dùng CÙNG một cặp xúc xắc và cùng điều kiện gieo.