Chương VIII. Mở đầu về tính xác suất của biến cố

Bài 32. Mối liên hệ giữa xác suất thực nghiệm với xác suất và ứng dụng

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 5 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang44–46 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 8.12★★Trang 44— Tính xác suất thực nghiệm khi biến cố là hợp của nhiều giá trị rời rạc (bội của 3) trên bảng tần số

Bài 8.12 (trang 44). Một trò chơi có nội dung như sau: Ở mỗi ván chơi, người chơi gieo đồng thời hai con xúc xắc. Người chơi thắng nếu tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là bội của 3. Một người chơi 100 ván và kết quả các ván chơi được ghi trong bảng sau:
Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc: 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12.
Số ván: 2; 6; 9; 10; 14; 16; 13; 11; 8; 7; 4.
Tính xác suất thực nghiệm của biến cố

A

: "Người chơi thắng trong một ván chơi".

Kiến thức cần nhớ

Bội của 3 trong đoạn từ 2 đến 12 là 3; 6; 9; 12.
Xác suất thực nghiệm $P_{t n} (A) = \frac{k}{n}$ , trong đó $k$ là số ván thắng và $n$ là tổng số ván chơi.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bảng tần số 11 cột theo tổng số chấm, dấu hiệu của dạng phải lọc đúng các cột là bội của 3 (3, 6, 9, 12) rồi cộng số ván tương ứng. Hướng an toàn là liệt kê rõ bốn giá trị bội của 3 trong đoạn 2 đến 12 trước khi cộng, tránh bỏ sót hoặc lấy nhầm giá trị không phải bội của 3. Bẫy của đề: số 2 dễ bị nhầm là bội của 3 do đứng đầu bảng, trong khi thực chất không chia hết cho 3.

1Cách 1. Đếm trực tiếp các cột là bội của 3

Định hướng. Xác định các tổng số chấm là bội của 3 rồi cộng số ván tương ứng.

Các tổng số chấm là bội của 3 trong bảng là 3, 6, 9, 12
Số ván ứng với tổng 3 là 6, tổng 6 là 14, tổng 9 là 11, tổng 12 là 4
Tổng số ván thắng là

6 + 14 + 11 + 4 = 35

Xác suất thực nghiệm của

A

là

P_{t n} (A) = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}

Vậy xác suất thực nghiệm của biến cố $A$ là $\frac{7}{20} = 0, 35$ .

2Cách 2. Tính qua biến cố đối (không là bội của 3)

Định hướng. Cộng số ván ứng với các tổng KHÔNG phải bội của 3, rồi lấy 100 trừ đi.

Số ván ứng với các tổng không phải bội của 3 (2, 4, 5, 7, 8, 10, 11) là

2 + 9 + 10 + 16 + 13 + 8 + 7 = 65

Số ván thắng là

100 - 65 = 35

P_{t n} (A) = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}

Vậy $P_{t n} (A) = \frac{7}{20}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra tổng toàn bảng bằng 100 trước khi kết luận

Định hướng. Cộng toàn bộ 11 cột để chắc chắn dữ liệu đề cho khớp 100 ván trước khi tin vào kết quả đã tính.

Tổng toàn bộ 11 cột là

2 + 6 + 9 + 10 + 14 + 16 + 13 + 11 + 8 + 7 + 4 = 100

, đúng bằng số ván đã chơi
Vì tổng khớp nên số liệu đếm bội của 3 ở Cách 1 (35 ván) và phần bù ở Cách 2 (65 ván) đều đáng tin cậy

Vậy $P_{t n} (A) = \frac{35}{100} = \frac{7}{20} = 0, 35$ , được xác nhận đúng qua phép kiểm tra tổng.

Nhận xét. Kiểm tra tổng toàn bảng bằng đúng số ván đã chơi là bước soát lỗi nhanh trước khi kết luận, nhất là với bảng có nhiều cột.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đếm trực tiếp bốn cột bội của 3, ít bước tính hơn Cách 2 vì không phải cộng bảy cột còn lại.

Đáp số.

P_{t n} (A) = \frac{7}{20} = 0, 35

Sai lầm thường gặp. Cộng nhầm cả cột "tổng bằng 2" vào nhóm bội của 3 (nghĩ 2 là số nhỏ nhất nên "chắc cũng tính"), khiến kết quả sai thành

\frac{37}{100}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi luật thắng thành "tổng là bội của 4" (tức 4, 8, 12) thì số ván thắng là

9 + 13 + 4 = 26

, xác suất thực nghiệm mới là

\frac{26}{100} = 0, 26

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 8.13★★★Trang 45— Tính xác suất thực nghiệm của nhiều mặt hàng rồi dự đoán số lượng của một nhóm gộp trên tổng doanh số năm sau

Bài 8.13 (trang 45). Một cửa hàng điện máy thống kê lại số lượng các mặt hàng bán được trong năm qua như bảng sau:
Mặt hàng: Ti vi; Tủ lạnh; Điện thoại; Máy tính; Quạt; Điều hoà.
Số lượng (chiếc): 2 545; 3 136; 719; 311; 55; 57.
a) Tính xác suất thực nghiệm tiêu thụ mỗi mặt hàng của cửa hàng.
b) Giả sử năm sau cửa hàng đó bán được tổng số 7 500 chiếc các loại. Hãy dự đoán xem trong đó có: bao nhiêu chiếc ti vi; bao nhiêu chiếc tủ lạnh, quạt, hoặc điều hoà.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm của một mặt hàng bằng số lượng bán của mặt hàng đó chia cho tổng số lượng bán của mọi mặt hàng.
Khi câu hỏi gộp nhiều mặt hàng thành một nhóm, phải cộng ĐỦ số lượng của tất cả mặt hàng trong nhóm trước khi lập tỉ số.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho số lượng bán của sáu mặt hàng, dấu hiệu của dạng tính xác suất thực nghiệm cho từng mặt hàng rồi dùng để dự đoán, trong đó câu b) phần hai lại gộp BA mặt hàng (tủ lạnh, quạt, điều hoà) thành một nhóm. Hướng an toàn là tính đúng tổng sáu mặt hàng trước, rồi ở câu b) cộng đúng ba mặt hàng cần gộp trước khi nhân với 7 500. Bẫy của đề: quên cộng cả ba mặt hàng (chỉ lấy tủ lạnh) khi tính nhóm gộp ở câu b).

1Cách 1. Tính tổng rồi lập tỉ số cho từng mặt hàng

Định hướng. Cộng số lượng sáu mặt hàng để có tổng, rồi lập tỉ số cho từng mặt hàng và cho nhóm gộp ở câu b).

Tổng số lượng đã bán là

2545 + 3136 + 719 + 311 + 55 + 57 = 6823

(chiếc)
a)

P_{t n}

của ti vi là

\frac{2 545}{6 823}

;

P_{t n}

của tủ lạnh là

\frac{3 136}{6 823}

;

P_{t n}

của điện thoại là

\frac{719}{6 823}

;

P_{t n}

của máy tính là

\frac{311}{6 823}

;

P_{t n}

của quạt là

\frac{55}{6 823}

;

P_{t n}

của điều hoà là

\frac{57}{6 823}

b) Số ti vi dự đoán trong 7 500 chiếc là

7500 \times \frac{2 545}{6 823} \approx 2797, 5 \approx 2798

(chiếc)
Số lượng tủ lạnh, quạt hoặc điều hoà gộp là

3136 + 55 + 57 = 3248

(chiếc), dự đoán trong 7 500 chiếc là

7500 \times \frac{3 248}{6 823} \approx 3570, 3 \approx 3570

(chiếc)

Vậy a) sáu xác suất thực nghiệm như trên; b) dự đoán năm sau có khoảng 2 798 chiếc ti vi và khoảng 3 570 chiếc tủ lạnh, quạt hoặc điều hoà.

2Cách 2. Đổi sang phần trăm trước khi dự đoán

Định hướng. Đổi các tỉ số ở câu a) sang phần trăm để dễ nhân nhẩm với 7 500 ở câu b).

P_{t n}

của ti vi xấp xỉ

37, 30%

;

P_{t n}

của tủ lạnh xấp xỉ

45, 96%

;

P_{t n}

của quạt xấp xỉ

0, 81%

;

P_{t n}

của điều hoà xấp xỉ

0, 84%

Số ti vi dự đoán là

7500 \times 37, 30% \approx 2797, 5 \approx 2798

(chiếc)
Tỉ lệ nhóm gộp là

45, 96% + 0, 81% + 0, 84% \approx 47, 61%

, số dự đoán là

7500 \times 47, 61% \approx 3570, 8 \approx 3570

(chiếc)

Vậy kết quả trùng Cách 1 (sai số nhỏ do làm tròn phần trăm): khoảng 2 798 chiếc ti vi và khoảng 3 570 chiếc nhóm gộp.

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng tổng sáu xác suất và tổng hai nhóm dự đoán

Định hướng. Cộng sáu xác suất thực nghiệm ở câu a) phải ra đúng 1, và tổng các số dự đoán ở câu b) cộng với các mặt hàng còn lại phải xấp xỉ 7 500.

Tổng sáu xác suất:

\frac{2 545 + 3 136 + 719 + 311 + 55 + 57}{6 823} = \frac{6 823}{6 823} = 1

, hợp lí
Số điện thoại và máy tính dự đoán trong 7 500 chiếc là

7500 \times \frac{719 + 311}{6 823} \approx 1131, 7 \approx 1132

(chiếc)
Tổng ba nhóm dự đoán:

2798 + 3570 + 1132 = 7500

, khớp đúng tổng đề cho

Vậy hai kết quả dự đoán 2 798 và 3 570 chiếc được xác nhận đúng qua phép kiểm tra tổng bằng 7 500.

Nhận xét. Với bài dự đoán nhiều nhóm, cộng thử tất cả các nhóm dự đoán để kiểm tra có khớp đúng tổng cỡ mẫu mới hay không là cách soát lỗi hiệu quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập tỉ số phân số rồi nhân trực tiếp với 7 500, chính xác hơn Cách 2 vì không phải làm tròn qua bước phần trăm trung gian.

Đáp số. a)

P_{t n}

của ti vi là

\frac{2 545}{6 823}

;

P_{t n}

của tủ lạnh là

\frac{3 136}{6 823}

;

P_{t n}

của điện thoại là

\frac{719}{6 823}

;

P_{t n}

của máy tính là

\frac{311}{6 823}

;

P_{t n}

của quạt là

\frac{55}{6 823}

;

P_{t n}

của điều hoà là

\frac{57}{6 823}

. b) Dự đoán khoảng 2 798 chiếc ti vi và khoảng 3 570 chiếc tủ lạnh, quạt hoặc điều hoà trong 7 500 chiếc năm sau.

Sai lầm thường gặp. Ở câu b) phần nhóm gộp, chỉ lấy số lượng tủ lạnh (3 136) mà quên cộng thêm quạt (55) và điều hoà (57), làm số dự đoán bị hụt.

🚀 Mở rộng. Nếu cửa hàng bán thêm mặt hàng thứ bảy với số lượng

x

chiếc, tổng mẫu số đổi thành

6823 + x

và mọi xác suất thực nghiệm ở câu a) phải tính lại theo mẫu số mới này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 8.14★★Trang 45— Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố hợp từ bảng bốn nhóm phương tiện

Bài 8.14 (trang 45). Số liệu thống kê về 1 830 vụ tai nạn giao thông ở một thành phố cho trong bảng sau:
Phương tiện: Ô tô; Xe máy; Xe đạp; Phương tiện khác hoặc đi bộ.
Số vụ tai nạn: 380; 1 354; 55; 41.
Tính xác suất thực nghiệm của các biến cố sau: a)

E

: "Gặp tai nạn khi đi ô tô"; b)

F

: "Gặp tai nạn khi đi xe máy hoặc xe đạp"; c)

G

: "Gặp tai nạn khi đi xe đạp, phương tiện khác hoặc đi bộ".

Kiến thức cần nhớ

Với bảng đã gộp sẵn một số nhóm (như "phương tiện khác hoặc đi bộ"), phải hiểu đó là MỘT cột duy nhất, không tách được thành hai số riêng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 8.15★★★Trang 45— Tính xác suất thực nghiệm theo phần trăm từ bảng bảy mục đích rồi dự đoán số lượng cho tháng sau

Bài 8.15 (trang 45). Trong tháng vừa qua có 3 084 người nhập cảnh ngắn hạn vào nước X. Cơ quan hải quan thống kê mục đích nhập cảnh của họ và cho kết quả trong bảng sau:
Mục đích: Dự hội nghị; Kinh doanh; Thăm thân nhân; Du lịch; Làm việc; Đi học; Lí do khác.
Số lượng (người): 88; 320; 599; 1 565; 55; 125; 332.
a) Tính xác suất thực nghiệm để người nhập cảnh ngắn hạn vào nước X tháng qua (biểu diễn bằng phần trăm) với mục đích: Kinh doanh; Du lịch; Làm việc hoặc đi học; Kinh doanh hoặc dự hội nghị.
b) Biết rằng tháng tới có 2 156 người nhập cảnh ngắn hạn vào nước X. Hãy dự đoán xem trong đó có: bao nhiêu người với mục đích du lịch; bao nhiêu người với mục đích kinh doanh, làm việc hoặc đi học.

Kiến thức cần nhớ

Xác suất thực nghiệm theo phần trăm là $\frac{k}{n} \times 100%$ , với $k$ là số người có mục đích cần xét, $n = 3084$ .
Phải phân biệt rõ từng nhóm gộp mà đề hỏi, không dùng nhầm nhóm này thay nhóm kia.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 8.16★Trang 46— Ước lượng xác suất từ dữ liệu theo dõi dài hạn rồi dự đoán số ngày trên một khoảng thời gian ngắn hơn

Bài 8.16 (trang 46). Camera quan sát tại đường X trong 365 ngày liên tiếp ghi nhận 217 ngày bị tắc đường vào giờ cao điểm buổi sáng (từ 7 giờ 30 phút đến 8 giờ). Từ số liệu thống kê đó, hãy dự đoán xem trong 100 ngày tới có khoảng bao nhiêu ngày bị tắc đường vào giờ cao điểm buổi sáng tại đường X.

Kiến thức cần nhớ