Bài 33. Hai tam giác đồng dạng

Định hướng. Vì $CD\parallel AB$ nên tam giác $ECD$ và tam giác $EBA$ có chung góc tại $E$ và hai cặp góc so le trong bằng nhau, suy ra hai tam giác này đồng dạng.

Vậy $AB=\frac{CD\cdot EB}{EC}$: đo $CD$, $EC$, $EB$ ngoài thực địa là tính được chiều cao cột đèn $AB$.

Định hướng. Coi $EA$, $EB$ là hai cạnh xuất phát từ đỉnh $E$, đoạn $CD$ song song với đáy $AB$ và cắt hai cạnh đó tại $C$, $D$ nên áp dụng hệ quả định lí Thalès đã học.

Vậy $AB=\frac{CD\cdot EB}{EC}$, cùng một công thức như Cách 1 nhưng xuất phát từ định lí Thalès thay vì khái niệm tam giác đồng dạng.

Nhận xét. Số liệu cụ thể để tính ra $AB$ bằng số được cho ở phần Vận dụng cuối bài.

Định hướng. Dùng thước đo độ dài từng cạnh của hai tam giác trên hình rồi lập tỉ số của từng cặp cạnh tương ứng.

Vậy $\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=2$.

Định hướng. Gắn mỗi đỉnh vào một ô lưới, ghi toạ độ rồi dùng công thức khoảng cách để tính chính xác từng cạnh thay vì chỉ ước lượng bằng mắt.

Vậy cả ba tỉ số đều bằng $2$.

Định hướng. Vì ba cặp cạnh cùng song song và ba cặp góc bằng nhau, tam giác $DEF$ chỉ là tam giác $ABC$ được thu nhỏ đều theo mọi hướng — chỉ cần xác định MỘT hệ số thu nhỏ chung.

Vậy cả ba tỉ số $\frac{AB}{DE}$, $\frac{BC}{EF}$, $\frac{AC}{DF}$ đều bằng $2$ mà không cần đo riêng từng cạnh.

Nhận xét. Ba tỉ số luôn BẰNG NHAU — đây chính là dấu hiệu để định nghĩa "hai tam giác đồng dạng" ngay sau hoạt động này.

Định hướng. Vì cả hai tam giác đều nên viết lại đủ ba cạnh bằng nhau của mỗi tam giác và ba góc $60°$, rồi so sánh đúng cặp tương ứng $A\leftrightarrow A^{\prime }$, $B\leftrightarrow B^{\prime }$, $C\leftrightarrow C^{\prime }$.

Vậy $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim △ABC$ với tỉ số đồng dạng $\frac{3}{4}$.

Định hướng. Vì hình dạng của một tam giác đều chỉ phụ thuộc vào độ dài cạnh của nó (góc luôn cố định $60°$), nên hai tam giác đều bất kì luôn đồng dạng và tỉ số đồng dạng chính là tỉ số hai cạnh, không cần liệt kê lại ba góc.

Vậy $△A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }\backsim △ABC$ với tỉ số đồng dạng $\frac{3}{4}$.

Nhận xét. Kết quả này đúng với MỌI cặp tam giác đều, không riêng số đo $4$ cm và $3$ cm của bài.

Định hướng. Đọc toạ độ các đỉnh theo ô lưới, tính độ dài ba cạnh của từng tam giác bằng định lí Pythagore, rồi so sánh các cặp tỉ số để tìm đúng cặp đồng dạng.

Vậy $△ABC\backsim △EDF$ với tỉ số đồng dạng xấp xỉ $2$ (ứng với $A\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow F$).

Định hướng. Thay vì tính độ dài cạnh, so trực tiếp "độ nghiêng" (số ô ngang trên số ô dọc) của các cạnh gặp nhau tại mỗi đỉnh để nhận ra góc bằng nhau, đúng tinh thần đọc hình trên lưới.

Vậy $△ABC\backsim △EDF$.

Định hướng. Quan sát nhanh hình dạng: tam giác $GHK$ có một góc vuông rõ rệt trên lưới nên chắc chắn không đồng dạng với hai tam giác còn lại (không có góc vuông); từ đó chỉ cần kiểm tra cặp $ABC$, $EDF$ còn lại.

Vậy cặp tam giác đồng dạng là $△ABC$ và (viết đúng thứ tự đỉnh) $△EDF$, tỉ số đồng dạng $\approx 2$.

Nhận xét. Cách loại trừ theo hình dạng (Cách 3) giúp khoanh vùng nhanh trước khi đo chính xác bằng Cách 1.

Định hướng. Gọi $k=\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{MP}{AC}$ là tỉ số đồng dạng, dùng đúng hệ thức này cho cả ba ý.

Vậy cả ba khẳng định a), b), c) đều đúng.

Định hướng. Với ý a), b) có thể lập luận qua GÓC thay vì cạnh: tam giác cân/đều tương đương với các góc đáy/ba góc bằng nhau, mà góc tương ứng của hai tam giác đồng dạng luôn bằng nhau.

Vậy cả ba khẳng định đều đúng; riêng ý c) bắt buộc dùng tỉ số cạnh vì đây là so sánh ĐỘ DÀI, không phải so sánh góc.

Nhận xét. Ý a), b) có thể chứng minh qua góc hoặc qua cạnh đều được, còn ý c) chỉ có một con đường là dùng tỉ số cạnh.

Định hướng. Tứ giác $MNPB$ có $MN\parallel BP$ (vì $MN\parallel BC$) và $NP\parallel MB$ (vì $NP\parallel AB$, theo cách dựng) nên là hình bình hành, suy ra $MN=BP$; sau đó dùng định lí Thalès hai lần để ra tỉ số cần chứng minh.

Vậy $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$, và vì có đủ ba cặp góc bằng nhau cùng ba cặp cạnh tỉ lệ nên $△AMN\backsim △ABC$.

Định hướng. Đặt toạ độ cụ thể cho $A$, $B$, $C$ và tham số hoá $M$, $N$ theo cùng tỉ lệ $t=\frac{AM}{AB}$, tính trực tiếp toạ độ $P$ rồi so sánh độ dài bằng công thức khoảng cách — cách này không cần vẽ thêm hình bình hành.

Vậy hệ thức $\frac{MN}{BC}=\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}$ đúng với mọi vị trí $M$, $N$ cùng tỉ lệ $t$, và $△AMN\backsim △ABC$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ kiểm tra được cho một trường hợp cụ thể; Cách 1 mới là chứng minh TỔNG QUÁT đúng với mọi tam giác.

Định hướng. $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$ nên $MN$ là đường trung bình của $△ABC$; $P$, $Q$ là trung điểm $AM$, $AN$ nên $PQ$ là đường trung bình của $△AMN$ — áp dụng Định lí mục 2 cho từng cặp.

Vậy có tất cả ba cặp tam giác đồng dạng: $△AMN\backsim △ABC$; $△APQ\backsim △AMN$; $△APQ\backsim △ABC$.

Định hướng. Không cần nhắc lại khái niệm đường trung bình, chỉ cần tính tỉ số $\frac{AM}{AB}$, $\frac{AP}{AB}$ bằng số rồi so sánh với Định lí mục 2 để kết luận đồng dạng ngay.

Vậy có đúng ba cặp: $(APQ,AMN)$, $(AMN,ABC)$, $(APQ,ABC)$.

Nhận xét. Cách 2 tính thẳng bằng số nên nhanh hơn, nhưng Cách 1 (đường trung bình) mới nêu đúng LÍ DO hình học vì sao các đoạn đó song song.

Định hướng. Vì $A$, $C$, $O$, $F$ thẳng hàng và $B$, $D$, $O$, $E$ thẳng hàng, xét từng cặp tam giác chung đỉnh $O$ rồi dùng $AB\parallel CD\parallel EF$ để suy các góc còn lại bằng nhau.

Vậy có ba cặp tam giác đồng dạng: $△OAB\backsim △OCD$; $△OAB\backsim △OFE$; $△OCD\backsim △OFE$.

Định hướng. Coi $C$, $D$ lần lượt nằm trên hai cạnh $OA$, $OB$ của tam giác $OAB$ với $CD\parallel AB$, áp dụng thẳng Định lí vừa học ở mục 2 mà không cần chỉ ra từng cặp góc.

Vậy vẫn ra đúng ba cặp như Cách 1, nhưng suy trực tiếp từ định lí bài học thay vì liệt kê từng góc.

Định hướng. Gán toạ độ cho $O$ và ba đoạn song song rồi tính trực tiếp độ dài $OA$, $OC$, $OF$, ... để kiểm chứng ba cặp tỉ số bằng số cụ thể.

Vậy $△OCD\backsim △OAB$ tỉ số $\frac{1}{3}$, $△OFE\backsim △OAB$ tỉ số $\frac{1}{2}$, $△OCD\backsim △OFE$ tỉ số $\frac{2}{3}$ — đúng ba cặp như hai cách trên.

Nhận xét. Tỉ số đồng dạng cụ thể phụ thuộc hình vẽ; điều CỐ ĐỊNH là luôn có đúng ba cặp đồng dạng khi ba đoạn thẳng cùng song song và chung hai đường chéo qua $O$.

Định hướng. Đổi $EC=80$ cm $=0,8$ m để cùng đơn vị mét với $CD$, $EB$, rồi dùng tỉ số đồng dạng đã lập ở phần Mở đầu.

Vậy chiều cao cột đèn $AB=5$ m.

Định hướng. Tính trước tỉ số đồng dạng $k=\frac{EB}{EC}$ của $△EBA$ so với $△ECD$, rồi nhân thẳng với $CD$ để ra $AB$, không cần lập phương trình.

Vậy $AB=5$ m.

Định hướng. Đặt $E$ làm gốc toạ độ, mặt đất là trục hoành, viết phương trình đường thẳng tia sáng đi qua $E$, $D$ rồi tìm giao điểm với đường thẳng đứng tại $B$ để ra độ cao $AB$ — cách này không cần nhắc tới khái niệm tam giác đồng dạng.

Vậy đỉnh cột đèn $A$ ở độ cao $y=5$, tức $AB=5$ m — khớp với Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả $AB=5$ m; Cách 1 gắn đúng với kiến thức trọng tâm của bài (tam giác đồng dạng), nên trình bày trong bài kiểm tra nên chọn Cách 1.

Định hướng. Từ giả thiết $△ABC\backsim △MNP$ ta có tương ứng cố định $A\leftrightarrow M$, $B\leftrightarrow N$, $C\leftrightarrow P$; kiểm tra từng khẳng định xem có giữ đúng tương ứng này không.

Vậy khẳng định KHÔNG đúng là d).

Định hướng. Chọn một bộ số đo cụ thể thoả $△ABC\backsim △MNP$ (ví dụ tỉ số $2$), rồi thử xem khẳng định d) có cho ra tỉ số cạnh tương ứng bằng nhau hay không.

Vậy khẳng định d) sai, đúng như Cách 1 đã chỉ ra.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần thử MỘT bộ số phản ví dụ là đủ bác bỏ khẳng định sai, nhanh hơn khi làm trắc nghiệm.

Định hướng. Đối chiếu từng khẳng định với định nghĩa: đồng dạng cần TỈ SỐ CẠNH TƯƠNG ỨNG không đổi và GÓC TƯƠNG ỨNG bằng nhau, không nhất thiết kích thước bằng nhau.

Vậy khẳng định đúng là a) và c).

Định hướng. Với các khẳng định nghi ngờ là sai, chỉ cần dựng MỘT ví dụ cụ thể vi phạm là đủ bác bỏ; với khẳng định nghi đúng thì kiểm tra theo định nghĩa như Cách 1.

Vậy khẳng định đúng là a) và c), khớp với Cách 1.

Nhận xét. Với câu hỏi "khẳng định nào đúng", chỉ cần MỘT phản ví dụ đã đủ loại một đáp án — không cần chứng minh tổng quát cho các ý sai.

Định hướng. $M$, $N$, $P$ là trung điểm $BC$, $CA$, $AB$ nên $NP$, $PM$, $MN$ lần lượt là ba đường trung bình của $△ABC$, mỗi đường song song và bằng nửa cạnh đối diện tương ứng.

Vậy năm tam giác $ABC$, $APN$, $PBM$, $NMC$, $MNP$ đôi một đồng dạng với nhau.

Định hướng. Gán toạ độ cụ thể cho $A$, $B$, $C$ (không cân, để đúng giả thiết), tính toạ độ $M$, $N$, $P$ là trung điểm rồi so sánh trực tiếp độ dài các cạnh của năm tam giác.

Vậy $△MNP$ đồng dạng $△ABC$ tỉ số $\frac{1}{2}$; tương tự cho ba tam giác góc còn lại — xác nhận đúng kết quả của Cách 1 bằng số liệu cụ thể.

Định hướng. Thay vì dùng lại kiến thức "đường trung bình" đã học ở lớp 7, áp dụng thẳng Định lí mục 2 của chính bài học này (đường thẳng cắt hai cạnh và song song cạnh còn lại) cho từng tam giác góc.

Vậy cả năm tam giác đôi một đồng dạng, tỉ số giữa mỗi tam giác nhỏ với $△ABC$ đều là $\frac{1}{2}$, còn giữa bốn tam giác nhỏ với nhau là $1$.

Nhận xét. Ba cách đều xác nhận CÙNG một kết quả — chọn Cách 1 hoặc Cách 3 để trình bày vì không cần tính số cụ thể như Cách 2.

Định hướng. Vì $AB=2MN$ nên $MN$ đúng bằng NỬA $AB$ — lấy $N^{\prime }$, $P^{\prime }$ là trung điểm $AB$, $AC$ để có $A{N}^{\prime }=A{P}^{\prime }=\frac{1}{2}AB$, rồi so sánh tam giác $A{N}^{\prime }{P}^{\prime }$ với $△MNP$.

Vậy $△MNP\backsim △ABC$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$.

Định hướng. Trước hết chỉ ra ba cặp góc tương ứng bằng nhau nhờ tính chất tam giác cân, sau đó mới hoàn thiện phần cạnh bằng đúng phép dựng trung điểm như Cách 1 để có đủ cả hai điều kiện của định nghĩa đồng dạng.

Vậy $△MNP\backsim △ABC$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$.

Nhận xét. Riêng việc chỉ ra ba góc bằng nhau (Cách 2) CHƯA ĐỦ để kết luận đồng dạng ở giai đoạn này của chương trình — vẫn cần phép dựng ở Cách 1 để xác nhận đúng ba cạnh tỉ lệ.