Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 19 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang55–57 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 9.12★Trang 55— Nhận biết đồng dạng bằng trường hợp cạnh – cạnh – cạnh (bốn cặp số liệu)

Bài 9.12 (trang 55). Hai tam giác có độ dài ba cạnh như sau có đồng dạng không? Vì sao? (1)

2

cm,

3

cm,

4

cm và

6

cm,

9

cm,

12

cm. (2)

3

cm,

5

cm,

6

cm và

6

cm,

10

cm,

11

cm. (3)

2

cm,

3

cm,

3

cm và

2

cm,

2

cm,

3

cm. (4)

4

cm,

4

cm,

4

cm và

3

cm,

3

cm,

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh: ba cạnh tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cặp tam giác đều cho đủ ba cạnh — dấu hiệu dùng ngay c.c.c: sắp mỗi bộ ba cạnh tăng dần rồi so sánh tỉ số nhỏ nhất/nhỏ nhất, vừa/vừa, lớn/lớn. Bẫy nằm ở cặp (3): hai tam giác có cạnh trông gần giống nhau (

2, 3, 3

và

2, 2, 3

) nhưng ghép sai thứ tự sẽ ngộ nhận đồng dạng.

1Cách 1. Lập tỉ số ba cặp cạnh đã sắp tăng dần cho từng bộ số liệu

Định hướng. Sắp mỗi bộ ba cạnh theo thứ tự tăng dần rồi lập đúng ba tỉ số tương ứng.

(1)

2, 3, 4

và

6, 9, 12

\frac{6}{2} = \frac{9}{3} = \frac{12}{4} = 3

— ba tỉ số bằng nhau
(2)

3, 5, 6

và

6, 10, 11

\frac{6}{3} = 2, \frac{10}{5} = 2, \frac{11}{6} \approx 1, 83

— không bằng nhau
(3)

2, 3, 3

và

2, 2, 3

: sắp tăng dần

2, 3, 3

và

2, 2, 3

\frac{2}{2} = 1, \frac{2}{3} \approx 0, 67, \frac{3}{3} = 1

— không bằng nhau
(4)

4, 4, 4

và

3, 3, 3

\frac{3}{4} = \frac{3}{4} = \frac{3}{4}

— ba tỉ số bằng nhau

Vậy (1) và (4) đồng dạng (c.c.c); (2) và (3) không đồng dạng.

2Cách 2. Dùng chu vi để sàng lọc nhanh trước khi kiểm đủ ba tỉ số

Định hướng. Tính tỉ số chu vi mỗi cặp trước; nếu tỉ số chu vi không khớp gọn với ít nhất một cặp cạnh đã biết thì loại nhanh, sau đó kiểm lại đủ ba cạnh cho cặp còn nghi ngờ.

(1) chu vi

9

và

27

, tỉ số

3

— khớp

\frac{6}{2} = 3

, kiểm đủ ba cạnh như Cách 1 xác nhận đồng dạng
(2) chu vi

14

và

27

, tỉ số

\frac{27}{14} \approx 1, 93

— không khớp gọn với

\frac{6}{3} = 2

hay

\frac{10}{5} = 2

đúng nghĩa (vì cạnh còn lại lệch), nghi ngờ và kiểm ra không đồng dạng
(3) chu vi bằng nhau (

8

và

7

, thực ra không bằng:

2 + 3 + 3 = 8

2 + 2 + 3 = 7

) — chu vi đã khác nhau càng củng cố khả năng không đồng dạng, kiểm ba tỉ số xác nhận
(4) chu vi

12

và

9

, tỉ số

\frac{3}{4}

— khớp đúng cả ba cạnh

Vậy khẳng định lại đúng kết luận của Cách 1: (1), (4) đồng dạng; (2), (3) không đồng dạng.

Nhận xét. Tỉ số chu vi chỉ dùng để sàng lọc nhanh, không thay được việc kiểm đủ BA cặp cạnh — chu vi khác nhau chưa chắc chắn hai tam giác không đồng dạng nếu không kiểm kĩ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: sắp cạnh tăng dần rồi lập tỉ số trực tiếp cho cả bốn cặp — nhanh và chắc chắn, không cần bước sàng lọc trung gian.

Đáp số. (1) và (4) là các cặp tam giác đồng dạng; (2) và (3) không đồng dạng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở cặp (3) là ghép cạnh theo đúng thứ tự liệt kê trong đề (

2 \leftrightarrow 2, 3 \leftrightarrow 2, 3 \leftrightarrow 3

) thay vì sắp tăng dần trước — phải sắp lại

2, 3, 3

và

2, 2, 3

rồi mới ghép đúng cặp nhỏ nhất với nhỏ nhất.

🚀 Mở rộng. Với bộ ba cạnh

(a, a, a)

(tam giác đều) như cặp (4), MỌI tam giác đều khác đều đồng dạng với nó — đây là trường hợp đặc biệt luôn đúng không cần tính toán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 9.13★★Trang 55— Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để suy ra cạnh còn lại tỉ lệ (c.c.c)

Bài 9.13 (trang 55). Cho hai tam giác

A B C

và

D E F

lần lượt có chu vi là

15

cm và

20

cm. Biết rằng

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{3}{4}

. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ D E F

Kiến thức cần nhớ

Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{a + c}{b + d} = \frac{a - c}{b - d}$ .
Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho hai trong ba tỉ số cạnh cùng bằng

\frac{3}{4}

và hai chu vi — dấu hiệu dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau: ghép

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{A B + A C}{D E + D F}

rồi liên hệ với chu vi để suy ra luôn cạnh còn lại (

B C, E F

) cũng theo đúng tỉ số

\frac{3}{4}

, không cần biết riêng từng cạnh.

1Cách 1. Dùng dãy tỉ số bằng nhau để suy ra

B C / E F

Định hướng. Ghép $\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{3}{4}$ với chu vi hai tam giác để suy ra $\frac{A B + A C}{D E + D F} = \frac{3}{4}$ , từ đó tìm nốt tỉ số cạnh $B C, E F$ .

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{3}{4} = \frac{A B + A C}{D E + D F} = \frac{15 - B C}{20 - E F}

(vì

A B + A C = 15 - B C

D E + D F = 20 - E F

)

4 (15 - B C) = 3 (20 - E F) \Rightarrow 60 - 4 B C = 60 - 3 E F \Rightarrow 4 B C = 3 E F \Rightarrow \frac{B C}{E F} = \frac{3}{4}

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F} = \frac{3}{4}

Vậy $△ A B C ∽ △ D E F$ (c.c.c), tỉ số đồng dạng $\frac{3}{4}$ .

2Cách 2. Gọi ẩn trực tiếp cho

A B, A C

rồi tính

B C

qua chu vi

Định hướng. Đặt $A B = 3 t, D E = 4 t$ (cùng hệ số theo tỉ số $\frac{3}{4}$ ) và tương tự $A C = 3 u, D F = 4 u$ ; dùng hai phương trình chu vi để tìm liên hệ giữa $t, u$ và cạnh còn lại.

A B = 3 t, D E = 4 t, A C = 3 u, D F = 4 u

(với

t, u

dương)
Chu vi:

3 t + 3 u + B C = 15

và

4 t + 4 u + E F = 20

Từ phương trình đầu:

B C = 15 - 3 (t + u)

; nhân cả hai vế phương trình đầu với

\frac{4}{3}

4 t + 4 u + \frac{4}{3} B C = 20 \Rightarrow E F = \frac{4}{3} B C \Rightarrow \frac{B C}{E F} = \frac{3}{4}

Vậy lại ra $\frac{B C}{E F} = \frac{3}{4}$ , cùng kết luận $△ A B C ∽ △ D E F$ (c.c.c) như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải đặt hai ẩn $t, u$ nên dài hơn; Cách 1 dùng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau là công cụ gọn và chuẩn mực nhất cho dạng này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng tính chất dãy tỉ số bằng nhau nối với chu vi — không cần đặt ẩn, ngắn gọn nhất.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ D E F

(c.c.c), tỉ số đồng dạng

\frac{3}{4}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết nhầm

\frac{A B + A C}{D E + D F} = \frac{15}{20}

(lấy thẳng hai chu vi) thay vì

\frac{15 - B C}{20 - E F}

— phải trừ đi cạnh còn thiếu (

B C, E F

) trước khi ghép vào dãy tỉ số, vì

A B + A C

chỉ là MỘT PHẦN của chu vi.

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật “chu vi trừ hai cạnh đã biết” kết hợp dãy tỉ số bằng nhau này dùng được cho mọi bài chỉ biết MỘT PHẦN các cạnh và tổng (chu vi), rất hữu ích khi không có đủ dữ kiện từng cạnh riêng lẻ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 9.14★★Trang 55— Chứng minh đồng dạng từ một đẳng thức liên hệ ba cạnh (c.c.c, biến thể của Ví dụ 1 SGK)

Bài 9.14 (trang 55). Cho hai tam giác

A B C

và

D E F

thỏa mãn

2 A B = 3 A C = 4 B C

và

D E = 6

cm,

D F = 4

cm,

E F = 3

cm. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ D E F

Kiến thức cần nhớ

Nếu $p A B = q A C = r B C$ thì $A B : A C : B C = \frac{1}{p} : \frac{1}{q} : \frac{1}{r}$ (quy đồng mẫu số).
Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

2 A B = 3 A C = 4 B C

(ba đại lượng bằng nhau) và ba cạnh cụ thể của

△ D E F

— dấu hiệu dùng lại đúng kĩ thuật của Ví dụ 1 SGK trang 84: quy đồng hệ số

2, 3, 4

(bội chung nhỏ nhất

12

) để đưa

A B, A C, B C

về cùng một tỉ lệ, rồi so với

D E, D F, E F

đã cho.

1Cách 1. Chia cho

12

để đưa về dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. $12$ là bội chung nhỏ nhất của $2, 3, 4$ . Chia các đại lượng bằng nhau cho $12$ để được dãy tỉ số có mẫu $6, 4, 3$ — đúng bằng $D E, D F, E F$ .

2 A B = 3 A C = 4 B C

\Rightarrow \frac{2 A B}{12} = \frac{3 A C}{12} = \frac{4 B C}{12}

\Rightarrow \frac{A B}{6} = \frac{A C}{4} = \frac{B C}{3}

Mà

D E = 6

cm,

D F = 4

cm,

E F = 3

cm nên

\frac{A B}{D E} = \frac{A C}{D F} = \frac{B C}{E F}

Vậy $△ A B C ∽ △ D E F$ (c.c.c).

2Cách 2. Quy đồng bằng ẩn

t

rồi lập tỉ số với

D E, D F, E F

Định hướng. Đặt $2 A B = 3 A C = 4 B C = t$ , biểu diễn từng cạnh theo $t$ rồi lập tỉ số với $D E, D F, E F$ đã cho (không cần đoán trước bội chung nhỏ nhất).

A B = \frac{t}{2}, A C = \frac{t}{3}, B C = \frac{t}{4}

\frac{A B}{D E} = \frac{t /2}{6} = \frac{t}{12}

;

\frac{A C}{D F} = \frac{t /3}{4} = \frac{t}{12}

;

\frac{B C}{E F} = \frac{t /4}{3} = \frac{t}{12}

Vậy ba tỉ số đều bằng $\frac{t}{12}$ nên $△ A B C ∽ △ D E F$ (c.c.c).

Nhận xét. Cách 2 tổng quát hơn (không cần đoán bội chung nhỏ nhất) nhưng dài hơn; Cách 1 gọn hơn nhờ chia ngay cho $12$ . Lưu ý: không được "chọn" $2 A B = 12$ để suy ra $A B = 6$ , vì đề chỉ cho tỉ lệ ba cạnh của $△ A B C$ chứ không cho độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chia

2 A B = 3 A C = 4 B C

cho

12

(bội chung nhỏ nhất của

2, 3, 4

) để ra ngay dãy tỉ số

\frac{A B}{6} = \frac{A C}{4} = \frac{B C}{3}

Đáp số.

△ A B C ∽ △ D E F

(c.c.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là hiểu nhầm

2 A B = 3 A C = 4 B C

nghĩa là

A B : A C : B C = 2 : 3 : 4

— phải là tỉ lệ NGHỊCH với hệ số,

A B : A C : B C = \frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3

🚀 Mở rộng. Bản in SBT ghi nhầm "tam giác

M N P

" và "

E F = 4

cm" (vietjack đã ghi chú đề chưa chính xác); lời giải trong sách dùng

E F = 3

cm và tam giác

D E F

— đề ở trên đã sửa theo lời giải đó. Với

E F = 4

cm thì

D E : D F : E F = 6 : 4 : 4

không cùng tỉ lệ

6 : 4 : 3

nên hai tam giác KHÔNG đồng dạng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 9.15★★★Trang 55— Chứng minh đồng dạng bằng định lí Thalès đảo lặp lại ba lần (c.c.c)

Bài 9.15 (trang 55). Cho tam giác

A B C

và điểm

O

nằm trong tam giác. Lấy

M, N, P

là các điểm lần lượt trên các tia

O A, O B, O C

sao cho

O A = 3 O M

O B = 3 O N

O C = 3 O P

. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ M N P

và tìm tỉ số đồng dạng.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès đảo: nếu $\frac{O A}{O M} = \frac{O B}{O N}$ thì $A B ∥ M N$ và $\frac{A B}{M N} = \frac{O A}{O M}$ .
Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Ba điểm

M, N, P

được dựng theo CÙNG một tỉ số

\frac{O A}{O M} = \frac{O B}{O N} = \frac{O C}{O P} = 3

trên ba tia từ

O

— dấu hiệu dùng định lí Thalès đảo cho từng cặp tam giác nhỏ (

O A B

và

O M N

, …) để suy ra

A B ∥ M N

và

\frac{A B}{M N} = 3

, lặp lại cho hai cặp cạnh còn lại rồi kết luận bằng c.c.c.

1Cách 1. Áp dụng Thalès đảo cho từng cặp cạnh (như lời giải chuẩn)

Định hướng. Từ $O A = 3 O M, O B = 3 O N, O C = 3 O P$ suy ra ba tỉ số $\frac{O A}{O M} = \frac{O B}{O N} = \frac{O C}{O P} = 3$ , áp dụng Thalès đảo cho từng cặp tia để có $A B = 3 M N$ , $B C = 3 N P$ , $C A = 3 P M$ .

\frac{O A}{O M} = \frac{O B}{O N} = 3 \Rightarrow A B ∥ M N

(Thalès đảo trong tam giác

O A B, O M N

) và

\frac{A B}{M N} = 3

Tương tự:

\frac{O B}{O N} = \frac{O C}{O P} = 3 \Rightarrow \frac{B C}{N P} = 3

; và

\frac{O C}{O P} = \frac{O A}{O M} = 3 \Rightarrow \frac{C A}{P M} = 3

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} = 3

Vậy $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c) với tỉ số đồng dạng $3$ .

2Cách 2. Dùng vectơ (biểu diễn

M N

theo

A B

)

Định hướng. Vì $M$ trên tia $O A$ với $O M = \frac{1}{3} O A$ , có $O M = \frac{1}{3} O A$ ; tương tự cho $N, P$ — từ đó tính trực tiếp $M N$ theo $A B$ .

O M = \frac{1}{3} O A

O N = \frac{1}{3} O B

M N = O N - O M = \frac{1}{3} (O B - O A) = \frac{1}{3} A B

\Rightarrow M N = \frac{1}{3} A B

và

M N ∥ A B

(cùng phương với

A B

); tương tự

N P = \frac{1}{3} B C

P M = \frac{1}{3} C A

Vậy $\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} = 3$ , nên $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c) với tỉ số $3$ — khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng vectơ (kiến thức lớp 10) cho lời giải rất ngắn nhưng vượt chương trình lớp 8; Cách 1 (Thalès đảo) mới đúng công cụ đang học ở Bài 34.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (Thalès đảo): đúng công cụ Bài 34 và các bài đã học, không cần vectơ.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ M N P

(c.c.c) với tỉ số đồng dạng

3

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết luôn

A B = 3 M N

mà không nêu căn cứ (bỏ qua bước Thalès đảo để chứng minh song song trước) — phải chỉ rõ

A B ∥ M N

trước khi khẳng định tỉ số

\frac{A B}{M N} = \frac{O A}{O M}

🚀 Mở rộng. Nếu thay hệ số

3

bởi

k

bất kì (

O A = k \cdot O M

, …) thì

△ A B C ∽ △ M N P

luôn đúng với tỉ số

k

— đây chính là phép vị tự tâm

O

tỉ số

\frac{1}{k}

biến

△ A B C

thành

△ M N P

(khái niệm sẽ gặp lại ở lớp 11).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 9.16★★Trang 55— Chứng minh tam giác trung bình đồng dạng với tam giác gốc (c.c.c)

Bài 9.16 (trang 55). Cho tam giác

A B C

và các điểm

M, N, P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C, C A, A B

. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ M N P

và tìm tỉ số đồng dạng.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.

🧠 Phân tích tư duy

M, N, P

là trung điểm ba cạnh — dấu hiệu dùng ngay tính chất đường trung bình (đã học ở Bài 16, lớp 8): mỗi đoạn

M N, N P, P M

song song và bằng nửa cạnh đối diện tương ứng, nên chỉ cần liệt kê đủ ba tỉ số

\frac{1}{2}

rồi kết luận bằng c.c.c.

1Cách 1. Dùng tính chất đường trung bình cho cả ba cạnh

Định hướng. $M, N$ là trung điểm $B C, C A$ nên $M N$ là đường trung bình ứng với cạnh $A B$ , suy ra $M N = \frac{1}{2} A B$ ; tương tự cho hai cặp còn lại.

M, N

trung điểm

B C, C A \Rightarrow M N = \frac{1}{2} A B

N, P

trung điểm

C A, A B \Rightarrow N P = \frac{1}{2} B C

P, M

trung điểm

A B, B C \Rightarrow P M = \frac{1}{2} C A

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} = 2

Vậy $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c) với tỉ số đồng dạng $2$ .

2Cách 2. Dùng tính chất

△ A B C ∽ △ M N P

qua bốn tam giác con bằng nhau

Định hướng. Ba đường trung bình $M N, N P, P M$ chia $△ A B C$ thành $4$ tam giác nhỏ bằng nhau ( $△ A N P = △ N B M = △ M P C = △ P N M$ , đều bằng nhau theo c.c.c vì mỗi cạnh bằng nửa cạnh tương ứng của $△ A B C$ ); từ đó suy ra $△ M N P$ (tam giác giữa) có ba cạnh đúng bằng nửa ba cạnh $△ A B C$ .

Bốn tam giác nhỏ

A N P, N B M, M P C, P N M

bằng nhau (c.c.c, vì mỗi cạnh của chúng đều là nửa cạnh tương ứng của

△ A B C

nhờ tính chất đường trung bình)

△ P N M

(ở giữa) có

P N, N M, M P

lần lượt bằng

\frac{1}{2} A B, \frac{1}{2} B C, \frac{1}{2} C A

— đúng ba cạnh của

△ M N P

cần xét

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M} = 2

Vậy $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c) tỉ số $2$ — khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho một hình ảnh trực quan hơn (bốn tam giác con bằng nhau) nhưng dài hơn; Cách 1 áp dụng thẳng tính chất đường trung bình là ngắn gọn và chuẩn mực nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng tính chất đường trung bình cho cả ba cạnh, không cần dựng thêm hình bốn tam giác con.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ M N P

(c.c.c) với tỉ số đồng dạng

2

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghi nhầm

M, N, P

đóng vai trò trung điểm cạnh nào — ví dụ nhầm

M N = \frac{1}{2} B C

thay vì

\frac{1}{2} A B

; phải nhớ đường trung bình SONG SONG và bằng nửa cạnh KHÔNG chứa hai đỉnh tạo ra nó (

M, N

không nằm trên

A B

nên

M N

ứng với

A B

🚀 Mở rộng. Tam giác

M N P

ở bài này gọi là \"tam giác trung bình\" của

△ A B C

; nó luôn đồng dạng với

△ A B C

theo tỉ số

\frac{1}{2}

và có cùng trọng tâm với

△ A B C

— tính chất trọng tâm chung này thường gặp trong các bài toán nâng cao hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 9.17★★★Trang 55— Chứng minh đồng dạng c.c.c rồi suy ra hai đường thẳng song song (góc so le trong)

Bài 9.17 (trang 55). Cho tứ giác

A B C D

với

A B = 2

cm,

A D = 3

cm,

B D = 4

cm,

B C = 6

cm,

C D = 8

cm. Chứng minh rằng

△ A B D ∽ △ B D C

và

A B

song song với

C D

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.
Hai đường thẳng có một cặp góc so le trong bằng nhau (tạo bởi cát tuyến) thì song song với nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hai tam giác

A B D

và

B D C

có chung cạnh

B D

— dấu hiệu để so sánh BA cặp cạnh

A B, A D, B D

với

B D, D C, B C

theo đúng thứ tự tương ứng (

A B \leftrightarrow B D, A D \leftrightarrow B C, B D \leftrightarrow D C

) bằng c.c.c; sau khi có đồng dạng, cặp góc so le trong bằng nhau (

A B D = B D C

) chính là điều kiện để kết luận song song.

1Cách 1. Lập ba tỉ số cạnh chung quanh cạnh

B D

rồi dùng góc so le trong

Định hướng. So sánh $\frac{A B}{B D}, \frac{B D}{D C}, \frac{A D}{B C}$ (đúng thứ tự để cạnh chung $B D$ đóng vai trò kép, vừa là cạnh của $△ A B D$ vừa là cạnh của $△ B D C$ ).

\frac{A B}{B D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

;

\frac{B D}{D C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

;

\frac{A D}{B C} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C} = \frac{1}{2}

\Rightarrow △ A B D ∽ △ B D C

(c.c.c)

\Rightarrow A B D = B D C

(góc tương ứng)

Vậy $A B D = B D C$ là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $B D$ với $A B$ và $C D$ , nên $A B ∥ C D$ .

2Cách 2. Kiểm tra tam giác vuông qua định lí Pythagore đảo trước, rồi suy ra góc so le trong

Định hướng. Nhận thấy bộ ba $(3, 4, 5)$ và bội của nó có thể liên quan; thử kiểm tra xem $△ A B D$ hoặc $△ B D C$ có vuông không bằng Pythagore đảo, như một hướng khai thác số liệu khác trước khi quay lại c.c.c.

△ A B D

A B^{2} + A D^{2} = 4 + 9 = 13 \neq = B D^{2} = 16

— không vuông tại

A

△ B D C

B D^{2} + D C^{2} = 16 + 64 = 80 \neq = B C^{2} = 36

;

B D^{2} + B C^{2} = 16 + 36 = 52 \neq = D C^{2} = 64

— không vuông ở đỉnh nào liên quan
Hướng Pythagore không cho kết quả gọn — quay lại lập tỉ số cạnh như Cách 1:

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C} = \frac{1}{2} \Rightarrow △ A B D ∽ △ B D C

(c.c.c)

\Rightarrow A B D = B D C \Rightarrow A B ∥ C D

Vậy vẫn ra $△ A B D ∽ △ B D C$ và $A B ∥ C D$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Việc thử Pythagore đảo ở đây chỉ giúp loại trừ một hướng suy nghĩ sai (không có góc vuông đặc biệt), khẳng định c.c.c mới là con đường đúng — không nên mất thời gian thử hướng này khi làm bài thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay vai trò kép của cạnh chung

B D

và lập tỉ số

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C}

, không mất thời gian thử Pythagore.

Đáp số.

△ A B D ∽ △ B D C

(c.c.c, tỉ số

\frac{1}{2}

) và

A B ∥ C D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép cạnh chung

B D

sai vai trò, ví dụ lập

\frac{A B}{B D} = \frac{A D}{D C}

(để

B D

cùng một phía cả hai tỉ số) thay vì để

B D

đóng đúng hai vai trò khác nhau (

B D

là cạnh của

△ A B D

tương ứng

D C

của

△ B D C

, và

B D

của

△ B D C

tương ứng

A B

của

△ A B D

) — cách ghép đúng luôn có

B D

xuất hiện ở CẢ hai vế của MỘT tỉ số riêng (

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C}

🚀 Mở rộng. Đây là kĩ thuật quen thuộc để chứng minh hai đoạn thẳng song song KHÔNG cần biết trước chúng nằm trên hình thang: chỉ cần tìm được một tam giác trung gian chung cạnh có tỉ số phù hợp là suy ra được góc so le trong bằng nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 9.18★★Trang 55— Tìm các cạnh còn lại của tam giác đồng dạng khi biết cạnh lớn nhất

Bài 9.18 (trang 55). Cho tam giác

A B C

có độ dài các cạnh là

A B = 4

cm,

B C = 5

cm,

C A = 6

cm. Tam giác

M N P

đồng dạng với tam giác

A B C

và có độ dài cạnh lớn nhất bằng

9

cm. Hãy cho biết độ dài các cạnh

M N, M P, N P

của tam giác

M N P

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng thì cạnh lớn nhất tương ứng với cạnh lớn nhất, cạnh nhỏ nhất tương ứng với cạnh nhỏ nhất.

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho cạnh LỚN NHẤT của

△ M N P

(

9

cm) — dấu hiệu phải xác định đúng cạnh nào của

△ A B C

là lớn nhất (

C A = 6

) để ghép đúng cặp tương ứng trước khi tính tỉ số đồng dạng, tránh ghép nhầm với cạnh không tương ứng.

1Cách 1. Xác định cạnh tương ứng lớn nhất rồi tính tỉ số, nhân vào hai cạnh còn lại

Định hướng. Trong $△ A B C$ , cạnh lớn nhất là $C A = 6$ (vì $A B = 4 < B C = 5 < C A = 6$ ) — tương ứng với cạnh lớn nhất $M P = 9$ của $△ M N P$ (theo đúng thứ tự tên tam giác $M \leftrightarrow A, N \leftrightarrow B, P \leftrightarrow C$ ).

M P

tương ứng

A C = 6

(cả hai đều là cạnh lớn nhất)

\Rightarrow

tỉ số đồng dạng

k = \frac{M P}{A C} = \frac{9}{6} = 1, 5

M N

tương ứng

A B = 4 \Rightarrow M N = 1, 5 \cdot 4 = 6

(cm)

N P

tương ứng

B C = 5 \Rightarrow N P = 1, 5 \cdot 5 = 7, 5

(cm)

Vậy $M N = 6$ cm, $N P = 7, 5$ cm, $M P = 9$ cm.

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức chung ba cạnh rồi giải theo ẩn tỉ số

k

Định hướng. Gọi $k$ là tỉ số đồng dạng của $△ M N P$ so với $△ A B C$ ( $M \leftrightarrow A, N \leftrightarrow B, P \leftrightarrow C$ ), viết đồng thời cả ba đẳng thức rồi thay điều kiện cạnh lớn nhất bằng $9$ để tìm $k$ .

M N = 4 k, N P = 5 k, M P = 6 k

(tỉ số đồng dạng chung

k

cho cả ba cạnh)
Cạnh lớn nhất của

△ M N P

là

M P = 6 k

(vì

6

là hệ số lớn nhất trong

4, 5, 6

), theo đề

M P = 9 \Rightarrow 6 k = 9 \Rightarrow k = 1, 5

M N = 4 \cdot 1, 5 = 6

;

N P = 5 \cdot 1, 5 = 7, 5

Vậy $M N = 6$ cm, $N P = 7, 5$ cm, $M P = 9$ cm — khớp đúng kết quả của Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 đặt ẩn $k$ chung cho cả ba cạnh ngay từ đầu, tránh phải xác định thủ công \"cạnh nào lớn nhất\" trước — an toàn hơn khi ba cạnh có giá trị gần nhau, dễ nhầm lẫn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: đặt ẩn

k

ngay từ đầu cho cả ba cạnh rồi thay điều kiện cạnh lớn nhất — an toàn hơn, tránh nhầm lẫn xác định cạnh tương ứng bằng mắt.

Đáp số.

M N = 6

cm,

N P = 7, 5

cm,

M P = 9

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là gán nhầm cạnh

9

cm cho

N P

hoặc

M N

(thay vì

M P

) vì không xác định đúng cạnh lớn nhất của

△ A B C

là

C A

(ứng với

M P

, không phải

B C

ứng

N P

) — luôn phải so sánh độ lớn ba cạnh trước khi ghép.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện thành \"cạnh NHỎ NHẤT của

△ M N P

bằng…\" thì làm hoàn toàn tương tự, chỉ đổi vai trò cạnh nhỏ nhất

A B = 4

làm mốc tính tỉ số thay vì cạnh lớn nhất

C A = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 9.19★★★Trang 55— Xác định đúng kí hiệu đồng dạng (thứ tự đỉnh) từ dữ kiện c.g.c

Bài 9.19 (trang 55). Với hai tam giác

A B C

và

D E F

bất kì thỏa mãn

\frac{A B}{E F} = \frac{B C}{D F}

A B C = D F E

. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (1)

△ A B C ∽ △ D E F

. (2)

△ C A B ∽ △ D E F

. (3)

△ A B C ∽ △ E F D

. (4)

△ B C A ∽ △ E F D

. (5)

△ A B C ∽ △ F D E

. (6)

△ B A C ∽ △ F E D

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh: góc phải xen giữa hai cạnh tỉ lệ.
Kí hiệu $△ X Y Z ∽ △ X^{'} Y^{'} Z^{'}$ chỉ đúng khi $X \leftrightarrow X^{'}, Y \leftrightarrow Y^{'}, Z \leftrightarrow Z^{'}$ theo đúng thứ tự viết.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện cho hai cạnh tỉ lệ

\frac{A B}{E F} = \frac{B C}{D F}

và góc XEN GIỮA chúng bằng nhau

A B C = D F E

(góc tại

B

giữa

A B, B C

; góc tại

F

giữa

E F, F D

) — dấu hiệu c.g.c với đúng đỉnh tương ứng

B \leftrightarrow F

; từ đó suy ra

A \leftrightarrow E

(vì

A B \leftrightarrow E F

) và

C \leftrightarrow D

(vì

B C \leftrightarrow F D

), rồi đối chiếu từng đáp án xem có giữ đúng thứ tự

A, B, C \to E, F, D

hay không (kể cả khi đổi điểm bắt đầu hoặc chiều liệt kê).

1Cách 1. Xác định đúng tương ứng đỉnh gốc rồi đối chiếu từng đáp án

Định hướng. Từ $A B C = D F E$ (góc xen giữa) suy ra $B \leftrightarrow F$ ; từ $\frac{A B}{E F} = \frac{B C}{D F}$ suy ra $A \leftrightarrow E$ (đầu mút của $A B, E F$ ) và $C \leftrightarrow D$ (đầu mút của $B C, D F$ ), vậy tương ứng gốc là $△ A B C ∽ △ E F D$ .

Tương ứng gốc:

A \leftrightarrow E, B \leftrightarrow F, C \leftrightarrow D

, tức

△ A B C ∽ △ E F D

— đây chính là khẳng định (3)
(1)

△ A B C ∽ △ D E F

A \leftrightarrow D

sai (phải là

A \leftrightarrow E

) — SAI
(2)

△ C A B ∽ △ D E F

: đổi thứ tự

C, A, B

nhưng vẫn ghép với

D, E, F

theo đúng vị trí — nghĩa là

C \leftrightarrow D, A \leftrightarrow E, B \leftrightarrow F

, đúng với tương ứng gốc — ĐÚNG
(4)

△ B C A ∽ △ E F D

B \leftrightarrow E

sai (phải

B \leftrightarrow F

) — SAI
(5)

△ A B C ∽ △ F D E

A \leftrightarrow F

sai — SAI
(6)

△ B A C ∽ △ F E D

B \leftrightarrow F, A \leftrightarrow E, C \leftrightarrow D

— đúng với tương ứng gốc — ĐÚNG

Vậy các khẳng định đúng là (2), (3), (6).

2Cách 2. Lập bảng hoán vị ba chữ cái để kiểm tra nhanh cả sáu đáp án

Định hướng. Viết tương ứng gốc thành một dòng cố định $A - E, B - F, C - D$ , rồi với MỖI đáp án chỉ cần kiểm tra ba cặp chữ ở đúng vị trí có khớp dòng gốc không (không cần suy luận lại từ đầu góc/cạnh).

Dòng gốc: vị trí

1 - 2 - 3

là

A, B, C \leftrightarrow E, F, D

(1)

A, B, C \leftrightarrow D, E, F

: vị trí 1 là

A - D

(gốc là

A - E

) — lệch, SAI
(2)

C, A, B \leftrightarrow D, E, F

: vị trí 1

C - D

✓ (gốc

C - D

), vị trí 2

A - E

✓, vị trí 3

B - F

✓ — ĐÚNG
(3)

A, B, C \leftrightarrow E, F, D

: đúng hệt dòng gốc — ĐÚNG
(4)

B, C, A \leftrightarrow E, F, D

: vị trí 1

B - E

(gốc

B - F

) — lệch, SAI
(5)

A, B, C \leftrightarrow F, D, E

: vị trí 1

A - F

— lệch, SAI
(6)

B, A, C \leftrightarrow F, E, D

: vị trí 1

B - F

✓, vị trí 2

A - E

✓, vị trí 3

C - D

✓ — ĐÚNG

Vậy khẳng định lại đúng ba đáp án (2), (3), (6) — khớp hoàn toàn với Cách 1.

Nhận xét. Lập bảng hoán vị giúp kiểm tra nhanh và không bị nhầm khi có nhiều đáp án (6 khẳng định) cần đối chiếu cùng lúc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (bảng hoán vị): xác lập tương ứng gốc một lần rồi đối chiếu nhanh cả sáu đáp án theo vị trí, tránh suy luận lại từ đầu cho mỗi đáp án.

Đáp số. Các khẳng định đúng là (2), (3), (6).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ dựa vào việc \"có xuất hiện đủ 3 chữ

D, E, F

ở vế sau\" mà không kiểm đúng VỊ TRÍ tương ứng — ví dụ chọn nhầm (1) vì thấy

D E F

xuất hiện nguyên vẹn, quên rằng thứ tự đỉnh mới là điều quyết định đúng/sai.

🚀 Mở rộng. Với ba đỉnh, có đúng

3 \neq = 6

cách viết một tam giác (ứng với

6

hoán vị), nhưng chỉ có DUY NHẤT một cách viết đúng khớp mỗi tương ứng đỉnh gốc — đây là lí do bài cho đúng

6

đáp án để kiểm tra kĩ năng nhận diện thứ tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · 9.20★★★Trang 56— Xác định đúng kí hiệu đồng dạng (thứ tự đỉnh) từ dữ kiện g.g

Bài 9.20 (trang 56). Với hai tam giác bất kì

A B C

và

M N P

thỏa mãn

A B C = N M P

A C B = M N P

. Những khẳng định nào sau đây là đúng? (1)

△ A B C ∽ △ M N P

. (2)

△ B C A ∽ △ M N P

. (3)

△ A B C ∽ △ N P M

. (4)

△ C A B ∽ △ N P M

. (5)

△ A B C ∽ △ P M N

. (6)

△ B A C ∽ △ M N P

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.
Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện cho hai cặp góc bằng nhau

B = M, C = N

(không cần cạnh) — dấu hiệu g.g, và đỉnh còn lại tự động khớp:

A = P

(vì tổng góc mỗi tam giác đều

180°

). Tương ứng đỉnh gốc là

A \leftrightarrow P, B \leftrightarrow M, C \leftrightarrow N

, khác cách sắp

M, N, P

nên cần đối chiếu cẩn thận từng đáp án như Bài 9.19.

1Cách 1. Suy ra góc còn lại rồi xác lập tương ứng đỉnh gốc

Định hướng. Từ $B = M, C = N$ và tổng góc $180°$ , suy ra $A = P$ ; vậy tương ứng đỉnh gốc là $A \leftrightarrow P, B \leftrightarrow M, C \leftrightarrow N$ , tức $△ A B C ∽ △ P M N$ .

A = 180° - B - C = 180° - M - N = P

Tương ứng gốc:

A \leftrightarrow P, B \leftrightarrow M, C \leftrightarrow N

, tức

△ A B C ∽ △ P M N

— đây chính là khẳng định (5)
(1)

△ A B C ∽ △ M N P

A \leftrightarrow M

sai — SAI
(2)

△ B C A ∽ △ M N P

B \leftrightarrow M

✓,

C \leftrightarrow N

✓,

A \leftrightarrow P

✓ — ĐÚNG
(3)

△ A B C ∽ △ N P M

A \leftrightarrow N

sai — SAI
(4)

△ C A B ∽ △ N P M

C \leftrightarrow N

✓,

A \leftrightarrow P

✓,

B \leftrightarrow M

✓ — ĐÚNG
(6)

△ B A C ∽ △ M N P

B \leftrightarrow M

✓,

A \leftrightarrow N

sai — SAI

Vậy các khẳng định đúng là (2), (4), (5).

2Cách 2. Lập bảng hoán vị vị trí như Bài 9.19 để kiểm tra nhanh

Định hướng. Cố định dòng gốc $A, B, C \leftrightarrow P, M, N$ rồi kiểm từng đáp án theo đúng vị trí, không suy luận lại từ đầu.

Dòng gốc (vị trí 1-2-3):

A, B, C \leftrightarrow P, M, N

(2)

B, C, A \leftrightarrow M, N, P

: vị trí 1

B - M

✓ (gốc

B - M

), vị trí 2

C - N

✓, vị trí 3

A - P

✓ — ĐÚNG
(4)

C, A, B \leftrightarrow N, P, M

: vị trí 1

C - N

✓, vị trí 2

A - P

✓, vị trí 3

B - M

✓ — ĐÚNG
(5)

A, B, C \leftrightarrow P, M, N

: đúng hệt dòng gốc — ĐÚNG
(1),(3),(6): kiểm tương tự đều lệch vị trí 1 hoặc 2 — SAI

Vậy khẳng định lại đúng ba đáp án (2), (4), (5) — khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách lập bảng hoán vị nhanh hơn khi phải kiểm nhiều đáp án cùng lúc, tránh suy luận lại từ góc/cạnh cho từng đáp án.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (bảng hoán vị vị trí): xác lập tương ứng gốc một lần rồi đối chiếu nhanh, đặc biệt hiệu quả khi đề cho nhiều đáp án như bài này.

Đáp số. Các khẳng định đúng là (2), (4), (5).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên tính góc còn lại (

A = P

) mà chỉ dựa vào hai góc đã cho để đoán tương ứng — dễ nhầm

A \leftrightarrow M

(do

M

đứng đầu tên tam giác

M N P

) trong khi thực ra

B \leftrightarrow M

mới đúng.

🚀 Mở rộng. Khi chỉ có hai cặp góc bằng nhau (g.g), luôn phải suy ra góc thứ ba bằng

180°

trừ hai góc kia trước khi xác lập tương ứng đỉnh — không được suy đoán tương ứng chỉ từ thứ tự chữ cái xuất hiện trong đề.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · 9.21★★★★Trang 56— Chứng minh đồng dạng từ hệ thức tích (c.g.c) rồi so sánh góc tạo bởi trung tuyến tương ứng

Bài 9.21 (trang 56). Cho hai điểm

M, N

lần lượt nằm trên hai cạnh

A B, A C

của tam giác

A B C

sao cho

A M \cdot A B = A N \cdot A C

. a) Chứng minh rằng

△ A M N ∽ △ A C B

. b) Lấy

E, F

lần lượt là trung điểm của

M N, B C

. Chứng minh rằng

E A B = F A C

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.
Ý tưởng Ví dụ 2 (SGK): nếu hai tam giác đồng dạng thì tam giác tạo bởi đỉnh và trung điểm cạnh đối diện tương ứng cũng đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Hệ thức

A M \cdot A B = A N \cdot A C

tương đương

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

— dấu hiệu c.g.c với góc chung

A

(chú ý ghép CHÉO:

A M

với

A C

A N

với

A B

). Ý b) đưa vào trung điểm

E, F

của hai cạnh tương ứng

M N, B C

— gợi ý dùng lại đúng ý tưởng Ví dụ 2 (SGK trang 86-87): trung tuyến ứng với cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng cũng tạo ra một cặp tam giác đồng dạng mới.

1Cách 1. a) Ghép chéo bằng c.g.c; b) áp dụng lại ý tưởng Ví dụ 2 cho trung điểm

E, F

Định hướng. a) Từ $A M \cdot A B = A N \cdot A C$ suy ra $\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$ , kết hợp góc $A$ chung để dùng c.g.c. b) Từ $△ A M N ∽ △ A C B$ (tỉ số nào đó $k$ ) và $E, F$ là trung điểm $M N, B C$ , áp dụng đúng ý tưởng Ví dụ 2 để có $△ A M E ∽ △ A C F$ (chú ý thứ tự tương ứng $M \leftrightarrow C, N \leftrightarrow B$ ).

A M \cdot A B = A N \cdot A C \Rightarrow \frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

, góc

M A N = C A B

(chung)

\Rightarrow △ A M N ∽ △ A C B

(c.g.c)
b) Từ a):

A M N = A C B

(góc tương ứng) và

\frac{A M}{A C} = \frac{M N}{C B}

E, F

trung điểm

M N, C B \Rightarrow M E = \frac{1}{2} M N, C F = \frac{1}{2} C B \Rightarrow \frac{A M}{A C} = \frac{M E}{C F}

△ A M E

và

△ A C F

có

A M E = A C F

(chính là

A M N = A C B

) và

\frac{A M}{A C} = \frac{M E}{C F}

\Rightarrow △ A M E ∽ △ A C F

(c.g.c)

\Rightarrow M A E = C A F

Vậy a) $△ A M N ∽ △ A C B$ (c.g.c). b) $M A E = C A F$ , mà đây chính là $E A B = F A C$ (vì $E$ trên đoạn $A B$ ... thực chất $M A E$ và $E A B$ là cùng một góc do $M, E$ đều nằm trên tia $A B$ khi xét theo cấu hình $M$ trên $A B$ ; đúng chuẩn là $E A B = F A C$ ).

2Cách 2. b) Dùng trực tiếp tỉ số trung tuyến (Bài 9.7) thay vì dựng lại tam giác mới

Định hướng. Áp dụng ngay kết quả tổng quát đã chứng minh ở Bài 9.7 (nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ thì tỉ số các trung tuyến tương ứng cũng bằng tỉ số đồng dạng) cho $△ A M N ∽ △ A C B$ với trung tuyến từ đỉnh $A$ : $A E$ (ứng $M N$ ) và $A F$ (ứng $C B$ ).

△ A M N ∽ △ A C B

(câu a) với

E

là trung điểm

M N

F

là trung điểm

C B

(đúng vai trò cạnh tương ứng

M N \leftrightarrow C B

)
Theo tính chất trung tuyến tương ứng (như Ví dụ 2 và Bài 9.7):

△ A M E ∽ △ A C F

ngay lập tức, không cần chứng minh lại từ đầu

\Rightarrow M A E = C A F

, tức

E A B = F A C

(do

M, E

cùng nằm trên tia

A B

)

Vậy cùng kết luận $E A B = F A C$ như Cách 1, nhưng ngắn gọn hơn nhờ mượn thẳng kết quả đã chứng minh trước.

Nhận xét. Cách 2 nhanh hơn nhưng phải nêu rõ đang MƯỢN kết quả từ Ví dụ 2/Bài 9.7 (nếu đó chưa được công nhận là kết quả có sẵn thì phải chứng minh lại đầy đủ như Cách 1).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 nếu chưa chắc được phép mượn kết quả Ví dụ 2/Bài 9.7 (an toàn, tự chứng minh đầy đủ); dùng Cách 2 nếu đề cho phép áp dụng trực tiếp kết quả đã học.

Đáp số. a)

△ A M N ∽ △ A C B

(c.g.c). b)

E A B = F A C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu a) là ghép \"thẳng\"

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

(đúng thứ tự chữ) thay vì ghép chéo

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

— vì kết luận cần chứng minh là

△ A M N ∽ △ A C B

(thứ tự

C

B

), buộc phải ghép

M \leftrightarrow C, N \leftrightarrow B

🚀 Mở rộng. Hệ thức

A M \cdot A B = A N \cdot A C

ở câu a) chính là điều kiện để bốn điểm

M, N, B, C

cùng thuộc một đường tròn (tứ giác nội tiếp) — kiến thức sẽ học chính thức ở lớp 9, bài này là một cách tiếp cận sớm bằng tam giác đồng dạng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · 9.22★★★★Trang 56— Chứng minh g.g (góc đối đỉnh) rồi suy ra c.g.c cho cặp tam giác chéo

Bài 9.22 (trang 56). Cho tam giác

A B C

và hai điểm

P, Q

lần lượt nằm trên các tia đối của tia

A B

và

A C

sao cho

A P Q = A C B

. Chứng minh rằng: a)

A P \cdot A B = A Q \cdot A C

. b)

△ A P C ∽ △ A QB

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo hai góc đối đỉnh bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

P, Q

trên tia đối của

A B, A C

nên

P A Q

và

B A C

là hai góc đối đỉnh — dấu hiệu dùng g.g cho

△ A P Q

và

△ A C B

(góc đối đỉnh bằng nhau, cộng với

A P Q = A C B

đã cho) để ra hệ thức tích ở câu a); từ hệ thức đó suy ra tỉ số cạnh cho câu b) với CÙNG góc đối đỉnh nhưng ghép cặp tam giác khác (

A P C

và

A QB

1Cách 1. a) Dùng g.g với góc đối đỉnh; b) suy ra c.g.c từ tỉ số vừa có

Định hướng. a) $△ A P Q$ và $△ A C B$ có $P A Q = C A B$ (đối đỉnh) và $A P Q = A C B$ (giả thiết) nên đồng dạng (g.g), suy ra tỉ số cạnh dẫn tới hệ thức tích. b) Từ tỉ số ở câu a, ghép lại với góc đối đỉnh (vẫn $P A C = Q A B$ , đối đỉnh) để có c.g.c cho cặp mới.

P A Q = C A B

(đối đỉnh),

A P Q = A C B

(gt)

\Rightarrow △ A P Q ∽ △ A C B

(g.g)

\Rightarrow \frac{A P}{A C} = \frac{A Q}{A B}

\Rightarrow A P \cdot A B = A Q \cdot A C

b) Từ

\frac{A P}{A C} = \frac{A Q}{A B}

suy ra

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B}

△ A P C

và

△ A QB

có

P A C = Q A B

(đối đỉnh, vì

P \in

tia đối

A B

C, Q

tương tự nên góc

P A C

và

Q A B

chính là góc đối đỉnh của nhau qua

A

) và

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B}

Vậy a) $A P \cdot A B = A Q \cdot A C$ . b) $△ A P C ∽ △ A QB$ (c.g.c).

2Cách 2. b) Dùng lại chính

△ A P Q ∽ △ A C B

của câu a) theo một phép ghép khác

Định hướng. Từ $△ A P Q ∽ △ A C B$ , hoán đổi vai trò hai cạnh (dùng tỉ số nghịch đảo) để trực tiếp ra c.g.c cho $△ A P C, △ A QB$ mà không cần viết lại tỉ số mới.

△ A P Q ∽ △ A C B \Rightarrow \frac{A P}{A C} = \frac{A Q}{A B} = \frac{P Q}{C B}

(đủ ba tỉ số, không chỉ hai như Cách 1)
Viết lại tỉ số thứ nhất và thứ hai theo dạng \"chéo\":

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B}

(nhân chéo từ

\frac{A P}{A C} = \frac{A Q}{A B}

)
Kết hợp góc đối đỉnh

P A C = Q A B

(không đổi so với Cách 1)

\Rightarrow △ A P C ∽ △ A QB

(c.g.c)

Vậy cùng kết luận $△ A P C ∽ △ A QB$ như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ là một cách viết lại đại số của cùng phép biến đổi tỉ lệ thức ở Cách 1 (nhân chéo), không mang thêm thông tin mới — nên dùng Cách 1 để trình bày mạch lạc, không lặp lại thao tác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: biến đổi thẳng

\frac{A P}{A C} = \frac{A Q}{A B}

thành

\frac{A P}{A Q} = \frac{A C}{A B}

rồi ghép góc đối đỉnh — mạch lạc, không lặp thao tác thừa.

Đáp số. a)

A P \cdot A B = A Q \cdot A C

. b)

△ A P C ∽ △ A QB

(c.g.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là dùng lại NGUYÊN VẸN cặp góc

P A Q = C A B

của câu a) thay vì nhận ra góc cần dùng cho cặp tam giác MỚI (

A P C, A QB

) là

P A C = Q A B

— hai cặp góc đối đỉnh này tuy cùng sinh ra từ giao điểm

A

nhưng là hai cặp góc khác nhau, không được dùng lẫn.

🚀 Mở rộng. Bài này là cấu hình \"hai cát tuyến qua một điểm\" quen thuộc (giống Bài 9.9, 9.29): điểm

A

đóng vai trò giao điểm của hai cát tuyến

P B

và

QC

với hai tia đối; hệ thức tích

A P \cdot A B = A Q \cdot A C

chính là điều kiện bốn điểm

P, B, Q, C

đồng viên (cùng một đường tròn), sẽ học kĩ hơn ở lớp 9.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · 9.23★★★★Trang 56— Chứng minh g.g nhờ hai đường thẳng song song, rồi suy ra hai phân giác cũng song song (hệ quả Thalès)

Bài 9.23 (trang 56). Cho tam giác

A B C

và hai điểm

M, N

lần lượt nằm trên hai cạnh

A B, A C

sao cho

M N

song song với

B C

. Gọi

M E, B F

lần lượt là phân giác của các góc

M, B

của các tam giác

A M N

và tam giác

A B C

. Chứng minh rằng: a)

△ M E N ∽ △ B F C

. b)

\frac{A E}{A F} = \frac{M N}{B C}

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến tạo các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Hệ quả định lí Thalès: đường thẳng song song một cạnh của tam giác tạo ra tỉ số đoạn thẳng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

M N ∥ B C

là dấu hiệu quen thuộc để có ngay hai cặp góc đồng vị bằng nhau (

E N M = C

A M N = A B C

); vì

M E, B F

là phân giác của các góc BẰNG NHAU đó nên các nửa góc cũng bằng nhau, dẫn tới

△ M E N ∽ △ B F C

(g.g) ở câu a). Câu b) cần thêm bước nhận ra

M E ∥ B F

(từ hai góc đồng vị bằng nhau tạo bởi phân giác) rồi áp dụng hệ quả định lí Thalès hai lần.

1Cách 1. a) g.g từ góc đồng vị và phân giác; b) hai lần hệ quả Thalès (như lời giải chuẩn)

Định hướng. a) Từ $M N ∥ B C$ suy ra $E N M = C$ và $A M N = A B C$ ; vì $M E, B F$ là phân giác nên $E M N = \frac{1}{2} A M N = \frac{1}{2} A B C = F B C$ , kết hợp $E N M = C$ suy ra đồng dạng g.g. b) Từ $M N ∥ B C$ có $\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B}$ (hệ quả Thalès); và từ $E M A = F B A$ (đồng vị) suy ra $M E ∥ B F$ , áp dụng tiếp hệ quả Thalès trong $△ A B F$ để có $\frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B}$ .

E N M = C

(đồng vị, do

M N ∥ B C

);

E M N = \frac{1}{2} A M N = \frac{1}{2} A B C = F B C

\Rightarrow △ M E N ∽ △ B F C

(g.g)
b)

M N ∥ B C \Rightarrow \frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B}

… (1) (hệ quả Thalès trong

△ A B C

)

E M A = \frac{1}{2} A M N = \frac{1}{2} A B C = F B A

, hai góc đồng vị bằng nhau

\Rightarrow M E ∥ B F

M E ∥ B F

trong

△ A B F \Rightarrow \frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B}

… (2) (hệ quả Thalès)

Vậy a) $△ M E N ∽ △ B F C$ (g.g). b) Từ (1) và (2): $\frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ .

2Cách 2. b) Dùng tỉ số đồng dạng của câu a) thay vì hệ quả Thalès trong

△ A B F

Định hướng. Từ $△ M E N ∽ △ B F C$ (câu a) suy ra $\frac{M E}{B F} = \frac{M N}{B C}$ ; kết hợp $\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ (Thalès) và tính chất tam giác đồng dạng $A M N, A B C$ với $E, F$ đóng vai trò tương tự chân phân giác để suy ra $\frac{A E}{A F}$ bằng đúng tỉ số đó, không cần chứng minh riêng $M E ∥ B F$ .

M N ∥ B C \Rightarrow △ A M N ∽ △ A B C

(g.g, theo định lí Bài 32) với tỉ số

\frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}

M E, B F

là phân giác của hai góc tương ứng

A M N = A B C

trong hai tam giác đồng dạng

A M N, A B C

— theo Ví dụ 3 (SGK trang 89), tỉ số hai phân giác tương ứng bằng đúng tỉ số đồng dạng:

\frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B}

Vậy $\frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B} = \frac{M N}{B C}$ — khớp đúng kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 mượn thẳng kết quả Ví dụ 3 (tỉ số phân giác tương ứng bằng tỉ số đồng dạng) nên ngắn hơn nhiều; Cách 1 tự chứng minh từ đầu bằng hệ quả Thalès, an toàn hơn khi chưa chắc được phép trích dẫn kết quả có sẵn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 nếu được phép trích dẫn Ví dụ 3 (SGK trang 89): ngắn gọn hơn nhiều; nếu không chắc, dùng Cách 1 (tự chứng minh bằng hệ quả Thalès) để chặt chẽ.

Đáp số. a)

△ M E N ∽ △ B F C

(g.g). b)

\frac{A E}{A F} = \frac{M N}{B C}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh

M E ∥ B F

trước khi áp dụng hệ quả Thalès cho

\frac{A E}{A F}

— nếu không chỉ rõ hai đường phân giác này song song thì không có căn cứ dùng hệ quả Thalès trong

△ A B F

🚀 Mở rộng. Kết quả

\frac{A E}{A F} = \frac{M N}{B C}

là một trường hợp riêng của quy luật tổng quát: tỉ số MỌI đoạn đặc biệt tương ứng (trung tuyến, phân giác, đường cao) của hai tam giác đồng dạng đều bằng đúng tỉ số đồng dạng — như đã nêu ở phần Mở rộng của Ví dụ 2, Ví dụ 3 (SGK) và Bài 9.7.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · 9.24★★★Trang 56— Chứng minh hệ thức độ dài trong hình thang bằng tam giác đồng dạng (c.g.c, biến thể của Bài 9.17)

Bài 9.24 (trang 56). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

). Biết rằng

A B = 2

cm,

B D = 4

cm,

C D = 8

cm. Chứng minh rằng

B C = 2 A D

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi cát tuyến tạo cặp góc so le trong bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

A B ∥ C D

trong hình thang cho ngay cặp góc so le trong

A B D = B D C

(cát tuyến

B D

) — dấu hiệu dùng c.g.c cho

△ A B D

và

△ B D C

với cạnh chung

B D

đóng vai trò kép, đúng cấu trúc đã gặp ở Bài 9.17 nhưng theo chiều ngược lại (từ song song suy ra đồng dạng, rồi suy ra hệ thức cạnh).

1Cách 1. Dùng góc so le trong để có c.g.c, rồi suy ra tỉ số cạnh chứa

A D, B C

Định hướng. $A B ∥ C D \Rightarrow A B D = B D C$ (so le trong, cát tuyến $B D$ ); kết hợp tỉ số $\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{C D}$ để ghép c.g.c với góc xen giữa.

\frac{A B}{B D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

;

\frac{B D}{D C} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

\Rightarrow \frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C}

A B D = B D C

(so le trong) — đúng góc xen giữa hai cặp cạnh vừa nêu (

A B, B D

tại đỉnh

B

;

B D, D C

tại đỉnh

D

)

\Rightarrow △ A B D ∽ △ B D C

(c.g.c)

\Rightarrow \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C} = \frac{A B}{B D} = \frac{1}{2}

Vậy $\frac{A D}{B C} = \frac{1}{2} \Rightarrow B C = 2 A D$ .

2Cách 2. Kiểm tỉ số bằng cách khác: dùng

B D^{2} = A B \cdot C D

trước rồi suy luận

Định hướng. Nhận thấy $B D^{2} = 4^{2} = 16 = A B \cdot C D = 2 \cdot 8$ — một hệ thức trung bình nhân đặc biệt; kiểm tra xem hệ thức này có tương đương với điều kiện tỉ số ở Cách 1 hay không, như một hướng khai thác số liệu khác.

B D^{2} = A B \cdot C D \Leftrightarrow \frac{A B}{B D} = \frac{B D}{C D}

(chia cả hai vế cho

B D \cdot A B

, biến đổi tương đương) — đúng là điều kiện tỉ số đã dùng ở Cách 1
Vậy hệ thức

B D^{2} = A B \cdot C D

chỉ là một cách VIẾT KHÁC của

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{C D}

, không phải một dữ kiện độc lập mới
Kết hợp góc so le trong như Cách 1 để ra

△ A B D ∽ △ B D C

(c.g.c), suy ra

B C = 2 A D

Vậy cùng kết luận $B C = 2 A D$ như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ giúp NHẬN RA nhanh dữ kiện $2, 4, 8$ tạo cấp số nhân ( $B D$ là trung bình nhân của $A B, C D$ ) — một mẹo phát hiện đề bài, nhưng bản chất chứng minh vẫn quay về đúng c.g.c của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập trực tiếp hai tỉ số

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{1}{2}

và dùng góc so le trong — ngắn gọn, không cần nhận diện cấp số nhân.

Đáp số.

B C = 2 A D

(vì

△ A B D ∽ △ B D C

với tỉ số

\frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là áp dụng nhầm hệ quả định lí Thalès (dành cho

M N ∥ B C

cắt HAI CẠNH của MỘT tam giác) vào tình huống này — ở đây

B D

là ĐƯỜNG CHÉO của hình thang chứ không phải một cạnh bị cắt bởi đường song song, nên phải dùng tam giác đồng dạng c.g.c như Cách 1, không phải Thalès trực tiếp.

🚀 Mở rộng. Bài 9.24 và Bài 9.17 (đã giải ở trên) là hai bài anh em: Bài 9.17 cho sẵn cả năm cạnh để CHỨNG MINH song song, còn Bài 9.24 cho sẵn song song (hình thang) để SUY RA hệ thức cạnh — cùng chung một kĩ thuật cốt lõi (c.g.c với cạnh chéo chung).

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · 9.25★★★★Trang 56— Hai cặp tam giác đồng dạng g.g trong hình thang rồi chứng minh bốn điểm thẳng hàng (đường thẳng Euler của hình thang)

Bài 9.25 (trang 56). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

). Biết rằng

A D

cắt

B C

tại

E

A C

cắt

B D

tại

F

. a) Chứng minh rằng:

△ E A B ∽ △ E D C

△ F A B ∽ △ F C D

. b) Lấy hai điểm

M, N

lần lượt là trung điểm của

A B, C D

. Chứng minh rằng bốn điểm

M, N, E, F

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi cát tuyến tạo góc so le trong bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc – góc.

🧠 Phân tích tư duy

A B ∥ C D

cho ngay hai cặp tam giác đồng dạng \"hình cánh bướm\":

△ E A B, △ E D C

(hai cạnh bên cắt nhau tại

E

phía trên) và

△ F A B, △ F C D

(hai đường chéo cắt nhau tại

F

) — cả hai đều do góc so le trong bằng nhau (g.g). Câu b) là điểm khó: phải chứng minh

E, F

đều nằm trên đường thẳng nối trung điểm

M, N

— dùng chính hai cặp đồng dạng đó để so sánh góc

A E M

với

D E N

(và tương tự cho

F

), suy ra tia

E M, E N

trùng nhau.

1Cách 1. a) g.g từ góc so le trong; b) so hai góc tại

E

và tại

F

để suy ra thẳng hàng

Định hướng. a) $A B ∥ C D$ nên các góc so le trong tại $A, D$ (với cát tuyến $A D$ ) và tại $B, C$ (với cát tuyến $B C$ ) bằng nhau, cho $△ E A B ∽ △ E D C$ ; tương tự với cát tuyến $A C, B D$ cho $△ F A B ∽ △ F C D$ . b) Từ tỉ số đồng dạng và $M, N$ là trung điểm, dùng lại ý tưởng Ví dụ 2 (SGK) để có $A E M = D E N$ , suy ra $E, M, N$ thẳng hàng; tương tự cho $F$ .

E A B = E D C, E B A = E C D

(so le trong,

A B ∥ C D

)

\Rightarrow △ E A B ∽ △ E D C

; tương tự

△ F A B ∽ △ F C D

(g.g)
b)

△ E A B ∽ △ E D C \Rightarrow \frac{E A}{E D} = \frac{A B}{D C} = \frac{2 A M}{2 D N} = \frac{A M}{D N}

(do

M, N

trung điểm)

△ E A M

và

△ E D N

có

\frac{E A}{E D} = \frac{A M}{D N}

và

E A M = E D N

(chính là

E A B = E D C

)

\Rightarrow △ E A M ∽ △ E D N

(c.g.c)

\Rightarrow A E M = D E N

, suy ra tia

E M

và tia

E N

trùng nhau (cùng tạo với

E A, E D

— hai tia đối nhau qua

E

— một góc bằng nhau về phía tương ứng)

\Rightarrow E, M, N

thẳng hàng
Lập luận tương tự với

△ F A B ∽ △ F C D

và

M, N

trung điểm cho

A F M = C F N

, suy ra

F, M, N

thẳng hàng

Vậy cả bốn điểm $M, N, E, F$ cùng nằm trên một đường thẳng (đường nối hai trung điểm hai đáy hình thang).

2Cách 2. Dùng tính đối xứng: cả

E

và

F

đều là "tâm vị tự" biến đáy này thành đáy kia

Định hướng. Nhận xét rằng $E$ là giao điểm hai cạnh bên kéo dài nên đóng vai trò tâm phép vị tự biến $△ E D C$ thành $△ E A B$ (tỉ số $\frac{A B}{D C}$ ); tương tự $F$ là tâm vị tự (tỉ số âm) biến $C, D$ thành $A, B$ . Một phép vị tự luôn biến trung điểm thành trung điểm, nên biến $N$ (trung điểm $D C$ ) thành $M$ (trung điểm $A B$ ) — mà tâm, một điểm và ảnh của nó luôn thẳng hàng.

E

là tâm vị tự tỉ số

k_{1} = \frac{A B}{D C}

biến

D \to A, C \to B

(vì

△ E D C ∽ △ E A B

đúng chiều vị tự dương,

E

nằm ngoài đoạn

D C, A B

về phía đỉnh)
Phép vị tự tâm

E

biến trung điểm

N

của

D C

thành trung điểm

M

của

A B

(tính chất bảo toàn trung điểm của phép vị tự)

\Rightarrow E, N, M

thẳng hàng
Tương tự,

F

là tâm vị tự tỉ số

k_{2} = - \frac{A B}{D C}

(âm, vì

F

nằm GIỮA hai đáy) biến

D \to B, C \to A

, cũng biến

N \to M

(trung điểm vẫn được bảo toàn dù tỉ số âm)

\Rightarrow F, N, M

thẳng hàng

Vậy cả hai điểm $E, F$ đều nằm trên đường thẳng $M N$ , tức bốn điểm $M, N, E, F$ thẳng hàng — khớp kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng khái niệm \"phép vị tự\" (chương trình lớp 11) cho cái nhìn bản chất rất gọn, nhưng vượt chương trình lớp 8; Cách 1 (tự chứng minh bằng tam giác đồng dạng c.g.c) mới là cách trình bày chuẩn cho học sinh lớp 8.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: tự chứng minh

△ E A M ∽ △ E D N

và

△ F A M ∽ △ F C N

bằng c.g.c — đúng công cụ lớp 8, không cần khái niệm vị tự.

Đáp số. a)

△ E A B ∽ △ E D C

△ F A B ∽ △ F C D

(g.g). b) Bốn điểm

M, N, E, F

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là chỉ chứng minh

E, M, N

thẳng hàng rồi kết luận luôn cả

F

cũng thẳng hàng theo mà không lặp lại lập luận tương tự cho

F

— hai chứng minh tuy giống bản chất nhưng vẫn phải trình bày đủ cho cả

E

và

F

🚀 Mở rộng. Đường thẳng

M N

đi qua cả bốn điểm

M, N, E, F

được gọi là \"trục đối xứng suy rộng\" của hình thang (không phải trục đối xứng theo nghĩa gấp hình, mà là đường thẳng đặc biệt chứa mọi tâm vị tự và trung điểm hai đáy) — tính chất này còn đúng cho MỌI hình thang, không riêng gì hình thang cân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · 9.26★★Trang 56— Chứng minh đồng dạng c.g.c (góc chung, hai cạnh ghép chéo) rồi suy ra hệ thức cạnh

Bài 9.26 (trang 56). Cho tam giác

A B C

với

A B = 6

cm,

A C = 9

cm. Lấy điểm

D

trên cạnh

A C

sao cho

A D = 4

cm. Chứng minh rằng

△ A B D ∽ △ A C B

và

B C = \frac{3}{2} B D

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn độ dài

A B = 6, A C = 9, A D = 4

cùng xen quanh góc chung

A

— dấu hiệu c.g.c như Bài 9.8 (SGK), nhưng phải ghép ĐÚNG: vì cần chứng minh

△ A B D ∽ △ A C B

nên

A B

(cạnh của tam giác thứ nhất, vị trí thứ nhất) phải so với

A C

(cạnh của tam giác thứ hai, vị trí thứ nhất), và

A D

so với

A B

1Cách 1. Ghép đúng tỉ số

A B / A C

và

A D / A B

theo đúng thứ tự cần chứng minh

Định hướng. So $\frac{A B}{A C}$ với $\frac{A D}{A B}$ (đúng theo thứ tự $△ A B D ∽ △ A C B$ : đỉnh thứ hai $B \leftrightarrow C$ , đỉnh thứ ba $D \leftrightarrow B$ ).

\frac{A B}{A C} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

;

\frac{A D}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}

và góc

A

chung (xen giữa)

\Rightarrow △ A B D ∽ △ A C B

(c.g.c)

\Rightarrow \frac{B D}{C B} = \frac{A B}{A C} = \frac{2}{3} \Rightarrow C B = \frac{3}{2} B D

Vậy $△ A B D ∽ △ A C B$ (c.g.c) và $B C = \frac{3}{2} B D$ .

2Cách 2. Dùng hệ thức tích

A B^{2} = A D \cdot A C

(dạng quen thuộc như Bài 9.28)

Định hướng. Kiểm tra trực tiếp $A B^{2} = A D \cdot A C$ trước (một dạng hệ thức tích đã quen ở Luyện tập 3, Bài 9.28), sau đó suy ngược ra tỉ số cạnh cần cho c.g.c.

A B^{2} = 6^{2} = 36

;

A D \cdot A C = 4 \cdot 9 = 36

— bằng nhau, xác nhận

A B^{2} = A D \cdot A C

A B^{2} = A D \cdot A C \Leftrightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}

(biến đổi tỉ lệ thức) — đúng là điều kiện tỉ số cần cho c.g.c như Cách 1
Kết hợp góc

A

chung

\Rightarrow △ A B D ∽ △ A C B

(c.g.c)

\Rightarrow \frac{B D}{C B} = \frac{2}{3} \Rightarrow B C = \frac{3}{2} B D

Vậy cùng kết luận như Cách 1: $△ A B D ∽ △ A C B$ và $B C = \frac{3}{2} B D$ .

Nhận xét. Cách 2 giúp NHẬN DIỆN nhanh cấu hình quen thuộc \" $A B^{2} = A D \cdot A C$ \" (thường gặp ở nhiều bài khác), nhưng bản chất tính toán vẫn quy về đúng tỉ số $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập trực tiếp

\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}

rồi kết luận — nhanh và không cần nhận diện dạng

A B^{2} = A D \cdot A C

Đáp số.

△ A B D ∽ △ A C B

(c.g.c, tỉ số

\frac{2}{3}

) và

B C = \frac{3}{2} B D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép \"thẳng\"

\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

(dễ nhầm vì

6, 4

cùng xuất hiện ở

△ A B D

) thay vì

\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}

— phải luôn đối chiếu đúng theo tên tam giác cần chứng minh (

A B D

trước,

A C B

sau), không ghép theo trực giác.

🚀 Mở rộng. Đây là dạng bài \"tam giác chung góc, hai cạnh ghép chéo\" xuất hiện lặp lại nhiều lần trong Bài 34 và SBT (Bài 9.8 SGK, Luyện tập 3, Bài 9.27, 9.28) — luôn dẫn tới hệ thức tích

A B^{2} = A D \cdot A C

đặc trưng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · 9.27★★★Trang 57— Chứng minh hệ thức cạnh nhờ tam giác đồng dạng tạo bởi tia phân giác (c.g.c)

Bài 9.27 (trang 57). Cho tứ giác

A B C D

như Hình 9.6. Biết rằng

A B = 2

cm,

A C = 4

cm,

A D = 8

cm và

A C

là phân giác của góc

B A D

. Chứng minh rằng

C D = 2 B C

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

A C

là phân giác

B A D

cho

B A C = D A C

— dấu hiệu dùng c.g.c cho

△ A B C

và

△ A C D

với góc bằng nhau đó xen giữa hai cặp cạnh

A B, A C

và

A C, A D

; cần kiểm tỉ số

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}

(đúng dạng

A C^{2} = A B \cdot A D

, giống cấu trúc Bài 9.26).

1Cách 1. Kiểm tỉ số

A B / A C = A C / A D

rồi dùng c.g.c với góc phân giác

Định hướng. So $\frac{A B}{A C}$ với $\frac{A C}{A D}$ (ghép chéo, đúng theo thứ tự cần chứng minh $△ A B C ∽ △ A C D$ ), kết hợp góc $B A C = D A C$ (phân giác).

\frac{A B}{A C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

;

\frac{A C}{A D} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}

và

B A C = D A C

(do

A C

là phân giác

B A D

)

\Rightarrow △ A B C ∽ △ A C D

(c.g.c)

\Rightarrow \frac{B C}{C D} = \frac{A B}{A C} = \frac{1}{2}

Vậy $C D = 2 B C$ .

2Cách 2. Nhận diện hệ thức

A C^{2} = A B \cdot A D

trước khi ghép c.g.c

Định hướng. Kiểm tra $A C^{2} = A B \cdot A D$ (đặc trưng của cấu hình \"phân giác tạo hai tam giác đồng dạng\") trước, coi đây là dấu hiệu nhận diện nhanh dạng bài, rồi suy ngược lại điều kiện tỉ số cho c.g.c.

A C^{2} = 4^{2} = 16

;

A B \cdot A D = 2 \cdot 8 = 16

— bằng nhau, xác nhận

A C^{2} = A B \cdot A D

A C^{2} = A B \cdot A D \Leftrightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D}

— đúng điều kiện tỉ số của Cách 1
Kết hợp góc phân giác

B A C = D A C

\Rightarrow △ A B C ∽ △ A C D

(c.g.c)

\Rightarrow \frac{B C}{C D} = \frac{1}{2} \Rightarrow C D = 2 B C

Vậy cùng kết luận $C D = 2 B C$ như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giúp nhận diện nhanh dạng \"tia phân giác + hệ thức tích\" hay lặp lại (Bài 9.26 là một biến thể không có phân giác); bản chất chứng minh vẫn là c.g.c của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập trực tiếp

\frac{A B}{A C} = \frac{A C}{A D} = \frac{1}{2}

và dùng tính chất phân giác — ngắn gọn, không cần bước nhận diện trung gian.

Đáp số.

C D = 2 B C

(vì

△ A B C ∽ △ A C D

với tỉ số

\frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên nêu căn cứ

B A C = D A C

đến từ việc \"

A C

là phân giác góc

B A D

\" — phải trích dẫn rõ tính chất phân giác chứ không được viết thẳng hai góc bằng nhau mà không giải thích.

🚀 Mở rộng. So với Bài 9.26 (không có phân giác, chỉ cho sẵn ba độ dài), bài này THÊM điều kiện phân giác để tạo ra chính góc bằng nhau cần dùng — cho thấy hai cách tạo ra góc bằng nhau phổ biến trong dạng toán tam giác chung góc: hoặc góc đã có sẵn ở đề, hoặc suy ra từ tính chất phân giác/đối đỉnh.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · 9.28★★Trang 57— Chứng minh hệ thức tích bằng tam giác đồng dạng g.g (góc chung + góc bằng nhau)

Bài 9.28 (trang 57). Cho tam giác

A B C

và điểm

D

trên cạnh

A C

sao cho

A B D = B C A

. Chứng minh rằng

A B^{2} = A D \cdot A C

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.

🧠 Phân tích tư duy

Góc chung

A

(chung cho

△ A B D

và

△ A C B

) cộng với

A B D = A C B

(giả thiết) là dấu hiệu g.g rõ ràng — đúng mẫu hình đã gặp ở Bài 9.26 (nhưng ở đó là c.g.c với số liệu cụ thể, còn bài này là g.g với dữ kiện góc, tổng quát hơn, không cần biết độ dài).

1Cách 1. Dùng góc chung và góc bằng nhau (g.g) rồi lập tỉ lệ thức

Định hướng. $△ A B D$ và $△ A C B$ có góc $A$ chung và $A B D = A C B$ (giả thiết).

B A D = C A B

(chung)

A B D = A C B

(gt)

\Rightarrow △ A B D ∽ △ A C B

(g.g, đỉnh

A \leftrightarrow A, B \leftrightarrow C, D \leftrightarrow B

)

\Rightarrow \frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}

Vậy $A B^{2} = A D \cdot A C$ (nhân chéo tỉ lệ thức).

2Cách 2. Xét theo hướng đối xứng

△ A B C ∽ △ A D B

(đổi vai trò hai tam giác)

Định hướng. Thay vì ghép $△ A B D ∽ △ A C B$ ngay, xét theo chiều \"lớn trước nhỏ sau\": $△ A B C$ và $△ A D B$ cũng có đúng hai điều kiện góc như trên, chỉ viết theo thứ tự khác, kiểm tra chéo cùng một kết luận.

△ A B C

và

△ A D B

có

B A C = D A B

(góc

A

chung, viết lại) và

A C B = A B D

(giả thiết, viết lại)

\Rightarrow △ A B C ∽ △ A D B

(g.g) — đúng là

△ A B D ∽ △ A C B

viết theo chiều đối xứng

\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

(cạnh tương ứng

A B \leftrightarrow A D, A C \leftrightarrow A B

)

Vậy $A B^{2} = A D \cdot A C$ — cùng một hệ thức với Cách 1, chỉ viết tỉ lệ thức theo chiều khác.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác thứ tự viết tỉ lệ thức, về bản chất là MỘT phép chứng minh g.g duy nhất (giống hệt cấu trúc Luyện tập 3, SGK trang 89) — không tính là hai cách khác bản chất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: ghép

△ A B D ∽ △ A C B

trực tiếp theo đúng thứ tự đề cho (

D

B

sau, khớp giả thiết

A B D

), rồi lập tỉ lệ thức — mạch lạc nhất.

Đáp số.

A B^{2} = A D \cdot A C

(từ

△ A B D ∽ △ A C B

, g.g).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết tỉ lệ thức sai chiều, ví dụ

\frac{A D}{A B} = \frac{A C}{A B}

(lặp

A B

ở cả hai vế) thay vì

\frac{A D}{A B} = \frac{A B}{A C}

— phải đối chiếu đúng cặp đỉnh tương ứng

B \leftrightarrow C, D \leftrightarrow B

trong

△ A B D ∽ △ A C B

🚀 Mở rộng. Bài này chính là Luyện tập 3 (SGK trang 89) với tên điểm đổi khác — cả hai đều là dạng \"góc kề bằng góc đối diện\" quen thuộc dẫn tới hệ thức bình phương cạnh, còn gọi là hệ thức lượng trong tam giác liên quan tới tiếp tuyến – cát tuyến của đường tròn (học kĩ ở lớp 9).

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 9.29★★★★Trang 57— Hai bước g.g liên tiếp: góc chung tạo hệ thức tích, rồi góc đối đỉnh tại giao điểm hai cát tuyến

Bài 9.29 (trang 57). Cho hai điểm

M, N

lần lượt nằm trên các cạnh

A B, A C

của tam giác

A B C

sao cho

A B N = A C M

. Gọi

O

là giao điểm của

B N

và

C M

. Chứng minh rằng: a)

A M \cdot A B = A N \cdot A C

. b)

O M \cdot O C = O N \cdot O B

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo hai góc đối đỉnh bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Cấu trúc bài giống hệt Bài 9.9 (SGK trang 90) chỉ đổi tên: góc chung

A

cùng

A B N = A C M

cho

△ A B N ∽ △ A C M

(g.g) ở câu a); câu b) đưa vào giao điểm

O

của hai cát tuyến

B N, C M

— dùng lại đúng mô hình \"góc đối đỉnh + góc bằng nhau kế thừa từ câu a\" để lập cặp tam giác đồng dạng mới chứa

O

1Cách 1. a) góc chung + góc bằng nhau; b) xét

△ O M B, △ O N C

với góc đối đỉnh

Định hướng. a) $△ A B N$ và $△ A C M$ có góc $A$ chung và $A B N = A C M$ (gt). b) Từ câu a) suy ra thêm một cặp góc bằng nhau tại $M, N$ , kết hợp góc đối đỉnh tại $O$ để lập cặp tam giác mới.

B A N = C A M

(chung),

A B N = A C M

(gt)

\Rightarrow △ A B N ∽ △ A C M

(g.g)

\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A N}{A M} \Rightarrow A M \cdot A B = A N \cdot A C

b) Từ a):

A N B = A M C

, tức góc

O N B = O M C

(cùng là phần góc còn lại tại

M, N

khi nhìn từ phía trong)

△ O M B

và

△ O N C

có

M O B = N O C

(đối đỉnh, vì

B, O, N

thẳng hàng và

C, O, M

thẳng hàng) và

O M B = O N C

(chính là

A C M = A B N

đã cho, xét lại theo góc kề bù/tương ứng tại

M, N

)

\Rightarrow △ O M B ∽ △ O N C

(g.g)

\Rightarrow \frac{O M}{O N} = \frac{O B}{O C}

Vậy a) $A M \cdot A B = A N \cdot A C$ . b) $\frac{O M}{O N} = \frac{O B}{O C} \Rightarrow O M \cdot O C = O N \cdot O B$ .

2Cách 2. b) Kiểm tra chéo bằng tỉ số diện tích tam giác chung góc đối đỉnh

Định hướng. Dùng công thức diện tích $\frac{1}{2} \cdot O M \cdot O B \cdot sin M O B$ so với $\frac{1}{2} \cdot O N \cdot O C \cdot sin N O C$ (hai góc đối đỉnh có cùng sin) để kiểm chứng lại kết quả câu b) bằng một con đường khác.

sin M O B = sin N O C

(góc đối đỉnh) nên

\frac{S _{O M B}}{S _{O N C}} = \frac{O M \cdot O B}{O N \cdot O C}

Mặt khác

△ O M B ∽ △ O N C

(đã có ở Cách 1)

\Rightarrow \frac{S _{O M B}}{S _{O N C}} = (\frac{O M}{O N})^{2} = (\frac{O B}{O C})^{2}

\Rightarrow \frac{O M \cdot O B}{O N \cdot O C} = (\frac{O B}{O C})^{2} \Rightarrow \frac{O M}{O N} = \frac{O B}{O C} \Rightarrow O M \cdot O C = O N \cdot O B

Vậy cùng ra hệ thức $O M \cdot O C = O N \cdot O B$ như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải MƯỢN kết quả $△ O M B ∽ △ O N C$ của Cách 1 rồi vòng qua diện tích — chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không phải cách trình bày chính vì dài hơn không cần thiết.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: lập thẳng

△ O M B ∽ △ O N C

(g.g) rồi suy ra tỉ lệ thức — ngắn gọn nhất, giống hệt cách làm ở Bài 9.9 (SGK).

Đáp số. a)

A M \cdot A B = A N \cdot A C

. b)

O M \cdot O C = O N \cdot O B

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là cố dùng lại trực tiếp

△ A B N ∽ △ A C M

của câu a) để suy ra hệ thức chứa

O

— nhưng

O

không phải đỉnh của hai tam giác đó, phải lập MỘT CẶP TAM GIÁC MỚI (

△ O M B, △ O N C

) chứa

O

mới đưa được điểm này vào tỉ lệ thức.

🚀 Mở rộng. Bài 9.29 và Bài 9.9 (SGK) là hai bài giống hệt về cấu trúc (chỉ đổi tên điểm:

M \leftrightarrow N

hoán đổi vai trò) — đây là dấu hiệu cho thấy SBT thường \"biến tấu\" lại chính các bài mẫu của SGK bằng cách đổi tên, học kĩ một bài là làm được nhiều bài tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 9.30★★★★Trang 57— Chứng minh c.g.c (góc chung, cạnh ghép chéo) rồi dùng góc ngoài tam giác cân để so hai góc

Bài 9.30 (trang 57). Cho tam giác

A B C

với

A B = 6

cm,

A C = 4

cm,

B C = 5

cm. Trên tia đối của tia

C A

lấy điểm

D

sao cho

C D = C B

. Chứng minh rằng: a)

△ A B C ∽ △ A D B

. b)

A C B = 2 A B C

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.
Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

🧠 Phân tích tư duy

D

trên tia đối tia

C A

với

C D = C B = 5

cho

A D = A C + C D = 4 + 5 = 9

— dấu hiệu tính được đủ bốn độ dài

A B = 6, A D = 9, A C = 4

xen quanh góc chung

A

để dùng c.g.c như Bài 9.26/9.27. Câu b) cần thêm bước nhận ra

△ B C D

CÂN tại

C

(vì

C D = C B

) và dùng tính chất góc ngoài của tam giác để liên hệ

A C B

với

A B C

1Cách 1. a) Tính

A D

rồi dùng c.g.c; b) dùng góc ngoài của

△ B C D

cân

Định hướng. a) Tính $A D = A C + C D = A C + C B$ rồi kiểm tỉ số $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}$ để dùng c.g.c. b) Từ $△ A B C ∽ △ A D B$ suy ra $A B C = A D B$ ; vì $△ B C D$ cân tại $C$ ( $C D = C B$ ) nên $C B D = C D B = A D B = A B C$ ; góc $A C B$ là góc ngoài tại $C$ của $△ B C D$ nên bằng tổng hai góc trong không kề.

A D = A C + D C = A C + C B = 4 + 5 = 9

(cm)

\frac{A B}{A D} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

;

\frac{A C}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

, góc

A

chung

\Rightarrow △ A B C ∽ △ A D B

(c.g.c)
b)

△ A B C ∽ △ A D B \Rightarrow A B C = A D B

△ B C D

cân tại

C

(

C D = C B

)

\Rightarrow C B D = C D B

; mà

C D B = A D B = A B C

(vừa chứng minh)

\Rightarrow C B D = A B C

A C B

là góc ngoài của

△ B C D

tại đỉnh

C

(kề bù với

B C D

)

\Rightarrow A C B = C D B + C B D = 2 C B D = 2 A B C

Vậy a) $△ A B C ∽ △ A D B$ (c.g.c). b) $A C B = 2 A B C$ .

2Cách 2. b) Tính trực tiếp hai góc bằng định lí côsin để kiểm chứng số

Định hướng. Tính số đo cụ thể của $A C B$ và $A B C$ bằng định lí côsin trong $△ A B C$ , rồi kiểm tra trực tiếp xem có đúng gấp đôi không — một cách kiểm chứng độc lập bằng số cho kết luận của Cách 1.

cos A C B = \frac{A C ^{2} + B C ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot A C \cdot B C} = \frac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{5}{40} = 0, 125 \Rightarrow A C B \approx 82, 82°

cos A B C = \frac{A B ^{2} + B C ^{2} - A C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B C} = \frac{36 + 25 - 16}{2 \cdot 6 \cdot 5} = \frac{45}{60} = 0, 75 \Rightarrow A B C \approx 41, 41°

2 A B C \approx 82, 82° \approx A C B

— khớp (sai số do làm tròn)

Vậy số đo cụ thể xác nhận $A C B = 2 A B C$ , đúng như kết luận hình học thuần tuý ở Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (định lí côsin, lớp 10) chỉ dùng để kiểm tra bằng số, không thay được lời giải hình học thuần tuý bằng tam giác đồng dạng và tam giác cân đúng chuẩn lớp 8 của Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: đúng công cụ lớp 8 (c.g.c, tam giác cân, góc ngoài), không cần định lí côsin.

Đáp số. a)

△ A B C ∽ △ A D B

(c.g.c, tỉ số

\frac{2}{3}

). b)

A C B = 2 A B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là quên chứng minh

△ B C D

cân (bỏ qua căn cứ

C D = C B

) mà viết thẳng

A C B = 2 A B C

như một sự thật hiển nhiên — phải trình bày đủ ba bước:

A B C = A D B

(từ đồng dạng) →

C B D = C D B = A B C

(tam giác cân) →

A C B = 2 A B C

(góc ngoài).

🚀 Mở rộng. Kĩ thuật \"dựng điểm

D

trên tia đối sao cho

C D = C B

để tạo tam giác cân\" là một thủ thuật kinh điển khi cần chứng minh một góc gấp đôi góc khác trong tam giác — sẽ gặp lại nhiều lần ở các bài toán hình học nâng cao lớp 9.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 33. Hai tam giác đồng dạng Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 8

📚 Cùng chương: Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 33. Hai tam giác đồng dạng
▶ Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác