Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 23 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIX #SGK_Tập2 #trang83–90 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Mở đầu★★Trang 83— Đặt vấn đề: dùng tam giác đồng dạng để “đo” một góc không đo trực tiếp được

Mở đầu (trang 83). Trong môn Bóng đá, độ khó của mỗi pha ghi bàn còn được tính bởi góc sút vào cầu môn là rộng hay hẹp. Nếu biết độ rộng của khung thành là

7, 32

m, trái bóng cách hai cột gôn lần lượt là

10, 98

m và

14, 64

m thì em có cách nào để đo được góc sút ở vị trí này bởi các dụng cụ học tập không?

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh: ba cạnh tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba khoảng cách (bề rộng khung thành và hai đoạn nối bóng tới hai cột) nhưng góc sút nằm ngay tại vị trí quả bóng — không thể đặt thước đo góc lên sân thật. Đây là dấu hiệu để dùng một tam giác đồng dạng thu nhỏ: chỉ cần vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba số đo thật (trường hợp đồng dạng c.c.c của Mục 1) rồi đo góc trên hình vẽ nhỏ bằng thước đo góc.

1Cách 1. Vẽ tam giác thu nhỏ đúng tỉ lệ rồi đo góc bằng thước đo góc

Định hướng. Chọn một tỉ lệ thu nhỏ hợp lí (chia ba số đo thật cho $7, 32$ ), vẽ tam giác có ba cạnh đúng tỉ lệ đó rồi đo trực tiếp góc đối diện cạnh nhỏ nhất bằng thước đo góc — đó chính là góc sút cần tìm.

7, 32 : 10, 98 : 14, 64 = 1 : 1, 5 : 2

Vẽ

△ A^{'} B^{'} C^{'}

với

A^{'} B^{'} = 2

cm,

A^{'} C^{'} = 3

cm,

B^{'} C^{'} = 4

cm
Theo trường hợp c.c.c:

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

(tam giác thật ngoài sân)

\Rightarrow A^{'} = A

(góc sút cần tìm)

Vậy đo góc $A^{'}$ trên tam giác thu nhỏ bằng thước đo góc chính là số đo góc sút $A$ ngoài thực tế.

2Cách 2. Tính trực tiếp bằng định lí côsin (đối chiếu số đo)

Định hướng. Gọi $P$ là vị trí quả bóng, $A$ , $B$ là hai chân cột gôn; tam giác $P A B$ có đủ ba cạnh nên tính được góc tại $P$ bằng định lí côsin, không cần vẽ hình.

P A = 10, 98

P B = 14, 64

A B = 7, 32

cos P = \frac{P A ^{2} + P B ^{2} - A B ^{2}}{2 \cdot P A \cdot P B}

cos P = \frac{10 , 9 8 ^{2} + 14 , 6 4 ^{2} - 7 , 3 2 ^{2}}{2 \cdot 10 , 98 \cdot 14 , 64} = \frac{281 , 3076}{321 , 4944} = 0, 875

P = arccos (0, 875) \approx 29°

Vậy góc sút khoảng $29°$ — đúng bằng giá trị đo được ở Cách 1, vì hai tam giác đồng dạng nên góc tương ứng bằng nhau.

Nhận xét. Cách này chỉ để đối chiếu kết quả; Cách 1 mới đúng tinh thần “dùng dụng cụ học tập” mà đề bài nêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 đúng tinh thần đề bài (đo góc bằng dụng cụ học tập trên tam giác đồng dạng thu nhỏ, không cần máy tính); Cách 2 chỉ để kiểm tra lại số đo.

Đáp số. Góc sút

\approx 29°

(chính xác là

arccos (\frac{7}{8})

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là vẽ tam giác thu nhỏ với tỉ lệ KHÔNG đúng (chẳng hạn lấy

A^{'} B^{'} = 2

cm nhưng

A^{'} C^{'}

lại lấy tuỳ tiện

2, 5

cm thay vì

3

cm) — khi đó tam giác vẽ ra không còn đồng dạng với tam giác thật, góc đo được sẽ sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Cùng cách làm này, nếu biết ba khoảng cách bất kì từ một điểm tới ba mốc cố định, ta luôn “đo” được góc nhìn tương ứng mà không cần đặt thước đo góc đúng vị trí thật.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ1★★Trang 83— Chứng minh trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh (dẫn dắt định lí)

HĐ1 (trang 83). Cho hai tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

có

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}

. a) Nếu

A^{'} B^{'} = A B

thì hai tam giác có đồng dạng với nhau không? Vì sao? b) Nếu

A^{'} B^{'} < A B

như Hình 9.11. Trên đoạn thẳng

A B

lấy điểm

M

sao cho

A M = A^{'} B^{'}

. Kẻ đường thẳng qua

M

song song với

B C

và cắt

A C

tại

N

. – Hãy giải thích vì sao

△ A M N ∽ △ A B C

. – Hãy chứng tỏ rằng

A N = A^{'} C^{'}

M N = B^{'} C^{'}

để suy ra

△ A M N = △ A^{'} B^{'} C^{'}

(c.c.c). – Hai tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

và

A B C

có đồng dạng với nhau không? Nếu có, em hãy viết đúng kí hiệu đồng dạng giữa chúng. c) Nếu

A^{'} B^{'} > A B

thì tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

có đồng dạng với tam giác

A B C

không? Vì sao?

Kiến thức cần nhớ

Định lí (Bài 32): đường thẳng song song một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì tạo ra tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Hai tam giác bằng nhau (c.c.c) thì đồng dạng với nhau theo tỉ số $1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba tỉ số cạnh bằng nhau — đúng dấu hiệu của trường hợp đồng dạng c.c.c sắp học, nhưng phải chứng minh chứ không được thừa nhận. Hướng làm tự nhiên là “dựng tạm” một tam giác trung gian

A M N

vừa đồng dạng với

A B C

(nhờ

M N ∥ B C

, định lí đã học ở Bài 32) vừa bằng

A^{'} B^{'} C^{'}

(nhờ ba cạnh bằng nhau), rồi bắc cầu qua tam giác trung gian đó.

1Cách 1. Theo đúng gợi ý của HĐ (dựng tam giác trung gian AMN)

Định hướng. a) Nếu $A^{'} B^{'} = A B$ thì từ ba tỉ số bằng nhau suy ra $A^{'} C^{'} = A C$ , $B^{'} C^{'} = B C$ , tức $△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A B C$ (c.c.c), mà hai tam giác bằng nhau thì đồng dạng theo tỉ số $1$ . b) Vì $M N ∥ B C$ nên theo định lí ở Bài 32, $△ A M N ∽ △ A B C$ , suy ra $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C} = \frac{M N}{B C}$ . Vì $A M = A^{'} B^{'}$ nên $\frac{A M}{A B} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ ; kết hợp giả thiết $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}$ suy ra $A N = A^{'} C^{'}$ và $M N = B^{'} C^{'}$ . Khi đó $△ A M N$ và $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ có $A M = A^{'} B^{'}$ , $A N = A^{'} C^{'}$ , $M N = B^{'} C^{'}$ nên $△ A M N = △ A^{'} B^{'} C^{'}$ (c.c.c).

△ A M N ∽ △ A B C

(vì

M N ∥ B C

)

A M = A^{'} B^{'}, A N = A^{'} C^{'}, M N = B^{'} C^{'} \Rightarrow △ A M N = △ A^{'} B^{'} C^{'}

△ A^{'} B^{'} C^{'} = △ A M N ∽ △ A B C

Vậy $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ . c) Khi $A^{'} B^{'} > A B$ , đổi vai trò hai tam giác (lấy điểm $M$ trên $A^{'} B^{'}$ sao cho $A^{'} M = A B$ ) và lặp lại đúng lập luận trên, ta vẫn được $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ .

2Cách 2. Kiểm chứng bằng một bộ số cụ thể (tỉ số

k = \frac{3}{4}

)

Định hướng. Để thấy rõ vì sao lập luận tổng quát ở Cách 1 là hợp lí, thử với số liệu cụ thể: lấy $△ A B C$ có $A B = 4, A C = 4, B C = 4$ (đều), khi đó $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ với tỉ số các cạnh bằng $\frac{3}{4}$ có $A^{'} B^{'} = A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = 3$ .

A M = A^{'} B^{'} = 3 \Rightarrow M

là điểm trên

A B

với

A M = 3, M B = 1

M N ∥ B C \Rightarrow \frac{A N}{A C} = \frac{A M}{A B} = \frac{3}{4} \Rightarrow A N = 3 = A^{'} C^{'}

M N = \frac{3}{4} B C = 3 = B^{'} C^{'}

, đúng như lập luận tổng quát

Vậy số liệu cụ thể khớp đúng kết luận tổng quát ở Cách 1, củng cố $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1 (dựng tam giác trung gian

A M N

) vì đây là chứng minh tổng quát, đúng chuẩn — Cách 2 chỉ nên dùng để tự kiểm tra khi làm nháp.

Đáp số. Cả ba trường hợp a), b), c) đều cho

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

— đây chính là nội dung định lí trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết luôn

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

ở phần a) mà không chỉ ra

A^{'} C^{'} = A C

B^{'} C^{'} = B C

trước — thiếu bước suy luận từ giả thiết “ba tỉ số bằng nhau” nên không được chấm là chứng minh đầy đủ.

🚀 Mở rộng. Kết quả của HĐ1 chính là định lí “trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh” sẽ được phát biểu ngay sau đó; cách chứng minh dựng tam giác trung gian này còn được dùng lại nguyên vẹn cho hai trường hợp đồng dạng c.g.c và g.g ở các mục sau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · ? (nhận biết đồng dạng)★★Trang 84— Nhận biết hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp cạnh – cạnh – cạnh

Câu hỏi (trang 84, Hình 9.13). Những cặp tam giác nào dưới đây (Hình 9.13) là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng. Cho biết

△ A B C

có

A B = 2, B C = 2, 5, C A = 3

;

△ D E F

có

D E = 2, 5, E F = 3, F D = 4

;

△ G H K

có

G H = 4, H K = 6, K G = 5

;

△ M N P

có

M N = 5, N P = 6, M P = 8

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh: ba cạnh tam giác này tỉ lệ với ba cạnh tam giác kia.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ ba cạnh của bốn tam giác — dấu hiệu để dùng trường hợp c.c.c: chỉ cần xếp mỗi tam giác theo thứ tự cạnh từ bé đến lớn rồi so sánh tỉ số cạnh bé/cạnh bé, cạnh vừa/cạnh vừa, cạnh lớn/cạnh lớn giữa từng cặp tam giác. Bẫy ở chỗ ghi đúng thứ tự đỉnh tương ứng khi viết kí hiệu đồng dạng, không được ghi tuỳ tiện

△ A B C ∽ △ G H K

nếu thứ tự đỉnh không khớp cạnh tương ứng.

1Cách 1. Sắp xếp cạnh tăng dần rồi so sánh tỉ số từng cặp tam giác

Định hướng. Với bốn tam giác, sắp các cạnh theo thứ tự tăng dần rồi thử ghép cặp có cùng tỉ số không đổi.

A B C : 2, 2, 5, 3

và

G H K : 4, 5, 6

(theo thứ tự

G H, K G, H K

)

\Rightarrow \frac{4}{2} = \frac{5}{2 , 5} = \frac{6}{3} = 2

D E F : 2, 5, 3, 4

và

M N P : 5, 6, 8

\Rightarrow \frac{5}{2 , 5} = \frac{6}{3} = \frac{8}{4} = 2

Cạnh nhỏ nhất

A B

đối diện

C

, cạnh nhỏ nhất

G H

đối diện

K

\Rightarrow C \leftrightarrow K

; tương tự

A \leftrightarrow H

B \leftrightarrow G

Cạnh nhỏ nhất

D E

đối diện

F

, cạnh nhỏ nhất

M N

đối diện

P

\Rightarrow F \leftrightarrow P

; tương tự

D \leftrightarrow M

E \leftrightarrow N

Vậy $△ A B C ∽ △ H G K$ (tỉ số $\frac{1}{2}$ ) và $△ D E F ∽ △ M N P$ (tỉ số $\frac{1}{2}$ ); tam giác $G H K$ và $M N P$ không đồng dạng với nhau vì $4 : 5 : 6 \neq = 5 : 6 : 8$ .

2Cách 2. Thử từng cặp bằng chu vi rồi kiểm lại đúng ba tỉ số

Định hướng. Dùng chu vi để loại nhanh các cặp không thể đồng dạng (tỉ số chu vi phải bằng tỉ số một cặp cạnh tương ứng), sau đó kiểm lại đủ ba tỉ số cho cặp còn nghi ngờ.

Chu vi:

A B C = 7, 5

;

D E F = 9, 5

;

G H K = 15

;

M N P = 19

\frac{G H K}{A B C} = \frac{15}{7 , 5} = 2

và

\frac{M N P}{D E F} = \frac{19}{9 , 5} = 2

— hai tỉ số chu vi này đúng bằng tỉ số cạnh tìm được ở Cách 1, không có cặp nào khác cho tỉ số nguyên gọn như vậy
Kiểm lại đủ ba cạnh (như Cách 1) để chắc chắn kết luận, tránh chỉ dựa vào chu vi (chu vi bằng nhau không suy ra đồng dạng)

Vậy khẳng định lại đúng hai cặp đồng dạng đã tìm ở Cách 1: $△ A B C ∽ △ H G K$ và $△ D E F ∽ △ M N P$ .

Nhận xét. Chỉ dùng tỉ số chu vi để SÀNG LỌC nhanh ứng viên, không được dùng thay cho việc kiểm đủ ba cặp cạnh — chu vi bằng nhau chưa chắc đồng dạng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: sắp cạnh tăng dần rồi so tỉ số theo đúng thứ tự — nhanh, không bỏ sót và tránh nhầm đỉnh tương ứng.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ H G K

(tỉ số

\frac{1}{2}

) và

△ D E F ∽ △ M N P

(tỉ số

\frac{1}{2}

);

△ G H K

không đồng dạng với

△ M N P

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

△ A B C ∽ △ G H K

(giữ nguyên thứ tự chữ cái xuất hiện trên hình) mà không đối chiếu đỉnh nào đối diện cạnh nào — kí hiệu đúng phải là

△ A B C ∽ △ H G K

vì

A B

(cạnh nhỏ nhất, đối diện

C

) tương ứng với

G H

(cạnh nhỏ nhất, đối diện

K

), tức

C \leftrightarrow K

chứ không phải

C \leftrightarrow K^{'}

tuỳ tiện.

🚀 Mở rộng. Với bốn tam giác cho trước, số cặp có thể đồng dạng nhiều nhất là

(2 4) = 6

; bài này chỉ có đúng

2

cặp — kĩ năng sắp cạnh tăng dần để so tỉ số rất hữu ích khi số tam giác cần so sánh lớn hơn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 1★★Trang 84— Chứng minh đồng dạng từ một đẳng thức liên hệ ba cạnh (c.c.c)

Ví dụ 1 (trang 84). Cho các tam giác

A B C

và

M N P

có

3 A B = 4 B C = 8 C A

M N = 8

cm,

N P = 6

cm,

P M = 3

cm. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ M N P

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.
Từ $3 A B = 4 B C = 8 C A$ suy ra $A B : B C : C A = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{8} = 8 : 6 : 3$ (quy đồng mẫu).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho

3 A B = 4 B C = 8 C A

— một đẳng thức ba đại lượng bằng nhau, dấu hiệu để quy về tỉ số

\frac{A B}{1/3} = \frac{B C}{1/4} = \frac{C A}{1/8}

rồi so với tam giác

M N P

đã có sẵn số đo. Hướng nhanh nhất là tìm bội chung nhỏ nhất của

3, 4, 8

để quy các cạnh

M N, N P, P M

về cùng một “thước đo” như

A B, B C, C A

1Cách 1. Quy đồng hệ số ba đại lượng bằng nhau (như SGK)

Định hướng. Ba đại lượng $3 A B, 4 B C, 8 C A$ bằng nhau nên đặt chung bằng $t$ , biểu diễn từng cạnh theo $t$ rồi lập ba tỉ số với $M N, N P, P M$ .

Đặt

3 A B = 4 B C = 8 C A = t

\Rightarrow A B = \frac{t}{3}, B C = \frac{t}{4}, C A = \frac{t}{8}

\frac{A B}{M N} = \frac{t}{3} : 8 = \frac{t}{24}

;

\frac{B C}{N P} = \frac{t}{4} : 6 = \frac{t}{24}

;

\frac{C A}{P M} = \frac{t}{8} : 3 = \frac{t}{24}

Vậy $\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M}$ nên $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c).

2Cách 2. Chia cho

24

để đưa về dãy tỉ số bằng nhau (như SGK)

Định hướng. $24$ là bội chung nhỏ nhất của $3, 4, 8$ . Chia cả ba đại lượng bằng nhau cho $24$ thì được dãy tỉ số có mẫu đúng bằng $8, 6, 3$ — chính là $M N, N P, P M$ .

3 A B = 4 B C = 8 C A

\Rightarrow \frac{3 A B}{24} = \frac{4 B C}{24} = \frac{8 C A}{24}

\Rightarrow \frac{A B}{8} = \frac{B C}{6} = \frac{C A}{3}

Mà

M N = 8

cm,

N P = 6

cm,

P M = 3

cm nên

\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N P} = \frac{C A}{P M}

Vậy $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.c.c).

Nhận xét. Không được "chọn" $3 A B = 24$ để suy ra $A B = 8$ : đề chỉ cho biết TỈ LỆ các cạnh của $△ A B C$ , không cho độ dài, nên tỉ số đồng dạng chưa xác định (không kết luận được hai tam giác bằng nhau).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (cách của SGK): chia

3 A B = 4 B C = 8 C A

cho

24

(bội chung nhỏ nhất của

3, 4, 8

) để ra ngay

\frac{A B}{8} = \frac{B C}{6} = \frac{C A}{3}

, gọn hơn giữ ẩn

t

như Cách 1.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ M N P

(c.c.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là hiểu nhầm

3 A B = 4 B C = 8 C A

nghĩa là

A B : B C : C A = 3 : 4 : 8

(lấy luôn hệ số làm tỉ số) — phải là tỉ lệ NGHỊCH,

A B : B C : C A = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{8} = 8 : 6 : 3

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu

p A B = q B C = r C A

(với

p, q, r

dương) thì

A B : B C : C A = \frac{1}{p} : \frac{1}{q} : \frac{1}{r}

— quy đồng mẫu số

p, q, r

để đưa về tỉ số các số nguyên, luôn áp dụng được cho mọi hệ số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Luyện tập 1★★Trang 85— Dùng chu vi để tìm cạnh còn thiếu rồi chứng minh đồng dạng (c.c.c)

Luyện tập 1 (trang 85). Cho tam giác

A B C

có chu vi bằng

18

cm và tam giác

D E F

có chu vi bằng

27

cm. Biết rằng

A B = 4

cm,

B C = 6

cm,

D E = 6

cm,

F D = 12

cm. Chứng minh

△ A B C ∽ △ D E F

Kiến thức cần nhớ

Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.
Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chu vi và hai trong ba cạnh của mỗi tam giác — dấu hiệu là phải tìm cạnh còn lại (

C A

và

E F

) bằng phép trừ trước khi lập tỉ số. Vì đã có sẵn hai cặp cạnh tương ứng

A B \leftrightarrow D E

B C \leftrightarrow F D

(chú ý thứ tự

D, E, F

để ghép đúng cặp), chỉ cần tính nốt cặp thứ ba là đủ dữ kiện dùng c.c.c.

1Cách 1. Tính cạnh còn thiếu từ chu vi rồi lập tỉ số (tự nhiên nhất)

Định hướng. Từ chu vi trừ đi hai cạnh đã biết để ra cạnh còn lại của mỗi tam giác, sau đó lập đủ ba tỉ số tương ứng.

C A = 18 - A B - B C = 18 - 4 - 6 = 8

(cm)

E F = 27 - D E - F D = 27 - 6 - 12 = 9

(cm)

\frac{D E}{A B} = \frac{6}{4} = 1, 5

;

\frac{E F}{B C} = \frac{9}{6} = 1, 5

;

\frac{F D}{C A} = \frac{12}{8} = 1, 5

Vậy $\frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{F D}{C A}$ nên $△ A B C ∽ △ D E F$ (c.c.c), tỉ số đồng dạng $1, 5$ .

2Cách 2. Dùng tỉ số chu vi trước để đoán tỉ số đồng dạng, rồi kiểm lại đủ ba cạnh

Định hướng. Vì hai tam giác đồng dạng có tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng, tính tỉ số chu vi trước để dự đoán rồi kiểm chứng bằng hai cặp cạnh đã cho.

Tỉ số chu vi dự đoán:

\frac{27}{18} = 1, 5

Kiểm với cạnh đã cho:

\frac{D E}{A B} = \frac{6}{4} = 1, 5

và

\frac{F D}{B C} = \frac{12}{6} = 2 \neq = 1, 5

F D

phải tương ứng

C A

chứ không phải

B C

(đúng thứ tự đỉnh

D \leftrightarrow A, E \leftrightarrow B, F \leftrightarrow C

); tính

C A = 18 - 4 - 6 = 8

E F = 27 - 6 - 12 = 9

, được

\frac{F D}{C A} = \frac{12}{8} = 1, 5

và

\frac{E F}{B C} = \frac{9}{6} = 1, 5

, khớp dự đoán

Vậy cả ba tỉ số đều bằng $1, 5$ , đúng bằng tỉ số chu vi dự đoán ban đầu, nên $△ A B C ∽ △ D E F$ theo tỉ số $1, 5$ .

Nhận xét. Tỉ số chu vi chỉ nên dùng để KIỂM TRA nhanh xem hướng ghép cặp cạnh có hợp lí không, không thay được việc chứng minh đủ ba tỉ số cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng cạnh còn thiếu rồi lập tỉ số, không mất thời gian dự đoán bằng chu vi.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ D E F

theo tỉ số đồng dạng

1, 5

(vì

C A = 8

cm,

E F = 9

cm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép cặp cạnh sai thứ tự đỉnh, ví dụ lấy

\frac{F D}{B C}

thay vì

\frac{F D}{C A}

— phải bám đúng thứ tự chữ cái

D \leftrightarrow A

E \leftrightarrow B

F \leftrightarrow C

khi ghép cạnh

D E \leftrightarrow A B

E F \leftrightarrow B C

F D \leftrightarrow C A

🚀 Mở rộng. Nếu chỉ biết chu vi và MỘT cạnh mỗi tam giác (thay vì hai cạnh) thì chưa đủ dữ kiện để chứng minh đồng dạng theo c.c.c — cần thêm điều kiện về góc hoặc một cặp cạnh tương ứng nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★Trang 85— Ứng dụng trường hợp đồng dạng c.c.c để đo gián tiếp một góc

Vận dụng (trang 85). Trở lại tình huống mở đầu. Em hãy vẽ một tam giác có ba cạnh tỉ lệ với ba cạnh của tam giác tạo bởi ba đỉnh là trái bóng và hai chân cột gôn. Từ đó tính góc sút bằng góc tương ứng của tam giác vừa vẽ được.

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh.
Hai tam giác đồng dạng có các góc tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bước thực hành lại đúng ý tưởng đã nêu ở Mở đầu: dựng tam giác thu nhỏ đồng dạng rồi đo góc tương ứng. Điểm mới là đề gợi ý sẵn hai tỉ lệ để chọn (

1 : 1, 5 : 2

hoặc

2 : 3 : 4

) — cả hai đều đúng vì cùng là bội của tỉ số gốc

7, 32 : 10, 98 : 14, 64

, chỉ khác hệ số phóng to.

1Cách 1. Dựng theo tỉ lệ

1 : 1, 5 : 2

(gợi ý của bạn hình vuông)

Định hướng. Chọn đơn vị centimét cho gọn: vẽ tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ với $A^{'} B^{'} = 2$ cm (ứng với khung thành $7, 32$ m), $A^{'} C^{'} = 3$ cm (ứng $10, 98$ m), $B^{'} C^{'} = 4$ cm (ứng $14, 64$ m).

7, 32 : 10, 98 : 14, 64 = 1 : 1, 5 : 2

A^{'} B^{'} = 2

cm,

A^{'} C^{'} = 3

cm,

B^{'} C^{'} = 4

\Rightarrow △ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

(c.c.c)
Đo

A^{'}

trên tam giác vừa vẽ bằng thước đo góc

Vậy $A = A^{'} \approx 29°$ — đúng bằng góc sút thực tế.

2Cách 2. Dựng theo tỉ lệ

2 : 3 : 4

(gợi ý của bạn hình tròn)

Định hướng. Nhân đôi các cạnh của Cách 1 (vẫn cùng tỉ lệ $7, 32 : 10, 98 : 14, 64$ ), vẽ tam giác $A^{''} B^{''} C^{''}$ với $A^{''} B^{''} = 4$ cm, $A^{''} C^{''} = 6$ cm, $B^{''} C^{''} = 8$ cm.

4 : 6 : 8 = 2 : 3 : 4 = 1 : 1, 5 : 2

— cùng tỉ số với Cách 1, chỉ phóng to gấp đôi

△ A^{''} B^{''} C^{''} ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

Đo

A^{''}

bằng thước đo góc

Vậy $A = A^{''} \approx 29°$ — kết quả trùng khít với Cách 1 vì hai tam giác vẽ ra cũng đồng dạng với nhau.

Nhận xét. Tam giác vẽ theo tỉ lệ $2 : 3 : 4$ to hơn nên đo góc bằng thước đo góc thường CHÍNH XÁC hơn tam giác bé của Cách 1 — nên ưu tiên vẽ tam giác lớn khi có đủ giấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên chọn Cách 2 (tam giác cạnh

4

–

6

–

8

cm): tam giác lớn hơn giúp đo góc bằng thước đo góc chính xác hơn tam giác bé

2

–

3

–

4

cm của Cách 1.

Đáp số. Góc sút

\approx 29°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên đối chiếu đúng cạnh nào ứng với cạnh nào (nhầm khung thành

7, 32

m — cạnh ngắn nhất — với một trong hai đoạn nối bóng dài hơn), khiến tam giác vẽ ra sai tỉ lệ và góc đo được không còn là góc sút thật.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi khoảng cách hai cột gôn thành

d_{1}, d_{2}

bất kì và bề rộng khung thành là

a

, góc sút luôn tính được bằng

arccos (\frac{d _{1}^{2} + d _{2}^{2} - a ^{2}}{2 d _{1} d _{2}})

mà không cần vẽ hình, đúng như Cách 2 của Mở đầu.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ2★★Trang 85— Khảo sát số liệu dẫn tới trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh

HĐ2 (trang 85). Cho hai tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

có độ dài các cạnh (theo đơn vị cm) như Hình 9.15. Biết rằng

A = A^{'}

. Cho

A B = 3, A C = 2, A = 60°

và

A^{'} B^{'} = 4, 5, A^{'} C^{'} = 3, A^{'} = 60°

. – So sánh các tỉ số

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}, \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}

. – Dùng thước có vạch chia đo độ dài

B C, B^{'} C^{'}

và tính tỉ số

\frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}

. – Theo em, tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

có đồng dạng với tam giác

A B C

không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Định lí côsin: $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} - 2 \cdot A B \cdot A C \cdot cos A$ .
Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các cặp cạnh tương ứng đều bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cặp cạnh kề một góc bằng nhau (

A = A^{'} = 60°

) — dấu hiệu của trường hợp c.g.c sắp học. Vì chưa có công thức tính cạnh còn lại từ góc xen giữa, hoạt động yêu cầu đo trực tiếp

B C, B^{'} C^{'}

bằng thước; ta có thể thay bằng tính chính xác qua định lí côsin để kiểm chứng số đo sẽ nhận được khi đo thật.

1Cách 1. So hai tỉ số cạnh đã cho, rồi đo

B C, B^{'} C^{'}

như đề yêu cầu

Định hướng. Tính hai tỉ số cạnh kề góc $A$ trước, sau đó đo bằng thước để lấy tỉ số cạnh còn lại rồi so sánh.

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{4 , 5}{3} = 1, 5

;

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{3}{2} = 1, 5

— hai tỉ số bằng nhau
Đo bằng thước:

B C \approx 2, 65

cm,

B^{'} C^{'} \approx 3, 97

\Rightarrow \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} \approx 1, 5

Vậy cả ba tỉ số đều xấp xỉ $1, 5$ nên $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ với tỉ số đồng dạng $1, 5$ .

2Cách 2. Tính chính xác

B C, B^{'} C^{'}

bằng định lí côsin (kiểm chứng số đo bằng thước)

Định hướng. Vì đã biết hai cạnh và góc xen giữa của mỗi tam giác, tính đúng $B C$ và $B^{'} C^{'}$ bằng định lí côsin thay vì đo bằng mắt thước.

B C^{2} = 3^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot cos 60° = 9 + 4 - 6 = 7 \Rightarrow B C = 7 \approx 2, 646

B^{'} C^{'2} = 4, 5^{2} + 3^{2} - 2 \cdot 4, 5 \cdot 3 \cdot cos 60° = 20, 25 + 9 - 13, 5 = 15, 75 \Rightarrow B^{'} C^{'} = 15, 75 \approx 3, 969

\frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{15 , 75}{7} = \frac{15 , 75}{7} = 2, 25 = 1, 5

Vậy $\frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = 1, 5$ đúng tuyệt đối (không chỉ gần đúng như số đo bằng thước), khẳng định chắc chắn $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ theo tỉ số $1, 5$ .

Nhận xét. Số đo bằng thước ở Cách 1 chỉ gần đúng (làm tròn đến mm); định lí côsin cho kết quả đúng tuyệt đối $1, 5$ , giải thích vì sao phép đo thực hành luôn ra xấp xỉ $1, 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (khi được dùng máy tính hoặc không cần đo hình thật) nên dùng Cách 2 vì cho kết quả đúng tuyệt đối; khi làm thực hành với thước kẻ thì bắt buộc theo Cách 1 như SGK yêu cầu.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

với tỉ số đồng dạng

1, 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là qui tắc \"cứ hai cặp cạnh tỉ lệ bằng nhau là đồng dạng\" mà quên điều kiện góc xen giữa hai cặp cạnh đó phải bằng nhau — nếu góc không bằng nhau (hoặc không phải góc xen giữa) thì hai tỉ số cạnh bằng nhau chưa chắc đủ để kết luận đồng dạng (xem Tranh luận, trang 87).

🚀 Mở rộng. Đây chính là hoạt động khảo sát dẫn tới định lí trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh (c.g.c) sẽ phát biểu ngay sau đó: hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau thì đồng dạng, không cần đo cạnh thứ ba.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · ? (nhận biết đồng dạng c.g.c)★★Trang 86— Nhận biết hai tam giác đồng dạng bằng trường hợp cạnh – góc – cạnh

Câu hỏi (trang 86, Hình 9.17). Những cặp tam giác nào trong Hình 9.17 là đồng dạng? (Các kích thước được tính theo đơn vị centimét). Viết đúng kí hiệu đồng dạng. Cho biết

△ A B C

có

A B = 3, A C = 2, A = 70°

;

△ D E F

có

D E = 4, D F = 3, D = 70°

;

△ M N P

có

M N = 6, M P = 4, M = 70°

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh: hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ba tam giác đều có một góc

70°

bằng nhau — nhưng góc bằng nhau KHÔNG đủ để kết luận đồng dạng nếu tỉ số hai cạnh kề góc đó không bằng nhau. Phải kiểm đúng tỉ số của HAI cạnh xen quanh góc

70°

ở từng cặp tam giác trước khi kết luận.

1Cách 1. Lập tỉ số hai cạnh kề góc

70°

cho từng cặp tam giác

Định hướng. So $\frac{A B}{D E}$ với $\frac{A C}{D F}$ (cặp $A B C$ – $D E F$ ), rồi $\frac{A B}{M N}$ với $\frac{A C}{M P}$ (cặp $A B C$ – $M N P$ ).

A B C

–

D E F

\frac{A B}{D E} = \frac{3}{4} = 0, 75

;

\frac{A C}{D F} = \frac{2}{3} \approx 0, 667

— KHÔNG bằng nhau

A B C

–

M N P

\frac{A B}{M N} = \frac{3}{6} = 0, 5

;

\frac{A C}{M P} = \frac{2}{4} = 0, 5

— bằng nhau

D E F

–

M N P

\frac{D E}{M N} = \frac{4}{6} \approx 0, 667

;

\frac{D F}{M P} = \frac{3}{4} = 0, 75

— KHÔNG bằng nhau

Vậy chỉ có $△ A B C ∽ △ M N P$ (c.g.c, tỉ số $2$ ); $△ D E F$ không đồng dạng với hai tam giác còn lại.

2Cách 2. So sánh diện tích bằng công thức

\frac{1}{2} ab sin C

để kiểm tra chéo

Định hướng. Nếu hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ $k^{2}$ ; tính thử diện tích ba tam giác (cùng $sin 70°$ ) để kiểm tra chéo kết luận ở Cách 1.

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 \cdot sin 70° = 3 sin 70°

S_{D E F} = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3 \cdot sin 70° = 6 sin 70°

S_{M N P} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot sin 70° = 12 sin 70°

\frac{S _{M N P}}{S _{A B C}} = \frac{12}{3} = 4 = 2^{2}

(khớp tỉ số đồng dạng

2

);

\frac{S _{D E F}}{S _{A B C}} = \frac{6}{3} = 2 \neq = k^{2}

với

k

hữu tỉ đẹp nào — củng cố

D E F

không đồng dạng

A B C

Vậy kết quả khớp với Cách 1: chỉ $△ A B C ∽ △ M N P$ .

Nhận xét. Đây chỉ là phép kiểm tra chéo bằng diện tích, không thay được điều kiện gốc \"hai cạnh tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau\" của c.g.c.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập tỉ số hai cạnh kề góc bằng nhau rồi so sánh trực tiếp — nhanh và đúng chuẩn c.g.c, không cần công thức diện tích.

Đáp số. Chỉ có

△ A B C ∽ △ M N P

(c.g.c, tỉ số đồng dạng

2

);

△ D E F

không đồng dạng với

△ A B C

hay

△ M N P

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là thấy cả ba tam giác cùng có góc

70°

liền kết luận cả ba đôi một đồng dạng — góc bằng nhau chỉ là MỘT trong hai điều kiện của c.g.c, còn phải kiểm tỉ số hai cạnh kề góc đó.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc

70°

thành góc xen giữa hai cạnh khác (không phải

A B, A C

) thì phép so sánh tỉ số phải đổi theo đúng cặp cạnh kề góc đó — không được giữ nguyên cách ghép

A B

–

A C

một cách máy móc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Ví dụ 2★★★Trang 86— Chứng minh hai tam giác tạo bởi trung tuyến cũng đồng dạng (c.g.c)

Ví dụ 2 (trang 86). Cho

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

và

M, M^{'}

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C, B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa hai tam giác đồng dạng: góc tương ứng bằng nhau, cạnh tương ứng tỉ lệ.
Trung điểm chia đôi cạnh: $B M = B^{'} M^{'} \cdot$ tỉ lệ với $B C = B^{'} C^{'} \cdot$ tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

và hai điểm

M, M^{'}

là trung điểm — dấu hiệu để dùng lại đúng định nghĩa đồng dạng (góc bằng nhau, cạnh tỉ lệ) cho cặp cạnh

A^{'} B^{'}

–

A B

và

B^{'} M^{'}

–

B M

xen quanh góc

B^{'} = B

, quy về c.g.c chứ không cần dựng thêm đường phụ.

1Cách 1. Dùng trực tiếp định nghĩa đồng dạng cho cặp cạnh

B^{'} M^{'}

–

B M

(như SGK)

Định hướng. Từ $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ suy ra $B^{'} = B$ và $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}$ ; vì $M, M^{'}$ là trung điểm nên tỉ số này cũng đúng cho $B^{'} M^{'}$ và $B M$ .

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C \Rightarrow B^{'} = B

và

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C}

M, M^{'}

là trung điểm

B C, B^{'} C^{'} \Rightarrow B M = \frac{B C}{2}, B^{'} M^{'} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{2} \Rightarrow \frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

Tam giác

A^{'} B^{'} M^{'}

và

A B M

có

\frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

và

B^{'} = B

Vậy $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ (c.g.c).

2Cách 2. Minh hoạ bằng một bộ số cụ thể để thấy rõ tỉ số không đổi

Định hướng. Chọn số liệu cụ thể thoả $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ theo tỉ số $k = 2$ để tính trực tiếp các cạnh, kiểm chứng lại lập luận tổng quát ở Cách 1.

Chọn

A B = 3, B C = 5, B = 50° \Rightarrow A^{'} B^{'} = 6, B^{'} C^{'} = 10, B^{'} = 50°

(tỉ số

k = 2

)

B M = \frac{5}{2} = 2, 5

;

B^{'} M^{'} = \frac{10}{2} = 5 \Rightarrow \frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{5}{2 , 5} = 2 = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

B^{'} = B = 50°

— đúng hai điều kiện c.g.c như lập luận tổng quát

Vậy $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ theo tỉ số $2$ — khớp đúng kết luận tổng quát của Cách 1, vì $k$ chọn tuỳ ý vẫn ra cùng một lập luận.

Nhận xét. Nếu $M, M^{'}$ là trung điểm thì tỉ số $\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M}$ (trung tuyến) cũng bằng đúng tỉ số đồng dạng $k$ — đây là nội dung của phần Nhận xét ngay sau ví dụ này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: áp dụng thẳng định nghĩa đồng dạng cho cặp cạnh trung tuyến, ngắn gọn và đúng chuẩn nhất.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

(c.g.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy nhầm

M, M^{'}

là trung điểm của

A B, A^{'} B^{'}

thay vì

B C, B^{'} C^{'}

— phải đọc đúng đề \"

M, M^{'}

lần lượt là trung điểm của các cạnh

B C, B^{'} C^{'}

\" trước khi lập tỉ số.

🚀 Mở rộng. Nhận xét ngay sau ví dụ này (SGK trang 87) mở rộng: nếu

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

theo tỉ số

k

và

A M, A^{'} M^{'}

là các đường trung tuyến tương ứng thì

\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = k

— áp dụng đúng ý tưởng của ví dụ nhưng xét cạnh

A M

thay vì

B M

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Luyện tập 2★★★Trang 87— Chứng minh đồng dạng khi thêm điểm dựng theo cùng một tỉ số (biến thể của Ví dụ 2)

Luyện tập 2 (trang 87). Cho

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

. Trên tia đối của các tia

C B, C^{'} B^{'}

lần lượt lấy các điểm

M, M^{'}

sao cho

\frac{M C}{M B} = \frac{M ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}}

. Chứng minh rằng

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa hai tam giác đồng dạng.
Nếu $\frac{M C}{M B} = t$ thì $B M = \frac{B C}{1 - t}$ (M nằm ngoài đoạn CB, cùng phía kéo dài qua C).

🧠 Phân tích tư duy

Cấu trúc bài giống hệt Ví dụ 2 (chứng minh

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

từ

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

), chỉ khác

M, M^{'}

không còn là trung điểm mà là điểm ngoài đoạn

C B

với cùng tỉ số

\frac{M C}{M B}

— vẫn quy về so sánh tỉ số

\frac{B ^{'} M ^{'}}{B M}

với

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

và góc

B^{'} = B

như Ví dụ 2, nhưng phải biểu diễn

B M

theo

B C

và tỉ số

\frac{M C}{M B}

trước.

1Cách 1. Biểu diễn

B M

theo

B C

rồi áp dụng định nghĩa đồng dạng (phỏng theo Ví dụ 2)

Định hướng. Đặt $t = \frac{M C}{M B} = \frac{M ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}}$ (giả thiết), biểu diễn $B M, B^{'} M^{'}$ theo $B C, B^{'} C^{'}$ rồi lập tỉ số như Ví dụ 2.

M

trên tia đối tia

C B

nên

B M = B C + C M = B C + t \cdot B M \Rightarrow B M (1 - t) = B C \Rightarrow B M = \frac{B C}{1 - t}

Tương tự

B^{'} M^{'} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{1 - t}

(cùng

t

theo giả thiết)

\frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{B ^{'} C ^{'} / ( 1 - t )}{B C / ( 1 - t )} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

(do

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

)

A^{'} B^{'} M^{'} = A^{'} B^{'} C^{'} = A B C = A B M

(cùng là góc

B^{'}

B

vì

M^{'}

trên tia đối

C^{'} B^{'}

M

trên tia đối

C B

)

Vậy $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ (c.g.c), vì $\frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ và $B^{'} = B$ .

2Cách 2. Xét tỉ số đoạn

B M

qua

B C

và

M C

cộng trực tiếp (không đặt ẩn

t

)

Định hướng. Thay vì đặt ẩn $t$ , dùng ngay hệ thức đoạn thẳng $B M = B C + C M$ và tỉ lệ thức đã cho để suy ra tỉ số $\frac{B M}{B ^{'} M ^{'}}$ bằng $\frac{B C}{B ^{'} C ^{'}}$ qua biến đổi tỉ lệ thức.

\frac{M C}{M B} = \frac{M ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}} \Rightarrow \frac{M B - M C}{M B} = \frac{M ^{'} B ^{'} - M ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}}

(tính chất tỉ lệ thức, trừ tử cho mẫu)
Mà

M B - M C = B C

(do

C

nằm giữa

B, M

) và

M^{'} B^{'} - M^{'} C^{'} = B^{'} C^{'}

\Rightarrow \frac{B C}{M B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}} \Rightarrow \frac{M B}{M ^{'} B ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} \Rightarrow \frac{M ^{'} B ^{'}}{M B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

Vậy cùng ra $\frac{B ^{'} M ^{'}}{B M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ , kết hợp $B^{'} = B$ (như Cách 1) suy ra $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ (c.g.c).

Nhận xét. Cách 2 dùng tính chất tỉ lệ thức \"trừ tử trừ mẫu\" nên gọn hơn Cách 1 (không phải giải phương trình ẩn $B M$ ), phù hợp khi đã thạo tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: biến đổi tỉ lệ thức trực tiếp (trừ tử, trừ mẫu) để ra

\frac{B C}{M B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{M ^{'} B ^{'}}

, nhanh hơn việc đặt ẩn

t

rồi giải phương trình như Cách 1.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

(c.g.c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là áp dụng tính chất \"trừ tử trừ mẫu\" của tỉ lệ thức mà quên kiểm tra thứ tự điểm (

C

nằm giữa

B

và

M

vì

M

ở tia đối tia

C B

) nên viết nhầm dấu, ví dụ viết

M B - M C = - B C

thay vì

B C

🚀 Mở rộng. Bài này chính là Ví dụ 2 khi

t = 1

(khi đó

M, M^{'}

trở thành trung điểm

B C, B^{'} C^{'}

) — cùng một ý tưởng chứng minh áp dụng được cho MỌI điểm chia theo cùng một tỉ số, không riêng gì trung điểm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Tranh luận★★★Trang 87— Phản biện điều kiện “hai cạnh tỉ lệ và một góc không xen giữa bằng nhau” (trường hợp SSA)

Tranh luận (trang 87-88). 1. Bạn Lan nhận xét rằng nếu tam giác

A B C

và tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

có

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} C ^{'}}{A C}

và

B^{'} = B

thì chúng đồng dạng. Theo em, bạn Lan nhận xét có đúng không? Vì sao? Gợi ý. Khi góc

A C B

tù, lấy điểm

M

trên tia

B C

sao cho

△ A M C

cân (H.9.19) rồi xét xem trong hai tam giác

A B C

và

A B M

, tam giác nào đồng dạng với tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

. 2. Nếu thêm giả thiết

C

và

C^{'}

đều là góc nhọn thì hai tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

có đồng dạng không?

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng c.g.c đòi hỏi góc bằng nhau phải XEN GIỮA hai cạnh tỉ lệ.
Tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Nhận xét của Lan cho hai cạnh tỉ lệ (

A^{'} B^{'} / A B = A^{'} C^{'} / A C

, hai cạnh kề góc

A

) nhưng góc bằng nhau lại là

B

— KHÔNG phải góc xen giữa hai cạnh đó. Đây là dạng “cạnh – cạnh – góc” (SSA), khác hẳn c.g.c đã học (góc phải xen giữa hai cạnh tỉ lệ) — dấu hiệu để nghi ngờ và tìm phản ví dụ đúng như gợi ý của đề.

1Cách 1. Dựng phản ví dụ theo đúng gợi ý (khi

A C B

tù)

Định hướng. Khi $A C B$ tù, lấy $M$ trên tia $B C$ (phía ngoài $C$ ) sao cho $△ A M C$ cân tại $C$ , tức $C M = C A$ . Khi đó $A M C = C A M$ (tam giác cân).

A C B

là góc ngoài của

△ A M C

tại

C

nên

A C B = A M C + C A M = 2 A M C

Tam giác

A B M

và tam giác

A B C

có chung cạnh

A B

, chung góc

A B M = A B C

, và

A M = A C

(do

C M = C A

và... thực chất

A M \neq = A C

nói chung, điều cần thấy là

A C

đóng vai trò cạnh thứ hai trong CẢ HAI tam giác

A B C

và

A B M

ở vị trí không xen giữa)
Vì

A B M = A B C

(cùng một góc

B

) và \"cạnh AC\" xuất hiện y hệt ở cả hai tam giác

A B C

A B M

(không xen giữa góc

B

và cạnh

A B

), nên dữ kiện \"hai cạnh tỉ lệ + góc

B

bằng nhau\" của

A^{'} B^{'} C^{'}

có thể khớp với CẢ

△ A B C

LẪN

△ A B M

— mà

△ A B C \neq = △ A B M

(hai tam giác khác hình dạng vì

M \neq = C

)

Vậy nhận xét của Lan SAI trong trường hợp tổng quát: dữ kiện “hai cạnh tỉ lệ và MỘT góc không xen giữa bằng nhau” có thể ứng với HAI tam giác không đồng dạng nhau ( $A B C$ và $A B M$ ), nên không đủ để khẳng định $A^{'} B^{'} C^{'} ∽ A B C$ một cách chắc chắn.

2Cách 2. Dùng định lí sin để chỉ ra hai nghiệm góc

C

có thể có (giải thích đại số)

Định hướng. Với $A B, B, A C$ cho trước (đúng dữ kiện SSA), định lí sin cho $sin C = \frac{A B \cdot sin B}{A C}$ — một giá trị sin có thể ứng với HAI góc bù nhau $C$ và $180° - C$ , tức có thể có hai tam giác $A B C$ khác nhau (một góc $C$ nhọn, một góc $C$ tù) cùng thoả mãn dữ kiện.

\frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C} \Rightarrow sin C = \frac{A B \cdot sin B}{A C}

(định lí sin)
Phương trình

sin C = m

(với

0 < m < 1

) có hai nghiệm trong khoảng

(0°; 180°)

C

nhọn và

180° - C

(tù)
Ứng với mỗi nghiệm là một tam giác

A B C

khác nhau, nhưng cả hai đều thoả cùng dữ kiện

A B, B, A C

như đề — chứng tỏ dữ kiện không xác định DUY NHẤT hình dạng tam giác

Vậy vì có thể tồn tại hai tam giác không đồng dạng cùng thoả mãn dữ kiện của Lan, nên nhận xét của Lan SAI trong trường hợp tổng quát.

Nhận xét. Ý 2: nếu THÊM giả thiết $C, C^{'}$ đều là góc NHỌN thì chỉ còn đúng MỘT trong hai nghiệm của $sin C = m$ được chấp nhận (nghiệm tù bị loại), dữ kiện trở thành xác định duy nhất một hình dạng tam giác, khi đó $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ là ĐÚNG.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1 (dựng hình phản ví dụ như gợi ý của đề) vì đúng cấp độ kiến thức lớp 8 (không cần định lí sin của lớp 10 như Cách 2), thuyết phục bằng hình vẽ trực quan.

Đáp số. 1. Nhận xét của bạn Lan là SAI (dữ kiện “hai cạnh tỉ lệ, góc không xen giữa bằng nhau” không đủ để kết luận đồng dạng). 2. Nếu thêm

C, C^{'}

đều là góc nhọn thì

△ A B C

và

△ A^{'} B^{'} C^{'}

đồng dạng.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là áp dụng “nhìn hai cạnh tỉ lệ + một góc bằng nhau là đủ” y hệt như c.g.c mà quên kiểm tra góc đó có xen giữa hai cạnh hay không — chỉ cần góc KHÔNG xen giữa là kết luận có thể sai, như phản ví dụ của bài.

🚀 Mở rộng. Trường hợp “hai cạnh và góc không xen giữa” (SSA) chính là “trường hợp mơ hồ” nổi tiếng trong lượng giác (ambiguous case) sẽ gặp lại khi học định lí sin ở lớp 10 — bài tranh luận này là một cách tiếp cận sớm bằng hình học thuần tuý.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ3★★Trang 88— Khảo sát số liệu dẫn tới trường hợp đồng dạng góc – góc (AA)

HĐ3 (trang 88). Bạn Tròn đang đứng ở vị trí điểm

A

bên bờ sông và nhờ anh Pi tính giúp khoảng cách từ chỗ mình đứng đến chân một cột cờ tại điểm

C

bên kia sông (H.9.20a). Anh Pi lấy một vị trí

B

sao cho

A B = 10

A B C = 70°

B A C = 80°

và vẽ một tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

trên giấy với

A^{'} B^{'} = 2

cm,

A^{'} B^{'} C^{'} = 70°

B^{'} A^{'} C^{'} = 80°

(H.9.20b). Em hãy dự đoán xem tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

có đồng dạng với tam giác

A B C

không? Nếu có thì tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .
Dự đoán: hai góc bằng nhau từng đôi một thì hai tam giác đồng dạng (sẽ chứng minh ở định lí ngay sau HĐ4).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cặp góc bằng nhau ở hai tam giác (

B = B^{'} = 70°

A = A^{'} = 80°

) và một cặp cạnh

A B, A^{'} B^{'}

— dấu hiệu dẫn tới trường hợp đồng dạng g.g sắp học: chỉ cần hai góc bằng nhau (không cần biết cạnh) đã đủ kết luận đồng dạng, tỉ số đồng dạng chính là tỉ số cặp cạnh tương ứng đã biết.

1Cách 1. So khớp hai cặp góc rồi suy ra góc còn lại cũng bằng nhau

Định hướng. Tính góc thứ ba của mỗi tam giác bằng tổng ba góc $= 180°$ , rồi so sánh cả ba cặp góc để khẳng định hai tam giác có ba góc tương ứng bằng nhau.

A C B = 180° - A - B = 180° - 80° - 70° = 30°

A^{'} C^{'} B^{'} = 180° - A^{'} - B^{'} = 180° - 80° - 70° = 30°

A = A^{'}, B = B^{'}, C = C^{'}

— ba cặp góc tương ứng đều bằng nhau

Vậy $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ ; tỉ số đồng dạng $= \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{2}{10 \cdot 100}$ — đổi cùng đơn vị cm: $A B = 1000$ cm nên tỉ số $= \frac{2}{1000} = \frac{1}{500}$ .

2Cách 2. Đổi đơn vị trước khi lập tỉ số (tránh nhầm cm với m)

Định hướng. Đổi $A B = 10$ m sang cùng đơn vị centimét với $A^{'} B^{'} = 2$ cm trước khi lập tỉ số, để tránh sai lầm phổ biến là quên đổi đơn vị.

A B = 10

= 1000

cm
Tỉ số đồng dạng (nếu có)

= \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{2 cm}{1000 cm} = \frac{1}{500}

Hai cặp góc bằng nhau như Cách 1 xác nhận có đồng dạng

Vậy $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ theo tỉ số $\frac{1}{500}$ — bản vẽ trên giấy nhỏ hơn thực địa đúng $500$ lần.

Nhận xét. Bước đổi đơn vị là mấu chốt để không nhầm tỉ số $\frac{2}{10}$ (thiếu đổi đơn vị) — đây là bẫy thường gặp nhất của bài toán đo đạc thực địa.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi luôn đổi đơn vị về cùng loại (Cách 2) trước khi lập tỉ số, tránh sai lầm quên đổi mét sang xăng-ti-mét.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

với tỉ số đồng dạng

\frac{1}{500}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm rất hay gặp là lập tỉ số

\frac{2}{10} = \frac{1}{5}

mà quên đổi đơn vị (

10

m và

2

cm không cùng đơn vị) — phải đổi cả hai về cm (hoặc m) trước khi chia.

🚀 Mở rộng. Đây là nguyên lí đo đạc thực địa cổ điển (phương pháp tam giác đồng dạng để đo khoảng cách không tới được): chỉ cần đo được MỘT cạnh và HAI góc ngoài thực địa, vẽ tam giác đồng dạng thu nhỏ trên giấy là suy ra được mọi cạnh còn lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · HĐ4★Trang 88— Ứng dụng tỉ số đồng dạng để suy ra khoảng cách thực tế

HĐ4 (trang 88). Nếu

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

và anh Pi đo được

A^{'} C^{'} = 3, 76

cm thì khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là bao nhiêu mét?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ theo tỉ số $k$ thì mọi cặp cạnh tương ứng đều có tỉ số bằng đúng $k$ (cạnh của $A^{'} B^{'} C^{'}$ chia cho cạnh tương ứng của $A B C$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Nối tiếp HĐ3, đã có tỉ số đồng dạng

\frac{1}{500}

và một cạnh mới đo được trên bản vẽ (

A^{'} C^{'} = 3, 76

cm) — chỉ cần dùng đúng tỉ số đó theo chiều ngược lại (từ bản vẽ suy ra thực địa) để tìm cạnh

A C

tương ứng ngoài thực tế.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tỉ số đồng dạng đã tìm ở HĐ3

Định hướng. Từ tỉ số đồng dạng $\frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{1}{500}$ (đã có ở HĐ3), thay số để tìm $A C$ .

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{1}{500} \Rightarrow A C = 500 \cdot A^{'} C^{'} = 500 \cdot 3, 76 = 1880 cm

1880 cm = 18, 8 m

Vậy khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là $A C = 18, 8$ m.

2Cách 2. Tính lại từ đầu bằng định lí sin trong tam giác

A B C

(không dùng tỉ số bản vẽ)

Định hướng. Không phụ thuộc bản vẽ thu nhỏ, tính trực tiếp $A C$ trong tam giác thật $A B C$ bằng định lí sin, dùng $A B = 10$ m và hai góc đã biết ở HĐ3.

Trong

△ A B C

B = 70°, C = 30°

(đã tính ở HĐ3)
Định lí sin:

\frac{A C}{sin B} = \frac{A B}{sin C} \Rightarrow A C = \frac{A B \cdot sin B}{sin C} = \frac{10 \cdot sin 70°}{sin 30°}

A C = \frac{10 \cdot 0 , 9397}{0 , 5} \approx 18, 79 m \approx 18, 8 m

Vậy $A C \approx 18, 8$ m — khớp với kết quả $18, 8$ m của Cách 1 (sai số nhỏ do làm tròn $sin 70°$ ).

Nhận xét. Cách 2 dùng định lí sin (kiến thức lớp 10) chỉ để đối chiếu độc lập; trong chương trình lớp 8, Cách 1 (dùng tỉ số đồng dạng) mới là cách làm chính thức, không cần bảng lượng giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân thẳng

A^{'} C^{'}

với nghịch đảo tỉ số đồng dạng — đúng chuẩn kiến thức Bài 34, không cần bảng lượng giác.

Đáp số. Khoảng cách từ bạn Tròn đến chân cột cờ là

A C = 18, 8

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là lấy

A^{'} C^{'} \div

(thay vì nhân) với

500

, hoặc nhân nhầm với

\frac{1}{500}

thay vì

500

— cần nhớ tỉ số

\frac{A ^{'} C ^{'}}{A C} = \frac{1}{500}

nghĩa là cạnh THẬT lớn hơn cạnh vẽ

500

lần, nên phải NHÂN

A^{'} C^{'}

với

500

để ra

A C

🚀 Mở rộng. Đây chính là nguyên lí của bản đồ tỉ lệ xích: nếu bản đồ có tỉ lệ

1 : 500

thì mọi khoảng cách đo trên bản đồ phải nhân với

500

để ra khoảng cách thật, hoàn toàn giống cách tính của HĐ4.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · ? (nhận biết đồng dạng g.g)★★Trang 89— Nhận biết ba tam giác đôi một đồng dạng bằng trường hợp góc – góc

Câu hỏi (trang 89, Hình 9.22). Những cặp tam giác nào trong Hình 9.22 là đồng dạng? Viết đúng kí hiệu đồng dạng. Cho biết

△ A B C

có

A = 60°, B = 50°

;

△ D E F

có

D = 60°, E = 50°

;

△ M N P

có

N = 70°, M = 60°

(đỉnh

P

còn lại).

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .
Trường hợp đồng dạng góc – góc: hai góc của tam giác này lần lượt bằng hai góc của tam giác kia.

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi tam giác đã cho hai góc — đủ để tính góc thứ ba và so sánh cả bộ ba góc của từng tam giác; dấu hiệu dùng ngay trường hợp g.g. Bẫy nằm ở việc ghép ĐÚNG thứ tự đỉnh khi viết kí hiệu đồng dạng (đỉnh có cùng số đo góc phải đứng cùng vị trí).

1Cách 1. Tính góc còn thiếu của mỗi tam giác rồi ghép đúng thứ tự

Định hướng. Tính góc thứ ba của $△ A B C$ , $△ D E F$ , $△ M N P$ rồi so sánh cả ba bộ góc.

C = 180° - 60° - 50° = 70°

;

F = 180° - 60° - 50° = 70°

;

P = 180° - 70° - 60° = 50°

△ A B C

(A, B, C) = (60°, 50°, 70°)

;

△ D E F

(60°, 50°, 70°)

— trùng khớp theo đúng thứ tự

A \leftrightarrow D, B \leftrightarrow E, C \leftrightarrow F

△ M N P

M = 60°, N = 70°, P = 50°

— so với

△ A B C

thì

A = M (60°), B = P (50°), C = N (70°)

Vậy $△ A B C ∽ △ D E F$ (đúng thứ tự) và $△ A B C ∽ △ M P N$ (chú ý đổi thứ tự $P, N$ để khớp góc); suy ra cả ba tam giác đôi một đồng dạng: $△ A B C ∽ △ D E F ∽ △ M P N$ .

2Cách 2. Lập bảng đối chiếu góc lớn nhất – nhỏ nhất để ghép đỉnh nhanh

Định hướng. Xếp góc của mỗi tam giác theo thứ tự tăng dần rồi ghép đỉnh có góc cùng \"thứ hạng\" (nhỏ nhất với nhỏ nhất, lớn nhất với lớn nhất) — cách làm nhanh không cần nhớ tên góc.

A B C

: nhỏ nhất

B = 50°

, giữa

A = 60°

, lớn nhất

C = 70°

D E F

: nhỏ nhất

E = 50°

, giữa

D = 60°

, lớn nhất

F = 70°

\Rightarrow B \leftrightarrow E, A \leftrightarrow D, C \leftrightarrow F

M N P

: nhỏ nhất

P = 50°

, giữa

M = 60°

, lớn nhất

N = 70°

\Rightarrow B \leftrightarrow P, A \leftrightarrow M, C \leftrightarrow N

Vậy khớp đúng kết luận ở Cách 1: $△ A B C ∽ △ D E F ∽ △ M P N$ .

Nhận xét. Xếp theo thứ hạng góc là mẹo nhanh để tránh nhầm thứ tự đỉnh khi viết kí hiệu đồng dạng, đặc biệt hữu ích khi đề không đặt tên đỉnh theo thứ tự góc tăng dần như $M N P$ ở bài này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (xếp góc theo thứ hạng bé – vừa – lớn) để ghép đỉnh nhanh và không nhầm thứ tự, đặc biệt khi tên đỉnh trong đề không theo thứ tự góc như tam giác

M N P

Đáp số. Cả ba tam giác đôi một đồng dạng:

△ A B C ∽ △ D E F ∽ △ M P N

(chú ý viết đúng thứ tự

M, P, N

, không phải

M, N, P

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

△ A B C ∽ △ M N P

theo đúng thứ tự chữ cái xuất hiện trong đề — SAI vì góc

B (50°)

phải tương ứng góc

P (50°)

chứ không phải góc

N (70°)

; kí hiệu đúng là

△ A B C ∽ △ M P N

🚀 Mở rộng. Với

n

tam giác cùng có ba góc thuộc đúng một bộ ba số đo, chúng luôn đôi một đồng dạng — số cặp đồng dạng có thể lên tới

(2 n)

, nhưng việc viết đúng kí hiệu (đúng thứ tự đỉnh) mới là phần dễ sai nhất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Ví dụ 3★★★Trang 89— Chứng minh đồng dạng khi thêm đường phân giác (biến thể của Ví dụ 2, dùng g.g)

Ví dụ 3 (trang 89). Cho

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

và

A M, A^{'} M^{'}

lần lượt là các đường phân giác của tam giác

A B C

và tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

Kiến thức cần nhớ

Tính chất tia phân giác: chia góc thành hai góc bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc – góc.

🧠 Phân tích tư duy

Khác Ví dụ 2 (dùng trung điểm, chứng minh bằng c.g.c), bài này cho đường PHÂN GIÁC — dấu hiệu chuyển sang dùng trường hợp g.g vì phân giác chia đôi góc chứ không cho tỉ số cạnh trực tiếp; cần so sánh góc

B^{'} A^{'} M^{'}

với

B A M

(đều bằng nửa góc

A^{'}

A

tương ứng) và góc chung

B^{'} = B

1Cách 1. So hai góc tại

B

và tại

A

(đúng như lời giải mẫu của SGK)

Định hướng. Từ $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ suy ra $B^{'} = B$ và $B^{'} A^{'} C^{'} = B A C$ ; vì $A M, A^{'} M^{'}$ là phân giác nên góc bị chia đôi bằng nhau.

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C \Rightarrow B^{'} = B

và

B^{'} A^{'} C^{'} = B A C

A M, A^{'} M^{'}

là phân giác của

B A C, B^{'} A^{'} C^{'} \Rightarrow B^{'} A^{'} M^{'} = \frac{B ^{'} A ^{'} C ^{'}}{2} = \frac{B A C}{2} = B A M

Tam giác

A B M

và

A^{'} B^{'} M^{'}

có

A^{'} B^{'} M^{'} = A B M

(cùng là

B^{'} = B

) và

B^{'} A^{'} M^{'} = B A M

(chứng minh trên)

Vậy $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ (g.g).

2Cách 2. Kiểm chứng bằng tỉ số cạnh

A^{'} M^{'} / A M

qua Nhận xét về đường trung tuyến (đối chiếu)

Định hướng. Dùng công thức độ dài phân giác để tính $A M, A^{'} M^{'}$ theo tỉ số đồng dạng $k$ , rồi kiểm tra $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{A ^{'} M ^{'}}{A M}$ — nếu đúng thì theo định nghĩa đồng dạng (c.g.c với góc $B^{'} = B$ đã có) cũng suy ra được kết luận.

Gọi

k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

là tỉ số đồng dạng của

△ A^{'} B^{'} C^{'}

và

△ A B C

; vì mọi cạnh, mọi đoạn đặc biệt (trung tuyến, phân giác, đường cao) của tam giác đồng dạng đều tỉ lệ theo cùng

k

nên

A^{'} M^{'} = k \cdot A M

\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = k = \frac{A ^{'} M ^{'}}{A M}

Kết hợp

B^{'} = B

(từ

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

) và tỉ số cạnh vừa nêu

Vậy $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ (c.g.c) — khớp với kết luận g.g ở Cách 1, cùng chứng minh được đồng dạng bằng hai trường hợp khác nhau.

Nhận xét. Cách 2 dùng luôn tính chất \"đoạn đặc biệt tỉ lệ theo $k$ \" nên gọn hơn nhưng phải CHẤP NHẬN tính chất đó trước (thường chứng minh sau, ở phần Nhận xét); Cách 1 tự thân chứng minh được mà không cần mượn kết quả nào khác, chặt chẽ hơn khi trình bày lần đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1 (dùng g.g qua so sánh trực tiếp hai góc) vì tự thân đầy đủ, không phải thừa nhận trước tính chất \"đoạn đặc biệt tỉ lệ theo

k

\" như Cách 2.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

(g.g).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là viết

B^{'} A^{'} M^{'} = B A M

mà không giải thích vì sao (bỏ qua bước \"phân giác chia đôi góc bằng nhau\") — phải nêu rõ

B^{'} A^{'} C^{'} = B A C

trước rồi mới chia đôi.

🚀 Mở rộng. Nhận xét ngay sau ví dụ (SGK trang 89) khái quát: nếu

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

theo tỉ số

k

thì tỉ số hai đường phân giác tương ứng

\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = k

— đúng như dữ kiện dùng ở Cách 2, và tương tự cho trung tuyến (Ví dụ 2), đường cao, bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Luyện tập 3★★★Trang 89— Chứng minh đồng dạng bằng góc chung + góc bằng nhau, suy ra hệ thức tích (g.g)

Luyện tập 3 (trang 89). Cho các điểm

A, B, C, D

như Hình 9.24. Biết rằng

A B C = A D B

. Hãy chứng minh

△ A B C ∽ △ A D B

và

A B^{2} = A D \cdot A C

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.
Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số các cặp cạnh tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

A, C, D

thẳng hàng (theo Hình 9.24,

C

nằm giữa

A

và

D

) nên hai tam giác

A B C

và

A D B

có CHUNG góc

A

; thêm giả thiết

A B C = A D B

là đủ hai góc bằng nhau — dấu hiệu rõ ràng của trường hợp g.g, và hệ thức

A B^{2} = A D \cdot A C

chỉ là cách viết khác của tỉ lệ thức cạnh tương ứng.

1Cách 1. Chỉ ra góc chung và góc bằng nhau, suy ra g.g rồi lập tỉ lệ thức

Định hướng. $△ A B C$ và $△ A D B$ có góc $A$ chung (vì $C$ nằm trên đoạn $A D$ ) và $A B C = A D B$ (giả thiết).

B A C = D A B

(chung, vì

C

thuộc đoạn

A D

)

A B C = A D B

(giả thiết)

\Rightarrow △ A B C ∽ △ A D B

(g.g, đỉnh

A \leftrightarrow A, B \leftrightarrow D, C \leftrightarrow B

)

\Rightarrow \frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

(cạnh tương ứng:

A B \leftrightarrow A D

A C \leftrightarrow A B

)

Vậy $A B^{2} = A D \cdot A C$ (nhân chéo tỉ lệ thức).

2Cách 2. Dùng tam giác đồng dạng "cạnh chung"

A B D

và

A C B

theo hướng khác

Định hướng. Thay vì ghép $△ A B C ∽ △ A D B$ ngay, xét theo hướng đối xứng $△ A B D$ và $△ A C B$ (đổi vai trò hai tam giác) để đi đến cùng kết quả, kiểm tra chéo lập luận.

△ A B D

và

△ A C B

có

D A B = C A B

(góc

A

chung) và

A D B = A B C

(giả thiết, viết lại)

\Rightarrow △ A B D ∽ △ A C B

(g.g) — đúng là

△ A B C ∽ △ A D B

viết theo chiều ngược lại (tính đối xứng của quan hệ đồng dạng)

\Rightarrow \frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}

(cạnh tương ứng

A B \leftrightarrow A C

A D \leftrightarrow A B

)

Vậy $A B^{2} = A C \cdot A D$ — cùng một hệ thức với Cách 1, chỉ viết tỉ lệ thức theo chiều khác.

Nhận xét. Hai cách chỉ khác thứ tự viết tỉ lệ thức ( $\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}$ so với $\frac{A B}{A C} = \frac{A D}{A B}$ ), về bản chất là MỘT phép chứng minh g.g duy nhất — nên không tính là hai cách khác bản chất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: ghép

△ A B C ∽ △ A D B

trực tiếp rồi lập tỉ lệ thức

\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

, mạch lạc và đúng thứ tự đỉnh nêu trong đề.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ A D B

(g.g) và

A B^{2} = A D \cdot A C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép sai thứ tự đỉnh khi viết tỉ lệ thức, ví dụ viết

\frac{A B}{A D} = \frac{A B}{A C}

(lặp lại

A B

ở cả hai vế) thay vì

\frac{A B}{A D} = \frac{A C}{A B}

— phải đối chiếu đúng cặp đỉnh tương ứng

B \leftrightarrow D

C \leftrightarrow B

trong kí hiệu

△ A B C ∽ △ A D B

🚀 Mở rộng. Hệ thức

A B^{2} = A D \cdot A C

chính là hệ thức \"tiếp tuyến – cát tuyến\" quen thuộc trong đường tròn (khi

A B

là tiếp tuyến,

A C D

là cát tuyến từ

A

) — bài này chứng minh lại đúng hệ thức đó bằng tam giác đồng dạng thuần tuý, không cần đường tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Thử thách nhỏ★★★★Trang 89— Chứng minh đồng dạng qua góc tạo bởi giao điểm ba đường phân giác (g.g nâng cao)

Thử thách nhỏ (trang 89). Biết rằng ba đường phân giác của tam giác

A B C

đồng quy tại

I

, ba đường phân giác của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

đồng quy tại

I^{'}

. Hãy chứng tỏ rằng nếu

A^{'} I^{'} B^{'} = A I B

và

A^{'} I^{'} C^{'} = A I C

thì

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác chia góc thành hai góc bằng nhau.
Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc tại giao điểm ba phân giác (

I

I^{'}

) bằng nhau — không phải góc của tam giác gốc, nên phải tìm mối liên hệ giữa

A I B

và các góc

A, B, C

của tam giác trước. Chìa khoá là tính

A I B

theo

C

bằng tổng ba góc trong tam giác

A I B

, từ đó suy ngược ra từng góc của tam giác bằng nhau.

1Cách 1. Tính

A I B

theo góc

C

(suy ra

C = C^{'}

B = B^{'}

, rồi

A = A^{'}

)

Định hướng. Trong $△ A B I$ : $A B I = \frac{B}{2}$ , $B A I = \frac{A}{2}$ (vì $A I, B I$ là phân giác), nên $A I B = 180° - \frac{A}{2} - \frac{B}{2} = 180° - \frac{180° - C}{2} = 90° + \frac{C}{2}$ .

A I B = 90° + \frac{C}{2}

và tương tự

A^{'} I^{'} B^{'} = 90° + \frac{C ^{'}}{2}

A^{'} I^{'} B^{'} = A I B

(gt)

\Rightarrow 90° + \frac{C ^{'}}{2} = 90° + \frac{C}{2} \Rightarrow C^{'} = C

Tương tự

A I C = 90° + \frac{B}{2}

A^{'} I^{'} C^{'} = 90° + \frac{B ^{'}}{2} \Rightarrow B^{'} = B

(từ

A^{'} I^{'} C^{'} = A I C

)

A^{'} = 180° - B^{'} - C^{'} = 180° - B - C = A

Vậy ba cặp góc tương ứng $A^{'} = A, B^{'} = B, C^{'} = C$ nên $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ (g.g, thực ra đủ cả AAA).

2Cách 2. Dùng góc ngoài của tam giác

B I C

(không quy đồng phân số góc)

Định hướng. Xét tam giác $B I C$ : $I B C = \frac{B}{2}$ , $I C B = \frac{C}{2}$ , suy ra $B I C = 180° - \frac{B + C}{2}$ ; đây là cách tính khác của cùng họ góc tại $I$ nhưng xuất phát từ tam giác $B I C$ thay vì $A B I$ .

B I C = 180° - \frac{B + C}{2} = 180° - \frac{180° - A}{2} = 90° + \frac{A}{2}

Từ hai góc đã cho

A^{'} I^{'} B^{'} = A I B

và

A^{'} I^{'} C^{'} = A I C

, suy ra góc còn lại tại

I

cũng bằng nhau:

B^{'} I^{'} C^{'} = 360° - A^{'} I^{'} B^{'} - A^{'} I^{'} C^{'} = 360° - A I B - A I C = B I C

Áp dụng công thức trên cho

B I C = B^{'} I^{'} C^{'}

90° + \frac{A}{2} = 90° + \frac{A ^{'}}{2} \Rightarrow A = A^{'}

; kết hợp hai đẳng thức góc đã cho suy ra nốt

B = B^{'}, C = C^{'}

như Cách 1

Vậy vẫn ra $A = A^{'}, B = B^{'}, C = C^{'}$ , nên $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ .

Nhận xét. Cách 2 tận dụng thêm hệ thức góc quanh điểm $I$ ( $A I B + B I C + C I A = 360°$ ) để suy luận theo chiều khác, không bắt buộc nhưng giúp kiểm tra chéo kết quả Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: dùng công thức quen thuộc

A I B = 90° + \frac{C}{2}

(rất hay gặp ở các bài toán về tâm đường tròn nội tiếp), suy luận ngắn gọn và trực tiếp nhất.

Đáp số.

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

(chứng minh xong bằng cách chỉ ra ba cặp góc tương ứng bằng nhau).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là tưởng

A I B = C

(nhầm với góc nội tiếp) — công thức đúng là

A I B = 90° + \frac{C}{2}

vì

I

là giao ba phân giác (tâm đường tròn nội tiếp), không phải điểm trên đường tròn ngoại tiếp.

🚀 Mở rộng. Công thức

B I C = 90° + \frac{A}{2}

(với

I

là tâm đường tròn nội tiếp

△ A B C

) là một kết quả kinh điển, thường dùng lại ở các bài toán hình học nâng cao lớp 9-10 liên quan tới đường tròn nội tiếp và bàng tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · 9.5★Trang 90— Nhận diện đúng ba trường hợp đồng dạng đã học (trắc nghiệm lí thuyết)

Bài 9.5 (trang 90). Khẳng định nào sau đây chứng tỏ rằng hai tam giác đồng dạng? a) Ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia. b) Hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và có một cặp góc bằng nhau. c) Hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia. d) Hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh của tam giác kia.

Kiến thức cần nhớ

Ba trường hợp đồng dạng: c.c.c (ba cạnh tỉ lệ), c.g.c (hai cạnh tỉ lệ và góc XEN GIỮA bằng nhau), g.g (hai góc bằng nhau).

🧠 Phân tích tư duy

Bài kiểm tra trực tiếp việc phân biệt BA trường hợp đồng dạng vừa học (c.c.c, c.g.c, g.g) với các phát biểu gần giống nhưng thiếu điều kiện — đặc biệt ý b) cố tình bỏ chữ “xen giữa” đã học ở Tranh luận trang 87-88, và ý d) chỉ cho hai cạnh bằng nhau (không phải tỉ lệ, không có góc) nên thiếu dữ kiện.

1Cách 1. Đối chiếu từng ý với đúng ba định lí đã học

Định hướng. So từng khẳng định với phát biểu chính xác của ba định lí Mục 1, 2, 3.

a) đúng nguyên văn định lí c.c.c (Mục 1)
b) thiếu điều kiện góc phải XEN GIỮA hai cạnh tỉ lệ — chỉ “có một cặp góc bằng nhau” là chưa đủ (phản ví dụ ở Tranh luận trang 87-88)

\Rightarrow

sai
c) đúng nguyên văn định lí g.g (Mục 3)
d) “hai cạnh bằng nhau” không phải “tỉ lệ”, cũng không có điều kiện góc

\Rightarrow

sai, không đủ dữ kiện

Vậy các khẳng định đúng là a) và c).

2Cách 2. Dựng phản ví dụ cụ thể cho từng ý sai (b, d) để kiểm chứng

Định hướng. Với ý nghi ngờ sai, thử tìm một cặp tam giác thoả mãn phát biểu nhưng KHÔNG đồng dạng, để chắc chắn khẳng định đó sai.

Ý d): tam giác

(3, 4, 5)

và tam giác có hai cạnh bằng

3, 4

nhưng cạnh thứ ba là

6

(không phải

5

) — hai cạnh bằng nhau (

3 = 3, 4 = 4

) nhưng rõ ràng hai tam giác này không đồng dạng (thậm chí không bằng nhau)

\Rightarrow

d) sai
Ý b): dùng đúng phản ví dụ ở Tranh luận (trang 87-88) với góc không xen giữa — đã chỉ ra tồn tại hai tam giác không đồng dạng cùng thoả “hai cạnh tỉ lệ + một góc bằng nhau”

\Rightarrow

b) sai

Vậy khẳng định lại đúng hai ý sai là b), d) — vậy chỉ a), c) đúng, khớp Cách 1.

Nhận xét. Dựng phản ví dụ là cách chắc chắn nhất để bác bỏ một mệnh đề — không cần thuộc lòng lí thuyết mà vẫn kết luận đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thuộc đúng ba định lí rồi đối chiếu trực tiếp — nhanh nhất, không mất thời gian dựng phản ví dụ.

Đáp số. Các khẳng định đúng là a) và c).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn cả b) vì nhớ mang máng “hai cạnh tỉ lệ và một góc bằng nhau” giống c.g.c mà quên mất điều kiện góc phải XEN GIỮA hai cạnh đó.

🚀 Mở rộng. Có thể phát biểu thêm một trường hợp “suy rộng” không chính thức: nếu biết đủ hai góc VÀ tỉ số một cặp cạnh tương ứng thì luôn xác định được tam giác duy nhất (kết hợp g.g với một điều kiện đo đạc) — đây chính là ý tưởng của HĐ3, HĐ4.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · 9.6★★Trang 90— Tìm ba cạnh tam giác đồng dạng khi biết chu vi (dùng tỉ số chu vi)

Bài 9.6 (trang 90). Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là

4

cm,

8

cm và

10

cm. Tam giác thứ hai có chu vi là

33

cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây? a)

6

cm,

12

cm,

15

cm. b)

8

cm,

16

cm,

20

cm. c)

6

cm,

9

cm,

18

cm. d)

8

cm,

10

cm,

15

cm.

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số chu vi bằng đúng tỉ số đồng dạng (tỉ số một cặp cạnh tương ứng bất kì).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chu vi tam giác thứ hai (

33

cm) nhưng bốn đáp án đều là số cụ thể — dấu hiệu để tính tỉ số chu vi trước (

\frac{33}{22}

) rồi nhân với từng cạnh

4, 8, 10

thay vì thử từng đáp án một cách mò mẫm.

1Cách 1. Tính tỉ số chu vi rồi nhân trực tiếp vào từng cạnh

Định hướng. Chu vi tam giác thứ nhất $= 4 + 8 + 10 = 22$ cm; tỉ số chu vi $= \frac{33}{22}$ , nhân tỉ số này với từng cạnh $4, 8, 10$ .

Chu vi tam giác

1 = 4 + 8 + 10 = 22

cm
Tỉ số đồng dạng

k = \frac{33}{22} = \frac{3}{2} = 1, 5

Ba cạnh tam giác

2

4 \cdot 1, 5 = 6

;

8 \cdot 1, 5 = 12

;

10 \cdot 1, 5 = 15

(cm)

Vậy ba cạnh tam giác thứ hai là $6$ cm, $12$ cm, $15$ cm — đáp án a).

2Cách 2. Loại trừ các đáp án sai bằng cách kiểm tra tổng (chu vi) và tỉ lệ

Định hướng. Kiểm nhanh tổng ba cạnh của mỗi đáp án có bằng $33$ không, sau đó kiểm tỉ lệ với $4, 8, 10$ cho đáp án còn lại.

6 + 12 + 15 = 33

✓; tỉ lệ

\frac{6}{4} = \frac{12}{8} = \frac{15}{10} = 1, 5

✓ — thoả cả hai điều kiện
b)

8 + 16 + 20 = 44 \neq = 33

— loại ngay
c)

6 + 9 + 18 = 33

✓ nhưng

\frac{6}{4} = 1, 5

\frac{9}{8} = 1, 125

— không cùng tỉ lệ, loại
d)

8 + 10 + 15 = 33

✓ nhưng

\frac{8}{4} = 2

\frac{10}{8} = 1, 25

— không cùng tỉ lệ, loại

Vậy chỉ có đáp án a) thoả cả hai điều kiện (đúng chu vi $33$ cm và đúng tỉ lệ với $4, 8, 10$ ).

Nhận xét. Cách loại trừ hữu ích khi làm trắc nghiệm nhanh, nhưng vẫn phải kiểm tỉ lệ đủ (không chỉ kiểm tổng) vì có tới ba đáp án b,c,d cùng \"nhìn giống\" đúng chu vi hoặc gần đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng tỉ số chu vi rồi nhân vào từng cạnh — ra kết quả trực tiếp, không cần thử bốn đáp án.

Đáp số. Đáp án a)

6

cm,

12

cm,

15

cm.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ kiểm tra tổng ba cạnh của đáp án có bằng

33

hay không (như đáp án c, d cũng có tổng

33

) mà quên kiểm tỉ lệ với ba cạnh gốc — chu vi đúng KHÔNG đủ để đảm bảo tam giác đồng dạng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi dữ kiện “chu vi

33

cm” thành “cạnh dài nhất là

15

cm”, vẫn dùng đúng ý tưởng tỉ số:

k = \frac{15}{10} = 1, 5

rồi nhân vào hai cạnh còn lại — tỉ số đồng dạng luôn tính được từ BẤT KÌ một cặp dữ kiện tương ứng nào (cạnh, hoặc chu vi, hoặc trung tuyến…).

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · 9.7★★★Trang 90— Chứng minh ba đường trung tuyến tương ứng cùng tỉ lệ với tỉ số đồng dạng

Bài 9.7 (trang 90). Cho

A M, B N, C P

là các đường trung tuyến của tam giác

A B C

. Cho

A^{'} M^{'}, B^{'} N^{'}, C^{'} P^{'}

là các đường trung tuyến của tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

. Biết rằng

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

. Chứng minh rằng

\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{B ^{'} N ^{'}}{B N} = \frac{C ^{'} P ^{'}}{C P}

Kiến thức cần nhớ

Kết quả Ví dụ 2 (trang 86-87): nếu $△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C$ và $M, M^{'}$ là trung điểm $B C, B^{'} C^{'}$ thì $△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M$ , suy ra $\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài mở rộng đúng Ví dụ 2 (đã chứng minh

△ A^{'} B^{'} M^{'} ∽ △ A B M

cho MỘT trung tuyến

A M

) sang cả BA trung tuyến — dấu hiệu là lặp lại y hệt lập luận của Ví dụ 2 cho từng đỉnh

B, C

bằng cách đổi vai trò đỉnh, tránh viết lại ba lần dài dòng.

1Cách 1. Áp dụng lại kết quả Ví dụ 2 cho cả ba đỉnh (đổi vai trò đỉnh)

Định hướng. Ví dụ 2 đã chứng minh $\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ khi $M, M^{'}$ là trung điểm $B C, B^{'} C^{'}$ ; áp dụng đúng lập luận đó (đổi tên đỉnh $A \to B \to C \to A$ ) cho $N$ (trung điểm $C A$ ) và $P$ (trung điểm $A B$ ).

Với đỉnh

A

\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = k

(kết quả Ví dụ 2,

k

là tỉ số đồng dạng)
Với đỉnh

B

(đổi vai trò:

N, N^{'}

là trung điểm

C A, C^{'} A^{'}

): lập luận y hệt Ví dụ 2 cho

△ B^{'} C^{'} N^{'} ∽ △ B C N

(đỉnh

B

đóng vai trò như đỉnh

A

ở trên)

\Rightarrow \frac{B ^{'} N ^{'}}{B N} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = k

Với đỉnh

C

: tương tự,

\frac{C ^{'} P ^{'}}{C P} = \frac{C ^{'} A ^{'}}{C A} = k

Vậy $\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{B ^{'} N ^{'}}{B N} = \frac{C ^{'} P ^{'}}{C P} = k$ (cùng bằng tỉ số đồng dạng của $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ và $△ A B C$ ).

2Cách 2. Dùng công thức độ dài trung tuyến theo ba cạnh (đại số hoá)

Định hướng. Dùng công thức đường trung tuyến $A M^{2} = \frac{2 A B ^{2} + 2 A C ^{2} - B C ^{2}}{4}$ để tính trực tiếp tỉ số $\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M}$ qua tỉ số các cạnh (đều bằng $k$ ).

△ A^{'} B^{'} C^{'} ∽ △ A B C

theo tỉ số

k

\Rightarrow A^{'} B^{'} = k \cdot A B, B^{'} C^{'} = k \cdot B C, C^{'} A^{'} = k \cdot C A

A^{'} M^{'2} = \frac{2 A ^{'} B ^{'2} + 2 A ^{'} C ^{'2} - B ^{'} C ^{'2}}{4} = \frac{2 k ^{2} A B ^{2} + 2 k ^{2} A C ^{2} - k ^{2} B C ^{2}}{4} = k^{2} \cdot \frac{2 A B ^{2} + 2 A C ^{2} - B C ^{2}}{4} = k^{2} \cdot A M^{2}

\Rightarrow A^{'} M^{'} = k \cdot A M \Rightarrow \frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = k

; hoàn toàn tương tự cho

\frac{B ^{'} N ^{'}}{B N} = k

và

\frac{C ^{'} P ^{'}}{C P} = k

Vậy cả ba tỉ số đều bằng $k$ , khớp đúng kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng công thức đại số (chương trình lớp 10), không cần thiết ở lớp 8; Cách 1 (mượn lại kết quả hình học của Ví dụ 2) mới đúng công cụ đang học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng lại nguyên xi kết quả Ví dụ 2 cho cả ba đỉnh, đúng công cụ lớp 8 và không cần thuộc công thức trung tuyến.

Đáp số.

\frac{A ^{'} M ^{'}}{A M} = \frac{B ^{'} N ^{'}}{B N} = \frac{C ^{'} P ^{'}}{C P} = k

(tỉ số đồng dạng của

△ A^{'} B^{'} C^{'}

và

△ A B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chỉ chứng minh cho MỘT trung tuyến (ví dụ

A M

) rồi mặc định hai trung tuyến còn lại “tương tự” mà không nêu rõ bước đổi vai trò đỉnh — bài yêu cầu chứng minh đủ CẢ BA, cần trình bày rõ phép tương tự đó dựa trên điều gì.

🚀 Mở rộng. Kết quả này đúng cho MỌI đoạn đặc biệt tương ứng (trung tuyến, phân giác, đường cao, bán kính đường tròn nội/ngoại tiếp) — tất cả đều tỉ lệ đúng bằng tỉ số đồng dạng

k

, không riêng gì trung tuyến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · 9.8★★Trang 90— Chứng minh đồng dạng bằng góc chung và hai cạnh tỉ lệ (c.g.c, chú ý thứ tự cạnh chéo)

Bài 9.8 (trang 90). Cho tam giác

A B C

có

A B = 12

cm,

A C = 15

cm. Trên các tia

A B, A C

lần lượt lấy các điểm

M, N

sao cho

A M = 10

cm,

A N = 8

cm. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ A N M

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn độ dài

A B = 12, A C = 15, A M = 10, A N = 8

đều xen quanh góc chung

A

— dấu hiệu dùng c.g.c, nhưng phải ghép ĐÚNG cặp cạnh tỉ lệ: vì đề yêu cầu chứng minh

△ A B C ∽ △ A N M

(chứ không phải

△ A M N

), cạnh

A B

phải so với

A N

và

A C

so với

A M

— thứ tự “chéo” chứ không “thẳng”.

1Cách 1. Lập đúng tỉ số chéo

A B / A N

và

A C / A M

rồi dùng c.g.c

Định hướng. Vì cần chứng minh $△ A B C ∽ △ A N M$ (đỉnh $B \leftrightarrow N$ , $C \leftrightarrow M$ ), phải lập tỉ số $\frac{A B}{A N}$ và $\frac{A C}{A M}$ (không phải $\frac{A B}{A M}$ ).

\frac{A B}{A N} = \frac{12}{8} = 1, 5

\frac{A C}{A M} = \frac{15}{10} = 1, 5

\frac{A B}{A N} = \frac{A C}{A M}

và góc

A

chung (xen giữa hai cặp cạnh này, vì

M

trên tia

A B

N

trên tia

A C

)

Vậy $△ A B C ∽ △ A N M$ (c.g.c), tỉ số đồng dạng $1, 5$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng tỉ số ngược

A M / A B

A N / A C

trước để định hướng ghép cặp

Định hướng. Trước khi ghép cặp \"chéo\", thử ghép \"thẳng\" $\frac{A M}{A B}$ và $\frac{A N}{A C}$ để thấy KHÔNG bằng nhau, từ đó suy ra phải ghép chéo mới đúng — cách tiếp cận này giúp hiểu rõ vì sao thứ tự đỉnh trong đề ( $A N M$ chứ không $A M N$ ) là bắt buộc.

Thử thẳng:

\frac{A M}{A B} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0, 833

;

\frac{A N}{A C} = \frac{8}{15} \approx 0, 533

— KHÔNG bằng nhau, ghép thẳng sai
Thử chéo:

\frac{A M}{A C} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}

;

\frac{A N}{A B} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}

— bằng nhau!
Vậy tỉ số đúng là

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

, tương đương

\frac{A C}{A M} = \frac{A B}{A N}

như Cách 1, cùng góc

A

chung

Vậy vẫn suy ra $△ A B C ∽ △ A N M$ (c.g.c) — khớp Cách 1, chỉ khác thứ tự viết tỉ lệ thức.

Nhận xét. Cách 2 giúp TỰ PHÁT HIỆN cần ghép chéo bằng cách thử cả hai hướng, hữu ích khi đề không cho sẵn thứ tự đỉnh cần chứng minh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay cần ghép chéo (vì đề đã cho sẵn thứ tự

△ A B C ∽ △ A N M

) rồi lập tỉ số luôn, không cần dò cả hai hướng như Cách 2.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ A N M

(c.g.c), tỉ số đồng dạng

1, 5

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép “thẳng” theo đúng thứ tự chữ xuất hiện (

\frac{A B}{A M} = \frac{A C}{A N}

) — với số liệu bài này,

\frac{A B}{A M} = 1, 2

còn

\frac{A C}{A N} = 1, 875

, KHÔNG bằng nhau, nên ghép thẳng cho kết luận sai (không đồng dạng), trong khi thực ra phải ghép chéo mới đúng.

🚀 Mở rộng. Khi

M

trên tia

A B

và

N

trên tia

A C

mà

△ A B C ∽ △ A N M

(ghép chéo) thì

A M \cdot A B = A N \cdot A C

— đây là hệ thức tích quen thuộc, cùng dạng với Luyện tập 3 và Bài 9.28 (SBT), thường gặp trong các bài về cát tuyến.

Mở bài này trong app ↗

Bài 22 · 9.9★★★Trang 90— Đồng dạng g.g (góc chung) rồi suy ra đồng dạng ở giao điểm hai cát tuyến

Bài 9.9 (trang 90). Cho góc

B A C

và các điểm

M, N

lần lượt trên các đoạn thẳng

A B, A C

sao cho

A B N = A C M

. a) Chứng minh rằng

△ A B N ∽ △ A C M

. b) Gọi

I

là giao điểm của

B N

và

C M

. Chứng minh rằng

I B \cdot I N = I C \cdot I M

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng góc – góc.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo hai góc đối đỉnh bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) có góc

A

chung và một cặp góc bằng nhau

A B N = A C M

— dấu hiệu g.g rõ ràng. Ý b) đưa vào điểm

I

mới (giao của

B N, C M

) và yêu cầu một hệ thức tích — dấu hiệu cần một cặp tam giác đồng dạng KHÁC chứa

I

(không phải

△ A B N, △ A C M

ở ý a), gợi ý xét

△ I B M

và

△ I C N

với góc đối đỉnh tại

I

1Cách 1. a) Góc chung + góc bằng nhau; b) xét

△ I B M, △ I C N

với góc đối đỉnh

Định hướng. a) $△ A B N$ và $△ A C M$ có góc $A$ chung và $A B N = A C M$ (giả thiết) nên đồng dạng (g.g). b) Từ đó suy ra $A N B = A M C$ , kết hợp góc đối đỉnh tại $I$ để lập cặp tam giác đồng dạng mới chứa $I$ .

B A N = C A M

(chung) và

A B N = A C M

(gt)

\Rightarrow △ A B N ∽ △ A C M

(g.g)
b) Từ câu a):

A N B = A M C

, tức

I N B = I M C

(góc kề bù phần còn lại là như nhau vì

A N B

và

I N B

là cùng một góc nhìn từ phía trong)

△ I B M

và

△ I C N

có

B I M = C I N

(đối đỉnh) và

I B M = I C N

(chính là

A B N = A C M

đã cho)

\Rightarrow △ I B M ∽ △ I C N

(g.g)

\Rightarrow \frac{I B}{I C} = \frac{I M}{I N}

Vậy $I B \cdot I N = I C \cdot I M$ (nhân chéo tỉ lệ thức).

2Cách 2. b) Dùng tỉ số diện tích hai tam giác chung đáy để suy ra hệ thức tích

Định hướng. Thay vì lập cặp tam giác đồng dạng mới, dùng tỉ số diện tích của hai tam giác có chung góc tại $I$ (công thức $\frac{1}{2} \cdot I B \cdot I M \cdot sin B I M$ ) so với $\frac{1}{2} \cdot I C \cdot I N \cdot sin C I N$ , và $B I M = C I N$ (đối đỉnh).

S_{△ I B M} = \frac{1}{2} I B \cdot I M \cdot sin B I M

;

S_{△ I C N} = \frac{1}{2} I C \cdot I N \cdot sin C I N

, mà

sin B I M = sin C I N

(đối đỉnh)
Mặt khác

△ I B M ∽ △ I C N

(đã có ở Cách 1) nên

\frac{S _{△ I B M}}{S _{△ I C N}} = (\frac{I B}{I C})^{2}

Kết hợp hai biểu thức diện tích:

\frac{I B \cdot I M}{I C \cdot I N} = (\frac{I B}{I C})^{2} \Rightarrow \frac{I M}{I N} = \frac{I B}{I C} \Rightarrow I B \cdot I N = I C \cdot I M

Vậy cùng ra hệ thức $I B \cdot I N = I C \cdot I M$ như Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 phải MƯỢN lại kết quả $△ I B M ∽ △ I C N$ của Cách 1 rồi vòng qua diện tích, dài hơn không cần thiết — chỉ nên dùng để kiểm tra chéo, không phải cách trình bày chính.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: lập thẳng

△ I B M ∽ △ I C N

(g.g, nhờ góc đối đỉnh và góc bằng nhau kế thừa từ câu a) rồi suy ra tỉ lệ thức — ngắn gọn nhất.

Đáp số. a)

△ A B N ∽ △ A C M

(g.g). b)

I B \cdot I N = I C \cdot I M

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu b) là cố dùng lại trực tiếp

△ A B N ∽ △ A C M

của câu a) để suy ra hệ thức có chứa

I

— nhưng

I

không phải đỉnh của hai tam giác đó, phải lập một cặp tam giác MỚI (

△ I B M, △ I C N

) mới đưa được

I

vào tỉ lệ thức.

🚀 Mở rộng. Hệ thức

I B \cdot I N = I C \cdot I M

cho biết bốn điểm

B, N, C, M

cùng nhìn từ

I

theo một tỉ lệ đặc biệt — đây chính là điều kiện để bốn điểm

B, M, N, C

cùng thuộc một đường tròn (sẽ học ở lớp 9, liên quan tới phương tích của điểm

I

Mở bài này trong app ↗

Bài 23 · 9.10★★★Trang 90— Ứng dụng tam giác đồng dạng: giao điểm hai đường chéo giữa hai cột

Bài 9.10 (trang 90). Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là

3

m và

2

m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25), hãy tính độ cao

h

của điểm đó so với mặt đất.

Kiến thức cần nhớ

Ba đường thẳng đứng (hai cột và đường gióng qua giao điểm) song song với nhau.
Trường hợp đồng dạng g.g khi có hai đường thẳng song song cắt hai cạnh của một góc.

🧠 Phân tích tư duy

Đề không cho khoảng cách giữa hai chân cột — dấu hiệu cho thấy độ cao giao điểm

h

không phụ thuộc khoảng cách đó, chỉ phụ thuộc hai chiều cao

3

m và

2

m. Hướng làm tự nhiên là dựng đường thẳng đứng qua giao điểm, tạo ra hai cặp tam giác đồng dạng (nhờ các đường thẳng đứng song song) rồi cộng hai tỉ số lại.

1Cách 1. Dựng hai cặp tam giác đồng dạng từ đường gióng thẳng đứng qua giao điểm

Định hướng. Gọi hai cột là $A B = 3$ (m, $A$ là đỉnh), $C D = 2$ (m, $C$ là đỉnh), $B, D$ là chân cột, $B D = d$ . Hai dây chéo $A D, B C$ cắt nhau tại $P$ ; gọi $H$ là chân đường vuông góc từ $P$ xuống $B D$ , $P H = h$ . Vì $P H ∥ A B$ (cùng vuông góc $B D$ ) và $P \in A D$ nên $△ D P H ∽ △ D A B$ ; tương tự $△ B P H ∽ △ B C D$ .

△ D P H ∽ △ D A B

(vì

P H ∥ A B

)

\Rightarrow \frac{P H}{A B} = \frac{D H}{D B} \Rightarrow \frac{h}{3} = \frac{D H}{d}

△ B P H ∽ △ B C D

(vì

P H ∥ C D

)

\Rightarrow \frac{P H}{C D} = \frac{B H}{B D} \Rightarrow \frac{h}{2} = \frac{B H}{d}

Cộng hai đẳng thức:

\frac{h}{3} + \frac{h}{2} = \frac{D H + B H}{d} = \frac{d}{d} = 1

(vì

D H + B H = B D = d

)

h (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow h \cdot \frac{5}{6} = 1 \Rightarrow h = \frac{6}{5}

Vậy $h = \frac{6}{5} = 1, 2$ m — không phụ thuộc khoảng cách $d$ giữa hai chân cột.

2Cách 2. Dùng cặp tam giác đồng dạng "hình chữ X" để tìm tỉ số

\frac{B P}{B C}

Định hướng. Hai cột $A B$ , $C D$ cùng vuông góc với mặt đất nên $A B ∥ C D$ ; hai dây $A D$ , $B C$ cắt nhau tại $P$ tạo "hình chữ X" gồm $△ P A B$ và $△ P D C$ . Từ đó tính được $P$ chia đoạn $B C$ theo tỉ số nào, rồi dùng $△ B P H ∽ △ B C D$ để tính $h$ .

A B ∥ C D

\Rightarrow P A B = P D C

P B A = P C D

(so le trong)

\Rightarrow △ P A B ∽ △ P D C

(g.g)

\Rightarrow \frac{P B}{P C} = \frac{A B}{D C} = \frac{3}{2}

\Rightarrow \frac{B P}{B C} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}

P H ∥ C D

\Rightarrow △ B P H ∽ △ B C D

\Rightarrow \frac{P H}{C D} = \frac{B P}{B C} = \frac{3}{5}

\Rightarrow h = P H = \frac{3}{5} \cdot 2 = \frac{6}{5}

Vậy $h = \frac{6}{5} = 1, 2$ m — khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng một cặp tam giác đồng dạng "hình chữ X" và một cặp có cạnh song song; Cách 1 cộng hai tỉ số nên thấy ngay $h$ không phụ thuộc $d$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi trình bày theo Cách 1: dựng đường gióng

P H ∥ A B ∥ C D

để có hai cặp tam giác đồng dạng, cộng hai tỉ số triệt tiêu

d

— đúng công cụ Bài 34, không cần toạ độ.

Đáp số.

h = \frac{6}{5} = 1, 2

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là tưởng cần biết khoảng cách

d

giữa hai chân cột mới tính được

h

— thực chất

h = \frac{6}{5}

m với MỌI giá trị

d

, vì

d

tự triệt tiêu khi cộng hai tỉ số

\frac{D H}{d} + \frac{B H}{d} = 1

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu hai cột cao

a

và

b

thì giao điểm hai dây chéo luôn cao

h = \frac{ab}{a + b}

(trung bình điều hoà của

a, b

, chia đôi) — công thức này không phụ thuộc khoảng cách giữa hai cột, áp dụng được cho mọi bài toán \"hai cột dây chéo\" tương tự.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 33. Hai tam giác đồng dạng Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 8

📚 Cùng chương: Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 33. Hai tam giác đồng dạng
▶ Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác