Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang53–54 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 9.8★★Trang 53— Tính số đo cung nhỏ từ các góc của tam giác nội tiếp

Bài 9.8 (trang 53). Cho tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Biết rằng

A C B = 50°

A B C = 70°

, tính số đo các cung nhỏ

B C ⌢

C A ⌢

A B ⌢

của đường tròn

(O)

Kiến thức cần nhớ

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc của tam giác và hỏi số đo ba cung nhỏ — dấu hiệu để dùng định lí góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn theo chiều ngược: mỗi cung nhỏ có số đo gấp đôi góc nội tiếp chắn nó, mà góc đó chính là góc ở đỉnh đối diện cung. Bẫy của bài là ghép nhầm góc với cung: cung

B C ⌢

bị chắn bởi góc tại đỉnh

A

(đỉnh đối diện), không phải góc tại

B

hay

C

1Cách 1. Tính góc A rồi nhân đôi cả ba góc

Định hướng. Tính góc $A$ còn thiếu bằng tổng ba góc tam giác, sau đó nhân đôi từng góc để ra số đo cung đối diện.

B A C = 180° - A C B - A B C = 180° - 50° - 70° = 60°

.
Vì

B A C

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

B C ⌢

nên sđ

B C ⌢ = 2 B A C = 2 \cdot 60° = 120°

.
Vì

A B C

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

C A ⌢

nên sđ

C A ⌢ = 2 A B C = 2 \cdot 70° = 140°

.
Vì

A C B

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

A B ⌢

nên sđ

A B ⌢ = 2 A C B = 2 \cdot 50° = 100°

Vậy sđ $B C ⌢ = 120°$ , sđ $C A ⌢ = 140°$ , sđ $A B ⌢ = 100°$ .

2Cách 2. Tính hai cung trực tiếp, cung còn lại suy từ tổng 360°

Định hướng. Chỉ cần nhân đôi hai góc đã cho, cung thứ ba suy ra từ tổng ba cung của cả đường tròn bằng $360°$ mà không cần tính góc $A$ .

sđ

C A ⌢ = 2 A B C = 2 \cdot 70° = 140°

(góc nội tiếp chắn cung

C A ⌢

).
sđ

A B ⌢ = 2 A C B = 2 \cdot 50° = 100°

(góc nội tiếp chắn cung

A B ⌢

).
Vì ba cung nhỏ

B C ⌢

C A ⌢

A B ⌢

hợp thành cả đường tròn nên tổng của chúng bằng

360°

.
sđ

B C ⌢ = 360° - 140° - 100° = 120°

Vậy sđ $B C ⌢ = 120°$ , sđ $C A ⌢ = 140°$ , sđ $A B ⌢ = 100°$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh được một bước tính góc $A$ , nhưng vẫn cần biết định lí góc nội tiếp; hai cách chỉ khác nhau ở việc có tính góc $A$ trung gian hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính đủ ba góc trước rồi nhân đôi đồng loạt, tránh nhầm lẫn khi phải nhớ tổng 360° của Cách 2.

Đáp số. sđ

B C ⌢ = 120°

; sđ

C A ⌢ = 140°

; sđ

A B ⌢ = 100°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là ghép nhầm cung với góc cùng tên đỉnh (ví dụ tính sđ

B C ⌢ = 2 A C B

thay vì

2 B A C

) — phải nhớ cung nhỏ luôn bị chắn bởi góc ở đỉnh ĐỐI DIỆN với cung đó, không phải đỉnh có tên trùng một chữ cái.

🚀 Mở rộng. Nếu biết trước cả ba góc của một tam giác bất kì nội tiếp đường tròn, ta luôn tính được ngay số đo cả ba cung nhỏ bằng cách nhân đôi góc đối diện — đây là cách nhanh nhất để "đọc" toàn bộ cấu trúc cung của đường tròn từ tam giác nội tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 9.9★★Trang 53— Tính góc tam giác cân nội tiếp từ góc ở tâm

Bài 9.9 (trang 53). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

và nội tiếp đường tròn

(O)

. Tính số đo các góc của tam giác

A B C

, biết rằng

B O C = 100°

Kiến thức cần nhớ

Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho góc ở tâm

B O C

và tam giác cân tại

A

— dấu hiệu để dùng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung

B C

để tính ngay góc

A

, rồi dùng tính chất tam giác cân để chia đều phần còn lại cho hai góc đáy. Bẫy của bài là quên tính chất cân, chỉ dừng ở việc tính góc

A = 50°

mà không suy tiếp được

B

C

nếu thiếu dữ kiện cân.

1Cách 1. Dùng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm rồi tính chất cân

Định hướng. Tính góc $A$ trước bằng hệ quả góc ở tâm, sau đó dùng tam giác cân để chia đôi phần còn lại cho $B$ , $C$ .

Vì

B A C

là góc nội tiếp và

B O C

là góc ở tâm của

(O)

cùng chắn cung nhỏ

B C

nên

B A C = \frac{1}{2} B O C = \frac{100°}{2} = 50°

.
Vì

Δ A B C

cân tại

A

nên

A B C = A C B = \frac{180° - B A C}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°

Vậy $B A C = 50°$ , $A B C = A C B = 65°$ .

2Cách 2. Dùng dây bằng nhau chắn cung bằng nhau và tổng ba cung

Định hướng. Vì $A B = A C$ (cân tại $A$ ), hai dây bằng nhau chắn hai cung bằng nhau; kết hợp tổng ba cung của đường tròn bằng $360°$ để tính cung $A B$ , từ đó suy góc $B$ , $C$ , rồi mới ra góc $A$ .

sđ

B C ⌢ = B O C = 100°

(góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Vì

A B = A C

nên hai dây

A B

A C

bằng nhau, suy ra hai cung nhỏ tương ứng bằng nhau: sđ

A B ⌢ =

sđ

A C ⌢

.
Vì tổng ba cung bằng

360°

: sđ

A B ⌢ +

sđ

A C ⌢ = 360° - 100° = 260°

, suy ra sđ

A B ⌢ =

sđ

A C ⌢ = 130°

A C B

là góc nội tiếp chắn cung

A B ⌢

A C B = \frac{130°}{2} = 65°

; tương tự

A B C = 65°

B A C = 180° - 65° - 65° = 50°

Vậy $B A C = 50°$ , $A B C = A C B = 65°$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 xuất phát từ tính chất cung thay vì tính góc $A$ trước — hữu ích khi đề cho dữ kiện về cạnh bằng nhau rõ hơn là về góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng góc

A

bằng hệ quả góc ở tâm rồi chia đôi phần còn lại, ít bước tính nhất.

Đáp số.

B A C = 50°

;

A B C = A C B = 65°

Sai lầm thường gặp. Một số bạn quên tam giác cân tại

A

nghĩa là

A B = A C

(hai cạnh kề đỉnh

A

bằng nhau), nhầm sang cân tại

B

hoặc

C

, dẫn tới chia sai cặp góc bằng nhau (chia đôi nhầm góc

A

và

C

thay vì

B

và

C

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác cân tại

B

(thay vì tại

A

) với cùng dữ kiện

B O C = 100°

, góc

A = 50°

vẫn giữ nguyên (vì vẫn chắn cùng cung

B C

), nhưng cặp góc bằng nhau sẽ đổi thành

B A C = B C A

chứ không còn là

A B C = A C B

— luôn phải xác định đúng đỉnh cân trước khi chia đôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 9.10★★Trang 53— Tính bán kính và chu vi đường tròn ngoại tiếp từ bộ ba cạnh vuông

Bài 9.10 (trang 53). Tính bán kính và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

có ba cạnh

A B = 6

cm,

A C = 8

cm và

B C = 10

cm.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore đảo: nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh lớn nhất.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2 π R$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 9.11★★Trang 53— Tính chu vi và diện tích tam giác đều từ bán kính ngoại tiếp

Bài 9.11 (trang 53). Tính chu vi và diện tích của tam giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn bán kính $R = \frac{3}{3} a$ , suy ra $a = R 3$ .
Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là $3 a$ ; diện tích là $S = \frac{3}{4} a^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 9.12★★Trang 53— Tính chu vi và diện tích tam giác đều từ bán kính nội tiếp

Bài 9.12 (trang 53). Tính chu vi và diện tích của tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn bán kính

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ ngoại tiếp đường tròn bán kính $r = \frac{3}{6} a$ , suy ra $a = 23 r$ .
Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là $3 a$ ; diện tích là $S = \frac{3}{4} a^{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 9.13★★★Trang 53— Tính bán kính nội tiếp tam giác vuông từ hai cạnh góc vuông

Bài 9.13 (trang 53). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 4

cm,

A C = 6

cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bất kì: $r = \frac{S}{p}$ với $S$ là diện tích, $p$ là nửa chu vi.
Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$ , $b$ và cạnh huyền $c$ : bán kính nội tiếp $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 9.14★★Trang 53— Tính góc tam giác vuông nội tiếp khi biết bán kính và một cạnh góc vuông

Bài 9.14 (trang 53). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

nội tiếp đường tròn

(O)

có bán kính

2

cm. Biết rằng

A C = 2

cm, tính số đo các góc của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Định lí sin: trong tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn bán kính $R$ , $\frac{a}{sin A} = 2 R$ với $a$ là cạnh đối diện góc $A$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 9.15★★★Trang 53— Chứng minh hai đẳng thức góc liên quan tâm ngoại tiếp và trực tâm

Bài 9.15 (trang 53). Cho tam giác

A B C

có trực tâm

H

và nội tiếp đường tròn

(O)

. Chứng minh rằng:
a)

O B C = 90° - B A C

;
b)

B A H = O A C

Kiến thức cần nhớ

Trong đường tròn, góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9.16★★★Trang 53— Chứng minh công thức tổng quát góc tại tâm đường tròn nội tiếp

Bài 9.16 (trang 53). Cho tam giác

A B C

ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Chứng minh rằng:

B I C = 90° + \frac{B A C}{2}

;

C I A = 90° + \frac{C B A}{2}

;

A I B = 90° + \frac{A C B}{2}

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 9.17★★★★Trang 53— Chứng minh hai tam giác đồng dạng nhờ góc nội tiếp và điều kiện góc cho trước

Bài 9.17 (trang 53). Cho tam giác nhọn

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Cho điểm

M

trên cạnh

B C

của tam giác

A B C

và điểm

D

trên cung nhỏ

B C

của

(O)

sao cho

B A D = M A C

. Chứng minh rằng

Δ A M B ∽ Δ A C D

Kiến thức cần nhớ

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc-góc (g-g) của hai tam giác.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 9.18★★★Trang 54— Lập phương trình góc từ dữ kiện đường kính và góc nội tiếp

Bài 9.18 (trang 54). Cho tam giác

A B C

vuông tại

B

nội tiếp đường tròn

(O)

và đường kính

B D

. Tính số đo của góc

B A C

, biết rằng

B A C = 2 C B D

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) có số đo bằng $90°$ .
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 9.19★★★★Trang 54— Chứng minh điểm chính giữa cung là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi hai đỉnh và tâm nội tiếp

Bài 9.19 (trang 54). Cho tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

và ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Tia

A I

cắt

(O)

tại

X

(khác

A

). Chứng minh rằng

X

là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

B I C

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác của một góc nội tiếp đi qua điểm chính giữa cung bị chắn, và điểm đó cách đều hai đầu mút của cung.
Định lí góc ngoài của tam giác: góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 9.20★★★Trang 54— Chứng minh tỉ số bán kính ngoại tiếp và nội tiếp bằng tỉ số đồng dạng

Bài 9.20 (trang 54). Cho

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

với tỉ số đồng dạng

k > 0

. Gọi

(O; R)

và

(O^{'}; R^{'})

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

(I; r)

và

(I^{'}; r^{'})

lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng

\frac{R}{R ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} = k

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với tỉ số đồng dạng.
Định lí sin: $a = 2 R sin A$ .
Diện tích hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng; chu vi tỉ lệ thuận với tỉ số đồng dạng.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗