Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 13 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang53–54 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 9.8★★Trang 53— Tính số đo cung nhỏ từ các góc của tam giác nội tiếp

Bài 9.8 (trang 53). Cho tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Biết rằng

A C B = 50°

A B C = 70°

, tính số đo các cung nhỏ

B C ⌢

C A ⌢

A B ⌢

của đường tròn

(O)

Kiến thức cần nhớ

Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc của tam giác và hỏi số đo ba cung nhỏ — dấu hiệu để dùng định lí góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn theo chiều ngược: mỗi cung nhỏ có số đo gấp đôi góc nội tiếp chắn nó, mà góc đó chính là góc ở đỉnh đối diện cung. Bẫy của bài là ghép nhầm góc với cung: cung

B C ⌢

bị chắn bởi góc tại đỉnh

A

(đỉnh đối diện), không phải góc tại

B

hay

C

1Cách 1. Tính góc A rồi nhân đôi cả ba góc

Định hướng. Tính góc $A$ còn thiếu bằng tổng ba góc tam giác, sau đó nhân đôi từng góc để ra số đo cung đối diện.

B A C = 180° - A C B - A B C = 180° - 50° - 70° = 60°

.
Vì

B A C

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

B C ⌢

nên sđ

B C ⌢ = 2 B A C = 2 \cdot 60° = 120°

.
Vì

A B C

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

C A ⌢

nên sđ

C A ⌢ = 2 A B C = 2 \cdot 70° = 140°

.
Vì

A C B

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

A B ⌢

nên sđ

A B ⌢ = 2 A C B = 2 \cdot 50° = 100°

Vậy sđ $B C ⌢ = 120°$ , sđ $C A ⌢ = 140°$ , sđ $A B ⌢ = 100°$ .

2Cách 2. Tính hai cung trực tiếp, cung còn lại suy từ tổng 360°

Định hướng. Chỉ cần nhân đôi hai góc đã cho, cung thứ ba suy ra từ tổng ba cung của cả đường tròn bằng $360°$ mà không cần tính góc $A$ .

sđ

C A ⌢ = 2 A B C = 2 \cdot 70° = 140°

(góc nội tiếp chắn cung

C A ⌢

).
sđ

A B ⌢ = 2 A C B = 2 \cdot 50° = 100°

(góc nội tiếp chắn cung

A B ⌢

).
Vì ba cung nhỏ

B C ⌢

C A ⌢

A B ⌢

hợp thành cả đường tròn nên tổng của chúng bằng

360°

.
sđ

B C ⌢ = 360° - 140° - 100° = 120°

Vậy sđ $B C ⌢ = 120°$ , sđ $C A ⌢ = 140°$ , sđ $A B ⌢ = 100°$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tránh được một bước tính góc $A$ , nhưng vẫn cần biết định lí góc nội tiếp; hai cách chỉ khác nhau ở việc có tính góc $A$ trung gian hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính đủ ba góc trước rồi nhân đôi đồng loạt, tránh nhầm lẫn khi phải nhớ tổng 360° của Cách 2.

Đáp số. sđ

B C ⌢ = 120°

; sđ

C A ⌢ = 140°

; sđ

A B ⌢ = 100°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là ghép nhầm cung với góc cùng tên đỉnh (ví dụ tính sđ

B C ⌢ = 2 A C B

thay vì

2 B A C

) — phải nhớ cung nhỏ luôn bị chắn bởi góc ở đỉnh ĐỐI DIỆN với cung đó, không phải đỉnh có tên trùng một chữ cái.

🚀 Mở rộng. Nếu biết trước cả ba góc của một tam giác bất kì nội tiếp đường tròn, ta luôn tính được ngay số đo cả ba cung nhỏ bằng cách nhân đôi góc đối diện — đây là cách nhanh nhất để "đọc" toàn bộ cấu trúc cung của đường tròn từ tam giác nội tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 9.9★★Trang 53— Tính góc tam giác cân nội tiếp từ góc ở tâm

Bài 9.9 (trang 53). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

và nội tiếp đường tròn

(O)

. Tính số đo các góc của tam giác

A B C

, biết rằng

B O C = 100°

Kiến thức cần nhớ

Trong một đường tròn, số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho góc ở tâm

B O C

và tam giác cân tại

A

— dấu hiệu để dùng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cùng chắn cung

B C

để tính ngay góc

A

, rồi dùng tính chất tam giác cân để chia đều phần còn lại cho hai góc đáy. Bẫy của bài là quên tính chất cân, chỉ dừng ở việc tính góc

A = 50°

mà không suy tiếp được

B

C

nếu thiếu dữ kiện cân.

1Cách 1. Dùng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm rồi tính chất cân

Định hướng. Tính góc $A$ trước bằng hệ quả góc ở tâm, sau đó dùng tam giác cân để chia đôi phần còn lại cho $B$ , $C$ .

Vì

B A C

là góc nội tiếp và

B O C

là góc ở tâm của

(O)

cùng chắn cung nhỏ

B C

nên

B A C = \frac{1}{2} B O C = \frac{100°}{2} = 50°

.
Vì

Δ A B C

cân tại

A

nên

A B C = A C B = \frac{180° - B A C}{2} = \frac{180° - 50°}{2} = 65°

Vậy $B A C = 50°$ , $A B C = A C B = 65°$ .

2Cách 2. Dùng dây bằng nhau chắn cung bằng nhau và tổng ba cung

Định hướng. Vì $A B = A C$ (cân tại $A$ ), hai dây bằng nhau chắn hai cung bằng nhau; kết hợp tổng ba cung của đường tròn bằng $360°$ để tính cung $A B$ , từ đó suy góc $B$ , $C$ , rồi mới ra góc $A$ .

sđ

B C ⌢ = B O C = 100°

(góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Vì

A B = A C

nên hai dây

A B

A C

bằng nhau, suy ra hai cung nhỏ tương ứng bằng nhau: sđ

A B ⌢ =

sđ

A C ⌢

.
Vì tổng ba cung bằng

360°

: sđ

A B ⌢ +

sđ

A C ⌢ = 360° - 100° = 260°

, suy ra sđ

A B ⌢ =

sđ

A C ⌢ = 130°

A C B

là góc nội tiếp chắn cung

A B ⌢

A C B = \frac{130°}{2} = 65°

; tương tự

A B C = 65°

B A C = 180° - 65° - 65° = 50°

Vậy $B A C = 50°$ , $A B C = A C B = 65°$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 xuất phát từ tính chất cung thay vì tính góc $A$ trước — hữu ích khi đề cho dữ kiện về cạnh bằng nhau rõ hơn là về góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng góc

A

bằng hệ quả góc ở tâm rồi chia đôi phần còn lại, ít bước tính nhất.

Đáp số.

B A C = 50°

;

A B C = A C B = 65°

Sai lầm thường gặp. Một số bạn quên tam giác cân tại

A

nghĩa là

A B = A C

(hai cạnh kề đỉnh

A

bằng nhau), nhầm sang cân tại

B

hoặc

C

, dẫn tới chia sai cặp góc bằng nhau (chia đôi nhầm góc

A

và

C

thay vì

B

và

C

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác cân tại

B

(thay vì tại

A

) với cùng dữ kiện

B O C = 100°

, góc

A = 50°

vẫn giữ nguyên (vì vẫn chắn cùng cung

B C

), nhưng cặp góc bằng nhau sẽ đổi thành

B A C = B C A

chứ không còn là

A B C = A C B

— luôn phải xác định đúng đỉnh cân trước khi chia đôi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 9.10★★Trang 53— Tính bán kính và chu vi đường tròn ngoại tiếp từ bộ ba cạnh vuông

Bài 9.10 (trang 53). Tính bán kính và chu vi của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

có ba cạnh

A B = 6

cm,

A C = 8

cm và

B C = 10

cm.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore đảo: nếu bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh lớn nhất.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Chu vi đường tròn bán kính $R$ là $C = 2 π R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bộ ba cạnh

6, 8, 10

là bội của bộ Pythagore quen thuộc

3, 4, 5

— dấu hiệu để kiểm tra tam giác vuông bằng định lí Pythagore đảo trước khi dùng công thức bán kính tam giác vuông, giống hệt kĩ thuật đã dùng ở Luyện tập 1 (SGK). Bẫy của bài là quên đổi từ bán kính sang chu vi (phải nhân với

2 π

, không phải chỉ dừng ở tính

R

1Cách 1. Nhận diện tam giác vuông rồi áp dụng trực tiếp

Định hướng. Kiểm tra $A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}$ để khẳng định vuông tại $A$ , sau đó lấy nửa cạnh huyền làm bán kính rồi tính chu vi.

A B^{2} + A C^{2} = 6^{2} + 8^{2} = 36 + 64 = 100 = B C^{2}

(vì

B C^{2} = 1 0^{2} = 100

).
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác

A B C

vuông tại

A

R = \frac{B C}{2} = \frac{10}{2} = 5

(cm).

C = 2 π R = 2 π \cdot 5 = 10 π

(cm).

Vậy bán kính $R = 5$ cm, chu vi đường tròn ngoại tiếp là $10 π$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S

Định hướng. Dùng công thức tổng quát cho mọi tam giác, không cần xác định trước tam giác có vuông hay không.

Nửa chu vi tam giác:

p = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12

(cm).
Theo công thức Heron:

S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 12 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 = 576 = 24

(cm

^{2}

R = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 S} = \frac{6 \cdot 8 \cdot 10}{4 \cdot 24} = \frac{480}{96} = 5

(cm).

C = 2 π R = 10 π

(cm).

Vậy $R = 5$ cm, $C = 10 π$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí côsin để xác nhận góc vuông rồi định lí sin

Định hướng. Tính $cos A$ để xác nhận góc vuông theo một con đường khác Pythagore đảo, rồi dùng định lí sin để tính $R$ .

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{36 + 64 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \frac{0}{96} = 0

, suy ra

A = 90°

.
Theo định lí sin:

R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{10}{2 \cdot 1} = 5

(cm).

C = 2 π R = 10 π

(cm).

Vậy $R = 5$ cm, $C = 10 π$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều xác nhận tam giác vuông tại $A$ bằng ba công cụ khác nhau (Pythagore đảo, Heron+abc/4S, côsin+sin) nhưng cùng cho một kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: Pythagore đảo rồi lấy nửa cạnh huyền, nhanh nhất với bộ số đẹp

6, 8, 10

Đáp số.

R = 5

cm; chu vi đường tròn ngoại tiếp

C = 10 π

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn tính đúng

R = 5

cm rồi dừng lại, quên đề còn hỏi CHU VI — phải nhân thêm

2 π

mới ra đáp số đầy đủ

C = 10 π

cm.

🚀 Mở rộng. Với mọi bộ ba cạnh là bội của bộ Pythagore gốc

(3, 4, 5)

, chẳng hạn

(3 k, 4 k, 5 k)

, bán kính ngoại tiếp luôn là

R = \frac{5 k}{2}

và chu vi luôn là

C = 5 k π

— không cần tính lại Heron mỗi lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 9.11★★Trang 53— Tính chu vi và diện tích tam giác đều từ bán kính ngoại tiếp

Bài 9.11 (trang 53). Tính chu vi và diện tích của tam giác đều nội tiếp một đường tròn bán kính

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn bán kính $R = \frac{3}{3} a$ , suy ra $a = R 3$ .
Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là $3 a$ ; diện tích là $S = \frac{3}{4} a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bán kính ngoại tiếp và hỏi cả chu vi lẫn diện tích — dấu hiệu để suy cạnh

a = R 3

trước (như Luyện tập 2, SGK), rồi từ cạnh đó tính cả hai đại lượng còn lại cùng lúc. Bẫy của bài là chỉ tính một trong hai đại lượng (thường quên diện tích vì công thức có căn thức phức tạp hơn).

1Cách 1. Suy cạnh từ R rồi tính chu vi, diện tích

Định hướng. Tính cạnh $a$ từ $R$ trước, sau đó thay vào cả hai công thức chu vi và diện tích.

a = R 3 = 33

(cm).
Chu vi:

P = 3 a = 3 \cdot 33 = 93

(cm).
Diện tích:

S = \frac{3}{4} a^{2} = \frac{3}{4} \cdot (33)^{2} = \frac{3}{4} \cdot 27 = \frac{27 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy chu vi $P = 93$ cm, diện tích $S = \frac{27 3}{4}$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Chia thành ba tam giác cân qua tâm O để tính diện tích

Định hướng. Tính chu vi như Cách 1, nhưng tính diện tích bằng cách chia tam giác đều thành ba tam giác cân bằng nhau qua tâm $O$ (không dùng công thức $\frac{3}{4} a^{2}$ trực tiếp).

a = R 3 = 33

(cm); chu vi

P = 3 a = 93

(cm) (như Cách 1).
Ba tam giác

O A B

O B C

O C A

bằng nhau, mỗi tam giác có góc ở đỉnh

O

bằng

\frac{360°}{3} = 120°

và hai cạnh

O A = O B = R = 3

cm.
Diện tích một tam giác con:

S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot sin 120° = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 3}{4}

(cm

^{2}

S = 3 \cdot S_{O A B} = 3 \cdot \frac{9 3}{4} = \frac{27 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy $P = 93$ cm, $S = \frac{27 3}{4}$ cm $^{2}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 (chia ba tam giác qua tâm) là kĩ thuật tổng quát, áp dụng được cho diện tích của mọi đa giác đều nội tiếp, không riêng tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: công thức trực tiếp

S = \frac{3}{4} a^{2}

nhanh hơn việc chia ba tam giác con.

Đáp số. Chu vi

P = 93

cm; diện tích

S = \frac{27 3}{4}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Một số bạn chỉ tính chu vi rồi bỏ quên diện tích (hoặc ngược lại), do đề hỏi CẢ HAI đại lượng trong một câu — cần đọc kỹ đề để trả lời đủ.

🚀 Mở rộng. Đây là chiều ngược của Ví dụ 2 (SGK): ở đó biết cạnh tính

R

, còn ở đây biết

R

tính cạnh rồi suy tiếp chu vi và diện tích — luyện cả hai chiều giúp nắm chắc mối quan hệ giữa cạnh và bán kính ngoại tiếp của tam giác đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 9.12★★Trang 53— Tính chu vi và diện tích tam giác đều từ bán kính nội tiếp

Bài 9.12 (trang 53). Tính chu vi và diện tích của tam giác đều ngoại tiếp một đường tròn bán kính

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ ngoại tiếp đường tròn bán kính $r = \frac{3}{6} a$ , suy ra $a = 23 r$ .
Chu vi tam giác đều cạnh $a$ là $3 a$ ; diện tích là $S = \frac{3}{4} a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài rất giống Bài 9.11 nhưng đổi từ "nội tiếp" (biết

R

) sang "ngoại tiếp" (biết

r

) — dấu hiệu để dùng công thức ngược

a = 23 r

thay vì

a = R 3

. Bẫy lớn nhất của bài là nhầm lẫn với Bài 9.11 do cùng số liệu "bán kính

3

cm", dẫn tới dùng nhầm công thức của đường tròn ngoại tiếp cho bài toán về đường tròn nội tiếp.

1Cách 1. Suy cạnh từ r rồi tính chu vi, diện tích

Định hướng. Tính cạnh $a$ từ $r$ (bán kính đường tròn NỘI TIẾP) trước, sau đó thay vào công thức chu vi và diện tích.

a = 23 r = 23 \cdot 3 = 63

(cm).
Chu vi:

P = 3 a = 3 \cdot 63 = 183

(cm).
Diện tích:

S = \frac{3}{4} a^{2} = \frac{3}{4} \cdot (63)^{2} = \frac{3}{4} \cdot 108 = 273

(cm

^{2}

Vậy chu vi $P = 183$ cm, diện tích $S = 273$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Dùng công thức r = S/p với ẩn cạnh x

Định hướng. Đặt cạnh cần tìm là $x$ , lập phương trình từ công thức diện tích chia nửa chu vi bằng $r$ , không cần nhớ công thức riêng $a = 23 r$ .

Gọi

x

là cạnh tam giác đều;

S = \frac{3}{4} x^{2}

p = \frac{3 x}{2}

(nửa chu vi).

r = \frac{S}{p} = \frac{3}{6} x

; thay

r = 3

\frac{3}{6} x = 3 \Rightarrow x = \frac{18}{3} = 63

(cm).
Chu vi:

P = 3 x = 183

(cm).
Diện tích:

S = \frac{3}{4} x^{2} = \frac{3}{4} \cdot 108 = 273

(cm

^{2}

Vậy $P = 183$ cm, $S = 273$ cm $^{2}$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. So với Bài 9.11 (cùng số $3$ cm nhưng là bán kính ngoại tiếp), kết quả ở đây lớn gấp đôi cạnh và gấp bốn lần diện tích — vì bán kính nội tiếp nhỏ hơn bán kính ngoại tiếp cùng tam giác đúng 2 lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng công thức

a = 23 r

đã học, nhanh hơn lập phương trình từ đầu.

Đáp số. Chu vi

P = 183

cm; diện tích

S = 273

^{2}

Sai lầm thường gặp. Lỗi phổ biến nhất là nhầm bài này với Bài 9.11 (cùng số

3

cm) rồi dùng công thức

a = R 3

của đường tròn ngoại tiếp, ra kết quả sai

a = 33

cm thay vì

a = 63

cm — phải luôn phân biệt rõ "nội tiếp" (biết

R

) và "ngoại tiếp" (biết

r

) trong đề bài.

🚀 Mở rộng. So sánh trực tiếp Bài 9.11 và Bài 9.12 với cùng số liệu "bán kính

3

cm" là cách luyện tốt nhất để không bao giờ nhầm lẫn hai công thức

a = R 3

và

a = 23 r

nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 9.13★★★Trang 53— Tính bán kính nội tiếp tam giác vuông từ hai cạnh góc vuông

Bài 9.13 (trang 53). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 4

cm,

A C = 6

cm. Tính bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bất kì: $r = \frac{S}{p}$ với $S$ là diện tích, $p$ là nửa chu vi.
Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$ , $b$ và cạnh huyền $c$ : bán kính nội tiếp $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác vuông với hai cạnh góc vuông — dấu hiệu để dùng công thức tổng quát

r = \frac{S}{p}

, nhưng vì tam giác vuông còn có công thức rút gọn riêng

r = \frac{A B + A C - B C}{2}

(tổng hai cạnh góc vuông trừ cạnh huyền, chia đôi) nhanh hơn nhiều. Bẫy của bài là ra kết quả có căn thức ở mẫu (

r = \frac{12}{5 + 13}

) mà không trục căn thức, khiến đáp số trông "chưa gọn" dù đúng.

1Cách 1. Chia tam giác thành ba tam giác qua tâm I rồi dùng r = S/p

Định hướng. Tính diện tích và nửa chu vi trực tiếp, dùng công thức tổng quát $r = \frac{S}{p}$ rồi trục căn thức ở mẫu.

Theo định lí Pythagore:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 4^{2} + 6^{2} = 16 + 36 = 52

, suy ra

B C = 213

(cm).
Diện tích:

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12

(cm

^{2}

).
Nửa chu vi:

p = \frac{A B + A C + B C}{2} = \frac{4 + 6 + 2 13}{2} = 5 + 13

(cm).

r = \frac{S}{p} = \frac{12}{5 + 13} = \frac{12 ( 5 - 13 )}{( 5 + 13 ) ( 5 - 13 )} = \frac{12 ( 5 - 13 )}{25 - 13} = \frac{12 ( 5 - 13 )}{12} = 5 - 13

(cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp là $r = 5 - 13$ cm (xấp xỉ $1, 39$ cm).

2Cách 2. Dùng công thức riêng của tam giác vuông

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức rút gọn $r = \frac{A B + A C - B C}{2}$ dành riêng cho tam giác vuông, tránh phải trục căn thức.

B C = A B^{2} + A C^{2} = 16 + 36 = 52 = 213

(cm) (như Cách 1).

r = \frac{A B + A C - B C}{2} = \frac{4 + 6 - 2 13}{2} = \frac{10 - 2 13}{2} = 5 - 13

(cm).

Vậy $r = 5 - 13$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc toạ độ với hai cạnh góc vuông trên hai trục; tâm nội tiếp $I (r; r)$ do cách đều hai trục, rồi dùng khoảng cách từ $I$ đến cạnh huyền $B C$ để lập phương trình theo $r$ .

Đặt

A (0; 0)

B (4; 0)

C (0; 6)

; vì

I

cách đều hai cạnh góc vuông

A B

(trục hoành) và

A C

(trục tung) nên

I (r; r)

với

r > 0

.
Đường thẳng

B C

\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1

, tức

3 x + 2 y - 12 = 0

.
Khoảng cách từ

I (r; r)

đến

B C

cũng bằng

r

\frac{∣3 r + 2 r - 12∣}{3 ^{2} + 2 ^{2}} = r

, tức

\frac{12 - 5 r}{13} = r

(vì

I

nằm trong tam giác nên

5 r < 12

12 - 5 r = r 13 \Rightarrow 12 = r (5 + 13) \Rightarrow r = \frac{12}{5 + 13} = 5 - 13

(cm).

Vậy $r = 5 - 13$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều cho cùng kết quả; Cách 2 (công thức riêng tam giác vuông) là nhanh nhất, Cách 3 (toạ độ) cho một cách kiểm tra độc lập hoàn toàn không dùng công thức tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức

r = \frac{A B + A C - B C}{2}

dành riêng cho tam giác vuông cho lời giải ngắn nhất, không cần trục căn thức.

Đáp số.

r = 5 - 13

\approx 1, 39

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn dừng lại ở kết quả chưa trục căn thức

r = \frac{12}{5 + 13}

cm và coi đó là đáp số cuối — cần nhân cả tử và mẫu với

5 - 13

để đưa về dạng gọn

r = 5 - 13

cm.

🚀 Mở rộng. Công thức

r = \frac{a + b - c}{2}

(với

c

là cạnh huyền) là một công thức đẹp riêng của tam giác vuông, suy trực tiếp từ việc tứ giác tạo bởi tâm

I

và hai tiếp điểm trên hai cạnh góc vuông là một hình vuông cạnh

r

— đáng nhớ để giải nhanh các bài tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 9.14★★Trang 53— Tính góc tam giác vuông nội tiếp khi biết bán kính và một cạnh góc vuông

Bài 9.14 (trang 53). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

nội tiếp đường tròn

(O)

có bán kính

2

cm. Biết rằng

A C = 2

cm, tính số đo các góc của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Định lí sin: trong tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn bán kính $R$ , $\frac{a}{sin A} = 2 R$ với $a$ là cạnh đối diện góc $A$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác vuông nội tiếp với

R

và một cạnh góc vuông bằng nhau (

A C = R = 2

) — dấu hiệu đặc biệt để nhận ra tam giác

O A C

đều (vì

O A = O C = A C = 2

cm), từ đó suy góc

A C B = 60°

mà không cần tính cạnh

A B

. Bẫy của bài là bỏ qua dấu hiệu "AC = R" và đi tính

A B

bằng Pythagore trước, khiến lời giải dài hơn không cần thiết.

1Cách 1. Pythagore rồi tính tỉ số lượng giác

Định hướng. Tính cạnh huyền $B C = 2 R$ , tính $A B$ bằng Pythagore, rồi dùng $sin$ để suy góc $B$ .

Vì

(O)

là đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông tại

A

nên

O

là trung điểm

B C

, tức

B C = 2 R = 2 \cdot 2 = 4

(cm).
Theo Pythagore:

A B^{2} = B C^{2} - A C^{2} = 16 - 4 = 12

, suy ra

A B = 23

(cm).

sin A B C = \frac{A C}{B C} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

, suy ra

A B C = 30°

A C B = 90° - A B C = 90° - 30° = 60°

Vậy $B A C = 90°$ , $A B C = 30°$ , $A C B = 60°$ .

2Cách 2. Nhận ra tam giác OAC đều (theo gợi ý VietJack)

Định hướng. Vì $A C = R$ , tam giác $O A C$ có ba cạnh bằng nhau nên đều — suy góc $A C B$ trực tiếp không cần tính $A B$ .

Vì

O

là trung điểm

B C

nên

O A = O C = R = 2

cm (bán kính); theo đề

A C = 2

cm.
Do đó

O A = O C = A C = 2

cm, tức tam giác

O A C

đều, suy ra

A C O = 60°

; vì

O \in B C

nên

A C B = A C O = 60°

.
Vì

A B C

là góc nội tiếp và

A O C

là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A B C = \frac{1}{2} A O C = \frac{60°}{2} = 30°

B A C = 180° - A B C - A C B = 180° - 30° - 60° = 90°

(khớp giả thiết vuông tại

A

Vậy $A C B = 60°$ , $A B C = 30°$ , $B A C = 90°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí sin trực tiếp không cần tính AB

Định hướng. Áp dụng thẳng định lí sin cho cạnh $A C$ và góc đối diện $A B C$ , không cần đi qua bước tính $A B$ như Cách 1.

Theo định lí sin:

\frac{A C}{sin A B C} = 2 R

, suy ra

sin A B C = \frac{A C}{2 R} = \frac{2}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2}

.
Suy ra

A B C = 30°

(góc nhọn vì

A B C

là góc nhọn của tam giác vuông).

A C B = 90° - A B C = 60°

(hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau).

Vậy $A B C = 30°$ , $A C B = 60°$ , $B A C = 90°$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 là nhanh nhất vì bỏ qua hoàn toàn bước tính cạnh $A B$ ; Cách 2 khai thác dấu hiệu đặc biệt "AC = R" tạo tam giác đều — cả hai đều gọn hơn Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: định lí sin cho kết quả trực tiếp từ

A C

và

R

, không cần tính cạnh

A B

như Cách 1.

Đáp số.

B A C = 90°

;

A B C = 30°

;

A C B = 60°

Sai lầm thường gặp. Một số bạn tính

A B = 23

cm rồi loay hoay dùng

tan

hoặc

cos

phức tạp hơn cần thiết, trong khi chỉ cần

sin A B C = \frac{A C}{B C}

hoặc định lí sin là đủ, không cần đụng đến

A B

🚀 Mở rộng. Dấu hiệu "một cạnh góc vuông bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp" luôn tạo ra một góc

30°

hoặc

60°

đặc biệt trong tam giác vuông nội tiếp — đáng ghi nhớ để nhận diện nhanh dạng bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 9.15★★★Trang 53— Chứng minh hai đẳng thức góc liên quan tâm ngoại tiếp và trực tâm

Bài 9.15 (trang 53). Cho tam giác

A B C

có trực tâm

H

và nội tiếp đường tròn

(O)

. Chứng minh rằng:
a)

O B C = 90° - B A C

;
b)

B A H = O A C

Kiến thức cần nhớ

Trong đường tròn, góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) là một bổ đề quen thuộc: tam giác

O B C

cân tại

O

(vì

O B = O C

là bán kính) kết hợp góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cho ngay

O B C = 90° - B A C

. Câu b) áp dụng lại đúng bổ đề đó nhưng cho cặp đỉnh khác (

O A C = 90° - A B C

), rồi so sánh với

B A H

tính từ tam giác vuông chứa đường cao — bẫy của bài là không nhận ra hai câu dùng chung một kĩ thuật, khiến học sinh làm lại từ đầu một cách vụng về ở câu b).

1Cách 1. Tam giác cân tại O và tam giác vuông chứa đường cao

Định hướng. Dùng tam giác cân $O B C$ cho câu a), rồi lặp lại kĩ thuật đó cho cặp đỉnh $O, A, C$ ở câu b), kết hợp tam giác vuông chứa đường cao từ $A$ .

a) Vì

B A C

là góc nội tiếp và

B O C

là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ

B C

nên

B O C = 2 B A C

.
Vì

O B = O C

(bán kính) nên

Δ O B C

cân tại

O

O B C = \frac{180° - B O C}{2} = 90° - B A C

.
b) Tương tự câu a) áp dụng cho cặp đỉnh

O, A, C

: vì

A B C

là góc nội tiếp và

A O C

là góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A O C = 2 A B C

; vì

O A = O C

nên

Δ O A C

cân tại

O

O A C = 90° - A B C

.
Gọi

K

là chân đường cao từ

A

(nên

H \in A K

, vì

H

là trực tâm). Xét

Δ A K B

vuông tại

K

B A K + A B K = 90°

, suy ra

B A H = B A K = 90° - A B C

Vậy $O B C = 90° - B A C$ (đpcm a); $B A H = 90° - A B C = O A C$ (đpcm b).

2Cách 2. Dựng đường kính phụ cho câu b)

Định hướng. Câu a) giữ nguyên như Cách 1; câu b) chứng minh $O A C = 90° - A B C$ bằng một con đường khác: vẽ đường kính $A A^{'}$ rồi dùng tam giác vuông $A C A^{'}$ .

a) (như Cách 1)

O B C = 90° - B A C

.
b) Vẽ đường kính

A A^{'}

của

(O)

; vì

O \in A A^{'}

nên

O A C = A^{'} A C

.
Vì

A A^{'}

là đường kính nên

A C A^{'} = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì

A A^{'} C

và

A B C

là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A A^{'} C = A B C

.
Xét

Δ A C A^{'}

vuông tại

C

A^{'} A C = 90° - A A^{'} C = 90° - A B C

, tức

O A C = 90° - A B C

.
Gọi

K

là chân đường cao từ

A

; xét

Δ A K B

vuông tại

K

B A H = B A K = 90° - A B C

(như Cách 1).

Vậy $B A H = O A C = 90° - A B C$ (đpcm b), khớp Cách 1 nhưng chứng minh $O A C$ bằng đường kính phụ thay vì tam giác cân trực tiếp.

Nhận xét. Hai cách cho câu b) đều quy về cùng biểu thức $90° - A B C$ — Cách 1 ngắn hơn vì tận dụng lại đúng kĩ thuật đã dùng ở câu a).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tận dụng lại đúng kĩ thuật tam giác cân của câu a) cho câu b), không cần dựng thêm đường kính phụ.

Đáp số. a)

O B C = 90° - B A C

(đpcm); b)

B A H = O A C

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn làm câu b) từ đầu mà không nhận ra có thể tái sử dụng đúng kĩ thuật tam giác cân + góc ở tâm đã dùng ở câu a) (chỉ đổi cặp đỉnh từ

B, C

sang

A, C

), khiến lời giải dài dòng và dễ sai hơn.

🚀 Mở rộng. Kết quả câu b) cho thấy tia

A H

(đường cao) và tia

A O

(đường nối tâm) đối xứng nhau qua phân giác của góc

B A C

— một tính chất đẹp liên hệ trực tâm và tâm ngoại tiếp, đúng với MỌI tam giác không vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 9.16★★★Trang 53— Chứng minh công thức tổng quát góc tại tâm đường tròn nội tiếp

Bài 9.16 (trang 53). Cho tam giác

A B C

ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Chứng minh rằng:

B I C = 90° + \frac{B A C}{2}

;

C I A = 90° + \frac{C B A}{2}

;

A I B = 90° + \frac{A C B}{2}

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bản chứng minh TỔNG QUÁT (bằng chữ

A, B, C

) của đúng công thức đã dùng ở Ví dụ 3 (SGK) với số liệu cụ thể — dấu hiệu để dùng lại chính kĩ thuật tổng ba góc của tam giác con

B I C

C I A

A I B

, nhưng thay số bằng biểu thức

\frac{A}{2}

\frac{B}{2}

\frac{C}{2}

. Bẫy của bài là quên thay

A + B + C = 180°

vào đúng chỗ cần thiết khi rút gọn biểu thức, dẫn tới không "biến mất" được các số hạng để ra dạng gọn

90° + \frac{A}{2}

1Cách 1. Tính từng góc bằng tổng ba góc của tam giác con

Định hướng. Xét tam giác $B I C$ với hai góc đáy là nửa góc $B$ , nửa góc $C$ , rồi dùng $A + B + C = 180°$ để rút gọn về dạng $90° + \frac{A}{2}$ .

Vì

I

là giao điểm ba đường phân giác của

Δ A B C

nên

I B C = \frac{B}{2}

I C B = \frac{C}{2}

.
Xét

Δ B I C

B I C = 180° - I B C - I C B = 180° - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180° - \frac{B + C}{2}

.
Vì

A + B + C = 180°

nên

B + C = 180° - A

, thay vào:

B I C = 180° - \frac{180° - A}{2} = 180° - 90° + \frac{A}{2} = 90° + \frac{A}{2}

.
Hoàn toàn tương tự, xét

Δ C I A

và

Δ A I B

ta được

C I A = 90° + \frac{B}{2}

và

A I B = 90° + \frac{C}{2}

Vậy $B I C = 90° + \frac{A}{2}$ ; $C I A = 90° + \frac{B}{2}$ ; $A I B = 90° + \frac{C}{2}$ (đpcm).

2Cách 2. Tính hai góc trực tiếp, góc thứ ba suy từ tổng 360° quanh I

Định hướng. Chỉ chứng minh chi tiết cho $B I C$ và $C I A$ theo Cách 1, còn $A I B$ suy ra từ tổng ba góc quanh điểm $I$ bằng $360°$ .

Theo lập luận ở Cách 1:

B I C = 90° + \frac{A}{2}

và

C I A = 90° + \frac{B}{2}

.
Vì ba góc

B I C

C I A

A I B

nằm quanh điểm

I

nên tổng của chúng bằng

360°

A I B = 360° - B I C - C I A = 360° - (90° + \frac{A}{2}) - (90° + \frac{B}{2}) = 180° - \frac{A + B}{2}

.
Vì

A + B = 180° - C

nên

A I B = 180° - \frac{180° - C}{2} = 90° + \frac{C}{2}

Vậy cả ba đẳng thức đều đúng: $B I C = 90° + \frac{A}{2}$ , $C I A = 90° + \frac{B}{2}$ , $A I B = 90° + \frac{C}{2}$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 tiết kiệm một lần lặp lại lập luận tam giác con, nhưng vẫn cần đúng công thức đã chứng minh ở Cách 1 cho hai góc đầu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lặp lại đúng một lập luận cho cả ba góc, không cần nhớ thêm tổng 360° quanh điểm I.

Đáp số.

B I C = 90° + \frac{A}{2}

;

C I A = 90° + \frac{B}{2}

;

A I B = 90° + \frac{C}{2}

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là quên thay

B + C = 180° - A

vào giữa chừng, khiến biểu thức dừng lại ở dạng

180° - \frac{B + C}{2}

chưa gọn, không nhận ra đây chính là

90° + \frac{A}{2}

🚀 Mở rộng. Công thức tổng quát này chính là công cụ đã dùng trực tiếp (không cần chứng minh lại) ở Ví dụ 3 (SGK) với số liệu cụ thể

A = 40°

B = 60°

— mọi bài toán tính góc tại tâm nội tiếp từ nay đều có thể áp dụng thẳng ba công thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 9.17★★★★Trang 53— Chứng minh hai tam giác đồng dạng nhờ góc nội tiếp và điều kiện góc cho trước

Bài 9.17 (trang 53). Cho tam giác nhọn

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Cho điểm

M

trên cạnh

B C

của tam giác

A B C

và điểm

D

trên cung nhỏ

B C

của

(O)

sao cho

B A D = M A C

. Chứng minh rằng

Δ A M B ∽ Δ A C D

Kiến thức cần nhớ

Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc-góc (g-g) của hai tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Dữ kiện

B A D = M A C

là dấu hiệu "hai cặp tia đối xứng nhau qua phân giác góc

A

" (gọi là hai tia đẳng giác) — từ đó suy được

B A M = D A C

bằng một phép trừ góc đơn giản:

B A M = B A C - M A C = B A C - B A D = D A C

. Kết hợp với góc nội tiếp

A B M = A D C

(cùng chắn cung

A C

) là đủ để có hai tam giác đồng dạng. Bẫy của bài là nhầm lẫn thứ tự đỉnh tương ứng khi viết tỉ số đồng dạng, hoặc bỏ sót bước trừ góc để chỉ ra

B A M = D A C

1Cách 1. Đồng dạng góc-góc trực tiếp từ góc nội tiếp và phép trừ góc

Định hướng. Chỉ ra $A B M = A D C$ nhờ góc nội tiếp cùng chắn cung $A C$ , và $B A M = D A C$ nhờ phép trừ góc từ giả thiết, để có đủ hai cặp góc bằng nhau cho trường hợp g-g.

Vì

A B M

(tức

A B C

) và

A D C

là hai góc nội tiếp của

(O)

cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A B M = A D C

.
Vì

M \in B C

nên

B A C = B A M + M A C

, suy ra

B A M = B A C - M A C

.
Theo giả thiết

B A D = M A C

, thay vào:

B A M = B A C - B A D = D A C

(vì

B A C - B A D = D A C

D

nằm trên cung nhỏ

B C

, tia

A D

nằm giữa hai tia

A B

A C

).
Xét

Δ A M B

và

Δ A C D

có

A B M = A D C

và

B A M = D A C

Vậy $Δ A M B ∽ Δ A C D$ (g-g) (đpcm).

2Cách 2. Đồng dạng ABD~AMC trước rồi suy ra bằng tỉ số cạnh kèm góc (c.g.c)

Định hướng. Thay vì ghép trực tiếp cặp tam giác $A M B$ , $A C D$ , chứng minh cặp tam giác $A B D$ , $A M C$ đồng dạng trước (một cặp đỉnh khác), rồi suy ra tỉ số cạnh để dùng trường hợp cạnh-góc-cạnh cho cặp tam giác cần chứng minh.

Vì

A D B

và

A C B

(tức

A C M

, do

M \in B C

) là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ

A B

nên

A D B = A C M

.
Theo giả thiết

B A D = M A C

(đã cho).
Xét

Δ A B D

và

Δ A M C

có

B A D = M A C

và

A D B = A C M

, suy ra

Δ A B D ∽ Δ A M C

(g-g).
Từ đồng dạng này:

\frac{A B}{A M} = \frac{A D}{A C}

, tức

\frac{A B}{A D} = \frac{A M}{A C}

.
Kết hợp với

B A M = D A C

(đã chứng minh ở Cách 1 bằng phép trừ góc) — đây là góc xen giữa hai cặp cạnh tỉ lệ

A B, A M

và

A D, A C

.
Xét

Δ A M B

và

Δ A C D

có

\frac{A B}{A D} = \frac{A M}{A C}

(suy từ trên, viết lại thành

\frac{A M}{A C} = \frac{A B}{A D}

) và góc xen giữa

M A B = C A D

Vậy $Δ A M B ∽ Δ A C D$ (c.g.c) (đpcm), khớp Cách 1 nhưng đi qua một cặp tam giác đồng dạng trung gian khác ( $A B D ∽ A M C$ ).

Nhận xét. Cách 2 dùng trường hợp cạnh-góc-cạnh thay vì góc-góc, cho thấy bài toán còn ẩn chứa hệ thức $A B \cdot A C = A M \cdot A D$ — một kết quả sâu hơn mà Cách 1 không trực tiếp lộ ra.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép trực tiếp cặp góc bằng nhau cho

Δ A M B

và

Δ A C D

, ngắn gọn hơn Cách 2 phải qua tam giác trung gian.

Đáp số.

Δ A M B ∽ Δ A C D

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là viết tỉ số đồng dạng sai thứ tự đỉnh (ví dụ viết

Δ A M B ∽ Δ A D C

thay vì

Δ A C D

), làm sai lệch toàn bộ các cặp cạnh, cặp góc tương ứng suy ra sau đó.

🚀 Mở rộng. Từ

Δ A M B ∽ Δ A C D

suy ra

A M \cdot A D = A B \cdot A C

— đây chính là hệ thức xuất hiện lại ở Cách 2, cho thấy điểm

D

(xác định bởi điều kiện góc đẳng giác) có vai trò đặc biệt liên hệ với điểm

M

qua tích không đổi này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 9.18★★★Trang 54— Lập phương trình góc từ dữ kiện đường kính và góc nội tiếp

Bài 9.18 (trang 54). Cho tam giác

A B C

vuông tại

B

nội tiếp đường tròn

(O)

và đường kính

B D

. Tính số đo của góc

B A C

, biết rằng

B A C = 2 C B D

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn đường kính) có số đo bằng $90°$ .
Các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu quan trọng là

B D

là đường kính — nên

B A D = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), một dữ kiện "miễn phí" không cần chứng minh thêm. Kết hợp

C B D = C A D

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

C D

) và hệ thức đề cho

B A C = 2 C B D

, ta lập được một phương trình bậc nhất một ẩn cho

C B D

. Bẫy của bài là viết sai quan hệ cộng góc

B A D = B A C + C A D

(cần đúng thứ tự các tia

A B

A C

A D

quanh đỉnh

A

1Cách 1. Lập phương trình từ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Định hướng. Đặt $C B D = x$ , biểu diễn $B A D = 90°$ theo $x$ rồi giải phương trình.

Đặt

C B D = x

; theo giả thiết

B A C = 2 C B D = 2 x

.
Vì

C B D

và

C A D

là hai góc nội tiếp của

(O)

cùng chắn cung nhỏ

C D

nên

C A D = C B D = x

.
Vì

B D

là đường kính nên

B A D = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì tia

A C

nằm giữa hai tia

A B

A D

nên

B A D = B A C + C A D = 2 x + x = 3 x

3 x = 90° \Rightarrow x = 30°

B A C = 2 x = 2 \cdot 30° = 60°

Vậy $B A C = 60°$ .

2Cách 2. Kiểm chứng bằng toạ độ cụ thể trên đường tròn đơn vị

Định hướng. Đặt đường tròn $(O)$ bán kính $1$ , $B$ , $D$ hai đầu đường kính; chọn vị trí $C$ ứng với $C B D = 30°$ (kết quả tìm được ở Cách 1) rồi kiểm tra lại bằng toạ độ xem $B A C$ có đúng gấp đôi hay không.

Đặt

O (0; 0)

B (- 1; 0)

D (1; 0)

(đường kính

B D

nằm trên trục hoành, bán kính

1

).
Với

C B D = 30°

, cung

C D

(không chứa

B

) có số đo

2 \cdot 30° = 60°

; chọn

C

ứng với góc ở tâm

60°

tính từ

D

C = (cos 60°; sin 60°) = (\frac{1}{2}; \frac{3}{2})

.
Vì

B A D = 90°

với mọi

A

trên cung còn lại, chọn

A

ứng với góc ở tâm

- 60°

A = (cos (- 60°); sin (- 60°)) = (\frac{1}{2}; - \frac{3}{2})

.
Tính

B A C

bằng vectơ

A B = (- \frac{3}{2}; \frac{3}{2})

A C = (0; 3)

cos B A C = \frac{A B \cdot A C}{∣ A B ∣∣ A C ∣} = \frac{0 + \frac{3}{2}}{3 \cdot 3} = \frac{3/2}{3} = \frac{1}{2}

, suy ra

B A C = 60°

Vậy toạ độ xác nhận $B A C = 60°$ khi $C B D = 30°$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ dùng để kiểm tra chéo bằng số cụ thể trên một đường tròn mẫu; Cách 1 mới là lời giải tổng quát đúng cho MỌI đường tròn, không phụ thuộc bán kính hay vị trí cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập phương trình một ẩn từ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, ngắn gọn và tổng quát cho mọi bán kính.

Đáp số.

B A C = 60°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là viết nhầm quan hệ cộng góc thành

B A D = B A C - C A D

(trừ thay vì cộng), do không xác định đúng vị trí tia

A C

nằm giữa hai tia

A B

và

A D

🚀 Mở rộng. Nếu thay hệ số

2

trong giả thiết

B A C = 2 C B D

bằng một số

k

tổng quát, phương trình trở thành

(k + 1) x = 90°

, cho

B A C = \frac{90° k}{k + 1}

— một công thức tổng quát hoá cho cả họ bài toán tương tự.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 9.19★★★★Trang 54— Chứng minh điểm chính giữa cung là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi hai đỉnh và tâm nội tiếp

Bài 9.19 (trang 54). Cho tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

và ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Tia

A I

cắt

(O)

tại

X

(khác

A

). Chứng minh rằng

X

là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

B I C

Kiến thức cần nhớ

Tia phân giác của một góc nội tiếp đi qua điểm chính giữa cung bị chắn, và điểm đó cách đều hai đầu mút của cung.
Định lí góc ngoài của tam giác: góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bổ đề nổi tiếng "tâm nội tiếp – tâm bàng tiếp" (Incenter–Excenter Lemma): cần chứng minh

X

cách đều ba điểm

B

I

C

, tức

X B = X I = X C

. Dấu hiệu để có

X B = X C

là

A X

(chứa

A I

) là phân giác góc

A

nên chia đôi cung

B C

; dấu hiệu để có

X B = X I

là so sánh hai góc

X B I

và

X I B

của tam giác

X B I

bằng cách cộng các nửa góc

A

B

. Bẫy của bài là chỉ dừng ở

X B = X C

(chứng minh

X

là điểm chính giữa cung) mà quên chứng minh tiếp

X I = X B

— thiếu bước này thì chưa đủ kết luận

X

là tâm đường tròn ngoại tiếp

Δ B I C

1Cách 1. Chứng minh XB=XC rồi XB=XI bằng góc ngoài tam giác ABI

Định hướng. Tách bài toán thành hai bước: trước tiên $X B = X C$ (từ tính chất phân giác chia đôi cung), sau đó $X B = X I$ (từ việc so sánh hai góc của tam giác $X B I$ , dùng góc ngoài của tam giác $A B I$ tại đỉnh $I$ ).

Vì

I

là tâm đường tròn nội tiếp nên

A I

là tia phân giác của

B A C

, tức

B A X = C A X

.
Hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau: sđ

B X ⌢ =

sđ

C X ⌢

, suy ra dây

X B = X C

(dây trương cung bằng nhau thì bằng nhau).
Ta chứng minh

X I B = X B I

để có

Δ X I B

cân tại

X

, tức

X I = X B

X I B

là góc ngoài của

Δ A B I

tại đỉnh

I

(vì

A, I, X

thẳng hàng và

I

nằm giữa

A

X

), nên theo định lí góc ngoài:

X I B = I A B + I B A = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}

(vì

A I

B I

là hai phân giác).
Mặt khác,

X B I = X B C + C B I

; vì

X B C = X A C

(hai góc nội tiếp cùng chắn cung

X C

) và

X A C = \frac{A}{2}

(do

A X

là phân giác), còn

C B I = \frac{B}{2}

(do

B I

là phân giác):

X B I = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}

.
Vậy

X I B = X B I = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}

, nên

Δ X I B

cân tại

X

, suy ra

X I = X B

Vậy $X B = X C = X I$ , tức $X$ cách đều ba điểm $B, I, C$ , nên $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B I C$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng công thức góc AIB = 90° + C/2 đã biết

Định hướng. Thay vì dùng trực tiếp định lí góc ngoài, tính $X I B$ bằng cách lấy góc bù của $A I B$ theo công thức đã chứng minh ở Bài 9.16, rồi so sánh với $X B I$ .

X B = X C

chứng minh như Cách 1 (từ

A X

là phân giác góc

A

).
Vì

A, I, X

thẳng hàng nên

X I B = 180° - A I B

(hai góc kề bù).
Theo công thức đã biết (Bài 9.16, áp dụng cho tam giác

A B C

ngoại tiếp

(I)

A I B = 90° + \frac{C}{2}

X I B = 180° - (90° + \frac{C}{2}) = 90° - \frac{C}{2} = \frac{180° - C}{2} = \frac{A + B}{2}

(vì

A + B = 180° - C

).
Mặt khác

X B I = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}

(tính như Cách 1).
Vì

\frac{A + B}{2} = \frac{A}{2} + \frac{B}{2}

nên

X I B = X B I

, suy ra

Δ X I B

cân tại

X

, tức

X I = X B

Vậy $X B = X C = X I$ , nên $X$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B I C$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 sơ cấp hơn (chỉ dùng định lí góc ngoài tam giác), trong khi Cách 2 tận dụng lại kết quả đã có sẵn từ Bài 9.16 — cả hai đều hợp lệ, tuỳ vào việc đã học bài nào trước.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần định lí góc ngoài của tam giác, không cần nhớ thêm công thức của Bài 9.16.

Đáp số.

X

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

B I C

(đpcm), vì

X B = X I = X C

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ chứng minh được

X B = X C

(tức

X

là điểm chính giữa cung

B C

) rồi dừng lại, nhầm tưởng như vậy đã đủ để kết luận

X

là tâm ngoại tiếp

Δ B I C

— thực ra còn thiếu bước bắt buộc chứng minh

X I

cũng bằng

X B

(và

X C

🚀 Mở rộng. Bổ đề này (thường gọi "bổ đề tâm nội tiếp – tâm bàng tiếp") còn cho kết quả mạnh hơn: điểm

X

cũng cách đều tâm của ba đường tròn bàng tiếp tương ứng với đỉnh

B

và

C

— là công cụ mạnh thường dùng trong các kì thi học sinh giỏi Toán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 9.20★★★Trang 54— Chứng minh tỉ số bán kính ngoại tiếp và nội tiếp bằng tỉ số đồng dạng

Bài 9.20 (trang 54). Cho

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

với tỉ số đồng dạng

k > 0

. Gọi

(O; R)

và

(O^{'}; R^{'})

lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

. Gọi

(I; r)

và

(I^{'}; r^{'})

lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác

A B C

và

A^{'} B^{'} C^{'}

. Chứng minh rằng

\frac{R}{R ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} = k

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ với tỉ số đồng dạng.
Định lí sin: $a = 2 R sin A$ .
Diện tích hai tam giác đồng dạng tỉ lệ với bình phương tỉ số đồng dạng; chu vi tỉ lệ thuận với tỉ số đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Vì hai tam giác đồng dạng nên các góc tương ứng bằng nhau (

A = A^{'}

, …) và các cạnh tương ứng tỉ lệ theo

k

— đây là chìa khoá để dùng định lí sin cho tỉ số

R / R^{'}

(góc bằng nhau khử được trong công thức

a = 2 R sin A

) và công thức

r = S / p

cho tỉ số

r / r^{'}

(diện tích tỉ lệ

k^{2}

, nửa chu vi tỉ lệ

k

, thương của chúng tỉ lệ

k

). Bẫy của bài là quên rằng diện tích tỉ lệ với BÌNH PHƯƠNG tỉ số đồng dạng (không phải tỉ lệ thuận

k

), dễ dẫn tới kết luận sai

r / r^{'} = k^{2}

thay vì

k

1Cách 1. Dùng định lí sin cho R/R' và công thức r = S/p cho r/r'

Định hướng. Tách chứng minh thành hai phần độc lập: phần $R / R^{'}$ dùng định lí sin, phần $r / r^{'}$ dùng công thức diện tích chia nửa chu vi.

Vì

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

nên

A = A^{'}

và

\frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = k

.
Theo định lí sin:

B C = 2 R sin A

và

B^{'} C^{'} = 2 R^{'} sin A^{'}

\frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{2 R sin A}{2 R ^{'} sin A ^{'}} = \frac{R}{R ^{'}}

(vì

sin A = sin A^{'}

A = A^{'}

).
Vậy

\frac{R}{R ^{'}} = \frac{B C}{B ^{'} C ^{'}} = k

.
Vì đồng dạng tỉ số

k

nên mọi cạnh tỉ lệ

k

: nửa chu vi

p = k \cdot p^{'}

; diện tích tỉ lệ bình phương tỉ số đồng dạng:

S = k^{2} \cdot S^{'}

r = \frac{S}{p} = \frac{k ^{2} S ^{'}}{k p ^{'}} = k \cdot \frac{S ^{'}}{p ^{'}} = k \cdot r^{'}

.
Vậy

\frac{r}{r ^{'}} = k

Vậy $\frac{R}{R ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} = k$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S cho R/R', và phép đồng dạng bảo toàn tỉ số cho r/r'

Định hướng. Đổi công cụ cho phần $R / R^{'}$ (dùng công thức $R = \frac{ab c}{4 S}$ thay vì định lí sin), và lập luận bằng phép biến hình đồng dạng cho phần $r / r^{'}$ .

Vì

Δ A B C ∽ Δ A^{'} B^{'} C^{'}

tỉ số

k

nên

A B = k \cdot A^{'} B^{'}

B C = k \cdot B C^{'}

... (mọi cạnh tỉ lệ

k

) và diện tích

S = k^{2} S^{'}

R = \frac{A B \cdot B C \cdot C A}{4 S} = \frac{( k \cdot A ^{'} B ^{'} ) ( k \cdot B ^{'} C ^{'} ) ( k \cdot C ^{'} A ^{'} )}{4 k ^{2} S ^{'}} = \frac{k ^{3} \cdot A ^{'} B ^{'} \cdot B ^{'} C ^{'} \cdot C ^{'} A ^{'}}{4 k ^{2} S ^{'}} = k \cdot \frac{A ^{'} B ^{'} \cdot B ^{'} C ^{'} \cdot C ^{'} A ^{'}}{4 S ^{'}} = k \cdot R^{'}

.
Vậy

\frac{R}{R ^{'}} = k

.
Vì hai tam giác đồng dạng tỉ số

k

, tồn tại một phép biến hình đồng dạng (vị tự kết hợp quay/đối xứng) tỉ số

k

biến

Δ A^{'} B^{'} C^{'}

thành

Δ A B C

; phép biến hình đồng dạng tỉ số

k

biến MỌI đoạn thẳng thành đoạn thẳng gấp

k

lần, trong đó có bán kính đường tròn nội tiếp — nên

r = k \cdot r^{'}

, tức

\frac{r}{r ^{'}} = k

Vậy $\frac{R}{R ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} = k$ (đpcm), khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng lập luận phép biến hình cho phần $r / r^{'}$ ngắn gọn hơn hẳn tính toán đại số của Cách 1, nhưng đòi hỏi hiểu khái niệm phép đồng dạng bảo toàn tỉ số độ dài — kiến thức vừa đủ ở mức lớp 9 nâng cao.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: định lí sin và công thức

r = S / p

là hai công cụ quen thuộc nhất, không cần vận dụng khái niệm phép biến hình.

Đáp số.

\frac{R}{R ^{'}} = \frac{r}{r ^{'}} = k

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là áp dụng nhầm tỉ lệ diện tích cho tỉ số bán kính, viết

\frac{r}{r ^{'}} = k^{2}

(nhầm với tỉ số diện tích) thay vì

k

— phải nhớ

r = \frac{S}{p}

là THƯƠNG của một đại lượng tỉ lệ

k^{2}

(diện tích) với một đại lượng tỉ lệ

k

(nửa chu vi), nên bản thân

r

chỉ tỉ lệ

k

🚀 Mở rộng. Kết quả này tổng quát hoá cho MỌI độ dài đặc trưng của tam giác (trung tuyến, đường cao, bán kính đường tròn bàng tiếp…): khi hai tam giác đồng dạng tỉ số

k

, mọi độ dài đặc trưng đều tỉ lệ đúng

k

lần, chỉ riêng diện tích mới tỉ lệ

k^{2}

và thể tích (nếu là khối đa diện đồng dạng) mới tỉ lệ

k^{3}

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 27. Góc nội tiếp Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 9

📚 Cùng chương: Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27. Góc nội tiếp
▶ Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác