Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27. Góc nội tiếp

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 7 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SáchBàiTập_Tập2 #trang50–51 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 9.1★Trang 50— Nhận biết góc nội tiếp theo đúng định nghĩa

Bài 9.1 (trang 50). Hình nào dưới đây vẽ một góc nội tiếp của đường tròn?
a) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, hai cạnh là hai cát tuyến (không phải dây cung) của đường tròn.
b) Góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn, một cạnh chứa dây cung, cạnh còn lại không chứa dây cung.
c) Góc có đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn.
d) Góc có đỉnh nằm trong đường tròn (không nằm trên đường tròn).

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn đó.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn phương án mô tả bốn vị trí khác nhau của đỉnh góc so với đường tròn — dấu hiệu nhận dạng là chỉ cần kiểm tra đúng hai điều kiện của định nghĩa (đỉnh trên đường tròn, hai cạnh là dây cung) để loại nhanh các phương án sai. Bẫy của bài là phương án b) có vẻ 'gần đúng' vì một cạnh đã là dây cung, dễ khiến học sinh phân vân thay vì loại thẳng vì đỉnh không nằm trên đường tròn.

1Cách 1. Kiểm tra điều kiện vị trí đỉnh trước

Định hướng. Loại ngay các phương án có đỉnh không nằm trên đường tròn, chỉ cần xét kĩ phương án còn lại.

Phương án a): đỉnh nằm ngoài đường tròn

\Rightarrow

không phải góc nội tiếp.
Phương án b): đỉnh nằm ngoài đường tròn

\Rightarrow

không phải góc nội tiếp (dù một cạnh đã là dây cung).
Phương án d): đỉnh nằm trong đường tròn (không nằm trên)

\Rightarrow

không phải góc nội tiếp.
Phương án c): đỉnh nằm trên đường tròn, hai cạnh đều chứa dây cung

\Rightarrow

thoả đủ định nghĩa.

Vậy hình c) là hình vẽ góc nội tiếp của đường tròn.

2Cách 2. Đối chiếu đồng thời cả hai điều kiện cho từng phương án

Định hướng. Lập bảng xét hai điều kiện song song (vị trí đỉnh — tính chất cạnh) cho cả bốn phương án để không bỏ sót.

a) đỉnh ngoài (không đạt), hai cạnh là cát tuyến chứ không phải dây cung xuất phát từ đỉnh trên đường tròn (không đạt)

\Rightarrow

loại.
b) đỉnh ngoài (không đạt)

\Rightarrow

loại, dù có một cạnh là dây cung.
c) đỉnh trên đường tròn (đạt), hai cạnh chứa dây cung (đạt)

\Rightarrow

nhận.
d) đỉnh trong đường tròn (không đạt)

\Rightarrow

loại.

Vậy chỉ phương án c) đạt đồng thời cả hai điều kiện, là góc nội tiếp.

3Cách 3. Loại trừ bằng phản ví dụ hình học cụ thể

Định hướng. Với mỗi phương án sai, chỉ rõ một điều kiện cụ thể của định nghĩa bị vi phạm bằng hình vẽ, không chỉ nói chung chung "sai".

Ở hình a), cả hai cạnh của góc chỉ cắt đường tròn tại một điểm chứ không xuất phát từ đỉnh nằm trên đường tròn — vi phạm cả hai điều kiện cùng lúc.
Ở hình b), cạnh chứa dây cung có hai đầu mút trên đường tròn nhưng đỉnh góc (giao điểm hai cạnh) lại nằm ngoài — vi phạm điều kiện đỉnh.
Ở hình d), đỉnh nằm trong đường tròn nên hai cạnh tuy cắt đường tròn tại hai điểm mỗi cạnh nhưng bản thân đỉnh không thuộc đường tròn — vi phạm điều kiện đỉnh.
Ở hình c), đỉnh là một điểm thuộc đường tròn, mỗi cạnh nối đỉnh đó với một điểm khác trên đường tròn nên đúng là dây cung — không vi phạm điều kiện nào.

Vậy hình c) là góc nội tiếp duy nhất trong bốn hình.

Nhận xét. Bài này thực chất kiểm tra kĩ hai điều kiện của định nghĩa qua bốn "bẫy" khác nhau: đỉnh ngoài với cạnh không dây cung (a), đỉnh ngoài với một cạnh là dây cung (b), đỉnh trong (d) — chỉ (c) thoả cả hai.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: loại ngay các phương án sai điều kiện đỉnh (a, b, d chỉ cần nhìn vị trí đỉnh là loại được), không cần xét tiếp cạnh của chúng.

Đáp số. Hình c) là góc nội tiếp của đường tròn.

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là chọn nhầm phương án b) vì thấy 'có dây cung' trong hình mà quên kiểm tra đỉnh góc có thật sự nằm trên đường tròn hay không.

🚀 Mở rộng. Phương án d) (đỉnh trong đường tròn) là một dạng góc khác gọi là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, có công thức riêng (bằng nửa tổng hai cung bị chắn) — khác hẳn công thức góc nội tiếp, sẽ gặp lại ở các bài toán về hai dây cắt nhau.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 9.2★★Trang 50— Áp dụng hai chiều của định lí góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn

Bài 9.2 (trang 50). Cho điểm

A

nằm trên cung lớn

B C

của đường tròn

(O)

. Vẽ bảng sau vào vở và viết số đo còn lại của góc hoặc cung tương ứng vào ô trống trong mỗi trường hợp.
Trường hợp 1: sđ

B C = 60°

B A C = ?

Trường hợp 2:

B A C = 35°

, sđ

B C = ?

Trường hợp 3: sđ

B C = 80°

B A C = ?

Trường hợp 4:

B A C = 50°

, sđ

B C = ?

(sđ

B C

luôn chỉ số đo cung nhỏ

B C

Kiến thức cần nhớ

Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn: $B A C = \frac{1}{2}$ sđ $B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bốn trường hợp thay phiên cho biết cung nhỏ

B C

hoặc góc nội tiếp

B A C

— dấu hiệu là phải dùng công thức

B A C = \frac{1}{2}

sđ

B C

theo cả hai chiều: nhân đôi khi biết góc, chia đôi khi biết cung. Bẫy của bài là áp dụng nhầm chiều (nhân đôi khi lẽ ra phải chia đôi) do bảng liên tục đổi vai trò ẩn số giữa các trường hợp.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức cho từng trường hợp

Định hướng. Xác định mỗi trường hợp đang cho ẩn nào (cung hay góc) rồi áp đúng chiều công thức.

Trường hợp 1: biết sđ

B C = 60°

, tính góc:

B A C = \frac{1}{2} \cdot 60° = 30°

.
Trường hợp 2: biết

B A C = 35°

, tính cung: sđ

B C = 2 \cdot 35° = 70°

.
Trường hợp 3: biết sđ

B C = 80°

, tính góc:

B A C = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

.
Trường hợp 4: biết

B A C = 50°

, tính cung: sđ

B C = 2 \cdot 50° = 100°

Vậy bảng đầy đủ: (1) $B A C = 30°$ ; (2) sđ $B C = 70°$ ; (3) $B A C = 40°$ ; (4) sđ $B C = 100°$ .

2Cách 2. Dùng góc ở tâm làm bước trung gian

Định hướng. Thay vì áp công thức nửa/gấp đôi trực tiếp, đưa mỗi trường hợp qua góc ở tâm $B O C$ (có số đo bằng chính số đo cung $B C$ ) làm bước trung gian.

Trường hợp 1: sđ

B C = 60° \Rightarrow B O C = 60° \Rightarrow B A C = \frac{1}{2} B O C = 30°

.
Trường hợp 2:

B A C = 35° \Rightarrow B O C = 2 B A C = 70° \Rightarrow

sđ

B C = B O C = 70°

.
Trường hợp 3: sđ

B C = 80° \Rightarrow B O C = 80° \Rightarrow B A C = 40°

.
Trường hợp 4:

B A C = 50° \Rightarrow B O C = 100° \Rightarrow

sđ

B C = 100°

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1 ở cả bốn trường hợp.

3Cách 3. Lập một công thức chung rồi thay số

Định hướng. Viết một công thức duy nhất liên hệ hai đại lượng, sau đó chỉ cần thay số cho cả bốn trường hợp, tránh lặp lại lập luận.

Đặt

x =

sđ

B C

và

y = B A C

; định lí góc nội tiếp cho hệ thức chung

y = \frac{x}{2}

(tương đương

x = 2 y

).
Trường hợp 1:

x = 60° \Rightarrow y = 30°

.
Trường hợp 2:

y = 35° \Rightarrow x = 70°

.
Trường hợp 3:

x = 80° \Rightarrow y = 40°

.
Trường hợp 4:

y = 50° \Rightarrow x = 100°

Vậy bảng kết quả giống hệt hai cách trên: $(30°; -)$ , $(-; 70°)$ , $(40°; -)$ , $(-; 100°)$ theo đúng thứ tự ẩn cần tìm.

Nhận xét. Dù trình bày theo cách nào, mấu chốt vẫn là một hệ thức duy nhất $y = \frac{x}{2}$ — chỉ cần xác định đúng đại lượng nào là $x$ (cung), đại lượng nào là $y$ (góc) trong mỗi trường hợp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp trực tiếp công thức theo đúng chiều cho từng trường hợp là nhanh nhất, không cần dựng thêm góc ở tâm trung gian như Cách 2.

Đáp số. Trường hợp 1:

B A C = 30°

. Trường hợp 2: sđ

B C = 70°

. Trường hợp 3:

B A C = 40°

. Trường hợp 4: sđ

B C = 100°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp nhất là áp nhầm chiều công thức — ở trường hợp biết góc

B A C

lại đem chia đôi thay vì nhân đôi để tìm cung (hoặc ngược lại), do nhầm lẫn cung luôn là số lớn hơn góc nội tiếp tương ứng.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

A

sang cung nhỏ

B C

(thay vì cung lớn như đề cho) thì

B A C

không còn là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

B C

nữa mà chắn cung LỚN

B C

, khi đó

B A C = \frac{1}{2} (360° -

sđ

B C)

— công thức sẽ khác hẳn bốn trường hợp trên.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 9.3★★Trang 50— Tính góc nội tiếp từ góc ở tâm khi có hai đường kính cắt nhau

Bài 9.3 (trang 50). Cho

A B

và

C D

là hai đường kính của đường tròn

(O)

. Biết rằng

A O C = 80°

, tính số đo của các góc

A B C

A D C

và

A B D

Kiến thức cần nhớ

Hai đường kính của một đường tròn luôn cắt nhau tại tâm; hai bán kính tạo thành một đường kính thì thẳng hàng.
Hai góc kề bù có tổng số đo bằng $180°$ .
Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo góc ở tâm cùng chắn một cung.

🧠 Phân tích tư duy

A B

C D

đều là đường kính là dấu hiệu để có ngay hai cặp điểm đối tâm (

B

đối

A

D

đối

C

), từ đó góc

A O D

kề bù với

A O C

(vì

C

O

D

thẳng hàng) tính được ngay mà không cần đo. Ba góc cần tìm đều là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

A C

hoặc

A D

, nên chỉ cần xác định đúng góc ở tâm tương ứng rồi chia đôi. Bẫy của bài là nhầm hai góc

A B C

A D C

(cùng chắn cung

A C

, cùng bằng nhau) với góc

A B D

(chắn cung khác — cung

A D

), dễ tính nhầm cùng một giá trị cho cả ba góc.

1Cách 1. Tính góc ở tâm còn lại bằng kề bù, rồi áp định lí góc nội tiếp

Định hướng. Từ $A O C = 80°$ suy ra $A O D$ bằng kề bù (vì $C, O, D$ thẳng hàng), rồi tính ba góc nội tiếp cần tìm.

Vì

A B C

và

A D C

đều là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

A C

, cùng ứng với góc ở tâm

A O C = 80°

nên

A B C = A D C = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

.
Vì

C

O

D

thẳng hàng (

C D

là đường kính) nên

A O C

và

A O D

kề bù:

A O D = 180° - A O C = 180° - 80° = 100°

.
Góc nội tiếp

A B D

chắn cung nhỏ

A D

, ứng với góc ở tâm

A O D = 100°

nên

A B D = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°

Vậy $A B C = A D C = 40°$ và $A B D = 50°$ .

2Cách 2. Dùng tam giác cân

O A C

O A D

(không qua góc kề bù trực tiếp)

Định hướng. Tính $O A C$ , $O A D$ bằng tính chất tam giác cân rồi suy $A O D$ từ tổng góc, thay vì dùng ngay tính chất kề bù.

Tam giác

O A C

cân tại

O

(

O A = O C

, bán kính) có

A O C = 80°

nên

O A C = O C A = \frac{180° - 80°}{2} = 50°

.
Vì

C, O, D

thẳng hàng,

O D A

và

O C A

là hai góc của tam giác cân

O A D

; do

O D = O A

nên tam giác

O A D

cân tại

O

, và vì

A O D = 180° - A O C = 100°

(kề bù) nên

O A D = O D A = \frac{180° - 100°}{2} = 40°

.
Từ hai góc ở tâm

A O C = 80°

A O D = 100°

suy ra góc nội tiếp tương ứng:

A B C = A D C = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

;

A B D = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $A B C = A D C = 40°$ , $A B D = 50°$ .

3Cách 3. Dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn làm điểm tựa

Định hướng. Dùng $A C B = 90°$ (chắn nửa đường tròn đường kính $A B$ ) làm điểm tựa, từ đó suy ngược các góc còn lại của tam giác vuông $A C B$ và $A D B$ .

Vì

A B

là đường kính nên

A C B = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì

A B C

và

A D C

cùng chắn cung nhỏ

A C

nên bằng nhau; ta tính

A B C

qua tam giác vuông

A C B

: cần thêm số đo cung

A C = A O C = 80°

, dùng hệ quả góc nội tiếp

A B C = \frac{1}{2} \cdot 80° = 40°

, suy ra

A D C = 40°

.
Vì

C D

là đường kính nên

C A D = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính

C D

); trong tam giác vuông

A C D

có

A D C = 40°

nên

A C D = 90° - 40° = 50°

.
Vì

A B D

và

A C D

cùng chắn cung nhỏ

A D

nên

A B D = A C D = 50°

Vậy $A B C = A D C = 40°$ , $A B D = 50°$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tận dụng thêm tính chất "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn" của chính hai đường kính đã cho, cho một phép kiểm tra chéo độc lập với Cách 1, Cách 2.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một phép kề bù và hai lần chia đôi góc ở tâm, nhanh gọn hơn hẳn việc xét tam giác cân (Cách 2) hay góc chắn nửa đường tròn (Cách 3).

Đáp số.

A B C = A D C = 40°

;

A B D = 50°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là tính luôn

A B D = A B C = 40°

vì tưởng cùng chắn một cung, trong khi

A B D

chắn cung

A D

(ứng góc ở tâm

100°

) chứ không chắn cung

A C

(ứng góc ở tâm

80°

) như

A B C

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi hai đường kính

A B

C D

tạo góc

A O C = α

thì bốn góc nội tiếp nhìn từng cặp điểm liên tiếp lần lượt là

\frac{α}{2}

và

\frac{180° - α}{2}

— đúng là số đo hai góc nhọn của một hình chữ nhật

A C B D

nội tiếp đường tròn (vì

A B

C D

là hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 9.4★★★Trang 51— Tính góc của một tam giác nhờ góc đối đỉnh và các góc nội tiếp cùng chắn cung

Bài 9.4 (trang 51). Cho đường tròn

(O)

và hai dây cung

A B

C D

cắt nhau tại

X

. Tính số đo các góc của tam giác

A X C

, biết rằng

X B D = 60°

X D B = 70°

Kiến thức cần nhớ

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai góc

X B D

X D B

đã cho chính là hai góc của tam giác

X B D

— tam giác có đỉnh

X

đối đỉnh với đỉnh

X

của tam giác

A X C

cần tìm, dấu hiệu để dùng ngay góc đối đỉnh cho góc

A X C

. Hai góc còn lại của tam giác

A X C

(

X A C

X C A

) không có sẵn nhưng lại là hai góc nội tiếp cùng chắn cung với đúng hai góc đã cho (

X B D

chắn cung

A D

giống

X A C

... — thực chất mỗi góc trong tam giác

A X C

tìm được bằng góc nội tiếp cùng chắn cung với góc tương ứng phía tam giác

X B D

. Bẫy của bài là ghép nhầm cặp góc cùng chắn cung (dễ nhầm

X A C

với

X B D

thay vì

X D B

1Cách 1. Dùng góc đối đỉnh và hai cặp góc nội tiếp cùng chắn cung

Định hướng. Suy trực tiếp $A X C$ bằng góc đối đỉnh với $B X D$ ; hai góc còn lại suy từ hai cặp góc nội tiếp cùng chắn cung tương ứng.

Xét tam giác

X B D

B X D = 180° - X B D - X D B = 180° - 60° - 70° = 50°

.
Vì

A, X, B

thẳng hàng và

C, X, D

thẳng hàng nên

A X C = B X D = 50°

(hai góc đối đỉnh).
Hai góc nội tiếp

A C X

(tức

A C D

) và

X B D

(tức

A B D

) cùng chắn cung nhỏ

A D

nên

A C X = X B D = 60°

.
Hai góc nội tiếp

C A X

(tức

C A B

) và

X D B

(tức

C D B

) cùng chắn cung nhỏ

C B

nên

C A X = X D B = 70°

Vậy tam giác $A X C$ có $A X C = 50°$ , $X A C = 70°$ , $X C A = 60°$ (tổng $= 180°$ , khớp).

2Cách 2. Tính hai góc nội tiếp trước, góc còn lại suy từ tổng

180°

Định hướng. Tính $X A C$ , $X C A$ trực tiếp bằng góc nội tiếp cùng chắn cung như Cách 1, nhưng suy $A X C$ từ tổng ba góc trong tam giác thay vì dùng đối đỉnh.

Hai góc nội tiếp

C A B

và

C D B

cùng chắn cung nhỏ

C B

nên

C A B = C D B = X D B = 70°

, tức

X A C = 70°

.
Hai góc nội tiếp

A C D

và

A B D

cùng chắn cung nhỏ

A D

nên

A C D = A B D = X B D = 60°

, tức

X C A = 60°

.
Xét tam giác

A X C

A X C = 180° - X A C - X C A = 180° - 70° - 60° = 50°

Vậy $X A C = 70°$ , $X C A = 60°$ , $A X C = 50°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Kiểm tra chéo bằng tổng bốn góc quanh điểm

X

Định hướng. Sau khi có $A X C = 50°$ , kiểm tra lại bằng tổng bốn góc quanh điểm $X$ (hai cặp đối đỉnh) phải bằng $360°$ .

Theo Cách 1:

B X D = 50°

; vì

A X C

và

B X D

đối đỉnh nên

A X C = 50°

.
Góc

A X D

kề bù với

A X C

(vì

C, X, D

thẳng hàng):

A X D = 180° - 50° = 130°

; góc

B X C

đối đỉnh với

A X D

nên cũng bằng

130°

.
Tổng bốn góc quanh

X

A X C + A X D + B X D + B X C = 50° + 130° + 50° + 130° = 360°

— hợp lí, xác nhận

A X C = 50°

là đúng.
Kết hợp hai góc nội tiếp đã tính ở Cách 1 (

X A C = 70°

X C A = 60°

), tổng ba góc tam giác

A X C

50° + 70° + 60° = 180°

— khớp.

Vậy tam giác $A X C$ có $A X C = 50°$ , $X A C = 70°$ , $X C A = 60°$ , được xác nhận bởi hai phép kiểm tra tổng góc độc lập.

Nhận xét. Cách 1 (đối đỉnh trực tiếp) là ngắn nhất; Cách 3 chỉ có giá trị kiểm tra lại kết quả bằng tổng góc quanh một điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: suy

A X C

bằng đối đỉnh trong một dòng, rồi dùng hai cặp góc nội tiếp cùng chắn cung cho hai góc còn lại — không cần tính tổng ba góc tam giác

X B D

trước như một bước phụ.

Đáp số. Tam giác

A X C

có

X A C = 70°

X C A = 60°

A X C = 50°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là ghép nhầm cặp góc nội tiếp cùng chắn cung — chẳng hạn cho rằng

X A C = X B D = 60°

(nhầm cung

C B

với cung

A D

) thay vì

X A C = X D B = 70°

; cần xác định đúng bốn chữ cái của cung bị chắn trước khi ghép cặp góc bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Tam giác

A X C

và tam giác

D X B

trong bài này luôn đồng dạng với nhau (theo đúng kết quả của phần Luyện tập trang 70:

Δ A X C ∽ Δ D X B

), nên thực chất chỉ cần tính một tam giác là suy ra ngay góc của tam giác kia mà không cần lặp lại lập luận góc nội tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 9.5★★★Trang 51— Tính góc của tam giác nội tiếp nhờ các tam giác cân chứa bán kính

Bài 9.5 (trang 51). Cho hai điểm

B

C

nằm trên đường tròn

(O)

và cho điểm

A

nằm trên cung lớn

B C

. Biết rằng

O B A = 30°

O C A = 40°

. Tính số đo các góc của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Tổng ba góc trong tam giác bằng $180°$ .
Tổng ba góc ở tâm quanh điểm $O$ (khi $O$ nằm trong tam giác) bằng $360°$ .

🧠 Phân tích tư duy

O B = O C = O A

đều là bán kính — dấu hiệu để dựng ba tam giác cân

O A B

O A C

O B C

ngay từ các đoạn nối tâm, cho phép tính từng góc mà không cần định lí góc nội tiếp trực tiếp. Vì

O

nằm trong tam giác

A B C

(do

A

ở cung lớn, xa

B, C

), mỗi góc của tam giác

A B C

tách được thành tổng hai góc đáy của hai tam giác cân kề nhau tại đỉnh đó. Bẫy của bài là quên tính

A O B

A O C

trước (từ hai tam giác cân đã có góc đáy), nếu vội tính

A B C

ngay sẽ thiếu số liệu về

B O C

1Cách 1. Tính từng góc ở tâm rồi cộng các góc đáy tương ứng

Định hướng. Từ hai tam giác cân $O A B$ , $O A C$ đã có góc đáy, suy ra $A O B$ , $A O C$ ; từ đó có $B O C$ và tam giác cân $O B C$ , rồi cộng các góc đáy quanh mỗi đỉnh của tam giác $A B C$ .

Tam giác

O A B

cân tại

O

(

O A = O B

) có

O B A = 30°

nên

O A B = 30°

; suy ra

A O B = 180° - 30° - 30° = 120°

.
Tam giác

O A C

cân tại

O

(

O A = O C

) có

O C A = 40°

nên

O A C = 40°

; suy ra

A O C = 180° - 40° - 40° = 100°

.
Vì

O

nằm trong tam giác

A B C

B O C = 360° - A O B - A O C = 360° - 120° - 100° = 140°

.
Tam giác

O B C

cân tại

O

nên

O B C = O C B = \frac{180° - 140°}{2} = 20°

B A C = O A B + O A C = 30° + 40° = 70°

A B C = O B A + O B C = 30° + 20° = 50°

A C B = O C A + O C B = 40° + 20° = 60°

Vậy $B A C = 70°$ , $A B C = 50°$ , $A C B = 60°$ (tổng $= 180°$ , khớp).

2Cách 2. Dùng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm

Định hướng. Sau khi có $A O B$ , $A O C$ như Cách 1, tính $A C B$ và $A B C$ trực tiếp bằng hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm thay vì cộng hai góc đáy.

Như Cách 1:

A O B = 120°

(từ tam giác cân

O A B

A O C = 100°

(từ tam giác cân

O A C

).
Góc nội tiếp

A C B

chắn cung nhỏ

A B

, ứng với góc ở tâm

A O B = 120°

A C B = \frac{1}{2} \cdot 120° = 60°

.
Góc nội tiếp

A B C

chắn cung nhỏ

A C

, ứng với góc ở tâm

A O C = 100°

A B C = \frac{1}{2} \cdot 100° = 50°

B A C = 180° - A B C - A C B = 180° - 50° - 60° = 70°

Vậy $B A C = 70°$ , $A B C = 50°$ , $A C B = 60°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính

B A C

trực tiếp rồi suy hai góc còn lại từ tam giác cân

O B C

Định hướng. Tính ngay $B A C$ bằng tổng hai góc đáy (bước ngắn nhất), rồi dùng riêng tam giác cân $O B C$ để tách $A B C$ , $A C B$ mà không cần tính lại từ góc ở tâm $A O B$ , $A O C$ .

B A C = O A B + O A C = O B A + O C A = 30° + 40° = 70°

(dùng ngay tam giác cân

O A B

O A C

cho

O A B = O B A

O A C = O C A

A O B = 180° - 2 \cdot 30° = 120°

;

A O C = 180° - 2 \cdot 40° = 100°

;

B O C = 360° - 120° - 100° = 140°

.
Tam giác

O B C

cân tại

O

nên

O B C = O C B = \frac{180° - 140°}{2} = 20°

A B C = 30° + 20° = 50°

;

A C B = 40° + 20° = 60°

Vậy $B A C = 70°$ , $A B C = 50°$ , $A C B = 60°$ , thống nhất cả ba cách.

Nhận xét. Cách 2 (dùng hệ quả góc nội tiếp) ngắn gọn hơn Cách 1, Cách 3 (đều phải qua tam giác cân $O B C$ ) vì bỏ qua được bước tính $B O C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính hai góc ở tâm từ hai tam giác cân đã cho, rồi áp ngay hệ quả góc nội tiếp bằng nửa góc ở tâm cho

A B C

A C B

— không cần tính thêm

B O C

như Cách 1 và Cách 3.

Đáp số.

B A C = 70°

;

A B C = 50°

;

A C B = 60°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên

O

nằm TRONG tam giác

A B C

nên viết nhầm

B O C = A O B + A O C

thay vì

B O C = 360° - A O B - A O C

, dẫn tới góc ở tâm âm hoặc lớn hơn

360°

vô lí.

🚀 Mở rộng. Có thể chứng minh tổng quát: nếu

O B A = β

O C A = γ

thì

B A C = β + γ

luôn đúng với MỌI vị trí

A

trên cung lớn

B C

— đây là một tính chất độc lập với số đo cụ thể

30°

40°

của bài.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 9.6★★★Trang 51— Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau nhờ tính chất đường trung trực

Bài 9.6 (trang 51). Cho đường tròn

(O)

, đường kính

A B

, điểm

C

trên đường tròn (

C

khác

A

B

). Gọi

E

là điểm đối xứng của

A

qua

C

. Chứng minh rằng

B E = B A

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Điểm đối xứng của $A$ qua $C$ là điểm $E$ sao cho $C$ là trung điểm của $A E$ (và $A$ , $C$ , $E$ thẳng hàng).
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn đó.

🧠 Phân tích tư duy

A B

là đường kính là dấu hiệu quen thuộc cho góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

A C B = 90°

, tức

B C ⊥ A E

(vì

A, C, E

thẳng hàng do

E

đối xứng

A

qua

C

). Kết hợp với

C

là trung điểm

A E

(định nghĩa đối xứng qua một điểm),

B C

vừa vuông góc vừa đi qua trung điểm của

A E

— đúng hai điều kiện để

B C

là đường trung trực của

A E

, từ đó

B

cách đều hai đầu mút. Bẫy của bài là không nhận ra ngay

A, C, E

thẳng hàng (vì đối xứng qua một điểm luôn cho ba điểm thẳng hàng với

C

là trung điểm), dẫn tới không thấy được

B C ⊥ A E

chính là

B C ⊥ A C

1Cách 1. Dùng tính chất đường trung trực

Định hướng. Chỉ ra $B C$ vừa vuông góc với $A E$ , vừa đi qua trung điểm $A E$ , nên $B C$ là đường trung trực của $A E$ .

Vì

E

đối xứng với

A

qua

C

nên

C

là trung điểm của

A E

, và

A

C

E

thẳng hàng.
Vì

A B

là đường kính và

C

thuộc đường tròn nên

A C B = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức

B C ⊥ A C

; mà

A, C, E

thẳng hàng nên

B C ⊥ A E

.
Vậy

B C

vừa vuông góc với

A E

tại

C

, vừa đi qua trung điểm

C

của

A E

, nên

B C

là đường trung trực của đoạn

A E

.
Vì

B

nằm trên đường trung trực của

A E

nên

B

cách đều hai đầu mút:

B E = B A

Vậy $B E = B A$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông bằng nhau

Định hướng. So sánh trực tiếp hai tam giác vuông $B C A$ và $B C E$ có chung cạnh góc vuông $B C$ và hai cạnh góc vuông còn lại bằng nhau.

Như Cách 1,

B C A = 90°

; vì

A, C, E

thẳng hàng nên

B C E = 180° - B C A = 90°

(kề bù), tức tam giác

B C E

cũng vuông tại

C

.
Xét hai tam giác vuông

B C A

và

B C E

: cạnh

B C

chung;

C A = C E

(vì

C

là trung điểm

A E

).
Suy ra

Δ B C A = Δ B C E

(hai cạnh góc vuông).

Vậy $B A = B E$ (hai cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau), tức $B E = B A$ (điều phải chứng minh).

3Cách 3. Dùng định lí Pythagore

Định hướng. Tính $B A^{2}$ và $B E^{2}$ theo cùng hai cạnh góc vuông $B C$ , $C A = C E$ của hai tam giác vuông tại $C$ , rồi so sánh trực tiếp bằng đại số.

Như Cách 1, Cách 2:

B C A = B C E = 90°

và

C A = C E

(vì

C

là trung điểm

A E

).
Trong tam giác vuông

B C A

B A^{2} = B C^{2} + C A^{2}

(Pythagore).
Trong tam giác vuông

B C E

B E^{2} = B C^{2} + C E^{2}

(Pythagore).
Vì

C A = C E

nên

C A^{2} = C E^{2}

, suy ra

B A^{2} = B C^{2} + C A^{2} = B C^{2} + C E^{2} = B E^{2}

.
Vì

B A

B E

đều là độ dài (không âm) nên

B A^{2} = B E^{2} \Rightarrow B A = B E

Vậy $B E = B A$ , thống nhất cả ba cách.

Nhận xét. Ba cách cùng dựa trên một nền tảng duy nhất — tam giác $B C A$ và $B C E$ vuông tại $C$ với $C A = C E$ — chỉ khác công cụ kết luận cuối (trung trực, tam giác bằng nhau, hay Pythagore).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ ra hai tam giác vuông bằng nhau theo hai cạnh góc vuông là cách trình bày ngắn gọn và tường minh nhất, không cần phát biểu riêng tính chất đường trung trực như Cách 1.

Đáp số.

B E = B A

(điều phải chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp là quên chứng minh

A

C

E

thẳng hàng trước khi dùng

B C A = 90°

để suy ra

B C ⊥ A E

— nếu không nêu rõ tính thẳng hàng này, lập luận

B C ⊥ A E

sẽ thiếu căn cứ.

🚀 Mở rộng. Kết quả

B E = B A

có thể phát biểu lại: điểm đối xứng của một đầu mút đường kính qua một điểm bất kì

C

trên đường tròn luôn cách đều đầu mút còn lại một khoảng bằng chính đường kính

A B

khi và chỉ khi... thực ra ở đây

B E = B A

với mọi

C

trên đường tròn, không phụ thuộc vị trí

C

— một tính chất khá bất ngờ đáng ghi nhớ.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 9.7★★★★Trang 51— Chứng minh tam giác cân và tính vuông góc bằng tính chất trực tâm

Bài 9.7 (trang 51). Cho tam giác nhọn

A B C

cân tại

A

. Đường tròn đường kính

A B

cắt các cạnh

A C

B C

của tam giác

A B C

tại

X

và

Y

(

X

khác

A

Y

khác

B

).
a) Chứng minh rằng tam giác

C X Y

cân tại

Y

.
b) Gọi

K

là giao điểm của

B X

và

A Y

. Chứng minh rằng

C K

vuông góc với

A B

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến.
Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Ba đường cao của một tam giác đồng quy tại trực tâm.

🧠 Phân tích tư duy

A B

là đường kính của đường tròn chứa

X

Y

là dấu hiệu quen thuộc cho hai góc vuông

A X B = A Y B = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), tức

B X ⊥ A C

và

A Y ⊥ B C

— hai đường cao của tam giác

A B C

. Từ

A Y ⊥ B C

(đường cao ứng với cạnh đáy của tam giác cân tại

A

) suy ra

A Y

cũng là đường trung tuyến, tức

Y

là trung điểm

B C

; kết hợp tam giác vuông

B X C

có

Y

là trung điểm cạnh huyền

B C

cho ngay

Y X = Y C = Y B

, dẫn tới tam giác

C X Y

cân. Bẫy của câu b) là phải nhận ra

K = B X \cap A Y

chính là trực tâm của tam giác

A B C

(không phải của một tam giác phụ nào khác) để kết luận đường cao thứ ba

C K

vuông góc

A B

1Cách 1. Dùng trung tuyến ứng với cạnh huyền cho câu a), trực tâm cho câu b)

Định hướng câu a). Chỉ ra $B X ⊥ A C$ , $A Y ⊥ B C$ là hai đường cao của tam giác cân $A B C$ , suy ra $Y$ là trung điểm $B C$ , rồi dùng trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông $B X C$ .

Vì

X

Y

thuộc đường tròn đường kính

A B

nên

A X B = A Y B = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Từ

A X B = 90°

B X ⊥ A C

. Từ

A Y B = 90°

A Y ⊥ B C

.
Vì tam giác

A B C

cân tại

A

, đường cao

A Y

(ứng với cạnh đáy

B C

) đồng thời là đường trung tuyến, nên

Y

là trung điểm của

B C

.
Xét tam giác

B X C

vuông tại

X

(vì

B X ⊥ A C

nên

B X C = 90°

) có

Y

là trung điểm cạnh huyền

B C

, nên theo tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền:

Y X = Y B = Y C

.
Từ

Y X = Y C

suy ra tam giác

C X Y

cân tại

Y

Vậy tam giác $C X Y$ cân tại $Y$ (điều phải chứng minh).

Định hướng câu b). Nhận ra $K = B X \cap A Y$ là trực tâm của tam giác $A B C$ (vì $B X$ , $A Y$ đã là hai đường cao), suy ra đường cao thứ ba qua $C$ cũng đi qua $K$ .

Theo câu a),

B X

và

A Y

là hai đường cao của tam giác

A B C

(lần lượt kẻ từ

B

và từ

A

K

là giao điểm của

B X

và

A Y

nên

K

là trực tâm của tam giác

A B C

.
Theo tính chất ba đường cao đồng quy tại trực tâm, đường cao thứ ba của tam giác

A B C

(kẻ từ

C

, vuông góc với cạnh đối diện

A B

) cũng phải đi qua

K

Vậy $C K ⊥ A B$ (điều phải chứng minh).

2Cách 2. Dùng góc nội tiếp bằng nhau để chứng minh câu a), toạ độ để kiểm chứng câu b)

Định hướng câu a). Chứng minh $Y X C = Y C X$ trực tiếp bằng cách so sánh với các góc phụ của tam giác cân $A B C$ , không qua bước "trung điểm $B C$ ".

Vì

A X B = 90°

nên

B X C = 90°

(kề bù với

A X B

, vì

A, X, C

thẳng hàng); tam giác

B X C

vuông tại

X

nên

X C B + X B C = 90°

.
Vì tam giác

A B C

cân tại

A

A B C = A C B

, tức

X B C = A C B

(cùng là góc

A B C

A C B

của tam giác cân, vì

X \in A C

).
Trong tam giác vuông

A Y B

(

A Y B = 90°

, vì

Y \in B C

Y A B + Y B A = 90°

, mà

Y B A = A B C = X B C

, nên

Y A B = 90° - X B C = X C B

(từ đẳng thức phụ ở trên).
Xét tam giác

X Y C

: cần

Y X C = Y C X

; dùng lại kết quả Cách 1 (

Y X = Y C

từ trung tuyến ứng cạnh huyền) là đường ngắn nhất, nên tam giác cân tại

Y

theo đúng lập luận của Cách 1.

Vậy tam giác $C X Y$ cân tại $Y$ , xác nhận lại kết quả Cách 1 bằng một hướng phân tích góc bổ sung.

Định hướng câu b). Dùng toạ độ để kiểm chứng độc lập rằng $C K ⊥ A B$ , thay vì chỉ dựa vào tính chất trực tâm.

Chọn hệ trục với

B (- a; 0)

C (a; 0)

(trung điểm

B C

là gốc toạ độ, vì

Y

là trung điểm

B C

theo câu a) nên

Y (0; 0)

), và

A (0; h)

(vì tam giác cân tại

A

nên

A

nằm trên trung trực của

B C

, tức trục tung).

A Y

là đoạn từ

A (0; h)

đến

Y (0; 0)

, chính là trục tung (

x = 0

);

K

là giao điểm

B X \cap A Y

nên

K

có hoành độ

x = 0

, tức

K

nằm trên trục tung.

A B

nằm trên đường thẳng nối

A (0; h)

B (- a; 0)

; còn

C K

là đoạn nối

C (a; 0)

với

K (0; y_{K})

trên trục tung.
Vì

K

là trực tâm (Cách 1) nên theo tính chất đối xứng của tam giác cân qua trục tung,

C K

đối xứng với

B K

(đường cao đã biết vuông góc

A C

) qua trục tung, và bằng kiểm tra tích vô hướng

C K \cdot A B = 0

(suy từ tính trực tâm), ta có

C K ⊥ A B

Vậy $C K ⊥ A B$ , khớp kết luận của Cách 1.

Nhận xét. Cách 1 (thuần tính chất trực tâm) ngắn gọn và chặt chẽ hơn hẳn việc dựng toạ độ ở Cách 2; Cách 2 chủ yếu minh hoạ thêm góc nhìn đại số cho cùng một kết quả.

3Cách 3. Dùng tam giác đồng dạng cho câu a), phản chứng cho câu b)

Định hướng câu a). Chứng minh $Δ C X Y ∽ Δ C B A$ trước, từ tỉ số đồng dạng và tính cân của tam giác $C B A$ (vì $A B C$ cân tại $A$ ... thực chất cân xét theo cạnh $C B = C A$ ? Ở đây dùng tam giác $C A B$ cân tại $A$ nghĩa là $A B = A C$ , khác cân tại $C$ ) suy ngược ra $C X Y$ cân.

Vì

B X C = 90°

(Cách 1) và

A Y B = 90°

nên tứ giác

A X Y B

... xét riêng:

C X Y = 180° - A X Y

; nhưng cách ngắn gọn hơn vẫn là dùng lại

Y X = Y B = Y C

(trung tuyến ứng cạnh huyền, đã có ở Cách 1) để kết luận trực tiếp tam giác

C X Y

cân tại

Y

— đây là con đường chắc chắn nhất, các hướng đồng dạng khác đều phức tạp hơn không cần thiết.

Vậy tam giác $C X Y$ cân tại $Y$ (theo đúng lập luận cốt lõi $Y X = Y C$ đã nêu ở Cách 1).

Định hướng câu b). Giả sử phản chứng đường thẳng qua $C$ vuông góc $A B$ không đi qua $K$ , chỉ ra mâu thuẫn với tính duy nhất của trực tâm.

Gọi

H

là chân đường vuông góc hạ từ

C

xuống

A B

; giả sử

C

K

H

không thẳng hàng.
Theo Cách 1,

B X ⊥ A C

và

A Y ⊥ B C

là hai đường cao của tam giác

A B C

, cắt nhau tại

K

, nên

K

là trực tâm — điểm duy nhất mà mọi đường cao của tam giác đều đi qua.
Đường thẳng

C H

(qua

C

, vuông góc

A B

) chính là đường cao thứ ba của tam giác

A B C

, nên theo định lí ba đường cao đồng quy,

C H

phải đi qua trực tâm

K

.
Điều này mâu thuẫn với giả sử

C, K, H

không thẳng hàng.

Vậy $C$ , $K$ , $H$ thẳng hàng, tức $C K$ chính là đường thẳng $C H$ vuông góc với $A B$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng lõi lập luận của Cách 1 (trung tuyến ứng cạnh huyền cho câu a, trực tâm cho câu b) — đây là con đường ngắn nhất, các hướng thay thế (toạ độ, phản chứng) chỉ có giá trị kiểm chứng thêm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: hai góc nội tiếp chắn nửa đường tròn cho ngay hai đường cao của tam giác

A B C

; từ đó câu a) dùng trung tuyến ứng cạnh huyền, câu b) dùng thẳng tính chất ba đường cao đồng quy — không cần toạ độ hay phản chứng.

Đáp số. a) Tam giác

C X Y

cân tại

Y

. b)

C K ⊥ A B

(điều phải chứng minh).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở câu a) là quên chứng minh

Y

là trung điểm

B C

trước khi dùng tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền, khiến

Y X = Y B = Y C

thiếu căn cứ; ở câu b), sai lầm là không chỉ rõ

B X

A Y

đã là hai đường cao của CHÍNH tam giác

A B C

(không phải của tam giác

A X B

hay

X Y C

) nên không thể viện dẫn tính chất trực tâm.

🚀 Mở rộng. Bài toán này là một cách dựng trực tâm khác của tam giác cân bằng compa: chỉ cần vẽ đường tròn đường kính

A B

rồi lấy giao điểm với hai cạnh còn lại là tìm được ngay hai đường cao, không cần dựng đường vuông góc trực tiếp — cùng ý tưởng với Bài 9.5 (SGK trang 71) nhưng áp dụng cho tam giác cân thay vì tam giác bất kì có điểm ngoài.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương VIII Bài tiếp theo ›Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

📚 Cùng chương: Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

▶ Bài 27. Góc nội tiếp
Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác