Bài 27. Góc nội tiếp

Định hướng. Từ $OA=OB=AB=2$ cm suy ra tam giác $OAB$ đều để tính ngay $\widehat{AOB}$, không cần đo.

Vậy $\widehat{AOB}=$ sđ$\widehat{AB}=60°$, còn $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=30°$, đúng bằng một nửa $\widehat{AOB}$.

Định hướng. Không nhận ra tam giác đều ngay thì vẫn tính được $\widehat{AOB}$ bằng định lí côsin trong tam giác $OAB$.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $\widehat{AOB}=60°$, $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=30°$.

Định hướng. Kẻ đường cao $OH$ của tam giác cân $OAB$ ($OA=OB$) để đưa về tam giác vuông rồi dùng tỉ số lượng giác.

Vậy $\widehat{AOB}=60°$, khớp Cách 1 và Cách 2; đo thực nghiệm cho $\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=30°$.

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một giá trị $\widehat{AOB}=60°$; điều thú vị được phát hiện qua phép đo là $\widehat{ACB}$ và $\widehat{ADB}$ tuy có đỉnh khác nhau nhưng luôn bằng nhau và bằng đúng nửa $\widehat{AOB}$ — đây chính là nội dung định lí góc nội tiếp sẽ học ngay sau HĐ này.

Định hướng. Xét từng góc theo đúng thứ tự hai điều kiện: vị trí đỉnh trước, tính chất hai cạnh sau.

Vậy chỉ có góc $b$ là góc nội tiếp của đường tròn; các góc $a$, $c$, $d$ đều không phải góc nội tiếp.

Định hướng. Lọc nhanh bằng điều kiện cần (đỉnh phải trên đường tròn) trước, sau đó mới xét điều kiện đủ (hai cạnh là dây cung) cho các góc còn lại.

Vậy sau hai vòng lọc chỉ còn lại góc $b$ là góc nội tiếp.

Định hướng. Trình bày dưới dạng đối chiếu song song hai điều kiện cho cả bốn góc để không bỏ sót trường hợp nào.

Vậy chỉ góc $b$ đạt đồng thời cả hai điều kiện nên là góc nội tiếp duy nhất.

Nhận xét. Ba cách trình bày khác nhau nhưng cùng phải kiểm đủ hai điều kiện của định nghĩa — thiếu một trong hai là chưa đủ căn cứ kết luận.

Định hướng. Chỉ góc $b$ (đỉnh $B$) là góc nội tiếp nên chỉ nó mới tính được bằng công thức nửa cung bị chắn.

Vậy góc nội tiếp tìm được (góc $b$) có số đo $60°$; các góc $a$, $c$, $d$ không áp dụng được định lí này vì không phải góc nội tiếp.

Định hướng. Coi cung xanh $120°$ là cung bị chắn bởi một góc ở tâm tưởng tượng, rồi so sánh góc nội tiếp $b$ với góc ở tâm đó.

Vậy góc $b=60°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Loại các góc không đủ điều kiện áp dụng định lí trước khi tính, tránh áp dụng nhầm công thức cho góc $a$, $c$, $d$.

Vậy chỉ có duy nhất góc $b=60°$ tính được bằng định lí góc nội tiếp; các góc còn lại không có căn cứ để tính theo công thức này.

Nhận xét. Câu hỏi này nhấn mạnh: điều kiện "là góc nội tiếp" phải kiểm tra trước, rồi mới được dùng công thức nửa cung — không phải cứ có số đo cung là tính được.

Định hướng. Tính $\widehat{BOC}$ trước bằng hệ quả góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp, rồi suy ra $\widehat{BDC}$ bằng hệ quả hai góc nội tiếp cùng chắn một cung.

Vậy $\widehat{BOC}=120°$ và $\widehat{BDC}=60°$.

Định hướng. Đưa cả hai góc cần tìm về cùng dựa trên số đo cung nhỏ $BC$ thay vì so sánh trực tiếp góc với nhau.

Vậy $\widehat{BOC}=120°$, $\widehat{BDC}=60°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Sau khi có sđ cung $BC=120°$, kiểm tra lại $\widehat{BOC}$ bằng tính chất tam giác cân $OBC$ ($OB=OC$ là bán kính) thay vì chỉ dùng hệ quả góc ở tâm.

Vậy $\widehat{BOC}=120°$, $\widehat{BDC}=60°$, cùng kết quả với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tuy dài hơn nhưng cho một phép kiểm tra chéo hữu ích: tam giác cân $OBC$ phải có hai góc đáy dương và hợp lí với hình vẽ.

Định hướng. Ghép một cặp góc đối đỉnh tại $X$ với một cặp góc nội tiếp cùng chắn cung $CB$ để có đủ hai cặp góc bằng nhau cho trường hợp g-g.

Vậy $\Delta AXC\backsim \Delta DXB$ (g-g).

Định hướng. Thay vì dùng cung $CB$, ghép góc đối đỉnh với cặp góc nội tiếp cùng chắn cung $AD$ ở hai đỉnh còn lại.

Vậy $\Delta AXC\backsim \Delta DXB$ (g-g), khớp Cách 1 (chỉ khác cặp góc được chọn để chứng minh).

Định hướng. Sau khi có đồng dạng như Cách 1, khai thác thêm tỉ số cạnh tương ứng để thấy ứng dụng quen thuộc của kết quả này (phương tích của điểm $X$).

Vậy $\Delta AXC\backsim \Delta DXB$, đồng thời suy ra hệ thức $XA\cdot XB=XC\cdot XD$ — đây chính là phương tích của điểm $X$ đối với đường tròn $(O)$.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy bài toán đồng dạng này chính là chìa khoá chứng minh hệ thức tích hai đoạn của dây cung cắt nhau, một công cụ dùng lại được ở nhiều bài toán khác (như Bài 9.4).

Định hướng. Kiểm tra tam giác $OBC$ vuông tại $O$ bằng Pythagore đảo, từ đó có ngay góc ở tâm $90°$ để suy ra góc nội tiếp.

Vậy $\widehat{BAC}=45°$.

Định hướng. Không nhận ra ngay dấu hiệu Pythagore thì vẫn tính được $\widehat{BOC}$ bằng định lí côsin trong tam giác $OBC$.

Vậy $\widehat{BAC}=45°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Kẻ đường cao $OH$ từ $O$ xuống $BC$ để đưa về tam giác vuông rồi dùng tỉ số lượng giác, không cần Pythagore đảo hay côsin.

Vậy $\widehat{BAC}=45°$, thống nhất cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 (Pythagore đảo) nhanh nhất vì các số liệu $2,2,2\sqrt{2}$ được chọn sẵn để lộ ngay bộ ba Pythagore $2^2+2^2=(2\sqrt{2}{)}^2$.

Định hướng. So từng khẳng định với định lí gốc và các hệ quả đã học, chỉ ra đúng/sai kèm lí do ngắn gọn.

Vậy các khẳng định đúng là b) và d); các khẳng định a), c) sai.

Định hướng. Với câu nghi ngờ sai, dựng một hình cụ thể làm phản ví dụ thay vì chỉ lập luận suông.

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: đúng là b), d); sai là a), c).

Định hướng. Gọi số đo góc nội tiếp là $x$ và số đo cung/góc ở tâm tương ứng là $2x$, viết lại bốn khẳng định dưới dạng đại số để so sánh.

Vậy đúng là b), d); sai là a), c) — khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều quy về việc phân biệt rõ hai chiều suy luận "góc bằng nhau $\Rightarrow$ cung bằng nhau" (luôn đúng) và "góc bằng nhau $\Rightarrow$ cùng một cung" (không bắt buộc đúng).

Định hướng. Tìm $\widehat{COA}$ từ tổng $360°$ trước, sau đó mỗi góc của tam giác bằng nửa góc ở tâm đối diện.

Vậy $\widehat{BAC}=40°$, $\widehat{ABC}=80°$, $\widehat{ACB}=60°$.

Định hướng. Chỉ cần áp dụng định lí góc nội tiếp cho hai đỉnh có sẵn góc ở tâm, góc còn lại suy ra từ tổng ba góc trong tam giác, không cần tính $\widehat{COA}$.

Vậy $\widehat{BAC}=40°$, $\widehat{ABC}=80°$, $\widehat{ACB}=60°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Không dùng trực tiếp hệ quả góc nội tiếp mà tính từng góc của tam giác $ABC$ thông qua các tam giác cân $OAB$, $OBC$, $OCA$ (đều có hai cạnh là bán kính).

Vậy $\widehat{BAC}=40°$, $\widehat{ABC}=80°$, $\widehat{ACB}=60°$, trùng khớp Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng không cần thuộc lòng hệ quả góc nội tiếp, chỉ cần tính chất tam giác cân — hữu ích khi quên công thức.

Định hướng. Nhận ra $\widehat{AXB}$ là góc ngoài tại đỉnh $X$ của tam giác $XBD$, bằng tổng hai góc trong không kề $\widehat{XDB}$ và $\widehat{XBD}$.

Vậy $\widehat{AXB}=80°$.

Định hướng. Tính tổng ba góc trong tam giác $XBD$ để tìm $\widehat{DXB}$, rồi dùng tính chất kề bù (vì $A,X,C$ thẳng hàng) để suy ra $\widehat{AXB}$.

Vậy $\widehat{AXB}=80°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Đổi hai góc nội tiếp đã cho ra số đo cung, rồi dùng công thức góc tạo bởi hai dây cắt nhau bằng nửa tổng hai cung bị chắn.

Vậy $\widehat{AXB}=80°$, thống nhất với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 tuy dùng công thức nâng cao (góc giữa hai dây cắt nhau) nhưng cho thấy bản chất sâu hơn: kết quả này chính là hệ quả trực tiếp của tính chất góc ngoài tam giác ở Cách 1.

Định hướng. Đổi hai góc ở tâm đã cho thành hai góc nội tiếp là hai góc của tam giác $AID$, góc còn lại ($\widehat{AID}$ cần tìm) suy ra từ tổng $180°$.

Vậy $\widehat{AID}=110°$.

Định hướng câu b). Ghép một cặp góc nội tiếp cùng chắn cung $AC$ với một cặp góc đối đỉnh tại $I$ để dựng tam giác đồng dạng, từ đó suy ra tích chéo.

Vậy $IA\cdot IB=IC\cdot ID$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Tính số đo hai cung $AD$, $BC$ (không phải $AC$, $BD$ đã cho) để áp dụng công thức góc tạo bởi hai dây bằng nửa tổng hai cung bị chắn.

Vậy $\widehat{AID}=110°$, khớp Cách 1.

Định hướng câu b). Dùng cặp góc nội tiếp cùng chắn cung $BC$ (khác cung $AC$ ở Cách 1) để dựng một cặp tam giác đồng dạng khác, kiểm tra chéo cùng một kết luận.

Vậy $IA\cdot IB=IC\cdot ID$, khớp kết quả của Cách 1 dù dùng cặp góc nội tiếp chắn cung khác.

Định hướng. Vì $A,I,B$ thẳng hàng và $C,I,D$ thẳng hàng, $\widehat{AID}$ và $\widehat{BIC}$ là một cặp góc đối đỉnh trực tiếp; sau khi tính $\widehat{AID}$ như Cách 1, kiểm tra lại bằng tổng bốn góc quanh điểm $I$.

Vậy $\widehat{AID}=110°$, được xác nhận chắc chắn bởi phép kiểm tra tổng bốn góc quanh $I$.

Nhận xét. Cách 1 (dùng tam giác $AID$ trực tiếp) là ngắn gọn nhất; Cách 3 chỉ thêm một phép kiểm tra độc lập bằng tổng góc quanh một điểm, hữu ích để tự tin vào đáp số khi làm bài thi.

Định hướng câu b). Dùng diện tích tam giác qua hai cách tính (một lần theo cạnh $IA,ID$ và góc xen giữa, một lần theo cạnh $IC,IB$) để suy ra hệ thức tích mà không cần chứng minh tam giác đồng dạng.

Vậy $IA\cdot IB=IC\cdot ID$, thống nhất cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 chỉ khác nhau ở việc chọn cung làm căn cứ (cung $AC$ hay cung $BC$) nhưng cùng đi đến một hệ thức — đây là dấu hiệu cho thấy hệ thức $IA\cdot IB=IC\cdot ID$ (phương tích của điểm $I$) không phụ thuộc cách chọn cặp tam giác đồng dạng.

Định hướng. Chỉ ra $BM$, $AN$ là hai đường cao của tam giác $SAB$ nhờ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, từ đó $P$ là trực tâm nên đường cao thứ ba qua $S$ cũng vuông góc $AB$.

Vậy $SP\perp AB$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Biểu diễn các vectơ vuông góc bằng tích vô hướng bằng $0$, cộng các đẳng thức để triệt tiêu các số hạng không mong muốn.

Vậy $SP\perp AB$, khớp Cách 1 nhưng bằng công cụ vectơ thay vì tính chất trực tâm hình học thuần tuý.

Định hướng. Giả sử đường vuông góc từ $S$ xuống $AB$ không đi qua $P$, chỉ ra mâu thuẫn với tính duy nhất của trực tâm.

Vậy $S$, $P$, $Q$ thẳng hàng, tức đường thẳng $SP$ chính là đường thẳng $SQ$ vuông góc với $AB$.

Nhận xét. Cách 1 dựa thẳng vào định lí ba đường cao đồng quy là gọn nhất; Cách 3 chỉ nhấn mạnh lại tính duy nhất của trực tâm để chứng minh chặt chẽ hơn.

Định hướng. Nhận ra $A$ (cọc gôn), $B$ (cọc gôn), $C$ (vị trí bóng mới) đều cách đều điểm phạt đền $O$ nên cùng thuộc đường tròn tâm $O$; từ đó góc sút tại $O$ là góc ở tâm, góc sút tại $C$ là góc nội tiếp cùng chắn cung $AB$.

Vậy khi bóng đặt ở vị trí cách điểm phạt đền $11,6$ m thì góc sút bằng $18°$.

Định hướng. Thay vì so sánh trực tiếp hai góc, quy góc ở tâm ra số đo cung $AB$ trước rồi mới tính góc nội tiếp.

Vậy góc sút mới bằng $18°$, khớp Cách 1.

Định hướng. Kiểm tra lại kết quả bằng cách tính trực tiếp $\widehat{ACB}$ thông qua hai tam giác cân $OAC$, $OBC$ (không dùng thẳng hệ quả góc nội tiếp).

Vậy $\widehat{ACB}=18°$, trùng khớp Cách 1 và Cách 2 dù đi theo hướng hoàn toàn khác (không dùng trực tiếp định lí góc nội tiếp).

Nhận xét. Cách 3 phức tạp hơn nhưng cho thấy kết quả $18°$ không phụ thuộc việc có nhớ đúng tên định lí góc nội tiếp hay không, miễn nắm chắc tính chất tam giác cân.