Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài tập cuối chương VIII

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVIII #SGK_Tập2 #trang66 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · 8.12★★Trang 66— Xác suất tổng số chấm hai con xúc xắc theo không gian mẫu 36 phần tử đồng khả năng

Bài 8.12 (trang 66). Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xác suất để “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10” là
A.

\frac{7}{36}

.
B.

\frac{2}{9}

.
C.

\frac{1}{6}

.
D.

\frac{5}{36}

Kiến thức cần nhớ

Gieo đồng thời hai xúc xắc phân biệt cho không gian mẫu gồm $6 \times 6 = 36$ kết quả đồng khả năng.
Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối — dấu hiệu dùng không gian mẫu gồm 36 cặp

(a; b)

đồng khả năng. Biến cố “tổng

\geq 10

” gồm ba giá trị tổng

10, 11, 12

nên liệt kê theo từng tổng sẽ chắc chắn không sót. Bẫy hay gặp là quên

(4; 6)

và

(6; 4)

là hai kết quả khác nhau vì hai xúc xắc phân biệt.

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu và đếm trực tiếp

Định hướng. Không gian mẫu gồm 36 cặp (số chấm xúc xắc I; số chấm xúc xắc II) đồng khả năng; liệt kê các cặp có tổng từ 10 trở lên.

Ω = {(1; 1); (1; 2); \dots; (6; 6)}

n (Ω) = 36

.
Các cặp có tổng

\geq 10

(4; 6); (5; 5); (6; 4); (5; 6); (6; 5); (6; 6)

n (A) = 6

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{1}{6}$ . Chọn đáp án C.

2Cách 2. Đếm theo từng giá trị tổng

Định hướng. Phân loại các kết quả thuận lợi theo giá trị tổng để không phải dò cả 36 ô.

Tổng

= 10

(4; 6); (5; 5); (6; 4)

, có 3 kết quả.
Tổng

= 11

(5; 6); (6; 5)

, có 2 kết quả.
Tổng

= 12

(6; 6)

, có 1 kết quả.

n (A) = 3 + 2 + 1 = 6

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án C.

3Cách 3. Cố định số chấm xúc xắc thứ nhất rồi đếm số chấm phù hợp của xúc xắc thứ hai

Định hướng. Với mỗi giá trị $a$ của xúc xắc I ( $a$ từ 1 đến 6), đếm số giá trị $b$ của xúc xắc II thoả $a + b \geq 10$ ; chỉ $a \geq 4$ mới có $b$ thoả mãn.

a = 4

: cần

b \geq 6

, có 1 giá trị (

b = 6

a = 5

: cần

b \geq 5

, có 2 giá trị (

b = 5; 6

a = 6

: cần

b \geq 4

, có 3 giá trị (

b = 4; 5; 6

n (A) = 1 + 2 + 3 = 6

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án C.

Nhận xét. Cách này tránh liệt kê toàn bộ 36 kết quả, chỉ cần xét ba giá trị $a$ lớn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 hoặc Cách 3: phân loại theo tổng hoặc theo từng giá trị xúc xắc I giúp đếm nhanh, ít khả năng bỏ sót hơn liệt kê hết 36 ô.

Đáp số. Chọn đáp án C.

\frac{1}{6}

Sai lầm thường gặp. Nhầm hai xúc xắc là giống nhau nên coi

(4; 6)

và

(6; 4)

là một kết quả, dẫn tới đếm thiếu và tính sai xác suất.

🚀 Mở rộng. Cùng cách đếm theo tổng, có thể lập bảng đầy đủ xác suất của tổng số chấm từ 2 đến 12 khi gieo hai xúc xắc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.13★★Trang 66— Xác suất biến cố giao của hai phép thử độc lập

Bài 8.13 (trang 66). Có hai túi I và II. Túi I chứa 4 tấm thẻ, đánh số 1; 2; 3; 4. Túi II chứa 5 tấm thẻ, đánh số 1; 2; 3; 4; 5. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Xác suất để cả hai tấm thẻ rút ra đều ghi số chẵn là
A.

\frac{1}{5}

.
B.

\frac{3}{20}

.
C.

\frac{1}{4}

.
D.

\frac{4}{21}

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của hai phép thử độc lập có $n (Ω)$ bằng tích số kết quả mỗi phép thử.
Xác suất biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng tích hai xác suất thành phần.

🧠 Phân tích tư duy

Rút một thẻ từ mỗi túi là hai phép thử tách biệt nên biến cố “cả hai thẻ đều chẵn” là giao của hai biến cố độc lập, tính bằng tích hai xác suất thành phần. Dấu hiệu nhận dạng: đề cho hai túi riêng biệt, mỗi túi rút đúng một thẻ. Bẫy ở chỗ túi II có 5 thẻ (số lẻ số thẻ) nên tỉ lệ thẻ chẵn của túi II là

\frac{2}{5}

chứ không phải

\frac{1}{2}

như túi I.

1Cách 1. Liệt kê không gian mẫu và đếm trực tiếp

Định hướng. Liệt kê 20 cặp (thẻ túi I; thẻ túi II) rồi lọc các cặp cả hai đều chẵn.

n (Ω) = 4 \times 5 = 20

.
Các cặp cả hai số đều chẵn:

(2; 2); (2; 4); (4; 2); (4; 4)

n (A) = 4

P (A) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}

Vậy $P (A) = \frac{1}{5}$ , chọn đáp án A.

2Cách 2. Nhân xác suất của hai biến cố độc lập

Định hướng. Rút thẻ ở túi I và túi II độc lập nhau nên nhân xác suất từng túi ra số chẵn.

Xác suất túi I ra số chẵn:

\frac{2}{4} = \frac{1}{2}

(các số

2; 4

).
Xác suất túi II ra số chẵn:

\frac{2}{5}

(các số

2; 4

P (A) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}

Vậy $P (A) = \frac{1}{5}$ , chọn đáp án A.

3Cách 3. Quy tắc nhân đếm số kết quả thuận lợi

Định hướng. Đếm số cách chọn thẻ chẵn ở mỗi túi rồi nhân lại theo quy tắc nhân, không cần liệt kê cặp cụ thể.

Số thẻ chẵn ở túi I:

2

(số

2; 4

).
Số thẻ chẵn ở túi II:

2

(số

2; 4

).
Số cách chọn cả hai đều chẵn:

2 \times 2 = 4

P (A) = \frac{4}{4 \times 5} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}

Vậy $P (A) = \frac{1}{5}$ , chọn đáp án A.

Nhận xét. Cách này chỉ cần đếm số thẻ chẵn mỗi túi, không cần viết ra từng cặp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 hoặc Cách 3: nhân xác suất/nhân số cách trực tiếp, tránh liệt kê 20 cặp mà vẫn chắc chắn đúng.

Đáp số. Chọn đáp án A.

\frac{1}{5}

Sai lầm thường gặp. Tính nhầm xác suất túi II ra số chẵn là

\frac{1}{2}

do áp máy móc theo túi I, trong khi túi II có 5 thẻ nên đúng ra là

\frac{2}{5}

🚀 Mở rộng. Nếu túi II có 6 thẻ đánh số 1 đến 6 thì

P (A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.14★★Trang 66— Xác suất tổ hợp chọn 2 phần tử không hoàn lại, tính theo tích hai số

Bài 8.14 (trang 66). Một túi đựng 4 viên bi có cùng khối lượng và kích thước, được đánh số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ trong túi. Xác suất để tích hai số ghi trên hai viên bi lớn hơn 3 là
A.

\frac{5}{7}

.
B.

\frac{2}{3}

.
C.

\frac{3}{4}

.
D.

\frac{5}{6}

Kiến thức cần nhớ

Số cách chọn không thứ tự $k$ phần tử trong $n$ phần tử là tổ hợp $C_{n}^{k}$ .
Biến cố đối: $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lấy đồng thời hai viên bi (không phân biệt thứ tự, không hoàn lại) nên không gian mẫu là các tổ hợp chập 2 của 4 phần tử:

C_{4}^{2} = 6

. Dấu hiệu: đề nói “lấy ngẫu nhiên hai viên bi” chứ không lấy lần lượt có thứ tự. Bẫy: dễ nhầm sang chỉnh hợp (có thứ tự) ra 12 kết quả, khiến việc đếm số kết quả thuận lợi cũng phải nhân đôi theo và dễ tính sai khi không nhất quán.

1Cách 1. Liệt kê tổ hợp và đếm trực tiếp

Định hướng. Liệt kê hết 6 cặp không thứ tự, tính tích từng cặp rồi đếm cặp có tích lớn hơn 3.

Ω = {{1; 2}; {1; 3}; {1; 4}; {2; 3}; {2; 4}; {3; 4}}

n (Ω) = 6

.
Tích tương ứng:

2; 3; 4; 6; 8; 12

.
Các cặp có tích

> 3

{1; 4}; {2; 3}; {2; 4}; {3; 4}

n (A) = 4

P (A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Vậy $P (A) = \frac{2}{3}$ , chọn đáp án B.

2Cách 2. Dùng biến cố đối

Định hướng. Số cặp có tích không lớn hơn 3 rất ít nên tính biến cố đối “tích $\leq 3$ ” rồi lấy 1 trừ đi sẽ nhanh hơn.

Biến cố đối

\overline{A}

: “tích hai số

\leq 3

”.
Chỉ có

{1; 2}

(tích

2

) và

{1; 3}

(tích

3

) thoả,

n (\overline{A}) = 2

P (\overline{A}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

P (A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Vậy $P (A) = \frac{2}{3}$ , chọn đáp án B.

3Cách 3. Phân loại theo cặp chứa số 1

Định hướng. Chỉ cặp chứa số $1$ mới có khả năng tích nhỏ (vì $1$ là số bé nhất), tách riêng để xét, các cặp còn lại chắc chắn thoả.

Ba cặp không chứa số

1

{2; 3} = 6

;

{2; 4} = 8

;

{3; 4} = 12

— cả ba đều có tích

> 3

, đóng góp

3

kết quả thuận lợi.
Ba cặp chứa số

1

{1; 2} = 2

(không thoả);

{1; 3} = 3

(không thoả);

{1; 4} = 4

(thoả), đóng góp thêm

1

kết quả.

n (A) = 3 + 1 = 4 \Rightarrow P (A) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

Vậy $P (A) = \frac{2}{3}$ , chọn đáp án B.

Nhận xét. Cách phân loại này cho thấy ngay lý do các cặp không chứa số $1$ luôn thoả mãn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ có 2 cặp không thoả trong 6 cặp, dùng biến cố đối tính nhanh hơn liệt kê hết.

Đáp số. Chọn đáp án B.

\frac{2}{3}

Sai lầm thường gặp. Nhầm đếm 12 kết quả có thứ tự (chỉnh hợp) khi đề “lấy ngẫu nhiên hai viên bi” thực chất là không thứ tự, dẫn tới lẫn lộn số kết quả thuận lợi và tổng số kết quả.

🚀 Mở rộng. Nếu túi có 5 viên bi đánh số 1 đến 5, tính xác suất để tích hai số lớn hơn 3 theo cùng phương pháp sẽ cho một tỉ số khác vì

C_{5}^{2} = 10

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 8.15★★★Trang 66— Không gian mẫu tích hai túi độc lập, tính xác suất bốn biến cố khác nhau trên cùng bảng kết quả

Bài 8.15 (trang 66). Có hai túi I và II. Túi I chứa 3 tấm thẻ, đánh số 2; 3; 4. Túi II chứa 2 tấm thẻ, đánh số 5; 6. Từ mỗi túi I và II, rút ngẫu nhiên một tấm thẻ. Tính xác suất của các biến cố sau:

A

: “Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau 2 đơn vị”;

B

: “Hai số ghi trên hai tấm thẻ chênh nhau lớn hơn 2 đơn vị”;

C

: “Tích hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số chẵn”;

D

: “Tổng hai số ghi trên hai tấm thẻ là một số nguyên tố”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của hai phép thử độc lập có $n (Ω)$ bằng tích số kết quả mỗi phép thử.
Xác suất biến cố đối: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ .
Tích hai số chẵn khi ít nhất một thừa số chẵn; tích lẻ khi cả hai thừa số đều lẻ.

🧠 Phân tích tư duy

Rút một thẻ từ mỗi túi cho không gian mẫu

3 \times 2 = 6

cặp đồng khả năng, đủ nhỏ để liệt kê một lần rồi tra cho cả bốn biến cố thay vì lập lại không gian mẫu bốn lần. Dấu hiệu: các biến cố

A, B, C, D

đều xét trên cùng một phép thử “rút một thẻ mỗi túi”. Bẫy ở biến cố

D

: phải thử đủ cả sáu tổng để nhận ra tổng nào là số nguyên tố, không được đoán bằng cảm tính.

1Cách 1. Lập bảng hiệu, tích, tổng rồi tra trực tiếp

Định hướng. Túi I có 3 cách rút, túi II có 2 cách rút nên không gian mẫu có 6 cặp; lập bảng hiệu, tích, tổng một lần rồi tra cho cả bốn biến cố.

Ω = {(2; 5); (2; 6); (3; 5); (3; 6); (4; 5); (4; 6)}

n (Ω) = 6

.
Hiệu hai số (theo đúng thứ tự các cặp trên):

3; 4; 2; 3; 1; 2

.
Tích hai số:

10; 12; 15; 18; 20; 24

.
Tổng hai số:

7; 8; 8; 9; 9; 10

A

(hiệu

= 2

(3; 5); (4; 6)

n (A) = 2

P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

B

(hiệu

> 2

(2; 5); (2; 6); (3; 6)

n (B) = 3

P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

C

(tích chẵn):

(2; 5); (2; 6); (3; 6); (4; 5); (4; 6)

n (C) = 5

P (C) = \frac{5}{6}

D

(tổng nguyên tố): chỉ

(2; 5)

có tổng

7

là số nguyên tố,

n (D) = 1

P (D) = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{3}$ ; $P (B) = \frac{1}{2}$ ; $P (C) = \frac{5}{6}$ ; $P (D) = \frac{1}{6}$ .

2Cách 2. Suy luận theo tính chất số học trên từng số túi I

Định hướng. Dùng tính chẵn lẻ và so sánh hiệu trực tiếp trên từng số của túi I với hai số 5, 6 của túi II, không cần liệt kê tích và tổng của cả sáu cặp cùng lúc.

Với số

2

: hiệu với

5

là

3

, hiệu với

6

là

4

— không có hiệu bằng

2

, cả hai hiệu đều

> 2

.
Với số

3

: hiệu với

5

là

2

, hiệu với

6

là

3

— có một hiệu

= 2

, một hiệu

> 2

.
Với số

4

: hiệu với

5

là

1

, hiệu với

6

là

2

— có một hiệu

= 2

, không có hiệu

> 2

.
Gộp lại: hiệu

= 2

xảy ra ở

2

cặp

\Rightarrow P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

; hiệu

> 2

xảy ra ở

3

cặp

\Rightarrow P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

.
Về tích: tích chẵn khi ít nhất một số chẵn; chỉ cặp gồm hai số lẻ

(3; 5)

cho tích lẻ, còn lại đều chẵn

\Rightarrow P (C) = \frac{5}{6}

.
Về tổng: thử lần lượt

2 + 5 = 7

(nguyên tố),

2 + 6 = 8

3 + 5 = 8

3 + 6 = 9

4 + 5 = 9

4 + 6 = 10

— chỉ

7

là số nguyên tố

\Rightarrow P (D) = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{3}$ ; $P (B) = \frac{1}{2}$ ; $P (C) = \frac{5}{6}$ ; $P (D) = \frac{1}{6}$ .

3Cách 3. Biến cố đối cho tích lẻ

Định hướng. Với biến cố $C$ , dùng biến cố đối “tích là số lẻ” để tính nhanh hơn vì số cặp cho tích lẻ ít hơn hẳn.

Tích lẻ chỉ xảy ra khi cả hai số đều lẻ: túi I có số lẻ

3

, túi II có số lẻ

5

, được đúng cặp

(3; 5)

n (\overline{C}) = 1

P (C) = 1 - P (\overline{C}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}

.
Với

A, B

: hiệu giữa túi I (

x \in {2; 3; 4}

) và túi II chỉ nhận các giá trị

5 - x

hoặc

6 - x

; xét từng

x

như Cách 2 cho

2

cặp hiệu

= 2

và

3

cặp hiệu

> 2

, khớp

P (A) = \frac{1}{3}

P (B) = \frac{1}{2}

.
Với

D

: trong sáu tổng đã liệt kê ở Cách 1 chỉ

7

là số nguyên tố nên

P (D) = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{3}$ ; $P (B) = \frac{1}{2}$ ; $P (C) = \frac{5}{6}$ ; $P (D) = \frac{1}{6}$ .

Nhận xét. Biến cố đối rút ngắn đáng kể việc tính $P (C)$ vì chỉ có một kết quả cho tích lẻ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho biến cố

C

(biến cố đối, chỉ 1 kết quả tích lẻ) kết hợp Cách 1 cho

A, B, D

(lập bảng một lần, tra nhanh, khó bỏ sót).

Đáp số.

P (A) = \frac{1}{3}

;

P (B) = \frac{1}{2}

;

P (C) = \frac{5}{6}

;

P (D) = \frac{1}{6}

Sai lầm thường gặp. Hay quên xét đủ cả sáu tổng ở biến cố

D

, chỉ thử vài tổng rồi kết luận vội “không có số nguyên tố nào”, trong khi

2 + 5 = 7

vẫn thoả mãn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi túi II thành ba tấm thẻ

5; 6; 7

, các xác suất

P (A), P (B), P (C), P (D)

sẽ thay đổi theo không gian mẫu

3 \times 3 = 9

phần tử.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 8.16★★Trang 66— Xác suất theo giá trị tổng số chấm hai xúc xắc, không gian mẫu 36 phần tử

Bài 8.16 (trang 66). Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối, đồng chất I và II. Tính xác suất của các biến cố sau:

E

: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 11”;

F

: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 8 hoặc 9”;

G

: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc nhỏ hơn 6”.

Kiến thức cần nhớ

Gieo hai xúc xắc phân biệt có $n (Ω) = 36$ .
Số cách đạt tổng $s$ ( $2 \leq s \leq 12$ ) khi gieo hai xúc xắc lần lượt là $1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1$ .

🧠 Phân tích tư duy

Ba biến cố đều mô tả theo giá trị tổng số chấm nên cách hiệu quả nhất là liệt kê số kết quả ứng với mỗi tổng có thể (từ 2 đến 12) một lần, sau đó cộng dồn theo yêu cầu từng biến cố. Bẫy ở

G

: “nhỏ hơn 6” không bao gồm tổng bằng 6, dễ nhầm cộng thừa tổng

= 6

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo từng biến cố

Định hướng. Liệt kê trực tiếp các cặp $(a; b)$ thoả từng điều kiện tổng trên không gian mẫu 36 phần tử.

n (Ω) = 36

E

(tổng

= 11

(5; 6); (6; 5)

n (E) = 2

P (E) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

F

(tổng

= 8

hoặc

9

): tổng

8

có

(2; 6); (3; 5); (4; 4); (5; 3); (6; 2)

—

5

kết quả; tổng

9

có

(3; 6); (4; 5); (5; 4); (6; 3)

—

4

kết quả;

n (F) = 5 + 4 = 9

P (F) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

G

(tổng

< 6

): tổng

2

(1; 1)

—

1

; tổng

3

(1; 2); (2; 1)

—

2

; tổng

4

(1; 3); (2; 2); (3; 1)

—

3

; tổng

5

(1; 4); (2; 3); (3; 2); (4; 1)

—

4

;

n (G) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

P (G) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Vậy $P (E) = \frac{1}{18}$ ; $P (F) = \frac{1}{4}$ ; $P (G) = \frac{5}{18}$ .

2Cách 2. Dùng bảng số cách đạt mỗi tổng

Định hướng. Ghi nhớ số cách đạt mỗi giá trị tổng từ 2 đến 12 của hai xúc xắc, sau đó chỉ cần tra và cộng thay vì liệt kê lại từng cặp.

Số cách đạt tổng

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

lần lượt là

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

P (E)

: tổng

11

có

2

cách

\Rightarrow P (E) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}

P (F)

: tổng

8

có

5

cách, tổng

9

có

4

cách

\Rightarrow n (F) = 5 + 4 = 9 \Rightarrow P (F) = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}

P (G)

: tổng

< 6

gồm các tổng

2, 3, 4, 5

có số cách

1 + 2 + 3 + 4 = 10 \Rightarrow P (G) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}

Vậy $P (E) = \frac{1}{18}$ ; $P (F) = \frac{1}{4}$ ; $P (G) = \frac{5}{18}$ .

3Cách 3. Cố định xúc xắc I rồi suy giá trị xúc xắc II

Định hướng. Với mỗi giá trị $a$ của xúc xắc I, tìm số giá trị $b$ của xúc xắc II thoả điều kiện của từng biến cố, cộng dồn theo $a$ từ 1 đến 6.

E

: cần

b = 11 - a

với

1 \leq b \leq 6

, chỉ đúng khi

a = 5

(

b = 6

) hoặc

a = 6

(

b = 5

)

\Rightarrow n (E) = 2

F

: cần

b = 8 - a

hoặc

b = 9 - a

nằm trong

[1; 6]

;

a = 2

b = 6

;

a = 3

b = 5; 6

;

a = 4

b = 4; 5

;

a = 5

b = 3; 4

;

a = 6

b = 2; 3

; cộng lại

1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 \Rightarrow n (F) = 9

G

: cần

b < 6 - a

;

a = 1

b \in {1, 2, 3, 4}

— 4;

a = 2

b \in {1, 2, 3}

— 3;

a = 3

b \in {1, 2}

— 2;

a = 4

b \in {1}

— 1;

a \geq 5

: không có

\Rightarrow n (G) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

Vậy $P (E) = \frac{1}{18}$ ; $P (F) = \frac{1}{4}$ ; $P (G) = \frac{5}{18}$ .

Nhận xét. Cách này cho kết quả trùng khớp hai cách trên, phù hợp khi cần tổng quát hoá.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: thuộc sẵn dãy số cách

1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1

ứng với tổng

2

đến

12

giúp tính

P (E), P (F), P (G)

chỉ bằng một phép cộng, nhanh hơn liệt kê.

Đáp số.

P (E) = \frac{1}{18}

;

P (F) = \frac{1}{4}

;

P (G) = \frac{5}{18}

Sai lầm thường gặp. Ở biến cố

G

hay cộng nhầm cả tổng

= 6

vào (vì đọc lướt “nhỏ hơn 6” thành “không lớn hơn 6”), làm

n (G)

thừa

5

kết quả.

🚀 Mở rộng. Cùng cách lập bảng số cách theo tổng, có thể tính nhanh xác suất của biến cố “tổng là số chính phương” (

4, 9

) hay “tổng chia hết cho 3”.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 8.17★★★Trang 66— Xác suất so sánh hai số chọn ngẫu nhiên độc lập từ hai tập hợp

Bài 8.17 (trang 66). Hai bạn Minh và Huy chơi một trò chơi như sau: Minh chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp

{5; 6; 7; 8; 9; 10}

; Huy chọn ngẫu nhiên một số trong tập hợp

{4; 5; 7; 8; 9; 11}

. Bạn nào chọn được số lớn hơn sẽ là người thắng cuộc. Nếu hai số chọn được bằng nhau thì kết quả là hoà. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

A

: “Bạn Minh thắng”;
b)

B

: “Bạn Huy thắng”.

Kiến thức cần nhớ

Hai bạn chọn số độc lập nên không gian mẫu có $n (Ω) = 6 \times 6 = 36$ cặp đồng khả năng.
Ba biến cố “Minh thắng”, “Huy thắng”, “hoà” đôi một xung khắc và hợp thành cả không gian mẫu nên tổng xác suất bằng 1.

🧠 Phân tích tư duy

Minh và Huy chọn số độc lập nhau nên không gian mẫu là mọi cặp

(m; h)

với

m

thuộc tập của Minh,

h

thuộc tập của Huy, có

6 \times 6 = 36

kết quả đồng khả năng. Dấu hiệu: bài yêu cầu so sánh lớn hơn — cần liệt kê hoặc đếm theo từng giá trị của một bạn rồi so với giá trị của bạn kia. Bẫy: hai tập hợp có một số phần tử trùng nhau (

5, 7, 8, 9

) nên các cặp bằng nhau (hoà) vẫn tồn tại, phải loại trước khi đếm thắng-thua chứ không thể suy

P (A) + P (B) = 1

1Cách 1. Cố định số của Minh, đếm theo từng giá trị

Định hướng. Không gian mẫu gồm $6 \times 6 = 36$ cặp $(m; h)$ đồng khả năng; với mỗi giá trị $m$ của Minh, so sánh với sáu giá trị của Huy để đếm số lần thắng, thua, hoà.

n (Ω) = 36

m = 5

: lớn hơn

1

giá trị của Huy (

4

), bằng

1

giá trị (

5

), nhỏ hơn

4

giá trị.

m = 6

: lớn hơn

2

(

4; 5

), không bằng giá trị nào, nhỏ hơn

4

m = 7

: lớn hơn

2

(

4; 5

), bằng

1

(

7

), nhỏ hơn

3

m = 8

: lớn hơn

3

(

4; 5; 7

), bằng

1

(

8

), nhỏ hơn

2

m = 9

: lớn hơn

4

(

4; 5; 7; 8

), bằng

1

(

9

), nhỏ hơn

1

m = 10

: lớn hơn

5

(

4; 5; 7; 8; 9

), không bằng, nhỏ hơn

1

(

11

n (A) = 1 + 2 + 2 + 3 + 4 + 5 = 17

;

n (B) = 4 + 4 + 3 + 2 + 1 + 1 = 15

Vậy $P (A) = \frac{17}{36}$ ; $P (B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .

2Cách 2. Sắp xếp dãy số của Huy rồi đếm theo từng giá trị

Định hướng. Sắp xếp dãy số của Huy tăng dần, với mỗi giá trị $h$ đếm trực tiếp có bao nhiêu giá trị $m$ trong dãy Minh lớn hơn (Minh thắng) và bao nhiêu giá trị nhỏ hơn (Huy thắng), rồi cộng dồn theo $h$ .

Dãy Minh:

5; 6; 7; 8; 9; 10

(đã tăng dần).

h = 4

: số

m > 4

là

6

; số

m < 4

là

0

h = 5

: số

m > 5

là

5

(

6; 7; 8; 9; 10

); số

m < 5

là

0

h = 7

: số

m > 7

là

3

(

8; 9; 10

); số

m < 7

là

2

(

5; 6

h = 8

: số

m > 8

là

2

(

9; 10

); số

m < 8

là

3

(

5; 6; 7

h = 9

: số

m > 9

là

1

(

10

); số

m < 9

là

4

(

5; 6; 7; 8

h = 11

: số

m > 11

là

0

; số

m < 11

là

6

n (A) = 6 + 5 + 3 + 2 + 1 + 0 = 17 \Rightarrow P (A) = \frac{17}{36}

n (B) = 0 + 0 + 2 + 3 + 4 + 6 = 15 \Rightarrow P (B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}

Vậy $P (A) = \frac{17}{36}$ ; $P (B) = \frac{5}{12}$ .

3Cách 3. Tính riêng biến cố hoà rồi kiểm tra bằng tổng xác suất

Định hướng. Vì kết quả trò chơi chỉ có ba khả năng không giao nhau — Minh thắng, Huy thắng, hoặc hoà — nên gọi $H$ là biến cố hoà, tính riêng $P (H)$ rồi dùng $P (A) + P (B) + P (H) = 1$ để kiểm tra chéo kết quả đã tính ở hai cách trên.

Tập giao của hai tập hợp:

{5; 7; 8; 9}

, cho đúng

4

cặp hoà nên

n (H) = 4 \Rightarrow P (H) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}

.
Theo Cách 1 (hoặc Cách 2) đã tính

P (A) = \frac{17}{36}

P (B) = \frac{15}{36}

.
Kiểm tra:

P (A) + P (B) + P (H) = \frac{17}{36} + \frac{15}{36} + \frac{4}{36} = \frac{36}{36} = 1

, đúng như dự đoán vì ba biến cố này phủ kín không gian mẫu.

Vậy $P (A) = \frac{17}{36}$ ; $P (B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ (và $P (H) = \frac{1}{9}$ ).

Nhận xét. Phép kiểm tra tổng bằng 1 là cách xác nhận nhanh không bỏ sót hay đếm trùng khi làm hai biến cố $A$ và $B$ ở các cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (đếm theo dãy Huy đã sắp xếp): mỗi giá trị

h

chỉ cần một lần đếm cho cả hai biến cố

A

và

B

, ít thao tác hơn dựng bảng

6 \times 6

đầy đủ.

Đáp số.

P (A) = \frac{17}{36}

;

P (B) = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}

Sai lầm thường gặp. Hay quên bốn phần tử chung

5; 7; 8; 9

của hai tập hợp gây ra kết quả hoà, dẫn tới suy diễn sai

P (A) + P (B) = 1

(thực tế

P (A) + P (B) = \frac{32}{36} = \frac{8}{9}

, còn

\frac{1}{9}

là xác suất hoà).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi tập của Huy thành

{3; 4; 6; 7; 8; 10}

(mọi số đều nhỏ hơn số tương ứng của Minh theo thứ tự, không còn phần tử chung), sẽ không còn khả năng hoà.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcLuyện tập chung (trang 64–65)Bài tiếp theo ›Bài 27. Góc nội tiếp

📚 Cùng chương: Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài 25. Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu
Bài 26. Xác suất của biến cố liên quan tới phép thử
Luyện tập chung (trang 64–65)
▶ Bài tập cuối chương VIII