Chương VIII. Xác suất của biến cố trong một số mô hình xác suất đơn giản

Bài tập cuối chương VIII

Sách bài tập Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngVIII #SáchBàiTập_Tập2 #trang47–48 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Bài 1★★Trang 47— Xác suất tích hai số từ hai túi độc lập, không gian mẫu

3 \times 4

Bài 1 (trang 47). Có hai túi I và II. Túi I chứa ba quả cầu ghi các số 1; 2; 3. Túi II chứa bốn tấm thẻ ghi các số 1; 2; 3; 4. Lấy ngẫu nhiên một quả cầu và một tấm thẻ từ mỗi túi I và II. Xác suất của biến cố “Tích hai số ghi trên quả cầu và tấm thẻ bằng 6” là
A.

\frac{1}{6}

.
B.

\frac{1}{7}

.
C.

\frac{2}{11}

.
D.

\frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của hai phép thử độc lập có $n (Ω)$ bằng tích số kết quả mỗi phép thử.
Xác suất của biến cố $A$ : $P (A) = \frac{n ( A )}{n ( Ω )}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lấy một quả cầu và một tấm thẻ từ hai túi khác nhau là hai phép thử độc lập nên không gian mẫu gồm

3 \times 4 = 12

cặp đồng khả năng. Dấu hiệu: đề hỏi về tích của hai số, nên cách tự nhiên là phân tích 6 thành tích các ước rồi lọc theo miền giá trị mỗi túi. Bẫy: túi I chỉ có số đến 3 và túi II chỉ có số đến 4, nên cặp ước

(1; 6)

hay

(6; 1)

không hợp lệ dù

1 \times 6 = 6

1Cách 1. Liệt kê toàn bộ 12 cặp và tính tích trực tiếp

Định hướng. Không gian mẫu gồm $3 \times 4 = 12$ cặp (số quả cầu; số tấm thẻ) đồng khả năng; liệt kê hết rồi tính tích từng cặp.

Ω = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 1); (2; 2); (2; 3); (2; 4); (3; 1); (3; 2); (3; 3); (3; 4)}

n (Ω) = 12

.
Tích tương ứng:

1; 2; 3; 4; 2; 4; 6; 8; 3; 6; 9; 12

.
Các cặp có tích bằng

6

(2; 3); (3; 2)

n (A) = 2

P (A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án A.

2Cách 2. Cố định quả cầu túi I rồi suy tấm thẻ túi II tương ứng

Định hướng. Với mỗi số $a$ trên quả cầu túi I, cần tấm thẻ $b = 6 \div a$ ở túi II; chỉ giữ lại khi $b$ nguyên và thuộc ${1; 2; 3; 4}$ .

a = 1

: cần

b = 6

, không thuộc túi II, loại.

a = 2

: cần

b = 3

, thuộc túi II, nhận.

a = 3

: cần

b = 2

, thuộc túi II, nhận.

n (A) = 2

P (A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án A.

3Cách 3. Phân tích 6 thành tích các ước rồi lọc theo miền giá trị hai túi

Định hướng. Liệt kê mọi cách phân tích $6 = a \times b$ với $a, b$ nguyên dương, sau đó chỉ giữ cặp có $a$ thuộc túi I ( $1$ đến $3$ ) và $b$ thuộc túi II ( $1$ đến $4$ ), không cần dò từng cặp trong 12 ô.

6 = 1 \times 6 = 2 \times 3 = 3 \times 2 = 6 \times 1

(1; 6)

b = 6 \in /

túi II, loại.

(2; 3)

a = 2 \in

túi I,

b = 3 \in

túi II, nhận.

(3; 2)

a = 3 \in

túi I,

b = 2 \in

túi II, nhận.

(6; 1)

a = 6 \in /

túi I, loại.

n (A) = 2

P (A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án A.

Nhận xét. Cách phân tích ước số tránh liệt kê cả 12 ô, hữu ích khi tích cần tìm lớn hoặc túi có nhiều phần tử hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 hoặc Cách 3: chỉ cần xét 3 hoặc 4 giá trị thay vì liệt kê cả 12 ô, nhanh và khó nhầm hơn.

Đáp số. Chọn đáp án A.

\frac{1}{6}

Sai lầm thường gặp. Lấy nhầm cả cặp

(1; 6)

hoặc

(6; 1)

vào biến cố thuận lợi vì chỉ nhớ

1 \times 6 = 6

mà quên kiểm tra

6

có thuộc đúng miền giá trị của từng túi hay không.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi yêu cầu thành “tích bằng 4”, các cặp thoả mãn sẽ là

(1; 4)

và

(2; 2)

, cho một xác suất khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 2★★Trang 47— Xác suất hai xúc xắc độc lập ra cùng một giá trị

Bài 2 (trang 47). Hai bạn Minh và Dung mỗi người gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc cân đối. Xác suất để số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc như nhau là
A.

\frac{2}{11}

.
B.

\frac{1}{7}

.
C.

\frac{1}{6}

.
D.

\frac{1}{4}

Kiến thức cần nhớ

Hai phép thử độc lập cho $n (Ω) = 6 \times 6 = 36$ .
Biến cố đối: $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ .

🧠 Phân tích tư duy

Minh và Dung gieo xúc xắc độc lập nên không gian mẫu có

6 \times 6 = 36

cặp đồng khả năng. Dấu hiệu: biến cố “như nhau” gợi ý đếm theo từng cặp bằng nhau, hoặc dùng phần bù “khác nhau” vì số cặp khác nhau nhiều hơn. Bẫy: dễ nhầm

36

với

6

nếu quên rằng hai xúc xắc của hai bạn khác nhau nên phải nhân đôi số kết quả.

1Cách 1. Liệt kê các cặp bằng nhau

Định hướng. Không gian mẫu gồm 36 cặp (số chấm Minh; số chấm Dung); liệt kê các cặp có hai thành phần bằng nhau.

n (Ω) = 36

.
Các cặp bằng nhau:

(1; 1); (2; 2); (3; 3); (4; 4); (5; 5); (6; 6)

n (A) = 6

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án C.

2Cách 2. Cố định xúc xắc của Minh rồi tìm giá trị Dung phải ra

Định hướng. Với mỗi giá trị $a$ của Minh, chỉ có đúng một giá trị của Dung bằng $a$ nên đếm nhanh không cần liệt kê hết 36 ô.

Minh có 6 giá trị có thể (

1

đến

6

).
Ứng với mỗi giá trị của Minh, Dung chỉ có đúng

1

giá trị bằng đúng số đó (trong 6 khả năng).

n (A) = 6 \times 1 = 6

P (A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án C.

3Cách 3. Dùng biến cố đối “hai số khác nhau”

Định hướng. Số cặp khác nhau nhiều hơn hẳn số cặp bằng nhau, tính $P (\overline{A})$ rồi suy ra $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ .

Với mỗi giá trị của Minh, Dung có

5

giá trị khác Minh (loại đúng

1

giá trị bằng Minh).

n (\overline{A}) = 6 \times 5 = 30

P (\overline{A}) = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}

P (A) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}

Vậy $P (A) = \frac{1}{6}$ , chọn đáp án C.

Nhận xét. Biến cố đối cho lời giải chỉ hai dòng, không cần liệt kê hay đếm trực tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 (biến cố đối): chỉ một phép trừ, tránh đếm nhầm khi số mặt xúc xắc lớn hơn.

Đáp số. Chọn đáp án C.

\frac{1}{6}

Sai lầm thường gặp. Quên nhân đôi cho hai người khác nhau, coi không gian mẫu chỉ có 6 kết quả (một xúc xắc) thay vì đúng

36

kết quả của hai xúc xắc độc lập.

🚀 Mở rộng. Cùng lập luận, xác suất để ba bạn gieo ba xúc xắc đều ra cùng một giá trị là

\frac{6}{6 ^{3}} = \frac{1}{36}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 3★★★Trang 47— Xác suất đúng

k

lần sấp trong

n

đồng xu độc lập

Bài 3 (trang 47). Bạn Sơn gieo một đồng xu cân đối và bạn Hoà gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xác suất để có hai đồng xu xuất hiện mặt sấp, một đồng xu xuất hiện mặt ngửa là
A.

\frac{3}{8}

.
B.

\frac{3}{10}

.
C.

\frac{2}{7}

.
D.

\frac{4}{31}

Kiến thức cần nhớ

Gộp $n$ phép thử đồng xu độc lập cho không gian mẫu $2^{n}$ kết quả đồng khả năng.
Số cách chọn đúng $k$ vị trí có mặt sấp trong $n$ đồng xu là $C_{n}^{k}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 8.13★★★Trang 47— Không gian mẫu tích xúc xắc và đồng xu, bốn biến cố kết hợp "và"/"hoặc"

Bài 8.13 (trang 47). Bạn Sơn gieo một con xúc xắc cân đối và bạn Bình gieo một đồng xu cân đối. Tính xác suất của các biến cố sau:

E

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 6 và đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

F

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số lẻ”;

G

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chẵn và đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

H

: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là 5 hoặc đồng xu xuất hiện mặt ngửa”.

Kiến thức cần nhớ

Hai phép thử độc lập cho $n (Ω) = 6 \times 2 = 12$ .
Xác suất biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng tích hai xác suất thành phần.
Công thức cộng xác suất: $P (X \cup Y) = P (X) + P (Y) - P (X \cap Y)$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 8.14★★★Trang 48— Xác suất theo màu của hai bánh xe quay độc lập, số hình quạt hai bánh khác nhau

Bài 8.14 (trang 48). Trong một trò chơi, có hai bánh xe, mỗi bánh xe được gắn vào trục quay có mũi tên ở tâm. Bánh xe thứ nhất được chia làm bốn hình quạt như nhau và sơn các màu: trắng, đỏ, xanh, vàng. Bánh xe thứ hai được chia làm ba hình quạt như nhau và sơn các màu: đỏ, xanh, vàng. Người chơi quay hai bánh xe. Người chơi đạt giải nhất nếu hai mũi tên dừng lại ở hai hình quạt màu đỏ, đạt giải nhì nếu hai mũi tên dừng lại ở hai hình quạt cùng màu và đạt giải ba nếu có đúng một mũi tên dừng ở hình quạt màu đỏ. Tính xác suất của các biến cố sau:
a)

E

: “Người chơi đạt giải nhất”;
b)

F

: “Người chơi đạt giải nhì”;
c)

G

: “Người chơi đạt giải ba”.

Kiến thức cần nhớ

Không gian mẫu của hai phép thử độc lập có $n (Ω)$ bằng tích số kết quả mỗi phép thử.
Biến cố đối và biến cố hợp dùng để tính “đúng một trong hai” và “ít nhất một trong hai”.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 8.15★★★Trang 48— Không gian mẫu hoán vị 3 phần tử, đếm theo số điểm cố định (đúng chỗ)

Bài 8.15 (trang 48). Bạn Tuấn viết ba bức thư cho ba người bạn là An, Bình, Cường và viết tên, địa chỉ của ba người bạn đó lên ba chiếc phong bì. Xếp ngẫu nhiên ba bức thư đó vào ba phong bì.
a) Mô tả không gian mẫu của phép thử.
b) Tính xác suất của các biến cố sau:

E

: “Có đúng một bức thư đúng địa chỉ”;

F

: “Cả ba bức thư đúng địa chỉ”;

G

: “Không có bức thư nào đúng địa chỉ”;

H

: “Có ít nhất một bức thư đúng địa chỉ”.

Kiến thức cần nhớ

Số cách xếp $n$ vật khác nhau vào $n$ vị trí là hoán vị $n!$ .
Biến cố đối: $P (H) = 1 - P (G)$ vì $H$ và $G$ là hai biến cố đối nhau (có ít nhất một thư đúng ↔ không có thư nào đúng).

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · 8.16★★★Trang 48— Xác suất hai kết quả không đối xứng qua tâm trên đĩa quay 6 phần đồng khả năng

Bài 8.16 (trang 48). Một tấm bìa hình tròn được chia làm sáu hình quạt tròn có diện tích bằng nhau; ghi các số 1; 2; 3; 4; 5; 6 và được gắn vào trục quay có mũi tên cố định ở tâm. Quay tấm bìa hai lần. Tính xác suất để mũi tên chỉ vào hai hình quạt tròn không đối xứng nhau qua tâm.

Kiến thức cần nhớ

Hai lần quay độc lập cho $n (Ω) = 6 \times 6 = 36$ .
Biến cố đối: $P (A) = 1 - P (\overline{A})$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · 8.17★★★Trang 48— Xác suất kiểu hình trội ở phép lai hai cặp gene dị hợp độc lập (định luật Mendel)

Bài 8.17 (trang 48). Màu hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là vàng và xanh. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội

A

và allele lặn

a

. Hình dạng hạt của đậu Hà Lan có hai kiểu hình là hạt trơn và hạt nhăn. Có hai gene ứng với hai kiểu hình này allele trội

B

và allele lặn

b

. Khi cho lai hai cây đậu Hà Lan, cặp gene của cây con lấy ngẫu nhiên một gene từ cây bố và một gene từ cây mẹ. Giả sử cả cây bố và cây mẹ có kiểu hình “Hạt vàng và trơn”. Cây bố có kiểu gene là

(A a; B b)

, cây mẹ có kiểu gene là

(A a; B b)

. Tính xác suất để cây con có kiểu hình như cây bố và cây mẹ.

Kiến thức cần nhớ

Định luật phân li độc lập: hai cặp gene ở hai locus khác nhau di truyền độc lập với nhau.
Phép lai $A a \times A a$ cho đời con theo tỉ lệ kiểu gene $1$ $AA$ : $2$ $A a$ : $1$ $aa$ , tức tỉ lệ kiểu hình $3$ trội ( $A_$ ) : $1$ lặn ( $aa$ ).
Xác suất biến cố giao của hai biến cố độc lập bằng tích hai xác suất thành phần.