Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 20 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SGK_Tập2 #trang72–76 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 72— Nhận biết tính chất điểm trên trung trực cách đều hai đầu đoạn thẳng

HĐ1 (trang 72). Cho

d

là đường trung trực của đoạn thẳng

A B

và

O

là một điểm trên

d

(H.9.12). Hỏi đường tròn tâm

O

đi qua

A

thì có đi qua

B

không?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng bằng $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của bài là

O

nằm trên đường trung trực

d

của

A B

— đây chính là tập hợp mọi điểm cách đều

A

và

B

, nên không cần đo đạc cũng khẳng định được

O A = O B

. Bẫy dễ gặp là nghĩ rằng phải xét riêng từng vị trí cụ thể của

O

trên

d

mới kết luận được, trong khi tính chất này đúng với mọi điểm trên

d

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất đường trung trực

Định hướng. Từ định nghĩa đường trung trực suy thẳng ra $O A = O B$ , rồi dùng định nghĩa đường tròn để kết luận.

Vì

O \in d

và

d

là đường trung trực của

A B

nên

O

cách đều hai điểm

A

B

.
Do đó

O A = O B

.
Đường tròn tâm

O

đi qua

A

có bán kính

R = O A

.
Vì

O B = O A = R

nên

B

cũng cách

O

một khoảng bằng

R

Vậy đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì cũng đi qua $B$ .

2Cách 2. Dùng hai tam giác vuông bằng nhau

Định hướng. Gọi $I$ là giao điểm của $d$ và $A B$ ( $I$ là trung điểm $A B$ ), chứng minh $O A = O B$ bằng hai tam giác vuông bằng nhau thay vì dùng ngay tính chất có sẵn.

Gọi

I

là giao điểm của

d

với

A B

; vì

d

là trung trực của

A B

nên

I

là trung điểm

A B

và

d ⊥ A B

tại

I

.
Xét

Δ O I A

và

Δ O I B

vuông tại

I

có

O I

chung,

I A = I B

.
Do đó

Δ O I A = Δ O I B

(hai cạnh góc vuông).
Suy ra

O A = O B

Vậy đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì cũng đi qua $B$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hệ trục với $d$ là trục tung để tính trực tiếp $O A$ , $O B$ bằng công thức khoảng cách.

Chọn hệ trục toạ độ có gốc là trung điểm

I

của

A B

, trục hoành chứa

A B

; khi đó

d

chính là trục tung.
Đặt

A (- a; 0)

B (a; 0)

với

a = \frac{A B}{2} > 0

, và

O (0; t)

với

t

tuỳ ý (vì

O \in d

O A = (- a - 0)^{2} + (0 - t)^{2} = a^{2} + t^{2}

O B = (a - 0)^{2} + (0 - t)^{2} = a^{2} + t^{2}

.
Suy ra

O A = O B

với mọi

t

Vậy với mọi vị trí $O$ trên $d$ đều có $O A = O B$ , nên đường tròn tâm $O$ đi qua $A$ thì cũng đi qua $B$ .

Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một sự thật $O A = O B$ ; đây chính là nền tảng để định nghĩa đường tròn ngoại tiếp ở phần sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng định nghĩa đường trung trực, không cần dựng thêm điểm phụ hay đặt toạ độ.

Đáp số. Có — đường tròn tâm

O

đi qua

A

thì luôn đi qua

B

với mọi vị trí

O

trên

d

, vì

O A = O B

Sai lầm thường gặp. Một số bạn nhầm rằng chỉ khi

O

ở một vị trí đặc biệt trên

d

(chẳng hạn trung điểm

A B

) thì mới có

O A = O B

; thực ra tính chất này đúng với mọi điểm trên đường trung trực, đó chính là định nghĩa của trung trực.

🚀 Mở rộng. Đây chính là bước khởi đầu để định nghĩa đường tròn ngoại tiếp tam giác: nếu lấy thêm điểm thứ ba

C

và

O

đồng thời nằm trên trung trực của

A B

lẫn trung trực của

A C

thì

O

cách đều cả ba điểm

A, B, C

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★Trang 72— Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác từ giao điểm ba đường trung trực

HĐ2 (trang 72). Cho tam giác

A B C

có ba đường trung trực đồng quy tại

O

(H.9.13). Hãy giải thích tại sao đường tròn

(O; O A)

đi qua ba đỉnh của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ đi qua điểm $X$ khi và chỉ khi $O X = R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của bài là

O

đồng thời thuộc cả ba đường trung trực, nên áp dụng kết quả của HĐ1 hai lần (cho cặp

A B

và cặp

A C

) là đủ để có

O A = O B = O C

, không cần xét cả ba cặp. Bẫy của bài là nghĩ phải chứng minh riêng lẻ cho từng cặp cạnh mà quên rằng chỉ cần hai lần áp dụng tính chất trung trực đã suy ra đủ ba đoạn bằng nhau.

1Cách 1. Dùng hai đường trung trực AB và AC

Định hướng. Chỉ cần $O$ thuộc trung trực $A B$ và trung trực $A C$ là đủ suy ra $O A = O B = O C$ .

Vì

O

thuộc đường trung trực của

A B

nên

O A = O B

.
Vì

O

thuộc đường trung trực của

A C

nên

O A = O C

.
Suy ra

O A = O B = O C

.
Đường tròn

(O; O A)

có bán kính

R = O A

; vì

O B = O A = R

và

O C = O A = R

nên

B

C

cũng cách

O

một khoảng

R

Vậy đường tròn $(O; O A)$ đi qua cả ba đỉnh $A$ , $B$ , $C$ của tam giác.

2Cách 2. Dùng hai đường trung trực AB và BC (kiểm tra chéo)

Định hướng. Thay vì chọn cặp trung trực chứa đỉnh $A$ , chọn cặp khác (chứa đỉnh $B$ ) để kiểm tra kết quả không phụ thuộc cách chọn cặp trung trực.

Vì

O

thuộc đường trung trực của

A B

nên

O B = O A

.
Vì

O

thuộc đường trung trực của

B C

nên

O B = O C

.
Suy ra

O A = O B = O C

, đúng bằng kết quả ở Cách 1.

Vậy dù chọn cặp trung trực nào trong ba cặp, ta đều suy ra $O A = O B = O C$ , nên đường tròn $(O; O A)$ đi qua ba đỉnh $A, B, C$ .

3Cách 3. Phản chứng

Định hướng. Giả sử đường tròn $(O; O A)$ không đi qua $B$ , dẫn tới mâu thuẫn với giả thiết $O$ thuộc trung trực $A B$ .

Giả sử đường tròn

(O; O A)

không đi qua

B

, tức là

O B \neq = O A

.
Nhưng theo giả thiết

O

nằm trên đường trung trực của

A B

, nên theo tính chất đường trung trực phải có

O B = O A

— mâu thuẫn với điều giả sử.
Vậy điều giả sử là sai, tức

O B = O A

; lập luận tương tự cho

C

cũng cho

O C = O A

Vậy đường tròn $(O; O A)$ bắt buộc phải đi qua cả $B$ và $C$ , tức đi qua ba đỉnh $A, B, C$ .

Nhận xét. Ba cách đều dẫn về cùng một đẳng thức $O A = O B = O C$ — đây chính là điều kiện để $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần hai đường trung trực đi qua đỉnh

A

là đủ, không cần xét cả ba cặp cạnh.

Đáp số. Đường tròn

(O; O A)

đi qua ba đỉnh

A, B, C

vì

O A = O B = O C

(do

O

là giao điểm ba đường trung trực của tam giác).

Sai lầm thường gặp. Có bạn nghĩ phải kiểm tra riêng cả ba cặp trung trực (

A B

B C

C A

) mới đủ căn cứ, trong khi thực ra chỉ cần hai cặp bất kỳ có chung một đỉnh là đã suy ra được cả ba đoạn

O A, O B, O C

bằng nhau (tính bắc cầu).

🚀 Mở rộng. Kết quả này chính là định nghĩa tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: với BẤT KỲ tam giác nào (nhọn, vuông, tù), ba đường trung trực luôn đồng quy tại một điểm cách đều ba đỉnh — điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu hỏi (trang 73)★Trang 73— Liệt kê các tam giác nội tiếp từ các điểm cho trước trên đường tròn

Câu hỏi (trang 73). Hãy kể tên bốn tam giác nội tiếp đường tròn

(O)

trong Hình 9.14.

Kiến thức cần nhớ

Một tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn $(O)$ khi cả ba đỉnh của nó đều nằm trên $(O)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu để nhận ra một tam giác nội tiếp

(O)

là cả ba đỉnh của nó đều phải nằm trên đường tròn; trong hình chỉ có đúng bốn điểm

B, M, N, C

nằm trên

(O)

(điểm

A

nằm ngoài đường tròn nên không được tính). Bẫy của câu hỏi là dễ vô tình kể luôn các tam giác chứa đỉnh

A

(như

Δ A B M

suy biến vì

A, B, M

thẳng hàng, hoặc các tam giác tưởng tượng khác), trong khi

A

không thuộc

(O)

nên không tam giác nào chứa

A

là tam giác nội tiếp.

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp trên hình

Định hướng. Quan sát hình, chỉ giữ lại bốn điểm nằm trên đường tròn rồi liệt kê mọi tam giác tạo bởi ba trong bốn điểm đó.

Bốn điểm nằm trên đường tròn

(O)

là

B

M

N

C

(điểm

A

nằm ngoài đường tròn nên không xét).
Chọn ba trong bốn điểm này, có các bộ:

{B, M, N}

{B, M, C}

{B, N, C}

{M, N, C}

.
Mỗi bộ ba điểm không thẳng hàng tạo thành một tam giác nội tiếp

(O)

Vậy bốn tam giác nội tiếp đường tròn $(O)$ là $Δ B M N$ , $Δ B M C$ , $Δ B N C$ , $Δ M N C$ .

2Cách 2. Đếm bằng tổ hợp rồi liệt kê theo đỉnh bị loại

Định hướng. Đếm trước số tam giác có thể có bằng tổ hợp chọn 3 trong 4 điểm, sau đó liệt kê theo quy tắc "mỗi tam giác ứng với đúng một đỉnh bị loại ra".

Số cách chọn 3 điểm trong 4 điểm

{B, M, N, C}

là

C_{4}^{3} = 4

.
Mỗi cách chọn 3 điểm tương ứng với việc loại đi đúng 1 điểm trong 4 điểm.
Loại

C

: được

Δ B M N

. Loại

N

: được

Δ B M C

. Loại

M

: được

Δ B N C

. Loại

B

: được

Δ M N C

Vậy có đúng bốn tam giác nội tiếp $(O)$ : $Δ B M N$ , $Δ B M C$ , $Δ B N C$ , $Δ M N C$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Với $n$ điểm phân biệt trên một đường tròn (không có ba điểm thẳng hàng), số tam giác nội tiếp tạo được là $C_{n}^{3}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: liệt kê trực tiếp trên hình là nhanh nhất khi số điểm còn ít (4 điểm); công thức tổ hợp ở Cách 2 chỉ thật sự cần khi số điểm nhiều.

Đáp số. Bốn tam giác nội tiếp đường tròn

(O)

Δ B M N

Δ B M C

Δ B N C

Δ M N C

Sai lầm thường gặp. Một số bạn kể nhầm cả những tam giác có đỉnh

A

(ví dụ nghĩ đến

Δ A B C

hay

Δ A M N

), quên rằng

A

nằm ngoài đường tròn nên bất kỳ tam giác nào chứa

A

đều không phải là tam giác nội tiếp

(O)

🚀 Mở rộng. Nếu hình có

n

điểm phân biệt trên đường tròn (không có ba điểm nào thẳng hàng) thì số tam giác nội tiếp tạo được từ

n

điểm đó là

C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★★Trang 73— Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền

HĐ3 (trang 73). Cho tam giác

A B C

vuông tại đỉnh

A

(H.9.15). Gọi

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

và

A C

.
a) Vẽ hai đường trung trực

a

b

của các cạnh

A B

A C

, cắt nhau tại

M

.
b) Hãy giải thích vì sao

M N

M P

là các đường trung bình của tam giác

A B C

.
c) Hãy giải thích vì sao

M

là trung điểm của

B C

, từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp của tam giác

A B C

có tâm

M

và bán kính

M B = M C = \frac{B C}{2}

Kiến thức cần nhớ

Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai của tam giác thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba (định lí đường trung bình).
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của bài là tam giác vuông tại

A

— đây là gợi ý để dùng đường trung bình: trung trực

a

của

A B

vuông góc

A B

, mà

A C

cũng vuông góc

A B

(do góc

A

vuông) nên

a ∥ A C

, kết hợp

a

đi qua trung điểm

N

của

A B

suy ra

a

chính là đường trung bình. Bẫy của bài là ở ý c): phải chỉ rõ

M

nằm trên

B C

(không chỉ là điểm cách đều 3 đỉnh) mới kết luận được

M

là trung điểm

B C

, chứ không được suy luận ngược từ kết quả đã biết.

1Cách 1. Dùng đường trung bình theo đúng gợi ý SGK

Định hướng. Chỉ ra $a$ , $b$ song song với hai cạnh còn lại rồi áp dụng định lí đường trung bình để suy ra $M$ nằm trên $B C$ .

Vì

a

là trung trực của

A B

nên

a ⊥ A B

tại

N

(trung điểm

A B

); vì tam giác vuông tại

A

nên

A C ⊥ A B

.
Suy ra

a ∥ A C

; vì

a

đi qua trung điểm

N

của

A B

và song song

A C

nên theo định lí đường trung bình,

a

(tức đường thẳng

M N

) đi qua trung điểm của

B C

.
Tương tự,

b ∥ A B

và

b

đi qua trung điểm

P

của

A C

nên

M P

cũng đi qua trung điểm

B C

.
Vì

a

và

b

cùng đi qua trung điểm

B C

và

M = a \cap b

nên

M

chính là trung điểm

B C

.
Vì

M \in a

(trung trực

A B

) nên

M A = M B

; vì

M \in b

(trung trực

A C

) nên

M A = M C

.
Do đó

M A = M B = M C = \frac{B C}{2}

(vì

M

là trung điểm

B C

Vậy $M N$ , $M P$ là đường trung bình của tam giác $A B C$ ; $M$ là trung điểm $B C$ ; đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ có tâm $M$ , bán kính $M B = M C = \frac{B C}{2}$ .

2Cách 2. Dùng trực tiếp tính chất trung trực trước, đường trung bình sau

Định hướng. Xác định ngay $M$ cách đều ba đỉnh nhờ tính chất trung trực, rồi mới dùng đường trung bình để chỉ ra vị trí $M$ trên $B C$ .

Vì

M \in a

(trung trực

A B

) nên

M A = M B

; vì

M \in b

(trung trực

A C

) nên

M A = M C

; suy ra

M A = M B = M C

, tức

M

cách đều ba đỉnh

A, B, C

.
Mặt khác vì

a ⊥ A B

và

A C ⊥ A B

nên

a ∥ A C

, và

a

qua trung điểm

N

của

A B

; theo đường trung bình,

M N ∥ A C

và

M

là trung điểm

B C

.
Vì

M

là trung điểm

B C

và

M A = M B = M C

nên

M B = M C = \frac{B C}{2}

Vậy $M$ vừa cách đều ba đỉnh vừa là trung điểm cạnh huyền $B C$ ; đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ có tâm $M$ , bán kính $\frac{B C}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc toạ độ với hai cạnh góc vuông nằm trên hai trục để tính toạ độ $M$ trực tiếp bằng đại số.

Đặt

A (0; 0)

B (2 p; 0)

C (0; 2 q)

với

p, q > 0

(do góc

A

vuông,

A B

A C

vuông góc nhau).
Trung trực

a

của

A B

là đường thẳng

x = p

; trung trực

b

của

A C

là đường thẳng

y = q

.
Giao điểm

M = a \cap b

có toạ độ

M (p; q)

.
Trung điểm

B C

có toạ độ

(\frac{2 p + 0}{2}; \frac{0 + 2 q}{2}) = (p; q)

Vậy $M (p; q)$ trùng đúng trung điểm của $B C$ , xác nhận lại kết quả của Cách 1 và Cách 2 bằng một phép tính toạ độ độc lập.

Nhận xét. Ba cách đều khẳng định: tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông chính là trung điểm cạnh huyền — đây là một định lí quan trọng sẽ dùng xuyên suốt bài học.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: bám sát gợi ý đường trung bình của đề, không cần đặt toạ độ.

Đáp số.

M N

M P

là đường trung bình của

Δ A B C

;

M

là trung điểm

B C

; đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

có tâm

M

, bán kính

M B = M C = \frac{B C}{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn chỉ dừng ở việc chứng minh

M A = M B = M C

(tức

M

cách đều ba đỉnh) rồi vội kết luận

M

là trung điểm

B C

mà quên chứng minh

M

thực sự nằm trên đoạn

B C

— hai điều này không tương đương nếu thiếu lập luận về đường trung bình hoặc toạ độ.

🚀 Mở rộng. Đây chính là định lí: "Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền" — sẽ được dùng trực tiếp không cần chứng minh lại ở Ví dụ 1 ngay sau đây.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Ví dụ 1★★Trang 73— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông

Ví dụ 1 (trang 73). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

có

A B = 2

cm,

A C = 4

cm. Vẽ đường tròn

(O; R)

ngoại tiếp tam giác

A B C

và tính bán kính

R

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác vuông với hai cạnh góc vuông cụ thể — dấu hiệu để dùng ngay định lí "tâm ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền, bán kính bằng nửa cạnh huyền" vừa học ở HĐ3, chỉ cần tính

B C

bằng Pythagore. Bẫy của bài là quên khai căn đúng hoặc nhầm cạnh huyền với một cạnh góc vuông khi viết công thức

R = \frac{B C}{2}

1Cách 1. Pythagore rồi áp dụng trực tiếp định lí (theo SGK)

Định hướng. Tính $B C$ bằng Pythagore rồi lấy nửa $B C$ làm bán kính, theo đúng định lí tam giác vuông vừa chứng minh.

Lấy

O

là trung điểm của

B C

; khi đó

(O)

là đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
Theo định lí Pythagore:

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 4 + 16 = 20

B C = 20 = 25

(cm).

R = \frac{B C}{2} = \frac{2 5}{2} = 5

(cm).

Vậy đường tròn $(O)$ có bán kính $R = 5$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S cho tam giác bất kì

Định hướng. Không cần biết tâm ở đâu, áp dụng công thức tổng quát $R = \frac{ab c}{4 S}$ cho mọi tam giác.

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20

, suy ra

B C = 25

(cm).
Diện tích

Δ A B C

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 = 4

(cm

^{2}

R = \frac{B C \cdot C A \cdot A B}{4 S} = \frac{2 5 \cdot 4 \cdot 2}{4 \cdot 4} = \frac{16 5}{16} = 5

(cm).

Vậy $R = 5$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí sin

Định hướng. Dùng định lí sin $R = \frac{a}{2 sin A}$ với góc $A = 90°$ để rút gọn phép tính.

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = 2^{2} + 4^{2} = 20

, suy ra

B C = 25

(cm).
Vì

A = 90°

nên

sin A = 1

.
Theo định lí sin:

\frac{B C}{sin A} = 2 R

, suy ra

R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{2 5}{2 \cdot 1} = 5

(cm).

Vậy $R = 5$ cm, khớp cả Cách 1 và Cách 2.

Nhận xét. Với tam giác vuông, cả ba cách đều quy về cùng công thức $R = \frac{B C}{2}$ — Cách 1 nhanh nhất vì tận dụng ngay tính chất riêng của tam giác vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tận dụng ngay tính chất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền, không cần công thức tổng quát.

Đáp số.

R = 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn tính nhầm

B C = A B + A C = 6

cm (cộng trực tiếp hai cạnh góc vuông thay vì dùng Pythagore), dẫn tới

R = 3

cm sai hoàn toàn.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

A B

A C

thành hai số bất kì

m

n

thì

R = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{2}

— công thức tổng quát cho mọi tam giác vuông với hai cạnh góc vuông

m

n

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 1★★Trang 73— Nhận biết tam giác vuông từ bộ ba cạnh rồi tính bán kính ngoại tiếp

Luyện tập 1 (trang 73). Cho tam giác

A B C

có

A C = 3

cm,

A B = 4

cm và

B C = 5

cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore đảo: nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại thì tam giác đó vuông tại đỉnh đối diện cạnh lớn nhất.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có bán kính bằng một nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Bài không nói tam giác vuông nhưng bộ ba cạnh

3, 4, 5

là dấu hiệu quen thuộc của bộ ba Pythagore — cần kiểm tra bằng định lí Pythagore đảo trước khi áp dụng công thức bán kính tam giác vuông. Bẫy của bài là bỏ qua bước kiểm tra này và cứ mặc định tam giác vuông vì "thấy quen số 3, 4, 5", trong khi lẽ ra phải chứng minh chặt chẽ bằng

A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}

1Cách 1. Nhận diện bộ ba Pythagore rồi áp dụng trực tiếp

Định hướng. Kiểm tra $A C^{2} + A B^{2} = B C^{2}$ để khẳng định tam giác vuông tại $A$ , sau đó lấy nửa cạnh huyền làm bán kính.

A C^{2} + A B^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = B C^{2}

(vì

B C^{2} = 5^{2} = 25

).
Theo định lí Pythagore đảo, tam giác

A B C

vuông tại

A

.
Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

có tâm là trung điểm

B C

và bán kính

R = \frac{B C}{2} = \frac{5}{2} = 2, 5

(cm).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ là $R = 2, 5$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S

Định hướng. Dùng công thức tổng quát cho mọi tam giác thay vì tính chất riêng của tam giác vuông, để kiểm tra chéo kết quả.

Nửa chu vi

p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6

(cm).
Theo công thức Heron:

S = p (p - a) (p - b) (p - c) = 6 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 36 = 6

(cm

^{2}

R = \frac{A B \cdot B C \cdot C A}{4 S} = \frac{4 \cdot 5 \cdot 3}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = 2, 5

(cm).

Vậy $R = 2, 5$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí côsin để xác nhận góc vuông rồi tính R

Định hướng. Tính $cos A$ bằng định lí côsin để xác nhận $A = 90°$ một cách khác với Pythagore đảo, rồi dùng định lí sin để tính $R$ .

Theo định lí côsin:

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{16 + 9 - 25}{2 \cdot 4 \cdot 3} = \frac{0}{24} = 0

.
Suy ra

A = 90°

, tức

sin A = 1

.
Theo định lí sin:

R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{5}{2 \cdot 1} = 2, 5

(cm).

Vậy $R = 2, 5$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 3 không cần "nhận diện" bộ ba Pythagore, mà tính trực tiếp góc $A$ bằng côsin — hữu ích khi bộ số không quen thuộc như $3, 4, 5$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay

3, 4, 5

là bộ ba Pythagore rồi lấy nửa cạnh huyền, đây là cách nhanh nhất khi số liệu đẹp.

Đáp số.

R = 2, 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn quên kiểm tra tam giác có vuông hay không mà áp dụng nhầm công thức

R = \frac{B C}{2}

cho một tam giác bất kì không vuông — công thức này chỉ đúng khi tam giác vuông và

B C

là cạnh huyền.

🚀 Mở rộng. Nếu thay bộ số

(3, 4, 5)

bằng một bộ ba cạnh bất kì không phải Pythagore, ta bắt buộc phải dùng công thức tổng quát

R = \frac{ab c}{4 S}

(Cách 2) hoặc định lí côsin kết hợp định lí sin (Cách 3), không còn cách tắt "lấy nửa cạnh huyền" nữa.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · HĐ4★★Trang 73— Khám phá tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều

HĐ4 (trang 73-74). a) Vẽ tam giác đều

A B C

. Hãy trình bày cách xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

và vẽ đường tròn đó.
b) Giải thích vì sao tâm

O

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

trùng với trọng tâm của tam giác đó (H.9.17).
c) Giải thích vì sao

O B M = 30°

và

O B = \frac{3}{3} B C

(với

M

là trung điểm của

B C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác cân, đường trung trực của cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác của góc ở đỉnh.
Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến theo tỉ số $2 : 1$ tính từ đỉnh.
Đường cao của tam giác đều cạnh $a$ có độ dài $h = \frac{3}{2} a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là tam giác đều — tính chất đặc biệt "cân tại mọi đỉnh" khiến mỗi đường trung trực của một cạnh đồng thời là đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác ứng với cạnh đó, nên giao ba trung trực (tâm ngoại tiếp) trùng giao ba trung tuyến (trọng tâm). Bẫy của bài là ở ý c): phải dùng đúng tỉ lệ trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ số

2 : 1

tính từ đỉnh, nếu nhầm tỉ số sẽ ra sai cả góc lẫn độ dài

O B

1Cách 1. Dùng tính chất trọng tâm và tam giác vuông OMB

Định hướng. Xác định $O$ bằng giao hai trung trực (cũng là hai trung tuyến), rồi xét tam giác vuông $O M B$ với $O M = \frac{1}{3}$ đường cao.

a) Vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kì (chẳng hạn

A B

và

A C

), giao điểm là

O

; vẽ đường tròn tâm

O

bán kính

O A

, đó là đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

.
b) Vì

Δ A B C

đều nên tam giác cân tại mỗi đỉnh; do đó trung trực của cạnh

B C

(ứng đỉnh

A

) trùng với trung tuyến, đường cao, phân giác kẻ từ

A

. Tương tự cho hai đỉnh còn lại. Vậy giao điểm ba trung trực (

O

) trùng giao điểm ba trung tuyến, tức

O

là trọng tâm.
c) Gọi cạnh tam giác là

B C = a

; đường cao

A M = \frac{3}{2} a

(

M

trung điểm

B C

).
Vì

O

là trọng tâm nên

O M = \frac{1}{3} A M = \frac{3}{6} a

; tam giác

O M B

vuông tại

M

có

B M = \frac{a}{2}

tan O B M = \frac{O M}{B M} = \frac{\frac{3}{6} a}{\frac{a}{2}} = \frac{3}{3} = tan 30°

, suy ra

O B M = 30°

O B = \frac{O M}{sin O B M} = \frac{\frac{3}{6} a}{sin 30°} = \frac{\frac{3}{6} a}{\frac{1}{2}} = \frac{3}{3} a = \frac{3}{3} B C

Vậy $O$ trùng trọng tâm tam giác $A B C$ ; $O B M = 30°$ và $O B = \frac{3}{3} B C$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt toạ độ ba đỉnh của tam giác đều để tính trực tiếp toạ độ trọng tâm và độ dài $O B$ bằng đại số.

Đặt

B (- \frac{a}{2}; 0)

C (\frac{a}{2}; 0)

A (0; \frac{3}{2} a)

với

a = B C

.
Trọng tâm

O = (\frac{x _{A} + x _{B} + x _{C}}{3}; \frac{y _{A} + y _{B} + y _{C}}{3}) = (0; \frac{3}{6} a)

M (0; 0)

là trung điểm

B C

;

O M = \frac{3}{6} a

B M = \frac{a}{2}

O B = O M^{2} + B M^{2} = \frac{a ^{2}}{12} + \frac{a ^{2}}{4} = \frac{a ^{2}}{12} + \frac{3 a ^{2}}{12} = \frac{4 a ^{2}}{12} = \frac{a}{3} = \frac{3}{3} a

tan O B M = \frac{O M}{B M} = \frac{3}{3}

, suy ra

O B M = 30°

Vậy $O B = \frac{3}{3} B C$ và $O B M = 30°$ , khớp Cách 1; đồng thời $O (0; \frac{3}{6} a)$ chia đoạn $A M$ theo đúng tỉ số $2 : 1$ , xác nhận $O$ là trọng tâm.

3Cách 3. Dùng công thức bán kính ngoại tiếp và góc ở tâm

Định hướng. Dùng định lí sin để tính $O B = R$ trực tiếp, rồi dùng tính chất tam giác cân $O B C$ với góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp để suy ra $O B M$ .

Theo định lí sin trong

Δ A B C

R = \frac{B C}{2 sin A} = \frac{B C}{2 sin 60°} = \frac{B C}{2 \cdot \frac{3}{2}} = \frac{B C}{3} = \frac{3}{3} B C

, tức

O B = \frac{3}{3} B C

.
Vì

B A C = 60°

là góc nội tiếp chắn cung nhỏ

B C

, góc ở tâm

B O C

cùng chắn cung đó nên

B O C = 2 \cdot 60° = 120°

.
Vì

O B = O C

(bán kính) nên

Δ O B C

cân tại

O

;

O B C = O C B = \frac{180° - 120°}{2} = 30°

.
Vì

M

là trung điểm

B C

và

O B M = O B C

(cùng một góc, do

M \in B C

) nên

O B M = 30°

Vậy $O B M = 30°$ và $O B = \frac{3}{3} B C$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả nhưng dùng ba công cụ khác nhau: tính chất trọng tâm, toạ độ, và góc ở tâm — mỗi công cụ phù hợp với một dạng bài khác nhau về sau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tận dụng ngay tính chất trọng tâm chia trung tuyến tỉ số

2 : 1

, không cần đặt toạ độ.

Đáp số.

O

trùng trọng tâm tam giác

A B C

;

O B M = 30°

;

O B = \frac{3}{3} B C

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là nhớ nhầm tỉ số trọng tâm thành

1 : 2

(thay vì

2 : 1

tính từ đỉnh), dẫn đến tính

O M = \frac{2}{3} A M

thay vì

\frac{1}{3} A M

, làm sai cả góc

O B M

lẫn độ dài

O B

🚀 Mở rộng. Công thức

R = \frac{3}{3} a

(với

a

là cạnh tam giác đều) sẽ được dùng lại trực tiếp, không cần chứng minh lại, ở Ví dụ 2 và mọi bài toán liên quan tam giác đều nội tiếp sau này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Ví dụ 2★Trang 74— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều theo cạnh

Ví dụ 2 (trang 74). Cho tam giác đều

A B C

có cạnh bằng

3

cm. Vẽ đường tròn

(O; R)

ngoại tiếp tam giác

A B C

. Tính bán kính

R

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm và bán kính $R = \frac{3}{3} a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác đều với cạnh cụ thể — dấu hiệu để áp dụng ngay công thức

R = \frac{3}{3} a

vừa rút ra ở HĐ4, không cần dựng lại từ đầu. Bẫy của bài là nhầm công thức bán kính ngoại tiếp

R = \frac{3}{3} a

với công thức bán kính nội tiếp

r = \frac{3}{6} a

sẽ học ngay sau — hai công thức chỉ khác nhau hệ số

2

lần nhưng dễ lẫn nếu học vẹt.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức đã học

Định hướng. Thay $a = 3$ vào công thức $R = \frac{3}{3} a$ vừa chứng minh ở HĐ4.

Lấy

O

là giao điểm ba đường trung tuyến của

Δ A B C

và vẽ đường tròn

(O)

đi qua

A

; đó là đường tròn ngoại tiếp

Δ A B C

R = \frac{3}{3} B C = \frac{3}{3} \cdot 3 = 3

(cm).

Vậy đường tròn $(O)$ có bán kính $R = 3$ cm.

2Cách 2. Suy luận lại từ tính chất trọng tâm (không dùng công thức có sẵn)

Định hướng. Tính trực tiếp $O A = \frac{2}{3} A M$ ( $M$ trung điểm $B C$ ) mà không cần nhớ công thức $R = \frac{3}{3} a$ .

Gọi

M

là trung điểm

B C

; đường cao

A M = \frac{3}{2} \cdot 3 = \frac{3 3}{2}

(cm).
Vì

O

là trọng tâm nên

O A = \frac{2}{3} A M = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 3}{2} = 3

(cm).

Vậy $R = O A = 3$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức R = abc/4S

Định hướng. Dùng công thức tổng quát cho mọi tam giác để kiểm tra chéo, không phụ thuộc tính chất riêng của tam giác đều.

Diện tích tam giác đều cạnh

3

S = \frac{3}{4} \cdot 3^{2} = \frac{9 3}{4}

(cm

^{2}

R = \frac{A B \cdot B C \cdot C A}{4 S} = \frac{3 \cdot 3 \cdot 3}{4 \cdot \frac{9 3}{4}} = \frac{27}{9 3} = \frac{3}{3} = 3

(cm).

Vậy $R = 3$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất khi đã thuộc công thức; Cách 2 và Cách 3 hữu ích để tự kiểm tra lại công thức khi không chắc chắn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay số trực tiếp vào công thức

R = \frac{3}{3} a

— nhanh gọn một dòng, không cần dựng lại từ trọng tâm.

Đáp số.

R = 3

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến nhất là dùng nhầm công thức bán kính nội tiếp

r = \frac{3}{6} a = \frac{3}{2}

cm thay vì bán kính ngoại tiếp

R = \frac{3}{3} a = 3

cm — hai công thức chỉ khác hệ số nhưng bản chất khác hẳn (tâm cùng một điểm nhưng bán kính khác nhau đúng 2 lần).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi cạnh

3

cm thành cạnh

a

tổng quát, bán kính luôn là

R = \frac{3}{3} a

— công thức này còn dùng lại theo chiều ngược (từ

R

suy ra

a

) ở Luyện tập 2 ngay sau đây.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Luyện tập 2★★Trang 74— Tính cạnh tam giác đều khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp

Luyện tập 2 (trang 74). Cho tam giác đều

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

có bán kính bằng

4

cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính $R = \frac{3}{3} a$ , suy ra $a = R 3$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chiều ngược của Ví dụ 2: biết

R

, tìm cạnh

a

— chỉ cần giải ngược công thức

R = \frac{3}{3} a

đã có. Bẫy của bài là khi giải ngược dễ quên nhân chéo đúng, dẫn tới đặt nhầm

a = \frac{R}{3}

(thiếu nghịch đảo) thay vì

a = R 3

1Cách 1. Giải ngược công thức đã học

Định hướng. Từ $R = \frac{3}{3} a$ suy ra $a = R 3$ rồi thay số.

R = \frac{3}{3} a \Rightarrow a = \frac{3 R}{3} = R 3

a = 43

(cm).

Vậy mỗi cạnh của tam giác $A B C$ dài $43$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S với a=b=c=x

Định hướng. Đặt cạnh cần tìm là $x$ , biểu diễn $R$ theo $x$ bằng công thức tổng quát rồi giải phương trình.

Gọi

x

là cạnh tam giác đều; diện tích

S = \frac{3}{4} x^{2}

R = \frac{x \cdot x \cdot x}{4 S} = \frac{x ^{3}}{4 \cdot \frac{3}{4} x ^{2}} = \frac{x ^{3}}{3 x ^{2}} = \frac{x}{3}

\frac{x}{3} = 4 \Rightarrow x = 43

(cm).

Vậy cạnh tam giác $x = 43$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí sin

Định hướng. Dùng trực tiếp định lí sin với góc ở đỉnh bằng $60°$ (đặc trưng tam giác đều), tách biệt khỏi công thức "ghi nhớ" của tam giác đều.

Theo định lí sin:

\frac{a}{sin A} = 2 R

, với

A = 60°

(góc của tam giác đều).

a = 2 R sin 60° = 2 \cdot 4 \cdot \frac{3}{2} = 43

(cm).

Vậy $a = 43$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách tuy khác công cụ (công thức riêng tam giác đều, công thức $R = ab c /4 S$ , định lí sin) nhưng đều cho cùng kết quả — chọn cách nào tuỳ vào công thức nào bạn nhớ chắc nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đảo ngược công thức

R = \frac{3}{3} a

thành

a = R 3

rồi thay số, chỉ một dòng tính.

Đáp số. Mỗi cạnh của tam giác

A B C

dài

43

cm.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn giải ngược sai công thức, viết nhầm

a = \frac{R}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}

cm thay vì

a = R 3 = 43

cm — nhầm chiều nghịch đảo khi chuyển vế phân số có căn ở mẫu.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi bán kính

R = 4

cm cho trước thành ẩn số, quan hệ

a = R 3

(hay

R = \frac{a}{3}

) là công thức hai chiều dùng được cho mọi tam giác đều, không riêng gì bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · HĐ5★★Trang 74— Chứng minh sự tồn tại đường tròn nội tiếp tam giác

HĐ5 (trang 74). Cho tam giác

A B C

có ba đường phân giác đồng quy tại điểm

I

. Gọi

D

E

F

lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ

I

xuống các cạnh

B C

C A

và

A B

(H.9.19).
a) Hãy giải thích vì sao các điểm

D

E

F

cùng nằm trên một đường tròn có tâm

I

.
b) Gọi

(I)

là đường tròn trên. Hãy giải thích vì sao

(I)

tiếp xúc với các cạnh của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Mọi điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó.
Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính tại điểm đó thì đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là

I

đồng thời nằm trên ba đường phân giác — mỗi đường phân giác của một góc chính là tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của góc đó, nên chỉ cần áp dụng tính chất này hai lần (tại

B

và tại

C

) là đủ suy ra

I D = I E = I F

. Bẫy của bài là ở ý b): phải chỉ rõ

I D ⊥ B C

(vì

D

là chân vuông góc) và

I D = r

(bán kính) mới đủ căn cứ kết luận

(I)

tiếp xúc

B C

tại

D

, không được chỉ nói suông "đường tròn tiếp xúc cạnh".

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất tia phân giác

Định hướng. Áp dụng tính chất "điểm trên phân giác cách đều hai cạnh của góc" cho hai đỉnh $B$ và $C$ để suy ra $I D = I E = I F$ .

a) Vì

I

nằm trên tia phân giác của

B

nên

I

cách đều hai cạnh

B A

B C

của góc đó, tức

I F = I D

(vì

F

D

lần lượt là chân vuông góc từ

I

xuống

A B

B C

).
Vì

I

nằm trên tia phân giác của

C

nên

I

cách đều hai cạnh

C B

C A

, tức

I D = I E

.
Suy ra

I D = I E = I F

, nên

D

E

F

cùng cách

I

một khoảng bằng nhau, tức cùng nằm trên một đường tròn tâm

I

.
b) Gọi bán kính đường tròn đó là

r = I D = I E = I F

. Vì

I D ⊥ B C

tại

D

và

D \in (I; r)

nên theo tính chất tiếp tuyến,

B C

là tiếp tuyến của

(I)

tại

D

. Lập luận tương tự,

C A

tiếp xúc

(I)

tại

E

A B

tiếp xúc

(I)

tại

F

Vậy $D, E, F$ cùng nằm trên đường tròn tâm $I$ bán kính $r$ ; đường tròn $(I; r)$ tiếp xúc cả ba cạnh của tam giác $A B C$ .

2Cách 2. Dùng hai cặp tam giác vuông bằng nhau

Định hướng. Tự chứng minh lại $I D = I F$ và $I D = I E$ bằng các tam giác vuông bằng nhau, thay vì dùng ngay tính chất phân giác có sẵn.

Xét

Δ I B D

và

Δ I B F

vuông lần lượt tại

D

F

: có

I B

chung,

I B D = I B F

(vì

B I

là phân giác

B

).
Suy ra

Δ I B D = Δ I B F

(cạnh huyền – góc nhọn), do đó

I D = I F

.
Xét

Δ I C D

và

Δ I C E

vuông lần lượt tại

D

E

: có

I C

chung,

I C D = I C E

(vì

C I

là phân giác

C

).
Suy ra

Δ I C D = Δ I C E

(cạnh huyền – góc nhọn), do đó

I D = I E

.
Kết hợp hai kết quả:

I D = I E = I F

, nên

D, E, F

cùng nằm trên đường tròn tâm

I

.
Vì

I D ⊥ B C

I E ⊥ C A

I F ⊥ A B

tại các điểm thuộc đường tròn

(I)

nên

(I)

tiếp xúc với ba cạnh, tương tự lập luận ở Cách 1.

Vậy $I D = I E = I F$ và đường tròn $(I; I D)$ tiếp xúc cả ba cạnh của tam giác $A B C$ , khớp Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 thực chất là chứng minh lại đúng tính chất phân giác đã nêu ở Cách 1 bằng tam giác bằng nhau — hữu ích khi chưa được công nhận tính chất đó.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: áp dụng thẳng tính chất phân giác đã học, không cần dựng lại các cặp tam giác vuông bằng nhau.

Đáp số.

D, E, F

cùng nằm trên đường tròn tâm

I

bán kính

r = I D = I E = I F

; đường tròn

(I; r)

tiếp xúc với cả ba cạnh

B C

C A

A B

của tam giác

A B C

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn dừng lại ở việc chứng minh

I D = I E = I F

rồi mặc định luôn

(I)

tiếp xúc ba cạnh mà quên nêu căn cứ (

I D ⊥ B C

tại điểm

D

thuộc đường tròn) — đây là bước bắt buộc theo đúng định nghĩa tiếp tuyến, không được bỏ qua.

🚀 Mở rộng. Đường tròn

(I; r)

chính là đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

sẽ được định nghĩa chính thức ngay sau HĐ này; tâm

I

luôn là giao điểm ba đường phân giác, không phụ thuộc dạng tam giác (nhọn, vuông hay tù).

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Câu hỏi (trang 75)★★Trang 75— Nhận biết tính duy nhất của đường tròn nội tiếp và tính không duy nhất của tam giác ngoại tiếp

Câu hỏi (trang 75). Mỗi tam giác có bao nhiêu đường tròn nội tiếp? Có bao nhiêu tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn?

Kiến thức cần nhớ

Ba đường phân giác của một tam giác luôn đồng quy tại đúng một điểm.
Hai đường thẳng phân biệt cắt nhau thì chỉ cắt nhau tại đúng một điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Câu hỏi gồm hai vế trái ngược nhau: một tam giác cho trước có duy nhất một đường tròn nội tiếp (vì ba phân giác chỉ đồng quy tại đúng một điểm), nhưng một đường tròn cho trước lại có vô số tam giác ngoại tiếp nó (chỉ cần vẽ ba tiếp tuyến đôi một cắt nhau tạo tam giác, có vô số cách chọn ba tiếp tuyến như vậy). Bẫy của câu hỏi là lẫn lộn hai chiều "tam giác

\to

đường tròn" và "đường tròn

\to

tam giác" — chiều thứ nhất là duy nhất, chiều thứ hai là vô số.

1Cách 1. Lập luận trực tiếp từ tính đồng quy và minh hoạ dựng tiếp tuyến

Định hướng. Dùng tính chất "ba phân giác đồng quy tại đúng một điểm" cho vế thứ nhất, và minh hoạ có vô số cách chọn ba tiếp tuyến cho vế thứ hai.

Với một tam giác

A B C

cho trước, ba đường phân giác trong luôn đồng quy tại đúng một điểm

I

— đây là điểm duy nhất cách đều ba cạnh, nên chỉ có đúng một đường tròn nội tiếp

(I; r)

.
Ngược lại, với một đường tròn

(O; R)

cho trước, có thể vẽ vô số bộ ba tiếp tuyến của

(O)

đôi một cắt nhau (chỉ cần chọn ba tiếp điểm khác nhau tuỳ ý trên đường tròn); mỗi bộ ba tiếp tuyến như vậy tạo thành một tam giác ngoại tiếp

(O)

khác nhau.

Vậy mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp; có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.

2Cách 2. Phản chứng cho tính duy nhất

Định hướng. Chứng minh chặt chẽ hơn cho vế thứ nhất bằng phản chứng: giả sử có hai đường tròn nội tiếp khác tâm.

Giả sử tam giác

A B C

có hai đường tròn nội tiếp phân biệt, tâm lần lượt là

I_{1}

và

I_{2}

(

I_{1} \neq = I_{2}

).
Vì cả

(I_{1})

và

(I_{2})

đều tiếp xúc với hai cạnh của một góc bất kì (chẳng hạn góc

B

) nên cả

I_{1}

I_{2}

đều nằm trên tia phân giác của

B

; tương tự cả hai đều nằm trên tia phân giác của

C

.
Nhưng hai tia phân giác của

B

và

C

là hai đường thẳng cắt nhau tại đúng một điểm, nên

I_{1} = I_{2}

— mâu thuẫn với giả sử

I_{1} \neq = I_{2}

.
Với vế thứ hai, vẫn dựng được vô số tam giác ngoại tiếp một đường tròn cho trước như lập luận ở Cách 1.

Vậy phản chứng khẳng định lại: mỗi tam giác chỉ có một đường tròn nội tiếp; trong khi một đường tròn có vô số tam giác ngoại tiếp nó.

Nhận xét. Sự bất đối xứng này (một chiều duy nhất, một chiều vô số) đến từ việc tam giác có đúng ba phân giác cố định, còn đường tròn có vô số tiếp tuyến để chọn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nêu thẳng tính đồng quy duy nhất của ba phân giác, không cần phản chứng dài dòng.

Đáp số. Mỗi tam giác có đúng một đường tròn nội tiếp; có vô số tam giác cùng ngoại tiếp một đường tròn cho trước.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn nhầm lẫn hai chiều của câu hỏi, cho rằng "cả tam giác lẫn đường tròn đều duy nhất một chiều" — thực ra chỉ chiều tam giác

\to

đường tròn nội tiếp là duy nhất, còn chiều ngược lại (đường tròn

\to

tam giác ngoại tiếp) luôn có vô số kết quả.

🚀 Mở rộng. Tương tự, mỗi tam giác cũng có đúng một đường tròn ngoại tiếp (do ba trung trực đồng quy duy nhất), nhưng có vô số tam giác cùng nội tiếp một đường tròn cho trước (chỉ cần chọn ba điểm bất kì trên đường tròn đó) — đúng như minh hoạ ở Câu hỏi trang 73 với bốn tam giác nội tiếp cùng một đường tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · HĐ6★★Trang 75— Chứng minh tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều

HĐ6 (trang 75). Cho tam giác

A B C

đều có trọng tâm

G

.
a) Giải thích vì sao

G

cũng là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

.
b) Từ đó, giải thích vì sao bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

A B C

bằng một nửa bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

và bằng

\frac{3}{6} B C

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác đều, mỗi đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường cao và đường trung trực ứng với cạnh đối diện.
Trọng tâm chia mỗi trung tuyến theo tỉ số $2 : 1$ tính từ đỉnh: đoạn từ đỉnh dài gấp đôi đoạn từ trọng tâm đến cạnh đối diện.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là tam giác đều — vẫn tính chất quen thuộc "trung tuyến trùng phân giác" đã dùng ở HĐ4, nhưng lần này áp cho phân giác thay vì trung trực, nên giao ba trung tuyến (trọng tâm

G

) cũng chính là giao ba phân giác (tâm nội tiếp). Bẫy của bài là ở ý b): phải dùng đúng

GM = \frac{1}{3} A M

(khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh, tức bán kính nội tiếp) chứ không phải

G A = \frac{2}{3} A M

(bán kính ngoại tiếp) — hai đoạn này dễ lẫn vì cùng nằm trên đường cao

A M

1Cách 1. Dùng tính chất tam giác đều trực tiếp

Định hướng. Chỉ ra ba trung tuyến trùng ba phân giác để suy ra $G$ là tâm nội tiếp, rồi dùng tỉ số $1 : 2$ giữa hai đoạn trên cùng đường cao.

a) Vì

Δ A B C

đều nên tam giác cân tại mỗi đỉnh; do đó trung tuyến kẻ từ mỗi đỉnh đồng thời là phân giác của góc tại đỉnh đó (tính chất tam giác cân). Vậy giao ba trung tuyến (

G

, trọng tâm) trùng giao ba phân giác, tức

G

là tâm đường tròn nội tiếp.
b) Gọi

M

là trung điểm

B C

A M

là đường cao đồng thời trung tuyến. Bán kính nội tiếp

r = GM

(khoảng cách từ

G

đến cạnh

B C

); bán kính ngoại tiếp

R = G A

(theo HĐ4).
Vì

G

là trọng tâm nên

G A = \frac{2}{3} A M

và

GM = \frac{1}{3} A M

\frac{r}{R} = \frac{GM}{G A} = \frac{\frac{1}{3} A M}{\frac{2}{3} A M} = \frac{1}{2}

, suy ra

r = \frac{R}{2}

.
Vì

R = \frac{3}{3} B C

(đã có ở HĐ4) nên

r = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} B C = \frac{3}{6} B C

Vậy $G$ là tâm đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ ; bán kính nội tiếp $r = \frac{R}{2} = \frac{3}{6} B C$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt toạ độ ba đỉnh như ở HĐ4 để tính khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh $B C$ bằng công thức khoảng cách điểm–đường thẳng.

Đặt

B (- \frac{a}{2}; 0)

C (\frac{a}{2}; 0)

A (0; \frac{3}{2} a)

với

a = B C

; trọng tâm

G = (0; \frac{3}{6} a)

(đã tính ở HĐ4 Cách 2).
Đường thẳng

B C

chính là trục hoành

y = 0

; khoảng cách từ

G

đến

B C

là

r = \frac{3}{6} a

.
Vì cạnh

A B

A C

cũng cách đều

G

một khoảng bằng

r

này (do đối xứng của tam giác đều), nên

G

cách đều cả ba cạnh, tức

G

là tâm nội tiếp.
So với

R = G A = \frac{3}{3} a

(HĐ4), ta có

\frac{r}{R} = \frac{\frac{3}{6} a}{\frac{3}{3} a} = \frac{1}{2}

Vậy $r = \frac{3}{6} B C = \frac{R}{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức diện tích r = S/p

Định hướng. Dùng công thức tổng quát liên hệ diện tích, nửa chu vi và bán kính nội tiếp — không phụ thuộc tính chất riêng "trung tuyến trùng phân giác" của tam giác đều.

Với tam giác đều cạnh

a = B C

: diện tích

S = \frac{3}{4} a^{2}

; nửa chu vi

p = \frac{3 a}{2}

.
Công thức tổng quát:

S = r \cdot p

, suy ra

r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{3}{4} a ^{2}}{\frac{3 a}{2}} = \frac{3}{4} a^{2} \cdot \frac{2}{3 a} = \frac{3}{6} a

.
Vì

R = \frac{3}{3} a

nên

\frac{r}{R} = \frac{\frac{3}{6} a}{\frac{3}{3} a} = \frac{1}{2}

Vậy $r = \frac{3}{6} B C = \frac{R}{2}$ , khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Công thức $S = r \cdot p$ ở Cách 3 là công thức tổng quát cho MỌI tam giác (không riêng tam giác đều), rất hữu ích để tính $r$ khi không có tính chất đối xứng đặc biệt.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tận dụng ngay tỉ số

2 : 1

của trọng tâm trên cùng một đường cao, không cần toạ độ hay công thức diện tích.

Đáp số.

G

là tâm đường tròn nội tiếp

Δ A B C

; bán kính nội tiếp

r = \frac{R}{2} = \frac{3}{6} B C

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn lấy nhầm

G A

(đoạn từ đỉnh đến trọng tâm, chính là

R

) làm bán kính nội tiếp thay vì

GM

(đoạn từ trọng tâm đến cạnh, chính là

r

) — hai đoạn này cùng nằm trên đường cao

A M

nhưng có độ dài khác nhau đúng 2 lần.

🚀 Mở rộng. Công thức

r = \frac{3}{6} a

và quan hệ

r = \frac{R}{2}

chỉ đúng riêng cho tam giác đều; với tam giác thường, bán kính nội tiếp và ngoại tiếp không có quan hệ cố định đơn giản như vậy, phải tính riêng từng cái bằng công thức

r = \frac{S}{p}

và

R = \frac{ab c}{4 S}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Ví dụ 3★★Trang 75— Tính các góc tạo bởi tâm đường tròn nội tiếp với các đỉnh tam giác

Ví dụ 3 (trang 75). Cho tam giác

A B C

ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Biết rằng

A = 40°

B = 60°

. Tính số đo của các góc

B I C

C I A

và

A I B

Kiến thức cần nhớ

Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ .
Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm ba đường phân giác của tam giác đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc của tam giác và hỏi ba góc tạo bởi tâm nội tiếp

I

với từng cặp đỉnh — dấu hiệu để dùng tính chất

I

là giao ba phân giác, mỗi góc như

B I C

nằm trong tam giác

B I C

với hai góc đáy bằng nửa góc

B

, góc

C

của tam giác gốc. Bẫy của bài là quên tính góc

C = 180° - A - B

trước khi tính các góc còn lại, hoặc nhầm lẫn chia đôi sai góc (chia đôi góc

B

khi tính góc liên quan tới

C

1Cách 1. Tính từng góc bằng tổng ba góc của tam giác con (theo SGK)

Định hướng. Tính góc $C$ trước, rồi xét lần lượt ba tam giác $B I C$ , $C I A$ , $A I B$ để tính từng góc cần tìm.

Vì tổng ba góc của

Δ A B C

bằng

180°

nên

A C B = 180° - B A C - A B C = 180° - 40° - 60° = 80°

.
Vì

Δ A B C

ngoại tiếp

(I)

nên

I

là giao điểm ba đường phân giác:

C A I = B A I = \frac{B A C}{2} = 20°

;

C B I = A B I = \frac{A B C}{2} = 30°

;

A C I = B C I = \frac{A C B}{2} = 40°

.
Xét

Δ B I C

B I C = 180° - C B I - B C I = 180° - 30° - 40° = 110°

.
Xét

Δ C I A

C I A = 180° - A C I - C A I = 180° - 40° - 20° = 120°

.
Xét

Δ A I B

A I B = 180° - A B I - B A I = 180° - 30° - 20° = 130°

Vậy $B I C = 110°$ , $C I A = 120°$ , $A I B = 130°$ .

2Cách 2. Dùng công thức tổng quát góc tại tâm nội tiếp

Định hướng. Dùng trực tiếp công thức $B I C = 90° + \frac{A}{2}$ (và hai công thức tương tự) suy ra từ chính lập luận ở Cách 1, để tính nhanh không cần lập lại từng tam giác con.

Với mọi tam giác ngoại tiếp

(I)

, ta có

B I C = 90° + \frac{A}{2}

;

C I A = 90° + \frac{B}{2}

;

A I B = 90° + \frac{C}{2}

(suy từ tổng góc tam giác con như Cách 1).

A C B = 180° - 40° - 60° = 80°

B I C = 90° + \frac{40°}{2} = 90° + 20° = 110°

C I A = 90° + \frac{60°}{2} = 90° + 30° = 120°

A I B = 90° + \frac{80°}{2} = 90° + 40° = 130°

Vậy $B I C = 110°$ , $C I A = 120°$ , $A I B = 130°$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Tính hai góc rồi suy góc thứ ba từ tổng quanh điểm I

Định hướng. Chỉ cần tính hai trong ba góc theo Cách 1, góc còn lại suy ra từ tổng ba góc quanh điểm $I$ bằng $360°$ .

A C B = 180° - 40° - 60° = 80°

.
Tính

B I C = 180° - \frac{B}{2} - \frac{C}{2} = 180° - 30° - 40° = 110°

(như Cách 1).
Tính

C I A = 180° - \frac{C}{2} - \frac{A}{2} = 180° - 40° - 20° = 120°

(như Cách 1).
Vì ba góc

B I C

C I A

A I B

nằm quanh điểm

I

và có tổng bằng

360°

nên

A I B = 360° - B I C - C I A = 360° - 110° - 120° = 130°

Vậy $B I C = 110°$ , $C I A = 120°$ , $A I B = 130°$ , khớp hai cách trên.

Nhận xét. Việc tổng ba góc quanh $I$ bằng $360°$ (khớp $110° + 120° + 130° = 360°$ ) là một phép kiểm tra chéo hữu ích cho cả ba cách.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: công thức

B I C = 90° + \frac{A}{2}

cho lời giải một dòng mỗi góc, nhanh hơn hẳn việc xét lại tổng góc từng tam giác con.

Đáp số.

B I C = 110°

;

C I A = 120°

;

A I B = 130°

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến là quên tính góc

C = 80°

trước, dẫn tới thiếu dữ kiện khi tính

A I B

(cần nửa góc

C

); cũng có bạn chia đôi nhầm góc (dùng nửa góc

B

khi lẽ ra phải dùng nửa góc

C

trong công thức

A I B = 90° + \frac{C}{2}

🚀 Mở rộng. Công thức

B I C = 90° + \frac{A}{2}

(và hai công thức tương tự cho

C I A

A I B

) đúng với MỌI tam giác ngoại tiếp một đường tròn — sẽ được dùng lại trực tiếp không cần chứng minh lại ở Bài 9.16 (SBT) và nhiều bài toán liên quan tâm nội tiếp khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Luyện tập 3★Trang 76— Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều theo cạnh

Luyện tập 3 (trang 76). Cho tam giác đều

A B C

(H.9.22).
a) Vẽ đường tròn

(I; r)

nội tiếp tam giác

A B C

.
b) Biết rằng

B C = 4

cm, hãy tính bán kính

r

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có tâm là trọng tâm và bán kính $r = \frac{3}{6} a$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác đều với cạnh cụ thể — dấu hiệu để áp dụng ngay công thức

r = \frac{3}{6} a

vừa rút ra ở HĐ6, tương tự cách làm ở Ví dụ 2 nhưng đổi từ bán kính ngoại tiếp sang nội tiếp. Bẫy của bài là nhầm lẫn công thức này với công thức bán kính ngoại tiếp

R = \frac{3}{3} a

đã học trước đó — hai công thức chỉ khác hệ số 2 lần nên rất dễ lẫn khi làm nhanh.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức đã học

Định hướng. Thay $a = 4$ vào công thức $r = \frac{3}{6} a$ vừa chứng minh ở HĐ6.

a) Xác định

I

là giao điểm ba đường phân giác (cũng là trọng tâm) của

Δ A B C

; kẻ

I D ⊥ B C

tại

D

rồi vẽ đường tròn

(I; I D)

— đó là đường tròn nội tiếp

Δ A B C

.
b)

r = \frac{3}{6} B C = \frac{3}{6} \cdot 4 = \frac{4 3}{6} = \frac{2 3}{3}

(cm).

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp $Δ A B C$ là $r = \frac{2 3}{3}$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức r = S/p

Định hướng. Dùng công thức tổng quát liên hệ diện tích và nửa chu vi, không phụ thuộc công thức riêng của tam giác đều.

Diện tích

Δ A B C

S = \frac{3}{4} \cdot 4^{2} = \frac{3}{4} \cdot 16 = 43

(cm

^{2}

).
Nửa chu vi:

p = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

(cm).

r = \frac{S}{p} = \frac{4 3}{6} = \frac{2 3}{3}

(cm).

Vậy $r = \frac{2 3}{3}$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng quan hệ r = R/2

Định hướng. Tính bán kính ngoại tiếp $R$ trước (theo công thức đã học ở Ví dụ 2), rồi dùng quan hệ $r = \frac{R}{2}$ vừa chứng minh ở HĐ6.

R = \frac{3}{3} B C = \frac{3}{3} \cdot 4 = \frac{4 3}{3}

(cm).
Theo HĐ6,

r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4 3}{3} = \frac{4 3}{6} = \frac{2 3}{3}

(cm).

Vậy $r = \frac{2 3}{3}$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả; Cách 1 nhanh nhất khi thuộc công thức, Cách 2 và Cách 3 hữu ích để tự kiểm tra chéo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: thay

a = 4

vào công thức

r = \frac{3}{6} a

đã thuộc, khỏi tính lại diện tích hay bán kính ngoại tiếp.

Đáp số.

r = \frac{2 3}{3}

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến là dùng nhầm công thức bán kính ngoại tiếp

R = \frac{3}{3} \cdot 4 = \frac{4 3}{3}

cm thay vì bán kính nội tiếp

r = \frac{3}{6} \cdot 4 = \frac{2 3}{3}

cm — hai kết quả khác nhau đúng 2 lần.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

B C = 4

cm thành cạnh

a

tổng quát, bán kính nội tiếp luôn là

r = \frac{3}{6} a

; đây chính là công thức sẽ dùng lại ở Bài 9.11 và Bài 9.12 (bài tập cuối bài) khi đề cho chiều ngược (biết

r

, tìm cạnh).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 9.7★★Trang 76— Tính bán kính ngoại tiếp tam giác vuông cân

Bài 9.7 (trang 76). Cho đường tròn

(O)

ngoại tiếp tam giác

A B C

. Tính bán kính của

(O)

, biết rằng tam giác

A B C

vuông cân tại

A

và có cạnh bên bằng

22

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có tâm là trung điểm cạnh huyền và bán kính bằng một nửa cạnh huyền.
Trong tam giác vuông cân, hai cạnh góc vuông (cạnh bên) bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác vuông cân — vừa là tam giác vuông (dùng được tính chất tâm ngoại tiếp là trung điểm cạnh huyền) vừa có hai cạnh góc vuông bằng nhau (giúp Pythagore tính nhanh). Bẫy của bài là nhầm "cạnh bên" (hai cạnh góc vuông bằng nhau trong tam giác vuông cân) với "cạnh huyền" khi thay số vào Pythagore.

1Cách 1. Pythagore rồi áp dụng tính chất tam giác vuông

Định hướng. Tính cạnh huyền $B C$ bằng Pythagore (hai cạnh góc vuông bằng nhau) rồi lấy nửa $B C$ làm bán kính.

Vì

Δ A B C

vuông cân tại

A

nên

A B = A C = 22

cm.

B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} = (22)^{2} + (22)^{2} = 8 + 8 = 16

B C = 16 = 4

(cm).

R = \frac{B C}{2} = \frac{4}{2} = 2

(cm).

Vậy bán kính đường tròn $(O)$ là $R = 2$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức R = abc/4S

Định hướng. Dùng công thức tổng quát cho mọi tam giác để kiểm tra chéo.

B C^{2} = (22)^{2} + (22)^{2} = 16

, suy ra

B C = 4

(cm).
Diện tích

Δ A B C

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 22 = \frac{1}{2} \cdot 8 = 4

(cm

^{2}

R = \frac{A B \cdot A C \cdot B C}{4 S} = \frac{2 2 \cdot 2 2 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{8 \cdot 4}{16} = \frac{32}{16} = 2

(cm).

Vậy $R = 2$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng định lí sin với góc 45°

Định hướng. Dùng định lí sin với góc nhọn $B = 45°$ (đặc trưng tam giác vuông cân) thay vì tính qua góc vuông $A$ .

Vì

Δ A B C

vuông cân tại

A

nên

B = C = 45°

B C^{2} = (22)^{2} + (22)^{2} = 16

, suy ra

B C = 4

(cm).
Theo định lí sin:

\frac{A C}{sin B} = 2 R

, suy ra

R = \frac{A C}{2 sin B} = \frac{2 2}{2 sin 45°} = \frac{2 2}{2 \cdot \frac{2}{2}} = \frac{2 2}{2} = 2

(cm).

Vậy $R = 2$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì tận dụng ngay tính chất riêng của tam giác vuông; Cách 3 hữu ích khi đề cho góc thay vì cạnh vuông góc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: Pythagore rồi lấy nửa cạnh huyền, không cần công thức tổng quát hay định lí sin.

Đáp số.

R = 2

cm.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn nhầm "cạnh bên

22

cm" là cạnh huyền nên tính luôn

R = \frac{2 2}{2} = 2

cm — sai vì

22

cm là độ dài MỖI cạnh góc vuông, còn cạnh huyền

B C = 4

cm phải tính qua Pythagore.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi cạnh bên

22

cm thành cạnh bên

m

tổng quát, bán kính ngoại tiếp tam giác vuông cân luôn là

R = \frac{m 2}{2} = \frac{m}{2}

(suy từ

B C = m 2

R = \frac{B C}{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 9.8★★Trang 76— Tính diện tích tam giác đều khi biết bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bài 9.8 (trang 76). Cho tam giác đều

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Biết rằng đường tròn

(O)

có bán kính bằng

3

cm. Tính diện tích tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều cạnh $a$ nội tiếp đường tròn bán kính $R = \frac{3}{3} a$ , suy ra $a = R 3$ .
Diện tích tam giác đều cạnh $a$ là $S = \frac{3}{4} a^{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bán kính ngoại tiếp và hỏi diện tích — cần bắc cầu qua cạnh

a

: từ

R

suy ra

a = R 3

(như Luyện tập 2), rồi từ

a

tính diện tích bằng công thức tam giác đều. Bẫy của bài là tính nhầm cạnh trước khi bình phương, hoặc quên bình phương

a

khi thay vào công thức diện tích

S = \frac{3}{4} a^{2}

1Cách 1. Tính cạnh rồi thay vào công thức diện tích

Định hướng. Suy cạnh $a$ từ $R$ trước, sau đó thay vào công thức diện tích tam giác đều.

a = R 3 = 33

(cm).

S = \frac{3}{4} a^{2} = \frac{3}{4} \cdot (33)^{2} = \frac{3}{4} \cdot 27 = \frac{27 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy diện tích tam giác $A B C$ là $S = \frac{27 3}{4}$ cm $^{2}$ .

2Cách 2. Chia tam giác thành ba tam giác cân bằng nhau qua tâm O

Định hướng. Không cần tính cạnh, chia $Δ A B C$ thành ba tam giác $O A B$ , $O B C$ , $O C A$ bằng nhau, mỗi tam giác có góc ở đỉnh $O$ bằng $120°$ .

Vì

O

là tâm nên

O A = O B = O C = R = 3

cm; ba tam giác

O A B

O B C

O C A

bằng nhau (c.c.c) nên có diện tích bằng nhau.
Góc ở tâm mỗi tam giác:

A O B = B O C = C O A = \frac{360°}{3} = 120°

.
Diện tích một tam giác con:

S_{O A B} = \frac{1}{2} \cdot O A \cdot O B \cdot sin A O B = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 \cdot sin 120° = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{3}{2} = \frac{9 3}{4}

(cm

^{2}

S_{A B C} = 3 \cdot S_{O A B} = 3 \cdot \frac{9 3}{4} = \frac{27 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy $S = \frac{27 3}{4}$ cm $^{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức S = abc/4R

Định hướng. Dùng công thức nghịch đảo của $R = \frac{ab c}{4 S}$ để tính $S$ trực tiếp từ $R$ và cạnh $a$ vừa tìm.

a = R 3 = 33

(cm), nên

a = b = c = 33

cm.
Từ

R = \frac{ab c}{4 S}

suy ra

S = \frac{ab c}{4 R} = \frac{( 3 3 ) ^{3}}{4 \cdot 3}

(33)^{3} = 27 \cdot 33 = 813

S = \frac{81 3}{12} = \frac{27 3}{4}

(cm

^{2}

Vậy $S = \frac{27 3}{4}$ cm $^{2}$ , khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 (chia ba tam giác qua tâm) là kĩ thuật mạnh, áp dụng được cho cả đa giác đều nội tiếp $n$ cạnh chứ không riêng tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: suy cạnh từ

R

rồi thay công thức diện tích, ít bước tính nhất.

Đáp số.

S = \frac{27 3}{4}

^{2}

Sai lầm thường gặp. Một số bạn quên bình phương cạnh khi thay vào công thức diện tích, tính nhầm

S = \frac{3}{4} \cdot 33 = \frac{9}{4}

^{2}

(dùng

a

thay vì

a^{2}

) — sai vì công thức diện tích tam giác đều bắt buộc phải bình phương cạnh.

🚀 Mở rộng. Cách 2 (chia ba tam giác cân qua tâm) tổng quát hoá cho diện tích đa giác đều

n

cạnh nội tiếp đường tròn bán kính

R

S = \frac{n}{2} R^{2} sin \frac{360°}{n}

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 9.9★★★Trang 76— Chứng minh đẳng thức góc liên quan tâm ngoại tiếp và trực tâm

Bài 9.9 (trang 76). Cho tam giác

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

. Gọi

H

là trực tâm của tam giác

A B C

. Chứng minh rằng

B A H = O A C

Kiến thức cần nhớ

Trong đường tròn, góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn một cung.
Trong tam giác cân, hai góc ở đáy bằng nhau.
Trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng $90°$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu là cả hai góc

B A H

và

O A C

đều "nhìn về phía cạnh

B C

" từ đỉnh

A

, gợi ý quy cả hai về cùng biểu thức

90° - B

B A H

tính được từ tam giác vuông chứa đường cao

A H

, còn

O A C

tính được từ tam giác cân

O A C

với góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp

B

. Bẫy của bài là cố chứng minh hai góc bằng nhau bằng cách so sánh trực tiếp hai tam giác chứa chúng (không có tam giác bằng nhau rõ ràng), thay vì quy cả hai về một biểu thức trung gian chung.

1Cách 1. Quy cả hai góc về biểu thức 90° − B

Định hướng. Tính $O A C$ qua tam giác cân $O A C$ và góc ở tâm, tính $B A H$ qua tam giác vuông chứa đường cao, rồi so sánh hai kết quả.

Gọi

K

là chân đường cao kẻ từ

A

xuống

B C

(nên

H \in A K

, vì

H

là trực tâm).
Vì

A B C

là góc nội tiếp và

A O C

là góc ở tâm của

(O)

cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A O C = 2 A B C

.
Vì

O A = O C

(bán kính) nên

Δ O A C

cân tại

O

O A C = \frac{180° - A O C}{2} = 90° - A B C

.
Xét

Δ A K B

vuông tại

K

B A K + A B K = 90°

, suy ra

B A H = B A K = 90° - A B C

(vì

H \in A K

nên

B A H = B A K

Vậy $B A H = 90° - A B C = O A C$ (đpcm).

2Cách 2. Dựng đường kính AA' để dùng góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

Định hướng. Vẽ thêm đường kính $A A^{'}$ của $(O)$ ; khi đó tia $A O$ và tia $A A^{'}$ là cùng một tia, nên $O A C = A^{'} A C$ , và $A^{'} A C$ tính được nhờ tam giác vuông $A C A^{'}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Vẽ đường kính

A A^{'}

của

(O)

; vì

O \in A A^{'}

nên

O A C = A^{'} A C

.
Vì

A A^{'}

là đường kính nên

A C A^{'} = 90°

(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì

A A^{'} C

và

A B C

là hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ

A C

nên

A A^{'} C = A B C

.
Xét

Δ A C A^{'}

vuông tại

C

A^{'} A C = 90° - A A^{'} C = 90° - A B C

.
Vậy

O A C = A^{'} A C = 90° - A B C

; mặt khác theo Cách 1,

B A H = 90° - A B C

Vậy $O A C = B A H = 90° - A B C$ (đpcm), khớp Cách 1 nhưng chứng minh $O A C$ bằng một đường phụ khác (đường kính $A A^{'}$ ).

Nhận xét. Cả hai cách đều đưa hai góc cần so sánh về cùng biểu thức $90° - B$ — đây chính là kĩ thuật "quy về đại lượng trung gian" thường dùng khi hai góc không thuộc chung một tam giác hay một cặp tam giác bằng nhau rõ ràng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: không cần vẽ thêm đường kính phụ, chỉ dùng tam giác cân

O A C

và tam giác vuông chứa đường cao.

Đáp số.

B A H = O A C = 90° - A B C

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Nhiều bạn cố tìm hai tam giác bằng nhau chứa trực tiếp

B A H

và

O A C

rồi bế tắc vì không có cặp tam giác bằng nhau rõ ràng — chìa khoá của bài là quy CẢ HAI góc về cùng một biểu thức trung gian (

90° - B

) chứ không so sánh trực tiếp hai tam giác.

🚀 Mở rộng. Kết quả

B A H = O A C

cho thấy tia

A H

(đường cao) và tia

A O

(đường nối tâm) đối xứng nhau qua đường phân giác của góc

B A C

— đây là một tính chất đẹp liên hệ trực tâm và tâm ngoại tiếp, thường gặp trong các bài toán nâng cao về tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 9.10★★★Trang 76— Chứng minh tổng hai góc đối của tứ giác tạo bởi tâm nội tiếp và hai tiếp điểm

Bài 9.10 (trang 76). Cho đường tròn

(I)

nội tiếp tam giác

A B C

với các tiếp điểm trên các cạnh

A B

A C

lần lượt là

E

F

. Chứng minh rằng

E I F + B A C = 180°

Kiến thức cần nhớ

Tổng bốn góc trong một tứ giác bằng $360°$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với bán kính tại tiếp điểm thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu của bài là

E

F

là các tiếp điểm nên

I E ⊥ A B

và

I F ⊥ A C

, tạo ra tứ giác

A E I F

có hai góc vuông tại

E

và

F

— đây chính là chìa khoá để tính tổng góc

A

và góc

I

bằng cách trừ

360°

cho hai góc vuông đã biết. Bẫy của bài là quên rằng

E I F

và

B A C

(tức góc

A

của tứ giác

A E I F

) là hai góc ĐỐI NHAU trong tứ giác này, dễ nhầm lẫn thứ tự các đỉnh khi liệt kê tứ giác.

1Cách 1. Dùng tổng bốn góc của tứ giác AEIF

Định hướng. Xét tứ giác $A E I F$ với hai góc vuông tại $E$ , $F$ (do $E$ , $F$ là tiếp điểm), rồi dùng tổng bốn góc bằng $360°$ .

Vì

E

là tiếp điểm của

(I)

trên

A B

nên

I E ⊥ A B

, tức

A E I = 90°

.
Vì

F

là tiếp điểm của

(I)

trên

A C

nên

I F ⊥ A C

, tức

A F I = 90°

.
Xét tứ giác

A E I F

E A F + A E I + E I F + I F A = 360°

B A C + 90° + E I F + 90° = 360°

(vì

E A F = B A C

, cùng là góc

A

B A C + E I F = 360° - 180° = 180°

Vậy $E I F + B A C = 180°$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AI

Định hướng. Nhận ra $A E I F$ là tứ giác nội tiếp (vì có hai góc vuông đối nhau tại $E$ , $F$ cùng nhìn đoạn $A I$ ), rồi dùng tính chất tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp.

Vì

A E I = A F I = 90°

nên

E

F

cùng nhìn đoạn

A I

dưới một góc vuông, tức

E

F

cùng nằm trên đường tròn đường kính

A I

; vậy tứ giác

A E I F

nội tiếp đường tròn đường kính

A I

.
Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối nhau bằng

180°

; xét theo thứ tự đỉnh

A - E - I - F

thì

A

và

I

là hai đỉnh đối nhau.
Do đó

E A F + E I F = 180°

, tức

B A C + E I F = 180°

Vậy $E I F + B A C = 180°$ (đpcm), khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng hai tam giác vuông bằng nhau AEI, AFI

Định hướng. Chứng minh $Δ A E I = Δ A F I$ rồi tính $A I E$ trong tam giác vuông $A E I$ , từ đó suy ra $E I F = 2 A I E$ và cộng với góc $A$ .

Vì

A E

A F

là hai tiếp tuyến kẻ từ

A

đến

(I)

nên

A E = A F

; lại có

I E = I F = r

(bán kính) và

A I

chung.
Xét

Δ A E I

và

Δ A F I

vuông tại

E

F

: có

A I

chung,

I E = I F

, nên

Δ A E I = Δ A F I

(cạnh huyền – cạnh góc vuông).
Suy ra

I A E = I A F = \frac{B A C}{2}

và

A I E = A I F

.
Xét

Δ A E I

vuông tại

E

A I E = 90° - I A E = 90° - \frac{B A C}{2}

E I F = A I E + A I F = 2 A I E = 2 (90° - \frac{B A C}{2}) = 180° - B A C

Vậy $E I F = 180° - B A C$ , tức $E I F + B A C = 180°$ (đpcm), khớp hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách đều khai thác hai góc vuông tại $E$ , $F$ nhưng theo ba hướng khác nhau: tổng góc tứ giác, tứ giác nội tiếp, và tam giác vuông bằng nhau đối xứng qua $A I$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính trực tiếp bằng tổng bốn góc tứ giác

A E I F

, không cần nhận diện tứ giác nội tiếp hay dựng tam giác bằng nhau.

Đáp số.

E I F + B A C = 180°

(đpcm).

Sai lầm thường gặp. Một số bạn nhầm cặp góc đối trong tứ giác

A E I F

, tưởng

A E I

và

A F I

là hai góc đối (thực ra chúng đối nhau qua đường chéo

A I

, không đối theo thứ tự đỉnh của tứ giác) dẫn tới ghép sai cặp góc cần cộng bằng

180°

🚀 Mở rộng. Kết quả này là trường hợp riêng của công thức tổng quát

B I C = 90° + \frac{A}{2}

đã gặp ở Ví dụ 3: có thể chứng minh

E I F = 180° - B A C

tương đương với

E I F = 2 (90° - \frac{A}{2})

, cùng bản chất với công thức góc tại tâm nội tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 9.11★★Trang 76— Tính cạnh tam giác đều khi biết bán kính đường tròn nội tiếp

Bài 9.11 (trang 76). Cho tam giác đều

A B C

ngoại tiếp đường tròn

(I)

. Tính độ dài các cạnh của tam giác

A B C

biết rằng bán kính của

(I)

bằng

1

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính $r = \frac{3}{6} a$ , suy ra $a = 23 r$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho chiều ngược của Luyện tập 3: biết

r

, tìm cạnh

a

— chỉ cần giải ngược công thức

r = \frac{3}{6} a

đã có ở HĐ6. Bẫy của bài là giải ngược sai, quên nhân cả tử và mẫu cho hợp lí khi chuyển

r = \frac{3}{6} a

thành

a = \frac{6 r}{3} = 23 r

1Cách 1. Giải ngược công thức đã học

Định hướng. Từ $r = \frac{3}{6} a$ suy ra $a = 23 r$ rồi thay số.

r = \frac{3}{6} a \Rightarrow a = \frac{6 r}{3} = \frac{6 r 3}{3} = 23 r

a = 23 \cdot 1 = 23

(cm).

Vậy mỗi cạnh của tam giác $A B C$ dài $23$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức r = S/p với a=b=c=x

Định hướng. Đặt cạnh cần tìm là $x$ , biểu diễn $r$ theo $x$ bằng công thức diện tích chia nửa chu vi rồi giải phương trình.

Gọi

x

là cạnh tam giác đều; diện tích

S = \frac{3}{4} x^{2}

; nửa chu vi

p = \frac{3 x}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{\frac{3}{4} x ^{2}}{\frac{3 x}{2}} = \frac{3}{4} x^{2} \cdot \frac{2}{3 x} = \frac{3}{6} x

\frac{3}{6} x = 1 \Rightarrow x = \frac{6}{3} = 23

(cm).

Vậy $x = 23$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt toạ độ tam giác đều như ở HĐ4/HĐ6, tính khoảng cách từ trọng tâm đến cạnh $B C$ theo $a$ rồi giải phương trình khi khoảng cách đó bằng $1$ .

Đặt

B (- \frac{a}{2}; 0)

C (\frac{a}{2}; 0)

A (0; \frac{3}{2} a)

; trọng tâm (tâm nội tiếp)

I = (0; \frac{3}{6} a)

.
Khoảng cách từ

I

đến

B C

(trục hoành) là

r = \frac{3}{6} a

\frac{3}{6} a = 1 \Rightarrow a = \frac{6}{3} = 23

(cm).

Vậy $a = 23$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Ba cách tuy khác công cụ nhưng đều quy về cùng phương trình $\frac{3}{6} a = 1$ — chọn cách nào tuỳ công thức nào bạn nhớ chắc nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đảo ngược công thức

r = \frac{3}{6} a

thành

a = 23 r

rồi thay số, không cần lập phương trình.

Đáp số. Mỗi cạnh của tam giác

A B C

dài

23

cm.

Sai lầm thường gặp. Một số bạn giải ngược sai, viết nhầm

a = \frac{r}{2 3}

(đặt

r

ở tử thay vì đúng vị trí) hoặc quên hữu tỉ hoá mẫu, dẫn tới đáp số sai dạng hoặc sai giá trị.

🚀 Mở rộng. So sánh với Luyện tập 3 (biết cạnh, tìm

r

) và bài này (biết

r

, tìm cạnh): hai bài là hai chiều ngược nhau của cùng một công thức

r = \frac{3}{6} a

, luyện cả hai chiều giúp nắm chắc công thức hơn là chỉ học một chiều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 9.12★★Trang 76— Bài toán thực tế về tam giác đều ngoại tiếp đường tròn

Bài 9.12 (trang 76). Người ta muốn làm một khung gỗ hình tam giác đều để đặt vừa khít một chiếc đồng hồ hình tròn có đường kính

30

cm (H.9.23). Hỏi độ dài các cạnh (phía bên trong) của khung gỗ phải bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính $r = \frac{3}{6} a$ , suy ra $a = 23 r$ .
Bán kính bằng một nửa đường kính.

🧠 Phân tích tư duy

Đề mô tả tình huống thực tế nhưng bản chất toán học giống hệt Bài 9.11: đường tròn (đồng hồ) "đặt vừa khít" bên trong tam giác (khung gỗ) nghĩa là đường tròn đó chính là đường tròn nội tiếp tam giác, với bán kính bằng nửa đường kính đồng hồ. Bẫy của bài là quên đổi đường kính

30

cm thành bán kính

r = 15

cm trước khi áp dụng công thức

a = 23 r

1Cách 1. Đổi đường kính sang bán kính rồi áp dụng công thức

Định hướng. Đường tròn đồng hồ đặt vừa khít khung tam giác chính là đường tròn nội tiếp; đổi đường kính $30$ cm thành bán kính rồi dùng công thức đã học.

Đường tròn hình đồng hồ có đường kính

30

cm nên bán kính

r = \frac{30}{2} = 15

(cm).
Vì khung gỗ đặt vừa khít đồng hồ nên đường tròn đồng hồ chính là đường tròn nội tiếp tam giác đều (khung gỗ).

a = 23 r = 23 \cdot 15 = 303

(cm).

Vậy mỗi cạnh phía trong của khung gỗ phải dài $303$ cm.

2Cách 2. Dùng công thức r = S/p với a=b=c=x

Định hướng. Đặt cạnh khung gỗ là $x$ , lập phương trình từ công thức diện tích chia nửa chu vi với $r = 15$ cm.

Bán kính đồng hồ

r = \frac{30}{2} = 15

(cm).
Gọi

x

là cạnh khung gỗ;

S = \frac{3}{4} x^{2}

p = \frac{3 x}{2}

r = \frac{S}{p} = \frac{3}{6} x

; thay

r = 15

\frac{3}{6} x = 15 \Rightarrow x = \frac{90}{3} = 303

(cm).

Vậy $x = 303$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng quan hệ r = R/2 rồi suy cạnh từ R

Định hướng. Tính bán kính ngoại tiếp $R = 2 r$ trước (quan hệ đã chứng minh ở HĐ6), rồi dùng công thức $a = R 3$ đã học ở Luyện tập 2.

Bán kính đồng hồ (bán kính nội tiếp khung)

r = 15

cm.
Theo HĐ6,

R = 2 r = 2 \cdot 15 = 30

(cm).
Theo công thức tam giác đều ngoại tiếp:

a = R 3 = 303

(cm).

Vậy $a = 303$ cm, khớp cả hai cách trên.

Nhận xét. Bài toán thực tế này thực chất là Bài 9.11 với số liệu khác ( $r = 15$ cm thay vì $1$ cm), cho thấy công thức $a = 23 r$ áp dụng được cho mọi bài toán "tam giác đều ôm khít hình tròn" dù bối cảnh khác nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đổi đường kính sang bán kính rồi áp dụng ngay công thức

a = 23 r

, không cần lập lại phương trình.

Đáp số. Mỗi cạnh phía trong của khung gỗ phải dài

303

cm (xấp xỉ

51, 96

cm).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến nhất là quên đổi đường kính

30

cm thành bán kính

15

cm, thay thẳng

r = 30

vào công thức nên tính ra cạnh gấp đôi giá trị đúng (

a = 603

cm thay vì

303

cm).

🚀 Mở rộng. Nếu đồng hồ có đường kính

d

bất kì, cạnh khung gỗ tam giác đều ôm khít luôn là

a = 23 \cdot \frac{d}{2} = 3 d

— công thức rút gọn trực tiếp theo đường kính, không cần qua bước trung gian tính bán kính.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 27. Góc nội tiếp Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 9

📚 Cùng chương: Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27. Góc nội tiếp
▶ Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác