Bài 1 · Hoạt động★★Trang 92— Dựng vectơ tổng của ba vectơ trong không gian (quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp)

Hoạt động (trang 92). Lấy bốn điểm

A, B, C, D

trong không gian ba chiều và vẽ vectơ

u = A B + A C + A D

.
Mục tiêu: sử dụng phần mềm GeoGebra, vẽ vectơ tổng của ba vectơ cho trước.
Hướng dẫn thực hiện (tóm tắt theo SGK trang 92–93):
(1) Mở GeoGebra, vào mục Phối cảnh\Vẽ đồ hoạ 3D; bấm chuột trái, chọn “Hiển thị hệ trục toạ độ” để tắt hệ trục toạ độ.
(2) Dùng công cụ “Điểm mới” vẽ các điểm

A, B, C, D

trên mặt phẳng màu xám (có thể kích chuột phải vào điểm để di chuyển theo 4 chiều và 2 chiều).
(3) Dùng công cụ “Véc tơ qua 2 điểm” vẽ ba vectơ

A B, A C, A D

.
(4) Dùng công cụ “Đường song song” vẽ các đường thẳng song song với

A B, A C

; xác định giao điểm

E

của hai đường thẳng đó bằng công cụ “Giao điểm của 2 đối tượng”, vẽ vectơ

A E

.
(5) Vẽ các đường thẳng song song với

A D, A E

và xác định giao điểm

F

của hai đường thẳng đó.
(6) Vẽ vectơ

A F

Kiến thức cần nhớ

Quy tắc hình bình hành: $A B E C$ là hình bình hành thì $A B + A C = A E$ .
Quy tắc ba điểm: $A B + B M = A M$ với mọi điểm $A, B, M$ .
Quy tắc hình hộp: hình hộp $A B E C . D P F Q$ có ba cạnh chung đỉnh $A B, A C, A D$ thì $A B + A C + A D = A F$ .
$G$ là trọng tâm tam giác $B C D$ khi và chỉ khi $A B + A C + A D = 3 A G$ với mọi điểm $A$ .
Toạ độ: $A B = (x_{B} - x_{A}; y_{B} - y_{A}; z_{B} - z_{A})$ ; tổng vectơ lấy tổng từng toạ độ tương ứng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu cộng ba vectơ chung gốc

A

— dấu hiệu của quy tắc hình bình hành dùng hai lần, hoặc gộp một lần bằng quy tắc hình hộp. GeoGebra không có nút “cộng vectơ” trên hình, nên phải biến phép cộng thành phép dựng: kẻ song song rồi lấy giao điểm, hoặc tịnh tiến điểm, hoặc gõ thẳng lệnh toạ độ. Bẫy nằm ở chỗ vẽ đường song song: đường song song với

A B

phải đi qua

C

(không phải qua

B

), nếu không hai đường song song với nhau và không có giao điểm

E

1Cách 1. Quy tắc hình bình hành hai lần (theo 6 bước SGK)

Định hướng. Cộng hai vectơ trước bằng quy tắc hình bình hành, được một vectơ mới chung gốc $A$ , rồi cộng tiếp với vectơ thứ ba — đúng quy trình 6 bước của SGK.

GeoGebra: Véc tơ qua 2 điểm

\to

A B, A C, A D

Đường song song:

d_{1}

qua

C

d_{1} ∥ A B

;

d_{2}

qua

B

d_{2} ∥ A C

Giao điểm của 2 đối tượng:

E = d_{1} \cap d_{2}

E C ∥ A B, E B ∥ A C

nên

A B E C

là hình bình hành

A E = A B + A C

Đường song song:

d_{3}

qua

D

d_{3} ∥ A E

;

d_{4}

qua

E

d_{4} ∥ A D

Giao điểm của 2 đối tượng:

F = d_{3} \cap d_{4}

F D ∥ A E, F E ∥ A D

nên

A E F D

là hình bình hành

A F = A E + A D = A B + A C + A D

Vậy vẽ vectơ $A F$ bằng công cụ Véc tơ qua 2 điểm, ta được $u = A F$ .

2Cách 2. Nối đuôi vectơ bằng phép tịnh tiến và quy tắc ba điểm

Định hướng. Không kẻ song song mà nối đuôi các vectơ: tịnh tiến để đặt gốc vectơ sau vào ngọn vectơ trước, rồi dùng quy tắc ba điểm.

GeoGebra:

M =

Tịnh tiến

(B, A C)

, tức

B M = A C

F =

Tịnh tiến

(M, A D)

, tức

M F = A D

u = A B + A C + A D

u = A B + B M + M F

u = A M + M F

u = A F

Vậy $u = A F$ , với $F$ là ngọn của đường gấp khúc $A \to B \to M \to F$ gồm ba vectơ nối đuôi nhau.

3Cách 3. Quy tắc hình hộp — dựng một lần đường chéo

Định hướng. Ba vectơ chung gốc là ba cạnh của một hình hộp; tổng của chúng là đường chéo của hình hộp đi ra từ gốc chung — dựng một lần là xong.

Dựng hình hộp

A B E C . D P F Q

có ba cạnh

A B, A C, A D

E = B + C - A, P = B + D - A, Q = C + D - A, F = B + C + D - 2 A

Quy tắc hình hộp:

A B + A C + A D = A F

GeoGebra: gõ

F = B + C + D - 2 A

vào ô Nhập lệnh, rồi dùng Véc tơ qua 2 điểm nối

A

với

F

Vậy $u = A F$ — đường chéo xuất phát từ $A$ của hình hộp dựng trên ba cạnh $A B, A C, A D$ .

4Cách 4. Qua trọng tâm tam giác BCD và phép vị tự tỉ số 3

Định hướng. Tổng ba vectơ từ $A$ tới ba đỉnh của tam giác $B C D$ gắn với trọng tâm $G$ của tam giác đó, nên chỉ cần dựng $G$ rồi kéo dài gấp ba.

G

là trọng tâm tam giác

B C D

GB + GC + G D = 0

A B + A C + A D = (A G + GB) + (A G + GC) + (A G + G D)

A B + A C + A D = 3 A G + (GB + GC + G D)

A B + A C + A D = 3 A G

GeoGebra:

G = (B + C + D) /3

F =

Vị tự

(G, 3, A)

(vị tự tâm

A

tỉ số

3

)

Vậy $u = 3 A G = A F$ , với $F$ là ảnh của trọng tâm $G$ qua phép vị tự tâm $A$ tỉ số $3$ .

5Cách 5. Toạ độ — gõ lệnh trực tiếp và kiểm tra bằng số

Định hướng. Chuyển sang toạ độ: GeoGebra hiểu phép cộng, trừ điểm và vectơ theo toạ độ, nên có thể tính thẳng tổng rồi kiểm tra trên một bộ điểm cụ thể.

Ví dụ

A (1; 0; 0), B (3; 1; 0), C (2; 3; 0), D (1; 1; 3)

A B = (2; 1; 0), A C = (1; 3; 0), A D = (0; 1; 3)

u = (2 + 1 + 0; 1 + 3 + 1; 0 + 0 + 3)

u = (3; 5; 3)

F = A + u = (1 + 3; 0 + 5; 0 + 3) = (4; 5; 3)

Kiểm tra với Cách 1:

E = B + C - A = (4; 4; 0)

F = E + D - A = (4; 5; 3)

GeoGebra: gõ u = Vector(A, B) + Vector(A, C) + Vector(A, D), rồi Vector(A, A + u)

Vậy với bộ điểm trên, $u = (3; 5; 3)$ và $F (4; 5; 3)$ trùng với điểm $F$ dựng bằng hình bình hành.

Nhận xét. Kéo thả một trong bốn điểm $A, B, C, D$ trong GeoGebra: mọi đối tượng dựng theo Cách 1–4 đều cập nhật theo, vectơ $u$ luôn trùng $A F$ — đó là cách “chứng minh bằng thực nghiệm” rằng kết quả không phụ thuộc cách chọn điểm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Khi thao tác trên GeoGebra nên dùng Cách 3: chỉ một lệnh

F = B + C + D - 2 A

là có ngay đỉnh

F

, không phải kẻ bốn đường song song; còn khi vẽ tay trên giấy thì Cách 1 (hai lần hình bình hành) là trực quan nhất.

Đáp số.

u = A F

, trong đó

F

là đỉnh đối diện với

A

của hình hộp dựng trên ba cạnh

A B, A C, A D

; theo toạ độ

F = B + C + D - 2 A

, và

u = 3 A G

với

G

là trọng tâm tam giác

B C D

Sai lầm thường gặp. Kẻ đường song song với

A B

đi qua

B

(thay vì qua

C

): đường đó trùng với đường thẳng

A B

, song song với đường qua

C

nên GeoGebra báo giao điểm không xác định. Chọn

A, B, C

thẳng hàng thì hai đường song song ở Bước 4 song song với nhau, không có điểm

E

— dù

u

vẫn tồn tại (khi đó dùng Cách 2 hoặc Cách 5). Nhầm

u

với

A E

(mới cộng hai vectơ) hoặc với

A G

(quên nhân

3

): ví dụ ở Cách 5 cho

A E = (3; 4; 0)

và

A G = (1; \frac{5}{3}; 1)

, đều khác

u = (3; 5; 3)

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

n

điểm

B_{1}, B_{2}, \dots, B_{n}

có trọng tâm

G

thì

A B_{1} + A B_{2} + \dots + A B_{n} = n A G

; thử dựng trên GeoGebra vectơ

A B + A C + A D + A K

với bốn điểm

B, C, D, K

bằng lệnh vị tự tỉ số

4

Mở bài này trong app ↗

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Vẽ vectơ tổng của ba vectơ trong không gian bằng phần mềm GeoGebra