Bài 1 · Hoạt động 1 – Vẽ hai đường thẳng song song★Trang 110— Dựng đường thẳng đi qua một điểm và song song với đường thẳng cho trước bằng GeoGebra
Hoạt động 1 (trang 110–111). Em thấy vẽ hai đường thẳng song song bằng bút và thước thẳng thật khó đúng không. Chúng ta sẽ sử dụng hộp công cụ đường thẳng trong GeoGebra để vẽ nhé. Bước 1. Vẽ đường thẳng f đi qua hai điểm A, B: Chọn công cụ (nhóm Đường thẳng) → Chọn Đường thẳng qua 2 điểm → Chọn điểm A → Chọn điểm B. Bước 2. Vẽ điểm C nằm ngoài đường thẳng f: Chọn công cụ (nhóm Điểm) → Chọn Điểm mới → Chọn điểm C nằm ngoài đường thẳng f. Bước 3. Vẽ đường thẳng g đi qua điểm C song song với đường thẳng f: Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng) → Chọn Đường song song → Nháy chuột vào điểm C → Nháy chuột vào đường thẳng f. Ta được đường thẳng g đi qua điểm C song song với đường thẳng f như Hình T.1. Cùng suy luận. Sau khi thực hiện Bước 3, ta thấy có đúng một đường thẳng g được hiện ra. Điều này gợi cho em liên tưởng đến khẳng định nào?
Kiến thức cần nhớ
Công cụ Đường song song nằm trong nhóm công cụ Hai đường thẳng (biểu tượng thứ tư trên thanh công cụ).
Tiên đề Euclid: qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một đường thẳng f và một điểm C ngoài f — dấu hiệu của bài dựng đường song song qua một điểm, ứng đúng với Tiên đề Euclid đã học. GeoGebra có sẵn công cụ Đường song song nên chọn đúng nhóm công cụ là xong, không cần đo góc hay dựng phụ. Bẫy ở chỗ nhóm công cụ Đường song song nằm sát nhóm Đường vuông góc trên cùng một menu sổ xuống, dễ bấm nhầm.
1Cách 1. Dùng công cụ Đường song song trên thanh
Định hướng. Công cụ Đường song song nhận đúng hai đối tượng — một điểm và một đường thẳng — nên chỉ cần nháy đúng thứ tự điểm rồi đường.
Chọn công cụ (nhóm Đường thẳng), chọn Đường thẳng qua 2 điểm, chọn điểm A rồi điểm B, dựng đường thẳng f Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Điểm mới, chọn điểm C nằm ngoài f Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường song song Nháy chuột vào điểm C Nháy chuột vào đường thẳng f GeoGebra dựng đường thẳng g đi qua C song song với f (Hình T.1)
Vậy đường thẳng g đi qua C và song song với f.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Lệnh Line nhận trực tiếp một điểm và một đường thẳng có sẵn, cho ngay đường song song mà không cần dò chuột tìm đúng đối tượng trên màn hình.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh (Input) Gõ lệnh: g=Line(C,f) Nhấn phím Enter GeoGebra vẽ ngay đường thẳng g đi qua C song song với f
Vậy lệnh Line(C,f) cho kết quả giống hệt Cách 1.
3Cách 3. Dùng hai lần công cụ Đường vuông góc
Định hướng. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau, nên có thể tránh hẳn công cụ Đường song song mà vẫn ra đúng kết quả.
Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường vuông góc, nháy điểm C rồi đường thẳng f, dựng đường thẳng h đi qua C và vuông góc với f Chọn lại công cụ Đường vuông góc, nháy điểm C rồi đường thẳng h, dựng đường thẳng g đi qua C và vuông góc với h Vì f vuông góc với h và g vuông góc với h nên g song song với f
Vậy đường thẳng g dựng theo cách này vẫn song song với f, trùng kết quả hai cách trên.
Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 nhanh gọn nhất, chỉ một thao tác; Cách 3 dài hơn nhưng cho thấy rõ vì sao đường dựng được lại song song — dựa vào tính chất hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành nên dùng Cách 1 (hoặc Cách 2 nếu quen gõ lệnh) vì chỉ một thao tác trực tiếp, đúng ngay ý đồ của Hoạt động 1; Cách 3 chỉ nên dùng khi muốn ôn lại tính chất hai đường vuông góc với đường thứ ba.
Đáp số.Đường thẳng g đi qua điểm C và song song với đường thẳng f. Cùng suy luận: khẳng định được gợi ra chính là Tiên đề Euclid — qua một điểm C nằm ngoài đường thẳng f, chỉ có duy nhất một đường thẳng g đi qua C và song song với f.
Sai lầm thường gặp.Chọn nhầm công cụ Đường vuông góc thay vì Đường song song (hai biểu tượng đặt sát nhau trong cùng nhóm công cụ Hai đường thẳng) khiến đường thẳng vẽ ra vuông góc với f chứ không song song với f.
🚀 Mở rộng.Nếu lấy thêm một điểm D khác cũng nằm ngoài f rồi lặp lại Bước 3, đường thẳng dựng qua D luôn chỉ có đúng một kết quả song song với f — đó chính là Tiên đề Euclid được kiểm chứng trực quan bằng phần mềm.
Bài 2 · Hoạt động 2 – Vẽ tia phân giác của một góc★Trang 111— Vẽ tia phân giác của một góc bằng công cụ và bằng lệnh Input
Hoạt động 2 (trang 111–112). Các em vẽ tia phân giác của góc BAC theo các bước sau. Bước 1. Vẽ tia AB: Chọn công cụ (nhóm Tia) → Chọn Tia đi qua 2 điểm → Chọn điểm A → Chọn điểm B. Bước 2. Vẽ góc BAC: Chọn công cụ (nhóm Tia) → Chọn Tia đi qua 2 điểm → Nháy chuột vào điểm A → Chọn điểm C. Bước 3. Vẽ đường phân giác của góc BAC: Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng) → Chọn Đường phân giác → Nháy chuột lần lượt vào các điểm B, A, C. Phần đường thẳng nằm trong góc BAC là tia phân giác của góc BAC như Hình T.2.
Kiến thức cần nhớ
Công cụ/lệnh Đường phân giác nhận ba điểm theo đúng thứ tự cạnh – đỉnh – cạnh (B, A, C) để lấy A làm đỉnh góc.
Tia phân giác của một góc là tia nằm trong góc đó và chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho sẵn ba điểm A, B, C với A là đỉnh góc — dấu hiệu của bài dựng tia phân giác, việc còn lại chỉ là chọn đúng công cụ và đúng thứ tự ba điểm cạnh–đỉnh–cạnh. Cạm bẫy nằm ở thứ tự nháy chuột: công cụ Đường phân giác luôn lấy điểm ở giữa dãy chọn làm đỉnh góc, chọn sai thứ tự sẽ ra phân giác của một góc khác hẳn.
1Cách 1. Dùng công cụ Đường phân giác trên thanh
Định hướng. Công cụ Đường phân giác cần đúng ba điểm theo thứ tự cạnh – đỉnh – cạnh, nên nháy lần lượt B, A, C là đủ để phần mềm tự nhận A là đỉnh góc.
Chọn công cụ (nhóm Tia), chọn Tia đi qua 2 điểm, chọn A rồi B, dựng tia AB Chọn lại Tia đi qua 2 điểm, nháy A rồi chọn C, dựng tia AC (góc BAC) Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường phân giác Nháy chuột lần lượt vào các điểm B, A, C Phần đường thẳng nằm trong góc BAC là tia phân giác cần dựng (Hình T.2)
Vậy tia phân giác của góc BAC được dựng xong, chia góc BAC thành hai góc bằng nhau.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Lệnh Bisector nhận đúng ba điểm theo cùng thứ tự cạnh – đỉnh – cạnh như thao tác chuột, cho ngay đường phân giác mà không cần dò tìm điểm trên màn hình.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh Gõ lệnh: g=Bisector(B,A,C) Nhấn phím Enter GeoGebra vẽ ngay đường phân giác g của góc BAC
Vậy lệnh Bisector(B,A,C) cho kết quả giống hệt Cách 1.
3Cách 3. Dựng bằng compa cổ điển mô phỏng trong GeoGebra
Định hướng. Cách dựng phân giác bằng thước và compa đã học ở lớp 6 vẫn thực hiện được trong GeoGebra bằng các công cụ Đường tròn và Giao điểm, không cần công cụ Đường phân giác có sẵn.
Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm A bán kính tuỳ ý, cắt hai tia AB, AC tại M, N Dựng đường tròn tâm M và đường tròn tâm N với cùng một bán kính, hai đường tròn này cắt nhau tại điểm K (khác A) Chọn công cụ (nhóm Tia), chọn Tia đi qua 2 điểm, nháy A rồi K, dựng tia AK
Vậy tia AK chính là tia phân giác của góc BAC, vì M, N cách đều A và K cách đều M, N nên AK là trục đối xứng của góc.
Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 nhanh nhất khi đã quen phần mềm; Cách 3 dựng lại đúng nguyên lí thước–compa đã học, hợp khi muốn hiểu bản chất vì sao đường vẽ được lại là phân giác.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1: một công cụ, ba lần nháy chuột, không phải nhớ cú pháp lệnh; Cách 2 chỉ nên dùng khi ba điểm đã có tên sẵn và muốn thao tác nhanh bằng bàn phím.
Đáp số.Tia phân giác của góc BAC là phần đường thẳng g (dựng bằng công cụ Đường phân giác, hoặc lệnh Bisector(B,A,C), hoặc bằng compa) nằm trong góc BAC, chia góc đó thành hai góc bằng nhau.
Sai lầm thường gặp.Nháy ba điểm theo thứ tự A, B, C (đặt đỉnh A ở vị trí đầu tiên) trong khi công cụ Đường phân giác lấy điểm ở giữa dãy chọn làm đỉnh góc — GeoGebra hiểu nhầm B là đỉnh, tia dựng ra là phân giác của góc ABС chứ không phải góc BAC.
🚀 Mở rộng.Cách dựng compa ở Cách 3 chính là cách dựng phân giác góc bằng thước và compa đã học ở lớp 6 — không cần phần mềm, học sinh vẫn thực hiện được trên giấy với đúng các bước tương tự.
Bài 3 · Hoạt động 3 – Vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng★Trang 112— Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng bằng công cụ trực tiếp, bằng cách trung điểm rồi vuông góc, và bằng lệnh Input
Hoạt động 3 (trang 112–113). Các em vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB theo các bước sau. Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB: Chọn công cụ (nhóm Đoạn thẳng) → Chọn Đoạn thẳng → Chọn điểm A → Chọn điểm B. Bước 2. Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB: Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng) → Chọn Đường trung trực → Nháy chuột vào đoạn thẳng AB. Ta thu được đường trung trực g của đoạn thẳng AB như Hình T.3. Cùng suy luận. Bạn Lan vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AB theo các bước như sau: Bước 1. Chọn công cụ (nhóm Đoạn thẳng) → Chọn Đoạn thẳng → Chọn điểm A → Chọn điểm B. Bước 2. Chọn công cụ (nhóm Điểm) → Chọn Trung điểm hoặc tâm → Nháy chuột vào đoạn thẳng AB (trung điểm của đoạn thẳng AB được kí hiệu là C). Bước 3. Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng) → Chọn Đường vuông góc → Nháy chuột lần lượt vào điểm C và đoạn thẳng AB. Đường thẳng g vẽ được có phải là đường trung trực của đoạn thẳng AB không?
Kiến thức cần nhớ
Đường trung trực của một đoạn thẳng là đường thẳng vuông góc với đoạn thẳng đó tại trung điểm của nó.
Công cụ Đường trung trực dựng thẳng trong một thao tác; cách của bạn Lan tách thành hai thao tác (trung điểm rồi vuông góc) nhưng cho đúng cùng một kết quả.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một đoạn thẳng AB — dấu hiệu của bài dựng trung trực, phần mềm có công cụ dựng thẳng một bước, nhưng SGK còn đưa thêm cách của bạn Lan tách thành hai bước (trung điểm rồi vuông góc) để nhấn mạnh đúng định nghĩa trung trực. Bẫy ở chỗ nếu bỏ qua bước lấy trung điểm mà vuông góc tại một điểm bất kì trên AB thì đường vẽ ra không còn là trung trực.
1Cách 1. Dùng công cụ Đường trung trực trên thanh
Định hướng. GeoGebra có sẵn công cụ dựng thẳng đường trung trực từ một đoạn thẳng, chỉ cần một lần nháy chuột vào đoạn thẳng đó.
Chọn công cụ (nhóm Đoạn thẳng), chọn Đoạn thẳng, chọn A rồi B, dựng đoạn thẳng AB Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường trung trực Nháy chuột vào đoạn thẳng AB GeoGebra dựng ngay đường trung trực g của đoạn thẳng AB (Hình T.3)
Vậy g là đường trung trực của đoạn thẳng AB, vuông góc với AB tại trung điểm.
2Cách 2. Cách của bạn Lan: trung điểm rồi đường vuông góc
Định hướng. Đúng theo định nghĩa, trung trực là đường vuông góc tại trung điểm — nên dựng trung điểm trước, rồi mới dựng đường vuông góc qua điểm đó với AB.
Chọn công cụ (nhóm Đoạn thẳng), chọn Đoạn thẳng, chọn A rồi B, dựng đoạn thẳng AB Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Trung điểm hoặc tâm, nháy chuột vào đoạn thẳng AB, được trung điểm C Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường vuông góc Nháy chuột lần lượt vào điểm C và đoạn thẳng AB GeoGebra dựng đường thẳng g đi qua C và vuông góc với AB
Vậy g đi qua đúng trung điểm C và vuông góc với AB nên g cũng là đường trung trực của đoạn thẳng AB, trùng kết quả Cách 1.
3Cách 3. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Lệnh PerpendicularBisector nhận trực tiếp hai điểm mút, cho ngay đường trung trực mà không cần dựng đoạn thẳng trước.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh Gõ lệnh: g=PerpendicularBisector(A,B) Nhấn phím Enter GeoGebra vẽ ngay đường trung trực g của đoạn thẳng AB
Vậy lệnh PerpendicularBisector(A,B) cho kết quả giống hệt Cách 1 và Cách 2.
Nhận xét. Cả ba cách đều cho cùng một đường thẳng g; Cách 2 của bạn Lan tuy nhiều thao tác hơn nhưng thể hiện rõ nhất đúng định nghĩa trung trực — vuông góc tại trung điểm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành nên dùng Cách 1 hoặc Cách 3 vì chỉ một thao tác; khi cần giải thích vì sao đường vẽ được là trung trực thì trình bày theo Cách 2 của bạn Lan.
Đáp số.Đường thẳng g theo cả ba cách đều là đường trung trực của đoạn thẳng AB, vì g vuông góc với AB tại đúng trung điểm C của AB — thoả mãn đúng định nghĩa đường trung trực.
Sai lầm thường gặp.Ở Cách 2, thực hiện Bước 3 nhưng chọn nhầm điểm A hoặc điểm B thay vì trung điểm C để dựng đường vuông góc, khiến đường thẳng dựng ra đi qua đầu mút chứ không đi qua trung điểm, không còn là đường trung trực.
🚀 Mở rộng.Cách của bạn Lan chính là cách dựng trung trực bằng thước và compa đã học: xác định trung điểm rồi dựng đường vuông góc tại đó — công cụ Đường trung trực chỉ gộp hai thao tác đó lại thành một.
Bài 4 · Hoạt động 4 – Vẽ tam giác biết độ dài ba cạnh★★Trang 113— Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh bằng giao điểm hai đường tròn, bằng lệnh Input và bằng tính toạ độ trước
Hoạt động 4 (trang 113). Các em vẽ tam giác ABC có AB=4 cm, BC=5 cm, CA=6 cm theo các bước sau. Bước 1. Vẽ hai điểm A, B sao cho AB=4 cm: Chọn công cụ (nhóm Đường tròn) → Chọn Đường tròn tâm và bán kính → Chọn điểm A, nhập bán kính bằng 4. Chọn công cụ (nhóm Điểm) → Chọn Điểm mới → Chọn điểm B nằm trên đường tròn. Bước 2. Chọn công cụ (nhóm Đường tròn) → Chọn Đường tròn tâm và bán kính → Nháy chuột vào điểm B, nhập bán kính bằng 5. Bước 3. Chọn công cụ (nhóm Đường tròn) → Chọn Đường tròn tâm và bán kính → Nháy chuột vào điểm A, nhập bán kính bằng 6. Bước 4. Chọn công cụ (nhóm Điểm) → Chọn Giao điểm của 2 đối tượng → Lần lượt nháy chuột vào hai đường tròn ở Bước 2 và Bước 3, giao điểm C của hai đường tròn được đánh dấu. Bước 5. Chọn công cụ đoạn thẳng (nhóm Đoạn thẳng) → Chọn Đoạn thẳng để nối các điểm A, B, C với nhau và thu được tam giác ABC như Hình T.4a. Ẩn các đường tròn ta được Hình T.4b như sau. Nếu cho trước đoạn thẳng AB=4 cm cố định, em vẽ được mấy tam giác ABC thoả mãn yêu cầu BC=5 cm, CA=6 cm?
Kiến thức cần nhớ
Bất đẳng thức tam giác: ba số 4, 5, 6 thoả 4 + 5 > 6 nên luôn dựng được tam giác.
Hai đường tròn phân biệt cắt nhau tại tối đa hai điểm, hai điểm đó đối xứng nhau qua đường thẳng nối hai tâm.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho đủ ba cạnh — dấu hiệu dựng tam giác theo giao điểm hai đường tròn (đúng cách dựng bằng compa đã học ở lớp 7). Vì 4 + 5 > 6, bất đẳng thức tam giác thoả mãn nên hai đường tròn tâm B bán kính 5 và tâm A bán kính 6 chắc chắn cắt nhau. Bẫy ở khâu lấy giao điểm cuối cùng: hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm đối xứng qua AB, chọn nhầm giao điểm của cặp đường tròn khác thì tam giác dựng sai độ dài cạnh.
1Cách 1. Dùng ba đường tròn và giao điểm (theo SGK)
Định hướng. Đỉnh C còn thiếu phải cách A một khoảng 6 và cách B một khoảng 5, nên C chính là giao điểm của đường tròn tâm A bán kính 6 và đường tròn tâm B bán kính 5.
Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm A bán kính 4, lấy điểm B trên đường tròn đó (được AB = 4 cm) Dựng đường tròn tâm B bán kính 5 Dựng đường tròn tâm A bán kính 6 Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Giao điểm của 2 đối tượng, nháy vào hai đường tròn bán kính 5 và bán kính 6, được giao điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A với B, B với C, C với A Ẩn ba đường tròn, còn lại tam giác ABC (Hình T.4b)
Vậy tam giác ABC có AB = 4 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Mỗi phép dựng đường tròn và lấy giao điểm ở Cách 1 đều có lệnh tương ứng, gõ liền một dãy lệnh cho kết quả giống hệt.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt (Enter sau mỗi lệnh): c1=Circle(A,4) B=Point(c1) c2=Circle(B,5) c3=Circle(A,6) C=Intersect(c2,c3) Polygon(A,B,C)
Vậy dãy lệnh trên dựng xong tam giác ABC giống Cách 1.
3Cách 3. Tính trước toạ độ đỉnh C rồi nhập trực tiếp
Định hướng. Thay vì dựng hai đường tròn rồi lấy giao điểm bằng chuột, có thể tính sẵn toạ độ của C bằng định lí côsin rồi gõ thẳng toạ độ vào ô Input.
Đặt A = (0,0), B = (4,0) Tính cosA=2⋅AB⋅CAAB2+CA2−BC2=4816+36−25=0,5625 Suy ra C=(6cosA;6sinA)≈(3,38;4,96) Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ: C=(3.38,4.96), rồi gõ Polygon(A,B,C)
Vậy tam giác ABC dựng theo toạ độ tính trước cũng thoả mãn AB = 4 cm, BC = 5 cm, CA = 6 cm.
Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 an toàn nhất vì không cần tính toán, phù hợp đúng tinh thần thực hành của bài; Cách 3 hữu ích khi cần tự kiểm chứng độ dài cạnh bằng số liệu chính xác.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1: đúng quy trình SGK, không cần tính toán, dễ kiểm tra bằng mắt qua Hình T.4a trước khi ẩn đường tròn.
Đáp số.Với AB = 4 cm cố định, hai đường tròn tâm B bán kính 5 cm và tâm A bán kính 6 cm cắt nhau tại đúng hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng AB (vì 4 + 5 > 6 nên hai đường tròn thật sự cắt nhau). Vậy có 2 tam giác ABC thoả mãn — hai tam giác này đối xứng nhau qua AB, cùng độ dài ba cạnh, chỉ khác vị trí trên/dưới đường thẳng AB.
Sai lầm thường gặp.Ở Bước 4, nháy chọn nhầm hai đường tròn của Bước 1 và Bước 2 (thay vì đúng đường tròn của Bước 2 và Bước 3) khiến giao điểm tìm được không thoả mãn đồng thời cả BC = 5 cm và CA = 6 cm.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi ba số 4, 5, 6 thành ba số không thoả bất đẳng thức tam giác, chẳng hạn 2, 3, 8, thì đường tròn tâm B bán kính 3 và đường tròn tâm A bán kính 8 sẽ không cắt nhau — phần mềm không tạo được điểm C, phản ánh đúng việc không tồn tại tam giác với ba cạnh đó.
Bài 5 · Hoạt động 5 – Vẽ tam giác biết độ dài hai cạnh và góc xen giữa★★Trang 114— Dựng tam giác biết hai cạnh và góc xen giữa bằng công cụ Góc, bằng lệnh Input và bằng tính toạ độ lượng giác
Hoạt động 5 (trang 114). Em vẽ tam giác ABC có AB=6 cm, AC=5 cm, BAC=60∘ theo các bước gợi ý sau: Bước 1. Vẽ hai điểm A, B sao cho AB=6 cm tương tự Bước 1 của HĐ4. Bước 2. Vẽ góc BAB′=60∘ bằng cách: Chọn công cụ (nhóm Góc) → Chọn Góc với độ lớn cho trước → Nháy chuột lần lượt vào các điểm B, A (theo ngược chiều kim đồng hồ) và nhập số đo góc 60. Bước 3. Vẽ điểm C là giao điểm của đường thẳng AB′ và đường tròn tâm A bán kính 5. Bước 4. Chọn công cụ đoạn thẳng để nối các điểm A, B, C với nhau và ta thu được tam giác ABC cần vẽ (H.T.5). Tam giác ABC có phải là tam giác nhọn không? Em hãy sử dụng công cụ Góc kiểm tra các góc của tam giác để trả lời câu hỏi đó.
Kiến thức cần nhớ
Định lí côsin: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cosA dùng để tính cạnh còn lại khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
Tam giác nhọn là tam giác có cả ba góc đều nhỏ hơn 90°.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai cạnh AB, AC và góc xen giữa BAC — dấu hiệu dựng tam giác theo trường hợp cạnh–góc–cạnh, cần dựng góc 60° tại A trước rồi mới lấy điểm C cách A đúng 5 cm trên cạnh góc đó. Bẫy ở chiều quay: chọn nhầm chiều kim đồng hồ sẽ khiến tam giác lật ngược so với hình trong sách dù số đo góc vẫn đúng 60°.
1Cách 1. Dùng công cụ Góc với độ lớn cho trước (theo SGK)
Định hướng. Góc xen giữa 60° cần dựng ngay tại đỉnh A, sau đó lấy điểm C cách A đúng 5 cm trên cạnh góc vừa dựng.
Vẽ hai điểm A, B sao cho AB = 6 cm (tương tự HĐ4) Chọn công cụ (nhóm Góc), chọn Góc với độ lớn cho trước, nháy B rồi A theo ngược chiều kim đồng hồ, nhập số đo góc 60, được điểm B' sao cho góc BAB' = 60° Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm A bán kính 5 Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Giao điểm của 2 đối tượng, nháy vào đường thẳng AB' và đường tròn, được điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A, B, C với nhau (Hình T.5)
Vậy tam giác ABC có AB = 6 cm, AC = 5 cm, góc BAC = 60°.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Lệnh Rotate quay điểm B quanh A một góc 60° cho ngay hướng của cạnh AC, kết hợp với đường tròn và giao điểm để lấy đúng độ dài AC = 5.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt: B'=Rotate(B,60°,A) c=Circle(A,5) C=Intersect(Line(A,B'),c) Polygon(A,B,C)
Vậy dãy lệnh trên dựng xong tam giác ABC giống Cách 1.
3Cách 3. Tính toạ độ đỉnh C bằng lượng giác
Định hướng. Đặt A tại gốc và AB nằm ngang, toạ độ của C có thể tính thẳng bằng công thức lượng giác thay vì dựng đường tròn rồi lấy giao điểm.
Đặt A = (0,0), B = (6,0) C=(5cos60∘;5sin60∘)=(2,5;4,33) Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ: C=(2.5,4.33), rồi gõ Polygon(A,B,C)
Vậy tam giác ABC dựng theo toạ độ tính trước cũng có AB = 6 cm, AC = 5 cm, góc BAC = 60°.
Nhận xét. Cách 1 bám sát đúng quy trình SGK, dễ kiểm tra chiều quay bằng mắt; Cách 3 cho kết quả chính xác tuyệt đối theo số nhưng cần tính trước, hợp khi muốn kiểm chứng bằng con số.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1, chỉ cần chú ý đúng chiều quay ngược chiều kim đồng hồ như đề yêu cầu là dựng đúng ngay lần đầu.
Đáp số.Cạnh còn lại BC=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos60∘=36+25−30=31≈5,57 (cm). Tính tiếp được góc B ≈ 51°, góc C ≈ 69°. Vì cả ba góc A = 60°, B ≈ 51°, C ≈ 69° đều nhỏ hơn 90° nên tam giác ABC là tam giác nhọn — dùng công cụ Góc trong GeoGebra đo lại cũng cho ba kết quả tương tự.
Sai lầm thường gặp.Ở Bước 2, nhập số đo góc theo chiều kim đồng hồ thay vì ngược chiều kim đồng hồ như đề yêu cầu, khiến điểm B' nằm ở phía đối diện, làm tam giác ABC dựng ra bị lật ngược so với Hình T.5 dù số đo góc hiển thị vẫn đúng 60°.
🚀 Mở rộng.Nếu giữ AB = 6 cm, AC = 5 cm nhưng đổi góc xen giữa lớn hơn 90°, cạnh BC sẽ dài ra đáng kể theo định lí côsin và khi đó tam giác không còn là tam giác nhọn (góc A tù thì tam giác là tam giác tù).
Bài 6 · Luyện tập 1★★Trang 114— Dựng tam giác biết một cạnh và hai góc kề (trường hợp góc – cạnh – góc)
Luyện tập 1 (trang 114). Vẽ tam giác ABC có AB=6 cm, BAC=50∘, ABC=60∘. Gợi ý: Vẽ BAB′=50∘ (theo ngược chiều kim đồng hồ); ABA′=60∘ (theo chiều kim đồng hồ) và C là giao điểm của hai tia AB′ và BA′.
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Định lí sin: sinBAC=sinABC=sinCAB dùng để tính cạnh khi biết một cạnh và hai góc kề.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một cạnh AB và hai góc ở hai đầu mút của cạnh đó — đúng dấu hiệu trường hợp bằng nhau góc–cạnh–góc, C là giao điểm của hai tia dựng từ A và từ B. Bẫy ở chiều quay của hai góc: phải một góc ngược chiều kim đồng hồ và một góc theo chiều kim đồng hồ thì hai tia mới hướng vào nhau và cắt nhau ở đúng phía tam giác.
1Cách 1. Dùng công cụ Góc với độ lớn cho trước (theo gợi ý SGK)
Định hướng. Hai góc đã cho đều kề cạnh AB, nên dựng lần lượt hai tia từ A và từ B rồi lấy giao điểm làm đỉnh C còn lại.
Vẽ hai điểm A, B sao cho AB = 6 cm Chọn công cụ (nhóm Góc), chọn Góc với độ lớn cho trước, nháy B rồi A theo ngược chiều kim đồng hồ, nhập 50, được tia AB' Chọn lại Góc với độ lớn cho trước, nháy A rồi B theo chiều kim đồng hồ, nhập 60, được tia BA' Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Giao điểm của 2 đối tượng, nháy vào hai tia AB' và BA', được điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A, B, C với nhau
Hình vẽ được trên GeoGebra:
Vậy tam giác ABC có AB = 6 cm, góc BAC = 50°, góc ABC = 60°.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Lệnh Rotate quay điểm B quanh A và quay điểm A quanh B theo đúng hai chiều đã nêu, cho ngay hai tia cần thiết.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt: B'=Rotate(B,50°,A) A'=Rotate(A,-60°,B) C=Intersect(Line(A,B'),Line(B,A')) Polygon(A,B,C)
Vậy dãy lệnh trên dựng xong tam giác ABC giống Cách 1.
3Cách 3. Tính trước toạ độ đỉnh C bằng định lí sin
Định hướng. Biết một cạnh và hai góc kề thì tính được góc còn lại và độ dài AC bằng định lí sin, từ đó suy toạ độ C mà không cần dò giao điểm hai tia bằng chuột.
Góc C = 180° − 50° − 60° = 70° AC=sinACBAB⋅sinABC=sin70∘6⋅sin60∘≈5,53 (cm) Đặt A = (0,0), B = (6,0), suy ra C≈(5,53cos50∘;5,53sin50∘)≈(3,55;4,24) Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ: C=(3.55,4.24), rồi gõ Polygon(A,B,C)
Vậy tam giác ABC dựng theo toạ độ tính trước cũng có AB = 6 cm, góc A = 50°, góc B = 60°.
Nhận xét. Cách 1 đúng nguyên văn gợi ý của SGK và dễ kiểm tra chiều quay bằng mắt; Cách 3 cho thêm số liệu chính xác của cạnh AC, BC để đối chiếu kết quả đo trên phần mềm.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1 đúng theo gợi ý của SGK; nhớ hai góc phải quay ngược chiều nhau (một ngược, một xuôi kim đồng hồ) thì hai tia mới cắt nhau đúng phía tam giác.
Đáp số.Tam giác ABC dựng được có góc C = 180° − 50° − 60° = 70°, cạnh AC ≈ 5,53 cm và cạnh BC ≈ 4,89 cm (tính theo định lí sin).
Sai lầm thường gặp.Vẽ góc BAB' = 50° và góc ABA' = 60° nhưng chọn cùng một chiều quay (cùng ngược chiều kim đồng hồ) cho cả hai góc, khiến hai tia AB' và BA' không cắt nhau ở phía tam giác mong muốn.
🚀 Mở rộng.Bài toán biết một cạnh và hai góc kề luôn dựng được đúng một tam giác khi tổng hai góc đã cho nhỏ hơn 180° — đây chính là trường hợp bằng nhau góc–cạnh–góc (g.c.g) đã học.
Bài 7 · Luyện tập 2★★Trang 114— Dựng tam giác vuông biết một cạnh góc vuông và cạnh huyền
Luyện tập 2 (trang 114). Vẽ tam giác ABC vuông tại A, có AB=4 cm, BC=6 cm. Gợi ý: Vẽ đoạn thẳng AB=4 cm. Vẽ C là giao điểm của đường tròn tâm B bán kính 6 và đường thẳng đi qua A vuông góc với AB.
Kiến thức cần nhớ
Định lí Pythagore: trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.
Điểm cách B một khoảng bằng 6 luôn nằm trên đường tròn tâm B bán kính 6.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho tam giác vuông tại A với một cạnh góc vuông AB và cạnh huyền BC — dấu hiệu dựng bằng giao điểm của đường vuông góc tại A với đường tròn tâm B bán kính bằng cạnh huyền. Bẫy ở việc phải dựng đường vuông góc với AB tại đúng điểm A (không phải tại B), vì tam giác vuông tại A.
1Cách 1. Dùng đường vuông góc và đường tròn tâm B (theo gợi ý SGK)
Định hướng. Đỉnh C phải vừa nằm trên đường vuông góc với AB tại A (để góc A vuông), vừa cách B đúng 6 cm (để BC = 6 cm là cạnh huyền).
Vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường vuông góc, nháy điểm A rồi đoạn thẳng AB, dựng đường thẳng h qua A vuông góc với AB Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm B bán kính 6 Chọn công cụ (nhóm Điểm), chọn Giao điểm của 2 đối tượng, nháy vào đường thẳng h và đường tròn, được điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A, C và B, C
Hình vẽ được trên GeoGebra:
Vậy tam giác ABC vuông tại A, có AB = 4 cm, BC = 6 cm.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Mỗi phép dựng ở Cách 1 đều có lệnh tương ứng, gõ liền một dãy lệnh cho kết quả giống hệt.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt: f=Segment(A,B) h=PerpendicularLine(A,f) c=Circle(B,6) C=Intersect(h,c) Segment(A,C) Segment(B,C)
Vậy dãy lệnh trên dựng xong tam giác ABC giống Cách 1.
3Cách 3. Tính trước cạnh AC bằng định lí Pythagore rồi dựng bằng đường tròn tâm A
Định hướng. Thay vì lấy giao với đường tròn tâm B, có thể tính trước độ dài AC rồi dựng trực tiếp bằng đường tròn tâm A với đúng bán kính đó, không cần đường tròn tâm B.
AC=BC2−AB2=36−16=20=25≈4,47 (cm) Vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường vuông góc, nháy điểm A rồi đoạn thẳng AB, dựng đường thẳng h Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm A bán kính 4,47 Chọn công cụ Giao điểm của 2 đối tượng, nháy h và đường tròn, được điểm C
Vậy tam giác ABC dựng theo cách này vẫn vuông tại A, có AB = 4 cm, BC = 6 cm (kiểm tra lại bằng công cụ Khoảng cách hoặc Độ dài).
Nhận xét. Cách 1 đúng nguyên gợi ý SGK và không cần tính toán; Cách 3 đòi hỏi tính căn bậc hai trước nhưng cho thấy rõ mối liên hệ Pythagore giữa ba cạnh.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1 hoặc Cách 2 vì không cần tính toán, chỉ dựng đúng theo gợi ý; Cách 3 dùng khi muốn tự kiểm chứng độ dài cạnh góc vuông còn lại bằng số.
Đáp số.Tam giác ABC vuông tại A có AC=BC2−AB2=62−42=20=25≈4,47 (cm).
Sai lầm thường gặp.Dựng đường thẳng vuông góc nhưng nháy nhầm điểm B thay vì điểm A để làm gốc đường vuông góc, khiến góc vuông của tam giác dựng ra nằm ở đỉnh B chứ không phải đỉnh A như đề yêu cầu.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi 'vuông tại A' thành 'vuông tại B', cần đổi vai trò: dựng đường thẳng qua B vuông góc với AB, rồi lấy giao với đường tròn tâm A bán kính 6 để tìm đỉnh C.
Bài 8 · Bài tập 1★★★Trang 114— Dựng tam giác biết một cạnh và hai góc không cùng kề cạnh đó, rồi xuất hình ảnh png
Bài tập 1 (trang 114). a) Em hãy trình bày các bước dùng phần mềm GeoGebra để vẽ tam giác ABC có: AB=6 cm, BAC=60∘, ACB=70∘. b) Vẽ tam giác trên trong phần mềm GeoGebra và lưu thành một tệp có đuôi png.
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Định lí sin dùng để tính các cạnh còn lại khi biết một cạnh và hai góc.
Xuất hình ảnh trong GeoGebra: bảng chọn Hồ sơ → Xuất bản grafic → chọn định dạng png.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho cạnh AB và hai góc BAC, ACB — hai góc này không cùng kề cạnh AB (một tại A, một tại C) nên chưa thể dựng ngay hai tia từ A và B như Luyện tập 1. Phải dùng định lí tổng ba góc để suy ra góc ABC = 180° − 60° − 70° = 50°, từ đó quy về đúng dạng đã biết cách dựng ở Luyện tập 1. Bẫy ở chỗ nếu cố dựng góc ACB tại C ngay từ đầu thì điểm C chưa hề tồn tại, không có đỉnh để đặt góc.
1Cách 1. Quy về góc kề cạnh AB rồi dùng công cụ Góc với độ lớn cho trước
Định hướng. Góc ACB không kề cạnh AB nên trước tiên tính góc ABC = 180° − 60° − 70° = 50°, rồi dựng hai tia từ A và từ B đúng như cách đã làm ở Luyện tập 1.
Góc ABC = 180° − 60° − 70° = 50° Vẽ hai điểm A, B sao cho AB = 6 cm Chọn công cụ (nhóm Góc), chọn Góc với độ lớn cho trước, nháy B rồi A theo ngược chiều kim đồng hồ, nhập 60, được tia AB' Chọn lại Góc với độ lớn cho trước, nháy A rồi B theo chiều kim đồng hồ, nhập 50, được tia BA' Chọn công cụ Giao điểm của 2 đối tượng, nháy hai tia AB' và BA', được điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A, B, C với nhau
Hình vẽ được trên GeoGebra:
Vậy tam giác ABC có AB = 6 cm, góc BAC = 60°, góc ACB = 70°. Sang phần b), vào bảng chọn Hồ sơ → Xuất bản grafic, chọn định dạng png rồi bấm Xuất để lưu tệp hình.
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Sau khi đã quy góc C về góc B = 50°, việc dựng bằng lệnh giống hệt Luyện tập 1, chỉ đổi số đo góc.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt: B'=Rotate(B,60°,A) A'=Rotate(A,-50°,B) C=Intersect(Line(A,B'),Line(B,A')) Polygon(A,B,C)
Vậy dãy lệnh trên dựng xong tam giác ABC giống Cách 1. Rồi vào bảng chọn Hồ sơ → Xuất bản grafic, chọn png để lưu tệp.
3Cách 3. Tính trước toạ độ đỉnh C bằng định lí sin
Định hướng. Có đủ một cạnh và ba góc (sau khi suy ra góc B), có thể tính hẳn độ dài AC bằng định lí sin rồi nhập thẳng toạ độ C, không cần dựng hai tia bằng chuột.
AC=sinACBAB⋅sinABC=sin70∘6⋅sin50∘≈4,89 (cm) Đặt A = (0,0), B = (6,0), suy ra C≈(4,89cos60∘;4,89sin60∘)≈(2,45;4,24) Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ: C=(2.45,4.24), rồi gõ Polygon(A,B,C)
Vậy tam giác dựng theo toạ độ tính trước cũng có AB = 6 cm, góc A = 60°, góc C = 70°.
Nhận xét. Cả ba cách đều phải quy góc ACB về góc ABC bằng định lí tổng ba góc trước khi dựng — đây chính là điểm khác Luyện tập 1, nơi cả hai góc đã cho sẵn đều kề cạnh AB.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1: chỉ cần một phép trừ góc (180° − 60° − 70°) rồi dựng y hệt Luyện tập 1, không cần tính căn hay lượng giác.
Đáp số.Góc ABC = 180° − 60° − 70° = 50°. Cạnh AC ≈ 4,89 cm, cạnh BC ≈ 5,53 cm (tính theo định lí sin). Sau khi dựng xong, lưu tệp png bằng bảng chọn Hồ sơ → Xuất bản grafic → chọn định dạng PNG → Xuất.
Sai lầm thường gặp.Cố dựng công cụ Góc với độ lớn cho trước ngay tại điểm C với số đo 70° trong khi điểm C chưa hề tồn tại trên Vùng làm việc — phải quy góc ACB về góc ABC bằng định lí tổng ba góc rồi mới dựng được bằng hai tia xuất phát từ A và B như Luyện tập 1.
🚀 Mở rộng.Cách quy đổi góc đối diện (ACB) về góc kề cạnh đã biết (ABC) bằng định lí tổng ba góc là kĩ thuật dùng lại được cho mọi bài 'biết 1 cạnh và 2 góc' mà hai góc đã cho không cùng kề cạnh đó.
Bài 9 · Bài tập 2★★★Trang 114— Dựng tam giác vuông biết hai cạnh góc vuông rồi đo cạnh huyền bằng phần mềm và bằng Pythagore
Bài tập 2 (trang 114). a) Sử dụng phần mềm GeoGebra, em hãy vẽ tam giác ABC vuông tại A, AB=4 cm, AC=3 cm và lưu thành một tệp có đuôi png. b) Dùng phần mềm GeoGebra, em hãy đo độ dài cạnh BC.
Kiến thức cần nhớ
Định lí Pythagore: BC2=AB2+AC2 trong tam giác vuông tại A.
Công cụ Khoảng cách hoặc Độ dài (hoặc lệnh Distance) đo khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong GeoGebra.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai cạnh góc vuông AB, AC của tam giác vuông tại A — dấu hiệu dựng bằng đường vuông góc tại A kết hợp đường tròn xác định đúng độ dài từng cạnh, sau đó đo trực tiếp cạnh huyền BC bằng công cụ đo có sẵn. Bẫy ở phần b): nếu đo nhầm hai điểm đã biết trước độ dài (A, B) thay vì đúng cặp điểm cần tìm (B, C) thì sẽ hiểu lầm kết quả đo là 4 cm chứ không phải cạnh huyền.
1Cách 1. Dùng đường vuông góc, đường tròn và công cụ đo
Định hướng. Đỉnh C phải nằm trên đường vuông góc với AB tại A và cách A đúng 3 cm; sau khi dựng xong, đo BC bằng công cụ đo khoảng cách có sẵn.
Vẽ đoạn thẳng AB = 4 cm Chọn công cụ (nhóm Hai đường thẳng), chọn Đường vuông góc, nháy A rồi đoạn thẳng AB, dựng đường thẳng h qua A vuông góc với AB Chọn công cụ (nhóm Đường tròn), dựng đường tròn tâm A bán kính 3 Chọn công cụ Giao điểm của 2 đối tượng, nháy h và đường tròn, được điểm C Chọn công cụ Đoạn thẳng, nối A, C và B, C Vào Hồ sơ → Xuất bản grafic, chọn png để lưu tệp Chọn công cụ (nhóm Góc), chọn Khoảng cách hoặc Độ dài, nháy lần lượt vào điểm B và điểm C
Hình vẽ được trên GeoGebra:
Vậy GeoGebra hiện số đo BC = 5 (cm).
2Cách 2. Gõ lệnh vào ô Input
Định hướng. Mỗi thao tác ở Cách 1 đều có lệnh tương ứng, và lệnh Distance đo khoảng cách nhanh hơn dùng chuột dò công cụ trên thanh.
Nháy chuột vào ô Nhập lệnh, gõ lần lượt: f=Segment(A,B) h=PerpendicularLine(A,f) c=Circle(A,3) C=Intersect(h,c) Segment(B,C) Distance(B,C)
Vậy lệnh Distance(B,C) trả về kết quả 5, đúng bằng số đo cạnh BC.
3Cách 3. Tính bằng định lí Pythagore rồi đối chiếu
Định hướng. Không cần đo bằng phần mềm, có thể tính thẳng BC bằng định lí Pythagore rồi so sánh với số đo hiển thị trên GeoGebra ở Cách 1 hoặc Cách 2.
BC=AB2+AC2=42+32=16+9=25=5 (cm)
Vậy BC = 5 cm, khớp đúng với số đo đọc được từ công cụ Khoảng cách hoặc Độ dài / lệnh Distance ở hai cách trên.
Nhận xét. Bộ ba số 3, 4, 5 vừa dựng vừa đo được trên phần mềm chính là bộ ba Pythagore quen thuộc, nên kết quả tính tay và kết quả đo trên GeoGebra khớp tuyệt đối.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thực hành dùng Cách 1: dựng xong lấy luôn công cụ đo trên thanh, không cần nhớ cú pháp lệnh; dùng Cách 3 để tự kiểm tra lại con số đã đo được.
Đáp số.Tam giác ABC vuông tại A có AB = 4 cm, AC = 3 cm nên BC=AB2+AC2=16+9=25=5 (cm) — đúng bằng số đo hiển thị khi dùng công cụ Khoảng cách hoặc Độ dài (hoặc lệnh Distance(B,C)) trong GeoGebra.
Sai lầm thường gặp.Dùng công cụ Khoảng cách hoặc Độ dài nhưng nháy chuột vào hai điểm A, B (đã biết trước là 4 cm) thay vì đúng cặp điểm B, C, nên nhầm tưởng kết quả đo được chính là độ dài cạnh huyền BC cần tìm.
🚀 Mở rộng.Bộ ba (3; 4; 5) là bộ ba Pythagore quen thuộc — đổi AB = 4, AC = 3 thành AB = 6, AC = 8 vẫn cho tam giác vuông với BC = 10, vì (6; 8; 10) = 2·(3; 4; 5).
