Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm. Công thức lãi kép

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 3 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập1 #trang112 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · HĐ★★Trang 112— Lập công thức lãi kép theo định kì từ các kì đầu

HĐ (trang 112). Bài toán gửi tiết kiệm có kì hạn. Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Một người gửi vào ngân hàng

P

đồng, với lãi suất hằng tháng là

r

(ở đây

r

được biểu thị dưới dạng số thập phân).
a) Tính số tiền người đó nhận được sau 1 tháng.
b) Tính số tiền người đó nhận được sau 2 tháng.
c) Tính số tiền người đó nhận được sau 3 tháng.
d) Đưa ra công thức tính số tiền người đó nhận được sau

n

tháng.

Kiến thức cần nhớ

Lãi kép theo định kì: nếu đến kì hạn không rút lãi thì tiền lãi được cộng vào vốn để tính lãi cho kì kế tiếp.
Sau mỗi kì, số tiền nhận được bằng số tiền đầu kì nhân với $1 + r$ (với $r$ là lãi suất mỗi kì viết dưới dạng số thập phân).
Công thức lãi kép: gửi $P$ đồng, lãi suất $r$ mỗi kì thì sau $N$ kì nhận được $A = P (1 + r)^{N}$ .
Lãi suất $r = 6%$ nghĩa là $r = \frac{6}{100} = 0, 06$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề nói tiền lãi được cộng vào vốn của kì sau — dấu hiệu của lãi kép: vốn mỗi tháng là số tiền cuối tháng trước, không phải số tiền gửi ban đầu. Vì vậy cách chắc chắn nhất là làm lần lượt từng tháng rồi nhìn quy luật để đoán công thức cho

n

tháng. Bẫy của đề là tính lãi mỗi tháng đều trên

P

(lãi đơn) nên ra

P (1 + 2 r)

ở tháng thứ hai thay vì

P (1 + r)^{2}

1Cách 1. Tính lần lượt tiền lãi và cộng vào vốn từng tháng

Định hướng. Mỗi tháng: lãi = vốn đầu tháng $\times r$ , rồi cộng lãi vào vốn để làm vốn của tháng sau.

A_{1} = P + P \cdot r = P (1 + r)

A_{2} = A_{1} + A_{1} \cdot r = A_{1} (1 + r) = P (1 + r) (1 + r) = P (1 + r)^{2}

A_{3} = A_{2} + A_{2} \cdot r = A_{2} (1 + r) = P (1 + r)^{2} (1 + r) = P (1 + r)^{3}

A_{4} = A_{3} (1 + r) = P (1 + r)^{4}

\dots

cứ tiếp tục như vậy, số mũ của

(1 + r)

đúng bằng số tháng đã gửi, nên

A_{n} = P (1 + r)^{n}

Vậy sau 1, 2, 3 tháng người đó nhận được lần lượt $P (1 + r)$ ; $P (1 + r)^{2}$ ; $P (1 + r)^{3}$ đồng và sau $n$ tháng nhận được $A = P (1 + r)^{n}$ đồng.

2Cách 2. Coi mỗi tháng số tiền được nhân thêm hệ số

1 + r

(dãy nhân liên tiếp)

Định hướng. Lãi tháng nào cũng bằng $r$ lần vốn của tháng đó, nên số tiền cuối tháng luôn bằng số tiền đầu tháng nhân với cùng một hệ số $1 + r$ .

Vốn + lãi

=

vốn

+

vốn

\cdot r =

vốn

\cdot (1 + r)

P \times (1 + r) A_{1} \times (1 + r) A_{2} \times (1 + r) A_{3} \times (1 + r) \dots \times (1 + r) A_{n}

A_{1} = P \cdot (1 + r)

A_{2} = P \cdot (1 + r) \cdot (1 + r) = P (1 + r)^{2}

A_{3} = P \cdot (1 + r) \cdot (1 + r) \cdot (1 + r) = P (1 + r)^{3}

d) Sau

n

tháng đã nhân

n

lần hệ số

1 + r

A_{n} = P n (1 + r) (1 + r) \dots (1 + r) = P (1 + r)^{n}

Vậy $A = P (1 + r)^{n}$ (đồng) sau $n$ tháng gửi.

3Cách 3. Khai triển bằng hằng đẳng thức để thấy phần "lãi của lãi", rồi kiểm chứng bằng số

Định hướng. Khai triển $(1 + r)^{2}$ , $(1 + r)^{3}$ bằng các hằng đẳng thức đã học để so sánh lãi kép với lãi đơn, đồng thời thử với số cụ thể để chắc công thức đúng.

A_{2} = P (1 + r)^{2} = P (1 + 2 r + r^{2}) = P + 2 P r + P r^{2}

A_{3} = P (1 + r)^{3} = P (1 + 3 r + 3 r^{2} + r^{3}) = P + 3 P r + 3 P r^{2} + P r^{3}

Lãi đơn (chỉ tính lãi trên

P

) sau 2, 3 tháng là

2 P r

và

3 P r

, phần dư ra

P r^{2}

và

3 P r^{2} + P r^{3}

chính là tiền lãi sinh ra từ các khoản lãi đã cộng vào vốn.
Thử số:

P = 100

(triệu đồng),

r = 0, 5% = 0, 005

A_{1} = 100 \cdot 1, 005 = 100, 5

A_{2} = 100 \cdot 1, 00 5^{2} = 101, 0025

, trong đó

2 P r = 1

và

P r^{2} = 0, 0025

A_{3} = 100 \cdot 1, 00 5^{3} = 101, 5075125

Số mũ luôn bằng số tháng nên tổng quát

A_{n} = P (1 + r)^{n}

Vậy $A_{1} = P (1 + r)$ , $A_{2} = P (1 + r)^{2}$ , $A_{3} = P (1 + r)^{3}$ và $A_{n} = P (1 + r)^{n}$ .

Nhận xét. Khai triển cho thấy lãi kép luôn lớn hơn lãi đơn $n P r$ một khoản "lãi của lãi"; kì càng nhiều, khoản này càng đáng kể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi và khi học dùng Cách 1 để lập công thức vì mỗi dòng đều có ý nghĩa thực tế (lãi rồi cộng vào vốn); Cách 2 là bản rút gọn của Cách 1 và giúp nhớ công thức nhanh nhất, còn Cách 3 dùng để giải thích vì sao lãi kép hơn lãi đơn.

Đáp số. a)

P (1 + r)

đồng; b)

P (1 + r)^{2}

đồng; c)

P (1 + r)^{3}

đồng; d)

A = P (1 + r)^{n}

đồng.

Sai lầm thường gặp. Tính lãi mỗi tháng đều trên số tiền gốc

P

(lãi đơn) nên viết

A_{2} = P + 2 P r = P (1 + 2 r)

: với

P = 100

r = 0, 005

cho

101

chứ không phải

101, 0025

— mất khoản lãi của lãi. Lỗi thứ hai là viết

A_{n} = P (1 + n r)

hoặc

P (1 + r) \cdot n

🚀 Mở rộng. Nếu ngân hàng cho phép gửi thêm

a

đồng vào cuối mỗi tháng thì số tiền sau các tháng tính thế nào? Thử tự lập

A_{1}

A_{2}

A_{3}

rồi tìm quy luật (tổng các số hạng nhân liên tiếp với

1 + r

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Dự án 1★★Trang 112— Ứng dụng công thức lãi kép: tính tiền lãi và chọn ngân hàng (1 kì hạn)

Dự án 1 (trang 112). Bác Hưng muốn gửi tiết kiệm 300 triệu đồng kì hạn 12 tháng. Dựa vào bảng lãi suất mà các ngân hàng công bố tại thời điểm hiện tại, hãy tính số tiền lãi mà bác Hưng nhận được khi gửi cho mỗi ngân hàng. Từ đó tư vấn ngân hàng gửi tiết kiệm cho bác Hưng (giả sử uy tín và chất lượng dịch vụ của các ngân hàng là như nhau).
Gợi ý trong sách: số tiền lãi = tổng số tiền nhận được − số tiền gốc ban đầu.
Sách không in sẵn bảng lãi suất. Để minh hoạ, ta giả định (số liệu giả định, không phải lãi suất thật) lãi suất kì hạn 12 tháng của bốn ngân hàng là: ngân hàng A:

5, 4%

/năm; ngân hàng B:

5, 6%

/năm; ngân hàng C:

5, 2%

/năm; ngân hàng D:

5, 5%

/năm. Khi làm thật, các em thay bằng bảng lãi suất tra được.

Kiến thức cần nhớ

Lãi suất năm $r$ , gửi $P$ đồng kì hạn 12 tháng (1 kì) thì số tiền nhận được là $A = P (1 + r)$ .
Số tiền lãi $=$ Tổng số tiền nhận được $-$ Số tiền gốc ban đầu.
Đổi phần trăm ra số thập phân: $r = 6% = \frac{6}{100} = 0, 06$ .

🧠 Phân tích tư duy

Kì hạn gửi đúng 12 tháng và lãi suất công bố là lãi suất năm nên chỉ có 1 kì tính lãi (

N = 1

n = 1

) — công thức lãi kép rút gọn thành

A = P (1 + r)

. Vì gốc

P = 300

triệu đồng chung cho mọi ngân hàng, ngân hàng nào có

r

lớn nhất thì lãi lớn nhất, nên chọn ngân hàng thật ra chỉ cần so

r

. Bẫy là quên đổi phần trăm ra số thập phân (

5, 6% = 0, 056

) hoặc quên trừ vốn gốc nên nhầm tổng tiền nhận được với tiền lãi.

1Cách 1. Tính tổng tiền nhận được bằng công thức lãi kép rồi trừ vốn gốc

Định hướng. Dùng đúng gợi ý của sách: tính $A = P (1 + r)^{N}$ với $N = 1$ , rồi lấy $A - P$ .

Ngân hàng A (

r = 5, 4% = 0, 054

A = 300 (1 + 0, 054) = 300 \cdot 1, 054 = 316, 2

; lãi

= 316, 2 - 300 = 16, 2

Ngân hàng B (

r = 0, 056

A = 300 \cdot 1, 056 = 316, 8

; lãi

= 316, 8 - 300 = 16, 8

Ngân hàng C (

r = 0, 052

A = 300 \cdot 1, 052 = 315, 6

; lãi

= 315, 6 - 300 = 15, 6

Ngân hàng D (

r = 0, 055

A = 300 \cdot 1, 055 = 316, 5

; lãi

= 316, 5 - 300 = 16, 5

So sánh:

16, 8 > 16, 5 > 16, 2 > 15, 6

Vậy (với số liệu giả định) tiền lãi lần lượt là $16, 2$ ; $16, 8$ ; $15, 6$ ; $16, 5$ triệu đồng, nên bác Hưng nên gửi ngân hàng B vì lãi lớn nhất ( $16, 8$ triệu đồng).

2Cách 2. Tính thẳng tiền lãi

= P \cdot r

(quy về lãi của 1%)

Định hướng. Vì $A - P = P (1 + r) - P = P \cdot r$ , tiền lãi bằng gốc nhân lãi suất; 1% của 300 triệu đồng là 3 triệu đồng nên mỗi 1% lãi suất cho 3 triệu đồng lãi.

Lãi

= A - P = P (1 + r) - P = P \cdot r

1%

của

300

triệu đồng là

300 \cdot 0, 01 = 3

(triệu đồng)
A:

5, 4 \cdot 3 = 16, 2

5, 6 \cdot 3 = 16, 8

5, 2 \cdot 3 = 15, 6

5, 5 \cdot 3 = 16, 5

Vậy lãi lần lượt là $16, 2$ ; $16, 8$ ; $15, 6$ ; $16, 5$ triệu đồng; nên gửi ngân hàng B.

3Cách 3. So sánh chênh lệch lãi suất, không cần tính hết từng ngân hàng

Định hướng. Lãi tỉ lệ thuận với lãi suất $r$ (vì gốc không đổi), nên chỉ cần tìm ngân hàng có $r$ lớn nhất, rồi tính tiền lãi của riêng ngân hàng đó và độ hơn kém so với ngân hàng còn lại.

Sắp xếp lãi suất:

5, 6% > 5, 5% > 5, 4% > 5, 2%

nên B có lãi lớn nhất
Lãi của B:

300 \cdot 0, 056 = 16, 8

B hơn D:

300 \cdot (0, 056 - 0, 055) = 300 \cdot 0, 001 = 0, 3

B hơn A:

300 \cdot (0, 056 - 0, 054) = 300 \cdot 0, 002 = 0, 6

B hơn C:

300 \cdot (0, 056 - 0, 052) = 300 \cdot 0, 004 = 1, 2

Vậy B lãi $16, 8$ triệu đồng, hơn D là $0, 3$ ; hơn A là $0, 6$ ; hơn C là $1, 2$ triệu đồng. Bác Hưng nên chọn ngân hàng B.

Nhận xét. Cách 3 là cách của người tư vấn: chỉ so lãi suất, rồi đổi chênh lệch ra tiền cho khách dễ hình dung.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi và tư vấn thực tế dùng Cách 3: chỉ cần so lãi suất rồi tính chênh lệch bằng

P \cdot (r_{1} - r_{2})

, không phải tính bốn tổng tiền; Cách 1 dài hơn nhưng bám sát gợi ý của sách và dễ kiểm tra.

Đáp số. Với số liệu giả định: lãi lần lượt

16, 2

;

16, 8

;

15, 6

;

16, 5

triệu đồng cho ngân hàng A, B, C, D; nên gửi ngân hàng B (lãi suất kì hạn 12 tháng cao nhất). Với bảng lãi suất thật: lãi

= 300 \cdot r

(triệu đồng), chọn ngân hàng có

r

kì hạn 12 tháng lớn nhất.

Sai lầm thường gặp. Viết nhầm

r = 5, 6%

thành

5, 6

khi thay vào công thức:

300 (1 + 5, 6) = 1980

(triệu đồng) là vô lí. Lỗi khác là lấy tổng tiền nhận được

316, 8

triệu đồng làm "tiền lãi" mà quên trừ vốn gốc

300

triệu đồng.

🚀 Mở rộng. Nếu bác Hưng gửi 24 tháng liên tục theo kì hạn 12 tháng (tái tục cả gốc lẫn lãi) với lãi suất không đổi thì sau 2 năm nhận

300 (1 + r)^{2}

; hãy tính lãi hai năm của ngân hàng B và so với lãi đơn

2 \cdot 16, 8

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Dự án 2★★★Trang 112— Ứng dụng công thức lãi kép: so sánh các kì hạn gửi tiết kiệm trong 2 năm

Dự án 2 (trang 112). Bác Hương có 250 triệu đồng muốn gửi tiết kiệm ở một ngân hàng và hai năm sau mới có nhu cầu sử dụng số tiền này. Dựa vào bảng lãi suất mà ngân hàng công bố tại thời điểm hiện tại, hãy tư vấn cho bác Hương phương án gửi tiết kiệm để số tiền lãi thu được sau hai năm gửi tiết kiệm là lớn nhất.
Ở đây, giả sử các lãi suất đã công bố là không thay đổi trong suốt quá trình bác Hương gửi tiết kiệm.
Gợi ý trong sách: nếu lãi suất năm là $r$ , tính lãi $n$ lần trong một năm thì sau $N$ kì nhận được $A = P (1 + \frac{r}{n})^{N}$ .
Sách không in sẵn bảng lãi suất. Để minh hoạ, ta giả định (số liệu giả định, không phải lãi suất thật) một ngân hàng công bố lãi suất năm theo kì hạn: 3 tháng:

3, 6%

; 6 tháng:

4, 8%

; 12 tháng:

5, 5%

; 24 tháng:

5, 6%

. Khi làm thật, các em thay bằng bảng lãi suất tra được; mỗi lần đáo hạn, bác Hương gửi tiếp cả gốc lẫn lãi với cùng kì hạn.

Kiến thức cần nhớ

Lãi suất năm $r$ , lãi tính $n$ lần trong một năm, gửi $N$ kì thì $A = P (1 + \frac{r}{n})^{N}$ .
Kì hạn 3 tháng: $n = 4$ ; kì hạn 6 tháng: $n = 2$ ; kì hạn 12 tháng: $n = 1$ ; kì hạn 24 tháng: coi cả 2 năm là 1 kì, lãi $= P \cdot r \cdot 2$ .
Số tiền lãi $= A - P$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bài cho tổng thời gian cố định là 2 năm và nhiều kì hạn khác nhau, mỗi kì hạn có lãi suất năm riêng — dấu hiệu phải dùng

A = P (1 + \frac{r}{n})^{N}

cho từng phương án rồi so sánh, không thể chọn theo lãi suất cao nhất một cách máy móc. Với mỗi kì hạn cần xác định đúng

n

(số lần tính lãi mỗi năm) và

N

(số kì trong 2 năm): kì 3 tháng có

n = 4

N = 8

; kì 24 tháng chỉ có 1 kì trong 2 năm nên

N = 1

và lãi tính cho cả 2 năm. Bẫy: kì hạn 24 tháng có lãi suất năm cao nhất nhưng không được lãi kép, còn kì hạn ngắn được lãi kép nhưng lãi suất thấp — phải tính mới biết.

1Cách 1. Tính số tiền nhận được của từng phương án bằng công thức lãi kép rồi so sánh tiền lãi

Định hướng. Với mỗi kì hạn xác định $r$ , $n$ , $N$ , tính $A = P (1 + \frac{r}{n})^{N}$ với $P = 250$ (triệu đồng), rồi lấy $A - 250$ .

Kì hạn 3 tháng (

r = 0, 036

;

n = 4

;

N = 8

A = 250 (1 + \frac{0 , 036}{4})^{8} = 250 \cdot 1, 00 9^{8} \approx 268, 577

; lãi

\approx 18, 577

Kì hạn 6 tháng (

r = 0, 048

;

n = 2

;

N = 4

A = 250 (1 + \frac{0 , 048}{2})^{4} = 250 \cdot 1, 02 4^{4} \approx 274, 878

; lãi

\approx 24, 878

Kì hạn 12 tháng (

r = 0, 055

;

n = 1

;

N = 2

A = 250 (1 + 0, 055)^{2} = 250 \cdot 1, 113025 = 278, 25625

; lãi

= 28, 25625

Kì hạn 24 tháng (

r = 0, 056

;

N = 1

; lãi 2 năm):

A = 250 (1 + 2 \cdot 0, 056) = 250 \cdot 1, 112 = 278

; lãi

= 28

So sánh:

28, 25625 > 28 > 24, 878 > 18, 577

Vậy (với số liệu giả định) bác Hương nên gửi kì hạn 12 tháng, đáo hạn thì gửi tiếp cả gốc lẫn lãi thêm 12 tháng; sau 2 năm nhận khoảng $278, 256$ triệu đồng, lãi khoảng $28, 256$ triệu đồng — lớn nhất.

2Cách 2. So sánh hệ số nhân

(1 + \frac{r}{n})^{N}

(không cần nhân với 250)

Định hướng. Vì $A = 250 \cdot k$ với $k = (1 + \frac{r}{n})^{N}$ , phương án nào có hệ số $k$ lớn nhất thì $A$ và tiền lãi $250 (k - 1)$ lớn nhất; chỉ cần so các hệ số.

3 tháng:

k = 1, 00 9^{8} \approx 1, 07431

6 tháng:

k = 1, 02 4^{4} \approx 1, 09951

12 tháng:

k = 1, 05 5^{2} = 1, 113025

24 tháng:

k = 1 + 2 \cdot 0, 056 = 1, 112

So sánh:

1, 113025 > 1, 112 > 1, 09951 > 1, 07431

Lãi lớn nhất

= 250 \cdot (1, 113025 - 1) = 250 \cdot 0, 113025 = 28, 25625

Vậy hệ số nhân của kì hạn 12 tháng lớn nhất; bác Hương nên gửi 12 tháng rồi tái tục thêm 12 tháng, lãi khoảng $28, 256$ triệu đồng.

3Cách 3. Tách lãi đơn và "lãi của lãi" để loại nhanh phương án kém

Định hướng. Khai triển $(1 + x)^{N} = 1 + N x + \dots$ (các số hạng còn lại chính là phần lãi của lãi): lãi đơn trong 2 năm là $250 \cdot r \cdot 2$ ; phần lãi của lãi chỉ nhỏ, nên phương án có lãi đơn thấp và phần thêm nhỏ sẽ bị loại ngay.

Lãi đơn 2 năm

= 250 \cdot r \cdot 2

:
3 tháng:

250 \cdot 0, 036 \cdot 2 = 18

; 6 tháng:

250 \cdot 0, 048 \cdot 2 = 24

; 12 tháng:

250 \cdot 0, 055 \cdot 2 = 27, 5

; 24 tháng:

250 \cdot 0, 056 \cdot 2 = 28

Lãi của lãi (kì 6 tháng):

250 (1, 02 4^{4} - 1 - 4 \cdot 0, 024) = 250 \cdot 0, 00351163 \approx 0, 878

, nên lãi

\approx 24 + 0, 878 < 25

Lãi của lãi (kì 3 tháng):

250 (1, 00 9^{8} - 1 - 8 \cdot 0, 009) \approx 0, 577

, nên lãi

\approx 18 + 0, 577 < 19

Hai phương án này nhỏ hơn

28

nên bị loại.
Còn lại kì hạn 12 tháng:

(1 + 0, 055)^{2} = 1 + 2 \cdot 0, 055 + 0, 05 5^{2}

, lãi

= 27, 5 + 250 \cdot 0, 003025 = 27, 5 + 0, 75625 = 28, 25625

Kì hạn 24 tháng: lãi

= 28

So sánh:

28, 25625 > 28

Vậy lãi lớn nhất khi gửi kì hạn 12 tháng (hai lần): khoảng $28, 256$ triệu đồng; kì hạn 24 tháng cho $28$ triệu đồng, đứng thứ hai.

Nhận xét. Kì hạn 24 tháng có lãi suất năm cao nhất ( $5, 6%$ ) nhưng lại thua kì hạn 12 tháng vì không có lãi của lãi: phần này bù cho chênh lệch lãi suất chỉ $0, 1%$ /năm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần so 4 hệ số nhân, không phải nhân với 250 nhiều lần; Cách 1 cần thiết ở bước cuối để nêu số tiền lãi cụ thể, còn Cách 3 giúp hiểu vì sao kì hạn dài nhất chưa chắc có lợi nhất.

Đáp số. Với số liệu giả định: gửi kì hạn 12 tháng, tái tục một lần; sau 2 năm nhận khoảng

278, 256

triệu đồng, tiền lãi khoảng

28, 256

triệu đồng (các phương án khác: 3 tháng

\approx 18, 577

; 6 tháng

\approx 24, 878

; 24 tháng

28

triệu đồng). Với bảng thật: tính

A

cho từng kì hạn và chọn phương án có

A

lớn nhất.

Sai lầm thường gặp. Dùng nguyên lãi suất năm cho mỗi kì ngắn mà quên chia cho

n

: với kì 3 tháng viết

250 \cdot 1, 03 6^{8} \approx 331, 76

(lãi hơn 81 triệu đồng sau 2 năm, vô lí). Lỗi khác là kết luận vội "lãi suất cao nhất thì lãi nhiều nhất" và chọn kì hạn 24 tháng (

28

triệu đồng) trong khi kì hạn 12 tháng tái tục cho

28, 256

triệu đồng.

🚀 Mở rộng. Nếu lãi suất kì hạn 24 tháng tăng lên

5, 7%

/năm thì lãi thành

250 \cdot 2 \cdot 0, 057 = 28, 5

triệu đồng, vượt kì hạn 12 tháng; hãy tìm lãi suất kì hạn 24 tháng nhỏ nhất để phương án này thắng (lãi

> 28, 25625

, tức

r > 5, 6512 \dots %

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài tập cuối chương V Bài tiếp theo ›Bài 21. Phân thức đại số