Chương IX. Tam giác đồng dạng

Luyện tập chung

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 2 · 8 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Bài 1 · Ví dụ 1★★★Trang 91— Chứng minh đồng dạng bằng ba cạnh tỉ lệ rồi suy ra song song và đồng dạng tiếp

Ví dụ 1 (trang 91, Hình 9.26). Cho các điểm

A, B, C, D, E

như Hình 9.26, biết rằng

A B = 6

cm,

A C = 9

cm,

A D = 8

cm,

B C = 12

cm,

B D = 4

cm. Chứng minh rằng

△ A B C ∽ △ B D A

và

△ B D E ∽ △ A C E

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c): ba cạnh của tam giác này tỉ lệ với ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau; hai góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng song song.
Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại thì tạo ra tam giác đồng dạng với tam giác đã cho.
Trường hợp góc – góc (g.g) và cạnh – góc – cạnh (c.g.c) của hai tam giác đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho đủ độ dài năm cạnh nhưng chỉ có tam giác

A B C

và

B D A

có ba cặp cạnh có thể lập tỉ số — dấu hiệu dùng trường hợp c.c.c trước. Kết quả đồng dạng đó cho hai góc bằng nhau ở vị trí so le trong nên suy ra được

A C ∥ B D

, và đó mới là chìa khoá cho cặp tam giác thứ hai (không có số đo nào khác để so sánh). Bẫy: ghép sai thứ tự đỉnh, chẳng hạn viết

△ A B C

với

△ D B A

thì các tỉ số không còn bằng nhau.

1Cách 1. Đồng dạng c.c.c, suy ra

A C ∥ B D

rồi dùng định lí về đường thẳng song song với một cạnh

Định hướng. Lập ba tỉ số cạnh của $△ A B C$ và $△ B D A$ theo đúng thứ tự đỉnh tương ứng, suy ra hai góc so le trong bằng nhau để có $A C ∥ B D$ , rồi áp dụng định lí cho tam giác $B D E$ .

\frac{A B}{B D} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

\frac{A C}{B A} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}

\frac{B C}{D A} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}

\frac{A B}{B D} = \frac{A C}{B A} = \frac{B C}{D A} = \frac{3}{2}

nên

△ A B C ∽ △ B D A

(c.c.c)

\Rightarrow C A B = A B D

(hai góc tương ứng)
Hai góc này so le trong ứng với hai đường thẳng

A C

B D

và cát tuyến

A B

\Rightarrow A C ∥ B D

Đường thẳng

A C

song song với cạnh

B D

của

△ B D E

, cắt hai đường thẳng

E B

E D

lần lượt tại

A

C

\Rightarrow △ B D E ∽ △ A C E

Vậy $△ A B C ∽ △ B D A$ (c.c.c) và $△ B D E ∽ △ A C E$ .

2Cách 2. Đồng dạng c.c.c rồi dùng g.g cho cặp tam giác thứ hai (không cần nhắc đến song song)

Định hướng. Sau khi có $△ A B C ∽ △ B D A$ , chỉ cần tìm hai cặp góc bằng nhau của $△ B D E$ và $△ A C E$ : một cặp từ đồng dạng vừa chứng minh, một cặp đối đỉnh tại $E$ .

\frac{A B}{B D} = \frac{A C}{B A} = \frac{B C}{D A} = \frac{3}{2}

\Rightarrow △ A B C ∽ △ B D A

(c.c.c)

\Rightarrow C A B = A B D

Vì

E

nằm trên đoạn

A B

E A C = C A B

và

E B D = A B D

\Rightarrow E A C = E B D

A E C = B E D

(hai góc đối đỉnh)
Xét

△ B D E

và

△ A C E

E B D = E A C

B E D = A E C

\Rightarrow △ B D E ∽ △ A C E

(g.g)

Vậy $△ B D E ∽ △ A C E$ (g.g), thứ tự đỉnh $B \to A$ , $D \to C$ , $E \to E$ .

3Cách 3. Tỉ lệ thức của đường thẳng song song rồi c.g.c

Định hướng. Từ $A C ∥ B D$ suy ra các đoạn thẳng cắt nhau tại $E$ tỉ lệ; cặp tỉ số bằng nhau cùng một cặp góc đối đỉnh cho trường hợp c.g.c.

Từ

△ A B C ∽ △ B D A

(c.c.c):

C A B = A B D

\Rightarrow A C ∥ B D

A C ∥ B D

và hai đường thẳng

A B

C D

cắt nhau tại

E

\Rightarrow \frac{E B}{E A} = \frac{E D}{E C} = \frac{B D}{A C} = \frac{4}{9}

Xét

△ B D E

và

△ A C E

\frac{E B}{E A} = \frac{E D}{E C}

B E D = A E C

(đối đỉnh)

\Rightarrow △ B D E ∽ △ A C E

(c.g.c), tỉ số đồng dạng

\frac{4}{9}

Vậy $△ B D E ∽ △ A C E$ với tỉ số đồng dạng $\frac{4}{9}$ .

Nhận xét. Cách 3 cho luôn tỉ số đồng dạng $\frac{4}{9} = \frac{B D}{A C}$ — thông tin mà hai cách đầu chưa nêu.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ hai cặp góc, không phải nhớ định lí về đường thẳng song song và không phải lập thêm tỉ số; Cách 1 là lời giải chuẩn của sách, Cách 3 hữu ích khi đề còn hỏi thêm tỉ số hay độ dài.

Đáp số.

△ A B C ∽ △ B D A

(tỉ số

\frac{3}{2}

);

△ B D E ∽ △ A C E

(tỉ số

\frac{4}{9}

Sai lầm thường gặp. Viết

△ A B C ∽ △ A B D

theo thứ tự chữ cái là sai: khi đó

\frac{A B}{A B} = 1

nhưng

\frac{A C}{B D} = \frac{9}{4}

— các tỉ số không bằng nhau. Thứ tự đúng phải khớp từng cặp cạnh tỉ lệ:

A \to B

B \to D

C \to A

(cạnh

A B

ứng với

B D

, cạnh

B C

ứng với

D A

, cạnh

C A

ứng với

A B

🚀 Mở rộng. Từ

A C ∥ B D

và

E

là giao điểm hai đoạn

A B

C D

ta còn tính được

E A = \frac{54}{13}

cm,

E B = \frac{24}{13}

cm; thử tự tính

E C

E D

theo tỉ số

\frac{9}{4}

nếu biết thêm

C D

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Ví dụ 2★★★Trang 91— Tính tỉ số hai đoạn thẳng nhờ hai lần đồng dạng (c.g.c rồi g.g)

Ví dụ 2 (trang 91, Hình 9.27). Cho góc

x O y

, các điểm

A, B

nằm trên tia

O x

và các điểm

C, D

nằm trên tia

O y

như Hình 9.27, sao cho

O A = 2

cm,

O B = 6

cm,

O C = 3

cm,

O D = 4

cm. Biết

A D

cắt

B C

tại điểm

E

. Hãy tính tỉ số

\frac{B E}{D E}

Kiến thức cần nhớ

Trường hợp đồng dạng cạnh – góc – cạnh (c.g.c) và góc – góc (g.g).
Hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai cạnh tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau; hai góc kề bù có tổng bằng $18 0^{\circ}$ .
Đường thẳng song song với một cạnh của tam giác thì tạo ra tam giác đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Cần tỉ số

\frac{B E}{D E}

của hai đoạn không nằm trên cùng một đường thẳng — dấu hiệu phải tìm hai tam giác đồng dạng có chứa

B E

và

D E

là hai cạnh tương ứng, đó là

△ A E B

và

△ C E D

. Muốn có đồng dạng này phải có hai góc bằng nhau; đề chỉ cho độ dài nên góc chỉ đến được qua cặp tam giác

O A D

O C B

có góc chung

O

và hai cạnh kề tỉ lệ. Bẫy: nhầm

B E

với

B C

hoặc

D E

với

A D

1Cách 1. Hai lần đồng dạng:

△ O A D ∽ △ O C B

rồi

△ A E B ∽ △ C E D

Định hướng. Đầu tiên chứng minh $△ O A D ∽ △ O C B$ (c.g.c) để có góc bằng nhau ở $B$ và $D$ , sau đó dùng g.g cho $△ A E B$ và $△ C E D$ rồi lập tỉ số cần tính.

Xét

△ O A D

và

△ O C B

O

chung,

\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B} = \frac{2}{3}

\Rightarrow △ O A D ∽ △ O C B

(c.g.c)

\Rightarrow O D A = O B C

(*)

Xét

△ A E B

và

△ C E D

A E B = C E D

(đối đỉnh),

A B E = C D E

(theo

(*)

)

\Rightarrow △ A E B ∽ △ C E D

(g.g)

\Rightarrow \frac{B E}{D E} = \frac{A B}{C D} = \frac{O B - O A}{O D - O C} = \frac{4}{1} = 4

Vậy $\frac{B E}{D E} = 4$ .

2Cách 2. Dùng cặp góc bù nhau ở

A

và

C

thay cho cặp góc ở

B

D

Định hướng. Cũng từ $△ O A D ∽ △ O C B$ , lấy cặp góc tương ứng tại $A$ và $C$ ; hai góc kề bù với chúng tại $A$ và $C$ lại bằng nhau, cho $△ A E B ∽ △ C E D$ mà không cần góc tại $B$ , $D$ .

△ O A D ∽ △ O C B

(c.g.c,

O

chung,

\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B} = \frac{2}{3}

)

\Rightarrow O A D = O C B

E A B = 18 0^{\circ} - O A D

(kề bù,

A

nằm giữa

O

và

B

)

E C D = 18 0^{\circ} - O C B

(kề bù,

C

nằm giữa

O

và

D

)

\Rightarrow E A B = E C D

Cùng với

A E B = C E D

(đối đỉnh)

\Rightarrow △ A E B ∽ △ C E D

(g.g)

\Rightarrow \frac{B E}{D E} = \frac{A B}{C D} = \frac{6 - 2}{4 - 3} = 4

Vậy $\frac{B E}{D E} = 4$ .

3Cách 3. Kẻ

A K ∥ O y

(

K

thuộc

B C

), tính

B E

và

D E

theo

B C

và

A D

Định hướng. Không dựa vào cặp góc: dùng đường thẳng song song để biểu diễn $B E$ theo $B C$ và $D E$ theo $A D$ , còn tỉ số $\frac{A D}{B C}$ lấy từ $△ O A D ∽ △ O C B$ .

Kẻ

A K ∥ O y

K \in B C

△ B A K ∽ △ B O C

\Rightarrow \frac{A K}{O C} = \frac{B K}{B C} = \frac{B A}{B O} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\Rightarrow A K = 2

cm,

B K = \frac{2}{3} B C

K C = \frac{1}{3} B C

A K ∥ C D

\Rightarrow △ E A K ∽ △ E D C

\Rightarrow \frac{E A}{E D} = \frac{E K}{E C} = \frac{A K}{D C} = \frac{2}{1}

\Rightarrow E D = \frac{1}{3} A D

và

E C = \frac{1}{3} K C = \frac{1}{9} B C

, nên

B E = B C - E C = \frac{8}{9} B C

△ O A D ∽ △ O C B

\Rightarrow \frac{A D}{C B} = \frac{O A}{O C} = \frac{2}{3}

\frac{B E}{D E} = \frac{\frac{8}{9} B C}{\frac{1}{3} A D} = \frac{8}{3} \cdot \frac{B C}{A D} = \frac{8}{3} \cdot \frac{3}{2} = 4

Vậy $\frac{B E}{D E} = 4$ .

Nhận xét. Cách 3 dài hơn nhưng kiểm tra chéo được kết quả; mỗi tỉ số đều lấy từ đường thẳng song song, không cần góc bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đúng lời giải của sách, chỉ hai lần đồng dạng, ngắn nhất); Cách 2 dùng khi em quen nhìn cặp góc kề bù; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại đáp số.

Đáp số.

\frac{B E}{D E} = 4

Sai lầm thường gặp. Viết

\frac{B E}{D E} = \frac{O B}{O D} = \frac{6}{4}

là sai:

B E

D E

không phải hai cạnh tương ứng của

△ O C B

và

△ O A D

, mà của

△ A E B

và

△ C E D

. Cũng sai nếu lấy

\frac{A B}{C D} = \frac{2}{3}

do tính nhầm

A B = O A

C D = O C

: phải lấy

A B = O B - O A = 4

và

C D = O D - O C = 1

🚀 Mở rộng. Với

O A = a

O B = b

O C = c

O D = d

thoả

\frac{a}{c} = \frac{d}{b}

thì cách làm trên cho

\frac{B E}{D E} = \frac{b - a}{d - c}

; thử với

a = 2

b = 9

c = 3

d = 6

để được

\frac{7}{3}

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 9.11★Trang 92— Tính góc từ hai tam giác đồng dạng

Bài 9.11 (trang 92). Cho

△ A B C ∽ △ D E F

. Biết

A = 6 0^{\circ}

E = 8 0^{\circ}

, hãy tính số đo các góc

B

C

D

F

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác đồng dạng thì các góc tương ứng bằng nhau; thứ tự đỉnh trong kí hiệu $△ A B C ∽ △ D E F$ cho biết $A = D$ , $B = E$ , $C = F$ .
Tổng ba góc của một tam giác bằng $18 0^{\circ}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tam giác đồng dạng và hai góc ở hai tam giác khác nhau, nên việc đầu tiên là đọc thứ tự đỉnh

A \to D

B \to E

C \to F

để biết góc nào bằng góc nào. Có hai cặp góc tương ứng biết ngay, cặp còn lại lấy từ tổng ba góc của tam giác. Bẫy: cho

A

và

E

chứ không phải

A

và

B

, dễ ghép nhầm.

1Cách 1. Tính các góc của

△ A B C

trước rồi suy ra góc của

△ D E F

Định hướng. Dùng đồng dạng để chuyển số đo $E$ sang $B$ , tính $C$ bằng tổng ba góc, rồi chuyển các góc còn lại sang $△ D E F$ .

△ A B C ∽ △ D E F

\Rightarrow B = E = 8 0^{\circ}

D = A = 6 0^{\circ}

C = 18 0^{\circ} - A - B = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

F = C = 4 0^{\circ}

Vậy $B = 8 0^{\circ}$ , $C = 4 0^{\circ}$ , $D = 6 0^{\circ}$ , $F = 4 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tính các góc của

△ D E F

trước rồi suy ra góc của

△ A B C

Định hướng. Đi theo chiều ngược lại: có $D$ ngay từ $A$ , dùng tổng ba góc của $△ D E F$ để có $F$ , cuối cùng chuyển về $△ A B C$ .

D = A = 6 0^{\circ}

F = 18 0^{\circ} - D - E = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 4 0^{\circ}

B = E = 8 0^{\circ}

C = F = 4 0^{\circ}

Kiểm tra:

A + B + C = 6 0^{\circ} + 8 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}

Vậy $B = 8 0^{\circ}$ , $C = 4 0^{\circ}$ , $D = 6 0^{\circ}$ , $F = 4 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 và Cách 2 cùng độ dài; Cách 2 có sẵn bước kiểm tra tổng ba góc ở

△ A B C

nên khó sai hơn.

Đáp số.

B = 8 0^{\circ}

;

C = 4 0^{\circ}

;

D = 6 0^{\circ}

;

F = 4 0^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Ghép góc theo thứ tự chữ cái (

A = E

B = F

…) là sai; phải ghép theo thứ tự đỉnh của kí hiệu đồng dạng:

A \to D

B \to E

C \to F

. Chẳng hạn ghép

B = F

sẽ cho

C = D

... không suy ra được số đo nào hợp lí; luôn kiểm bằng tổng ba góc mỗi tam giác.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

A B = 6

cm và

D E = 4

cm thì tỉ số đồng dạng

\frac{A B}{D E} = \frac{3}{2}

; thử tính tỉ số chu vi của hai tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 9.12★★Trang 92— Chu vi của hai tam giác đồng dạng

Bài 9.12 (trang 92). Cho

△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}

. Biết

A B = 3

cm,

A^{'} B^{'} = 6

cm và tam giác

A B C

có chu vi bằng

10

cm. Hãy tính chu vi tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

Kiến thức cần nhớ

Nếu $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ theo tỉ số $k$ thì $\frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{C ^{'} A ^{'}}{C A} = k$ .
Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = \frac{e}{f} = \frac{a + c + e}{b + d + f}$ .
Tỉ số chu vi hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cặp cạnh tương ứng

A B

A^{'} B^{'}

và chu vi tam giác thứ nhất, hỏi chu vi tam giác thứ hai — dấu hiệu dùng tỉ số đồng dạng

k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}

. Hướng ngắn nhất là tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng; nếu chưa nhớ tính chất này thì dùng dãy tỉ số bằng nhau. Bẫy: viết ngược tỉ số (

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}}

) sẽ ra chu vi nhỏ hơn

10

cm.

1Cách 1. Dùng ngay: tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng

Định hướng. Tính tỉ số đồng dạng $k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ rồi nhân với chu vi $△ A B C$ .

k = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{6}{3} = 2

\frac{P _{A^{'} B^{'} C^{'}}}{P _{A B C}} = k = 2

(kí hiệu

P

là chu vi)

P_{A^{'} B^{'} C^{'}} = 2 \cdot 10 = 20

(cm)

Vậy chu vi tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng $20$ cm.

2Cách 2. Tính tổng hai cạnh còn lại rồi nhân với tỉ số đồng dạng

Định hướng. Chu vi $△ A B C$ là $A B + B C + C A = 10$ , từ đó có $B C + C A = 7$ ; mỗi cạnh của $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ lớn gấp $2$ lần cạnh tương ứng của $△ A B C$ .

B C + C A = 10 - A B = 10 - 3 = 7

(cm)

B^{'} C^{'} = 2 B C

C^{'} A^{'} = 2 C A

\Rightarrow B^{'} C^{'} + C^{'} A^{'} = 2 (B C + C A) = 2 \cdot 7 = 14

(cm)

A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} + C^{'} A^{'} = 6 + 14 = 20

(cm)

Vậy chu vi tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng $20$ cm.

3Cách 3. Dãy tỉ số bằng nhau

Định hướng. Từ ba tỉ số cạnh bằng nhau rút ra $\frac{A ^{'} B ^{'} + B ^{'} C ^{'} + C ^{'} A ^{'}}{A B + B C + C A} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B}$ và thay số.

△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}

\Rightarrow \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = \frac{B ^{'} C ^{'}}{B C} = \frac{C ^{'} A ^{'}}{C A} = \frac{6}{3} = 2

\frac{A ^{'} B ^{'} + B ^{'} C ^{'} + C ^{'} A ^{'}}{A B + B C + C A} = \frac{A ^{'} B ^{'}}{A B} = 2

(dãy tỉ số bằng nhau)

A^{'} B^{'} + B^{'} C^{'} + C^{'} A^{'} = 2 \cdot 10 = 20

(cm)

Vậy chu vi tam giác $A^{'} B^{'} C^{'}$ bằng $20$ cm.

Nhận xét. Cách 3 chính là chứng minh của tính chất dùng ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng ba dòng; nếu bài yêu cầu chứng minh mà chưa được dùng tính chất về chu vi thì viết Cách 3.

Đáp số. Chu vi tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

bằng

20

cm.

Sai lầm thường gặp. Tính

\frac{A B}{A ^{'} B ^{'}} = \frac{1}{2}

rồi lấy

10 \cdot \frac{1}{2} = 5

cm là sai chiều: tam giác

A^{'} B^{'} C^{'}

có cạnh

A^{'} B^{'}

lớn hơn cạnh

A B

nên chu vi phải lớn hơn

10

cm. Cũng sai khi chỉ tính

A^{'} B^{'} \cdot 10 : 3

cho một cạnh mà quên cộng đủ ba cạnh.

🚀 Mở rộng. Nếu

B C = 4

cm và

C A = 3

cm thì chu vi

△ A B C

là

10

cm; thử tính hai cạnh

B^{'} C^{'}

và

C^{'} A^{'}

theo tỉ số đồng dạng

2

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 9.13★★Trang 92— Hình thang có hai góc bằng nhau: chứng minh đồng dạng g.g rồi tính cạnh

Bài 9.13 (trang 92, Hình 9.28). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

) có

D A B = D B C

(H.9.28).
a) Chứng minh rằng

△ A B D ∽ △ B D C

.
b) Giả sử

A B = 2

cm,

A D = 3

cm,

B D = 4

cm. Tính độ dài các cạnh

B C

và

D C

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến thì hai góc so le trong bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc – góc (g.g): hai góc của tam giác này bằng hai góc của tam giác kia thì hai tam giác đồng dạng.
Hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ: nếu $△ A B D ∽ △ B D C$ thì $\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một cặp góc bằng nhau và hai cạnh song song — dấu hiệu tìm cặp góc thứ hai bằng nhau nhờ hai góc so le trong để dùng g.g. Muốn tính

B C

D C

thì lập tỉ số các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng, nên phải đọc thật đúng thứ tự đỉnh

A \to B

B \to D

D \to C

. Bẫy: nhầm cạnh

B D

vừa là cạnh của

△ A B D

vừa là cạnh của

△ B D C

(nó ứng với

A B

ở tam giác đầu và với

B D

chính nó ở tam giác sau, hai vai trò khác nhau).

1Cách 1. g.g rồi lập tỉ số các cạnh tương ứng

Định hướng. Câu a): $A B ∥ C D$ cho $A B D = B D C$ (so le trong), thêm giả thiết $D A B = D B C$ cho g.g. Câu b): viết tỉ số ba cặp cạnh rồi thay số, giải từng tỉ lệ thức.

A B ∥ C D

\Rightarrow A B D = B D C

(hai góc so le trong)
Xét

△ A B D

và

△ B D C

D A B = D B C

(giả thiết),

A B D = B D C

\Rightarrow △ A B D ∽ △ B D C

(g.g)
b)

\frac{A B}{B D} = \frac{B D}{D C} = \frac{A D}{B C}

\frac{2}{4} = \frac{4}{D C} = \frac{3}{B C}

D C = \frac{4 \cdot 4}{2} = 8

(cm),

B C = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6

(cm)

Vậy $△ A B D ∽ △ B D C$ ; $B C = 6$ cm, $D C = 8$ cm.

2Cách 2. Tỉ số đồng dạng

k

: mỗi cạnh của

△ B D C

gấp

k

lần cạnh tương ứng của

△ A B D

Định hướng. Sau khi có đồng dạng, tính tỉ số đồng dạng từ một cặp cạnh đã biết đủ số đo ( $B D$ và $A B$ ), rồi nhân $k$ với hai cạnh còn lại của $△ A B D$ .

a) giống Cách 1:

△ A B D ∽ △ B D C

(g.g)
b)

k = \frac{B D}{A B} = \frac{4}{2} = 2

(cạnh

B D

của

△ B D C

tương ứng cạnh

A B

của

△ A B D

)

D C = k \cdot B D = 2 \cdot 4 = 8

(cm)

B C = k \cdot A D = 2 \cdot 3 = 6

(cm)

Vậy $B C = 6$ cm, $D C = 8$ cm.

Nhận xét. Kiểm tra: $△ B D C$ có ba cạnh $B D = 4$ , $B C = 6$ , $D C = 8$ tỉ lệ với $2, 3, 4$ — đúng ba cạnh của $△ A B D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một tỉ số

k = 2

rồi nhân, hai phép nhân là xong; Cách 1 hợp khi phải trình bày tỉ lệ thức đầy đủ.

Đáp số. a)

△ A B D ∽ △ B D C

(g.g). b)

B C = 6

cm,

D C = 8

cm.

Sai lầm thường gặp. Viết

\frac{A B}{D C} = \frac{B D}{B C} = \frac{A D}{B D}

(ghép

A B

với

D C

) là sai, vì

A B

ứng với

B D

, không phải

D C

: theo thứ tự đỉnh

A \to B

B \to D

D \to C

thì

A B \to B D

B D \to D C

A D \to B C

. Ghép sai như vậy không cho hai tam giác đồng dạng thật: với

B C = 6

D C = 8

thì

\frac{A B}{D C} = \frac{1}{4}

nhưng

\frac{A D}{B D} = \frac{3}{4}

🚀 Mở rộng. Hệ thức

B D^{2} = A B \cdot D C

đúng cho mọi hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

) có

D A B = D B C

; thử dùng nó để tìm

D C

khi

A B = 3

B D = 6

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 9.14★★Trang 92— Hai tam giác có các cặp cạnh song song: chứng minh đồng dạng và tính tỉ số

Bài 9.14 (trang 92, Hình 9.29). Cho các điểm

A, B, C, D, E, F

như Hình 9.29. Biết rằng

D E ∥ A B

E F ∥ B C

D E = 4

cm,

A B = 6

cm. Chứng minh rằng

△ A E F ∽ △ E C D

và tính tỉ số đồng dạng.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến thì các cặp góc đồng vị bằng nhau.
Tứ giác có các cặp cạnh đối song song là hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.
Tỉ số đồng dạng của hai tam giác bằng tỉ số hai cạnh tương ứng.
Định lí Thales trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh chia hai cạnh còn lại thành các đoạn tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai cặp cạnh song song (

D E ∥ A B

E F ∥ B C

) — dấu hiệu tạo các cặp góc đồng vị bằng nhau để chứng minh đồng dạng g.g. Tỉ số đồng dạng cần độ dài một cặp cạnh tương ứng của hai tam giác;

D E

có sẵn nhưng

A F

chưa có, phải tìm nhờ tứ giác

B F E D

là hình bình hành. Bẫy: lấy nhầm

A B = 6

làm cạnh của

△ A E F

1Cách 1. g.g bằng các cặp góc đồng vị, tính tỉ số nhờ hình bình hành

B F E D

Định hướng. Hai cặp cạnh song song cho hai cặp góc đồng vị bằng nhau, đủ để kết luận g.g; sau đó $B F E D$ có hai cặp cạnh đối song song nên $B F = D E$ , từ đó tính $A F$ và tỉ số.

E F ∥ B C

\Rightarrow A E F = E C D

(hai góc đồng vị)

D E ∥ A B

\Rightarrow F A E = C E D

(hai góc đồng vị)

\Rightarrow △ A E F ∽ △ E C D

(g.g)
Tứ giác

B F E D

có

B F ∥ D E

và

F E ∥ B D

nên là hình bình hành

\Rightarrow B F = D E = 4

A F = A B - B F = 6 - 4 = 2

(cm)
Tỉ số đồng dạng

\frac{A F}{E D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vậy $△ A E F ∽ △ E C D$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$ .

2Cách 2. Định lí Thales rồi c.g.c

Định hướng. Dùng định lí Thales trong $△ A B C$ hai lần để có hai tỉ số $\frac{A E}{E C}$ và $\frac{A F}{E D}$ cùng bằng $\frac{1}{2}$ , ghép với cặp góc đồng vị $F A E = C E D$ cho trường hợp c.g.c.

D E ∥ A B

\Rightarrow \frac{C E}{C A} = \frac{D E}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

\Rightarrow \frac{A E}{E C} = \frac{1}{2}

E F ∥ B C

\Rightarrow \frac{A F}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{1}{3}

\Rightarrow A F = 2

\Rightarrow \frac{A F}{E D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Xét

△ A E F

và

△ E C D

\frac{A E}{E C} = \frac{A F}{E D} = \frac{1}{2}

F A E = C E D

(đồng vị)

\Rightarrow △ A E F ∽ △ E C D

(c.g.c) với tỉ số

\frac{1}{2}

Vậy $△ A E F ∽ △ E C D$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$ .

3Cách 3. Cùng đồng dạng với

△ A C B

(bắc cầu)

Định hướng. Mỗi tam giác $A E F$ , $E C D$ đều có một cạnh song song với một cạnh của $△ A B C$ nên đồng dạng với $△ A B C$ ; tỉ số đồng dạng cần tìm là thương hai tỉ số ấy.

E F ∥ B C

\Rightarrow △ A E F ∽ △ A C B

, tỉ số

\frac{A E}{A C} = \frac{1}{3}

(vì

\frac{C E}{C A} = \frac{D E}{A B} = \frac{2}{3}

)

D E ∥ A B

\Rightarrow △ C E D ∽ △ C A B

, tỉ số

\frac{C E}{C A} = \frac{2}{3}

; do đó

△ E C D ∽ △ A C B

với thứ tự

E \to A

C \to C

D \to B

△ A E F ∽ △ A C B

và

△ E C D ∽ △ A C B

nên

△ A E F ∽ △ E C D

Tỉ số đồng dạng

= \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = \frac{1}{2}

Vậy $△ A E F ∽ △ E C D$ với tỉ số đồng dạng $\frac{1}{2}$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần hình bình hành và cũng cho luôn tỉ số của cả hai tam giác so với $△ A B C$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đúng lời giải chuẩn, mỗi bước là một tính chất quen; Cách 3 hay khi đề hỏi tiếp tỉ số so với

△ A B C

Đáp số.

△ A E F ∽ △ E C D

; tỉ số đồng dạng

\frac{1}{2}

(tam giác

A E F

so với tam giác

E C D

Sai lầm thường gặp. Lấy tỉ số

\frac{D E}{A B} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}

làm tỉ số đồng dạng của

△ A E F

và

△ E C D

là sai:

D E

và

A B

là hai cạnh của

△ C E D

và

△ C A B

, không phải của hai tam giác cần so sánh. Cạnh tương ứng với

D E

trong

△ A E F

là

A F

chứ không phải

A B

🚀 Mở rộng. Nếu

D E = 4

và

A B = 9

thì tỉ số

\frac{A F}{E D}

là bao nhiêu? Tổng quát: với

D E = a

A B = b

(

b > a

), tỉ số đồng dạng là

\frac{b - a}{a}

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 9.15★★★Trang 92— Hai đường chéo cắt nhau, hai góc bằng nhau: đồng dạng hai bước (g.g rồi c.g.c)

Bài 9.15 (trang 92, Hình 9.30). Cho các điểm

A, B, C, D, E

như Hình 9.30. Biết rằng

B A C = C D B

. Chứng minh rằng

△ A E D ∽ △ B E C

Kiến thức cần nhớ

Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
Trường hợp đồng dạng góc – góc (g.g) và cạnh – góc – cạnh (c.g.c).
Hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ; đổi chỗ trung tỉ và ngoại tỉ của một tỉ lệ thức ta được tỉ lệ thức mới: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề chỉ cho một cặp góc bằng nhau (

B A C = C D B

) mà cần chứng minh cặp tam giác

A E D

B E C

— dấu hiệu phải đi vòng qua cặp tam giác kề:

△ A E B

và

△ D E C

có sẵn một cặp góc bằng nhau và một cặp góc đối đỉnh. Từ đó ra tỉ lệ thức

\frac{E A}{E D} = \frac{E B}{E C}

, hoán vị thành

\frac{E A}{E B} = \frac{E D}{E C}

để dùng c.g.c với góc đối đỉnh

A E D = B E C

. Bẫy: các góc

E A D

và

E B C

chưa biết bằng nhau nên không dùng được g.g trực tiếp.

1Cách 1. Chứng minh

△ A E B ∽ △ D E C

(g.g) rồi đổi ngôi tỉ lệ thức, dùng c.g.c

Định hướng. Cặp tam giác phụ $A E B$ , $D E C$ có hai góc bằng nhau nên đồng dạng; tỉ lệ thức của chúng đổi ngôi thành tỉ lệ thức của hai cạnh kề góc đối đỉnh $A E D$ , $B E C$ .

Xét

△ A E B

và

△ D E C

B A E = C D E

(giả thiết),

A E B = D E C

(đối đỉnh)

\Rightarrow △ A E B ∽ △ D E C

(g.g)

\Rightarrow \frac{E A}{E D} = \frac{E B}{E C}

\Rightarrow \frac{E A}{E B} = \frac{E D}{E C}

(đổi ngôi)
Xét

△ A E D

và

△ B E C

\frac{E A}{E B} = \frac{E D}{E C}

A E D = B E C

(đối đỉnh)

\Rightarrow △ A E D ∽ △ B E C

(c.g.c)

Vậy $△ A E D ∽ △ B E C$ (c.g.c), thứ tự đỉnh $A \to B$ , $E \to E$ , $D \to C$ .

2Cách 2. Đặt tỉ số đồng dạng

k

của

△ A E B

và

△ D E C

Định hướng. Gọi $k$ là tỉ số đồng dạng của $△ A E B$ so với $△ D E C$ để viết $E A = k \cdot E D$ , $E B = k \cdot E C$ rồi lập ngay tỉ số $\frac{E A}{E B}$ và $\frac{E D}{E C}$ .

△ A E B ∽ △ D E C

(g.g, như Cách 1) với tỉ số

k

E A = k \cdot E D

E B = k \cdot E C

\frac{E A}{E B} = \frac{k \cdot E D}{k \cdot E C} = \frac{E D}{E C}

A E D = B E C

(đối đỉnh)

\Rightarrow △ A E D ∽ △ B E C

(c.g.c)

Vậy $△ A E D ∽ △ B E C$ (c.g.c).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 là cách trình bày chuẩn khi đi thi; Cách 2 chỉ khác ở chỗ thay đổi ngôi tỉ lệ thức bằng đặt hệ số

k

, nên dùng khi em chưa quen đổi ngôi.

Đáp số.

△ A E D ∽ △ B E C

(c.g.c).

Sai lầm thường gặp. Kết luận ngay

△ A E D ∽ △ B E C

bằng g.g với

A E D = B E C

và

B A C = C D B

là sai:

B A C

và

C D B

không phải góc của

△ A E D

△ B E C

. Ngoài ra không được viết

△ A E D ∽ △ C E B

vì đó là thứ tự đỉnh khác.

🚀 Mở rộng. Ngược lại, nếu

△ A E D ∽ △ B E C

thì

B A C = C D B

(bốn điểm

A, B, C, D

cùng nằm trên một đường tròn); em sẽ gặp kết quả này ở lớp 9.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 9.16★★★Trang 92— Đoạn nối hai điểm chia cạnh bên của hình thang theo cùng tỉ số

Bài 9.16 (trang 92). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ C D

) và các điểm

M, N

lần lượt trên cạnh

A D

và

B C

sao cho

2 A M = M D

2 B N = N C

. Biết

A B = 5

cm,

C D = 6

cm. Hãy tính độ dài đoạn thẳng

M N

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thales trong tam giác: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì chia hai cạnh ấy thành các đoạn tỉ lệ.
Định lí Thales đảo: nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và chia hai cạnh ấy thành các đoạn tỉ lệ thì nó song song với cạnh còn lại.
Hai tam giác đồng dạng thì các cạnh tương ứng tỉ lệ.
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành, các cạnh đối bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai điểm

M, N

chia hai cạnh bên theo cùng một tỉ số

\frac{A M}{M D} = \frac{B N}{N C} = \frac{1}{2}

— dấu hiệu

M N ∥ A B ∥ C D

và cần dùng định lí Thales (hoặc đồng dạng) với một đường phụ. Hướng an toàn là kẻ đường chéo

A C

để chia đoạn

M N

làm hai phần, mỗi phần thuộc một tam giác. Bẫy: hình sách không vẽ

M N

song song sẵn, nhưng phải chứng minh chứ không được coi là hiển nhiên.

1Cách 1. Kẻ đường chéo

A C

, dùng định lí Thales trong hai tam giác

A D C

và

C A B

Định hướng. Đường chéo $A C$ chia hình thang thành hai tam giác; qua $M$ kẻ đường thẳng song song $C D$ cắt $A C$ tại $P$ , chứng minh $P$ cũng nằm trên $M N$ rồi cộng hai đoạn $M P$ , $P N$ .

Từ

2 A M = M D

suy ra

A M = \frac{1}{3} A D

; từ

2 B N = N C

suy ra

C N = \frac{2}{3} C B

Qua

M

kẻ

M P ∥ C D

P \in A C

. Trong

△ A D C

\frac{M P}{D C} = \frac{A P}{A C} = \frac{A M}{A D} = \frac{1}{3}

\Rightarrow M P = 2

cm,

\frac{C P}{C A} = \frac{2}{3}

Trong

△ C A B

\frac{C P}{C A} = \frac{C N}{C B} = \frac{2}{3}

\Rightarrow P N ∥ A B

(định lí Thales đảo) và

\frac{P N}{A B} = \frac{2}{3}

\Rightarrow P N = \frac{10}{3}

M P ∥ C D ∥ A B ∥ P N

nên

M, P, N

thẳng hàng

M N = M P + P N = 2 + \frac{10}{3} = \frac{16}{3}

(cm)

Vậy $M N = \frac{16}{3}$ cm.

2Cách 2. Kéo dài

A D

B C

cắt nhau tại

S

, dùng đồng dạng của các tam giác có đỉnh

S

Định hướng. Vì $A B \neq = C D$ nên hai cạnh bên cắt nhau tại $S$ ; các tam giác $S A B$ , $S M N$ , $S D C$ đồng dạng với nhau nên độ dài $M N$ tính được qua tỉ số các cạnh chứa đỉnh $S$ .

A B ∥ C D

\Rightarrow \frac{S A}{S D} = \frac{S B}{S C} = \frac{A B}{C D} = \frac{5}{6}

. Đặt

S A = 5 t

S D = 6 t

A D = S D - S A = t

A M = \frac{t}{3}

S M = S A + A M = 5 t + \frac{t}{3} = \frac{16 t}{3}

\Rightarrow \frac{S M}{S D} = \frac{16 t}{3} : 6 t = \frac{8}{9}

Tương tự (cùng tỉ số chia trên

B C

\frac{S N}{S C} = \frac{8}{9}

\Rightarrow M N ∥ C D

(Thales đảo)

△ S M N ∽ △ S D C

\Rightarrow \frac{M N}{D C} = \frac{S M}{S D} = \frac{8}{9}

M N = \frac{8}{9} \cdot 6 = \frac{16}{3}

(cm)

Vậy $M N = \frac{16}{3}$ cm.

3Cách 3. Kẻ

A K ∥ B C

(

K \in C D

), đưa về hình bình hành

Định hướng. Đường phụ $A K ∥ B C$ biến $A B C K$ thành hình bình hành, còn $△ A D K$ có $M H ∥ D K$ ; $M N$ bằng $A B$ cộng phần dư $M H$ .

Kẻ

A K ∥ B C

K \in C D

A B C K

là hình bình hành

\Rightarrow C K = A B = 5

cm,

D K = 6 - 5 = 1

cm
Qua

M

kẻ đường thẳng song song

A B

, cắt

A K

tại

H

, cắt

B C

tại

N_{1}

; theo Thales trên ba đường thẳng song song

A B

M N_{1}

D C

\frac{B N _{1}}{N _{1} C} = \frac{A M}{M D} = \frac{1}{2}

\Rightarrow N_{1} \equiv N

△ A D K

có

M H ∥ D K

\Rightarrow \frac{M H}{D K} = \frac{A M}{A D} = \frac{1}{3}

\Rightarrow M H = \frac{1}{3}

A B N H

có

A B ∥ H N

A H ∥ B N

nên là hình bình hành

\Rightarrow H N = A B = 5

M N = M H + H N = \frac{1}{3} + 5 = \frac{16}{3}

(cm)

Vậy $M N = \frac{16}{3}$ cm.

Nhận xét. Cả ba cách cho cùng kết quả; công thức tổng quát $M N = \frac{2 A B + C D}{3} = \frac{2 \cdot 5 + 6}{3}$ rút ra từ Cách 3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một đường chéo, hai lần Thales, cộng hai đoạn; không phải kéo dài cạnh bên như Cách 2. Cách 3 nên dùng khi muốn rút ra công thức tổng quát.

Đáp số.

M N = \frac{16}{3}

cm (khoảng

5, 33

cm).

Sai lầm thường gặp. Tính

M N = \frac{A B + C D}{2} = \frac{5 + 6}{2} = 5, 5

cm là sai: công thức đường trung bình chỉ đúng khi

M, N

là trung điểm hai cạnh bên; ở đây

M

N

chia cạnh theo tỉ số

1 : 2

nên

M N

gần

A B

hơn. Đáp số phải nằm giữa

5

và

6

và gần

5

hơn:

\frac{16}{3} \approx 5, 33

🚀 Mở rộng. Nếu

A M : M D = B N : N C = m : n

thì

M N = \frac{n \cdot A B + m \cdot C D}{m + n}

; thử với

m = n = 1

để thấy lại công thức đường trung bình của hình thang.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 8

📚 Cùng chương: Chương IX. Tam giác đồng dạng

Bài 33. Hai tam giác đồng dạng
Bài 34. Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác
▶ Luyện tập chung