Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính chiều cao và xác định khoảng cách

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 1 · 2 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #HoạtĐộngThựcHànhTrảiNghiệm #SGK_Tập1 #trang116–117 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · Nhiệm vụ 1. Xác định chiều cao★★★Trang 116— Chứng minh công thức tính chiều cao bằng tỉ số lượng giác (tan) của góc nhọn trong tam giác vuông

Nhiệm vụ 1. Xác định chiều cao (trang 116–117). Mục tiêu: Xác định chiều cao của một toà nhà trong trường mà không thực hiện đo trực tiếp.
Chuẩn bị, xây dựng ý tưởng: Nhóm thảo luận, xây dựng ý tưởng thực hiện nhiệm vụ và phân công nhiệm vụ. Chuẩn bị: giác kế, thước cuộn, máy tính bỏ túi.
Thực hiện nhiệm vụ:
Bước 1. Đặt giác kế thẳng đứng cách chân toà nhà một khoảng cách

a

mét, giả sử chiều cao của giác kế là

b

mét. Quay ống ngắm của giác kế sao cho ta nhìn thấy đỉnh

B

của toà nhà. Đọc trên giác kế số đo

α

của góc

B C A

.
Bước 2. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

A B C

vuông tại

A

và máy tính bỏ túi ta tính được

c = A B = A C \cdot tan α

.
Bước 3. Tính chiều cao của toà nhà là

b + c

(m).
Báo cáo kết quả: Sau khi thực hiện đo đạc và tính toán, nhóm trình bày trước lớp và tổ chức đánh giá nhiệm vụ.
a) Giải thích vì sao tam giác

A B C

(với

A

là điểm cùng độ cao với

C

, nằm ngay dưới

B

) vuông tại

A

, và góc

α

đọc được trên giác kế chính là góc

A C B

.
b) Chứng minh công thức tính

c

nêu ở trên, tức

c = A C \cdot tan α = a tan α

.
c) Từ đó viết công thức tổng quát tính chiều cao toà nhà theo

a

b

α

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông (đặt $d$ = cạnh đối, $k$ = cạnh kề, $h$ = cạnh huyền so với góc $α$ ): $tan α = \frac{d}{k}$ ; $sin α = \frac{d}{h}$ ; $cos α = \frac{k}{h}$ .
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: cạnh góc vuông này bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối (hoặc côtang của góc kề).
Hai đoạn thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba và cùng độ dài cách nhau thì tạo thành hình chữ nhật (dùng để suy ra $A K = C H = b$ ).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho ba đại lượng đo được trực tiếp bằng giác kế và thước: khoảng cách

a

, chiều cao giác kế

b

, góc

α

— dấu hiệu của dạng đo gián tiếp bằng tỉ số lượng giác, vì đỉnh

B

ở trên cao không đo trực tiếp được. Hướng làm là tách chiều cao toà nhà thành hai đoạn: đoạn ngang tầm giác kế

A K = b

(đo trực tiếp bằng thước) và đoạn còn lại

A B = c

(tính gián tiếp nhờ tam giác vuông

A B C

có sẵn một cạnh

A C = a

và một góc nhọn

α

). Bẫy ở chỗ dễ quên cộng

b

, hoặc nhầm góc

α

đọc trên giác kế (góc tại đỉnh

C

, giữa phương ngang

C A

và tia ngắm

C B

) với góc tại đỉnh

B

1Cách 1. Định nghĩa tan trực tiếp trong tam giác vuông ABC

Định hướng. Vì $C A$ nằm ngang và $A B$ thẳng đứng nên tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ; dùng ngay định nghĩa $tan α$ với $α =$ góc $A C B$ đọc được trên giác kế.

H, C

cùng nằm trên đường thẳng đứng (chân đế giác kế);

A, K

cùng nằm trên đường thẳng đứng (mặt toà nhà);

C A ∥ H K

(cùng nằm ngang, cách mặt đất một khoảng

b

) nên

C A ⊥ A B

, tức tam giác

A B C

vuông tại

A

. Vì

C

là vị trí đặt giác kế và tia ngắm hướng tới

B

, số đo góc đọc trên giác kế chính là góc giữa tia

C A

(phương ngang) và tia

C B

(tia ngắm), tức góc

A C B = α

.
b) Trong tam giác

A B C

vuông tại

A

: cạnh

A B

đối diện góc

α

(tại

C

), cạnh

A C

kề góc

α

tan α = \frac{A B}{A C}

\Rightarrow A B = A C \cdot tan α = a tan α

Vậy

c = a tan α

.
c) Tứ giác

A C K H

có

H C ∥ K A

(cùng thẳng đứng),

H K ∥ C A

(cùng nằm ngang), lại có góc tại

H

vuông nên

A C K H

là hình chữ nhật, suy ra

A K = H C = b

. Chiều cao toà nhà là

B K = B A + A K = c + b = a tan α + b

Vậy chiều cao toà nhà $= b + a tan α$ (mét).

2Cách 2. Đưa về sin và côsin rồi rút ra tan

Định hướng. Không dùng thẳng công thức tan mà xuất phát từ định nghĩa sin, côsin theo cạnh huyền, rồi lập tỉ số để tự suy ra hệ thức — cách này giúp kiểm tra lại vì sao $tan α = A B : A C$ mà không cần nhớ máy móc.

Đặt

B C = m

(cạnh huyền của tam giác vuông

A B C

A B = B C \cdot sin α = m sin α

(cạnh đối góc

α

)

A C = B C \cdot cos α = m cos α

(cạnh kề góc

α

)

\frac{A B}{A C} = \frac{m sin α}{m cos α} = \frac{sin α}{cos α} = tan α

\Rightarrow A B = A C tan α = a tan α = c

Vậy chiều cao toà nhà $= b + a tan α$ (mét), khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đặt hệ trục toạ độ tại C

Định hướng. Chuyển bài toán hình học sang đại số bằng hệ trục toạ độ — cách này tiện khi cần lập trình hoặc kiểm tra lại bằng máy tính, tránh vẽ hình để suy luận.

Chọn

C

làm gốc toạ độ, tia

C A

làm trục hoành. Vì

C A = a

nằm ngang nên

A (a; 0)

.
Tia

C B

tạo với trục hoành góc

α

nên đường thẳng

C B

có phương trình

y = x tan α

.
Vì

A B ⊥ C A

(tam giác vuông tại

A

) nên hoành độ của

B

bằng hoành độ của

A

x_{B} = a

\Rightarrow y_{B} = a tan α

\Rightarrow A B = y_{B} - 0 = a tan α = c

Vậy chiều cao toà nhà $= b + a tan α$ (mét), cả ba cách đều cho cùng một kết quả.

Nhận xét. Ba cách chỉ khác công cụ (định nghĩa tan · sin, côsin · toạ độ) nhưng đều quy về đúng một hệ thức cạnh–góc trong tam giác vuông — đây là hệ thức nền tảng của mọi bài toán giác kế.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thực hành nên dùng Cách 1: chỉ một dòng

A B = A C tan α

, bấm máy tính bỏ túi trực tiếp từ số đo

α

đọc trên giác kế, không phải đặt thêm ẩn phụ như Cách 2 hay dựng hệ trục như Cách 3.

Đáp số.

c = A B = A C \cdot tan α = a tan α

; chiều cao toà nhà

= b + a tan α

(mét), với

a

là khoảng cách từ giác kế đến chân toà nhà,

b

là chiều cao giác kế,

α

là số đo góc

B C A

đọc trên giác kế.

Sai lầm thường gặp. Quên cộng

b

(chiều cao giác kế) vào

c

, lấy luôn

c = a tan α

làm chiều cao toà nhà — thiếu hẳn đoạn từ mặt đất lên tới mắt ngắm. Đọc nhầm

α

là góc tại đỉnh

B

(góc

A B C

) thay vì góc tại

C

(góc

B C A

), dẫn tới dùng nhầm công thức

A B = A C \cdot cot α

thay vì

A C \cdot tan α

🚀 Mở rộng. Nếu chân giác kế và chân toà nhà không cùng một mặt phẳng ngang (mặt đất dốc), phải đo thêm chênh lệch độ cao

Δ h

giữa hai điểm rồi cộng hoặc trừ vào công thức: chiều cao

= b + a tan α \pm Δ h

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Nhiệm vụ 2. Xác định khoảng cách★★★Trang 117— Chứng minh công thức tính khoảng cách qua vật cản bằng tỉ số lượng giác (tan) của góc nhọn trong tam giác vuông

Nhiệm vụ 2. Xác định khoảng cách (trang 117). Mục tiêu: Xác định khoảng cách giữa hai vị trí giả định trên sân trường (như hai điểm bên hai bờ sông). Vị trí hai điểm giả định do giáo viên xác định.
Chuẩn bị, xây dựng ý tưởng: Nhóm thảo luận, xây dựng ý tưởng thực hiện nhiệm vụ và phân công nhiệm vụ.
Thực hiện nhiệm vụ: Để đo khoảng cách giữa hai điểm

A

và

B

(giữa hai điểm này có vật cản hoặc chỉ đến được một trong hai vị trí

A

B

), ta thực hiện như sau:
Bước 1. Từ điểm

A

ta kẻ tia

A x ⊥ A B

. Trên tia

A x

lấy điểm

C

sao cho

A C = a

mét. Tại vị trí

C

sử dụng giác kế ngắm tới điểm

B

. Đọc trên giác kế số đo góc

α

của góc

A C B

.
Bước 2. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác

A B C

vuông tại

A

và MTCT ta tính được

A B = A C \cdot tan α = a tan α

.
Báo cáo kết quả: Sau khi thực hiện đo đạc và tính toán, nhóm trình bày trước lớp và tổ chức đánh giá nhiệm vụ.
a) Giải thích vì sao cách dựng tia

A x ⊥ A B

rồi lấy

C

trên đó đưa bài toán về tam giác vuông tại

A

, từ đó áp dụng được hệ thức cạnh–góc.
b) Chứng minh công thức tính

A B

nêu ở trên, tức

A B = A C \cdot tan α = a tan α

.
c) Giải thích vì sao cách làm này vẫn áp dụng được khi giữa

A

và

B

có vật cản, miễn là từ

C

nhìn thấy được cả

A

và

B

Kiến thức cần nhớ

Tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông (đặt $d$ = cạnh đối, $k$ = cạnh kề so với góc $α$ ): $tan α = \frac{d}{k}$ .
Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông: cạnh góc vuông đối bằng cạnh góc vuông kề nhân với tang của góc đối.
Cách dựng đường vuông góc bằng êke hoặc giác kế để tạo tam giác vuông phục vụ đo đạc gián tiếp.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một khoảng cách dựng thêm được

A C = a

(vuông góc với

A B

) và một góc đo được

α

tại

C

— dấu hiệu của dạng đo gián tiếp khi không thể đo thẳng

A B

(có vật cản ở giữa, ví dụ dòng sông). Hướng làm là dựng thêm đường vuông góc

A x

để tạo ra một tam giác vuông có đủ một cạnh và một góc, từ đó dùng hệ thức cạnh–góc thay cho phép đo trực tiếp. Bẫy ở chỗ nếu dựng

A x

không thật sự vuông góc với

A B

thì toàn bộ công thức tan sụp đổ, vì hệ thức chỉ đúng trong tam giác vuông.

1Cách 1. Định nghĩa tan trực tiếp trong tam giác vuông ABC

Định hướng. Vì đã dựng sẵn $A x ⊥ A B$ và lấy $C$ trên $A x$ nên tam giác $A B C$ vuông tại $A$ ; dùng ngay định nghĩa $tan α$ với $α$ tại đỉnh $C$ .

a) Theo cách dựng,

C

thuộc tia

A x

và

A x ⊥ A B

nên

A C ⊥ A B

, suy ra tam giác

A B C

vuông tại

A

. Giác kế đặt tại

C

ngắm tới

B

nên số đo đọc được chính là góc giữa tia

C A

và tia

C B

, tức góc

A C B = α

; tam giác vuông có đủ cạnh

A C = a

và góc nhọn

α

nên áp dụng được hệ thức cạnh–góc.
b) Trong tam giác

A B C

vuông tại

A

: cạnh

A B

đối diện góc

α

(tại

C

), cạnh

A C

kề góc

α

tan α = \frac{A B}{A C}

\Rightarrow A B = A C \cdot tan α = a tan α

c) Cách dựng chỉ cần đo được

A C = a

tại chỗ và ngắm được từ

C

tới

B

bằng giác kế; không cần đo thẳng đoạn

A B

và không cần đến được vị trí

B

, nên vẫn dùng được dù giữa

A

B

có sông hay vật cản, miễn

C

nhìn thấy cả hai điểm

A

B

Vậy $A B = a tan α$ .

2Cách 2. Đưa về sin và côsin rồi rút ra tan

Định hướng. Xuất phát từ định nghĩa sin, côsin theo cạnh huyền để tự suy ra hệ thức tan, tránh nhớ máy móc công thức đã cho trong đề.

Đặt

B C = m

(cạnh huyền của tam giác vuông

A B C

A B = B C \cdot sin α = m sin α

A C = B C \cdot cos α = m cos α

\frac{A B}{A C} = \frac{sin α}{cos α} = tan α

\Rightarrow A B = A C tan α = a tan α

Vậy $A B = a tan α$ , khớp với Cách 1.

3Cách 3. Đặt hệ trục toạ độ tại A

Định hướng. Vì $A x ⊥ A B$ có sẵn hai phương vuông góc, chọn ngay $A$ làm gốc và hai tia $A x$ , $A B$ làm hai trục toạ độ để chuyển sang đại số.

Chọn

A (0; 0)

, tia

A x

là trục hoành, tia

A B

là trục tung (vì

A x ⊥ A B

C

thuộc tia

A x

với

A C = a

nên

C (a; 0)

; gọi

B (0; h)

với

h = A B

cần tìm.
Trong tam giác vuông

A B C

tại

A

, góc tại

C

giữa

C A

và

C B

bằng

α

, mà cạnh đối

A B = h

, cạnh kề

A C = a

nên

tan α = \frac{h}{a}

\Rightarrow h = a tan α

Vậy $A B = h = a tan α$ , cả ba cách đều thống nhất một kết quả.

Nhận xét. Việc dựng $A x ⊥ A B$ ngay từ đầu chính là cách ''nhân tạo'' ra một tam giác vuông để dùng hệ thức cạnh–góc — kĩ thuật này dùng lại được cho mọi bài đo gián tiếp khi có vật cản.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thực hành nên dùng Cách 1: chỉ một dòng

A B = A C tan α

, phù hợp thao tác đo đạc ngoài trời, không cần dựng thêm hệ trục toạ độ như Cách 3.

Đáp số.

A B = A C \cdot tan α = a tan α

, với

a = A C

là khoảng cách dựng được trên tia

A x ⊥ A B

α

là số đo góc

A C B

đọc trên giác kế; cách dựng vẫn đúng khi giữa

A

B

có vật cản vì chỉ cần ngắm được từ

C

tới

B

Sai lầm thường gặp. Dựng tia

A x

không thật sự vuông góc với

A B

(ước lượng bằng mắt thay vì dùng êke/giác kế) khiến tam giác không còn vuông tại

A

, công thức

tan α

không còn áp dụng được. Nhầm lẫn giữa chữ

a

(khoảng cách

A C

, chữ cái La-tinh thường) và

α

(góc, chữ Hy Lạp alpha) vì hai kí hiệu khá giống nhau khi in nghiêng, dẫn tới chép sai công thức.

🚀 Mở rộng. Nếu không dựng được đường vuông góc chính xác tại

A

, có thể đo hai góc tại hai điểm

C_{1}

C_{2}

khác nhau trên cùng một tia bất kì (không cần vuông góc với

A B

) rồi dùng định lí sin trong tam giác

B C_{1} C_{2}

để suy ra

A B

— đây là bài toán giác kế hai lần ngắm, tổng quát hơn cách dựng vuông góc ở Nhiệm vụ 2.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcHoạt động thực hành trải nghiệm: Pha chế dung dịch theo nồng độ yêu cầu Bài tiếp theo ›Bài 18. Hàm số y = ax² (a ≠ 0)

📚 Cùng chương: Hoạt động thực hành trải nghiệm

Hoạt động thực hành trải nghiệm: Pha chế dung dịch theo nồng độ yêu cầu
▶ Hoạt động thực hành trải nghiệm: Tính chiều cao và xác định khoảng cách