Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 6 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SáchBàiTập_Tập2 #trang30–31 #CùngBàiBênSGK

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 7.13★★Trang 30— Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy của tứ diện đều

Bài 7.13 (trang 30). Cho tứ diện

A B C D

có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng

a

. Tính côsin của góc giữa đường thẳng

A B

và mặt phẳng

(B C D)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.
Tam giác đều cạnh $a$ : đường cao $\frac{a 3}{2}$ , tâm cách mỗi đỉnh $\frac{a 3}{3}$ .
Định lí côsin: $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ .

🧠 Phân tích tư duy

A B = A C = A D

nên hình chiếu

H

của

A

trên

(B C D)

cách đều

B

C

D

— là tâm của tam giác đều

B C D

; hình chiếu của

A B

là

B H

và góc cần tìm là

A B H

. Cạnh

B H

bằng

\frac{2}{3}

đường cao tam giác đều. Bẫy: lấy

B H

bằng cả đường cao

B M

1Cách 1. Hình chiếu

B H

và côsin trong tam giác vuông

Định hướng. $H$ là tâm tam giác đều $B C D$ , $M$ là trung điểm $C D$ ; xét tam giác $A B H$ vuông tại $H$ .

A B = A C = A D \Rightarrow H B = H C = H D \Rightarrow H

là tâm tam giác đều

B C D

B H

là hình chiếu của

A B

trên

(B C D)

\Rightarrow (A B, (B C D)) = A B H

B M = \frac{a 3}{2}

B H = \frac{2}{3} B M = \frac{a 3}{3}

cos A B H = \frac{B H}{A B} = \frac{a 3}{3 a} = \frac{3}{3}

Vậy côsin của góc giữa $A B$ và $(B C D)$ bằng $\frac{3}{3}$ .

2Cách 2. Tính đường cao

A H

Định hướng. Tính $sin A B H = \frac{A H}{A B}$ rồi suy ra côsin.

A H^{2} = A B^{2} - B H^{2} = a^{2} - \frac{a ^{2}}{3} = \frac{2 a ^{2}}{3} \Rightarrow A H = \frac{a 6}{3}

sin A B H = \frac{A H}{A B} = \frac{6}{3}

cos A B H = 1 - \frac{6}{9} = \frac{3}{9} = \frac{3}{3}

(góc nhọn).

Vậy $cos = \frac{3}{3}$ .

3Cách 3. Định lí côsin trong tam giác

A B M

Định hướng. $H$ nằm trên $B M$ nên $A B H = A B M$ ; tam giác $A B M$ biết đủ ba cạnh.

A M = B M = \frac{a 3}{2}

(đường cao hai tam giác đều

A C D

B C D

A B = a

cos A B M = \frac{A B ^{2} + B M ^{2} - A M ^{2}}{2 \cdot A B \cdot B M}

c o s A B M = \frac{a ^{2}}{2 \cdot a \cdot \frac{a 3}{2}} = \frac{1}{3} = \frac{3}{3}

Vậy côsin cần tìm bằng $\frac{3}{3}$ .

Nhận xét. Cách 3 không cần biết vị trí chính xác của $H$ trên $B M$ , chỉ cần $H \in B M$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhớ sẵn

B H = \frac{a 3}{3}

là ra đáp số trong một dòng.

Đáp số.

cos (A B, (B C D)) = \frac{3}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: lấy

B H = B M = \frac{a 3}{2}

(nhầm tâm với chân đường cao trên cạnh) ra

cos = \frac{3}{2}

, tức góc

3 0^{\circ}

— sai. Hoặc tính góc giữa

A B

và

B C

(

6 0^{\circ}

) rồi cho là góc với mặt phẳng.

🚀 Mở rộng. Góc giữa mọi cạnh của tứ diện đều với một mặt không chứa nó (đi qua một đầu mút) đều có

cos = \frac{3}{3}

, xấp xỉ

54, 7^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 7.14★★Trang 30— Tính góc giữa cạnh bên với đáy và với mặt bên

Bài 7.14 (trang 30). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh bằng

a

S A ⊥ (A B C D)

S A = a 2

.
a) Tính góc giữa đường thẳng

S C

và mặt phẳng

(A B C D)

.
b) Tính tang của góc giữa đường thẳng

S C

và mặt phẳng

(S A B)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ cộng góc giữa $a$ và $Δ$ bằng $9 0^{\circ}$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a) có sẵn hình chiếu

A C

. Câu b) cần hình chiếu của

C

lên mặt bên

(S A B)

B C

vuông góc với cả

A B

và

S A

nên

B

là hình chiếu của

C

, góc cần tìm là

C S B

. Bẫy: ở b) dùng nhầm góc

C S A

1Cách 1. Hình chiếu và tam giác vuông

Định hướng. a) hình chiếu $A C$ ; b) chứng minh $B C ⊥ (S A B)$ để có hình chiếu $S B$ .

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow (S C, (A B C D)) = S C A

;

A C = a 2 = S A

△ S A C

vuông cân tại

A

\Rightarrow S C A = 4 5^{\circ}

.
b)

B C ⊥ A B

B C ⊥ S A

\Rightarrow B C ⊥ (S A B)

\Rightarrow

hình chiếu của

S C

trên

(S A B)

là

S B

(S C, (S A B)) = C S B

;

S B = S A^{2} + A B^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = a 3

tan C S B = \frac{B C}{S B} = \frac{a}{a 3} = \frac{3}{3}

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $tan = \frac{3}{3}$ (góc bằng $3 0^{\circ}$ ).

2Cách 2. Tính sin qua đoạn vuông góc

Định hướng. $sin$ của góc giữa $S C$ và mặt phẳng bằng tỉ số giữa đoạn vuông góc hạ từ một điểm của $S C$ và độ dài đoạn xiên.

S C = S A^{2} + A C^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} = 2 a

.
a) Đoạn vuông góc từ

S

xuống

(A B C D)

là

S A

sin = \frac{S A}{S C} = \frac{2}{2} \Rightarrow 4 5^{\circ}

.
b) Đoạn vuông góc từ

C

xuống

(S A B)

là

C B

sin = \frac{C B}{S C} = \frac{a}{2 a} = \frac{1}{2} \Rightarrow

góc

3 0^{\circ}

tan 3 0^{\circ} = \frac{3}{3}

Vậy góc a) bằng $4 5^{\circ}$ , tang góc b) bằng $\frac{3}{3}$ .

3Cách 3. Phần bù với đường vuông góc

B C

Định hướng. $B C ⊥ (S A B)$ nên góc giữa $S C$ và $(S A B)$ bằng $9 0^{\circ} - S C B$ .

a) như Cách 1:

4 5^{\circ}

.
b)

tan S C B = \frac{S B}{B C} = \frac{a 3}{a} = 3 \Rightarrow S C B = 6 0^{\circ}

(S C, (S A B)) = 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ} \Rightarrow tan = \frac{3}{3}

Vậy $tan (S C, (S A B)) = \frac{3}{3}$ .

Nhận xét. Tam giác $S B C$ vuông tại $B$ có $S C = 2 B C$ — nửa tam giác đều — nên góc ra số đẹp $3 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: tính

S C = 2 a

một lần, cả hai câu chỉ còn là một phép chia.

Đáp số. a)

4 5^{\circ}

; b)

tan = \frac{3}{3}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm ở b): lấy hình chiếu của

C

trên

(S A B)

là

A

, ra góc

C S A

với

tan = \frac{A C}{S A} = 1

— sai vì

C A

không vuông góc với

(S A B)

🚀 Mở rộng. Tổng quát với

S A = h

tan (S C, (S A B)) = \frac{a}{h ^{2} + a ^{2}}

; bằng

\frac{3}{3}

khi và chỉ khi

h = a 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 7.15★★★Trang 30— Tính góc giữa đường thẳng và mặt bên qua dựng hình chiếu

Bài 7.15 (trang 30). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

, đáy là tam giác

A B C

vuông cân tại

B

, biết

A B = a

S A = a 6

.
a) Tính tang của góc giữa đường thẳng

S B

và mặt phẳng

(S A C)

.
b) Tính sin của góc giữa đường thẳng

A C

và mặt phẳng

(S B C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ cộng góc giữa $a$ và $Δ$ bằng $9 0^{\circ}$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Tam giác vuông có đường cao $h$ ứng với cạnh huyền: $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 7.16★★Trang 31— Góc giữa cạnh bên hình hộp xiên và mặt đáy

Bài 7.16 (trang 31). Cho hình hộp

A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

có đáy

A B C D

là hình vuông cạnh

a

và

A A^{'} = a 2

, hình chiếu vuông góc của

A

trên mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

trùng với trung điểm của

B^{'} D^{'}

. Tính góc giữa đường thẳng

A A^{'}

và mặt phẳng

(A^{'} B^{'} C^{'} D^{'})

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ cộng góc giữa $a$ và $Δ$ bằng $9 0^{\circ}$ .
Hình vuông cạnh $a$ có đường chéo $a 2$ , hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · 7.17★★★Trang 31— Hình chóp tứ giác đều: đường cao, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.17 (trang 31). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy

A B C D

là hình vuông tâm

O

và các cạnh đều bằng

a

.
a) Chứng minh rằng

S O ⊥ (A B C D)

.
b) Tính góc giữa đường thẳng

S A

và mặt phẳng

(S B D)

.
c) Gọi

M

là trung điểm của cạnh

S C

và

α

là góc giữa đường thẳng

O M

và mặt phẳng

(S B C)

. Tính

sin α

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Tam giác cân: trung tuyến ứng với đáy là đường cao.
Tam giác vuông có đường cao $h$ ứng với cạnh huyền: $\frac{1}{h ^{2}} = \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}}$ .
Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · 7.18★Trang 31— Ứng dụng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong thực tế

Bài 7.18 (trang 31). Một con diều được thả với dây căng, tạo với mặt đất một góc

6 0^{\circ}

. Đoạn dây diều (từ đầu ở mặt đất đến đầu ở con diều) dài

10

m. Hỏi hình chiếu vuông góc trên mặt đất của con diều cách đầu dây diều trên mặt đất bao nhiêu centimét (lấy giá trị nguyên gần đúng)?

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .
Tam giác vuông có một góc $3 0^{\circ}$ (nửa tam giác đều): cạnh đối diện góc $3 0^{\circ}$ bằng nửa cạnh huyền.

🔒 Đang kiểm tra quyền xem lời giải…

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11

📚 Cùng chương: Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
▶ Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng