Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

SGK Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 2 · 14 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán11 #ChươngVII #SGK_Tập2 #trang38–43 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 38— Nhận biết phép chiếu song song, phép chiếu vuông góc qua hiện tượng thực tế

HĐ1 (trang 38). Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.
a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua một phép chiếu song song hay không?
b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?
(Hình 7.33: Mặt Trời chiếu các tia sáng song song xiên xuống sân, cây cột dựng đứng và bóng của cột nằm trên sân.)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Trong phép chiếu song song theo phương $ℓ$ lên $(P)$ , mọi điểm của một đường thẳng song song (hoặc trùng) với $ℓ$ đều có chung một hình chiếu là giao điểm của đường thẳng đó với $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Các tia nắng coi như song song với nhau, mỗi điểm của cột theo tia nắng rơi xuống đúng một điểm trên sân — đó chính là quy tắc của phép chiếu song song với phương chiếu là phương tia nắng. Câu b) là trường hợp phương chiếu trùng phương của cột, nên cả cây cột dồn về một điểm. Bẫy: nói 'bóng biến mất' mà không giải thích; phải chỉ ra hình chiếu của cột là một điểm (chân cột).

1Cách 1. Đối chiếu với định nghĩa phép chiếu song song

Định hướng. Chỉ ra mặt phẳng chiếu, phương chiếu, và cách mỗi điểm của cột có ảnh trên sân.

a) Mặt phẳng chiếu: mặt sân; phương chiếu

ℓ

: phương của các tia nắng (song song với nhau, không song song với sân).
Mỗi điểm

M

của cột: tia nắng qua

M

cắt sân tại đúng một điểm

M^{'}

\Rightarrow

M^{'}

là hình chiếu của

M

theo phương

ℓ

.
Tập hợp các điểm

M^{'}

là bóng

B C

\Rightarrow

bóng là hình chiếu song song của cột.
b) Tia nắng vuông góc với sân, cột cũng vuông góc với sân

\Rightarrow

tia nắng cùng phương với cột.
Tia nắng qua mọi điểm

M

của cột đều nằm trên đường thẳng

A B

\Rightarrow M^{'} = B

với mọi

M

Vậy a) có: bóng cột là hình chiếu của cột qua phép chiếu song song theo phương tia nắng; b) không: khi tia nắng vuông góc với sân, hình chiếu của cả cây cột chỉ là một điểm (chân cột $B$ ), không thấy bóng.

2Cách 2. Mặt phẳng chứa cột và tia nắng

Định hướng. Bóng nằm trên giao tuyến của sân với mặt phẳng chứa cột và tia nắng.

a) Gọi

(Q)

là mặt phẳng chứa cột

A B

và tia nắng qua

A

; mọi tia nắng qua điểm của cột đều nằm trong

(Q)

(Q)

cắt sân theo giao tuyến qua

B

; tia nắng qua

A

cắt giao tuyến tại

C

\Rightarrow

bóng là đoạn

B C

.
Mỗi điểm của

A B

ứng với đúng một điểm của

B C

theo các tia song song

\Rightarrow

đúng quy tắc phép chiếu song song.
b) Tia nắng song song với

A B

: không có mặt phẳng

(Q)

riêng, mọi tia nắng qua cột nằm trên chính đường thẳng

A B

.
Đường thẳng

A B

cắt sân tại duy nhất điểm

B

\Rightarrow

bóng thu về điểm

B

Vậy bóng là hình chiếu song song của cột; khi tia nắng vuông góc với sân thì bóng chỉ còn là một điểm, không quan sát được.

3Cách 3. Đo độ dài bóng

Định hướng. Gọi $φ$ là góc giữa tia nắng và mặt sân; tam giác $A B C$ vuông tại $B$ cho độ dài bóng theo $φ$ .

Cột

A B ⊥

sân

\Rightarrow A B ⊥ B C

A C B = φ

B C = \frac{A B}{tan φ}

(với

0^{\circ} < φ < 9 0^{\circ}

).
Nắng càng gắt (

φ

càng gần

9 0^{\circ}

) thì

tan φ

càng lớn,

B C

càng ngắn.

φ = 9 0^{\circ}

: tia nắng trùng phương cột,

C \equiv B

B C = 0

Vậy bóng có độ dài xác định khi nắng xiên (là hình chiếu song song của cột), còn khi tia nắng vuông góc với sân thì độ dài bóng bằng $0$ — không quan sát được bóng.

Nhận xét. Buổi trưa vùng nhiệt đới có lúc Mặt Trời 'đứng bóng' — chính là trường hợp b), tia nắng gần như vuông góc với mặt đất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi đúng tên mặt phẳng chiếu và phương chiếu là đủ ý; Cách 3 hay để giải thích hiện tượng 'đứng bóng'.

Đáp số. a) Có (phép chiếu song song theo phương tia nắng lên mặt sân); b) Không, bóng thu về một điểm là chân cột.

Sai lầm thường gặp. Trả lời b) là 'bóng rất ngắn' là chưa đúng: khi tia nắng vuông góc với sân, bóng không ngắn mà suy biến hẳn thành một điểm. Cũng không được nói phép chiếu ở a) là phép chiếu vuông góc — tia nắng xiên nên đó chỉ là phép chiếu song song.

🚀 Mở rộng. Nếu sân nghiêng (không nằm ngang) thì với tia nắng thẳng đứng, bóng của cột thẳng đứng có còn là một điểm không? (Có — vì phương chiếu vẫn trùng phương cột.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi (trang 39)★Trang 39— Tính chất cơ bản của phép chiếu vuông góc

Câu hỏi (trang 39). a) Nếu

A

là một điểm không thuộc mặt phẳng

(P)

và

A^{'}

là hình chiếu của

A

trên

(P)

thì đường thẳng

A A^{'}

có quan hệ gì với mặt phẳng

(P)

?
b) Nếu đường thẳng

a

vuông góc với mặt phẳng

(P)

thì hình chiếu của

a

trên

(P)

là gì?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

🧠 Phân tích tư duy

Hình chiếu vuông góc được xác định bằng đường thẳng qua điểm và vuông góc với

(P)

— nên câu a) chỉ là đọc lại định nghĩa. Câu b) là trường hợp đường thẳng cùng phương chiếu: mọi điểm của nó chiếu về một điểm. Bẫy: trả lời b) là 'đường thẳng

a

' hoặc 'không có hình chiếu'.

1Cách 1. Theo định nghĩa phép chiếu vuông góc

Định hướng. Phương chiếu $Δ$ vuông góc với $(P)$ ; điểm và ảnh luôn nằm trên một đường song song (hoặc trùng) với $Δ$ .

A^{'}

là hình chiếu của

A

\Rightarrow A A^{'} ∥ Δ

hoặc

A A^{'} \equiv Δ

Δ ⊥ (P) \Rightarrow A A^{'} ⊥ (P)

.
b)

a ⊥ (P) \Rightarrow a ∥ Δ

hoặc

a \equiv Δ

; gọi

O = a \cap (P)

.
Mọi

M \in a

: đường qua

M

song song với

Δ

chính là

a

\Rightarrow M^{'} = a \cap (P) = O

Vậy a) $A A^{'} ⊥ (P)$ ; b) hình chiếu của $a$ trên $(P)$ là một điểm — giao điểm $O$ của $a$ và $(P)$ .

2Cách 2. Tính duy nhất của đường vuông góc

Định hướng. Dùng: qua một điểm có đúng một đường thẳng vuông góc với $(P)$ .

A^{'}

là giao điểm của

(P)

với đường thẳng

d

qua

A

vuông góc với

(P)

;

A \neq = A^{'}

nên

A A^{'} \equiv d

\Rightarrow A A^{'} ⊥ (P)

.
b) Lấy

M \in a

M \in / (P)

; đường thẳng qua

M

vuông góc với

(P)

là duy nhất, mà

a

qua

M

và

a ⊥ (P)

\Rightarrow

đường chiếu qua

M

chính là

a

\Rightarrow M^{'} = a \cap (P) = O

; điểm

O

thì chiếu thành chính nó.

Vậy $A A^{'} ⊥ (P)$ và hình chiếu của đường thẳng vuông góc với $(P)$ là giao điểm của nó với $(P)$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1 — hai dòng, bám sát định nghĩa trong khung kiến thức trang 38.

Đáp số. a)

A A^{'} ⊥ (P)

; b) hình chiếu của

a

là giao điểm của

a

với

(P)

(một điểm).

Sai lầm thường gặp. Hay nhầm ở b): viết 'hình chiếu là đường thẳng

a

' (nhầm với trường hợp

a \subset (P)

) hoặc 'không tồn tại hình chiếu'. Phép chiếu biến đường thẳng thành đường thẳng CHỈ khi đường thẳng không cùng phương chiếu.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: trong phép chiếu song song theo phương

ℓ

, mọi đường thẳng song song với

ℓ

đều chiếu thành một điểm; phép chiếu vuông góc chỉ là trường hợp

ℓ ⊥ (P)

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · HĐ2★★Trang 39— Dẫn tới định lí ba đường vuông góc

HĐ2 (trang 39). Cho đường thẳng

a

và mặt phẳng

(P)

không vuông góc với nhau. Xét

b

là một đường thẳng nằm trong

(P)

. Trên

a

, lấy hai điểm

M

N

tuỳ ý. Gọi

M^{'}

N^{'}

tương ứng là hình chiếu của

M

N

trên mặt phẳng

(P)

(H.7.34).
a) Hình chiếu của

a

trên mặt phẳng

(P)

là đường thẳng nào?
b) Nếu

b

vuông góc với

M^{'} N^{'}

thì

b

có vuông góc với

a

hay không?
c) Nếu

b

vuông góc với

a

thì

b

có vuông góc với

M^{'} N^{'}

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu $d ⊥ (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ .
Định lí ba đường vuông góc: cho đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$ và $b \subset (P)$ ; khi đó $b ⊥ a$ khi và chỉ khi $b ⊥ a^{'}$ , với $a^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường chiếu

M M^{'}

N N^{'}

cùng vuông góc với

(P)

nên cùng nằm trong một mặt phẳng chứa cả

a

và

M^{'} N^{'}

— mặt phẳng này là 'cầu nối' giữa

a

và hình chiếu của nó.

b \subset (P)

nên

b

luôn vuông góc với

M M^{'}

; chỉ cần thêm một đường nữa là có

b

vuông góc với cả mặt phẳng. Bẫy: quên chứng minh

M^{'} \neq = N^{'}

ở câu a).

1Cách 1. Mặt phẳng

(M N N^{'} M^{'})

Định hướng. Dựng mặt phẳng chứa $a$ và hai đường chiếu, rồi dùng dấu hiệu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

M M^{'} ⊥ (P)

N N^{'} ⊥ (P)

. Nếu

M^{'} \equiv N^{'}

thì

M, N, M^{'}

cùng nằm trên đường thẳng qua

M^{'}

vuông góc với

(P)

\Rightarrow a ⊥ (P)

, vô lí.

\Rightarrow M^{'} \neq = N^{'}

, hình chiếu của

a

là đường thẳng

a^{'} = M^{'} N^{'}

M M^{'} ∥ N N^{'}

(hoặc trùng)

\Rightarrow M, N, N^{'}, M^{'}

đồng phẳng; mặt phẳng

(Q) = (M N N^{'} M^{'})

chứa

a

và

a^{'}

b \subset (P) \Rightarrow b ⊥ M M^{'}

.
b)

b ⊥ M^{'} N^{'}

b ⊥ M M^{'}

M^{'} N^{'} \cap M M^{'} = M^{'}

\Rightarrow b ⊥ (Q) \Rightarrow b ⊥ a

.
c)

b ⊥ a

b ⊥ M M^{'}

a \cap M M^{'} = M

\Rightarrow b ⊥ (Q) \Rightarrow b ⊥ M^{'} N^{'}

Vậy a) hình chiếu của $a$ là đường thẳng $M^{'} N^{'}$ ; b) có, $b ⊥ a$ ; c) có, $b ⊥ M^{'} N^{'}$ .

2Cách 2. Định lí Pythagore đảo

Định hướng. Chứng minh vuông góc bằng hệ thức độ dài trong các tam giác vuông, không cần dựng mặt phẳng $(Q)$ .

b ⊥ a^{'}

, cả hai nằm trong

(P)

\Rightarrow

b

cắt

a^{'}

tại

I

; lấy

J \in b

J \neq = I

J M^{2} = J M^{'2} + M M^{'2}

(vì

M M^{'} ⊥ J M^{'}

)

J M^{2} = J I^{2} + I M^{'2} + M M^{'2}

(vì

J I ⊥ I M^{'}

)

J M^{2} = J I^{2} + I M^{2}

(vì

I M^{2} = I M^{'2} + M M^{'2}

\Rightarrow J I M = 9 0^{\circ}

, tức

b ⊥ I M

; tương tự

b ⊥ I N

I M

I N

cắt nhau tại

I

trong mặt phẳng chứa

a

và

I

\Rightarrow b ⊥ a

(nếu

I \in a

thì

I M

chính là

a

).
c) Nếu

b ∥ a^{'}

thì

a ⊥ a^{'}

hoặc

a ∥ a^{'}

— cả hai đều vô lí với

a

không vuông góc với

(P)

, không vuông góc với

b

\Rightarrow b

cắt

a^{'}

tại

I

.
Giả sử

b

không vuông góc với

a^{'}

; trong

(P)

kẻ

b_{1}

qua

I

b_{1} ⊥ a^{'}

\Rightarrow b_{1} ⊥ a

(theo b).

a ⊥ b

a ⊥ b_{1}

b \cap b_{1} = I

trong

(P)

\Rightarrow a ⊥ (P)

: vô lí

\Rightarrow b ⊥ a^{'}

Vậy $b ⊥ a^{'} \Leftrightarrow b ⊥ a$ — đây chính là định lí ba đường vuông góc.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy định lí ba đường vuông góc thực chất là định lí Pythagore dùng hai lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dựng mặt phẳng

(M N N^{'} M^{'})

rồi áp dấu hiệu vuông góc, ngắn và dùng lại được cho mọi bài chứng minh vuông góc.

Đáp số. a) Đường thẳng

M^{'} N^{'}

(hình chiếu

a^{'}

của

a

); b) có,

b ⊥ a

; c) có,

b ⊥ M^{'} N^{'}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp: từ

b ⊥ M^{'} N^{'}

kết luận ngay

b ⊥ a

chỉ vì '

a

và

M^{'} N^{'}

cùng nằm trong một mặt phẳng' — hai đường thẳng đồng phẳng mà cắt nhau thì vuông góc với đường này chưa chắc vuông góc với đường kia. Phải dùng thêm

b ⊥ M M^{'}

để có

b

vuông góc với cả mặt phẳng

(M N N^{'} M^{'})

🚀 Mở rộng. Nếu

a ⊥ (P)

thì mọi

b \subset (P)

đều vuông góc với

a

— vì sao định lí ba đường vuông góc phải loại trường hợp này? (Khi đó hình chiếu

a^{'}

chỉ là một điểm.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Luyện tập 1★★Trang 40— Hình chiếu của điểm, đường thẳng, tam giác; định lí ba đường vuông góc

Luyện tập 1 (trang 40). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A = S B = S C

. Gọi

O

là hình chiếu của

S

trên mặt phẳng

(A B C)

(H.7.36).
a) Chứng minh rằng

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
b) Xác định hình chiếu của đường thẳng

S A

trên mặt phẳng

(A B C)

.
c) Chứng minh rằng nếu

A O ⊥ B C

thì

S A ⊥ B C

.
d) Xác định hình chiếu của các tam giác

S B C

S C A

S A B

trên mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Định lí ba đường vuông góc: cho đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$ và $b \subset (P)$ ; khi đó $b ⊥ a$ khi và chỉ khi $b ⊥ a^{'}$ , với $a^{'}$ là hình chiếu vuông góc của $a$ trên $(P)$ .
Hai tam giác vuông có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

🧠 Phân tích tư duy

Ba cạnh bên bằng nhau cùng chung đường cao

S O

— dấu hiệu ba tam giác vuông

S O A

S O B

S O C

có chung một cạnh góc vuông, nên ba cạnh góc vuông còn lại bằng nhau. Câu b), d) chỉ cần nhớ: điểm thuộc

(A B C)

thì hình chiếu là chính nó. Câu c) là mẫu điển hình của định lí ba đường vuông góc:

O A

chính là hình chiếu của

S A

1Cách 1. Định lí Pythagore và định lí ba đường vuông góc

Định hướng. Tính $O A$ , $O B$ , $O C$ qua các tam giác vuông tại $O$ ; câu c) chuyển $S A$ về hình chiếu $O A$ .

S O ⊥ (A B C) \Rightarrow S O ⊥ O A

S O ⊥ O B

S O ⊥ O C

O A^{2} = S A^{2} - S O^{2}

O B^{2} = S B^{2} - S O^{2}

O C^{2} = S C^{2} - S O^{2}

S A = S B = S C \Rightarrow O A = O B = O C \Rightarrow O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
b)

S

chiếu thành

O

A \in (A B C)

chiếu thành

A

\Rightarrow

hình chiếu của

S A

là đường thẳng

O A

.
c)

B C \subset (A B C)

O A

là hình chiếu của

S A

B C ⊥ O A

\Rightarrow B C ⊥ S A

(định lí ba đường vuông góc).
d)

S \mapsto O

;

A, B, C \mapsto A, B, C

\Rightarrow

S B C \mapsto O B C

S C A \mapsto O C A

S A B \mapsto O A B

Vậy a) $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ ; b) đường thẳng $O A$ ; c) $S A ⊥ B C$ ; d) lần lượt là các tam giác $O B C$ , $O C A$ , $O A B$ .

2Cách 2. Tam giác vuông bằng nhau và mặt phẳng

(S A O)

Định hướng. Câu a) dùng trường hợp bằng nhau cạnh huyền – cạnh góc vuông; câu c) chứng minh $B C$ vuông góc với cả mặt phẳng $(S A O)$ .

△ S O A

△ S O B

△ S O C

vuông tại

O

, chung cạnh

S O

, cạnh huyền

S A = S B = S C

\Rightarrow △ S O A = △ S O B = △ S O C \Rightarrow O A = O B = O C

.
c)

S O ⊥ (A B C) \Rightarrow B C ⊥ S O

; giả thiết

B C ⊥ A O

;

S O \cap A O = O

\Rightarrow B C ⊥ (S A O) \Rightarrow B C ⊥ S A

.
b), d) như Cách 1:

S A \mapsto O A

;

S B C \mapsto O B C

S C A \mapsto O C A

S A B \mapsto O A B

Vậy $O$ cách đều $A$ , $B$ , $C$ và $S A ⊥ B C$ khi $A O ⊥ B C$ .

3Cách 3. Mặt phẳng trung trực

Định hướng. Điểm cách đều hai đầu mút nằm trên mặt phẳng trung trực; đường $S O$ nằm gọn trong các mặt phẳng trung trực đó.

S A = S B \Rightarrow S

thuộc mặt phẳng trung trực

(α)

của

A B

;

(α) ⊥ A B

S O ⊥ (A B C) \Rightarrow S O ⊥ A B

; đường thẳng qua

S \in (α)

và vuông góc với

A B

nằm trong

(α)

\Rightarrow O \in (α) \Rightarrow O A = O B

.
Tương tự với cặp

B

C

O B = O C

\Rightarrow O

là tâm đường tròn ngoại tiếp.
c)

O

là tâm ngoại tiếp,

A O ⊥ B C

\Rightarrow A O

là trung trực của

B C

trong

(A B C)

\Rightarrow A B = A C

A B = A C

S B = S C

\Rightarrow A, S

cùng thuộc mặt phẳng trung trực

(β)

của

B C

\Rightarrow S A \subset (β) \Rightarrow S A ⊥ B C

Vậy $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ và $S A ⊥ B C$ .

Nhận xét. Cách 3 cho thấy hình chiếu của mọi điểm cách đều $A$ , $B$ , $C$ đều là tâm ngoại tiếp — kết quả dùng lại rất nhiều cho hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) hai dòng Pythagore, câu c) một dòng định lí ba đường vuông góc.

Đáp số. a)

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

; b) đường thẳng

O A

; c)

S A ⊥ B C

; d) tam giác

O B C

O C A

O A B

Sai lầm thường gặp. Ở d) nhiều bạn viết hình chiếu của tam giác

S B C

là 'tam giác

A B C

' — sai, vì chỉ có

S

đổi thành

O

, còn

B

C

giữ nguyên. Chú ý thêm: nếu tam giác

A B C

vuông thì

O

nằm trên cạnh huyền và hình chiếu của mặt bên tương ứng suy biến thành một đoạn thẳng.

🚀 Mở rộng. Mở rộng: hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy (các tam giác vuông

S O A

S O B

S O C

bằng nhau theo cạnh góc vuông – góc nhọn).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · HĐ3★★Trang 40— Mô hình hoá góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

HĐ3 (trang 40). Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn

240

km/h trong suốt

2

phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm

1

phút kể từ khi máy bay cất cánh không?
(Hình 7.37 là ảnh máy bay đang cất cánh.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .
Quãng đường = vận tốc × thời gian (đổi $1$ phút $= \frac{1}{60}$ giờ).

🧠 Phân tích tư duy

Vận tốc và thời gian chỉ cho ta quãng đường bay

O A

, còn độ cao là cạnh góc vuông

A H

của tam giác vuông

O A H

— muốn tính phải biết thêm góc nghiêng của đường bay so với mặt đất. Đây là lí do ra đời khái niệm 'góc giữa đường thẳng và mặt phẳng'. Bẫy: nhầm quãng đường

4

km là độ cao.

1Cách 1. Tam giác vuông

O A H

Định hướng. Gọi $O$ là điểm cất cánh, $A$ là vị trí sau $1$ phút, $H$ là hình chiếu của $A$ trên mặt đất; độ cao là $A H$ .

O A = 240 \cdot \frac{1}{60} = 4

(km).

A H ⊥

mặt đất

\Rightarrow △ O A H

vuông tại

H

; gọi

α = A O H

(góc giữa đường bay và mặt đất).

A H = O A \cdot sin α = 4 sin α

(km).
Đề không cho

α

\Rightarrow

chưa tính được

A H

Vậy thông tin đã cho KHÔNG đủ; cần biết thêm góc $α$ giữa đường bay (coi là đường thẳng) và mặt đất.

2Cách 2. Phản ví dụ bằng số

Định hướng. Chỉ ra hai máy bay cùng thoả dữ kiện đề mà độ cao sau 1 phút khác nhau.

Cả hai đều bay được

O A = 4

km sau

1

phút.
Máy bay 1 cất cánh với góc

1 0^{\circ}

A H = 4 sin 1 0^{\circ} \approx 0, 69

(km).
Máy bay 2 cất cánh với góc

2 0^{\circ}

A H = 4 sin 2 0^{\circ} \approx 1, 37

(km).

0, 69 \neq = 1, 37

\Rightarrow

độ cao không được xác định duy nhất.

Vậy không thể xác định độ cao chỉ từ vận tốc và thời gian.

3Cách 3. Tập hợp vị trí có thể của máy bay

Định hướng. Mọi vị trí cách $O$ đúng $4$ km phía trên mặt đất đều hợp với dữ kiện; các vị trí đó có độ cao khác nhau.

1

phút, máy bay cách

O

đúng

4

\Rightarrow A

thuộc nửa mặt cầu tâm

O

, bán kính

4

km, phía trên mặt đất.
Trên nửa mặt cầu đó, điểm sát mặt đất có độ cao gần

0

, điểm cao nhất (bay thẳng đứng) có độ cao

4

km.

\Rightarrow

độ cao có thể là bất kì số nào trong khoảng từ

0

đến

4

km.

Vậy dữ kiện chưa đủ; độ cao phụ thuộc hướng bay, cụ thể là góc giữa đường bay và mặt đất.

Nhận xét. Cả ba cách cùng chỉ ra đại lượng còn thiếu là một GÓC — góc giữa đường thẳng (đường bay) và mặt phẳng (mặt đất).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Trả lời nhanh nhất bằng Cách 1: viết

A H = 4 sin α

là thấy ngay còn thiếu

α

Đáp số. Không đủ; sau 1 phút máy bay đi được

4

km nhưng độ cao

4 sin α

(km) còn phụ thuộc góc

α

giữa đường bay và mặt đất.

Sai lầm thường gặp. Hay trả lời 'đủ, độ cao là

4

km' — đó là QUÃNG ĐƯỜNG bay chứ không phải độ cao; chỉ đúng khi máy bay bay thẳng đứng (

α = 9 0^{\circ}

), điều không xảy ra khi cất cánh.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm góc cất cánh

α = 1 5^{\circ}

thì độ cao sau

1

phút là

4 sin 1 5^{\circ} \approx 1, 04

km; sau

t

phút (

t \leq 2

) là

4 t sin α

km.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Vận dụng★★★Trang 42— Vận dụng tính chất phép chiếu vuông góc vào thiên văn

Vận dụng (trang 42). Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng

66, 5^{\circ}

. (Theo nationalgeographic.org).
a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo

(P)

cũng có phương không đổi.
b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng

(P)

thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.
(Hình 7.41 mô tả Trái Đất ở bốn vị trí trên quỹ đạo: 21 – 3 Xuân phân, 22 – 6 Hạ chí, 23 – 9 Thu phân, 22 – 12 Đông chí; trục nghiêng

23, 5^{\circ}

so với phương vuông góc với quỹ đạo.)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng (khi đường thẳng không cùng phương chiếu), biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Qua một điểm nằm trong elip, mỗi đường thẳng cắt elip tại đúng hai điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Trục Trái Đất ở các thời điểm là các đường thẳng song song với nhau (phương không đổi) và không vuông góc với

(P)

(tạo góc

66, 5^{\circ}

) — phép chiếu vuông góc biến chúng thành các đường thẳng song song. Câu b): tâm Trái Đất

I

luôn nằm trên

(P)

nên hình chiếu của trục là đường thẳng qua

I

có phương cố định

u

; câu hỏi trở thành 'khi nào đường thẳng

O I

có phương

u

'. Bẫy: trả lời b) bằng thiên văn (hạ chí, đông chí) mà không giải thích hình học.

1Cách 1. Tính chất bảo toàn song song của phép chiếu

Định hướng. Phép chiếu vuông góc là phép chiếu song song nên biến các đường thẳng song song thành các đường thẳng song song.

a) Các vị trí của trục là các đường thẳng

d_{1}, d_{2}, \dots

song song với nhau, cùng tạo với

(P)

góc

66, 5^{\circ} \neq = 9 0^{\circ}

\Rightarrow

hình chiếu

d_{1}^{'}, d_{2}^{'}, \dots

là các đường thẳng, song song hoặc trùng nhau

\Rightarrow

cùng một phương

u

.
b) Tâm Trái Đất

I \in (P)

nên hình chiếu của trục là đường thẳng

d_{I}^{'}

qua

I

, phương

u

.
Tâm Mặt Trời

O \in (P)

d_{I}^{'}

chứa

O

\Leftrightarrow

O

thuộc đường thẳng

ℓ

qua

I

phương

u

\Leftrightarrow I

thuộc đường thẳng

ℓ_{0}

qua

O

phương

u

O

nằm trong elip (là tiêu điểm)

\Rightarrow ℓ_{0}

cắt quỹ đạo tại đúng hai điểm

I_{1}

I_{2}

.
Mỗi năm Trái Đất đi qua mỗi điểm

I_{1}

I_{2}

đúng một lần

\Rightarrow

đúng hai thời điểm.

Vậy a) hình chiếu của trục luôn có phương $u$ không đổi; b) có đúng hai thời điểm, ứng với hai giao điểm của quỹ đạo với đường thẳng qua tâm Mặt Trời theo phương $u$ .

2Cách 2. Mặt phẳng chiếu chứa trục

Định hướng. Hình chiếu vuông góc của đường thẳng $d$ (không vuông góc với $(P)$ ) là giao tuyến của $(P)$ với mặt phẳng $(Q)$ chứa $d$ và vuông góc với $(P)$ .

(Q_{I})

chứa trục

d_{I}

và đường thẳng qua

I

vuông góc với

(P)

; hai phương này không đổi theo thời gian.

\Rightarrow

các mặt phẳng

(Q_{I})

song song hoặc trùng nhau.

(P)

cắt các mặt phẳng song song theo các giao tuyến song song

\Rightarrow

hình chiếu

d_{I}^{'} = (P) \cap (Q_{I})

có phương không đổi.
b)

d_{I}^{'}

chứa

O

\Leftrightarrow O \in (Q_{I})

\Leftrightarrow

mặt phẳng

(Q_{I})

đi qua tâm Mặt Trời.
Trong họ mặt phẳng song song

(Q_{I})

chỉ có một mặt phẳng

(Q_{0})

qua

O

;

(Q_{0})

cắt quỹ đạo (đường cong kín bao quanh

O

) tại đúng hai điểm.

Vậy phương hình chiếu không đổi và có đúng hai vị trí của Trái Đất (hai thời điểm) để hình chiếu của trục đi qua tâm Mặt Trời.

3Cách 3. Theo dõi đường nối hai tâm

Định hướng. Cho Trái Đất chạy một vòng quỹ đạo và quan sát phương của tia $O I$ quay quanh $O$ .

a) Lấy hai vị trí tâm

I

I^{'}

và hai vị trí cực Bắc

N

N^{'}

sao cho

I N = I^{'} N^{'}

;

I N ∥ I^{'} N^{'}

\Rightarrow I N N^{'} I^{'}

là hình bình hành.
Phép chiếu song song biến hình bình hành thành hình bình hành (hoặc đoạn thẳng)

\Rightarrow

hình chiếu của

I N

và của

I^{'} N^{'}

song song (hoặc trùng nhau)

\Rightarrow

phương không đổi.
b) Hình chiếu của trục qua

O

\Leftrightarrow

đường thẳng

O I

có phương

u

\Leftrightarrow

tia

O I

cùng hướng hoặc ngược hướng với

u

O

nằm trong quỹ đạo

\Rightarrow

trong một năm tia

O I

quay đúng một vòng

36 0^{\circ}

.
Trong một vòng, tia

O I

trùng hướng

u

đúng một lần và trùng hướng ngược

u

đúng một lần

\Rightarrow

hai thời điểm.

Vậy có hai thời điểm trong năm (chính là khoảng ngày 22 – 6 và 22 – 12, hạ chí và đông chí).

Nhận xét. Cách 3 giải thích luôn vì sao hai thời điểm ấy cách nhau khoảng nửa năm: tia $O I$ phải quay thêm $18 0^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) là tính chất phép chiếu song song, câu b) quy về đường thẳng qua tiêu điểm cắt elip tại hai điểm.

Đáp số. a) Các vị trí của trục song song với nhau và không vuông góc với

(P)

, nên hình chiếu của chúng song song (cùng một phương); b) hình chiếu của trục đi qua tâm Mặt Trời khi tâm Trái Đất nằm trên đường thẳng qua tâm Mặt Trời theo phương đó — đường thẳng này cắt quỹ đạo tại đúng hai điểm (ngày 22 – 6 và 22 – 12).

Sai lầm thường gặp. Hay lập luận a) chỉ bằng 'trục có phương không đổi nên hình chiếu có phương không đổi' mà bỏ điều kiện trục KHÔNG vuông góc với

(P)

— nếu trục vuông góc với

(P)

thì hình chiếu chỉ là một điểm, không có 'phương'.

🚀 Mở rộng. Nếu trục Trái Đất vuông góc với mặt phẳng quỹ đạo thì sao? (Hình chiếu là một điểm, không có mùa; ngày đêm dài bằng nhau quanh năm ở mọi nơi.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Khám phá★★★Trang 42— Quan hệ giữa góc với mặt phẳng và góc với pháp tuyến

Khám phá (trang 42). Cho đường thẳng

Δ

vuông góc với mặt phẳng

(P)

. Khi đó, với một đường thẳng

a

bất kì, góc giữa

a

và

(P)

có mối quan hệ gì với góc giữa

a

và

Δ

? (H.7.42)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ bằng $9 0^{\circ}$ ; nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ là góc giữa $a$ và hình chiếu $a^{'}$ của nó trên $(P)$ ; luôn có $0^{\circ} \leq α \leq 9 0^{\circ}$ .
Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $b^{'} ∥ b$ (hoặc trùng) thì $(a, b) = (a, b^{'})$ .
Hai góc nhọn của một tam giác vuông phụ nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đường thẳng

Δ ⊥ (P)

đóng vai 'đường vuông góc chuẩn'; chỉ cần dời

Δ

về cắt

a

(qua điểm

A

) là nhận được đoạn

A H

vuông góc với

(P)

và một tam giác vuông

A H O

. Hai góc nhọn của tam giác vuông phụ nhau. Bẫy: quên hai trường hợp đặc biệt

a ⊥ (P)

và

a ∥ (P)

(hoặc

a \subset (P)

), khi đó không có tam giác.

1Cách 1. Tam giác vuông

A H O

Định hướng. Gọi $φ$ là góc giữa $a$ và $(P)$ , $ψ$ là góc giữa $a$ và $Δ$ ; xét riêng các trường hợp.

a ⊥ (P)

a ∥ Δ

hoặc

a \equiv Δ

\Rightarrow φ = 9 0^{\circ}

ψ = 0^{\circ}

a ∥ (P)

hoặc

a \subset (P)

φ = 0^{\circ}

;

Δ ⊥ (P) \Rightarrow Δ ⊥ a

ψ = 9 0^{\circ}

a

cắt

(P)

tại

O

, không vuông góc: lấy

A \in a

A \neq = O

H

là hình chiếu của

A

trên

(P)

φ = A O H

;

A H ∥ Δ \Rightarrow ψ = (A O, A H) = O A H

△ A H O

vuông tại

H

\Rightarrow A O H + O A H = 9 0^{\circ} \Rightarrow φ + ψ = 9 0^{\circ}

Vậy góc giữa $a$ và $(P)$ phụ với góc giữa $a$ và $Δ$ : $φ + ψ = 9 0^{\circ}$ .

2Cách 2. Tỉ số lượng giác

Định hướng. Viết $sin φ$ và $cos ψ$ cùng qua một cặp đoạn thẳng $A H$ , $A O$ .

(Trường hợp tổng quát; hai trường hợp đặc biệt như Cách 1.)

sin φ = sin A O H = \frac{A H}{A O}

cos ψ = cos O A H = \frac{A H}{A O}

\Rightarrow sin φ = cos ψ = sin (9 0^{\circ} - ψ)

, với

φ

9 0^{\circ} - ψ

đều thuộc

[0^{\circ}; 9 0^{\circ}]

\Rightarrow φ = 9 0^{\circ} - ψ

Vậy $φ + ψ = 9 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Ba đường thẳng qua

O

trong một mặt phẳng

Định hướng. Dời $Δ$ về qua $O$ , khi đó $a$ , $Δ^{'}$ và hình chiếu $a^{'}$ nằm trong cùng một mặt phẳng.

Qua

O = a \cap (P)

kẻ

Δ^{'} ∥ Δ \Rightarrow Δ^{'} ⊥ (P)

(a, Δ) = (a, Δ^{'}) = ψ

.
Mặt phẳng

(Q)

chứa

a

và

Δ^{'}

; mỗi điểm

A \in a

chiếu theo đường song song với

Δ^{'}

, nằm trong

(Q)

\Rightarrow

hình chiếu

a^{'}

là giao tuyến của

(Q)

và

(P)

.
Trong

(Q)

: ba đường

a

a^{'}

Δ^{'}

cùng qua

O

a^{'} ⊥ Δ^{'}

a

nằm trong góc vuông tạo bởi

a^{'}

và

Δ^{'}

\Rightarrow (a, a^{'}) + (a, Δ^{'}) = 9 0^{\circ}

Vậy $φ + ψ = 9 0^{\circ}$ với mọi đường thẳng $a$ .

Nhận xét. Kết quả này cho một cách tính góc với mặt phẳng rất gọn: tính góc với một đường vuông góc với mặt phẳng rồi lấy phần bù.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (tam giác vuông

A H O

) — đủ cả ba trường hợp, ngắn và trực quan.

Đáp số. Góc giữa

a

và

(P)

cộng góc giữa

a

và

Δ

bằng

9 0^{\circ}

(hai góc phụ nhau).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: chỉ xét trường hợp

a

cắt

(P)

mà bỏ qua

a ⊥ (P)

và

a ∥ (P)

. Một lỗi khác là coi

O A H

là góc giữa

a

và

Δ

mà không nói

A H ∥ Δ

(góc giữa hai đường thẳng chéo nhau phải qua một đường song song).

🚀 Mở rộng. Hệ quả: nếu

a

tạo với

(P)

góc

3 0^{\circ}

thì

a

tạo với mọi đường vuông góc với

(P)

góc

6 0^{\circ}

— áp dụng: trục Trái Đất tạo với quỹ đạo

66, 5^{\circ}

nên lệch phương vuông góc quỹ đạo

23, 5^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Trải nghiệm★★Trang 42— Đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong thực tế

Trải nghiệm (trang 42). Đo góc giữa một sợi dây kéo căng và mặt bàn hoặc sàn lớp học. (Có thể cho một đầu sợi dây thuộc mặt bàn, mặt sàn để thuận tiện hơn cho việc đo.)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .
Dây dọi (sợi dây treo vật nặng) cho phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn nằm ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Góc cần đo là

A O H

với

O

là đầu dây trên mặt bàn,

A

là một điểm trên dây,

H

là hình chiếu của

A

— nên việc chính là dựng được

H

bằng dây dọi (hoặc ê ke). Có

H

rồi thì đo hai cạnh của tam giác vuông

A O H

và dùng tỉ số lượng giác. Bẫy: đo góc giữa dây với một mép bàn bất kì — đó không phải góc giữa dây và mặt bàn.

1Cách 1. Dây dọi và sin

Định hướng. Dựng hình chiếu $H$ của điểm $A$ trên dây bằng dây dọi, đo cạnh huyền $O A$ và cạnh $A H$ .

Cố định đầu

O

của dây trên mặt bàn, kéo căng dây, chọn điểm

A

trên dây.
Thả dây dọi từ

A

, điểm chạm mặt bàn là

H

\Rightarrow A H ⊥

mặt bàn,

φ = A O H

.
Đo

O A

A H

; ví dụ

O A = 50

cm,

A H = 20

cm.

sin φ = \frac{A H}{O A} = \frac{20}{50} = 0, 4 \Rightarrow φ \approx 23, 6^{\circ}

Vậy góc giữa sợi dây và mặt bàn là $φ$ với $sin φ = \frac{A H}{O A}$ (ví dụ trên: khoảng $23, 6^{\circ}$ ).

2Cách 2. Đo trên mặt bàn và tang

Định hướng. Không cần đo dọc theo dây: đo độ cao $A H$ và khoảng cách $O H$ ngay trên mặt bàn.

Dựng

H

như Cách 1; đo

A H

bằng thước thẳng đứng, đo

O H

trên mặt bàn.
Với số liệu ví dụ:

O H = 5 0^{2} - 2 0^{2} = 2100 \approx 45, 8

(cm).

tan φ = \frac{A H}{O H} \approx \frac{20}{45 , 8} \approx 0, 436 \Rightarrow φ \approx 23, 6^{\circ}

Vậy $tan φ = \frac{A H}{O H}$ ; hai cách đo cho cùng kết quả khoảng $23, 6^{\circ}$ .

3Cách 3. Đo trực tiếp bằng thước đo góc

Định hướng. Góc $A O H$ nằm trong mặt phẳng thẳng đứng chứa sợi dây, nên có thể đặt thước đo góc trong mặt phẳng đó.

Dựng

H

bằng dây dọi, căng một sợi chỉ từ

O

tới

H

trên mặt bàn (hình chiếu của dây).
Đặt thước đo góc thẳng đứng, tâm tại

O

, vạch

0^{\circ}

theo sợi chỉ

O H

.
Đọc số đo tại vị trí sợi dây

O A

\Rightarrow φ = A O H

Vậy đọc trực tiếp được góc giữa sợi dây và mặt bàn.

Nhận xét. Cách 3 nhanh nhưng dễ sai vài độ nếu thước không thẳng đứng; Cách 1 và 2 chính xác hơn vì chỉ đo độ dài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên dùng Cách 1: chỉ cần thước dây và dây dọi, đo độ dài dễ chính xác hơn đo góc trực tiếp.

Đáp số. Góc cần đo là

A O H

(

H

là chân dây dọi từ điểm

A

trên dây); tính bằng

sin φ = \frac{A H}{O A}

hoặc

tan φ = \frac{A H}{O H}

(ví dụ

O A = 50

cm,

A H = 20

cm cho

φ \approx 23, 6^{\circ}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: đặt thước đo góc giữa sợi dây và một mép bàn (không phải hình chiếu của dây) — góc đo được lớn hơn góc cần tìm. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc NHỎ NHẤT mà đường thẳng tạo với các đường trong mặt phẳng, đạt được đúng tại hình chiếu

O H

🚀 Mở rộng. Làm thêm: giữ nguyên độ cao

A H

, kéo đầu

O

ra xa dần — góc thay đổi thế nào? (

tan φ = \frac{A H}{O H}

giảm, góc nhỏ dần.)

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 7.10★★Trang 42— Xác định hình chiếu vuông góc của điểm, tam giác

Bài 7.10 (trang 42). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác

A B C

vuông tại

B

.
a) Xác định hình chiếu của điểm

S

trên mặt phẳng

(A B C)

.
b) Xác định hình chiếu của tam giác

S B C

trên mặt phẳng

(A B C)

.
c) Xác định hình chiếu của tam giác

S B C

trên mặt phẳng

(S A B)

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu $d ⊥ (P)$ thì $d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Muốn chiếu một tam giác chỉ cần chiếu ba đỉnh; đỉnh nào nằm sẵn trên mặt phẳng chiếu thì giữ nguyên. Câu c) cần tìm đường vuông góc hạ từ

C

xuống

(S A B)

B C

vuông góc với cả

A B

và

S A

nên

B C ⊥ (S A B)

. Bẫy: ở c) hình chiếu SUY BIẾN thành đoạn thẳng, không phải tam giác.

1Cách 1. Chiếu từng đỉnh bằng đường vuông góc có sẵn

Định hướng. Tìm đường thẳng qua mỗi đỉnh vuông góc với mặt phẳng chiếu.

S A ⊥ (A B C)

A \in (A B C)

\Rightarrow

hình chiếu của

S

là

A

.
b)

S \mapsto A

;

B, C \in (A B C)

giữ nguyên

\Rightarrow S B C \mapsto A B C

.
c)

S A ⊥ (A B C) \Rightarrow B C ⊥ S A

;

B C ⊥ A B

(tam giác

A B C

vuông tại

B

);

S A \cap A B = A

\Rightarrow B C ⊥ (S A B)

B \in (S A B)

\Rightarrow

hình chiếu của

C

trên

(S A B)

là

B

S, B \in (S A B)

giữ nguyên

\Rightarrow

tam giác

S B C

chiếu thành đoạn thẳng

S B

Vậy a) điểm $A$ ; b) tam giác $A B C$ ; c) đoạn thẳng $S B$ .

2Cách 2. Định lí ba đường vuông góc cho câu c)

Định hướng. Gọi $C^{'}$ là hình chiếu của $C$ trên $(S A B)$ rồi chứng minh $C^{'} \equiv B$ bằng định lí ba đường vuông góc.

a), b) như Cách 1:

S \mapsto A

S B C \mapsto A B C

.
c) Gọi

C^{'}

là hình chiếu của

C

trên

(S A B)

; giả sử

C^{'} \neq = B

, khi đó

C^{'} B

là hình chiếu của

C B

trên

(S A B)

A B \subset (S A B)

A B ⊥ C B

\Rightarrow A B ⊥ C^{'} B

(định lí ba đường vuông góc).

S A \subset (S A B)

S A ⊥ C B

(vì

S A ⊥ (A B C)

)

\Rightarrow S A ⊥ C^{'} B

.
Đường thẳng

C^{'} B

nằm trong

(S A B)

lại vuông góc với hai đường cắt nhau

S A

A B

của chính mặt phẳng đó: vô lí

\Rightarrow C^{'} \equiv B

\Rightarrow S B C \mapsto

đoạn

S B

Vậy hình chiếu của $S$ trên $(A B C)$ là $A$ ; của tam giác $S B C$ trên $(A B C)$ là tam giác $A B C$ , trên $(S A B)$ là đoạn thẳng $S B$ .

Nhận xét. Cách 2 dài hơn nhưng luyện kĩ năng dùng định lí ba đường vuông góc theo chiều 'từ đường thẳng xuống hình chiếu'.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Dùng Cách 1: chứng minh

B C ⊥ (S A B)

là thấy ngay

C

chiếu về

B

Đáp số. a)

A

; b) tam giác

A B C

; c) đoạn thẳng

S B

(tam giác suy biến).

Sai lầm thường gặp. Sai lầm thường gặp ở c): trả lời 'tam giác

S A B

' vì nghĩ

C

chiếu về

A

. Thực ra

C A

không vuông góc với

(S A B)

(

C A

không vuông góc với

A B

vì góc vuông ở

B

), đường vuông góc từ

C

là

C B

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác

A B C

vuông tại

A

(thay vì tại

B

) thì hình chiếu của tam giác

S B C

trên

(S A B)

là gì? (Khi đó

C A ⊥ (S A B)

, hình chiếu là tam giác

S B A

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 7.11★★Trang 42— Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; hình chiếu của đường thẳng

Bài 7.11 (trang 42). Cho hình chóp

S . A B C D

có đáy là hình vuông

A B C D

cạnh

a

S A ⊥ (A B C D)

và

S A = a 2

.
a) Tính góc giữa

S C

và mặt phẳng

(A B C D)

.
b) Tính góc giữa

B D

và mặt phẳng

(S A C)

.
c) Tìm hình chiếu của

S B

trên mặt phẳng

(S A C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu $a ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ bằng $9 0^{\circ}$ ; nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ là góc giữa $a$ và hình chiếu $a^{'}$ của nó trên $(P)$ ; luôn có $0^{\circ} \leq α \leq 9 0^{\circ}$ .
Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ cộng góc giữa $a$ và $Δ$ bằng $9 0^{\circ}$ .
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Hình vuông cạnh $a$ có đường chéo $a 2$ , hai đường chéo vuông góc tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

S A ⊥ (A B C D)

cho sẵn hình chiếu của

S

là

A

, nên hình chiếu của

S C

là

A C

và góc cần tìm là

S C A

. Với

(S A C)

thì đường chéo

B D

vừa vuông góc

A C

(hình vuông) vừa vuông góc

S A

nên

B D ⊥ (S A C)

— câu b) và c) cùng dùng điều này. Bẫy: ở b) tìm hình chiếu của

B D

rồi tính góc, trong khi

B D

vuông góc với mặt phẳng nên góc là

9 0^{\circ}

ngay.

1Cách 1. Hình chiếu và tam giác vuông cân

Định hướng. Xác định hình chiếu của $S C$ trên đáy, xét tam giác $S A C$ ; chứng minh $B D ⊥ (S A C)$ cho b), c).

S A ⊥ (A B C D) \Rightarrow

hình chiếu của

S C

trên

(A B C D)

là

A C

\Rightarrow (S C, (A B C D)) = S C A

A C = a 2 = S A

△ S A C

vuông tại

A

\Rightarrow △ S A C

vuông cân

\Rightarrow S C A = 4 5^{\circ}

.
b)

B D ⊥ A C

(hình vuông),

B D ⊥ S A

(vì

S A ⊥ (A B C D)

A C \cap S A = A

\Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow (B D, (S A C)) = 9 0^{\circ}

.
c) Gọi

O = A C \cap B D

B O ⊥ (S A C)

\Rightarrow

hình chiếu của

B

là

O

;

S \in (S A C)

\Rightarrow

hình chiếu của

S B

trên

(S A C)

là đường thẳng

S O

Vậy a) $4 5^{\circ}$ ; b) $9 0^{\circ}$ ; c) đường thẳng $S O$ ( $O$ là tâm hình vuông).

2Cách 2. Tính sin qua đường vuông góc hạ từ

S

Định hướng. Góc giữa $S C$ và đáy có sin bằng tỉ số giữa đoạn vuông góc $S A$ và đoạn xiên $S C$ .

S C^{2} = S A^{2} + A C^{2} = 2 a^{2} + 2 a^{2} = 4 a^{2} \Rightarrow S C = 2 a

sin (S C, (A B C D)) = \frac{S A}{S C} = \frac{a 2}{2 a} = \frac{2}{2}

\Rightarrow

góc bằng

4 5^{\circ}

.
b)

B O ⊥ (S A C)

(như Cách 1)

\Rightarrow sin (B D, (S A C)) = \frac{B O}{B O} = 1

\Rightarrow

góc bằng

9 0^{\circ}

.
c) Hình chiếu của

S B

là

S O

Vậy góc a) $4 5^{\circ}$ , góc b) $9 0^{\circ}$ , hình chiếu c) là $S O$ .

3Cách 3. Phần bù với đường vuông góc

S A

Định hướng. $S A ⊥ (A B C D)$ nên góc giữa $S C$ và $(A B C D)$ bằng $9 0^{\circ}$ trừ góc giữa $S C$ và $S A$ (kết quả mục Khám phá).

(S C, (A B C D)) = 9 0^{\circ} - (S C, S A) = 9 0^{\circ} - A S C

tan A S C = \frac{A C}{S A} = \frac{a 2}{a 2} = 1 \Rightarrow A S C = 4 5^{\circ}

\Rightarrow (S C, (A B C D)) = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ}

.
b)

B D ⊥ (S A C)

(như Cách 1) nên chính

B D

là một đường vuông góc với

(S A C)

; góc giữa

B D

và nó bằng

0^{\circ}

\Rightarrow (B D, (S A C)) = 9 0^{\circ} - 0^{\circ} = 9 0^{\circ}

.
c) Hình chiếu của

S B

là

S O

Vậy các góc lần lượt là $4 5^{\circ}$ , $9 0^{\circ}$ và hình chiếu của $S B$ trên $(S A C)$ là $S O$ .

Nhận xét. Ở bài này $S A = A C$ nên cả ba cách đều gặp tam giác vuông cân; Cách 3 hữu ích khi góc với đường vuông góc dễ tính hơn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay tam giác

S A C

vuông cân nên không cần tính

S C

Đáp số. a)

4 5^{\circ}

; b)

9 0^{\circ}

; c) đường thẳng

S O

với

O = A C \cap B D

Sai lầm thường gặp. Sai lầm hay gặp ở a): lấy góc

S C B

hoặc

S C D

(góc giữa

S C

và một cạnh đáy) — đó không phải góc với mặt phẳng; phải là góc với HÌNH CHIẾU

A C

. Ở c) hay nhầm hình chiếu của

B

là

A

hoặc

C

🚀 Mở rộng. Tổng quát: với

S A = h

, cạnh đáy

a

thì

tan (S C, (A B C D)) = \frac{h}{a 2}

; góc bằng

4 5^{\circ}

khi và chỉ khi

h = a 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Bài 7.12★★★Trang 42— Hình chiếu của điểm lên mặt bên; góc giữa cạnh bên và đáy

Bài 7.12 (trang 42). Cho hình chóp

S . A B C

có

S A ⊥ (A B C)

, tam giác

A B C

vuông tại

B

S A = A B = B C = a

.
a) Xác định hình chiếu của

A

trên mặt phẳng

(S B C)

.
b) Tính góc giữa

S C

và mặt phẳng

(A B C)

Kiến thức cần nhớ

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
Nếu $a ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ bằng $9 0^{\circ}$ ; nếu $a$ không vuông góc với $(P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ là góc giữa $a$ và hình chiếu $a^{'}$ của nó trên $(P)$ ; luôn có $0^{\circ} \leq α \leq 9 0^{\circ}$ .
Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Nếu $Δ ⊥ (P)$ thì góc giữa $a$ và $(P)$ cộng góc giữa $a$ và $Δ$ bằng $9 0^{\circ}$ .
Tam giác cân: đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao.

🧠 Phân tích tư duy

Muốn chiếu

A

lên

(S B C)

phải tìm một đường qua

A

vuông góc với hai đường cắt nhau của

(S B C)

. Vì

B C ⊥ (S A B)

nên mọi đường trong

(S A B)

đều vuông góc

B C

— chỉ cần thêm vuông góc với

S B

: đó là đường cao

A H

của tam giác

S A B

, và vì

S A = A B

nên

H

là trung điểm

S B

. Câu b) là góc

S C A

quen thuộc.

1Cách 1. Chứng minh

A H ⊥ (S B C)

rồi dùng hình chiếu

A C

Định hướng. Dựng đường cao $A H$ của tam giác $S A B$ ; câu b) xét tam giác vuông $S A C$ .

B C ⊥ A B

B C ⊥ S A

\Rightarrow B C ⊥ (S A B)

.
Kẻ

A H ⊥ S B

(

H \in S B

);

A H \subset (S A B) \Rightarrow A H ⊥ B C

A H ⊥ S B

A H ⊥ B C

S B \cap B C = B

\Rightarrow A H ⊥ (S B C)

S A = A B = a \Rightarrow △ S A B

vuông cân tại

A

\Rightarrow H

là trung điểm

S B

.
b)

A C

là hình chiếu của

S C

trên

(A B C)

\Rightarrow (S C, (A B C)) = S C A

A C = A B^{2} + B C^{2} = a 2

;

tan S C A = \frac{S A}{A C} = \frac{a}{a 2} = \frac{2}{2}

\Rightarrow S C A \approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}

Vậy a) hình chiếu của $A$ trên $(S B C)$ là trung điểm $H$ của $S B$ ; b) góc giữa $S C$ và $(A B C)$ bằng $S C A$ với $tan S C A = \frac{2}{2}$ , xấp xỉ $3 5^{\circ} 1 6^{'}$ .

2Cách 2. Trung điểm trước, vuông góc sau; sin cho câu b)

Định hướng. Lấy luôn $H$ là trung điểm $S B$ rồi kiểm tra $A H$ vuông góc với hai cạnh của $(S B C)$ ; câu b) tính $sin$ qua $S C$ .

H

là trung điểm

S B

;

△ S A B

cân tại

A

\Rightarrow A H ⊥ S B

B C ⊥ (S A B)

(như Cách 1)

\Rightarrow B C ⊥ A H

\Rightarrow A H ⊥ (S B C)

H \in (S B C)

.
b)

S C = S A^{2} + A C^{2} = a^{2} + 2 a^{2} = a 3

sin S C A = \frac{S A}{S C} = \frac{a}{a 3} = \frac{3}{3} \Rightarrow S C A \approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}

Vậy $H$ là trung điểm $S B$ và góc cần tìm xấp xỉ $3 5^{\circ} 1 6^{'}$ .

3Cách 3. Phần bù với đường vuông góc

S A

Định hướng. $S A ⊥ (A B C)$ nên góc giữa $S C$ và $(A B C)$ bằng $9 0^{\circ} - A S C$ .

a) như Cách 1.
b)

tan A S C = \frac{A C}{S A} = \frac{a 2}{a} = 2

\Rightarrow A S C \approx 5 4^{\circ} 4 4^{'}

(S C, (A B C)) = 9 0^{\circ} - A S C \approx 9 0^{\circ} - 5 4^{\circ} 4 4^{'} = 3 5^{\circ} 1 6^{'}

Vậy góc giữa $S C$ và $(A B C)$ xấp xỉ $3 5^{\circ} 1 6^{'}$ (chính xác: $tan = \frac{2}{2}$ ).

Nhận xét. Ba tỉ số $tan = \frac{2}{2}$ , $sin = \frac{3}{3}$ , $cot$ của góc phụ $= \frac{2}{2}$ cùng cho một góc — dùng máy tính: $tan^{- 1} (2 : 2) \approx 35, 2 6^{\circ}$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: câu a) là mẫu 'chiếu điểm lên mặt bên' dùng rất nhiều, câu b) tính

tan

chỉ cần

A C

Đáp số. a) Trung điểm

H

của

S B

; b) góc

S C A

với

tan S C A = \frac{2}{2}

S C A \approx 3 5^{\circ} 1 6^{'}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm phổ biến ở a): kết luận

A H ⊥ (S B C)

chỉ từ

A H ⊥ S B

— thiếu

A H ⊥ B C

. Ở b) tính

tan S C A = \frac{S A}{B C} = 1

(lấy nhầm

B C

thay cho

A C

) nên ra

4 5^{\circ}

— sai.

🚀 Mở rộng. Với

S A = h

A B = B C = a

: hình chiếu của

A

trên

(S B C)

là chân đường cao

H

trên

S B

với

\frac{S H}{H B} = \frac{h ^{2}}{a ^{2}}

;

H

là trung điểm khi và chỉ khi

h = a

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Bài 7.13★★Trang 43— Quan hệ đường xiên – hình chiếu trong không gian

Bài 7.13 (trang 43). Cho điểm

S

nằm ngoài mặt phẳng

(P)

, có hình chiếu

H

trên

(P)

. Với mỗi điểm

M

bất kì (không trùng

H

) trên mặt phẳng

(P)

, ta gọi đoạn thẳng

S M

là đường xiên, đoạn thẳng

H M

là hình chiếu trên

(P)

của đường xiên đó. Chứng minh rằng:
a) Hai đường xiên

S M

và

S M^{'}

bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu

H M

H M^{'}

tương ứng của chúng bằng nhau;
b) Đường xiên

S M

lớn hơn đường xiên

S M^{'}

nếu hình chiếu

H M

lớn hơn hình chiếu

H M^{'}

Kiến thức cần nhớ

Phép chiếu song song lên mặt phẳng $(P)$ theo phương $Δ$ vuông góc với $(P)$ gọi là phép chiếu vuông góc lên $(P)$ ; nó có mọi tính chất của phép chiếu song song.
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.
Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau; có cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau thì bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

S H ⊥ (P)

nên mọi tam giác

S H M

đều vuông tại

H

với cạnh góc vuông chung

S H

— độ dài đường xiên được quyết định hoàn toàn bởi hình chiếu qua định lí Pythagore. Đây là bản không gian của quan hệ đường xiên – hình chiếu lớp 7. Bẫy:

M

M^{'}

nằm trên hai mặt phẳng khác nhau qua

S H

nên không áp dụng thẳng kết quả lớp 7 được.

1Cách 1. Định lí Pythagore

Định hướng. Viết $S M^{2}$ , $S M^{'2}$ qua $S H$ chung rồi so sánh.

S H ⊥ (P) \Rightarrow S H ⊥ H M

S H ⊥ H M^{'}

S M^{2} = S H^{2} + H M^{2}

S M^{'2} = S H^{2} + H M^{'2}

\Rightarrow S M^{2} - S M^{'2} = H M^{2} - H M^{'2}

.
a)

S M = S M^{'} \Leftrightarrow S M^{2} - S M^{'2} = 0 \Leftrightarrow H M^{2} - H M^{'2} = 0 \Leftrightarrow H M = H M^{'}

.
b)

H M > H M^{'} \Rightarrow H M^{2} - H M^{'2} > 0 \Rightarrow S M^{2} > S M^{'2} \Rightarrow S M > S M^{'}

Vậy a) $S M = S M^{'} \Leftrightarrow H M = H M^{'}$ ; b) $H M > H M^{'} \Rightarrow S M > S M^{'}$ .

2Cách 2. Tam giác vuông bằng nhau và xoay về cùng một mặt phẳng

Định hướng. Câu a) dùng các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông; câu b) đưa $M^{'}$ về tia $H M$ để dùng quan hệ đường xiên – hình chiếu trong một mặt phẳng.

H M = H M^{'}

△ S H M = △ S H M^{'}

(hai cạnh góc vuông)

\Rightarrow S M = S M^{'}

S M = S M^{'}

△ S H M = △ S H M^{'}

(cạnh huyền – cạnh góc vuông

S H

)

\Rightarrow H M = H M^{'}

.
b) Trên tia

H M

lấy

N

với

H N = H M^{'}

\Rightarrow S N = S M^{'}

(theo a) và

N

nằm giữa

H

M

.
Trong mặt phẳng

(S H M)

S N M = 9 0^{\circ} + H S N > 9 0^{\circ}

(góc ngoài

△ S H N

)

\Rightarrow

trong

△ S N M

cạnh

S M

đối diện góc tù.

\Rightarrow S M > S N = S M^{'}

Vậy hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu bằng nhau, và hình chiếu lớn hơn thì đường xiên lớn hơn.

3Cách 3. So sánh góc giữa đường xiên và mặt phẳng

Định hướng. Độ dài đường xiên $S M = \frac{S H}{sin S M H}$ ; hình chiếu càng dài thì góc với $(P)$ càng nhỏ.

tan S M H = \frac{S H}{H M}

tan S M^{'} H = \frac{S H}{H M ^{'}}

(các góc nhọn).

H M > H M^{'} \Rightarrow tan S M H < tan S M^{'} H \Rightarrow S M H < S M^{'} H

\Rightarrow sin S M H < sin S M^{'} H

\Rightarrow S M = \frac{S H}{sin S M H} > \frac{S H}{sin S M ^{'} H} = S M^{'}

H M = H M^{'} \Leftrightarrow S M H = S M^{'} H \Leftrightarrow S M = S M^{'}

Vậy các khẳng định a), b) đều đúng.

Nhận xét. Cách 3 thêm một ý hình học: đường xiên càng dài thì càng 'nằm nghiêng' (tạo với $(P)$ góc càng nhỏ).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một đẳng thức

S M^{2} - S M^{'2} = H M^{2} - H M^{'2}

giải quyết cả hai câu.

Đáp số. Luôn có

S M^{2} - S M^{'2} = H M^{2} - H M^{'2}

, nên

S M = S M^{'} \Leftrightarrow H M = H M^{'}

và

H M > H M^{'} \Rightarrow S M > S M^{'}

Sai lầm thường gặp. Sai lầm: ở b) áp ngay 'quan hệ đường xiên – hình chiếu lớp 7' dù

S, H, M, M^{'}

không cùng nằm trong một mặt phẳng; phải xoay

M^{'}

về tia

H M

(Cách 2) hoặc dùng Pythagore (Cách 1). Cũng đừng quên chiều đảo trong câu a) ('khi và chỉ khi' cần chứng minh hai chiều).

🚀 Mở rộng. Hệ quả: đoạn vuông góc

S H

ngắn hơn mọi đường xiên; tập hợp các điểm

M \in (P)

có

S M = r

(với

r > S H

) là đường tròn tâm

H

, bán kính

r^{2} - S H^{2}

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 7.14★★Trang 43— Ứng dụng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.14 (trang 43). Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cất cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cánh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cánh. Hai máy bay cất cánh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong

5

phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là

1 0^{\circ}

1 5^{\circ}

. Hỏi sau

1

phút kể từ khi cất cánh, máy bay nào ở độ cao so với mặt đất (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?
Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .
Trên $(0^{\circ}; 9 0^{\circ})$ , góc càng lớn thì $sin$ càng lớn.

🧠 Phân tích tư duy

Cùng vận tốc, cùng thời gian nên hai máy bay đi được cùng quãng đường

s

; độ cao là cạnh đối diện góc cất cánh trong tam giác vuông với cạnh huyền

s

h = s sin α

. So sánh độ cao quy về so sánh

sin 1 0^{\circ}

và

sin 1 5^{\circ}

. Bẫy: nghĩ phải biết vận tốc cụ thể mới trả lời được.

1Cách 1. Công thức độ cao

h = s sin α

Định hướng. Gọi $v$ là độ lớn vận tốc chung, $s = v \cdot \frac{1}{60}$ là quãng đường mỗi máy bay đi được sau $1$ phút.

Máy bay góc

1 0^{\circ}

: cất cánh tại

O_{1}

, sau 1 phút ở

B

, hình chiếu

K

△ O_{1} B K

vuông tại

K

B O_{1} K = 1 0^{\circ}

h_{1} = B K = s sin 1 0^{\circ}

.
Máy bay góc

1 5^{\circ}

: tương tự

h_{2} = A H = s sin 1 5^{\circ}

1 0^{\circ} < 1 5^{\circ} < 9 0^{\circ} \Rightarrow sin 1 0^{\circ} < sin 1 5^{\circ} \Rightarrow h_{1} < h_{2}

Vậy sau 1 phút, máy bay cất cánh với góc $1 5^{\circ}$ ở độ cao lớn hơn.

2Cách 2. Tỉ số hai độ cao

Định hướng. Không cần biết vận tốc: lập tỉ số hai độ cao, quãng đường chung sẽ triệt tiêu.

\frac{h _{2}}{h _{1}} = \frac{s sin 1 5 ^{\circ}}{s sin 1 0 ^{\circ}} = \frac{sin 1 5 ^{\circ}}{sin 1 0 ^{\circ}}

\frac{h _{2}}{h _{1}} \approx \frac{0 , 2588}{0 , 1736} \approx 1, 49 > 1

Vậy máy bay góc $1 5^{\circ}$ cao hơn, cao gấp khoảng $1, 49$ lần máy bay góc $1 0^{\circ}$ .

3Cách 3. Đặt hai đường bay trên cùng một hình

Định hướng. Cho hai máy bay cùng xuất phát tại $O$ , đường bay nằm trong cùng mặt phẳng thẳng đứng (vẽ về hai phía như hình); $O A = O B = s$ .

A

B

cùng nằm trên nửa đường tròn tâm

O

, bán kính

s

, phía trên mặt đất.
Độ cao

A H

B K

là khoảng cách từ

A

B

đến đường kính nằm trên mặt đất.
Điểm trên nửa đường tròn càng xa mặt đất khi góc ở tâm tính từ mặt đất càng lớn (cho tới

9 0^{\circ}

A O H = 1 5^{\circ} > B O K = 1 0^{\circ} \Rightarrow A H > B K

Vậy máy bay có góc cất cánh $1 5^{\circ}$ ở độ cao lớn hơn.

Nhận xét. Kết luận không phụ thuộc vận tốc chung, cũng không phụ thuộc thời điểm (miễn còn trong 5 phút đầu).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: viết

h = s sin α

rồi so sánh hai giá trị sin.

Đáp số. Máy bay có góc cất cánh

1 5^{\circ}

ở độ cao lớn hơn (cao gấp khoảng

1, 49

lần).

Sai lầm thường gặp. Hay dùng

h = s tan α

(nhầm

s

là quãng đường nằm ngang

O H

) hoặc

h = s cos α

— đều sai vì

s

là cạnh HUYỀN (đường bay). Kết luận vẫn đúng với

tan

nhưng giá trị độ cao sai.

🚀 Mở rộng. Nếu vận tốc là

300

km/h thì sau 1 phút (

s = 5

km) hai độ cao là

5 sin 1 0^{\circ} \approx 0, 87

km và

5 sin 1 5^{\circ} \approx 1, 29

km; muốn máy bay góc

1 0^{\circ}

bắt kịp độ cao thì phải bay nhanh hơn khoảng

1, 49

lần.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 7.15★★Trang 43— Thiết kế cách đo góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài 7.15 (trang 43). Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.
Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.

Kiến thức cần nhớ

Nếu $H$ là hình chiếu của $A$ trên $(P)$ và $O \in (P)$ , $O \neq = H$ thì góc giữa đường thẳng $A O$ và $(P)$ bằng $A O H$ .
Trong tam giác $A B C$ vuông tại $A$ : $sin B = \frac{A C}{B C}$ , $cos B = \frac{A B}{B C}$ , $tan B = \frac{A C}{A B}$ .
Dây dọi cho phương thẳng đứng, vuông góc với mặt phẳng nằm ngang.

🧠 Phân tích tư duy

Không thể nhìn thẳng vào Mặt Trời, nên phải đo gián tiếp qua bóng: dựng một cọc thẳng đứng

A B

thì bóng

B C

chính là hình chiếu của tia nắng qua đỉnh cọc, và góc cần đo là

A C B

của tam giác vuông

A B C

. Bẫy: cọc phải thẳng đứng thật (dùng dây dọi) và mặt đất phải nằm ngang, nếu không

B C

không còn là hình chiếu vuông góc.

1Cách 1. Đo bóng cọc và dùng tang

Định hướng. Tia nắng qua đỉnh $A$ của cọc chạm đất tại $C$ (đầu bóng); $B C$ là hình chiếu của $A C$ .

Dựng cọc

A B

thẳng đứng (kiểm bằng dây dọi) trên nền phẳng nằm ngang.
Tại thời điểm cần đo, đánh dấu đầu bóng

C

; đo

A B

và

B C

A B ⊥ B C \Rightarrow

góc cần đo

φ = A C B

tan φ = \frac{A B}{B C}

.
Ví dụ:

A B = 1

B C = 0, 58

\Rightarrow tan φ \approx 1, 724 \Rightarrow φ \approx 6 0^{\circ}

Vậy góc giữa tia nắng và mặt phẳng nằm ngang là $φ$ với $tan φ = \frac{A B}{B C}$ (chiều cao cọc chia độ dài bóng).

2Cách 2. Đo dọc tia nắng và dùng sin

Định hướng. Căng một sợi dây từ đỉnh cọc $A$ tới đầu bóng $C$ — sợi dây nằm đúng trên tia nắng.

Dựng cọc và đánh dấu

C

như Cách 1; căng dây

A C

, đo

A C

và

A B

sin φ = \frac{A B}{A C}

.
Ví dụ trên:

A C = 1^{2} + 0, 5 8^{2} \approx 1, 156

\Rightarrow sin φ \approx 0, 865 \Rightarrow φ \approx 6 0^{\circ}

Vậy $sin φ = \frac{A B}{A C}$ , cho cùng kết quả với Cách 1.

3Cách 3. Ống ngắm song song tia nắng

Định hướng. Một ống thẳng hướng đúng theo tia nắng khi bóng của nó thu về một hình tròn nhỏ (tiết diện ống); đo góc nghiêng của ống.

Xoay ống (không nhìn qua ống) cho đến khi bóng của ống trên mặt đất chỉ còn là một vòng tròn nhỏ

\Rightarrow

ống song song với tia nắng.
Treo dây dọi và đặt thước đo góc áp vào ống: đo góc

β

giữa ống và phương thẳng đứng.
Theo mục Khám phá: góc giữa tia nắng và mặt phẳng ngang

φ = 9 0^{\circ} - β

Vậy $φ = 9 0^{\circ} - β$ , với $β$ là góc giữa ống ngắm và dây dọi.

Nhận xét. Cách 3 an toàn cho mắt vì chỉ quan sát bóng; muốn đo góc Mặt Trời thì đo vào lúc giữa trưa, khi bóng cọc ngắn nhất.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Nên dùng Cách 1: chỉ cần một cọc, dây dọi và thước dây — chính là cách các nhà thiên văn cổ đại đo góc Mặt Trời.

Đáp số. Dựng cọc thẳng đứng

A B

, đo bóng

B C

trên mặt phẳng ngang; góc cần đo

φ

thoả

tan φ = \frac{A B}{B C}

(hoặc

sin φ = \frac{A B}{A C}

Sai lầm thường gặp. Lỗi hay gặp: dựng cọc nghiêng hoặc đo trên nền dốc, khi đó

B C

không phải hình chiếu vuông góc của tia nắng và công thức

tan φ = \frac{A B}{B C}

sai. Một lỗi nguy hiểm khác là nhìn thẳng vào Mặt Trời qua ống ngắm — tuyệt đối không làm.

🚀 Mở rộng. Đo góc Mặt Trời lúc giữa trưa ở hai địa điểm cùng kinh tuyến cách nhau quãng đường

d

, ta tính được chu vi Trái Đất — đó là cách Eratosthenes đã làm từ hơn 2 000 năm trước.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 11

📚 Cùng chương: Chương VII. Quan hệ vuông góc trong không gian

Bài 22. Hai đường thẳng vuông góc
Bài 23. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
▶ Bài 24. Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng