Bài 1 · 9.10★★★Trang 52— Ước lượng chu vi tam giác từ độ dài cạnh lớn nhất
Bài 9.10 (trang 52). Cho tam giác có độ dài cạnh lớn nhất bằng cm. Hãy giải thích tại sao chu vi tam giác đó bé hơn cm và lớn hơn cm.
Kiến thức cần nhớ
- Định lí bất đẳng thức tam giác: mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
- Cạnh lớn nhất của một tam giác thì lớn hơn hoặc bằng mọi cạnh khác.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ cho đúng một dữ kiện — cạnh lớn nhất bằng cm — nên phải khai thác đúng vai trò 'lớn nhất' của nó theo hai chiều: nó chặn hai cạnh kia từ trên (đều nhỏ hơn nó), còn chính nó lại bị chặn từ dưới bởi bất đẳng thức tam giác. Bẫy là dễ quên chiều chặn dưới, chỉ chứng minh được chu vi mà bỏ sót chu vi .
1Cách 1. Lập luận trực tiếp hai chiều
Định hướng. Gọi ba cạnh là với là cạnh lớn nhất, rồi chặn chu vi từ trên và từ dưới.
Gọi độ dài ba cạnh tam giác là (cm), trong đó là cạnh lớn nhất.
Vì lớn nhất nên và .
Ta có .
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: .
Suy ra .
Do đó .
Vì lớn nhất nên và .
Ta có .
Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: .
Suy ra .
Do đó .
Vậy chu vi tam giác đó bé hơn cm và lớn hơn cm.
2Cách 2. Phản chứng từng chiều
Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai ở một chiều, chỉ ra ngay mâu thuẫn với chính hai dữ kiện đã có (cạnh lớn nhất , bất đẳng thức tam giác).
Gọi ba cạnh là , là cạnh lớn nhất nên .
Giả sử chu vi , tức là .
Mà và nên , mâu thuẫn với .
Vậy chu vi .
Giả sử chu vi , tức là .
Điều này trái với bất đẳng thức tam giác .
Vậy chu vi .
Giả sử chu vi , tức là .
Mà và nên , mâu thuẫn với .
Vậy chu vi .
Giả sử chu vi , tức là .
Điều này trái với bất đẳng thức tam giác .
Vậy chu vi .
Vậy , tức chu vi bé hơn cm và lớn hơn cm.
Nhận xét. Cách 2 chỉ đổi hướng lập luận sang phản chứng, vẫn dùng đúng hai dữ kiện gốc như Cách 1 nên hai cách chia sẻ chung bản chất; bài không phát sinh cách độc lập thứ ba.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận trực tiếp hai chiều ngắn gọn, không cần dựng giả thiết phản chứng nên khó nhầm dấu hơn.
Đáp số. Chu vi tam giác thoả mãn (cm).
Sai lầm thường gặp. Chỉ chứng minh chiều (từ ) rồi dừng lại, quên hẳn chiều cần dùng thêm bất đẳng thức tam giác ; hoặc lấy nhầm (dấu bằng) trong khi đã là cạnh lớn nhất duy nhất nên phải là khi tam giác không cân tại đỉnh đối cạnh lớn nhất.
🚀 Mở rộng. Nếu cạnh lớn nhất bằng (cm) thay vì , cùng cách làm cho chu vi thoả mãn .
