Bài 1 · 9.10★★★Trang 52— Ước lượng chu vi tam giác từ độ dài cạnh lớn nhất
Bài 9.10 (trang 52). Cho tam giác có độ dài cạnh lớn nhất bằng 4 cm. Hãy giải thích tại sao chu vi tam giác đó bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.
Kiến thức cần nhớ
Định lí bất đẳng thức tam giác: mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
Cạnh lớn nhất của một tam giác thì lớn hơn hoặc bằng mọi cạnh khác.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chỉ cho đúng một dữ kiện — cạnh lớn nhất bằng 4 cm — nên phải khai thác đúng vai trò 'lớn nhất' của nó theo hai chiều: nó chặn hai cạnh kia từ trên (đều nhỏ hơn nó), còn chính nó lại bị chặn từ dưới bởi bất đẳng thức tam giác. Bẫy là dễ quên chiều chặn dưới, chỉ chứng minh được chu vi <12 mà bỏ sót chu vi >8.
1Cách 1. Lập luận trực tiếp hai chiều
Định hướng. Gọi ba cạnh là a,b,c với a=4 là cạnh lớn nhất, rồi chặn chu vi a+b+c từ trên và từ dưới.
Gọi độ dài ba cạnh tam giác là a,b,c (cm), trong đó a=4 là cạnh lớn nhất. Vì a lớn nhất nên b<a=4 và c<a=4. Ta có a+b+c<4+4+4=12. Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác: b+c>a. Suy ra a+b+c>a+a=2a=8. Do đó 8<a+b+c<12.
Vậy chu vi tam giác đó bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.
2Cách 2. Phản chứng từng chiều
Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai ở một chiều, chỉ ra ngay mâu thuẫn với chính hai dữ kiện đã có (cạnh lớn nhất =4, bất đẳng thức tam giác).
Gọi ba cạnh là a,b,c, a=4 là cạnh lớn nhất nên b<4,c<4. Giả sử chu vi a+b+c≥12=3a, tức là b+c≥2a=8. Mà b<4 và c<4 nên b+c<8, mâu thuẫn với b+c≥8. Vậy chu vi <12. Giả sử chu vi a+b+c≤8=2a, tức là b+c≤a. Điều này trái với bất đẳng thức tam giác b+c>a. Vậy chu vi >8.
Vậy8<a+b+c<12, tức chu vi bé hơn 12 cm và lớn hơn 8 cm.
Nhận xét. Cách 2 chỉ đổi hướng lập luận sang phản chứng, vẫn dùng đúng hai dữ kiện gốc như Cách 1 nên hai cách chia sẻ chung bản chất; bài không phát sinh cách độc lập thứ ba.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: lập luận trực tiếp hai chiều ngắn gọn, không cần dựng giả thiết phản chứng nên khó nhầm dấu hơn.
Đáp số.Chu vi tam giác P thoả mãn 8<P<12 (cm).
Sai lầm thường gặp.Chỉ chứng minh chiều P<12 (từ b<4,c<4) rồi dừng lại, quên hẳn chiều P>8 cần dùng thêm bất đẳng thức tam giác b+c>a; hoặc lấy nhầm b≤4,c≤4 (dấu bằng) trong khi a đã là cạnh lớn nhất duy nhất nên phải là b<4,c<4 khi tam giác không cân tại đỉnh đối cạnh lớn nhất.
🚀 Mở rộng.Nếu cạnh lớn nhất bằng k (cm) thay vì 4, cùng cách làm cho chu vi P thoả mãn 2k<P<3k.
Bài 2 · 9.11★★Trang 52— Tìm độ dài cạnh nguyên còn lại của tam giác
Bài 9.11 (trang 52). Tam giác ABC có AB=2 cm, BC=5 cm, AC=b (cm) với b là một số nguyên. Hỏi b có thể bằng bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Nhận xét: nếu a,b,c là ba cạnh một tam giác thì b−c<a<b+c.
🧠 Phân tích tư duy
Biết hai cạnh AB=2, BC=5 và cạnh thứ ba AC=b nguyên — dấu hiệu của dạng tìm khoảng giá trị bằng bất đẳng thức tam giác rồi lọc số nguyên. Bẫy là quên b phải nguyên nên hai đầu mút 3 và 7 không lấy được (bất đẳng thức nghiêm ngặt), dễ nhầm sang 3≤b≤7.
1Cách 1. Dùng thẳng nhận xét hiệu — tổng
Định hướng. Áp dụng ngay nhận xét "hiệu hai cạnh < cạnh còn lại < tổng hai cạnh" cho cặp AB,BC.
Theo bất đẳng thức tam giác: BC−AB<AC<BC+AB. 5−2<b<5+2. 3<b<7. Mà b nguyên nên b∈{4;5;6}.
Vậyb có thể bằng 4, 5 hoặc 6.
2Cách 2. Suy trực tiếp từ hai bất đẳng thức tam giác gốc
Định hướng. Không dùng thẳng công thức nhận xét, mà viết lại hai bất đẳng thức tam giác gốc rồi tự biến đổi ra cận trên, cận dưới.
Trong tam giác ABC: AC<AB+BC nên b<2+5=7. Cũng trong tam giác ABC: BC<AB+AC nên 5<2+b, tức b>3. Kết hợp hai điều trên: 3<b<7. Mà b nguyên nên b∈{4;5;6}.
Vậyb có thể bằng 4, 5 hoặc 6.
3Cách 3. Thử từng số nguyên rồi loại
Định hướng. Với AB=2,BC=5 thì b chỉ có thể nằm quanh 5; thử lần lượt các số nguyên gần đó và kiểm tra bằng bất đẳng thức tam giác.
b=3: 2+3=5, không lớn hơn BC=5 — loại. b=4: 2+4=6>5 và 4+5=9>2 và 2+5=7>4 — nhận. b=5: 2+5=7>5 và các bất đẳng thức còn lại đều đúng — nhận. b=6: 2+6=8>5 và các bất đẳng thức còn lại đều đúng — nhận. b=7: 2+5=7, không lớn hơn b=7 — loại.
Vậyb∈{4;5;6}, khớp hai cách trên.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: một dòng công thức ra ngay khoảng nghiệm, không phải xét lại từng bất đẳng thức tam giác như Cách 2 hay thử từng số như Cách 3.
Đáp số.b∈{4;5;6} (cm).
Sai lầm thường gặp.Lấy khoảng đóng 3≤b≤7 rồi kết luận b∈{3;4;5;6;7}, quên rằng bất đẳng thức tam giác là bất đẳng thức nghiêm ngặt (không có dấu bằng) nên b=3 và b=7 đều làm tam giác suy biến (ba điểm thẳng hàng), phải loại.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi BC từ 5 cm thành n cm (giữ AB=2 cm, n>2), số giá trị nguyên của AC luôn là 3 giá trị liên tiếp quanh n, vì khoảng (n−2;n+2) luôn có độ dài 4 nên chứa đúng 3 số nguyên.
Bài 3 · 9.12★★★Trang 52— Khoảng giá trị cạnh và quan hệ cạnh — góc theo tham số
Bài 9.12 (trang 52). Tam giác ABC có AB=2 cm, BC=3 cm. Đặt CA=b (cm). a) Chứng minh rằng 1<b<5. b) Giả sử rằng với 1<b<5, có tam giác ABC thoả mãn AB=2 cm, BC=3 cm, CA=b (cm). Với mỗi tam giác đó, hãy sắp xếp ba góc A, B, C theo thứ tự từ bé đến lớn.
Kiến thức cần nhớ
Nhận xét: b−c<a<b+c.
Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (Bài 31): cạnh lớn hơn thì đối diện với góc lớn hơn.
🧠 Phân tích tư duy
Câu a) là dạng quen thuộc (nhận xét hiệu — tổng) áp cho AB,BC. Câu b) mới là chỗ khó: b thay đổi trong (1;5) làm thứ tự ba cạnh AB=2,BC=3,CA=b đổi chỗ nhau tại b=2 và b=3, nên phải chia đúng ba khoảng rồi mới dùng quan hệ góc — cạnh đối diện (Bài 31) để suy ra thứ tự góc. Bẫy là quên xét mốc b=2,b=3 (khi đó hai cạnh bằng nhau, hai góc đối diện cũng bằng nhau).
1Cách 1. Dùng thẳng nhận xét cho câu a), chia ba khoảng cho câu b)
Định hướng. Câu a) áp nhận xét hiệu — tổng cho AB,BC; câu b) so sánh CA=b với AB=2 và BC=3 theo ba khoảng rồi suy ra thứ tự góc.
a) Theo bất đẳng thức tam giác: BC−AB<CA<BC+AB. 3−2<b<3+2. 1<b<5 (đpcm). b) Với 1<b≤2: CA=b≤AB=2<BC=3. Theo quan hệ góc — cạnh đối diện: B≤C<A. Với 2<b≤3: AB=2<CA=b≤BC=3. Suy ra C≤B<A. Với 3<b<5: AB=2<BC=3<CA=b. Suy ra C<A<B.
Vậy1<b<5; thứ tự ba góc từ bé đến lớn phụ thuộc b theo ba trường hợp trên.
2Cách 2. Suy câu a) trực tiếp từ hai bất đẳng thức tam giác gốc
Định hướng. Không dùng thẳng công thức nhận xét cho câu a), mà viết lại hai bất đẳng thức tam giác cơ bản rồi tự rút cận trên, cận dưới; câu b) giữ nguyên kỹ thuật so sánh cạnh — góc.
a) Trong tam giác ABC: CA<AB+BC nên b<2+3=5. Cũng trong tam giác ABC: BC<AB+CA nên 3<2+b, tức b>1. Kết hợp: 1<b<5 (đpcm). b) (giống Cách 1) Với 1<b≤2: B≤C<A; với 2<b≤3: C≤B<A; với 3<b<5: C<A<B.
Vậy kết quả trùng Cách 1, chỉ khác cách lập luận cho câu a).
3Cách 3. Xét vị trí suy biến ở hai đầu mút cho câu a)
Định hướng. Hình dung C di chuyển sao cho CA=b thay đổi: khi b chạm hai đầu mút thì A,B,C thẳng hàng (tam giác suy biến), từ đó chỉ ra khoảng mở 1<b<5; câu b) giữ nguyên kỹ thuật so sánh cạnh — góc.
Nếu b=5=AB+BC thì A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C — không còn là tam giác, nên phải có b<5. Nếu b=1=BC−AB thì A,B,C thẳng hàng với A nằm giữa B,C — cũng không còn là tam giác, nên phải có b>1. Do đó 1<b<5 (đpcm). b) (giống Cách 1) chia ba khoảng 1<b≤2, 2<b≤3, 3<b<5 rồi so sánh cạnh suy ra góc.
Vậy kết quả trùng hai cách trên; Cách 3 nhìn bằng hình ảnh suy biến thay vì đại số thuần tuý.
Nhận xét. Ba cách chỉ khác nhau ở cách chứng minh câu a); câu b) bắt buộc dùng đúng một kỹ thuật (so sánh cạnh rồi suy góc theo Bài 31) nên không tách thêm cách cho riêng câu b).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: áp thẳng nhận xét hiệu — tổng cho câu a), nhanh và không phải viết lại hai bất đẳng thức tam giác gốc như Cách 2.
Đáp số.a) 1<b<5. b) 1<b≤2: B≤C<A; 2<b≤3: C≤B<A; 3<b<5: C<A<B.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b), quên xét mốc b=2 và b=3 (khi đó có hai cạnh bằng nhau nên hai góc đối diện bằng nhau, phải dùng dấu ≤), viết nhầm cả ba bất đẳng thức đều là dấu < nghiêm ngặt; hoặc so sánh nhầm cạnh với góc kề thay vì góc đối diện.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi vai trò, giữ BC=3 cố định và cho AB=m thay đổi (CA=3 cố định), lập luận tương tự sẽ cho khoảng 0<m<6 và một cách chia ba khoảng góc tương ứng khác.
Bài 4 · 9.13★★★★Trang 52— Bất đẳng thức tam giác mở rộng cho điểm trong tam giác
Bài 9.13 (trang 52). a) Cho P là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: AB+AC>PB+PC. b) Cho M là một điểm bên trong tam giác ABC. Chứng minh rằng: 2AB+BC+CA<MA+MB+MC<AB+BC+CA.
Kiến thức cần nhớ
Định lí bất đẳng thức tam giác: mỗi cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại.
Kết quả câu a): với P trong tam giác ABC thì AB+AC>PB+PC (áp được cho cả ba đỉnh nhờ tính đối xứng của P).
🧠 Phân tích tư duy
Câu a) không thể áp bất đẳng thức tam giác trực tiếp cho A,P,B,C vì bốn điểm không tạo thành một tam giác — phải dựng thêm điểm phụ N (giao của đường thẳng BP với cạnh AC) để tách AB+AC và PB+PC thành các đoạn nằm gọn trong hai tam giác nhỏ ABN và CPN. Câu b) là bài toán tổng ba khoảng cách từ một điểm trong tam giác đến ba đỉnh — chặn dưới dùng ngay bất đẳng thức tam giác cho ba tam giác nhỏ MAB,MBC,MCA; chặn trên tái sử dụng đúng kết quả câu a) cho cả ba đỉnh.
1Cách 1. Dựng điểm phụ N cho câu a), lặp lại ba lần cho câu b)
Định hướng. Câu a) dựng N = giao điểm đường thẳng BP với AC, tách AB+AC thành hai đoạn nằm trong hai tam giác nhỏ. Câu b) dùng bất đẳng thức tam giác cho ba tam giác MAB,MBC,MCA để chặn dưới, rồi áp lại đúng lập luận câu a) cho từng đỉnh để chặn trên.
a) Lấy N là giao điểm của đường thẳng AC và BP (N nằm giữa A và C vì P ở trong tam giác). AB+AC=AB+(AN+NC)=(AB+AN)+NC. Xét tam giác ABN, theo bất đẳng thức tam giác: AB+AN>BN. Suy ra AB+AC>BN+NC=(BP+PN)+NC=PB+(PN+NC). Xét tam giác CPN, theo bất đẳng thức tam giác: PN+NC>PC. Suy ra AB+AC>PB+PC (đpcm). b) Xét ba tam giác MAB,MBC,MCA, theo bất đẳng thức tam giác: MA+MB>AB,MB+MC>BC,MC+MA>CA. Cộng ba bất đẳng thức: 2(MA+MB+MC)>AB+BC+CA. Suy ra MA+MB+MC>2AB+BC+CA (∗). Áp dụng kết quả câu a) lần lượt cho ba đỉnh A,B,C (với M đóng vai trò điểm trong tam giác): AB+AC>MB+MC; BA+BC>MA+MC; CA+CB>MA+MB. Cộng ba bất đẳng thức: 2(AB+BC+CA)>2(MA+MB+MC). Suy ra MA+MB+MC<AB+BC+CA (∗∗).
Vậy từ (∗) và (∗∗): 2AB+BC+CA<MA+MB+MC<AB+BC+CA.
2Cách 2. Tái sử dụng trực tiếp kết quả câu a) làm bổ đề cho câu b)
Định hướng. Coi câu a) là một bổ đề đã chứng minh xong; ở câu b) chỉ cần gọi lại bổ đề đó ba lần cho chặn trên, không dựng lại điểm phụ N từ đầu — cách trình bày gọn hơn Cách 1.
a) (giống Cách 1) Dựng N= giao điểm của AC và BP, hai lần bất đẳng thức tam giác trong ABN và CPN cho AB+AC>PB+PC (đpcm, bổ đề dùng lại ở câu b). b) Theo bổ đề câu a) (áp cho ba đỉnh A,B,C với điểm trong M): AB+AC>MB+MC; BC+BA>MC+MA; CA+CB>MA+MB. Cộng ba bất đẳng thức trên: 2(AB+BC+CA)>2(MA+MB+MC), tức MA+MB+MC<AB+BC+CA. Riêng chặn dưới vẫn phải làm mới bằng bất đẳng thức tam giác cơ bản cho MAB,MBC,MCA: MA+MB>AB,MB+MC>BC,MC+MA>CA, cộng lại được MA+MB+MC>2AB+BC+CA.
Vậy2AB+BC+CA<MA+MB+MC<AB+BC+CA, đúng như Cách 1.
Nhận xét. Hai cách dùng chung một kỹ thuật dựng điểm phụ duy nhất cho câu a); Cách 2 chỉ gọi lại kết quả đó làm bổ đề thay vì chứng minh lặp lại, không phát sinh cách thứ ba độc lập.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi trình bày theo Cách 2: chứng minh xong câu a) thì đóng khung thành bổ đề rồi gọi lại ba lần ở câu b), tránh phải vẽ lại điểm phụ N ba lần như viết tách rời.
Đáp số.a) AB+AC>PB+PC (đpcm). b) 2AB+BC+CA<MA+MB+MC<AB+BC+CA (đpcm).
Sai lầm thường gặp.Ở câu a), viết thẳng bất đẳng thức tam giác cho "tam giác" A,P,B,C dù bốn điểm này không tạo thành một tam giác (thiếu điểm phụ N) — đây là lỗi logic nặng nhất của bài. Ở câu b), quên chặn dưới (chỉ chứng minh MA+MB+MC<AB+BC+CA mà bỏ sót nửa chu vi), hoặc cộng nhầm ba bất đẳng thức của câu a) mà không kiểm tra mỗi bất đẳng thức đã đúng vai trò từng đỉnh.
🚀 Mở rộng.Bổ đề "MA+MB+MC kẹp giữa nửa chu vi và chu vi tam giác ABC" chính là kết quả tổng quát của Bài 9.13 SGK (trang 69: AD nhỏ hơn nửa chu vi khi D trên cạnh BC) — cùng kỹ thuật cộng hai lần bất đẳng thức tam giác, chỉ khác số đỉnh cần chặn.
