Bài 33. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

Định hướng. Với mỗi bộ, cộng lần lượt từng cặp độ dài rồi so với độ dài còn lại.

Vậy bộ thứ nhất thoả mãn cả ba trường hợp nên ghép được thành tam giác, còn bộ thứ hai có $5+15<25$ nên không ghép được thành tam giác.

Định hướng. Chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất của mỗi bộ với tổng hai độ dài còn lại.

Vậy bộ thứ nhất ghép được thành tam giác, bộ thứ hai không ghép được.

Định hướng. Dùng tính chất: cạnh nhỏ nhất phải lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.

Vậy bộ thứ nhất thoả mãn nên ghép được thành tam giác, bộ thứ hai không thoả mãn nên không ghép được — khớp với hai cách trên.

Nhận xét. Cách 2 là cách nhanh và chắc chắn nhất khi làm bài thi, vì chỉ cần đúng một phép so sánh.

Định hướng. Lần lượt lấy từng thanh, cộng hai thanh còn lại rồi so sánh.

Vậy mỗi thanh đều nhỏ hơn tổng độ dài hai thanh còn lại.

Định hướng. Hoạt động 1 đã cho biết cạnh lớn nhất $25$ nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại; với hai cạnh nhỏ hơn thì bất đẳng thức càng chắc chắn đúng vì tổng vế phải chỉ tăng thêm.

Vậy cả ba trường hợp đều đúng, khớp với Cách 1.

Định hướng. Xét lần lượt tổng hai độ dài rồi so với độ dài còn lại của từng bộ.

Vậy bộ a) không thoả mãn bất đẳng thức tam giác nên không là ba cạnh của một tam giác; bộ b) thoả mãn cả ba trường hợp nên là ba cạnh của một tam giác.

Định hướng. Chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại.

Vậy bộ a) không thể là ba cạnh của tam giác, bộ b) là ba cạnh của một tam giác.

Định hướng. Dùng tính chất cạnh nhỏ nhất lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.

Vậy bộ a) không thoả mãn (vì $2$ không lớn hơn $3$) nên không là ba cạnh của tam giác — khớp Cách 1, 2; bộ b) thoả mãn nên là ba cạnh của một tam giác.

Nhận xét. Với bộ b) ($2$ cm, $3$ cm, $4$ cm), dùng thước và compa dựng được tam giác $ABC$ với $AB=4$ cm, $AC=2$ cm, $BC=3$ cm như hình vẽ.

Định hướng. Xét lần lượt tổng hai độ dài rồi so với độ dài còn lại của từng bộ.

Vậy bộ a) thoả mãn cả ba trường hợp nên là ba cạnh của một tam giác; bộ b) không thoả mãn nên không thể là ba cạnh của một tam giác.

Định hướng. Chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại.

Vậy bộ a) là ba cạnh của một tam giác, bộ b) không thể là ba cạnh của một tam giác.

Định hướng. Dùng tính chất cạnh nhỏ nhất lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.

Vậy bộ a) thoả mãn nên là ba cạnh tam giác — khớp Cách 1, 2; bộ b) không thoả mãn (vì $3$ không lớn hơn $4$) nên không thể là ba cạnh của một tam giác.

Nhận xét. Với bộ a) ($5$ cm, $4$ cm, $6$ cm), dựng được tam giác $ABC$ với $AB=6$ cm, $AC=4$ cm, $BC=5$ cm như hình vẽ.

Định hướng. So sánh tổng độ dài dây khi cột điện đặt tại $C$ trên đoạn $AB$ với khi đặt tại một điểm $C^{\prime }$ bất kì khác đoạn $AB$.

Vậy $A{C}^{\prime }+C^{\prime }B>AB=AC+CB$ với mọi vị trí $C^{\prime }$ khác đoạn $AB$, nên đặt cột điện tại $C$ trên đoạn $AB$ cho tổng độ dài dây ngắn nhất.

Định hướng. Trong mọi đường đi nối hai điểm $A,B$, đoạn thẳng $AB$ là đường ngắn nhất.

Vậy dựng cột điện tại $C$ trên đoạn thẳng $AB$ cho tổng độ dài dây dẫn ngắn nhất.

Định hướng. Giả sử tồn tại một điểm khác đoạn $AB$ cho tổng độ dài dây không lớn hơn khi đặt tại $C$, rồi chỉ ra điều này vô lí.

Vậy không tồn tại vị trí nào ngoài đoạn thẳng $AB$ cho tổng độ dài dây ngắn hơn hoặc bằng khi đặt tại $C$; do đó $C$ trên đoạn $AB$ là vị trí cho tổng độ dài dây ngắn nhất.

Nhận xét. Cách 3 khẳng định chắc chắn hơn vì loại trừ được mọi khả năng khác.

Định hướng. Xét lần lượt tổng hai độ dài rồi so với độ dài còn lại của từng bộ.

Vậy bộ a) không thoả mãn bất đẳng thức tam giác; bộ b), c) đều thoả mãn cả ba trường hợp nên là ba cạnh của tam giác.

Định hướng. Chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai độ dài còn lại.

Vậy bộ a) không thể là ba cạnh của tam giác; bộ b), c) là ba cạnh của tam giác.

Định hướng. Dùng tính chất cạnh nhỏ nhất lớn hơn hiệu hai cạnh còn lại.

Vậy bộ a) không thoả mãn — khớp Cách 1, 2; bộ b), c) thoả mãn nên là ba cạnh của tam giác, dựng được như hình vẽ.

Nhận xét. Bộ a) là trường hợp suy biến ($2+3$ bằng đúng $5$): ba điểm thẳng hàng, không tạo thành tam giác thật sự.

Định hướng. Áp dụng $b-c<a<b+c$ với $a=CA$, $b=BC$, $c=AB$.

Vậy $CA$ là số nguyên nằm giữa $6$ và $8$ nên $CA=7$ cm.

Định hướng. Áp dụng định lí bất đẳng thức tam giác riêng cho cạnh $CA$ và cho cạnh $BC$.

Vậy $6<CA<8$, mà $CA$ nguyên nên $CA=7$ cm.

Định hướng. Thử các số nguyên gần khoảng $6$ đến $8$ rồi kiểm tra lại bằng bất đẳng thức tam giác.

Vậy $CA=7$ cm là giá trị nguyên duy nhất thoả mãn — khớp Cách 1, 2.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì chỉ cần một lần thay số vào công thức có sẵn.

Định hướng. Tìm khoảng của $CA$ theo bất đẳng thức tam giác, sau đó thu hẹp bằng điều kiện $CA\le BC$.

Vậy $4<CA\le 6$, $CA$ nguyên nên $CA\in \{5;6\}$ (cm).

Định hướng. Áp dụng định lí cho từng cạnh rồi kết hợp điều kiện $BC$ lớn nhất.

Vậy $4<CA\le 6$, $CA$ nguyên nên $CA\in \{5;6\}$ (cm).

Định hướng. Thử các số nguyên trong khoảng $4$ đến $8$, kiểm tra cả điều kiện tam giác lẫn điều kiện $BC$ lớn nhất.

Vậy $CA\in \{5;6\}$ (cm) — khớp Cách 1, 2.

Nhận xét. Nếu đề không cho điều kiện '$BC$ là cạnh lớn nhất' thì $CA$ còn nhận thêm giá trị $7$.

Định hướng. Dựng điểm $N$ là giao của đường thẳng $AM$ với cạnh $BC$, rồi áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác $MNB$ và tam giác $ACN$.

Vậy $MA+MB<CA+CB$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Trình bày liền một mạch chuỗi bất đẳng thức bắc cầu qua điểm $N$, không tách riêng từng ý.

Vậy $MA+MB<CA+CB$ (điều phải chứng minh).

Nhận xét. Hai cách cùng dùng một điểm phụ $N$ và hai lần bất đẳng thức tam giác, chỉ khác cách trình bày.

Định hướng. Xét hai tam giác nhỏ $ABD$ và $ACD$ có chung cạnh $AD$, áp dụng bất đẳng thức tam giác cho từng tam giác rồi cộng lại.

Vậy $AD$ nhỏ hơn nửa chu vi tam giác $ABC$ (điều phải chứng minh).

Định hướng. Giả sử điều cần chứng minh sai, rồi chỉ ra mâu thuẫn với chính hai bất đẳng thức tam giác đã dùng ở Cách 1.

Vậy điều giả sử là sai, do đó $AD<\frac{AB+AC+BC}{2}$ (điều phải chứng minh).

Nhận xét. Hai cách dùng chung hai bất đẳng thức tam giác gốc, chỉ khác lối trình bày trực tiếp hay phản chứng.