Bài 1 · Bài 9.21★Trang 55— Tính góc còn lại của tứ giác nội tiếp từ hai góc đã biết
Bài 9.21 (trang 55). Hãy cho biết số đo các góc còn lại của tứ giác nội tiếp ABCD trong mỗi trường hợp sau: a) A=80°,B=120°; b) B=70°,C=110°; c) C=110°,D=60°; d) D=65°,A=130°.
Kiến thức cần nhớ
Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180°.
🧠 Phân tích tư duy
Cùng một dạng với Bài 9.18 (SGK): chỉ cần dùng tính chất hai góc đối của tứ giác nội tiếp có tổng 180°, áp dụng riêng cho từng cặp góc đối trong bốn trường hợp. Dấu hiệu nhận ra ngay là mỗi trường hợp chỉ cho đúng hai góc kề nhau (không phải hai góc đối), nên phép tính luôn độc lập theo từng cặp, không cần giải hệ.
1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức hai góc đối bù nhau
Định hướng. Với mỗi cặp góc kề đã cho, lấy 180° trừ đi để ra góc đối tương ứng.
a) C=180°−A=180°−80°=100°. D=180°−B=180°−120°=60°. b) D=180°−B=180°−70°=110°. A=180°−C=180°−110°=70°. c) A=180°−C=180°−110°=70°. B=180°−D=180°−60°=120°. d) B=180°−A=180°−130°=50°. C=180°−D=180°−65°=115°.
Vậy a) C=100°,D=60°; b) D=110°,A=70°; c) A=70°,B=120°; d) B=50°,C=115°.
2Cách 2. Kiểm tra chéo bằng tổng bốn góc của tứ giác
Định hướng. Sau khi tính, cộng cả bốn góc lại — nếu ra đúng 360° thì kết quả chắc chắn đúng.
a) 80°+120°+100°+60°=360° — khớp. b) 70°+110°+110°+70°=360° — khớp. c) 70°+120°+110°+60°=360° — khớp. d) 130°+50°+115°+65°=360° — khớp.
Vậy cả bốn kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng.
Nhận xét. Cách 2 chỉ là phép kiểm tra chéo, không phải một hướng giải độc lập.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1, luôn kiểm tra nhanh bằng tổng 360° (Cách 2) trước khi chốt đáp số.
Đáp số.a) C=100°,D=60°; b) D=110°,A=70°; c) A=70°,B=120°; d) B=50°,C=115°.
Sai lầm thường gặp.Nhầm góc đối với góc kề — lấy 180° trừ nhầm góc liền kề thay vì góc đối diện (đối với A là C, đối với B là D).
🚀 Mở rộng.Nếu chỉ biết đúng một góc của tứ giác nội tiếp thì không thể suy ra cả ba góc còn lại chỉ bằng tính chất này — cần thêm một góc nữa (kề hoặc đối) như đề đã cho.
Bài 2 · Bài 9.22★★★Trang 55— Tính các góc của tứ giác nội tiếp từ ba góc ở tâm
Bài 9.22 (trang 55). Hãy cho biết số đo các góc của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) trong mỗi trường hợp sau: a) AOB=100°;BOC=120°;COD=70°; b) BOC=110°;COD=70°;DOA=100°.
Kiến thức cần nhớ
Tổng bốn góc ở tâm chắn bốn cung liên tiếp của một đường tròn bằng 360°.
Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
🧠 Phân tích tư duy
Ba góc ở tâm đã cho chỉ ứng với ba trong bốn cung nhỏ AB,BC,CD,DA; góc ở tâm còn lại (cung thứ tư) tính được nhờ tổng bốn góc ở tâm luôn bằng 360°. Sau đó, mỗi góc của tứ giác (góc nội tiếp) bằng nửa tổng hai cung không kề với đỉnh đó — chẳng hạn A chắn cung gồm hai cung BC và CD cộng lại (cung không chứa A).
1Cách 1. Tính cung còn thiếu rồi suy góc nội tiếp
Định hướng. Từ ba góc ở tâm đã cho, tính góc ở tâm (cung) còn lại bằng 360° trừ tổng ba góc kia; rồi mỗi góc của tứ giác bằng nửa tổng hai cung không chứa đỉnh đó.
a) sđDA⌢=360°−AOB−BOC−COD=360°−100°−120°−70°=70°. \widehat{A}=\dfrac{1}{2}\left(sđBC⌢+sđ\overset{\frown}{CD}\right)=\dfrac{1}{2}(120°+70°)=95°. \widehat{B}=\dfrac{1}{2}\left(sđCD⌢+sđ\overset{\frown}{DA}\right)=\dfrac{1}{2}(70°+70°)=70°. \widehat{C}=\dfrac{1}{2}\left(sđDA⌢+sđ\overset{\frown}{AB}\right)=\dfrac{1}{2}(70°+100°)=85°. \widehat{D}=\dfrac{1}{2}\left(sđAB⌢+sđ\overset{\frown}{BC}\right)=\dfrac{1}{2}(100°+120°)=110°. b) sđAB⌢=360°−BOC−COD−DOA=360°−110°−70°−100°=80°. A=21(110°+70°)=90°; B=21(70°+100°)=85°; C=21(100°+80°)=90°; D=21(80°+110°)=95°.
Vậy a) A=95°,B=70°,C=85°,D=110°; b) A=90°,B=85°,C=90°,D=95°.
2Cách 2. Kiểm tra chéo bằng hai góc đối bù nhau
Định hướng. Dùng chính định lí của bài học (hai góc đối tứ giác nội tiếp bù nhau) để kiểm tra lại kết quả ở Cách 1, không cần tính lại từ đầu.
a) A+C=95°+85°=180° — khớp. B+D=70°+110°=180° — khớp. b) A+C=90°+90°=180° — khớp. B+D=85°+95°=180° — khớp.
Vậy mọi kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép kiểm tra 180°.
Nhận xét. Cách 2 là phép kiểm tra chéo dựa trên chính định lí đã học ở đầu bài, không phải một hướng tính toán độc lập với Cách 1 (cả hai đều xuất phát từ quan hệ góc nội tiếp — cung).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 1: tính cung còn thiếu trước, sau đó áp dụng công thức góc nội tiếp bằng nửa tổng hai cung liền kề không chứa đỉnh, rồi luôn kiểm tra nhanh bằng Cách 2.
Đáp số.a) A=95°,B=70°,C=85°,D=110°. b) A=90°,B=85°,C=90°,D=95°.
Sai lầm thường gặp.Nhầm góc ở tâm với góc của tứ giác (tưởng A của tứ giác bằng thẳng một trong ba góc ở tâm đã cho) — thực chất phải cộng đúng hai cung liền kề rồi chia đôi, không được lấy trực tiếp một góc ở tâm làm góc của tứ giác.
🚀 Mở rộng.Bài này là chiều "cho góc ở tâm, tìm góc tứ giác" — ngược với Bài 9.18 (SGK) vốn cho trực tiếp góc của tứ giác; cách làm chung cho cả hai chiều đều quy về ngôn ngữ số đo cung.
Bài 3 · Bài 9.23★★★Trang 55— Tính các góc của tứ giác nội tiếp từ các góc tạo bởi giao điểm hai đường chéo
Bài 9.23 (trang 55). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD, biết rằng AEB=80°;ABE=70° và ECB=50°.
Kiến thức cần nhớ
Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180°.
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Bài 4 · Bài 9.24★★★★Trang 56— Chứng minh công thức góc có đỉnh ngoài và góc có đỉnh trong đường tròn
Bài 9.24 (trang 56). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm K, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm H. Kí hiệu AD⌢ là cung AD không chứa B và BC⌢ là cung BC không chứa A. Chứng minh rằng: a) \widehat{BKC}=\dfrac{1}{2}\left(sđAD⌢−sđ\overset{\frown}{BC}\right); b) \widehat{BHC}=\dfrac{1}{2}\left(sđAD⌢+sđ\overset{\frown}{BC}\right).
Kiến thức cần nhớ
Góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
Góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
Bài 5 · Bài 9.25★★★★Trang 56— Chứng minh hai cặp tam giác đồng dạng và một hệ thức tỉ số từ điểm giao ngoài đường tròn
Bài 9.25 (trang 56). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) sao cho hai tia AB và DC cắt nhau tại điểm I. Chứng minh rằng: a) △IAD∽△ICB; △IAC∽△IDB; b) IDIC=ADAC⋅BDBC.
Kiến thức cần nhớ
Góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong đỉnh đối diện.
Hai tam giác đồng dạng (g.g).
Nhân hai tỉ số đồng dạng để tạo hệ thức tỉ số mới.
Bài 6 · Bài 9.26★★★Trang 56— Chứng minh hai cặp tam giác đồng dạng từ giao điểm hai đường chéo và suy ra hệ thức tỉ số
Bài 9.26 (trang 56). Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm J. Chứng minh rằng: a) △JAD∽△JBC; △JAB∽△JDC; b) JCJA=BCBA⋅DCDA.
Kiến thức cần nhớ
Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.
Bài 7 · Bài 9.27★★★Trang 56— Chứng minh ba mệnh đề về điều kiện để các tứ giác đặc biệt nội tiếp được đường tròn
Bài 9.27 (trang 56). Chứng minh rằng: a) Nếu một hình bình hành nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình chữ nhật; b) Nếu một hình thoi nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình vuông; c) Nếu một hình thang nội tiếp một đường tròn thì hình đó phải là hình thang cân.
Kiến thức cần nhớ
Hình bình hành nội tiếp đường tròn là hình chữ nhật (câu a).
Hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau là hình vuông.
Hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân (câu c).
Bài 8 · Bài 9.28★★Trang 56— Chứng minh tứ giác Varignon của hình vuông nội tiếp đường tròn và tính bán kính, chu vi
Bài 9.28 (trang 56). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4 cm. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính, chu vi của đường tròn đó.
Kiến thức cần nhớ
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Hai đường chéo hình vuông vuông góc và bằng nhau.
Hình vuông nội tiếp đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo.
Bài 9 · Bài 9.29★★Trang 56— Tính tổng diện tích các hình viên phân nằm giữa hình vuông nội tiếp và đường tròn
Bài 9.29 (trang 56). Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3 cm và nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.8. Tính tổng diện tích của bốn hình viên phân được giới hạn bởi các cạnh hình vuông (phần tô đậm trong hình).
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình tròn bán kính R là πR2.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a là 2a2 (HĐ5, SGK).
Bài 10 · Bài 9.30★★★Trang 56— Chứng minh tứ giác Varignon của hình thoi là hình chữ nhật nội tiếp và tính bán kính
Bài 9.30 (trang 56). Cho hình thoi ABCD có AC=8 cm, BD=4 cm. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ nội tiếp một đường tròn và tìm bán kính của đường tròn đó.
Kiến thức cần nhớ
Đường trung bình của tam giác.
Hai đường chéo hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác Varignon của hình thoi bằng nửa cạnh hình thoi (Luyện tập 2, SGK).
Bài 11 · Bài 9.31★★Trang 56— Tính diện tích hình vuông nội tiếp cùng một đường tròn với một hình chữ nhật cho trước
Bài 9.31 (trang 56). Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O) với AB=3 cm; AD=4 cm. Vẽ một hình vuông nội tiếp (O). Tính diện tích của hình vuông đó.
Kiến thức cần nhớ
Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng nửa đường chéo (HĐ4).
Cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn bán kính R bằng R2 (chiều ngược của HĐ5).
Bài 12 · Bài 9.32★★★★Trang 57— Chứng minh hai đường thẳng song song bằng cách so sánh góc đồng vị qua hai tứ giác nội tiếp liên tiếp
Bài 9.32 (trang 57). Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao BE,CF. Một đường tròn (O) đi qua hai điểm E,F và cắt các tia đối của hai tia BF,CE lần lượt tại X và Y. Chứng minh rằng XY song song với BC.
Kiến thức cần nhớ
Góc ngoài của tứ giác nội tiếp bằng góc trong đỉnh đối diện.
Hai góc cùng nhìn một dây từ hai phía khác nhau của đường tròn thì bù nhau.
Hai đường thẳng có cặp góc đồng vị bằng nhau (qua một cát tuyến chung) thì song song.
