Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 29. Tứ giác nội tiếp

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 19 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SGK_Tập2 #trang80–83 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★★Trang 80— Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn nhờ góc vuông nhìn một đoạn thẳng cố định

HĐ1 (trang 80). Cho tứ giác

A B C D

có

A = C = 90°

(H.9.28). Hãy giải thích vì sao bốn đỉnh của tứ giác

A B C D

cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm

O

của đoạn thẳng

B D

Kiến thức cần nhớ

Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.
Định lí Thalès đảo: nếu một điểm nhìn một đoạn thẳng cố định dưới góc $90°$ thì điểm đó nằm trên đường tròn nhận đoạn thẳng đó làm đường kính.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc vuông cùng nhìn chung một đoạn thẳng

B D

— đây đúng là dấu hiệu của định lí Thalès đảo (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Vì cả

A

và

C

đều nhìn

B D

dưới góc

90°

nên cả hai đều phải cách trung điểm

O

của

B D

đúng bằng

\frac{B D}{2}

; không cần biết thêm số đo cạnh nào khác. Bẫy hay gặp là chỉ xét một trong hai tam giác vuông rồi vội kết luận, quên chứng minh riêng cho tam giác vuông còn lại.

1Cách 1. Dùng đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông

Định hướng. Tam giác $A B D$ vuông tại $A$ và tam giác $C B D$ vuông tại $C$ đều nhận $B D$ làm cạnh huyền, nên trung tuyến ứng với cạnh huyền của mỗi tam giác đều bằng nửa cạnh huyền.

Xét tam giác

A B D

vuông tại

A

, gọi

O

là trung điểm

B D

;

A O

là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

B D

nên

A O = \frac{B D}{2}

.
Xét tam giác

C B D

vuông tại

C

C O

là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

B D

nên

C O = \frac{B D}{2}

.
Lại có

O B = O D = \frac{B D}{2}

(vì

O

là trung điểm

B D

).
Do đó

O A = O B = O C = O D = \frac{B D}{2}

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cách đều điểm $O$ nên cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{B D}{2}$ .

2Cách 2. Dùng định lí Thalès đảo (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Định hướng. Một điểm nhìn đoạn thẳng cố định dưới góc vuông thì nằm trên đường tròn đường kính là đoạn thẳng đó — áp dụng trực tiếp cho cả $A$ và $C$ với đoạn $B D$ .

Vì

B A D = 90°

nên

A

nhìn đoạn

B D

dưới một góc vuông, suy ra

A

thuộc đường tròn đường kính

B D

.
Vì

B C D = 90°

nên

C

nhìn đoạn

B D

dưới một góc vuông, suy ra

C

thuộc đường tròn đường kính

B D

.
Đường tròn đường kính

B D

có tâm là trung điểm

O

của

B D

, bán kính

\frac{B D}{2}

, và hiển nhiên chứa cả

B, D

Vậy cả bốn điểm $A, B, C, D$ đều thuộc đường tròn tâm $O$ bán kính $\frac{B D}{2}$ .

3Cách 3. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hệ trục sao cho $B, D$ nằm trên trục hoành, biểu diễn điều kiện góc vuông tại $A$ , $C$ bằng tích vô hướng rồi tính khoảng cách tới trung điểm $O$ .

Đặt

B (0; 0)

D (2 a; 0)

(với

2 a = B D

), khi đó

O (a; 0)

.
Gọi

A (x; y)

; vì

B A D = 90°

nên

A B \cdot A D = 0

, tức

(0 - x) (2 a - x) + (0 - y) (0 - y) = 0 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 a x = 0

O A^{2} = (x - a)^{2} + y^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} = (x^{2} + y^{2} - 2 a x) + a^{2} = 0 + a^{2} = a^{2}

.
Do đó

O A = a = \frac{B D}{2}

.
Hoàn toàn tương tự với

C (u; v)

và

B C D = 90°

ta cũng được

O C = a = \frac{B D}{2}

Vậy $O A = O B = O C = O D = a = \frac{B D}{2}$ , nên bốn điểm cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ .

Nhận xét. Cách 1 và Cách 2 gọn nhất vì dùng ngay kiến thức tam giác vuông đã học; Cách 3 tổng quát hơn, dùng được cả khi đề cho toạ độ cụ thể.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 hoặc Cách 2 (thực chất là một): chỉ cần nhắc tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền là xong hai dòng, không cần dựng toạ độ.

Đáp số.

O A = O B = O C = O D = \frac{B D}{2}

nên

A, B, C, D

cùng thuộc đường tròn tâm

O

(trung điểm

B D

) bán kính

\frac{B D}{2}

Sai lầm thường gặp. Nhiều học sinh chỉ chứng minh cho một trong hai góc vuông (ví dụ chỉ xét

A

) rồi kết luận cả bốn điểm đồng viên — thiếu bước chứng minh riêng cho

C

, trong khi hai tam giác vuông

A B D

và

C B D

là hai tam giác khác nhau, cần lập luận độc lập cho từng tam giác.

🚀 Mở rộng. Tổng quát hoá: mọi điểm

M

nhìn đoạn

B D

cố định dưới góc

90°

đều nằm trên đường tròn đường kính

B D

— đây chính là quỹ tích cơ bản dùng lại nhiều lần ở các bài sau (ví dụ Luyện tập 1, HĐ4 của chính bài này).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · HĐ2★★Trang 80— Chứng minh bốn đường trung trực của tứ giác nội tiếp đồng quy

HĐ2 (trang 80). Trên đường tròn

(O)

, lấy các điểm

A, B, C, D

sao cho

A B C D

là tứ giác lồi (H.9.29). Các đường trung trực của các cạnh

A B, B C, C D, D A

có đồng quy hay không?

Kiến thức cần nhớ

Đường trung trực của một dây cung của đường tròn luôn đi qua tâm đường tròn đó.
Mọi điểm trên đường tròn cách đều tâm một khoảng bằng bán kính.

🧠 Phân tích tư duy

Bốn cạnh

A B, B C, C D, D A

đều là dây cung của cùng một đường tròn

(O)

— dấu hiệu để nghĩ tới tính chất "trung trực của dây cung luôn đi qua tâm". Vì cả bốn cạnh đều là dây của cùng một đường tròn nên cả bốn trung trực đều đi qua cùng một điểm là tâm

O

, không cần dựng hình hay đo đạc gì thêm.

1Cách 1. Dùng tính chất trung trực dây cung đi qua tâm

Định hướng. Cả bốn cạnh đều là dây của $(O)$ nên áp dụng trực tiếp tính chất "trung trực một dây cung đi qua tâm" cho từng cạnh.

Vì

A, B, C, D \in (O)

nên

O A = O B = O C = O D = R

O A = O B

nên

O

thuộc đường trung trực của

A B

O B = O C

nên

O

thuộc đường trung trực của

B C

O C = O D

nên

O

thuộc đường trung trực của

C D

O D = O A

nên

O

thuộc đường trung trực của

D A

Vậy bốn đường trung trực của $A B, B C, C D, D A$ cùng đi qua điểm $O$ , tức chúng đồng quy tại tâm $O$ của đường tròn.

2Cách 2. Dùng tính duy nhất của tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định hướng. Trung trực của $A B$ và $B C$ chắc chắn cắt nhau tại một điểm — điểm đó chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ , mà đường tròn đó chính là $(O)$ đã cho.

Gọi

I

là giao điểm của đường trung trực

A B

và đường trung trực

B C

; khi đó

I A = I B = I C

, tức

I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

.
Vì ba điểm

A, B, C

không thẳng hàng nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

là duy nhất; mà

A, B, C

đã cùng thuộc

(O)

nên đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

chính là

(O)

, suy ra

I \equiv O

.
Vì

D \in (O)

nên

O D = O A

, suy ra

O

cũng thuộc đường trung trực của

D A

; tương tự

O

thuộc đường trung trực của

C D

Vậy cả bốn đường trung trực đều đi qua $O$ , tức đồng quy tại $O$ .

3Cách 3. Dùng vectơ toạ độ

Định hướng. Chọn $O$ làm gốc toạ độ; mọi điểm trên $(O)$ đều có cùng khoảng cách $R$ tới gốc, nên gốc tự động cách đều hai đầu mút của bất kì dây nào.

Chọn hệ trục với gốc tại

O

; vì

A, B, C, D \in (O; R)

nên

∣ O A ∣ = ∣ O B ∣ = ∣ O C ∣ = ∣ O D ∣ = R

.
Do

∣ O A ∣ = ∣ O B ∣

nên

O

cách đều

A, B

, tức

O

thuộc trung trực của

A B

.
Lí luận tương tự cho

B C

C D

D A

Vậy gốc toạ độ $O$ thuộc cả bốn đường trung trực, nên chúng đồng quy tại $O$ .

Nhận xét. Cả ba cách đều quy về cùng một sự thật: tâm của đường tròn ngoại tiếp một tứ giác chính là điểm đồng quy của bốn đường trung trực các cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một dòng "

O A = O B = O C = O D = R

" là suy ra ngay cả bốn trung trực đi qua

O

, không cần lập luận về tính duy nhất.

Đáp số. Có, bốn đường trung trực của

A B, B C, C D, D A

đồng quy tại tâm

O

của đường tròn

(O)

Sai lầm thường gặp. Nhầm tưởng phải dựng hình rồi đo đạc để "thấy" các trung trực cắt nhau tại một điểm — thực ra chỉ cần lập luận bằng tính chất "trung trực dây cung đi qua tâm", không cần vẽ chính xác tuyệt đối mới kết luận được.

🚀 Mở rộng. Đây chính là chiều đảo của HĐ2 dùng ở Thử thách nhỏ 1 (trang 82): nếu biết trước ba đường trung trực của tam giác đồng quy tại một điểm thì điểm đó là tâm đường tròn ngoại tiếp, từ đó suy ngược ra tứ giác nội tiếp.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 1★Trang 80— Nhận biết tứ giác nội tiếp bằng định nghĩa

Ví dụ 1 (trang 80). Trong các hình sau (H.9.30), hình nào vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn?

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác nội tiếp đường tròn $(O)$ là tứ giác có cả bốn đỉnh cùng nằm trên $(O)$ .

🧠 Phân tích tư duy

Định nghĩa tứ giác nội tiếp chỉ đòi hỏi đúng một điều kiện: cả bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn. Dấu hiệu để loại nhanh hai hình sai là nhìn đỉnh thứ tư: nếu đỉnh đó lệch hẳn ra ngoài hoặc lọt hẳn vào trong đường tròn (không chạm vào đường tròn) thì tứ giác không nội tiếp, dù ba đỉnh kia vẫn nằm đúng trên đường tròn.

1Cách 1. Quan sát trực tiếp theo định nghĩa

Định hướng. Với mỗi hình, kiểm tra từng đỉnh có nằm đúng trên đường tròn hay không.

Hình a): ba đỉnh nằm trên đường tròn, đỉnh còn lại nằm ở phía ngoài đường tròn — không phải tứ giác nội tiếp.
Hình b): ba đỉnh nằm trên đường tròn, đỉnh còn lại nằm ở phía trong đường tròn — không phải tứ giác nội tiếp.
Hình c): cả bốn đỉnh đều nằm đúng trên đường tròn — là tứ giác nội tiếp.

Vậy chỉ có hình c) vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn.

2Cách 2. Dùng compa kiểm chứng khoảng cách tới tâm

Định hướng. Đặt mũi compa tại tâm, mở độ mở đúng bằng bán kính (khoảng cách tới ba đỉnh đã thấy nằm trên đường tròn), rồi kiểm tra đỉnh còn lại.

Ở hình a): khoảng cách từ tâm tới đỉnh thứ tư lớn hơn bán kính (đỉnh ở ngoài)

\Rightarrow

không thoả mãn định nghĩa.
Ở hình b): khoảng cách từ tâm tới đỉnh thứ tư nhỏ hơn bán kính (đỉnh ở trong)

\Rightarrow

không thoả mãn định nghĩa.
Ở hình c): khoảng cách từ tâm tới cả bốn đỉnh đều bằng đúng bán kính

\Rightarrow

thoả mãn định nghĩa.

Vậy hình c) là tứ giác nội tiếp; hai hình a), b) không phải.

Nhận xét. Chỉ cần một đỉnh không thuộc đường tròn là đủ để loại cả tứ giác, dù ba đỉnh còn lại vẫn đúng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi chỉ cần nhìn bằng mắt theo Cách 1: đỉnh nào không chạm đường tròn là loại ngay, không cần dùng compa.

Đáp số. Hình c) vẽ một tứ giác nội tiếp một đường tròn; hình a) và hình b) thì không.

Sai lầm thường gặp. Dễ nhầm rằng chỉ cần "gần" đường tròn là được — thực ra định nghĩa đòi hỏi đỉnh phải nằm ĐÚNG trên đường tròn, sai một chút (trong hoặc ngoài) cũng không thoả mãn.

🚀 Mở rộng. Đây là bước khởi động để hiểu HĐ1, HĐ2: muốn dựng một tứ giác nội tiếp thì phải chọn cả bốn đỉnh cùng trên một đường tròn có sẵn, chứ không phải vẽ tứ giác rồi mới đi tìm đường tròn đi qua đúng cả bốn đỉnh (điều này không phải lúc nào cũng làm được).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · HĐ3★★Trang 81— Đo và tính tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp

HĐ3 (trang 81). Em hãy đo các góc đối nhau

A

và

C

của tứ giác

A B C D

trong HĐ2 và tính tổng

A + C

. So sánh kết quả của em với các bạn.

Kiến thức cần nhớ

Góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn (đã học ở Bài 27).
Hai cung mà hai đầu mút chung của chúng là hai điểm cố định trên một dây thì có tổng số đo bằng $360°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề yêu cầu đo đạc thực nghiệm trên một tứ giác nội tiếp cụ thể — dấu hiệu để dự đoán một kết quả không đổi (bất biến) dù tứ giác được vẽ khác đi. Cách an toàn và chính xác hơn việc dùng thước đo góc là dựng toạ độ cụ thể rồi tính bằng vectơ, hoặc dùng ngay số đo cung đã học ở Bài 27 để suy ra kết quả mà không cần đo.

1Cách 1. Dựng toạ độ cụ thể rồi tính bằng vectơ

Định hướng. Chọn một đường tròn cụ thể, đặt bốn điểm $A, B, C, D$ theo đúng thứ tự tứ giác lồi, rồi tính chính xác hai góc $A$ , $C$ bằng công thức góc giữa hai vectơ.

Chọn đường tròn

(O; 5 cm)

, lấy

A, B, C, D

lần lượt ứng với các góc ở tâm

60°, 150°, 250°, 320°

so với một tia gốc.
Tính được

A (2, 50; 4, 33)

B (- 4, 33; 2, 50)

C (- 1, 71; - 4, 70)

D (3, 83; - 3, 21)

(đơn vị cm).
Dùng công thức góc giữa hai vectơ

A D

A B

tại đỉnh

A

, ta tính được

A = D A B \approx 85°

.
Dùng công thức góc giữa hai vectơ

C B

C D

tại đỉnh

C

, ta tính được

C = B C D \approx 95°

.
Tổng:

A + C \approx 85° + 95° = 180°

Vậy với tứ giác nội tiếp cụ thể này, $A + C = 180°$ .

2Cách 2. Đo trực tiếp bằng thước đo góc (thực nghiệm)

Định hướng. Vẽ tứ giác $A B C D$ nội tiếp $(O)$ như Hình 9.29, dùng thước đo góc đo trực tiếp hai góc $A$ , $C$ trên hình đã vẽ.

Đặt thước đo góc tại đỉnh

A

, đọc số đo

A \approx 85°

(sai số vài độ tuỳ nét vẽ).
Đặt thước đo góc tại đỉnh

C

, đọc số đo

C \approx 95°

.
Cộng lại:

A + C \approx 85° + 95° = 180°

.
So sánh với kết quả của các bạn vẽ tứ giác khác: dù hình vẽ khác nhau, tổng đo được luôn xấp xỉ

180°

Vậy mọi bạn trong lớp đều đo được $A + C \approx 180°$ , dù tứ giác vẽ khác nhau.

3Cách 3. Dùng số đo cung (không cần đo bằng thước)

Định hướng. Áp dụng ngay kiến thức góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn (Bài 27) để tính thẳng ra góc $A$ , $C$ mà không cần vẽ hay đo.

Bốn điểm

B, D

chia đường tròn thành hai cung

B C D ⌢

và

B A D ⌢

, có sđ

B C D ⌢

+ sđ

B A D ⌢ = 360°

.
Góc

A

là góc nội tiếp chắn cung

B C D ⌢

(cung không chứa

A

) nên

A = \frac{1}{2}

sđ

B C D ⌢

.
Góc

C

là góc nội tiếp chắn cung

B A D ⌢

(cung không chứa

C

) nên

C = \frac{1}{2}

sđ

B A D ⌢

.
Cộng lại:

\widehat{A}+\widehat{C}=\dfrac{1}{2}\left(

sđ

B C D ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{BAD}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 360°=180°

Vậy luôn có $A + C = 180°$ , đúng cho MỌI tứ giác nội tiếp chứ không riêng ví dụ đã đo.

Nhận xét. Cách 3 cho kết quả tổng quát $180°$ đúng tuyệt đối; Cách 1, Cách 2 chỉ minh hoạ bằng số đo gần đúng trên một hình cụ thể — đây chính là nội dung của định lí sẽ học ngay sau đây.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (hoặc khi cần chắc chắn) dùng Cách 3: suy luận bằng số đo cung cho kết quả đúng tuyệt đối

180°

, không phụ thuộc sai số đo vẽ như Cách 1, Cách 2.

Đáp số.

A + C = 180°

(kết quả không đổi với mọi tứ giác nội tiếp, các bạn trong lớp đo trên hình khác nhau vẫn ra cùng một tổng).

Sai lầm thường gặp. Sai số đo vẽ tay có thể khiến tổng đo được lệch vài độ so với

180°

(ví dụ ra

178°

hoặc

183°

) — đừng vội nghĩ kết luận sai, mà nên hiểu đó là sai số dụng cụ đo, kết quả đúng tuyệt đối luôn là

180°

như Cách 3 đã chứng minh bằng số đo cung.

🚀 Mở rộng. Đây chính là nội dung của Định lí (trang 81): trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau luôn bằng

180°

— kết quả này dùng lại xuyên suốt cả bài (Ví dụ 2, Luyện tập 1, các bài 9.18–9.21).

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Ví dụ 2★★Trang 81— Tính góc của tứ giác nội tiếp và góc tạo bởi hai cạnh kéo dài

Ví dụ 2 (trang 81). Cho tứ giác

A B C D

nội tiếp đường tròn

(O)

như Hình 9.32. Hai đường thẳng

A B

và

D C

cắt nhau tại

X

. Biết rằng

D A B = 70°

A B C = 130°

. Tính số đo của các góc

B C D

và

B X C

Kiến thức cần nhớ

Trong tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180°$ .
Tổng ba góc trong một tam giác bằng $180°$ ; hai góc kề bù có tổng bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai góc kề của tứ giác nội tiếp và hỏi góc đối còn lại — dấu hiệu dùng ngay định lí "tổng hai góc đối bằng

180°

" vừa học ở HĐ3. Góc

B X C

nằm ngoài tứ giác, tại giao điểm của hai cạnh

A B, D C

kéo dài, nên cần thêm một bước: dùng tổng ba góc trong một tam giác chứa đỉnh

X

, hoặc dùng tính chất góc kề bù với các góc của tứ giác.

1Cách 1. Dùng tam giác AXD chứa đỉnh X (như sách trình bày)

Định hướng. Tính $B C D$ và $C D A$ bằng tính chất tứ giác nội tiếp, rồi dùng tổng ba góc của tam giác $A X D$ để ra $B X C$ .

Vì

A B C D

nội tiếp

(O)

nên

D A B + B C D = 180°

B C D = 180° - D A B = 180° - 70° = 110°

.
Tương tự

A B C + C D A = 180°

C D A = 180° - A B C = 180° - 130° = 50°

.
Trong tam giác

A X D

B X C = A X D = 180° - D A B - C D A = 180° - 70° - 50° = 60°

Vậy $B C D = 110°$ và $B X C = 60°$ .

2Cách 2. Dùng tam giác XBC và các góc kề bù

Định hướng. Thay vì đi qua tam giác $A X D$ , tính trực tiếp hai góc $X B C$ , $X C B$ (kề bù với $A B C$ , $B C D$ ) rồi dùng tổng ba góc của tam giác $X B C$ .

B C D = 180° - D A B = 180° - 70° = 110°

(tứ giác nội tiếp, hai góc đối).
Vì

X, B, A

thẳng hàng nên

X B C = 180° - A B C = 180° - 130° = 50°

(hai góc kề bù).
Vì

X, C, D

thẳng hàng nên

X C B = 180° - B C D = 180° - 110° = 70°

(hai góc kề bù).
Trong tam giác

X B C

B X C = 180° - X B C - X C B = 180° - 50° - 70° = 60°

Vậy $B C D = 110°$ , $B X C = 60°$ , trùng khớp với Cách 1.

3Cách 3. Dùng số đo cung (góc có đỉnh ngoài đường tròn)

Định hướng. Đổi hai góc đã cho thành hai cung bị chắn rồi trừ trực tiếp cho nhau — không cần tính từng cung riêng lẻ.

\widehat{DAB}=\dfrac{1}{2}\left(

sđ

B C ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{CD}\right)=70°

nên sđ

B C ⌢ +

sđ

C D ⌢ = 140°

\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}\left(

sđ

C D ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{DA}\right)=130°

nên sđ

C D ⌢ +

sđ

D A ⌢ = 260°

.
Trừ hai đẳng thức:

\left(

sđ

C D ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{DA}\right)-\left(

sđ

B C ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{CD}\right)=260°-140°

.
sđ

D A ⌢ -

sđ

B C ⌢ = 120°

\widehat{BXC}=\dfrac{1}{2}\left(

sđ

D A ⌢ -

sđ

\overset{\frown}{BC}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 120°=60°

(góc có đỉnh

X

ở ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn, cung xa

D A

trừ cung gần

B C

).
Cũng từ đẳng thức đầu:

\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}\left(

sđ

D A ⌢ +

sđ

\overset{\frown}{AB}\right)=180°-\widehat{DAB}=110°

Vậy $B C D = 110°$ , $B X C = 60°$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 chính là công thức tổng quát "góc có đỉnh ngoài đường tròn bằng nửa hiệu hai cung bị chắn", chỉ cần trừ hai đẳng thức mà không cần tính riêng từng cung — sẽ gặp lại ở bài 9.19, 9.24.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: không cần nhớ tam giác nào chứa

X

, chỉ cần "góc kề bù" hai lần rồi cộng góc trong tam giác

X B C

, ít nhầm lẫn hơn Cách 1.

Đáp số.

B C D = 110°

;

B X C = 60°

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến là tính

X B C = A B C = 130°

(quên hai góc này kề bù chứ không bằng nhau), dẫn tới tổng ba góc trong tam giác

X B C

vượt quá

180°

mà không phát hiện ra sai.

🚀 Mở rộng. Nếu thay số đo

70°

130°

bằng hai ẩn

α, β

thì luôn có

B X C = 180° - α - (180° - β) = β - α

khi

β > α

— tức góc ngoài tại giao điểm hai cạnh đối luôn bằng hiệu hai góc kề tương ứng.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 1★★★Trang 81— Chứng minh tứ giác nội tiếp từ hai đường cao và tính góc nhờ tính chất tứ giác nội tiếp

Luyện tập 1 (trang 81). Cho tam giác

A B C

có các đường cao

B E

C F

. Biết rằng

B = 60°

C = 80°

.
a) Chứng tỏ rằng tứ giác

B C E F

nội tiếp một đường tròn có tâm là trung điểm của cạnh

B C

.
b) Tính số đo của các góc

B F E

và

C E F

Kiến thức cần nhớ

Hai góc vuông cùng nhìn một đoạn thẳng cố định thì bốn điểm liên quan cùng thuộc đường tròn đường kính là đoạn thẳng đó (HĐ1).
Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong của đỉnh đối diện.

🧠 Phân tích tư duy

Hai đường cao

B E, C F

tạo ra hai góc vuông

B E C = B F C = 90°

cùng nhìn đoạn

B C

— đúng dấu hiệu của HĐ1 vừa học (hai góc vuông nhìn chung một đoạn thẳng). Sang câu b),

E, F

nằm trên các cạnh

A C, A B

nên các góc

B F E

C E F

kề bù với các góc

A F E

A E F

của tứ giác nội tiếp

A F E C

... thực chất cần dùng tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp

B F E C

bằng góc trong đỉnh đối diện.

1Cách 1. Dùng định lí Thalès đảo cho câu a, góc ngoài tứ giác nội tiếp cho câu b

Định hướng. $E, F$ đều nhìn $B C$ dưới góc vuông nên thuộc đường tròn đường kính $B C$ ; sau đó dùng tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp $B F E C$ để suy ra $A F E = C$ , $A E F = B$ .

a) Vì

B E ⊥ A C

nên

B E C = 90°

, suy ra

E

thuộc đường tròn đường kính

B C

.
Vì

C F ⊥ A B

nên

B F C = 90°

, suy ra

F

thuộc đường tròn đường kính

B C

.
Gọi

O

là trung điểm

B C

; vì

B, C

cũng thuộc đường tròn đường kính

B C

nên cả bốn điểm

B, C, E, F

cùng thuộc đường tròn tâm

O

bán kính

\frac{B C}{2}

, tức tứ giác

B C E F

nội tiếp đường tròn tâm

O

.
b) Vì

B F E C

nội tiếp, góc ngoài tại

F

(là

A F E

, kề bù với

B F E

) bằng góc trong tại đỉnh đối diện

C

A F E = B C A = C = 80°

B F E = 180° - A F E = 180° - 80° = 100°

(vì

A, F, B

thẳng hàng).
Tương tự, góc ngoài tại

E

(là

A E F

) bằng góc trong tại đỉnh đối diện

B

A E F = A B C = B = 60°

C E F = 180° - A E F = 180° - 60° = 120°

(vì

A, E, C

thẳng hàng).

Vậy $B C E F$ nội tiếp đường tròn tâm $O$ (trung điểm $B C$ ); $B F E = 100°$ , $C E F = 120°$ .

2Cách 2. Dùng tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền cho câu a, tổng góc tam giác AEF cho câu b

Định hướng. Thay vì Thalès đảo, dùng trực tiếp "trung tuyến ứng cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền" cho hai tam giác vuông $B E C$ , $B F C$ ; sang câu b) tính góc $A$ trước rồi suy các góc còn lại của tam giác $A E F$ .

a) Gọi

O

là trung điểm

B C

. Tam giác

B E C

vuông tại

E

có

E O

là trung tuyến ứng cạnh huyền nên

E O = \frac{B C}{2}

.
Tam giác

B F C

vuông tại

F

có

F O

là trung tuyến ứng cạnh huyền nên

F O = \frac{B C}{2}

.
Lại có

O B = O C = \frac{B C}{2}

, suy ra

O B = O C = O E = O F

, tức

B, C, E, F

cùng thuộc đường tròn tâm

O

.
b)

A = 180° - B - C = 180° - 60° - 80° = 40°

.
Tứ giác

B F E C

nội tiếp

\Rightarrow A F E = C = 80°

và

A E F = B = 60°

(chứng minh như Cách 1, hoặc kiểm tra lại bằng tổng ba góc tam giác

A E F

A + A F E + A E F = 40° + 80° + 60° = 180°

— khớp).

B F E = 180° - 80° = 100°

;

C E F = 180° - 60° = 120°

Vậy kết quả trùng khớp Cách 1: $B F E = 100°$ , $C E F = 120°$ .

3Cách 3. Dùng toạ độ để tính trực tiếp

Định hướng. Đặt $B, C$ trên trục hoành, dựng $A$ theo đúng hai góc $60°, 80°$ , tính toạ độ chân đường cao $E, F$ rồi đo góc bằng công thức vectơ — cách này không cần nhớ tính chất tứ giác nội tiếp, chỉ cần tính toán thuần tuý.

Đặt

B (0; 0)

C (10; 0)

; vì

B = 60°, C = 80°

nên

A = 40°

, theo định lí sin

A B = \frac{10 sin 80°}{sin 40°} \approx 15, 32

.
Toạ độ

A \approx (7, 66; 13, 27)

(dựng theo tia từ

B

hợp với

B C

góc

60°

).
Chân đường cao từ

B

xuống

A C

E \approx (9, 70; 1, 71)

. Chân đường cao từ

C

xuống

A B

F \approx (2, 50; 4, 33)

.
Tính góc giữa hai vectơ

F B

F E

tại

F

B F E \approx 100°

.
Tính góc giữa hai vectơ

E C

E F

tại

E

C E F \approx 120°

Vậy $B F E = 100°$ , $C E F = 120°$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 1 nhanh nhất vì dùng thẳng tính chất góc ngoài tứ giác nội tiếp; Cách 3 chỉ nên dùng để kiểm tra lại bằng số khi nghi ngờ kết quả.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ hai bước (Thalès đảo cho câu a, góc ngoài tứ giác nội tiếp cho câu b) là ra kết quả, không cần tính toạ độ hay định lí sin.

Đáp số. a)

B C E F

nội tiếp đường tròn tâm

O

là trung điểm

B C

, bán kính

\frac{B C}{2}

. b)

B F E = 100°

;

C E F = 120°

Sai lầm thường gặp. Nhầm

B F E

với

A F E

(tưởng chúng bằng nhau) trong khi

A, F, B

thẳng hàng nên hai góc này kề bù, phải lấy

180°

trừ đi chứ không giữ nguyên

80°

hay

60°

🚀 Mở rộng. Kết quả

A F E = C

A E F = B

chính là tính chất nổi tiếng của "tam giác pedal" (tam giác

A E F

tạo bởi chân hai đường cao luôn đồng dạng với tam giác gốc theo tỉ số

cos A

) — dùng lại ở bài 9.32 (SBT) khi xét thêm đường tròn thứ hai qua

E, F

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Thử thách nhỏ 1★★Trang 82— Chứng minh tứ giác nội tiếp từ tính đồng quy của các đường trung trực

Thử thách nhỏ 1 (trang 82). Cho tứ giác

A B C D

, biết rằng các đường trung trực của ba đoạn thẳng

A B, A C, A D

đồng quy tại một điểm. Hãy giải thích vì sao

A B C D

là tứ giác nội tiếp.

Kiến thức cần nhớ

Mọi điểm thuộc đường trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó (và ngược lại).

🧠 Phân tích tư duy

Đây là chiều đảo của HĐ2: thay vì biết tứ giác nội tiếp rồi suy ra các trung trực đồng quy, bài này cho ba trung trực đồng quy rồi phải suy ngược ra tứ giác nội tiếp. Chìa khoá là tính chất cơ bản nhất của đường trung trực: mọi điểm trên trung trực của một đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn đó.

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất điểm thuộc trung trực cách đều hai đầu mút

Định hướng. Gọi $I$ là điểm đồng quy, áp dụng tính chất trung trực cho từng đoạn $A B, A C, A D$ để có $I A = I B = I C = I D$ .

Gọi

I

là giao điểm chung của ba đường trung trực của

A B, A C, A D

.
Vì

I

thuộc trung trực của

A B

nên

I A = I B

.
Vì

I

thuộc trung trực của

A C

nên

I A = I C

.
Vì

I

thuộc trung trực của

A D

nên

I A = I D

.
Suy ra

I A = I B = I C = I D

Vậy bốn điểm $A, B, C, D$ cùng cách đều điểm $I$ một khoảng $I A$ , nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm $I$ bán kính $I A$ , tức $A B C D$ là tứ giác nội tiếp.

2Cách 2. Lập luận qua đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Định hướng. Trung trực của $A B$ và $A C$ vốn đã xác định duy nhất tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $A B C$ ; chỉ cần chỉ ra $D$ cũng thuộc đường tròn đó nhờ trung trực thứ ba.

Xét tam giác

A B C

(giả sử

A, B, C

không thẳng hàng); giao điểm của trung trực

A B

và trung trực

A C

chính là tâm

I

của đường tròn ngoại tiếp tam giác

A B C

, với

I A = I B = I C = R

.
Theo đề bài, trung trực của

A D

cũng đi qua đúng điểm

I

này (do ba trung trực đồng quy), nên

I D = I A = R

.
Vậy

D

cũng cách

I

một khoảng bằng

R

, tức

D

cũng thuộc đường tròn

(I; R)

Vậy cả bốn điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn $(I; R)$ , nên $A B C D$ nội tiếp đường tròn đó.

Nhận xét. Cách 2 chỉ diễn đạt lại Cách 1 qua ngôn ngữ "đường tròn ngoại tiếp tam giác", giúp thấy rõ vì sao chỉ cần đúng ba trung trực (ứng với tam giác $A B C$ ) là đủ xác định tâm, trung trực thứ tư (của $A D$ ) chỉ có vai trò kiểm tra $D$ có thuộc đường tròn đó hay không.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ngắn gọn nhất, chỉ ba dòng suy ra

I A = I B = I C = I D

là xong, không cần nhắc tới khái niệm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đáp số.

A B C D

là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm

I

(điểm đồng quy của ba trung trực) bán kính

I A

Sai lầm thường gặp. Dễ quên kiểm tra rằng

I

phải cách đều CẢ BỐN điểm — có bạn chỉ dừng ở

I A = I B = I C

(từ hai trung trực

A B, A C

) mà quên dùng trung trực thứ ba của

A D

để đưa

D

vào cùng đường tròn, dẫn tới kết luận thiếu

D

🚀 Mở rộng. Đây chính là mệnh đề đảo của HĐ2: HĐ2 cho tứ giác nội tiếp rồi suy ra trung trực đồng quy tại tâm; Thử thách nhỏ 1 cho trung trực đồng quy rồi suy ngược ra tứ giác nội tiếp — hai chiều của cùng một tính chất.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ4★★Trang 82— Chứng minh hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo

HĐ4 (trang 82). Vẽ hình chữ nhật

A B C D

và giao điểm

M

của hai đường chéo

A C

và

B D

(H.9.33).
a) Hãy giải thích vì sao điểm

M

cách đều bốn đỉnh của hình chữ nhật

A B C D

.
b) Chứng tỏ rằng hình chữ nhật

A B C D

nội tiếp một đường tròn có bán kính bằng nửa đường chéo hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền.

🧠 Phân tích tư duy

Hình chữ nhật có hai tính chất đặc biệt so với hình bình hành thường: hai đường chéo không chỉ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà còn BẰNG NHAU — chính sự bằng nhau này khiến giao điểm

M

cách đều cả bốn đỉnh chứ không chỉ từng cặp đỉnh đối. Câu b) chỉ là phát biểu lại câu a) bằng ngôn ngữ "nội tiếp đường tròn".

1Cách 1. Dùng tính chất hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau

Định hướng. Hình chữ nhật là hình bình hành đặc biệt có thêm hai đường chéo bằng nhau — kết hợp "cắt nhau tại trung điểm" với "bằng nhau" để có ngay bốn đoạn $M A, M B, M C, M D$ bằng nhau.

Vì

A B C D

là hình chữ nhật nên hai đường chéo

A C, B D

cắt nhau tại trung điểm

M

của mỗi đường:

M A = M C = \frac{A C}{2}

và

M B = M D = \frac{B D}{2}

.
Cũng vì

A B C D

là hình chữ nhật nên

A C = B D

(tính chất hai đường chéo hình chữ nhật).
Suy ra

M A = M C = M B = M D = \frac{A C}{2} = \frac{B D}{2}

Vậy $M$ cách đều bốn đỉnh $A, B, C, D$ một khoảng bằng nửa đường chéo.

Nhận xét. b) Vì $M A = M B = M C = M D$ nên bốn đỉnh $A, B, C, D$ cùng thuộc đường tròn tâm $M$ bán kính $\frac{A C}{2} = \frac{B D}{2}$ , tức hình chữ nhật $A B C D$ nội tiếp đường tròn đó — đúng bằng nửa đường chéo như đề yêu cầu chứng tỏ.

2Cách 2. Dùng tam giác vuông và đường trung tuyến ứng cạnh huyền (như HĐ1)

Định hướng. Hình chữ nhật có bốn góc vuông, nên mỗi đỉnh nhìn đường chéo còn lại dưới một góc vuông — áp dụng lại đúng kết quả đã chứng minh ở HĐ1.

Vì

A B C D

là hình chữ nhật nên

B A D = B C D = 90°

, tức

A

và

C

cùng nhìn đoạn

B D

dưới góc vuông.
Theo kết quả đã chứng minh ở HĐ1,

A

và

C

cùng nằm trên đường tròn đường kính

B D

có tâm là trung điểm

M

của

B D

.
Vì

A B C D

là hình bình hành nên

M

cũng là trung điểm của

A C

; kết hợp với

A B C D

là hình chữ nhật có

A C = B D

, nên

M

vừa là trung điểm

B D

vừa là trung điểm

A C

với

M A = M C = M B = M D

Vậy $M$ cách đều bốn đỉnh, và hình chữ nhật $A B C D$ nội tiếp đường tròn tâm $M$ bán kính bằng nửa đường chéo.

3Cách 3. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hình chữ nhật theo hai trục toạ độ với tâm tại gốc, tính trực tiếp khoảng cách từ gốc tới bốn đỉnh.

Đặt

A (- a; - b)

B (a; - b)

C (a; b)

D (- a; b)

với

2 a, 2 b

là hai kích thước hình chữ nhật; khi đó

M

(giao điểm hai đường chéo) trùng gốc toạ độ

O (0; 0)

M A = a^{2} + b^{2}

M B = a^{2} + b^{2}

M C = a^{2} + b^{2}

M D = a^{2} + b^{2}

A C = (2 a)^{2} + (2 b)^{2} = 2 a^{2} + b^{2}

, suy ra

M A = \frac{A C}{2}

Vậy $M A = M B = M C = M D = \frac{A C}{2}$ , khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần hai tính chất quen thuộc của hình chữ nhật (đường chéo cắt nhau tại trung điểm + hai đường chéo bằng nhau) ghép lại là xong, không cần dựng lại HĐ1 hay toạ độ.

Đáp số.

M

cách đều bốn đỉnh

A, B, C, D

(đều bằng

\frac{A C}{2} = \frac{B D}{2}

); hình chữ nhật

A B C D

nội tiếp đường tròn tâm

M

bán kính bằng nửa đường chéo.

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn cho rằng CHỈ hình vuông mới có tính chất này — thực ra mọi hình chữ nhật (kể cả không vuông) đều có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm, nên tính chất "M cách đều bốn đỉnh" đúng cho MỌI hình chữ nhật, không riêng hình vuông.

🚀 Mở rộng. Đây là trường hợp riêng (và cũng là hệ quả trực tiếp) của HĐ1: hình chữ nhật luôn có hai góc vuông đối nhau cùng nhìn một đường chéo, nên luôn nội tiếp đường tròn đường kính là đường chéo đó — áp dụng cho mọi hình chữ nhật, kể cả hình vuông (HĐ5).

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · HĐ5★Trang 82— Xác định tâm và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông

HĐ5 (trang 82). Cho hình vuông

A B C D

có cạnh bằng

3 cm

(H.9.34). Hãy xác định tâm, vẽ đường tròn ngoại tiếp hình vuông

A B C D

và cho biết bán kính của đường tròn đó.

Kiến thức cần nhớ

Hình vuông là hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau, nên nội tiếp đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo (HĐ4).
Đường chéo hình vuông cạnh $a$ có độ dài $a 2$ (định lí Pythagore).

🧠 Phân tích tư duy

Hình vuông là một hình chữ nhật đặc biệt nên áp dụng thẳng kết quả HĐ4: tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo. Việc còn lại chỉ là tính đường chéo hình vuông cạnh

3

cm bằng định lí Pythagore.

1Cách 1. Dùng định lí Pythagore trực tiếp

Định hướng. Tâm là giao điểm hai đường chéo (theo HĐ4); tính đường chéo bằng Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi hai cạnh kề rồi chia đôi.

Gọi

O

là giao điểm hai đường chéo

A C, B D

của hình vuông

A B C D

; theo HĐ4,

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp.
Xét tam giác

A B C

vuông tại

B

(góc của hình vuông) có

A B = B C = 3

cm.

A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = 3^{2} + 3^{2} = 18

A C = 18 = 32

cm.

R = O A = \frac{A C}{2} = \frac{3 2}{2}

cm.

Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo hình vuông, bán kính $R = \frac{3 2}{2}$ cm ( $\approx 2, 12$ cm).

2Cách 2. Dùng công thức đường chéo hình vuông

Định hướng. Nhớ lại công thức đã học ở lớp dưới: đường chéo hình vuông cạnh $a$ bằng $a 2$ , áp dụng trực tiếp rồi chia đôi để ra bán kính.

Đường chéo hình vuông cạnh

a = 3

cm là

d = a 2 = 32

cm.
Theo HĐ4, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa đường chéo:

R = \frac{d}{2} = \frac{3 2}{2}

cm.

Vậy $R = \frac{3 2}{2}$ cm, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 chỉ là dùng lại đúng kết quả của phép chứng minh Pythagore ở Cách 1 dưới dạng công thức có sẵn — hai cách cho cùng một phép tính, không có hướng thứ ba khác bản chất vì bài chỉ có một quan hệ Pythagore duy nhất giữa cạnh và đường chéo hình vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 nếu đã thuộc công thức đường chéo hình vuông

a 2

; nếu quên công thức thì quay lại Cách 1 (Pythagore) vẫn ra kết quả chắc chắn.

Đáp số. Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao điểm hai đường chéo hình vuông; bán kính

R = \frac{3 2}{2}

\approx 2, 12

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhầm bán kính với cạnh hình vuông (ghi luôn

R = 3

cm) — quên rằng bán kính phải tính qua đường chéo (đường chéo mới là đường kính), không phải bằng thẳng độ dài cạnh.

🚀 Mở rộng. Tổng quát: hình vuông cạnh

a

luôn nội tiếp đường tròn bán kính

R = \frac{a 2}{2}

; ngược lại nếu biết bán kính

R

của đường tròn thì cạnh hình vuông nội tiếp là

a = R 2

— dùng lại ở bài 9.31 (SBT).

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Câu hỏi★★Trang 82— Đếm số hình vuông nội tiếp một đường tròn cho trước có một đỉnh cố định

Câu hỏi (trang 82). Với điểm

A

cho trước nằm trên đường tròn

(O)

, có bao nhiêu hình vuông có một đỉnh là

A

nội tiếp đường tròn

(O)

Kiến thức cần nhớ

Hình vuông nội tiếp đường tròn có hai đường chéo là hai đường kính vuông góc với nhau.
Qua một điểm cho trước chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước.

🧠 Phân tích tư duy

Theo HĐ4–HĐ5, hình vuông nội tiếp đường tròn có hai đường chéo đều là đường kính, vuông góc với nhau tại tâm. Vì

A

đã cố định nên đường chéo qua

A

chỉ có thể là MỘT đường kính duy nhất (đường thẳng

A O

kéo dài); đường chéo còn lại buộc phải vuông góc với đường chéo thứ nhất tại

O

, cũng chỉ có đúng một khả năng. Dấu hiệu nhận ra đáp số duy nhất chứ không phải vô số là ở chỗ hai điều kiện "đi qua

O

" và "vuông góc với đường chéo kia" đều xác định duy nhất, không còn bậc tự do nào để xoay.

1Cách 1. Dùng tính chất hai đường chéo là đường kính vuông góc

Định hướng. Xác định lần lượt đường chéo thứ nhất (qua $A$ ) rồi đường chéo thứ hai (vuông góc với đường chéo thứ nhất tại tâm), mỗi bước chỉ cho đúng một lựa chọn.

Một hình vuông nội tiếp

(O)

có hai đường chéo đều là đường kính của

(O)

và vuông góc với nhau tại

O

(theo HĐ4, HĐ5).
Vì

A

đã cho trước và

A

phải là một đỉnh, nên đường chéo đi qua

A

chính là đường kính

A A^{'}

với

A^{'}

là điểm đối xứng với

A

qua

O

— điểm

A^{'}

này là duy nhất.
Đường chéo còn lại phải là đường kính

B D

vuông góc với

A A^{'}

tại

O

— qua điểm

O

chỉ có đúng một đường thẳng vuông góc với đường thẳng

A A^{'}

cho trước, nên đường kính

B D

cũng duy nhất.
Bốn điểm

A, B, A^{'}, D

(với

B, D

là hai đầu của đường kính vuông góc) tạo thành đúng một hình vuông.

Vậy chỉ có đúng $1$ hình vuông có một đỉnh là $A$ nội tiếp đường tròn $(O)$ .

2Cách 2. Dùng phép quay quanh tâm O

Định hướng. Bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp $(O)$ là ảnh của nhau qua các phép quay tâm $O$ góc $90°, 180°, 270°$ ; với $A$ cố định, ba đỉnh còn lại là ba ảnh xác định duy nhất của $A$ .

Gọi

B, C, D

lần lượt là ảnh của

A

qua phép quay tâm

O

các góc

90°, 180°, 270°

.
Vì phép quay bảo toàn khoảng cách tới tâm nên

B, C, D

đều thuộc

(O)

; và vì các góc quay liên tiếp bằng

90°

nên

A O B = B O C = C O D = D O A = 90°

, suy ra

A B C D

là hình vuông.
Với một điểm

A

và một tâm quay

O

cho trước, ảnh của

A

qua mỗi phép quay

90°, 180°, 270°

là duy nhất (phép quay là một phép biến hình, mỗi điểm chỉ có đúng một ảnh).

Vậy chỉ có duy nhất một bộ ba điểm $B, C, D$ , tức chỉ có $1$ hình vuông thoả mãn.

Nhận xét. Hai cách đều cho cùng kết quả: hình học tổng hợp (đường kính vuông góc) và phép biến hình (phép quay) là hai cách nhìn khác nhau của cùng một sự thật đối xứng $4$ cạnh của hình vuông.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dễ hình dung bằng hình vẽ (đường kính qua

A

, rồi đường kính vuông góc), không cần nhắc tới phép quay.

Đáp số. Chỉ có đúng

1

hình vuông có một đỉnh là

A

nội tiếp đường tròn

(O)

Sai lầm thường gặp. Dễ nhầm tưởng có vô số hình vuông (do có thể "xoay" hình vuông quanh

A

) — thực ra một khi đã cố định điểm

A

là MỘT ĐỈNH và đường tròn

(O)

đã cho trước, thì cả bốn đỉnh bị ràng buộc chặt bởi tính chất đường chéo là đường kính vuông góc, không còn tự do để xoay.

🚀 Mở rộng. Nếu thay hình vuông bằng một đa giác đều

n

cạnh nội tiếp

(O)

với một đỉnh

A

cho trước, lập luận tương tự (các đỉnh cách đều nhau một góc ở tâm

\frac{360°}{n}

) cũng cho duy nhất

1

đa giác đều thoả mãn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Ví dụ 3★★Trang 82— Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

Ví dụ 3 (trang 82). Cho hình chữ nhật

A B C D

có

A B = 3 cm

A D = 4 cm

. Vẽ đường tròn

(O; R)

ngoại tiếp hình chữ nhật

A B C D

và tính bán kính

R

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn tâm là giao điểm hai đường chéo, bán kính bằng nửa đường chéo (HĐ4).
Định lí Pythagore trong tam giác vuông.

🧠 Phân tích tư duy

Áp dụng thẳng kết quả HĐ4: bán kính bằng nửa đường chéo. Vì

A B ⊥ A D

(góc của hình chữ nhật) nên đường chéo

B D

chính là cạnh huyền của tam giác vuông

A B D

, tính được ngay bằng Pythagore từ hai kích thước đã cho.

1Cách 1. Dùng định lí Pythagore (như sách trình bày)

Định hướng. Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo, tính $B D$ bằng Pythagore trong tam giác vuông $A B D$ rồi chia đôi.

Gọi

O

là giao điểm của

A C

và

B D

; vẽ đường tròn tâm

O

bán kính

R = O A

, đây chính là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật

A B C D

(theo HĐ4).
Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác

A B D

vuông tại

A

B D^{2} = A B^{2} + A D^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25

B D = 5

cm.

R = \frac{B D}{2} = 2, 5

cm.

Vậy $R = 2, 5$ cm.

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt $A$ tại gốc toạ độ với hai cạnh $A B, A D$ theo hai trục, tính toạ độ $O$ (trung điểm $A C$ ) rồi tính $R = O A$ .

Đặt

A (0; 0)

B (3; 0)

D (0; 4)

C (3; 4)

O

là trung điểm

A C

O = (\frac{0 + 3}{2}; \frac{0 + 4}{2}) = (1, 5; 2)

R = O A = 1, 5^{2} + 2^{2} = 2, 25 + 4 = 6, 25 = 2, 5

cm.

Vậy $R = 2, 5$ cm, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Dùng công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Định hướng. Tam giác $A B D$ vuông tại $A$ cũng có đường tròn ngoại tiếp chính là $(O; R)$ cần tìm; áp dụng công thức tổng quát $R = \frac{ab c}{4 S}$ cho tam giác này để kiểm tra lại bằng một con đường khác.

Tam giác

A B D

có

A B = 3

A D = 4

; theo Cách 1,

B D = 5

cm.
Diện tích tam giác

A B D

S = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A D = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6

cm².
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác:

R = \frac{A B \cdot A D \cdot B D}{4 S} = \frac{3 \cdot 4 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{60}{24} = 2, 5

cm.

Vậy $R = 2, 5$ cm, khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $A B C D$ cũng chính là đường tròn ngoại tiếp mỗi tam giác vuông tạo bởi một đường chéo — một cách nhìn tổng quát hơn, dùng được cả khi đề chỉ cho một nửa hình chữ nhật (một tam giác vuông).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: Pythagore rồi chia đôi là nhanh nhất, không cần toạ độ hay công thức

R = \frac{ab c}{4 S}

Đáp số.

R = 2, 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Nhầm bán kính với đường chéo (quên chia đôi), ghi luôn

R = 5

cm — cần nhớ

R

là bán kính, bằng NỬA đường chéo chứ không phải cả đường chéo.

🚀 Mở rộng. Nếu đặt

A B = m

A D = n

tổng quát thì

R = \frac{m ^{2} + n ^{2}}{2}

— công thức này dùng lại ở bài 9.22 (bài tập cuối bài) và bài 9.31 (SBT).

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 2★★★Trang 83— Chứng minh tứ giác tạo bởi trung điểm các cạnh hình thoi là hình chữ nhật và tính bán kính ngoại tiếp

Luyện tập 2 (trang 83). Cho hình thoi

A B C D

có các cạnh bằng

3 cm

. Gọi

M, N, P, Q

lần lượt là trung điểm của

A B, B C, C A, A D

. Chứng tỏ rằng tứ giác

M N P Q

là hình chữ nhật và tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp của tứ giác đó.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Hai đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau.
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Đề in

P

là trung điểm

C A

(đường chéo) khiến bốn điểm

M, N, P, Q

không còn tạo thành một tứ giác khép kín hợp lí; đối chiếu với cấu trúc quen thuộc "trung điểm bốn CẠNH" (đúng như

M, N, Q

đã nêu là trung điểm

A B, B C, A D

) và với kết quả cần chứng minh (MNPQ là hình chữ nhật — chỉ đúng khi

P

là trung điểm cạnh

C D

, theo tính chất đường trung bình), có thể khẳng định đây là lỗi in ấn:

P

phải là trung điểm cạnh

C D

chứ không phải đường chéo

C A

. Bài được giải theo đúng ý đồ gốc (trung điểm bốn cạnh

A B, B C, C D, D A

), lỗi in ghi rõ ở mục "sailam".
Dấu hiệu chính của bài:

M, N, P, Q

là trung điểm các cạnh của một tứ giác có hai đường chéo vuông góc (tính chất riêng của hình thoi) — đây là điều kiện để tứ giác Varignon (tứ giác nối trung điểm bốn cạnh) trở thành hình chữ nhật.

1Cách 1. Dùng đường trung bình của tam giác

Định hướng. $M N, QP$ lần lượt là đường trung bình của các tam giác $A B C$ , $D B C$ nên cùng song song với $A C$ ; tương tự $M Q, N P$ song song với $B D$ — vì $A C ⊥ B D$ (tính chất hình thoi) nên tứ giác có một góc vuông, mà lại là hình bình hành, nên là hình chữ nhật.

Trong tam giác

A B C

M, N

lần lượt là trung điểm

A B, B C

nên

M N

là đường trung bình, suy ra

M N ∥ A C

và

M N = \frac{A C}{2}

.
Trong tam giác

A C D

Q, P

lần lượt là trung điểm

A D, C D

nên

QP

là đường trung bình, suy ra

QP ∥ A C

và

QP = \frac{A C}{2}

.
Suy ra

M N ∥ QP

và

M N = QP

, tức

M N P Q

là hình bình hành.
Tương tự, trong tam giác

A B D

M Q

là đường trung bình nên

M Q ∥ B D

.
Vì

A B C D

là hình thoi nên

A C ⊥ B D

(hai đường chéo vuông góc); kết hợp

M N ∥ A C

M Q ∥ B D

suy ra

M N ⊥ M Q

, tức

QM N = 90°

Vậy $M N P Q$ là hình bình hành có một góc vuông, nên $M N P Q$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Dùng toạ độ

Định hướng. Đặt hình thoi theo hai đường chéo vuông góc trên hai trục toạ độ, tính trực tiếp toạ độ bốn trung điểm rồi kiểm tra vuông góc và tính khoảng cách.

Đặt tâm hình thoi tại gốc

O

, hai đường chéo nằm trên hai trục:

A (- p; 0)

C (p; 0)

B (0; - q)

D (0; q)

, với

p^{2} + q^{2} = 3^{2} = 9

(vì

A B = 3

M =

trung điểm

A B = (- \frac{p}{2}; - \frac{q}{2})

;

N =

trung điểm

B C = (\frac{p}{2}; - \frac{q}{2})

;

P =

trung điểm

C D = (\frac{p}{2}; \frac{q}{2})

;

Q =

trung điểm

D A = (- \frac{p}{2}; \frac{q}{2})

.
Bốn điểm này là bốn đỉnh của một hình chữ nhật có các cạnh song song hai trục, kích thước

p \times q

(dễ thấy

M N ⊥ N P

).
Đường chéo

M P

của hình chữ nhật:

M P = p^{2} + q^{2} = 9 = 3

cm.

Vậy $M N P Q$ là hình chữ nhật, và bán kính đường tròn ngoại tiếp $R = \frac{M P}{2} = 1, 5$ cm.

3Cách 3. Dùng vectơ tổng quát (không cần gán toạ độ cụ thể)

Định hướng. Biểu diễn đường chéo $M P$ của hình chữ nhật $M N P Q$ qua vectơ của hình thoi, rồi dùng tính vuông góc của hai đường chéo hình thoi để suy ra $M P$ bằng đúng cạnh hình thoi.

Gọi

O

là tâm hình thoi (giao hai đường chéo); ta có

M = \frac{A + B}{2}

P = \frac{C + D}{2}

(toạ độ trung điểm theo vectơ, gốc tại

O

), với

C = - A

D = - B

(vì

O

là trung điểm cả

A C

và

B D

M P = P - M = \frac{C + D}{2} - \frac{A + B}{2} = \frac{( - A - B ) - ( A + B )}{2} = - (A + B) = - 2 \cdot \frac{A + B}{2}

, suy ra

M P = ∣ A + B ∣

.
Vì

O A ⊥ O B

(hai đường chéo hình thoi vuông góc) nên theo Pythagore trong tam giác vuông

O A B

∣ A + B ∣^{2} = O A^{2} + O B^{2} = A B^{2}

(vì

O A^{2} + O B^{2}

chính là bình phương cạnh huyền

A B

của tam giác vuông

O A B

).
Suy ra

M P = A B = 3

cm.

Vậy đường chéo $M P = A B = 3$ cm (đúng bằng cạnh hình thoi, không phụ thuộc hình thoi "béo" hay "gầy"), bán kính $R = \frac{M P}{2} = 1, 5$ cm.

Nhận xét. Cách 3 cho một kết quả đẹp và tổng quát: bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật Varignon của một hình thoi luôn bằng nửa CẠNH hình thoi, không phụ thuộc độ dài hai đường chéo.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 để chứng minh

M N P Q

là hình chữ nhật (đường trung bình quen thuộc); rồi dùng Cách 3 để có ngay

R = \frac{A B}{2} = 1, 5

cm mà không cần tính

p, q

riêng lẻ.

Đáp số.

M N P Q

là hình chữ nhật; bán kính đường tròn ngoại tiếp

R = 1, 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Đề in

P

là trung điểm

C A

(đường chéo) thay vì trung điểm cạnh

C D

— đây là lỗi in ấn của sách, vì lấy đúng như in thì

P

trùng tâm hình thoi, bốn điểm

M, N, P, Q

không tạo thành một tứ giác lồi hợp lí và không thể là hình chữ nhật; bài đã giải theo đúng ý đồ chuẩn (trung điểm bốn CẠNH

A B, B C, C D, D A

) để ra kết quả "MNPQ là hình chữ nhật" như đề yêu cầu chứng tỏ.

🚀 Mở rộng. Kết quả "đường chéo tứ giác Varignon bằng cạnh hình thoi" ở Cách 3 là trường hợp riêng của định lí Varignon tổng quát: với TỨ GIÁC BẤT KÌ, tứ giác nối trung điểm bốn cạnh luôn là hình bình hành có các cạnh song song và bằng nửa hai đường chéo của tứ giác gốc; khi tứ giác gốc có hai đường chéo vuông góc (như hình thoi) thì hình bình hành đó trở thành hình chữ nhật — dùng lại ở bài 9.30 (SBT) với hình thoi có

A C = 8, B D = 4

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Thử thách nhỏ 2★★Trang 83— Chứng minh nhiều hình chữ nhật chung một đường chéo có cùng đường tròn ngoại tiếp

Thử thách nhỏ 2 (trang 83). Nếu các hình chữ nhật có chung một đường chéo (ví dụ như hai hình chữ nhật

A B C D

và

A E C F

trong Hình 9.36) thì các đỉnh của chúng có cùng nằm trên một đường tròn không?

Kiến thức cần nhớ

Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo (trung điểm đường chéo), bán kính bằng nửa đường chéo (HĐ4).

🧠 Phân tích tư duy

Đây là hệ quả trực tiếp của HĐ4: mỗi hình chữ nhật nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm hai đường chéo (chính là trung điểm của đường chéo đó) và bán kính bằng nửa đường chéo. Vì hai hình chữ nhật

A B C D

A E C F

có chung đường chéo

A C

, nên "trung điểm của

A C

" và "nửa độ dài

A C

" là hai đại lượng chung cho cả hai hình — tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của chúng vì thế trùng nhau.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp kết quả HĐ4 cho cả hai hình chữ nhật

Định hướng. Chỉ ra tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp của mỗi hình chữ nhật chỉ phụ thuộc vào đường chéo chung $A C$ , nên hai đường tròn ngoại tiếp trùng nhau.

Theo HĐ4, hình chữ nhật

A B C D

nội tiếp đường tròn tâm

I_{1}

là trung điểm đường chéo

A C

, bán kính

R_{1} = \frac{A C}{2}

.
Cũng theo HĐ4, hình chữ nhật

A E C F

nội tiếp đường tròn tâm

I_{2}

là trung điểm đường chéo

A C

(vì

A C

cũng là một đường chéo của

A E C F

), bán kính

R_{2} = \frac{A C}{2}

.
Vì

I_{1}

và

I_{2}

đều là trung điểm của cùng một đoạn

A C

nên

I_{1} \equiv I_{2}

; và

R_{1} = R_{2} = \frac{A C}{2}

Vậy hai đường tròn ngoại tiếp của $A B C D$ và $A E C F$ trùng nhau (cùng tâm, cùng bán kính), nên tất cả sáu đỉnh $A, B, C, D, E, F$ đều nằm trên cùng một đường tròn — đường tròn đường kính $A C$ .

2Cách 2. Tính trực tiếp khoảng cách từ trung điểm AC tới sáu đỉnh

Định hướng. Gọi thẳng $M$ là trung điểm $A C$ , chỉ ra $M$ cách đều cả sáu đỉnh mà không cần nhắc lại tên HĐ4.

Gọi

M

là trung điểm của đường chéo chung

A C

.
Vì

A B C D

là hình chữ nhật nên hai đường chéo

A C, B D

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau, mà

M

đã là trung điểm

A C

nên

M

cũng là trung điểm

B D

, với

M A = M B = M C = M D = \frac{A C}{2}

.
Vì

A E C F

là hình chữ nhật nên tương tự,

M

(trung điểm

A C

) cũng là trung điểm

E F

, với

M A = M E = M C = M F = \frac{A C}{2}

Vậy cả sáu điểm $A, B, C, D, E, F$ đều cách $M$ đúng một khoảng $\frac{A C}{2}$ , nên chúng cùng nằm trên đường tròn tâm $M$ bán kính $\frac{A C}{2}$ .

3Cách 3. Dùng định lí Thalès đảo cho từng đỉnh

Định hướng. Mỗi đỉnh $B, D, E, F$ đều là một góc vuông của một hình chữ nhật có $A C$ là đường chéo, nên đều nhìn $A C$ dưới góc $90°$ — áp dụng thẳng định lí Thalès đảo (như HĐ1) cho cả bốn đỉnh cùng lúc.

Vì

A B C D

là hình chữ nhật với đường chéo

A C

nên

A B C = A D C = 90°

, tức

B, D

đều nhìn đoạn

A C

dưới góc vuông.
Vì

A E C F

là hình chữ nhật với đường chéo

A C

nên

A E C = A F C = 90°

, tức

E, F

đều nhìn đoạn

A C

dưới góc vuông.
Theo định lí Thalès đảo, mọi điểm nhìn đoạn

A C

dưới góc vuông đều thuộc đường tròn đường kính

A C

; áp dụng cho cả bốn điểm

B, D, E, F

Vậy $B, D, E, F$ (cùng với $A, C$ ) đều thuộc đường tròn đường kính $A C$ — chính là đường tròn ngoại tiếp chung của cả hai hình chữ nhật.

Nhận xét. Cách 3 cho thấy có thể có VÔ SỐ hình chữ nhật khác nhau cùng chung đường chéo $A C$ — cứ chọn một điểm bất kì trên đường tròn đường kính $A C$ (khác $A, C$ ) làm một đỉnh là dựng được một hình chữ nhật như vậy, và tất cả đều có chung một đường tròn ngoại tiếp.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (hoặc Cách 2): áp dụng thẳng HĐ4 hai lần là đủ, không cần dựng lại lập luận Thalès như Cách 3.

Đáp số. Có; tất cả các đỉnh của những hình chữ nhật có chung đường chéo

A C

đều nằm trên cùng một đường tròn — đường tròn đường kính

A C

Sai lầm thường gặp. Nhầm tưởng chỉ có đúng hai hình chữ nhật (như

A B C D

và

A E C F

trong hình) cùng chung đường tròn — thực ra có VÔ SỐ hình chữ nhật như vậy, ứng với mọi cách chọn một điểm khác trên đường tròn đường kính

A C

làm đỉnh thứ ba.

🚀 Mở rộng. Đây là cách dựng ra vô số hình chữ nhật nội tiếp cùng một đường tròn: chọn đường kính

A C

bất kì của

(O)

, rồi chọn một điểm bất kì khác trên

(O)

làm đỉnh thứ ba, đỉnh thứ tư sẽ tự động xác định để tạo thành hình chữ nhật — khác hẳn Câu hỏi (trang 82) nơi hình VUÔNG có một đỉnh cho trước chỉ có đúng

1

khả năng vì hình vuông còn bị ràng buộc thêm điều kiện hai đường chéo vuông góc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 9.18★Trang 83— Tính góc còn lại của tứ giác nội tiếp từ hai góc đã biết

Bài 9.18 (trang 83). Cho

A B C D

là tứ giác nội tiếp. Tính số đo của các góc còn lại của tứ giác trong mỗi trường hợp sau:
a)

A = 60°, B = 80°

;
b)

B = 70°, C = 90°

;
c)

C = 100°, D = 60°

;
d)

D = 110°, A = 80°

Kiến thức cần nhớ

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối nhau bằng $180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cả bốn trường hợp chỉ dùng đúng một công cụ: hai góc đối của tứ giác nội tiếp có tổng

180°

. Với mỗi trường hợp, hai góc đã cho luôn là hai cặp góc kề nhau (không đối nhau), nên chỉ cần lấy

180°

trừ đi từng góc đã cho để ra góc đối tương ứng — không cần thêm dữ kiện hình vẽ.

1Cách 1. Áp dụng trực tiếp công thức hai góc đối bù nhau

Định hướng. Với mỗi cặp góc đã cho, góc đối diện được suy ra ngay bằng phép trừ $180°$ .

C = 180° - A = 180° - 60° = 120°

D = 180° - B = 180° - 80° = 100°

.
b)

D = 180° - B = 180° - 70° = 110°

A = 180° - C = 180° - 90° = 90°

.
c)

A = 180° - C = 180° - 100° = 80°

B = 180° - D = 180° - 60° = 120°

.
d)

B = 180° - A = 180° - 80° = 100°

C = 180° - D = 180° - 110° = 70°

Vậy a) $C = 120°, D = 100°$ ; b) $D = 110°, A = 90°$ ; c) $A = 80°, B = 120°$ ; d) $B = 100°, C = 70°$ .

2Cách 2. Kiểm tra chéo bằng tổng bốn góc của tứ giác

Định hướng. Sau khi tính bằng Cách 1, kiểm tra lại bằng tính chất tổng bốn góc trong của một tứ giác luôn bằng $360°$ — nếu khớp thì kết quả chắc chắn đúng.

A + B + C + D = 60° + 80° + 120° + 100° = 360°

— khớp.
b)

90° + 70° + 90° + 110° = 360°

— khớp (chú ý ở đây

A = 90°

trùng với

C = 90°

chỉ là ngẫu nhiên của đề bài).
c)

80° + 120° + 100° + 60° = 360°

— khớp.
d)

80° + 100° + 70° + 110° = 360°

— khớp.

Vậy cả bốn kết quả ở Cách 1 đều được xác nhận đúng qua phép kiểm tra tổng $360°$ .

Nhận xét. Cách 2 không phải một hướng giải độc lập mà là một phép kiểm tra chéo hữu ích, giúp phát hiện ngay sai sót tính toán nếu tổng không ra $360°$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1, nhớ luôn kiểm tra nhanh bằng tổng

360°

(Cách 2) trước khi ghi đáp số cuối cùng để tránh nhầm dấu trừ.

Đáp số. a)

C = 120°, D = 100°

; b)

D = 110°, A = 90°

; c)

A = 80°, B = 120°

; d)

B = 100°, C = 70°

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn lấy góc đối của

A

là

B

thay vì

C

(quên thứ tự đỉnh

A, B, C, D

liên tiếp trên tứ giác thì

A

đối diện

C

B

đối diện

D

, không phải hai đỉnh liền kề).

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho một góc duy nhất (không đủ một cặp kề nhau) thì không thể tính hết bốn góc chỉ bằng tính chất tứ giác nội tiếp — cần thêm dữ kiện khác (ví dụ tứ giác đặc biệt như hình thang cân, hình chữ nhật).

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 9.19★★★★Trang 83— Chứng minh hai tam giác đồng dạng và hệ thức tích hai cát tuyến từ một điểm ngoài đường tròn

Bài 9.19 (trang 83). Cho điểm

I

nằm ngoài đường tròn

(O)

. Qua

I

kẻ hai đường thẳng lần lượt cắt

(O)

tại bốn điểm

A, B

và

C, D

sao cho

A

nằm giữa

B

và

I

C

nằm giữa

D

và

I

. Chứng minh rằng

I B D = I C A, I A C = I D B

và

I A \cdot I B = I C \cdot I D

Kiến thức cần nhớ

Góc ngoài tại một đỉnh của tứ giác nội tiếp bằng góc trong của đỉnh đối diện.
Hai tam giác đồng dạng (g.g) khi có hai cặp góc tương ứng bằng nhau; từ đó suy ra tỉ số các cạnh tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Dấu hiệu quan trọng nhất của bài là "

A

nằm giữa

B

và

I

": tia

A I

và tia

A B

là hai tia ĐỐI NHAU, nên góc

I A C

chính là góc bù của góc

B A C

(góc trong của tứ giác nội tiếp

A B D C

— chú ý thứ tự các điểm quanh đường tròn không phải

A, B, C, D

liên tiếp mà là

B, A, C, D

). Từ đó, tính chất "tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng

180°

" biến thành "góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện" — chìa khoá để ghép được cặp góc bằng nhau cần thiết cho hai tam giác đồng dạng.

1Cách 1. Dùng tính chất góc ngoài của tứ giác nội tiếp

Định hướng. Xác định đúng thứ tự bốn điểm quanh đường tròn là $B, A, C, D$ (không phải $A, B, C, D$ ), rồi áp dụng "góc ngoài bằng góc trong đối diện" hai lần để có hai cặp góc bằng nhau cần chứng minh; cuối cùng ghép lại thành hai tam giác đồng dạng.

Vì

A

nằm giữa

B

và

I

nên tia

A I

và tia

A B

là hai tia đối nhau, suy ra

I A C = 180° - B A C

.
Vì

C

nằm giữa

D

và

I

nên tia

C I

và tia

C D

là hai tia đối nhau, suy ra

I C A = 180° - D C A

.
Bốn điểm

B, A, C, D

nằm trên

(O)

theo đúng thứ tự đó (tứ giác nội tiếp

B A C D

), nên

B A C

và

B D C

là hai góc đối của tứ giác nội tiếp này:

B A C + B D C = 180°

, suy ra

I A C = 180° - B A C = B D C = I D B

(vì tia

D I

trùng tia

D C

, do

C

nằm giữa

D, I

).
Tương tự,

A B D

và

A C D

là hai góc đối còn lại của tứ giác nội tiếp

B A C D

A B D + A C D = 180°

, suy ra

I C A = 180° - A C D = A B D = I B D

(vì tia

B I

trùng tia

B A

, do

A

nằm giữa

B, I

).
Xét hai tam giác

I A C

và

I D B

: có

I

chung, và

I A C = I D B

(vừa chứng minh)

\Rightarrow △ I A C \sim △ I D B

(g.g).
Từ đó

\frac{I A}{I D} = \frac{I C}{I B}

, suy ra

I A \cdot I B = I C \cdot I D

Vậy $I B D = I C A$ , $I A C = I D B$ , và $I A \cdot I B = I C \cdot I D$ (đpcm).

2Cách 2. Dùng số đo cung

Định hướng. Thay vì gọi tên "tứ giác nội tiếp $B A C D$ ", biểu diễn trực tiếp các góc cần so sánh qua số đo cung bị chắn — tránh nhầm lẫn thứ tự đỉnh.

B A C

là góc nội tiếp chắn cung

B C ⌢

không chứa

A

B A C = \frac{1}{2}

sđ

B C ⌢

(cung không chứa

A

, tức đi qua phía

D

B D C

là góc nội tiếp chắn cung

B C ⌢

không chứa

D

B D C = \frac{1}{2}

sđ

B C ⌢

(cung không chứa

D

, tức đi qua phía

A

).
Vì hai cung

B C ⌢

(qua

D

) và

B C ⌢

(qua

A

) cộng lại đúng bằng cả đường tròn:

B A C + B D C = \frac{1}{2} \cdot 360° = 180°

; kết hợp

I A C = 180° - B A C

(do

A

giữa

B, I

) và

I D B = B D C

(do tia

D I

trùng tia

D C

), suy ra

I A C = I D B

.
Lập luận hoàn toàn tương tự với cặp góc

A B D

A C D

(cùng chắn cung

A D ⌢

từ hai phía) để có

I B D = I C A

.
Từ hai cặp góc bằng nhau, tam giác

I A C \sim I D B

(g.g, góc

I

chung), suy ra

\frac{I A}{I D} = \frac{I C}{I B} \Rightarrow I A \cdot I B = I C \cdot I D

Vậy cả ba hệ thức được chứng minh, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 giải thích RÕ HƠN vì sao góc nội tiếp từ hai đỉnh khác nhau cùng chắn một cung thì bằng nhau, tránh phải ghi nhớ tên gọi "tứ giác $B A C D$ " dễ gây nhầm với thứ tự quen thuộc $A B C D$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (số đo cung) nếu sợ nhầm thứ tự đỉnh khi gọi tên tứ giác nội tiếp; nếu đã quen tính chất góc ngoài thì Cách 1 nhanh hơn.

Đáp số.

I B D = I C A

;

I A C = I D B

;

I A \cdot I B = I C \cdot I D

(đây chính là hệ thức phương tích của điểm

I

đối với đường tròn

(O)

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn phổ biến nhất là tưởng bốn điểm nằm theo đúng thứ tự quen thuộc

A, B, C, D

quanh đường tròn — thực ra thứ tự đúng (theo cách vẽ hai cát tuyến từ

I

) là

B, A, C, D

(hai điểm gần

I

là

A, C

đứng cạnh nhau, hai điểm xa là

B, D

đứng cạnh nhau), nhầm thứ tự sẽ ghép sai cặp góc đối.

🚀 Mở rộng. Hệ thức

I A \cdot I B = I C \cdot I D

chính là PHƯƠNG TÍCH của điểm

I

đối với đường tròn

(O)

, không phụ thuộc vào việc chọn cát tuyến nào qua

I

— đây là công cụ nền tảng cho các bài toán nâng cao về trục đẳng phương ở chương trình THPT.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 9.20★★Trang 83— Chứng minh hình bình hành nội tiếp đường tròn là hình chữ nhật

Bài 9.20 (trang 83). Cho hình bình hành

A B C D

nội tiếp đường tròn

(O)

. Chứng minh rằng

A B C D

là hình chữ nhật.

Kiến thức cần nhớ

Hình bình hành có các góc đối bằng nhau.
Tứ giác nội tiếp có các góc đối bù nhau (tổng $180°$ ).
Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho hai tính chất cùng lúc: "hình bình hành" (góc đối bằng nhau) và "nội tiếp đường tròn" (góc đối bù nhau) — hai điều kiện tưởng như không liên quan nhưng khi ghép lại chỉ có thể thoả mãn khi góc đó bằng chính một nửa của

180°

, tức là góc vuông. Đây là kiểu bài "giao hai tính chất" điển hình: kết hợp hai đẳng thức để suy ra giá trị cụ thể.

1Cách 1. Kết hợp tính chất góc đối của hình bình hành và tứ giác nội tiếp

Định hướng. Viết ra hai đẳng thức về góc $A, C$ : một từ hình bình hành (bằng nhau), một từ tứ giác nội tiếp (bù nhau), rồi giải ra số đo cụ thể.

Vì

A B C D

là hình bình hành nên

A = C

(hai góc đối của hình bình hành bằng nhau).
Vì

A B C D

nội tiếp đường tròn

(O)

nên

A + C = 180°

(hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau).
Thay

C = A

vào:

A + A = 180° \Rightarrow 2 A = 180° \Rightarrow A = 90°

.
Suy ra

C = 90°

.
Tương tự, từ

B = D

(hình bình hành) và

B + D = 180°

(nội tiếp) suy ra

B = D = 90°

Vậy cả bốn góc của $A B C D$ đều bằng $90°$ , nên $A B C D$ là hình chữ nhật.

2Cách 2. Dùng hai đường chéo bằng nhau

Định hướng. Dùng dấu hiệu "hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật", chứng minh hai đường chéo bằng nhau nhờ chúng đều là đường kính của $(O)$ .

Vì

A B C D

là hình bình hành nên hai đường chéo

A C, B D

cắt nhau tại trung điểm

M

chung của cả hai đường.
Vì

A, B, C, D \in (O)

nên

O A = O B = O C = O D = R

; vì

O A = O C

nên

O

nằm trên trung trực của

A C

, là đường thẳng đi qua

M

(trung điểm

A C

) và vuông góc

A C

.
Tương tự, vì

O B = O D

nên

O

nằm trên trung trực của

B D

, là đường thẳng đi qua

M

(trung điểm

B D

) và vuông góc

B D

.
Hai đường trung trực này đều đi qua

M

và không song song với nhau (vì

A C, B D

là hai đường chéo cắt nhau, không song song), nên chúng chỉ có chung đúng một điểm là

M

; vì

O

thuộc cả hai nên

O \equiv M

.
Suy ra tâm

O

chính là giao điểm hai đường chéo, nên

O A = O C = \frac{A C}{2}

và

O B = O D = \frac{B D}{2}

; mà

O A = O B = R

nên

A C = B D = 2 R

Vậy hình bình hành $A B C D$ có hai đường chéo bằng nhau ( $A C = B D = 2 R$ ), nên $A B C D$ là hình chữ nhật.

Nhận xét. Cách 2 dài hơn Cách 1 vì phải chứng minh thêm bước "tâm $O$ trùng giao điểm hai đường chéo", nhưng cho một hình ảnh trực quan: đường chéo hình bình hành nội tiếp luôn là đường kính.

3Cách 3. Dùng toạ độ / vectơ

Định hướng. Đặt tâm hình bình hành (giao hai đường chéo) làm gốc toạ độ, biểu diễn điều kiện nội tiếp bằng phương trình rồi suy ra góc vuông.

Gọi

M

là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành, đặt

M

làm gốc toạ độ; khi đó

C = - A

D = - B

(vì

M

là trung điểm cả

A C

lẫn

B D

).
Vì

A, B, C, D

cùng thuộc đường tròn tâm

O

nên

O A = O B = O C = O D

; mà

O C = O (- A) = ∣ - O - A ∣

càng phức tạp nếu

O \neq = M

, nên xét trực tiếp: bốn điểm cách đều

O

và đối xứng từng cặp qua

M

chỉ xảy ra khi

O \equiv M

(lí do như Cách 2).
Khi đó

∣ A ∣ = ∣ B ∣ = ∣ C ∣ = ∣ D ∣ = R

với

C = - A, D = - B

; suy ra

M A \cdot M B

và các cạnh hình bình hành có

A B^{2} + A D^{2} = \dots

; dùng đẳng thức hình bình hành

A C^{2} + B D^{2} = 2 (A B^{2} + A D^{2})

kết hợp

A C = B D = 2 R

để so sánh với đường chéo của một hình chữ nhật có cùng cạnh, từ đó khẳng định góc giữa hai cạnh kề bằng

90°

Vậy $A B C D$ là hình chữ nhật, khớp hai cách trên (Cách 3 chỉ nhằm kiểm tra lại bằng đại số, không thay thế Cách 1, Cách 2 khi trình bày).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ba dòng đại số (góc bằng nhau + góc bù nhau

\Rightarrow

góc vuông) là xong, ngắn hơn hẳn Cách 2, Cách 3.

Đáp số.

A B C D

là hình chữ nhật (cả bốn góc đều bằng

90°

Sai lầm thường gặp. Nhầm tưởng chỉ cần "hình bình hành nội tiếp đường tròn" là hiển nhiên đúng mà không chứng minh — cần trình bày rõ bước kết hợp hai tính chất (góc bằng nhau của hình bình hành + góc bù nhau của tứ giác nội tiếp) mới ra được góc vuông, đây là ý chính giám khảo chấm điểm.

🚀 Mở rộng. Đây là bài 9.27a (SBT) ở dạng tổng quát hơn (phát biểu thành mệnh đề "nếu... thì..."); kết hợp với chiều ngược lại (mọi hình chữ nhật đều nội tiếp được đường tròn — HĐ4) ta có: hình bình hành nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó là hình chữ nhật.

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 9.21★★Trang 83— Chứng minh hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân

Bài 9.21 (trang 83). Cho hình thang

A B C D

(

A B

song song với

C D

) nội tiếp đường tròn

(O)

. Chứng minh rằng

A B C D

là hình thang cân.

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng song song bị cắt bởi một cát tuyến thì hai góc trong cùng phía bù nhau.
Tứ giác nội tiếp có hai góc đối bù nhau.
Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.

🧠 Phân tích tư duy

Bài cho hai loại quan hệ góc khác nhau cần kết hợp: quan hệ từ "

A B ∥ C D

" (hai góc trong cùng phía bù nhau) và quan hệ từ "nội tiếp đường tròn" (hai góc đối bù nhau). Ghép hai quan hệ bù

180°

này lại sẽ cho ra một cặp góc BẰNG NHAU — đúng dấu hiệu nhận biết hình thang cân (hai góc kề một đáy bằng nhau).

1Cách 1. Kết hợp góc trong cùng phía và góc đối của tứ giác nội tiếp

Định hướng. Từ $A B ∥ C D$ suy ra một cặp góc bù nhau; từ tính nội tiếp suy ra một cặp góc bù nhau khác; ghép hai cặp có chung một góc để suy ra hai góc còn lại bằng nhau.

Vì

A B ∥ C D

và

A D

là cát tuyến,

A

và

D

là hai góc trong cùng phía nên

A + D = 180°

.
Vì

A B C D

nội tiếp

(O)

nên

B + D = 180°

(hai góc đối).
Từ hai đẳng thức trên:

A + D = B + D \Rightarrow A = B

.
Tương tự, từ

B + C = 180°

(góc trong cùng phía, cát tuyến

B C

) và

A + C = 180°

(góc đối, tứ giác nội tiếp), suy ra

B + C = A + C \Rightarrow B = A

(đã có), và cũng suy ra

C = D

Vậy hình thang $A B C D$ có $A = B$ (hai góc kề đáy $A B$ ) và $C = D$ (hai góc kề đáy $C D$ ), nên $A B C D$ là hình thang cân.

2Cách 2. Dùng cung bằng nhau để chứng minh hai cạnh bên bằng nhau

Định hướng. Hai dây song song trong một đường tròn luôn chắn hai cung bằng nhau ở giữa — áp dụng cho $A B ∥ C D$ để suy ra hai cạnh bên $A D, B C$ (là hai dây căng hai cung đó) bằng nhau.

Vì

A B ∥ C D

là hai dây song song của

(O)

, nên hai cung nằm giữa chúng về cùng một phía bằng nhau: sđ

A D ⌢ =

sđ

B C ⌢

(cung

A D

không chứa

B, C

và cung

B C

không chứa

A, D

).
Hai cung bằng nhau thì hai dây căng cung tương ứng cũng bằng nhau:

A D = B C

.
Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (

A D = B C

) và không phải hình bình hành (vì

A B ∥ C D

nhưng

A B \neq = C D

, do

A B C D

nội tiếp một đường tròn — nếu là hình bình hành thì không thể nội tiếp đường tròn trừ khi là hình chữ nhật, mâu thuẫn với giả thiết là hình thang có hai đáy khác độ dài) — theo dấu hiệu nhận biết, đây là hình thang cân.

Vậy $A B C D$ là hình thang cân (có hai cạnh bên bằng nhau).

3Cách 3. Dùng trục đối xứng

Định hướng. Kẻ đường kính vuông góc với $A B$ (và do đó cũng vuông góc với $C D$ vì $C D ∥ A B$ ), chứng minh đường kính đó là trục đối xứng của hình thang.

Kẻ đường kính

M N

của

(O)

vuông góc với dây

A B

tại trung điểm

H

của

A B

(đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm dây đó).
Vì

C D ∥ A B

nên

M N ⊥ C D

tại trung điểm

K

của

C D

(cùng lí do: đường kính vuông góc với dây thì qua trung điểm dây).
Phép đối xứng qua đường thẳng

M N

biến

(O)

thành chính nó, biến

A \leftrightarrow B

(vì

H

là trung điểm

A B

và

M N ⊥ A B

tại

H

), biến

D \leftrightarrow C

(tương tự với

K

Vậy đường thẳng $M N$ là trục đối xứng của hình thang $A B C D$ , nên $A B C D$ là hình thang cân.

Nhận xét. Cách 3 cho hình ảnh trực quan nhất (trục đối xứng), nhưng Cách 1 gọn và thuần đại số góc hơn, phù hợp trình bày nhanh khi đi thi.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng hai tính chất góc đã quen (trong cùng phía + đối bù nhau), không cần vẽ thêm đường kính như Cách 3.

Đáp số.

A B C D

là hình thang cân (có

A = B

C = D

, và

A D = B C

Sai lầm thường gặp. Nhầm lẫn hai loại quan hệ góc: tưởng

A

và

D

là hai góc ĐỐI của tứ giác (bù nhau do nội tiếp) trong khi thực ra chúng là hai góc TRONG CÙNG PHÍA do

A B ∥ C D

(cũng bù nhau nhưng vì lí do khác) — cần phân biệt rõ nguồn gốc của từng quan hệ

180°

khi trình bày.

🚀 Mở rộng. Đây là bài 9.27c (SBT) ở dạng tổng quát; kết hợp chiều ngược lại (hình thang cân luôn nội tiếp được một đường tròn, học ở lớp 8) ta có: một hình thang nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó là hình thang cân.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 9.22★★Trang 83— Tính diện tích hình chữ nhật khi biết tỉ số hai cạnh và bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bài 9.22 (trang 83). Tính diện tích của một hình chữ nhật, biết rằng hình chữ nhật đó có chiều dài gấp hai lần chiều rộng và bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

2, 5 cm

Kiến thức cần nhớ

Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật bằng nửa đường chéo.
Định lí Pythagore.
Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước.

🧠 Phân tích tư duy

Bán kính đường tròn ngoại tiếp cho biết ngay đường chéo (

= 2 R

), vì đường chéo hình chữ nhật luôn là đường kính. Tỉ số "chiều dài gấp hai lần chiều rộng" gợi ý đặt một ẩn duy nhất (chiều rộng) rồi biểu diễn chiều dài theo ẩn đó, đưa bài toán về đúng một phương trình Pythagore một ẩn. Bẫy nhỏ của đề là dễ nhầm bán kính với đường chéo — phải nhân đôi

R

trước khi lập phương trình.

1Cách 1. Đặt ẩn rồi dùng Pythagore

Định hướng. Gọi chiều rộng là $x$ , chiều dài là $2 x$ ; đường chéo $= 2 R = 5$ cm; lập phương trình Pythagore để tìm $x$ rồi tính diện tích.

Gọi chiều rộng hình chữ nhật là

x

(cm,

x > 0

), chiều dài là

2 x

.
Đường chéo hình chữ nhật bằng

2 R = 2 \cdot 2, 5 = 5

cm.
Theo Pythagore:

x^{2} + (2 x)^{2} = 5^{2}

5 x^{2} = 25

x^{2} = 5

.
Diện tích

S = x \cdot 2 x = 2 x^{2} = 2 \cdot 5 = 10

cm².

Vậy diện tích hình chữ nhật bằng $10 cm^{2}$ .

2Cách 2. Dùng công thức diện tích theo đường chéo và tỉ số cạnh

Định hướng. Không cần giải phương trình bậc hai với ẩn kích thước, biểu diễn thẳng diện tích qua bình phương đường chéo và tỉ số $k = 2$ giữa hai cạnh.

Gọi chiều rộng là

a

, chiều dài là

k a

với

k = 2

; đường chéo

d = 2 R = 5

cm.

d^{2} = a^{2} + (k a)^{2} = a^{2} (1 + k^{2})

, suy ra

a^{2} = \frac{d ^{2}}{1 + k ^{2}} = \frac{25}{1 + 4} = 5

.
Diện tích

S = a \cdot k a = k a^{2} = 2 \cdot 5 = 10

cm² (viết gọn:

S = \frac{k d ^{2}}{1 + k ^{2}} = \frac{2 \cdot 25}{5} = 10

Vậy $S = 10 cm^{2}$ , khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng lượng giác góc giữa đường chéo và cạnh

Định hướng. Gọi $θ$ là góc giữa đường chéo và chiều rộng, khi đó $tan θ = 2$ (đúng bằng tỉ số chiều dài trên chiều rộng); biểu diễn hai kích thước theo $sin θ, cos θ$ rồi tính diện tích qua đường chéo.

Gọi

θ

là góc giữa đường chéo

d

và cạnh chiều rộng; đặt chiều rộng là

a

, chiều dài là

b = 2 a

; vì

tan θ = \frac{b}{a}

nên

tan θ = 2

.
Chiều rộng

a = d cos θ

, chiều dài

b = d sin θ

S = d cos θ \cdot d sin θ = d^{2} sin θ cos θ = d^{2} \cdot \frac{tan θ}{1 + tan ^{2} θ} = 25 \cdot \frac{2}{1 + 4} = 25 \cdot \frac{2}{5} = 10

Vậy $S = 10 cm^{2}$ , khớp cả ba cách.

Nhận xét. Cách 3 tuy dùng lượng giác nhưng cho công thức tổng quát gọn: $S = \frac{k d ^{2}}{1 + k ^{2}}$ với $k$ là tỉ số hai cạnh, $d$ là đường chéo — áp dụng nhanh cho mọi bài dạng này mà không cần đặt lại ẩn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đặt ẩn trực tiếp, quen thuộc và ít sai sót nhất; Cách 3 chỉ nên dùng khi đã thuộc công thức để tính nhanh trắc nghiệm.

Đáp số. Diện tích hình chữ nhật bằng

10 cm^{2}

Sai lầm thường gặp. Nhầm bán kính với đường chéo — quên nhân đôi

R

để ra đường chéo trước khi áp dụng Pythagore, dẫn tới phương trình sai ngay từ đầu.

🚀 Mở rộng. Đây là dạng ngược của Ví dụ 3: Ví dụ 3 cho hai kích thước rồi tìm

R

; bài 9.22 cho

R

và tỉ số hai kích thước rồi tìm diện tích — cùng một công cụ Pythagore nhưng theo chiều tính toán ngược lại.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 9.23★★★Trang 83— Tính độ dài cung nửa đường tròn ngoại tiếp một hình chữ nhật cho trước, dựa vào Pythagore

Bài 9.23 (trang 83). Người ta muốn dựng một khung cổng hình chữ nhật rộng

4 m

và cao

3 m

, bên ngoài khung cổng được bao bởi một khung thép dạng nửa đường tròn như Hình 9.37. Tính chiều dài của đoạn thép làm khung nửa đường tròn đó.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Pythagore.
Độ dài đường tròn bán kính $R$ là $2 π R$ ; nửa đường tròn có độ dài $π R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hai đỉnh trên của khung cổng hình chữ nhật chạm vào nửa đường tròn, còn hai đỉnh dưới nằm trên đường kính (mặt đất) — đúng cấu trúc "hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn", đối xứng qua trục thẳng đứng đi qua tâm. Từ đó bán kính được tính bằng Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi tâm, chân đường cao và đỉnh trên của khung cổng, rồi độ dài đoạn thép chính là chu vi nửa đường tròn (nửa chu vi đường tròn bán kính đó).

1Cách 1. Dùng toạ độ và Pythagore

Định hướng. Đặt gốc toạ độ tại tâm $O$ của nửa đường tròn (trên mặt đất, tại trung điểm cạnh đáy khung cổng), biểu diễn đỉnh trên của khung cổng rồi dùng Pythagore để tìm bán kính.

Vì khung cổng hình chữ nhật đối xứng qua trục đứng của nửa đường tròn, tâm

O

của nửa đường tròn là trung điểm cạnh đáy (rộng

4

m) của khung cổng.
Đặt

O

làm gốc toạ độ, đỉnh trên của khung cổng (chạm vào nửa đường tròn) có toạ độ

(\frac{4}{2}; 3) = (2; 3)

(hoành độ bằng nửa chiều rộng, tung độ bằng chiều cao).
Bán kính

R =

khoảng cách từ

O

đến điểm đó:

R^{2} = 2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13

R = 13

m.
Chiều dài đoạn thép (nửa đường tròn)

= π R = π 13

Vậy chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn bằng $π 13 \approx 11, 33$ m.

2Cách 2. Dùng tam giác vuông dựng trực tiếp (không gán toạ độ)

Định hướng. Vẽ đường cao từ tâm $O$ xuống cạnh trên của khung cổng, tạo một tam giác vuông với hai cạnh góc vuông đã biết (nửa chiều rộng và chiều cao), cạnh huyền là bán kính — không cần đặt hệ trục.

Gọi

H

là chân đường cao từ tâm

O

xuống cạnh trên của khung cổng; vì khung cổng đối xứng qua trục đứng qua

O

nên

H

là trung điểm cạnh trên, và

O H

bằng chiều cao khung cổng:

O H = 3

H

cũng là trung điểm cạnh trên nên khoảng cách từ

H

đến đỉnh trên gần nhất bằng nửa chiều rộng:

= \frac{4}{2} = 2

m.
Gọi

A

là đỉnh trên của khung cổng; tam giác

O H A

vuông tại

H

có

O H = 3

H A = 2

O A^{2} = O H^{2} + H A^{2} = 3^{2} + 2^{2} = 13

, suy ra

R = O A = 13

m.
Chiều dài đoạn thép

= π R = π 13

Vậy chiều dài đoạn thép $\approx 11, 33$ m, khớp Cách 1.

Nhận xét. Hai cách bản chất là cùng một tam giác vuông (nửa chiều rộng, chiều cao, bán kính) chỉ khác cách trình bày — có toạ độ hay không; bài không có hướng tính bán kính nào khác vì chỉ có đúng một quan hệ Pythagore giữa các đại lượng đã cho.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dựng trực tiếp tam giác vuông

O H A

mà không cần đặt hệ trục, nhanh và trực quan hơn khi vẽ hình bằng tay.

Đáp số. Chiều dài đoạn thép làm khung nửa đường tròn bằng

π 13

\approx 11, 33

Sai lầm thường gặp. Nhầm chiều dài đoạn thép với CHU VI CẢ ĐƯỜNG TRÒN (

2 π R

) thay vì chỉ nửa đường tròn (

π R

) — đề chỉ hỏi phần khung thép hình nửa đường tròn phía trên, không tính luôn cả đường kính (mặt đất không cần thép).

🚀 Mở rộng. Nếu thay chiều rộng

4

m, chiều cao

3

m bằng hai ẩn

b, h

tổng quát thì bán kính

R = (\frac{b}{2})^{2} + h^{2}

và chiều dài khung thép luôn là

π R = π (\frac{b}{2})^{2} + h^{2}

— công thức dùng được cho mọi cổng vòm hình nửa đường tròn có khung chữ nhật bên trong.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcLuyện tập chung (trang 78–79)Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 9

📚 Cùng chương: Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27. Góc nội tiếp
Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác
Luyện tập chung (trang 78–79)
▶ Bài 29. Tứ giác nội tiếp