Luyện tập chung (trang 78–79)

Định hướng. Tam giác $OCA$ cân tại $O$ (vì $OA=OC$) nên từ $\widehat{OCA}=20^{\circ }$ suy ra được $\widehat{AOC}$, rồi lấy $360^{\circ }$ trừ hai góc ở tâm đã biết để ra góc ở tâm còn lại; mỗi góc của tam giác $ABC$ bằng nửa góc ở tâm chắn cung đối diện.

Vậy $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $\widehat{ABC}=70^{\circ }$, $\widehat{ACB}=50^{\circ }$.

Định hướng. Ba bán kính $OA,OB,OC$ chia tam giác $ABC$ thành ba tam giác cân tại $O$; góc của tam giác $ABC$ tại mỗi đỉnh chính là tổng hai góc đáy kề đỉnh đó của hai tam giác cân, nên chỉ cần tính đủ sáu góc đáy rồi cộng theo từng đỉnh.

Vậy $\widehat{BAC}=60^{\circ }$, $\widehat{ABC}=70^{\circ }$, $\widehat{ACB}=50^{\circ }$.

Nhận xét. Hai cách cho cùng kết quả và tổng ba góc bằng $180^{\circ }$, khớp với định lí tổng ba góc trong tam giác — dùng để tự kiểm tra đáp số.

Định hướng. Với tam giác đều cạnh $a$, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp trùng nhau; áp thẳng hai công thức $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ và $r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Vậy $R=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm và $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

Định hướng. Ở tam giác đều, tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp chính là trọng tâm, mà trọng tâm chia mỗi đường cao theo tỉ số $2:1$ tính từ đỉnh; tính đường cao rồi chia tỉ lệ.

Vậy $R=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm và $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

Định hướng. Không cần nhớ công thức riêng của tam giác đều — tính diện tích $S$ bằng công thức tam giác đều rồi thế vào hai công thức tổng quát liên hệ $S$ với $r$ và với $R$.

Vậy $R=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ cm và $r=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ cm.

Nhận xét. Ba cách cho cùng đáp số và luôn có $R=2r$ ở tam giác đều — kết quả riêng của tam giác đều, không đúng cho tam giác thường.

Định hướng. Dùng công thức $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$ cho câu a); ở câu b), vì tam giác $ABC$ đều nên góc ở tâm $\widehat{BOC}=120^{\circ }$, diện tích viên phân bằng diện tích hình quạt $OBC$ trừ diện tích tam giác $OBC$ (tính theo công thức $\frac{1}{2}{R}^2\sin \widehat{BOC}$).

Vậy $R=\sqrt{3}$ cm và diện tích hình viên phân bằng $\pi -\frac{3\sqrt{3}}{4}$ cm${}^2$ ($\approx 1,84$ cm${}^2$).

Định hướng. Ở tam giác đều, tâm $O$ là trọng tâm nên chia đường cao theo tỉ số $2:1$; câu b) dùng thẳng công thức diện tích viên phân theo góc ở tâm tính bằng radian.

Vậy $R=\sqrt{3}$ cm và diện tích hình viên phân bằng $\pi -\frac{3\sqrt{3}}{4}$ cm${}^2$.

Định hướng. Câu a) dùng định lí sin trong tam giác $ABC$ ($\hat{A}=60^{\circ }$ vì tam giác đều); câu b) tính diện tích tam giác cân $OBC$ ($OB=OC=R$, $BC=3$) bằng công thức Heron thay vì công thức lượng giác, rồi vẫn trừ cho diện tích hình quạt.

Vậy $R=\sqrt{3}$ cm và diện tích hình viên phân bằng $\pi -\frac{3\sqrt{3}}{4}$ cm${}^2$.

Nhận xét. Ba cách tìm $R$ khác hẳn nhau (công thức đặc trưng, tỉ lệ trọng tâm, định lí sin) nhưng cùng cho $R=\sqrt{3}$ cm — có thể dùng chéo để tự kiểm tra bài làm.

Định hướng. Vì khu vui chơi (miền tam giác) là bao lồi của ba đỉnh, khoảng cách lớn nhất từ một điểm bất kì trong tam giác tới một điểm cố định luôn đạt được tại một đỉnh; nên điểm cần tìm — điểm có khoảng cách xa nhất tới mọi vị trí trong khu vui chơi là nhỏ nhất — chính là tâm đường tròn ngoại tiếp $O$, với khoảng cách xa nhất đúng bằng bán kính $R$. Chỉ cần so sánh $R$ với $50$ m.

Vậy đặt bộ phát sóng tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác thì khoảng cách xa nhất tới một điểm bất kì trong khu vui chơi chỉ khoảng $34,64$ m, nhỏ hơn tầm phát $50$ m nên tìm được vị trí thoả mãn.

Định hướng. Dùng định lí sin $\frac{a}{\sin A}=2R$ với góc $\hat{A}=60^{\circ }$ của tam giác đều, thay vì nhớ công thức riêng $R=\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Vậy vẫn được $R\approx 34,64$ m $<50$ m nên tìm được vị trí đặt bộ phát sóng thoả mãn — đặt tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Định hướng. Tính diện tích tam giác đều bằng công thức $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$, rồi dùng công thức tổng quát liên hệ ba cạnh, diện tích và bán kính ngoại tiếp của mọi tam giác.

Vậy tìm được vị trí đặt bộ phát sóng — đó là tâm đường tròn ngoại tiếp khu vui chơi, cách mỗi góc khu vui chơi khoảng $34,64$ m.

Nhận xét. Ba cách đều quy về tính bán kính đường tròn ngoại tiếp $R=20\sqrt{3}$ m — con số duy nhất cần so với tầm phát $50$ m; nếu tầm phát chỉ $30$ m thì sẽ không tìm được vị trí.

Định hướng. Kiểm tra $900^2+1200^2=1500^2$ để thấy tam giác vuông tại đỉnh giữa hai cạnh $900$ m và $1200$ m, từ đó tính diện tích bằng nửa tích hai cạnh góc vuông; điểm cách đều ba cạnh là tâm đường tròn nội tiếp, bán kính $r=\frac{S}{p}$ chính là khoảng cách cần tìm.

Vậy a) chu vi $3600$ m, diện tích $540000$ m${}^2$. b) khách sạn cách mỗi con đường $300$ m.

Định hướng. Với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$, $b$ và cạnh huyền $c$, bán kính đường tròn nội tiếp có công thức riêng $r=\frac{a+b-c}{2}$, tính thẳng không cần qua diện tích.

Vậy a) chu vi $3600$ m, diện tích $540000$ m${}^2$. b) khách sạn cách mỗi con đường $300$ m.

Định hướng. Tính diện tích bằng công thức Heron theo ba cạnh, áp dụng được cho mọi tam giác kể cả khi không nhận ra tam giác vuông; sau đó vẫn dùng $r=\frac{S}{p}$ cho câu b).

Vậy a) chu vi $3600$ m, diện tích $540000$ m${}^2$. b) khách sạn cách mỗi con đường $300$ m.

Nhận xét. Ba cách cùng cho diện tích $540000$ m${}^2$ và $r=300$ m; Cách 1, Cách 2 ngắn hơn hẳn nhờ phát hiện được tam giác vuông, còn Cách 3 chắc chắn dùng được kể cả khi ba cạnh không tạo tam giác vuông.