Luyện tập chung

Định hướng. Hạ $MH\perp Ox$, $MK\perp Oy$ rồi so sánh hai tam giác vuông $OHM$, $OKM$ có chung cạnh huyền $OM$.

Vậy $OM$ nằm trong góc $xOy$ và $\widehat{xOM}=\widehat{MOy}$, nên $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$, tức là $M$ nằm trên tia phân giác của góc $xOy$.

Định hướng. Từ $MH=MK$ suy ra tam giác $MHK$ cân, biến đổi góc để được $OH=OK$, rồi dùng trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

Vậy $OM$ là tia phân giác của góc $xOy$, tức là $M$ nằm trên tia phân giác của góc $xOy$.

Nhận xét. Cách 2 chỉ mô tả đúng cho hình vẽ như sách giáo khoa; Cách 1 không phụ thuộc vị trí của $H$, $K$ nên gọn và an toàn hơn.

Định hướng. Nối dài $BA$ thêm $AD=AC$ để đổi $AB+AC$ thành cạnh $BD$ của tam giác $BCD$, rồi so sánh hai góc $\widehat{BCD}$, $\widehat{BDC}$.

Vậy $AB+AC=BD>BC$, tức là $AB+AC>BC$.

Định hướng. Kẻ $AH\perp BC$ ($H$ thuộc đường thẳng $BC$); trong tam giác vuông cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông, nên chia theo vị trí của $H$.

Vậy Trong mọi trường hợp $AB+AC>BC$.

Nhận xét. Trường hợp $H$ nằm ngoài đoạn $BC$ ở phía $C$ làm tương tự bằng cách đổi vai trò $B$, $C$.

Định hướng. Nếu $AB\ge BC$ thì xong ngay; nếu $AB<BC$ thì lấy $E$ trên $BC$ với $BE=BA$, khi đó chỉ cần chứng minh $AC>EC$.

Vậy Trong mọi trường hợp $AB+AC>BC$.

Nhận xét. Cách này không cần vẽ thêm tia đối mà chỉ dùng điểm $E$ nằm ngay trên cạnh $BC$.

Định hướng. Nhận ra $AB$, $AD$ là các đường vuông góc kẻ từ $A$ tới $BC$, $CD$; $AM$ là đường xiên.

Vậy $AM\ge AB$ (bằng độ dài cạnh hình vuông) với mọi $M$ nằm trên cạnh $BC$ hoặc $CD$.

Định hướng. Tam giác $ABM$ (hoặc $ADM$) có một góc vuông, nên cạnh đối diện góc vuông là cạnh lớn nhất.

Vậy $AM\ge AB$ với mọi $M$ nằm trên cạnh $BC$ hoặc $CD$.

Định hướng. Chỉ cần thử bất đẳng thức tam giác với cạnh lớn nhất, vì hai bất đẳng thức còn lại chắc chắn đúng.

Vậy không có tam giác nào có độ dài ba cạnh là $2,5$ cm; $3,4$ cm và $6$ cm, vì trái với bất đẳng thức tam giác.

Định hướng. Dùng dạng khác của bất đẳng thức tam giác: hiệu hai cạnh nhỏ hơn cạnh thứ ba.

Vậy không tồn tại tam giác có ba cạnh $2,5$ cm; $3,4$ cm và $6$ cm.

Định hướng. Giả sử có tam giác $ABC$ với $AB=6$, $AC=3,4$, $BC=2,5$, rồi lấy $D$ trên $AB$ sao cho $AD=AC$ để tạo tam giác cân.

Vậy không có tam giác nào có độ dài ba cạnh là $2,5$ cm; $3,4$ cm và $6$ cm.

Định hướng. Hai cạnh đã cho là $2$ và $5$; cạnh thứ ba bằng một trong hai số đó, thử từng khả năng.

Vậy chu vi của tam giác cân đó là $12$ cm.

Định hướng. Gọi $x$ là cạnh thứ ba, dùng $|5-2|<x<5+2$ để loại giá trị không thoả.

Vậy chu vi của tam giác cân đó là $12$ cm.

Định hướng. Từ $a<b+c$ suy ra $2a<a+b+c$, tức là mỗi cạnh nhỏ hơn nửa chu vi; thử cho hai bộ ba cạnh.

Vậy chu vi của tam giác cân đó là $12$ cm.

Định hướng. Gọi $x$ (cm) là cạnh thứ ba, tìm khoảng của $x$ bằng bất đẳng thức tam giác rồi chọn số tự nhiên lẻ trong khoảng đó.

Vậy cạnh còn lại dài $7$ cm.

Định hướng. Thử các số lẻ $1$, $3$, $5$, $7$, $9$, $11$ với hai điều kiện $x+2>7$ và $x<7+2$.

Vậy cạnh còn lại dài $7$ cm.

Định hướng. Gọi $c$ là cạnh thứ ba và $P=a+b+c$ là chu vi; dùng $b+c>a$ cho vế trái và $c<a+b$ cho vế phải.

Vậy $2a<P<2(a+b)$.

Định hướng. Từ $a-b<c<a+b$ tách riêng hai vế: vế trái cho $P>2a$, vế phải cho $P<2(a+b)$.

Vậy $2a<P<2(a+b)$.

Định hướng. Thay $CB$ bằng $C{B}^{\prime }$ (nhờ $d$ là trung trực của $B{B}^{\prime }$) để $CA+CB$ trở thành $CA+C{B}^{\prime }$, đường gấp khúc nối hai điểm cố định $A$ và $B^{\prime }$.

Vậy điểm $C$ cần tìm là giao điểm của đoạn thẳng $A{B}^{\prime }$ với đường thẳng $d$, và khi đó tổng $CA+CB=A{B}^{\prime }$ ngắn nhất.

Định hướng. Đổi vai trò của $A$ và $B$: lấy điểm đối xứng của $A$ thay vì $B$.

Vậy điểm $C$ cần tìm là giao điểm của đoạn thẳng $A^{\prime }B$ với đường thẳng $d$.

Nhận xét. Hai đoạn $A{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$ cắt $d$ tại cùng một điểm (do tính đối xứng qua $d$), nên hai cách cho cùng một điểm $C$.