Chương III. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài 8. Mẫu số liệu ghép nhóm

Sách bài tập Toán 11 — Kết nối tri thức, tập 1 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · 3.1★★Trang 45— Ghép nhóm mẫu số liệu theo tiêu chí phân loại cho trước; xếp một giá trị vào nhóm

Bài 3.1 (trang 45). Từ

1/7/2019

, dựa trên thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là GNIPC, tính theo đô la Mĩ), Ngân hàng Thế giới xác định một nền kinh tế ở mức thu nhập thấp nếu GNIPC nhỏ hơn

1026

, ở mức thu nhập dưới trung bình nếu GNIPC từ

1026

đến dưới

3996

, ở mức thu nhập trên trung bình nếu GNIPC từ

3996

đến dưới

12376

và ở mức thu nhập cao nếu GNIPC từ

12376

trở lên (Theo Ngân hàng Thế giới). Thu nhập bình quân đầu người của một số nền kinh tế thuộc khu vực châu Á Thái Bình Dương năm

2021

được cho như sau:

102450707006758055290474904544044570287301917018530165201379012904

1109011040104409450815072206960580044304340428042302100

(Theo statistica.com)
a) Ghép nhóm mẫu số liệu trên theo mức thu nhập của nền kinh tế.
b) GNIPC của Việt Nam năm

2021

là

11040

. Nền kinh tế Việt Nam được xếp ở mức nào?

Kiến thức cần nhớ

Ghép nhóm: chia miền giá trị thành các nhóm không giao nhau theo tiêu chí cho trước, rồi đếm số giá trị rơi vào mỗi nhóm (tần số).
Nhóm “từ $a$ đến dưới $b$ ” viết là $[a; b)$ : chứa $a$ , không chứa $b$ .
Tổng các tần số bằng cỡ mẫu $N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn bốn mức thu nhập với ba mốc

1026

;

3996

;

12376

— đó chính là các nhóm, không phải tự chọn độ dài nhóm. Dãy số liệu lại đã xếp giảm dần nên chỉ cần tìm chỗ dãy vượt qua từng mốc là đếm được tần số, khỏi rà từng số. Bẫy nằm ở đầu mút: “từ … đến dưới …” nghĩa là lấy đầu trái, bỏ đầu phải, và nhóm thu nhập thấp vẫn phải ghi ra dù tần số bằng

0

1Cách 1. Rà lần lượt từng giá trị và đánh dấu vào nhóm

Định hướng. Đặt bốn nhóm theo đúng bốn mức thu nhập, đi hết $26$ số và xếp từng số vào nhóm chứa nó.

x < 1026

: không có giá trị nào

\Rightarrow n_{1} = 0

1026 \leq x < 3996

2100 \Rightarrow n_{2} = 1

3996 \leq x < 12376

11090; 11040; 10440; 9450; 8150; 7220; 6960; 5800; 4430; 4340; 4280; 4230 \Rightarrow n_{3} = 12

x \geq 12376

102450; 70700; \dots; 13790; 12904 \Rightarrow n_{4} = 13

n_{1} + n_{2} + n_{3} + n_{4} = 0 + 1 + 12 + 13 = 26 = N

3996 \leq 11040 < 12376

Mức thu nhập	Thấp	Dưới trung bình	Trên trung bình	Cao
GNIPC (USD)	Dưới $1026$	$[1026; 3996)$	$[3996; 12376)$	Từ $12376$ trở lên
Số nền kinh tế	$0$	$1$	$12$	$13$

Vậy a) mẫu số liệu ghép nhóm như bảng trên với tần số $0$ ; $1$ ; $12$ ; $13$ . b) Nền kinh tế Việt Nam năm $2021$ ở mức thu nhập trên trung bình.

2Cách 2. Dùng thứ tự giảm dần: tìm vị trí dãy vượt qua mỗi mốc

Định hướng. Dãy đã xếp giảm dần nên các giá trị cùng một nhóm đứng liền nhau; tần số mỗi nhóm là hiệu hai vị trí ranh giới.

x_{13} = 12904 \geq 12376 > 11090 = x_{14} \Rightarrow n_{4} = 13

x_{25} = 4230 \geq 3996 > 2100 = x_{26} \Rightarrow n_{3} = 25 - 13 = 12

x_{26} = 2100 \geq 1026 \Rightarrow n_{2} = 26 - 25 = 1

n_{1} = 26 - 26 = 0

x_{15} = 11040 \in [3996; 12376)

Vậy a) các nhóm Thấp, Dưới trung bình, Trên trung bình, Cao có tần số lần lượt $0$ ; $1$ ; $12$ ; $13$ . b) Việt Nam ở mức thu nhập trên trung bình.

3Cách 3. Đếm hai nhóm đầu mút rồi lấy phần bù cho nhóm giữa lớn nhất

Định hướng. Nhóm trên trung bình đông nhất, đếm trực tiếp dễ sót; đếm các nhóm ít phần tử rồi trừ khỏi cỡ mẫu sẽ an toàn hơn.

n_{4} = # {x \geq 12376} = 13

n_{1} + n_{2} = # {x < 3996} = 1

, trong đó

n_{1} = # {x < 1026} = 0

n_{3} = N - n_{4} - n_{2} - n_{1} = 26 - 13 - 1 - 0 = 12

11040 - 3996 = 7044 > 0

và

12376 - 11040 = 1336 > 0

Vậy a) tần số bốn nhóm là $0$ ; $1$ ; $12$ ; $13$ . b) Việt Nam thuộc mức thu nhập trên trung bình.

Nhận xét. Phép trừ $N - n_{4} - n_{2} - n_{1}$ đồng thời là phép kiểm: nếu đếm trực tiếp nhóm giữa mà không ra $12$ thì chắc chắn đã sót hoặc đếm trùng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dãy đã sắp giảm dần nên chỉ cần tìm ba ranh giới là ra hết tần số, không phải rà

26

số; Cách 3 dùng để tự kiểm.

Đáp số. a) Thấp (dưới

1026

0

; Dưới trung bình

[1026; 3996)

1

; Trên trung bình

[3996; 12376)

12

; Cao (từ

12376

trở lên):

13

nền kinh tế. b) Việt Nam: mức thu nhập trên trung bình.

Sai lầm thường gặp. Hay xếp nhầm

12904

vào nhóm trên trung bình vì thấy nó sát mốc

12376

— khi đó nhóm cao chỉ còn

12

, nhóm trên trung bình thành

13

, sai cả hai tần số; thật ra

12904 \geq 12376

nên thuộc nhóm cao. Lỗi thứ hai là bỏ hẳn nhóm thu nhập thấp vì không có giá trị nào: bảng ghép nhóm theo tiêu chí phải liệt kê đủ các mức, nhóm rỗng ghi tần số

0

🚀 Mở rộng. Cùng dữ liệu, thử ghép thành các nhóm độ dài bằng nhau

[0; 20000)

[20000; 40000)

, … và so sánh: cách ghép theo tiêu chí kinh tế cho thông tin phân loại, còn cách ghép đều nhóm cho hình dạng phân bố.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 3.2★Trang 46— Đọc, giải thích mẫu số liệu ghép nhóm; đếm số ngày thỏa điều kiện

Bài 3.2 (trang 46). Thống kê chỉ số chất lượng không khí (AQI) tại một địa điểm vào các ngày trong tháng

6/2022

được cho trong bảng sau:

Chỉ số AQI	$[0; 50)$	$[50; 100)$	$[100; 150)$	$[150; 200)$	Trên $200$
Số ngày	$5$	$11$	$7$	$4$	$3$

a) Đọc và giải thích mẫu số liệu ghép nhóm.
b) Chất lượng không khí được xem là tốt nếu AQI nhỏ hơn

50

, là trung bình nếu AQI từ

50

đến dưới

100

. Trong tháng

6/2022

tại địa điểm này có bao nhiêu ngày chất lượng không khí dưới mức trung bình?

Kiến thức cần nhớ

Mỗi cột của bảng ghép nhóm cho biết có bao nhiêu giá trị thuộc khoảng $[a; b)$ .
Tần số tương đối của nhóm $i$ : $f_{i} = \frac{n _{i}}{N} \cdot 100%$ .
Số giá trị thuộc hợp các nhóm bằng tổng tần số các nhóm đó; phần bù bằng $N$ trừ đi.

🧠 Phân tích tư duy

Bảng đã ghép nhóm sẵn, mỗi cột là một khoảng AQI kèm số ngày rơi vào khoảng đó. “Dưới mức trung bình” nghĩa là tệ hơn mức trung bình, tức AQI từ

100

trở lên — không phải AQI nhỏ hơn

50

. Tổng tần số bằng

30

đúng số ngày của tháng

6

là một phép kiểm nhanh.

1Cách 1. Đọc từng nhóm rồi cộng tần số các nhóm cần tìm

Định hướng. Diễn đạt từng cột thành lời, rồi cộng số ngày của các nhóm có AQI từ $100$ trở lên.

N = 5 + 11 + 7 + 4 + 3 = 30

AQI \geq 100

[100; 150) \cup [150; 200) \cup (200; + \infty)

n = 7 + 4 + 3 = 14

Vậy a) trong $30$ ngày của tháng $6/2022$ : $5$ ngày AQI dưới $50$ ; $11$ ngày AQI từ $50$ đến dưới $100$ ; $7$ ngày từ $100$ đến dưới $150$ ; $4$ ngày từ $150$ đến dưới $200$ ; $3$ ngày AQI trên $200$ . b) Có $14$ ngày chất lượng không khí dưới mức trung bình.

2Cách 2. Lấy phần bù: tổng số ngày trừ số ngày tốt và trung bình

Định hướng. Số ngày tốt hoặc trung bình chỉ gồm hai nhóm đầu, trừ khỏi cả tháng là xong.

N = 30

AQI < 100

5 + 11 = 16

n = 30 - 16 = 14

Vậy a) mẫu gồm $30$ ngày, $16$ ngày không khí tốt hoặc trung bình (hai nhóm đầu), $14$ ngày còn lại AQI từ $100$ trở lên. b) Có $14$ ngày dưới mức trung bình.

3Cách 3. Đọc qua tần số tương đối và tần số tích lũy

Định hướng. Chuyển bảng sang tỉ lệ phần trăm và số ngày tích lũy để “giải thích” mẫu rõ hơn, rồi đọc thẳng kết quả câu b.

Chỉ số AQI	$[0; 50)$	$[50; 100)$	$[100; 150)$	$[150; 200)$	Trên $200$
Số ngày	$5$	$11$	$7$	$4$	$3$
Tần số tương đối	$16, 7%$	$36, 7%$	$23, 3%$	$13, 3%$	$10%$

AQI nhỏ hơn	$50$	$100$	$150$	$200$
Số ngày (tích lũy)	$5$	$16$	$23$	$27$

f_{3} + f_{4} + f_{5} = \frac{7 + 4 + 3}{30} \cdot 100% = \frac{14}{30} \cdot 100% \approx 46, 7%

n = 30 - 16 = 14

Vậy a) nhóm $[50; 100)$ chiếm tỉ lệ cao nhất (khoảng $36, 7%$ ), có $16$ ngày AQI dưới $100$ . b) Có $14$ ngày, chiếm khoảng $46, 7%$ số ngày trong tháng.

Nhận xét. Tỉ lệ gần một nửa số ngày có không khí dưới mức trung bình là thông tin “giải thích” sâu hơn con số $14$ đơn lẻ; biểu đồ cột càng thấy rõ ba cột tô đậm.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép cộng hai số nhỏ và một phép trừ, lại tự kiểm được tổng

30

ngày của tháng

6

Đáp số. a)

30

ngày:

5

ngày AQI thuộc

[0; 50)

11

ngày thuộc

[50; 100)

7

ngày thuộc

[100; 150)

4

ngày thuộc

[150; 200)

3

ngày trên

200

. b)

14

ngày.

Sai lầm thường gặp. Hiểu “dưới mức trung bình” là “AQI nhỏ hơn mức trung bình” rồi lấy nhóm

[0; 50)

được

5

ngày — sai, vì AQI càng nhỏ không khí càng tốt; dưới mức trung bình là AQI từ

100

trở lên. Cũng đừng bỏ sót nhóm “Trên

200

” khi cộng: chỉ lấy

7 + 4 = 11

là thiếu

3

ngày.

🚀 Mở rộng. Nếu tháng có

31

ngày và tần số nhóm “Trên

200

” chưa biết, tổng

N

đã cho giúp tìm lại tần số đó:

31 - (5 + 11 + 7 + 4) = 4

ngày.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 3.3★Trang 46— Phân loại số liệu theo tiêu chí và lập bảng ghép nhóm

Bài 3.3 (trang 46). Trẻ sơ sinh được xem là nhẹ cân nếu cân nặng khi sinh dưới

2

kg, là thừa cân nếu cân nặng khi sinh trên

4

kg, là có cân nặng trung bình nếu cân nặng khi sinh từ

2

kg đến

4

kg. Thống kê cân nặng (tính theo kg) của

15

trẻ sơ sinh tại một bệnh viện cho kết quả như sau:

3, 42, 71, 93, 53, 32, 84, 2

2, 62, 83, 03, 73, 94, 12, 72, 5

a) Tìm số trẻ nhẹ cân, thừa cân, có cân nặng trung bình trong

15

trẻ sơ sinh trên.
b) Xây dựng mẫu số liệu ghép nhóm cho mẫu số liệu trên.

Kiến thức cần nhớ

Nhóm “từ $a$ đến $b$ ” (lấy cả hai đầu) viết là $[a; b]$ ; “dưới $a$ ” gồm các giá trị $x < a$ ; “trên $b$ ” gồm các giá trị $x > b$ .
Bảng ghép nhóm gồm hàng các nhóm và hàng tần số; tổng tần số bằng $N$ .

🧠 Phân tích tư duy

Tiêu chí cân nặng đã chia sẵn ba nhóm: dưới

2

, từ

2

đến

4

, trên

4

— nhóm giữa lấy cả hai đầu mút nên viết

[2; 4]

. Chỉ có

15

số nên có thể rà trực tiếp, nhưng sắp xếp tăng dần hoặc chỉ soi hai đầu sẽ nhanh và khó sót hơn. Kết quả câu a chính là cột tần số của bảng ở câu b.

1Cách 1. Rà từng số liệu và đánh dấu vào ba nhóm

Định hướng. Đi lần lượt $15$ số theo đúng thứ tự đề cho, số nào dưới $2$ hay trên $4$ thì tách ra, còn lại là trung bình.

x < 2

1, 9 \Rightarrow 1

trẻ

x > 4

4, 2; 4, 1 \Rightarrow 2

trẻ

2 \leq x \leq 4

3, 4; 2, 7; 3, 5; 3, 3; 2, 8; 2, 6; 2, 8; 3, 0; 3, 7; 3, 9; 2, 7; 2, 5 \Rightarrow 12

trẻ

1 + 12 + 2 = 15 = N

Cân nặng (kg)	Dưới $2$	$[2; 4]$	Trên $4$
Số trẻ	$1$	$12$	$2$

Vậy a) có $1$ trẻ nhẹ cân, $2$ trẻ thừa cân, $12$ trẻ có cân nặng trung bình. b) Mẫu số liệu ghép nhóm như bảng trên.

2Cách 2. Sắp xếp tăng dần rồi cắt dãy tại hai mốc 2 và 4

Định hướng. Khi dãy đã tăng dần, mỗi nhóm là một đoạn liền nhau của dãy; tần số là số phần tử của đoạn.

1, 9 ∣ 2, 5; 2, 6; 2, 7; 2, 7; 2, 8; 2, 8; 3, 0; 3, 3; 3, 4; 3, 5; 3, 7; 3, 9 ∣ 4, 1; 4, 2

x_{1} = 1, 9 < 2 \leq 2, 5 = x_{2}

x_{13} = 3, 9 \leq 4 < 4, 1 = x_{14}

n_{1} = 1; n_{2} = 13 - 1 = 12; n_{3} = 15 - 13 = 2

Vậy a) $1$ trẻ nhẹ cân, $12$ trẻ cân nặng trung bình, $2$ trẻ thừa cân. b) Bảng ghép nhóm: Dưới $2$ : $1$ ; $[2; 4]$ : $12$ ; Trên $4$ : $2$ .

3Cách 3. Chỉ soi hai đầu, nhóm giữa lấy phần bù

Định hướng. Trẻ nhẹ cân và thừa cân rất ít, dễ nhận ra ngay; nhóm giữa đông nhất thì lấy $15$ trừ đi cho khỏi đếm.

# {x < 2} = 1

# {x > 4} = 2

# {2 \leq x \leq 4} = 15 - 1 - 2 = 12

Vậy a) nhẹ cân $1$ , trung bình $12$ , thừa cân $2$ trẻ. b) Mẫu ghép nhóm ba nhóm Dưới $2$ ; $[2; 4]$ ; Trên $4$ với tần số $1$ ; $12$ ; $2$ .

Nhận xét. Trên trục số (hình vẽ), $12$ chấm hồng nằm gọn giữa hai vạch $2$ và $4$ , chỉ $3$ chấm tím nằm ngoài — nhìn là đếm được ngay.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3: chỉ phải tìm các giá trị dưới

2

và trên

4

(rất ít), nhóm giữa lấy phần bù nên gần như không thể đếm sót.

Đáp số. a)

1

trẻ nhẹ cân,

12

trẻ có cân nặng trung bình,

2

trẻ thừa cân. b) Cân nặng (kg): Dưới

2

[2; 4]

| Trên

4

; Số trẻ:

1

12

2

Sai lầm thường gặp. Viết nhóm giữa là

[2; 4)

theo thói quen nửa khoảng — sai tiêu chí vì trẻ nặng đúng

4

kg vẫn là cân nặng trung bình (đề nói “từ

2

kg đến

4

kg”). Ngoài ra dễ đếm thiếu một trong hai giá trị lặp

2, 7

hoặc

2, 8

, làm nhóm giữa còn

11

; kiểm tổng

1 + 12 + 2 = 15

sẽ lộ ngay.

🚀 Mở rộng. Thử ghép cùng

15

số liệu thành các nhóm độ dài bằng nhau

[1, 5; 2, 0)

[2, 0; 2, 5)

, …,

[4, 0; 4, 5)

và so sánh: bảng đều nhóm cho thấy phân bố tập trung ở

[2, 5; 3, 0)

, còn bảng theo tiêu chí trả lời thẳng câu hỏi y tế.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 3.4★Trang 46— Đọc nhóm và tần số của mẫu ghép nhóm; đếm số giá trị thỏa điều kiện

Bài 3.4 (trang 46). Thời gian hoàn thành bài kiểm tra Toán

45

phút của các bạn trong lớp được cho như sau:

Thời gian (phút)	$[25; 30)$	$[30; 35)$	$[35; 40)$	$[40; 45]$
Số học sinh	$2$	$7$	$10$	$25$

a) Nêu các nhóm số liệu và tần số tương ứng.
b) Có bao nhiêu học sinh hoàn thành bài kiểm tra trước khi hết giờ trên

5

phút?

Kiến thức cần nhớ

Mẫu số liệu ghép nhóm cho bởi bảng các nhóm $[a_{i}; a_{i + 1})$ và tần số $n_{i}$ tương ứng.
Số giá trị nhỏ hơn $a_{k}$ (với $a_{k}$ là đầu mút) bằng tổng tần số các nhóm đứng trước mốc $a_{k}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Câu a chỉ là đọc bảng: bốn nhóm, bốn tần số. Câu b phải dịch lời sang điều kiện toán: nộp bài trước khi hết giờ trên

5

phút nghĩa là thời gian làm bài

t

thỏa

45 - t > 5

, tức

t < 40

. Mốc

40

trùng đầu mút nên ba nhóm đầu được lấy trọn, nhóm cuối bị loại hẳn.

1Cách 1. Chuyển điều kiện thành t < 40 rồi cộng tần số ba nhóm đầu

Định hướng. Viết điều kiện theo thời gian làm bài $t$ , xác định các nhóm nằm trọn trong miền $t < 40$ .

45 - t > 5

t < 40

[25; 30) \cup [30; 35) \cup [35; 40) = [25; 40)

n = 2 + 7 + 10 = 19

Vậy a) các nhóm $[25; 30)$ , $[30; 35)$ , $[35; 40)$ , $[40; 45]$ có tần số lần lượt $2$ ; $7$ ; $10$ ; $25$ . b) Có $19$ học sinh hoàn thành bài trước khi hết giờ trên $5$ phút.

2Cách 2. Phần bù: cả lớp trừ nhóm làm bài từ 40 phút trở lên

Định hướng. Chỉ nhóm cuối $[40; 45]$ là không thỏa, nên lấy sĩ số trừ tần số nhóm đó.

N = 2 + 7 + 10 + 25 = 44

t \geq 40

n_{4} = 25

n = 44 - 25 = 19

Vậy a) bốn nhóm $[25; 30)$ , $[30; 35)$ , $[35; 40)$ , $[40; 45]$ với tần số $2$ ; $7$ ; $10$ ; $25$ (lớp có $44$ học sinh). b) Có $19$ học sinh.

3Cách 3. Đổi sang thời gian còn dư s = 45 − t

Định hướng. Câu hỏi nói về thời gian còn dư chứ không phải thời gian làm bài; đổi biến $s = 45 - t$ thì điều kiện trở thành $s > 5$ và đọc thẳng trên bảng mới.

s = 45 - t

t \in [25; 30) \Leftrightarrow s \in (15; 20]

t \in [30; 35) \Leftrightarrow s \in (10; 15]

t \in [35; 40) \Leftrightarrow s \in (5; 10]

t \in [40; 45] \Leftrightarrow s \in [0; 5]

Thời gian còn dư (phút)	$(15; 20]$	$(10; 15]$	$(5; 10]$	$[0; 5]$
Số học sinh	$2$	$7$	$10$	$25$

s > 5

(5; 10] \cup (10; 15] \cup (15; 20]

n = 10 + 7 + 2 = 19

Vậy a) các nhóm và tần số: $[25; 30)$ : $2$ ; $[30; 35)$ : $7$ ; $[35; 40)$ : $10$ ; $[40; 45]$ : $25$ . b) Có $19$ học sinh.

Nhận xét. Phép đổi biến làm lộ ra vì sao nhóm $[35; 40)$ được lấy trọn: $t$ tiến sát $40$ thì $s$ vẫn lớn hơn $5$ ; còn học sinh làm đúng $40$ phút thì chỉ dư đúng $5$ phút, không “trên $5$ phút”.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: một phép trừ

44 - 25

, đồng thời buộc phải tính sĩ số

N = 44

— thông tin hay được hỏi thêm ở các câu sau.

Đáp số. a)

[25; 30)

2

;

[30; 35)

7

;

[35; 40)

10

;

[40; 45]

25

học sinh. b)

19

học sinh.

Sai lầm thường gặp. Hiểu “trước khi hết giờ trên

5

phút” là “làm bài trên

5

phút” hoặc chỉ lấy nhóm

[35; 40)

được

10

— sai; điều kiện đúng là

t < 40

gồm cả ba nhóm đầu. Lỗi khác: lấy luôn nhóm

[40; 45]

vì thấy chữ “

40

”, ra

44

học sinh.

🚀 Mở rộng. Nếu hỏi số học sinh nộp bài trước khi hết giờ trên

10

phút thì điều kiện là

t < 35

, mốc

35

trùng đầu mút nên lấy trọn hai nhóm đầu:

2 + 7 = 9

học sinh; còn nếu mốc rơi vào giữa một nhóm (chẳng hạn trên

7

phút,

t < 38

) thì mẫu ghép nhóm không cho câu trả lời chính xác.

Mở bài này trong app ↗