Bài 30. Đa giác đều

Định hướng. Kiểm tra lần lượt sáu hình theo ba ý của định nghĩa đa giác đều.

Vậy các đa giác đều trong danh sách là: tam giác đều, hình vuông, lục giác đều (các ý a, b, f).

Định hướng. Thay vì kiểm tra đủ ba ý cho MỌI hình, chỉ cần tìm một lí do loại nhanh cho từng hình không phải đa giác đều, còn lại là đáp số.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: a), b), f) là các đa giác đều.

Định hướng. Kiểm tra tính lồi rồi đến cạnh, góc cho cả bốn hình; hình a) là hình vuông đặt nghiêng nên vẫn phải được công nhận là đa giác đều.

Vậy chỉ có hình a) có dạng đa giác đều (một hình vuông đặt nghiêng).

Định hướng. Đếm số ô ngang và ô dọc của MỖI cạnh trong từng hình; cạnh nào có cặp số ô khác nhau giữa các cạnh thì loại ngay hình đó.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: chỉ hình a) là đa giác đều.

Nhận xét. Mẹo đếm ô ngang–dọc giúp so sánh độ dài các cạnh chính xác mà không cần công thức khoảng cách.

Định hướng. Kiểm tra $ON=OM$ (dấu tích), góc $\widehat{NOM}=60°$, rồi đến chiều quay từ $N$ (gốc) đến $M$ (ảnh) phải là chiều ngược kim đồng hồ.

Vậy chỉ có hình d) vẽ đúng hai điểm $M,N$ thoả mãn phép quay ngược chiều $60°$ tâm $O$ biến $N$ thành $M$.

Định hướng. Phép quay ngược chiều $60°$ biến $N$ thành $M$ cũng chính là phép quay THUẬN chiều $60°$ biến $M$ thành $N$ (hai phép quay ngược nhau của cùng một cặp điểm) — so sánh với bài toán quen thuộc "thuận chiều biến $M$ thành $N$" đã gặp ở SGK.

Vậy hình d) là hình vẽ đúng theo yêu cầu đề bài.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy hình d) ở bài này chính là hình d) trong bài toán "thuận chiều biến $M$ thành $N$" — cùng một hình vẽ, chỉ đổi cách diễn đạt bằng lời.

Định hướng. Sáu tam giác $OAB,OBC,OCD,ODE,OEF,OFA$ đều cân tại $O$ với hai cạnh bên $R$ và góc ở đỉnh $60°$ nên chúng bằng nhau, kéo theo sáu đường cao (khoảng cách từ $O$ đến các cạnh) bằng nhau.

Vậy khoảng cách từ $O$ đến sáu cạnh $AB,BC,CD,DE,EF,FA$ đều bằng nhau, tức $O$ cách đều tất cả các cạnh của lục giác đều.

Định hướng. Tính cụ thể độ dài đường cao $OM$ theo $R$ trong MỘT tam giác cân $OAB$; vì sáu tam giác giống hệt nhau (cùng $R$, cùng góc $60°$) nên kết quả bằng số này áp dụng chung cho cả sáu cạnh.

Vậy khoảng cách từ $O$ đến tất cả các cạnh của lục giác đều đều bằng $\frac{R\sqrt{3}}{2}$, tức $O$ cách đều các cạnh.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn GIÁ TRỊ cụ thể của khoảng cách (bán kính đường tròn nội tiếp lục giác đều), không chỉ dừng lại ở việc chứng minh chúng bằng nhau như Cách 1.

Định hướng. Tính góc ở đỉnh $O$ trước, rồi dùng tổng ba góc bằng $180°$ và tính chất hai góc đáy bằng nhau để suy ra từng góc đáy.

Vậy ba góc của mỗi tam giác nhỏ là $45°,67,5°,67,5°$.

Định hướng. Áp dụng trực tiếp công thức tính góc đáy tam giác cân theo góc ở đỉnh mà không cần tính tổng trung gian.

Vậy ba góc của mỗi tam giác nhỏ là $45°,67,5°,67,5°$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Tổng $67,5°+67,5°=135°$ chính là số đo mỗi góc trong của bát giác đều (hai tam giác kề nhau góp mỗi bên một góc đáy).

Định hướng. Sáu tam giác $A{A}^{\prime }{F}^{\prime },B{B}^{\prime }{A}^{\prime },C{C}^{\prime }{B}^{\prime },D{D}^{\prime }{C}^{\prime },E{E}^{\prime }{D}^{\prime },F{F}^{\prime }{E}^{\prime }$ đều cân với hai cạnh bên bằng nửa cạnh lục giác và góc xen giữa bằng $120°$ nên chúng bằng nhau.

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau — là một lục giác đều.

Định hướng. Lục giác đều $ABCDEF$ có phép quay $60°$ tâm $O$ biến $A\to B\to C\to \dots \to A$; phép quay này cũng biến trung điểm cạnh này thành trung điểm cạnh kế tiếp.

Vậy $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }{E}^{\prime }{F}^{\prime }$ là một lục giác đều.

Nhận xét. Cách 2 chỉ cần một câu về phép quay, ngắn gọn hơn việc chứng minh sáu tam giác bằng nhau như Cách 1.

Định hướng. Theo Hình 9.14, thứ tự $A,B,C$ theo chiều kim đồng hồ là $A,C,B$ (vì $A$ ở đỉnh trên, $B,C$ ở hai đáy); quay thuận chiều $120°$ đưa mỗi đỉnh sang đỉnh kế tiếp theo đúng thứ tự đó.

Vậy quay thuận chiều $120°$: $A\to C,B\to A,C\to B$; quay thuận chiều $240°$: $A\to B,B\to C,C\to A$; quay thuận chiều $360°$: mỗi điểm giữ nguyên.

Định hướng. Chỉ cần xác định ảnh sau $120°$ rồi lặp lại quy luật tuần hoàn chu kì $3$ đỉnh, tương tự Ví dụ 4 của SGK nhưng đổi chiều quay.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. So với Ví dụ 4 của SGK (quay NGƯỢC chiều, $A\to B\to C\to A$), bài này quay THUẬN chiều nên thứ tự ảnh bị đảo ngược: $A\to C\to B\to A$.

Định hướng. Theo Hình 9.15, thứ tự $A,B,C,D$ theo chiều KIM ĐỒNG HỒ là $A,B,C,D$ ($A$ trên-trái, $B$ trên-phải, $C$ dưới-phải, $D$ dưới-trái); do đó theo chiều NGƯỢC kim đồng hồ, thứ tự là $A,D,C,B$.

Vậy bảng ảnh của $A,B,C,D$ qua bốn phép quay như đã tính ở trên.

Định hướng. Chỉ cần xác định ảnh sau $90°$ rồi lặp lại quy luật tuần hoàn chu kì $4$ đỉnh.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. So với Luyện tập 2 của SGK (quay THUẬN chiều: $A\to B\to C\to D\to A$), bài này quay NGƯỢC chiều nên thứ tự ảnh bị đảo ngược: $A\to D\to C\to B\to A$.

Định hướng. Ba cung $\text{overparen}AC,\text{overparen}CE,\text{overparen}EA$ đều gồm $2$ cung nhỏ $60°$ của lục giác đều nên bằng nhau, suy ra $ACE$ đều; từ đó các phép quay giữ nguyên $ACE$ và $ABCDEF$ chỉ là bội số của góc ở tâm tương ứng.

Vậy a) $ACE$ là tam giác đều. b) ba phép quay $120°,240°,360°$. c) sáu phép quay $60°,120°,180°,240°,300°,360°$.

Định hướng. Xét ba tam giác cân $OAC,OCE,OEA$ có hai cạnh bên bằng $R$ và góc ở đỉnh bằng nhau ($120°$) nên bằng nhau, suy ra ba cạnh $AC,CE,EA$ bằng nhau.

Vậy kết quả trùng với Cách 1 ở cả ba ý.

Nhận xét. Cách 2 dùng lại đúng kĩ thuật tam giác cân bằng nhau đã quen từ HĐ1, không cần nhớ thêm tính chất cung–dây.

Định hướng. Cùng một phép quay biến $A\to B$ rồi $B\to C$ nên $OA=OB=OC$ (bảo toàn khoảng cách) và hai cung $AB,BC$ bằng nhau (bảo toàn góc quay $120°$).

Vậy $A,B,C$ cùng thuộc đường tròn tâm $O$ và $AB=BC=CA$, tức $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$.

Định hướng. Từ ba cung bằng nhau (mỗi cung $120°$) suy ra ba dây căng chúng bằng nhau — đây là hướng ngắn hơn vì không cần xét riêng ba tam giác cân.

Vậy $ABC$ là tam giác đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 gộp được bước tính cạnh chỉ trong một câu "cung bằng nhau thì dây bằng nhau", không cần xét lần lượt ba tam giác cân.

Định hướng. Vì $O$ là trung điểm $AB$ nên tia $OA$ và tia $OB$ đối nhau, cách nhau đúng $180°$ — đó chính là phép quay cần tìm. Với ý b), quy các đại lượng $OA=OB=OC=OD$ và hai góc vuông về việc nhận diện hai đường kính vuông góc.

Vậy a) phép quay $180°$ tâm $O$ biến $A$ thành $B$ và $B$ thành $A$. b) $ACBD$ có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên $ACBD$ là hình vuông.

Định hướng. Thay vì dùng dấu hiệu "hai đường chéo", chứng minh $ACBD$ là hình chữ nhật bằng các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, rồi thêm điều kiện hai cạnh kề bằng nhau để có hình vuông.

Vậy $ACBD$ là hình vuông, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 huy động lại kiến thức "góc nội tiếp chắn nửa đường tròn" của Bài 27 — cho thấy sự liên kết giữa các bài trong Chương IX.