Bài 1 · Bài 9.33★Trang 59— Nhận biết đa giác đều trong danh sách hình quen thuộc
Bài 9.33 (trang 59). Những hình nào dưới đây là đa giác đều? a) Tam giác đều; b) Hình vuông; c) Hình tròn; d) Hình bình hành; e) Hình chữ nhật; f) Lục giác đều.
Kiến thức cần nhớ
Đa giác đều là đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Hình tròn không phải là đa giác (không có cạnh thẳng, không có đỉnh).
🧠 Phân tích tư duy
Đề liệt kê cả hình tròn (không phải đa giác) lẫn các tứ giác không đều — dấu hiệu phải soát KỸ từng hình theo đúng ba ý của định nghĩa: là đa giác, lồi, cạnh và góc bằng nhau.
1Cách 1. Đối chiếu từng hình với định nghĩa
Định hướng. Kiểm tra lần lượt sáu hình theo ba ý của định nghĩa đa giác đều.
a) Tam giác đều: đa giác lồi, 3 cạnh bằng nhau, 3 góc bằng nhau ⇒ đa giác đều. b) Hình vuông: đa giác lồi, 4 cạnh bằng nhau, 4 góc bằng nhau (90°) ⇒ đa giác đều. c) Hình tròn: không có cạnh thẳng, không phải là đa giác ⇒ không phải đa giác đều. d) Hình bình hành: các cạnh đối bằng nhau nhưng hai cạnh kề thường không bằng nhau, các góc đối bằng nhau nhưng hai góc kề không bằng nhau ⇒ không phải đa giác đều. e) Hình chữ nhật: 4 góc bằng nhau (90°) nhưng hai cạnh kề thường không bằng nhau ⇒ không phải đa giác đều. f) Lục giác đều: đa giác lồi, 6 cạnh bằng nhau, 6 góc bằng nhau ⇒ đa giác đều.
Vậy các đa giác đều trong danh sách là: tam giác đều, hình vuông, lục giác đều (các ý a, b, f).
2Cách 2. Loại trừ theo lí do không thoả mãn
Định hướng. Thay vì kiểm tra đủ ba ý cho MỌI hình, chỉ cần tìm một lí do loại nhanh cho từng hình không phải đa giác đều, còn lại là đáp số.
Loại c) vì không phải là đa giác (không có cạnh thẳng). Loại d) vì hai cạnh kề của hình bình hành nói chung không bằng nhau. Loại e) vì hai cạnh kề của hình chữ nhật nói chung không bằng nhau. Còn lại a), b), f) đều đã biết chắc chắn là đa giác đều theo định nghĩa quen thuộc.
Vậy kết quả trùng với Cách 1: a), b), f) là các đa giác đều.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (loại trừ theo lí do ngắn gọn) vì nhanh hơn hẳn việc soát đủ ba ý định nghĩa cho cả sáu hình như Cách 1.
Đáp số.Các đa giác đều là: a) tam giác đều, b) hình vuông, f) lục giác đều.
Sai lầm thường gặp.Có bạn cho rằng hình chữ nhật cũng là đa giác đều vì "có đủ 4 góc vuông bằng nhau" — nhưng đa giác đều đòi hỏi CẢ cạnh lẫn góc bằng nhau, hình chữ nhật chỉ thoả góc, không thoả cạnh (trừ khi là hình vuông).
🚀 Mở rộng.Trong sáu hình trên, hình bình hành và hình chữ nhật đều là tứ giác có các góc đối bằng nhau nhưng chỉ hình vuông (tứ giác đều) mới thoả đủ điều kiện đa giác đều — đây là ranh giới phân loại tứ giác đặc biệt.
Bài 2 · Bài 9.34★Trang 59— Nhận biết đa giác đều trên lưới ô vuông
Bài 9.34 (trang 59). Hình phẳng nào dưới đây có dạng đa giác đều?
Kiến thức cần nhớ
Đa giác đều phải vừa lồi, vừa có cạnh bằng nhau, vừa có góc bằng nhau.
Trên lưới ô vuông, độ dài một đoạn xiên a ô ngang, b ô dọc bằng a2+b2 lần cạnh ô.
🧠 Phân tích tư duy
Bốn hình đều được vẽ trên lưới ô vuông — dấu hiệu để đếm trực tiếp số ô ngang/dọc nhằm so sánh cạnh, thay vì ước lượng bằng mắt; hình a) tuy "nghiêng" so với lưới vẫn cần được xét bình đẳng như các hình khác.
1Cách 1. Đối chiếu định nghĩa cho từng hình
Định hướng. Kiểm tra tính lồi rồi đến cạnh, góc cho cả bốn hình; hình a) là hình vuông đặt nghiêng nên vẫn phải được công nhận là đa giác đều.
Hình a: bốn cạnh đều xiên 2 ô ngang, 2 ô dọc nên dài bằng nhau (22 cạnh ô); bốn góc đều vuông (các cạnh kề vuông góc nhau trên lưới) ⇒ đây là một hình vuông (chỉ đặt nghiêng) ⇒ là đa giác đều. Hình b: là hình chữ nhật với cạnh ngang 2 ô, cạnh dọc 4 ô, hai cạnh kề không bằng nhau ⇒ không phải đa giác đều. Hình c: là bát giác với các cạnh không bằng nhau (có cạnh dài 2 ô, có cạnh xiên khác độ dài) ⇒ không phải đa giác đều. Hình d: có các góc lõm (dạng bậc thang, chữ thập thu nhỏ) ⇒ không phải đa giác lồi ⇒ không phải đa giác đều.
Vậy chỉ có hình a) có dạng đa giác đều (một hình vuông đặt nghiêng).
2Cách 2. Đo trực tiếp số ô ngang – dọc của từng cạnh
Định hướng. Đếm số ô ngang và ô dọc của MỖI cạnh trong từng hình; cạnh nào có cặp số ô khác nhau giữa các cạnh thì loại ngay hình đó.
Hình a: cả bốn cạnh đều "xiên 2 ngang – 2 dọc" (cùng độ dài) và các góc giữa hai cạnh kề đều 90°⇒ nhận. Hình b: hai cạnh có 2 ô, hai cạnh có 4 ô ⇒ loại. Hình c: các cạnh có số ô khác nhau (cạnh ngang 2 ô, cạnh xiên 2 ô,…) ⇒ loại. Hình d: có đỉnh lõm (góc trong lớn hơn 180°) ⇒ loại vì không lồi.
Vậy kết quả trùng với Cách 1: chỉ hình a) là đa giác đều.
Nhận xét. Mẹo đếm ô ngang–dọc giúp so sánh độ dài các cạnh chính xác mà không cần công thức khoảng cách.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi dùng Cách 2 (đếm ô ngang–dọc) vì nhìn trực quan trên lưới, nhanh hơn việc phát biểu đầy đủ định nghĩa như Cách 1.
Đáp số.Hình a) — một hình vuông đặt nghiêng so với lưới ô vuông — có dạng đa giác đều.
Sai lầm thường gặp.Có bạn thấy hình a) "nghiêng" so với các đường lưới nên cho rằng nó không phải hình vuông — cần nhớ tính đều của một đa giác không phụ thuộc vào việc nó được đặt thẳng hay nghiêng so với lưới tham chiếu.
🚀 Mở rộng.Nếu đổi hình a) thành hình xiên "1 ngang – 2 dọc" ở một cạnh và "2 ngang – 1 dọc" ở cạnh kề thì bốn cạnh tuy vẫn có thể bằng nhau (đều 5 cạnh ô) nhưng các góc sẽ không còn vuông — khi đó hình trở thành một hình thoi không đều, không còn là đa giác đều.
Bài 5 · Bài 9.37★Trang 60— Tính các góc của tam giác cân khi chia đa giác đều bằng các bán kính
Bài 9.37 (trang 60). Cho một bát giác đều (đa giác đều có 8 cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm O. Kẻ các đoạn thẳng nối O với các đỉnh của đa giác và chia đa giác thành 8 tam giác nhỏ cân tại đỉnh O. Ba góc của mỗi tam giác nhỏ có số đo bằng bao nhiêu?
Kiến thức cần nhớ
Góc ở đỉnh của mỗi tam giác cân tạo bởi hai bán kính liên tiếp là n360° (với n là số cạnh).
Bài 6 · Bài 9.38★★Trang 60— Chứng minh lục giác trung điểm của lục giác đều cũng là lục giác đều
Bài 9.38 (trang 60). Cho A′,B′,C′,D′,E′,F′ là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DE,EF,FA của lục giác đều ABCDEF. Chứng minh rằng A′B′C′D′E′F′ là một lục giác đều.
Kiến thức cần nhớ
Lục giác đều có 6 cạnh bằng nhau và 6 góc bằng nhau (đều 120°).
Hai tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau thì bằng nhau (c.g.c).
Phép quay 60° tâm của lục giác đều biến lục giác đó thành chính nó.
Bài 7 · Bài 9.39★★Trang 60— Xác định ảnh của các đỉnh tam giác đều qua nhiều phép quay thuận chiều liên tiếp
Bài 9.39 (trang 60). Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.14. Hãy cho biết các phép quay thuận chiều lần lượt 120°, 240°, 360° với tâm O biến các đỉnh A,B,C thành những điểm nào.
Kiến thức cần nhớ
Tam giác đều nội tiếp (O) chia đường tròn thành 3 cung bằng nhau, mỗi cung 120°.
Phép quay thuận chiều α° dịch mỗi điểm theo chiều kim đồng hồ đúng α° trên đường tròn tâm quay.
Bài 8 · Bài 9.40★★Trang 60— Xác định ảnh của các đỉnh hình vuông qua nhiều phép quay ngược chiều liên tiếp
Bài 9.40 (trang 60). Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) như Hình 9.15. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt 90°, 180°, 270°, 360° với tâm O biến các đỉnh A,B,C,D thành những điểm nào.
Kiến thức cần nhớ
Hình vuông nội tiếp đường tròn chia đường tròn thành 4 cung bằng nhau, mỗi cung 90°.
Phép quay ngược chiều α° dịch mỗi điểm theo chiều ngược kim đồng hồ đúng α°.
Bài 9 · Bài 9.41★★Trang 60— Chứng minh tam giác tạo bởi các đỉnh cách đều của lục giác đều là tam giác đều, liệt kê các phép quay
Bài 9.41 (trang 60). Cho lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn tâm O. a) Chứng tỏ ACE là tam giác đều. b) Liệt kê ba phép quay giữ nguyên tam giác đều ACE. c) Liệt kê sáu phép quay giữ nguyên lục giác đều ABCDEF.
Kiến thức cần nhớ
Lục giác đều nội tiếp (O) chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau, mỗi cung 60°.
Hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
Đa giác đều n cạnh có đúng n phép quay (tâm là tâm đa giác) giữ nguyên nó.
Bài 10 · Bài 9.42★★Trang 60— Chứng minh một tam giác là tam giác đều từ tính chất phép quay
Bài 9.42 (trang 60). Một phép quay thuận chiều 120° tâm O biến điểm A thành điểm B, biến điểm B thành điểm C. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác đều nội tiếp một đường tròn tâm O.
Kiến thức cần nhớ
Phép quay bảo toàn khoảng cách đến tâm quay.
Phép quay bảo toàn số đo góc và số đo cung.
Tam giác nội tiếp một đường tròn có ba cung căng ba cạnh bằng nhau thì là tam giác đều.
Bài 11 · Bài 9.43★★★Trang 60— Tìm phép quay đối xứng qua tâm và chứng minh tứ giác tạo bởi hai đường kính vuông góc là hình vuông
Bài 9.43 (trang 60). Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. a) Tìm một phép quay biến điểm A thành điểm B và biến điểm B thành điểm A. b) Phép quay thuận chiều 90° tâm O biến A thành C và biến B thành D. Chứng tỏ rằng ACBD là một hình vuông.
Kiến thức cần nhớ
O là trung điểm AB khi và chỉ khi A,O,B thẳng hàng và OA=OB.
Phép quay bảo toàn khoảng cách đến tâm và bảo toàn góc giữa hai đoạn thẳng qua tâm.
Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình vuông.
