Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 30. Đa giác đều

SGK Toán 9 — Kết nối tri thức, tập 2 · 21 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán9 #ChươngIX #SGK_Tập2 #trang84–89 #CùngBàiBênSBT

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · HĐ1★Trang 84— Giải thích một đa giác nội tiếp chia cung đều là đa giác đều

HĐ1 (trang 84). Ta đã biết các tam giác đều và hình vuông có các đỉnh nằm trên một đường tròn. Ta dựng một đa giác lồi 5 cạnh có các đỉnh nằm trên một đường tròn như sau: vẽ đường tròn tâm

O

bán kính

R

; lần lượt lấy các điểm

A, B, C, D, E

trên đường tròn theo thứ tự (cùng chiều) sao cho

A O B = B O C = C O D = D O E = E O A = \frac{360°}{5} = 72°

. Em hãy giải thích vì sao các cạnh và các góc của đa giác

A B C D E

bằng nhau (H.9.39).

Kiến thức cần nhớ

Hai tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và góc ở đỉnh bằng nhau thì bằng nhau (c.g.c).
Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau; góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn.
Phép quay giữ nguyên một đa giác đều nếu nó biến các đỉnh thành các đỉnh của chính đa giác đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho năm góc ở tâm bằng nhau (cùng bằng 72°) — dấu hiệu để dùng tam giác cân bằng nhau hoặc tính chất cung bằng nhau. Vì

O

là tâm chung của cả năm tam giác cân

O A B, O B C, \dots

nên so sánh trực tiếp các tam giác này là hướng ngắn nhất.

1Cách 1. Chứng minh các tam giác cân bằng nhau

Định hướng. Năm tam giác $O A B, O B C, O C D, O D E, O E A$ đều cân tại $O$ với hai cạnh bên bằng $R$ và góc ở đỉnh bằng $72°$ , nên chúng bằng nhau.

Xét

△ O A B

và

△ O B C

O A = O B = O C = R

A O B = B O C = 72°

.
Suy ra

△ O A B = △ O B C

(c.g.c)

\Rightarrow A B = B C

và

O B A = O C B

.
Tương tự

△ O B C = △ O C D = △ O D E = △ O E A = △ O A B

.
Do đó

A B = B C = C D = D E = E A

.
Mỗi tam giác cân có góc ở đỉnh

72°

nên hai góc đáy bằng

\frac{180° - 72°}{2} = 54°

.
Góc

A B C = O B A + O B C = 54° + 54° = 108°

, và tương tự tại

C, D, E, A

cũng đều bằng

108°

Vậy $A B C D E$ có năm cạnh bằng nhau và năm góc bằng nhau (đều bằng $108°$ ).

2Cách 2. Dùng cung tròn và góc nội tiếp

Định hướng. Năm góc ở tâm bằng nhau nên năm cung nhỏ $A B, B C, C D, D E, E A$ bằng nhau; áp dụng tính chất "dây căng cung" cho cạnh và "góc nội tiếp" cho góc.

Vì

A O B = B O C = C O D = D O E = E O A = 72°

nên năm cung nhỏ

\overparen A B = \overparen B C = \overparen C D = \overparen D E = \overparen E A

(đều có số đo

72°

).
Hai dây căng hai cung bằng nhau thì bằng nhau, suy ra

A B = B C = C D = D E = E A

.
Góc

A B C

là góc nội tiếp chắn cung

\overparen A E D C

(cung lớn không chứa

B

), có số đo

360° - 72° - 72° = 216°

A B C = \frac{1}{2} .216° = 108°

; tương tự các góc còn lại của ngũ giác cũng bằng

108°

Vậy $A B C D E$ có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau — đúng là một đa giác đều.

Nhận xét. Cách 2 giải thích luôn được đồng thời cả cạnh lẫn góc chỉ bằng hai tính chất của đường tròn, không cần xét từng cặp tam giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 2: chỉ hai tính chất "dây căng cung bằng nhau" và "góc nội tiếp" là xong, không phải liệt kê bốn lần tam giác bằng nhau như Cách 1.

Đáp số. Các cạnh

A B = B C = C D = D E = E A

và các góc tại

A, B, C, D, E

đều bằng

108°

vì năm cung căng chúng bằng nhau.

Sai lầm thường gặp. Có bạn chỉ chứng minh các cạnh bằng nhau rồi vội kết luận

A B C D E

là đa giác đều mà quên chứng minh các góc cũng bằng nhau — định nghĩa đa giác đều đòi hỏi CẢ HAI điều kiện (đa giác lồi có cạnh bằng nhau VÀ góc bằng nhau), thiếu một vế là chưa đủ.

🚀 Mở rộng. Với đa giác đều

n

cạnh dựng theo cách này, góc ở tâm mỗi phần là

\frac{360°}{n}

và mỗi góc trong của đa giác đều bằng

\frac{( n - 2 ) .180°}{n}

— chính là công thức tổng quát dùng lại xuyên suốt bài học.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu hỏi (trang 85)★Trang 85— Tính cạnh và góc của lục giác đều theo bán kính đường tròn ngoại tiếp

Câu hỏi (trang 85). Nếu một lục giác đều (đa giác đều 6 cạnh) nội tiếp đường tròn bán kính

2 cm

(H.9.40) thì độ dài các cạnh của lục giác đều bằng bao nhiêu centimét? Số đo các góc của lục giác đều bằng bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Góc ở tâm ứng với một cạnh của đa giác đều $n$ cạnh là $\frac{360°}{n}$ .
Tam giác cân có góc ở đỉnh $60°$ là tam giác đều.
Tổng các góc trong của đa giác lồi $n$ cạnh là $(n - 2) .180°$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lục giác đều chia đường tròn thành 6 cung bằng nhau nên góc ở tâm mỗi tam giác nhỏ là

60°

— dấu hiệu để nhận ra tam giác cân có góc ở đỉnh

60°

chính là tam giác đều, từ đó suy ra cạnh bằng bán kính ngay, không cần định lí côsin.

1Cách 1. Nhận diện tam giác đều

O A B

Định hướng. Góc ở tâm mỗi cạnh của lục giác đều là $\frac{360°}{6} = 60°$ ; tam giác $O A B$ cân tại $O$ có góc ở đỉnh $60°$ nên là tam giác đều, suy ra $A B = O A = R$ .

A O B = \frac{360°}{6} = 60°

△ O A B

cân tại

O

(

O A = O B = R = 2 cm

) có

A O B = 60°

nên

△ O A B

đều.
Suy ra

A B = O A = 2 cm

.
Góc trong của lục giác đều:

\frac{( 6 - 2 ) .180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°

Vậy mỗi cạnh của lục giác đều dài $2 cm$ và mỗi góc của nó bằng $120°$ .

2Cách 2. Dùng công thức cạnh đa giác đều nội tiếp

Định hướng. Cạnh $a$ của đa giác đều $n$ cạnh nội tiếp đường tròn bán kính $R$ tính theo công thức lượng giác $a = 2 R sin \frac{180°}{n}$ , áp dụng trực tiếp với $n = 6$ .

a = 2 R sin \frac{180°}{6} = 2.2. sin 30° = 4. \frac{1}{2} = 2 (cm)

.
Góc trong lục giác đều:

\frac{( 6 - 2 ) .180°}{6} = 120°

Vậy cạnh của lục giác đều bằng $2 cm$ , mỗi góc bằng $120°$ .

Nhận xét. Công thức $a = 2 R sin \frac{180°}{n}$ dùng được cho MỌI đa giác đều, không chỉ riêng lục giác.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi nên dùng Cách 1 khi

n = 3, 4, 6

(dễ nhận ra tam giác đặc biệt); dùng công thức của Cách 2 khi

n

lớn hoặc góc ở tâm không phải là góc quen thuộc.

Đáp số. Cạnh của lục giác đều bằng

2 cm

; mỗi góc của lục giác đều bằng

120°

Sai lầm thường gặp. Có bạn nhầm cạnh lục giác đều với đường kính hoặc với

R 3

(đó là cạnh của tam giác đều nội tiếp cùng đường tròn) — phải phân biệt rõ góc ở tâm của từng loại đa giác đều trước khi tính.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, khi góc ở tâm

\frac{360°}{n}

bằng đúng

60°

(tức

n = 6

) thì lục giác đều luôn có cạnh bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp — đây là lí do lục giác đều ghép khít với hình lục giác của tổ ong.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Ví dụ 1★Trang 85— Nhận biết đa giác đều qua định nghĩa và qua đường tròn ngoại tiếp

Ví dụ 1 (trang 85). a) Dưới đây là hình các đa giác đều thường gặp trong hình học: tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều (H.9.41). Vì sao mỗi hình đó đều là đa giác đều? b) Trong nghệ thuật, kiến trúc, công nghệ chế tạo và thế giới tự nhiên có nhiều hình phẳng có dạng đa giác đều (gạch lát hình vuông, trang trí bằng tam giác đều, mặt bàn hình bát giác đều, mặt đế đinh ốc, hộp đựng bánh kẹo, các lỗ tổ ong — H.9.42). Hãy kể thêm một ví dụ khác mà em biết.

Kiến thức cần nhớ

Đa giác đều là đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau.
Mọi đa giác đều luôn nội tiếp được trong một đường tròn (các đỉnh chia đường tròn thành các cung bằng nhau).
Góc trong của đa giác đều $n$ cạnh bằng $\frac{( n - 2 ) .180°}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Mỗi hình trong H.9.41 đã quen thuộc (tam giác đều, hình vuông,…) — dấu hiệu là chỉ cần đối chiếu với định nghĩa "đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau" thay vì đo đạc lại từ đầu. Với phần b), cần nhớ tới các vật quen thuộc có mặt cắt là đa giác đều trong đời sống.

1Cách 1. Đối chiếu trực tiếp với định nghĩa

Định hướng. Với mỗi hình, kiểm tra hai điều kiện của định nghĩa: đa giác lồi, các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau.

Tam giác đều:

3

cạnh bằng nhau,

3

góc bằng nhau (đều

60°

), là đa giác lồi.
Hình vuông:

4

cạnh bằng nhau,

4

góc bằng nhau (đều

90°

), là đa giác lồi.
Ngũ giác đều, lục giác đều, bát giác đều: theo đúng cách dựng ở HĐ1 (các đỉnh chia đường tròn thành các cung bằng nhau) nên cũng có cạnh bằng nhau, góc bằng nhau và là đa giác lồi.

Vậy cả năm hình ở H.9.41 đều thoả mãn định nghĩa đa giác đều.

2Cách 2. Dùng đường tròn ngoại tiếp chia cung đều

Định hướng. Mỗi đa giác đều $n$ cạnh đều nội tiếp một đường tròn với $n$ cung bằng nhau; đây là cách nhận diện nhanh không cần đo từng cạnh, từng góc.

Dựng đường tròn ngoại tiếp mỗi hình, chia thành

n

cung bằng nhau (

n = 3, 4, 5, 6, 8

).
Theo lập luận ở HĐ1, các đỉnh nối liên tiếp cho ra đa giác có cạnh bằng nhau và góc bằng nhau.

Vậy cả năm hình đều là đa giác đều — đúng như đã nhận ra ở Cách 1.

Nhận xét. Phần b): thực tế còn có mặt cắt lục giác đều của bu-lông, ô gạch lát hình ngũ giác đều trang trí, biển báo giao thông hình bát giác đều (biển STOP), viên kẹo hình lục giác đều,…

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi chỉ cần Cách 1 (đối chiếu định nghĩa) — nhanh và không cần vẽ thêm đường tròn ngoại tiếp.

Đáp số. Cả năm hình ở H.9.41 đều là đa giác đều vì đều là đa giác lồi có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau; ví dụ thêm trong đời sống: biển báo STOP hình bát giác đều, mặt cắt lục giác đều của bu-lông.

Sai lầm thường gặp. Có bạn thấy hình "trông đều" là kết luận ngay là đa giác đều mà quên kiểm tra tính LỒI — một ngôi sao 5 cánh có 10 cạnh bằng nhau và 10 góc lần lượt bằng nhau theo cặp nhưng KHÔNG lồi nên không phải đa giác đều.

🚀 Mở rộng. Khi

n

càng lớn, đa giác đều

n

cạnh nội tiếp một đường tròn bán kính

R

càng gần với chính đường tròn đó — đây là ý tưởng dùng để tính gần đúng số

π

thời cổ đại (phương pháp Archimedes).

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Ví dụ 2★Trang 86— Loại trừ để nhận biết đa giác đều

Ví dụ 2 (trang 86). Trong các hình phẳng dưới đây, hình phẳng nào có dạng là một đa giác đều? Hình a là một hình chữ L (không lồi); hình b là một hình thoi có hai đường chéo không bằng nhau; hình c là một bát giác có các cạnh không bằng nhau; hình d là một hình vuông (vẽ nghiêng).

Kiến thức cần nhớ

Đa giác đều phải vừa LỒI vừa có cạnh bằng nhau vừa có góc bằng nhau — thiếu một ý là loại.
Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nhưng các góc chỉ bằng nhau khi nó là hình vuông.
Đa giác có các cạnh bằng nhau chưa chắc có các góc bằng nhau (và ngược lại).

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho bốn hình có vẻ ngoài dễ nhầm là "đều" — dấu hiệu là phải kiểm tra LẦN LƯỢT cả hai điều kiện lồi và cạnh–góc bằng nhau cho từng hình, không được nhìn qua rồi đoán. Hình a mất tính lồi ngay từ đầu nên loại trước, đỡ mất công xét cạnh góc.

1Cách 1. Xét lần lượt từng điều kiện của định nghĩa

Định hướng. Kiểm tra tính lồi trước (loại nhanh hình không lồi), sau đó mới xét cạnh và góc của các hình còn lại.

Hình a: có một góc lõm (dạng chữ L) nên không phải đa giác lồi

\Rightarrow

không là đa giác đều.
Hình b: là hình thoi (4 cạnh bằng nhau) nhưng hai đường chéo không bằng nhau nên bốn góc không bằng nhau

\Rightarrow

không là đa giác đều.
Hình c: là bát giác nhưng các cạnh không bằng nhau

\Rightarrow

không là đa giác đều.
Hình d: là hình vuông (chỉ đặt nghiêng so với lưới ô), có

4

cạnh bằng nhau và

4

góc vuông bằng nhau, lại là đa giác lồi

\Rightarrow

là đa giác đều.

Vậy chỉ có hình d có dạng đa giác đều.

2Cách 2. Kiểm tra đường tròn ngoại tiếp

Định hướng. Một đa giác đều luôn có các đỉnh cùng cách đều một tâm; hình nào không dựng được tâm cách đều mọi đỉnh thì chắc chắn không phải đa giác đều.

Hình a: không lồi nên không thể có đường tròn ngoại tiếp mà mọi cạnh đều là dây căng cung bằng nhau.
Hình b: tâm giao hai đường chéo cách đều 4 đỉnh (vẫn nội tiếp được đường tròn) nhưng các cung căng bởi 4 cạnh không bằng nhau (do hai đường chéo khác độ dài) nên không đều.
Hình c: bát giác không đều thì không tồn tại một tâm cách đều tất cả các cạnh.
Hình d: hình vuông luôn có tâm cách đều 4 đỉnh và 4 cạnh chia đường tròn ngoại tiếp thành 4 cung bằng nhau.

Vậy kết quả vẫn là chỉ hình d có dạng đa giác đều.

Nhận xét. Hình vuông là đa giác đều duy nhất trong 4 hình dù được vẽ nghiêng bao nhiêu độ so với lưới ô vuông, vì tính đều không phụ thuộc vào cách đặt hình trên trang giấy.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: loại hình không lồi trước, sau đó chỉ cần một phản ví dụ (một cặp cạnh hoặc một cặp góc không bằng nhau) là đủ kết luận, không cần dựng đường tròn ngoại tiếp như Cách 2.

Đáp số. Chỉ có hình d (hình vuông) có dạng đa giác đều.

Sai lầm thường gặp. Có bạn thấy hình b "trông giống hình thoi cân đối" nên nhận nhầm là đa giác đều — cần nhớ hình thoi chỉ là đa giác đều khi nó đồng thời là hình vuông (góc

90°

🚀 Mở rộng. Đổi hình b thành hình thoi có hai đường chéo BẰNG NHAU thì nó trở thành hình vuông và khi đó nó cũng là một đa giác đều — đây chính là ranh giới giữa "thoi thường" và "thoi đều".

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Ví dụ 3★★Trang 86— Chứng minh một lục giác tạo bởi các điểm chia đều cạnh tam giác đều là lục giác đều

Ví dụ 3 (trang 86). Cho tam giác đều

A B C

có cạnh

6 cm

. Trên cạnh

A B

lấy các điểm

M, N

; trên cạnh

B C

lấy các điểm

P, Q

; trên cạnh

C A

lấy các điểm

E, F

, sao cho các đoạn thẳng

A M, M N, N B, B P, P Q, QC, C E, E F, F A

đều bằng

2 cm

như Hình 9.43. Hỏi

M N P QE F

có là một lục giác đều hay không?

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès đảo: nếu $\frac{A M}{A B} = \frac{A F}{A C}$ thì $M F ∥ B C$ và $\frac{M F}{B C} = \frac{A M}{A B}$ .
Tam giác cân có một góc bằng $60°$ là tam giác đều.
Phép quay $120°$ tâm trọng tâm của tam giác đều biến tam giác đó thành chính nó.

🧠 Phân tích tư duy

Đề đã cho sẵn ba cạnh

M N, P Q, E F

bằng nhau (đều bằng

2 cm

) — việc còn lại là chứng minh ba cạnh "bắc cầu"

F M, N P, QE

cũng bằng

2 cm

và các góc bằng nhau. Tỉ số

\frac{A M}{A B} = \frac{1}{3}

là dấu hiệu để dùng định lí Thalès đảo, suy ra các đoạn song song với cạnh tam giác.

1Cách 1. Định lí Thalès (như SGK)

Định hướng. Vì $A M = \frac{1}{3} A B$ và $A F = \frac{1}{3} A C$ nên theo Thalès đảo, $M F ∥ B C$ và $M F = \frac{1}{3} B C$ .

\frac{A M}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

nên theo Thalès đảo,

M F ∥ B C

.
Suy ra

\frac{M F}{B C} = \frac{1}{3}

, do đó

M F = \frac{1}{3} .6 = 2 (cm)

; tương tự

N P = QE = 2 cm

.
Vậy

M N = N P = P Q = QE = E F = F M = 2 cm

.
Tam giác

A M F

có

A M = A F = 2 cm

và

A = 60°

nên

△ A M F

đều, suy ra

A M F = 60° \Rightarrow F M N = 180° - 60° = 120°

.
Tương tự

M N P = N P Q = P QE = QE F = E F M = 120°

Vậy $M N P QE F$ có $6$ cạnh bằng nhau và $6$ góc bằng nhau (đều $120°$ ) — là một lục giác đều.

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hệ trục với gốc tại tâm tam giác để biến điều kiện hình học thành phép tính toạ độ, dùng công thức khoảng cách và tích vô hướng để kiểm tra trực tiếp.

Chọn

A (0; 33)

B (- 3; 0)

C (3; 0)

(tam giác đều cạnh

6

).
Từ tỉ lệ

\frac{1}{3}

và

\frac{2}{3}

trên mỗi cạnh, tính được

M, N

trên

A B

;

P, Q

trên

B C

;

E, F

trên

C A

.
Tính khoảng cách bằng công thức

(x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

cho cả sáu cạnh

M N, N P, P Q, QE, E F, F M

đều ra

2

.
Tính góc bằng tích vô hướng hai vectơ tại mỗi đỉnh, cả sáu góc đều ra

120°

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1: $M N P QE F$ là lục giác đều.

3Cách 3. Dùng phép quay

120°

Định hướng. Cấu hình các điểm chia đều ba cạnh có tính đối xứng quay bậc $3$ quanh tâm tam giác — phép quay $120°$ biến tam giác $A B C$ thành chính nó nên cũng biến các điểm chia đều thành nhau.

Gọi

G

là trọng tâm

△ A B C

. Phép quay thuận chiều

120°

tâm

G

biến

A \to B \to C \to A

.
Vì

A M = B P = C E = 2 cm

và

B N = C Q = A F = 2 cm

nên phép quay này biến

M \to P \to E \to M

và

F \to N \to Q \to F

.
Phép quay là một phép dời hình (bảo toàn khoảng cách) nên

F M = N P = QE

; kết hợp

M N = P Q = E F = 2 cm

(đề bài cho) suy ra cả sáu cạnh bằng nhau.
Tam giác

A M F

đều (như Cách 1) cho

F M N = 120°

; phép quay

120°

biến góc này thành

N P Q

và

QE F

nên ba góc đó bằng nhau; tương tự ba góc còn lại cũng bằng

120°

Vậy $M N P QE F$ là lục giác đều.

Nhận xét. Cách 3 tận dụng đúng chủ đề "phép quay" của bài học để tránh phải tính lại Thalès cho cả ba cặp cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: định lí Thalès quen thuộc, tính toán ngắn gọn, không cần đặt hệ trục hay dùng khái niệm phép quay.

Đáp số.

M N P QE F

là một lục giác đều (cạnh

2 cm

, mỗi góc

120°

Sai lầm thường gặp. Có bạn chỉ tính được ba cạnh

M N = P Q = E F = 2 cm

(đã cho sẵn trong đề) rồi kết luận ngay là lục giác đều mà quên chứng minh ba cạnh còn lại

F M, N P, QE

cũng bằng

2 cm

— đây là ý chính cần chứng minh, không phải dữ kiện có sẵn.

🚀 Mở rộng. Nếu chia mỗi cạnh tam giác đều thành

n

phần bằng nhau và lấy các điểm cách đều mỗi đầu đoạn

\frac{1}{n}

cạnh, ta luôn dựng được một lục giác đều tương tự — bài toán này là trường hợp

n = 3

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Luyện tập 1★★Trang 86— Chứng minh ngũ giác trung điểm của ngũ giác đều cũng là ngũ giác đều

Luyện tập 1 (trang 86). Cho

M, N, P, Q, K

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B, B C, C D, D E, E A

của ngũ giác đều

A B C D E

(H.9.44). Hỏi

M N P Q K

có phải là ngũ giác đều hay không?

Kiến thức cần nhớ

Ngũ giác đều có 5 cạnh bằng nhau và 5 góc bằng nhau (đều $108°$ ).
Hai tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau và góc xen giữa bằng nhau thì bằng nhau (c.g.c).
Phép quay $72°$ tâm của ngũ giác đều biến ngũ giác đó thành chính nó.

🧠 Phân tích tư duy

M, N, P, Q, K

là trung điểm nên

A M = B M = B N = C N = \dots = \frac{1}{2}

cạnh — dấu hiệu để ghép các tam giác cân bằng nhau ở mỗi đỉnh

A, B, C, D, E

(giống cách làm ở HĐ1) thay vì tính lại từ đầu.

1Cách 1. Ghép các tam giác bằng nhau ở mỗi đỉnh

Định hướng. Năm tam giác $A M K, B N M, C P N, D QP, E K Q$ đều cân với hai cạnh bên bằng nửa cạnh ngũ giác và góc xen giữa bằng $108°$ nên chúng bằng nhau.

A M = B N = C P = D Q = E K

và

A K = B M = C N = D P = E Q

(đều bằng nửa cạnh ngũ giác đều

A B C D E

A = B = C = D = E = 108°

(góc của ngũ giác đều).

\Rightarrow △ A M K = △ B N M = △ C P N = △ D QP = △ E K Q

(c.g.c).
Suy ra

M K = N M = P N = QP = K Q

, tức

M N P Q K

có

5

cạnh bằng nhau.
Từ các tam giác bằng nhau ở trên,

A M K = B N M = C P N = D QP = E K Q

(hai góc đáy tương ứng), nên góc còn lại tại mỗi đỉnh của ngũ giác nhỏ — ví dụ

K M N = 180° - A M K - B M N

— cũng bằng nhau tại cả năm đỉnh

M, N, P, Q, K

Vậy $M N P Q K$ có $5$ cạnh bằng nhau và $5$ góc bằng nhau, tức là một ngũ giác đều.

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt $A, B, C, D, E$ trên đường tròn đơn vị cách đều $72°$ rồi tính trực tiếp toạ độ trung điểm và so sánh độ dài, góc.

Chọn

A, B, C, D, E

là 5 đỉnh chia đều đường tròn tâm

O

bán kính

R

(mỗi cung

72°

).
Tính toạ độ

M, N, P, Q, K

là trung điểm từng cặp đỉnh liên tiếp.
Tính khoảng cách

M N, N P, P Q, Q K, K M

bằng công thức toạ độ — cả năm giá trị đều bằng nhau (cùng bằng

R sin 36°

).
Tính góc bằng tích vô hướng tại mỗi đỉnh — cả năm góc đều bằng

108°

Vậy $M N P Q K$ là ngũ giác đều, khớp với Cách 1.

3Cách 3. Dùng phép quay

72°

Định hướng. Ngũ giác đều $A B C D E$ có tâm đối xứng quay: phép quay $72°$ tâm $O$ biến $A \to B \to C \to D \to E \to A$ ; phép quay này cũng biến trung điểm của cạnh này thành trung điểm của cạnh kế tiếp.

Phép quay thuận chiều

72°

tâm

O

(tâm ngũ giác đều

A B C D E

) biến

A \to B, B \to C, C \to D, D \to E, E \to A

.
Do đó nó biến trung điểm

M

của

A B

thành trung điểm

N

của

B C

; tương tự

N \to P, P \to Q, Q \to K, K \to M

.
Phép quay là phép dời hình (bảo toàn khoảng cách và góc) nên

M N = N P = P Q = Q K = K M

và các góc tại

M, N, P, Q, K

đều bằng nhau.

Vậy $M N P Q K$ là ngũ giác đều.

Nhận xét. Cách 3 chỉ cần MỘT lập luận về phép quay, không phải chứng minh riêng cho từng cặp tam giác như Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 nếu đã học phép quay: chỉ một câu "phép quay

72°

tâm

O

bảo toàn khoảng cách" là xong; nếu chưa quen phép quay thì dùng Cách 1 (ghép tam giác bằng nhau) vẫn chắc chắn.

Đáp số.

M N P Q K

là một ngũ giác đều.

Sai lầm thường gặp. Có bạn chỉ chứng minh

5

tam giác nhỏ ở góc bằng nhau rồi dừng lại, quên nêu rõ hệ quả "suy ra

5

cạnh MNPQK bằng nhau VÀ 5 góc bằng nhau" — phải nêu đủ cả hai kết luận thì mới đúng định nghĩa đa giác đều.

🚀 Mở rộng. Kết quả này đúng cho MỌI đa giác đều: nối trung điểm các cạnh liên tiếp của một đa giác đều

n

cạnh luôn cho ra một đa giác đều

n

cạnh khác (nhỏ hơn và xoay đi một góc so với đa giác ban đầu).

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Thử thách nhỏ 1★Trang 87— Tính góc trong của bát giác đều

Thử thách nhỏ 1 (trang 87). Cho một bát giác đều (đa giác đều

8

cạnh) nội tiếp một đường tròn tâm

O

(H.9.45). Hỏi mỗi góc của bát giác đều có số đo bằng bao nhiêu?

Kiến thức cần nhớ

Tổng các góc trong của đa giác lồi $n$ cạnh là $(n - 2) .180°$ .
Góc ở tâm ứng với một cạnh của đa giác đều $n$ cạnh là $\frac{360°}{n}$ .
Tam giác cân có góc ở đỉnh $α$ thì hai góc đáy bằng $\frac{180° - α}{2}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bát giác đều có

8

cạnh — dấu hiệu để dùng công thức tổng góc trong đa giác lồi

n

cạnh, hoặc tách thành

8

tam giác cân bằng các bán kính như đã làm với lục giác.

1Cách 1. Công thức tổng góc trong

Định hướng. Bát giác đều có $8$ góc bằng nhau, dùng ngay công thức tổng góc trong chia đều cho $8$ .

Tổng các góc trong của bát giác lồi:

(8 - 2) .180° = 6.180° = 1080°

.
Bát giác đều có

8

góc bằng nhau nên mỗi góc bằng

\frac{1080°}{8} = 135°

Vậy mỗi góc của bát giác đều bằng $135°$ .

2Cách 2. Tách thành 8 tam giác cân tại tâm

Định hướng. Nối $O$ với $8$ đỉnh, bát giác chia thành $8$ tam giác cân bằng nhau; mỗi góc của bát giác là tổng hai góc đáy của hai tam giác kề nhau.

Góc ở tâm mỗi tam giác cân:

\frac{360°}{8} = 45°

.
Hai góc đáy của mỗi tam giác cân:

\frac{180° - 45°}{2} = 67, 5°

.
Mỗi góc của bát giác đều gồm hai góc đáy kề nhau:

67, 5° + 67, 5° = 135°

Vậy mỗi góc của bát giác đều bằng $135°$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho luôn cả số đo các góc đáy $67, 5°$ — hữu ích nếu đề hỏi tiếp về tam giác cân tại $O$ .

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép chia duy nhất

\frac{( 8 - 2 ) .180°}{8}

, nhanh hơn hẳn Cách 2 khi chỉ cần mỗi kết quả góc trong.

Đáp số. Mỗi góc của bát giác đều bằng

135°

Sai lầm thường gặp. Có bạn lấy nhầm

\frac{360°}{8} = 45°

làm góc của bát giác đều — đó là GÓC Ở TÂM chứ không phải góc trong của đa giác; hai đại lượng này chỉ bằng nhau khi

n = \dots

(không xảy ra ở đây, luôn phải phân biệt).

🚀 Mở rộng. Khi

n

càng lớn, góc trong

\frac{( n - 2 ) .180°}{n} = 180° - \frac{360°}{n}

càng gần

180°

— đa giác đều càng "phẳng", giải thích vì sao đa giác đều nhiều cạnh trông gần giống đường tròn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · HĐ2★Trang 87— Khám phá tính chất bảo toàn khoảng cách của phép quay

HĐ2 (trang 87). Để bày bàn ăn cho nhiều người, các nhà hàng thường sử dụng bàn xoay có hình tròn và quay được quanh tâm của hình tròn. Đặt một chiếc cốc nhỏ ở vị trí điểm

A

trên bàn xoay hình tròn với tâm

O

sao cho điểm

A

khác điểm

O

. Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ (H.9.46) thì chiếc cốc di chuyển đến một vị trí mới là điểm

B

. Em hãy so sánh khoảng cách từ hai điểm

A

và

B

đến điểm

O

. Hai điểm

A, B

có cùng nằm trên một đường tròn tâm

O

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Khi một hình cứng (vật rắn) quay quanh một điểm cố định, khoảng cách từ mỗi điểm của hình đến tâm quay không thay đổi.
Đường tròn tâm $O$ bán kính $R$ là tập hợp mọi điểm cách $O$ một khoảng bằng $R$ .

🧠 Phân tích tư duy

Bàn xoay là một vật rắn quay quanh tâm

O

cố định — dấu hiệu để nhận ra khoảng cách từ MỌI điểm trên bàn đến tâm

O

không đổi trong suốt quá trình quay, kể cả trước và sau khi quay.

1Cách 1. Lập luận vật lí về vật rắn quay

Định hướng. Chiếc cốc gắn liền với mặt bàn xoay (vật rắn); khi bàn quay quanh $O$ , mọi điểm của bàn — trong đó có vị trí chiếc cốc — luôn cách $O$ đúng một khoảng không đổi bằng lúc ban đầu.

Trước khi quay, chiếc cốc ở

A

nên khoảng cách từ cốc đến tâm là

O A

.
Bàn xoay là một vật rắn (không co giãn) nên khi quay quanh

O

, khoảng cách từ cốc đến

O

không đổi trong suốt quá trình quay.
Sau khi quay, cốc ở vị trí

B

nên khoảng cách từ cốc đến tâm lúc này là

O B

.
Do khoảng cách không đổi trong suốt quá trình nên

O A = O B

Vậy $O A = O B$ , do đó $A$ và $B$ cùng cách $O$ một khoảng như nhau, tức cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $O A$ .

2Cách 2. Đối chiếu với định nghĩa đường tròn

Định hướng. Đường tròn tâm $O$ là tập hợp các điểm cách $O$ một khoảng không đổi; chỉ cần khẳng định $O A = O B$ rồi đối chiếu ngay với định nghĩa đó.

Việc quay bàn không làm thay đổi khoảng cách từ bất kì điểm nào trên bàn đến tâm quay

O

, do đó

O A = O B

.
Theo định nghĩa, đường tròn tâm

O

bán kính

O A

gồm tất cả các điểm cách

O

một khoảng bằng

O A

.
Vì

O B = O A

nên điểm

B

cũng thuộc đường tròn tâm

O

bán kính

O A

, cùng với điểm

A

Vậy $A$ và $B$ cùng nằm trên đường tròn tâm $O$ bán kính $O A$ .

Nhận xét. Chính tính chất $O A = O B$ này là nền tảng để định nghĩa phép quay ở phần tiếp theo của bài.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Cách 1 (lập luận vật rắn) trực quan và dễ trình bày hơn khi mới bắt đầu học khái niệm phép quay.

Đáp số.

O A = O B

; hai điểm

A, B

cùng nằm trên đường tròn tâm

O

bán kính

O A

Sai lầm thường gặp. Có bạn nhầm rằng "quay" nghĩa là điểm di chuyển ra xa tâm hơn hoặc gần tâm hơn — cần nhớ quay quanh một tâm cố định luôn giữ nguyên khoảng cách đến tâm đó, khác với các phép biến đổi khác như phóng to/thu nhỏ.

🚀 Mở rộng. Tính chất

O A = O B

chính là điều kiện đầu tiên trong định nghĩa phép quay (điểm ảnh luôn thuộc đường tròn tâm

O

bán kính bằng khoảng cách từ điểm gốc tới

O

) — sẽ được phát biểu chính thức ngay sau HĐ3.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · HĐ3★★Trang 87— Khám phá quỹ đạo điểm khi quay bàn xoay chứa tam giác đều

HĐ3 (trang 87). Trên bàn xoay tâm

O

, vẽ tam giác đều

A B C

nội tiếp một đường tròn

(O)

và hai tia

O A, O B

(H.9.47). Khi quay bàn xoay thuận chiều kim đồng hồ để tia

O A

di chuyển trùng với tia

O B

(ở vị trí ban đầu), điểm

A

có di chuyển đến vị trí của điểm

B

không và sẽ di chuyển trên cung tròn nào của đường tròn

(O)

? Khi đó, điểm

C

sẽ di chuyển đến vị trí của điểm nào?

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều nội tiếp đường tròn chia đường tròn thành $3$ cung bằng nhau, mỗi cung $120°$ .
Khi quay một hình quanh tâm $O$ , mọi điểm của hình quay cùng một góc và cùng chiều.
Điểm quay theo bàn xoay luôn di chuyển trên cung tròn tâm $O$ nối vị trí đầu và vị trí cuối của nó.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác đều

A B C

nội tiếp

(O)

chia đường tròn thành

3

cung bằng nhau — dấu hiệu để nhận ra góc quay đưa

O A

tới

O B

đúng bằng góc ở tâm

A O B = 120°

, và cùng góc quay đó sẽ đưa mọi điểm khác đi tiếp

120°

theo đúng chiều đã quay.

1Cách 1. Lập luận theo góc ở tâm bằng nhau

Định hướng. Vì tia $O A$ quay tới trùng tia $O B$ , và điểm $A$ gắn liền với bàn xoay nên $A$ phải di chuyển tới đúng vị trí đang có sẵn trên tia đó — chính là điểm $B$ .

Bàn xoay quay thuận chiều kim đồng hồ đưa tia

O A

đến trùng tia

O B

, nghĩa là góc quay bằng

A O B

.
Điểm

A

gắn cứng với bàn xoay và cách

O

một khoảng

O A = O B

(bán kính đường tròn

(O)

), nên khi tia

O A

trùng tia

O B

thì điểm

A

trùng đúng vị trí điểm

B

.
Trong suốt quá trình quay, điểm

A

luôn cách

O

một khoảng không đổi nên di chuyển trên cung tròn nhỏ

A B

của đường tròn

(O)

.
Vì tam giác đều

A B C

nội tiếp

(O)

nên

A O B = B O C = C O A = 120°

; bàn xoay quay đúng góc

120°

đó nên điểm

B

(cách điểm

A

theo chiều quay đúng

120°

) sẽ di chuyển đến vị trí điểm

C

, và điểm

C

sẽ di chuyển đến đúng vị trí ban đầu của điểm

A

Vậy điểm $A$ di chuyển đến vị trí điểm $B$ trên cung nhỏ $A B$ ; khi đó điểm $C$ di chuyển đến đúng vị trí ban đầu của điểm $A$ .

2Cách 2. Lập luận theo cung tròn bằng nhau

Định hướng. Tam giác đều nội tiếp chia $(O)$ thành $3$ cung bằng nhau; quay đúng một cung ( $120°$ ) sẽ đưa mỗi đỉnh sang đúng vị trí đỉnh liền kề theo chiều quay.

Ba cung nhỏ

\overparen A B = \overparen B C = \overparen C A

(đều

120°

) vì

A B C

là tam giác đều nội tiếp

(O)

.
Quay thuận chiều kim đồng hồ đúng bằng số đo cung

\overparen A B

sẽ đưa điểm

A

vượt qua đúng cung đó tới điểm

B

.
Cùng góc quay ấy đưa điểm

B

vượt qua cung

\overparen B C

(bằng cung

\overparen A B

) tới điểm

C

, và đưa điểm

C

vượt qua cung

\overparen C A

trở lại đúng điểm

A

ban đầu.

Vậy điểm $A$ đến vị trí điểm $B$ ; điểm $C$ đến đúng vị trí ban đầu của điểm $A$ .

Nhận xét. Ba đỉnh của tam giác đều "tráo vòng tròn" cho nhau — đây chính là dấu hiệu phép quay giữ nguyên tam giác đều, sẽ được nêu thành định nghĩa ngay sau HĐ3.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (cung tròn bằng nhau) vì chỉ cần một câu về ba cung bằng nhau là suy ra ngay cả hai kết luận, không phải lần lượt xét từng điểm như Cách 1.

Đáp số. Điểm

A

di chuyển đến vị trí điểm

B

(trên cung nhỏ

A B

); điểm

C

di chuyển đến đúng vị trí ban đầu của điểm

A

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng điểm

C

sẽ "đứng yên" vì đề chỉ nhắc tới tia

O A, O B

— cần nhớ CẢ tam giác gắn liền với bàn xoay nên mọi điểm của nó (kể cả

C

) đều quay cùng một góc, không chỉ riêng

A

🚀 Mở rộng. Nếu bàn xoay tiếp tục quay thêm

120°

nữa (tổng

240°

) thì

A \to C

, và quay thêm

120°

nữa (tổng

360°

) thì

A

trở lại đúng vị trí ban đầu — đây là ba phép quay giữ nguyên tam giác đều sẽ gặp lại ở Ví dụ 4.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Câu hỏi (trang 88)★★Trang 88— Tính chất của phép quay 180° và phép quay ngược lại

Câu hỏi (trang 88). a) Phép quay ngược chiều

180°

tâm

O

biến điểm

A

thành điểm

A^{'}

. Hỏi điểm

A^{'}

có đối xứng với điểm

A

qua

O

hay không? b) Nếu phép quay thuận chiều

α °

tâm

O

biến điểm

A

thành điểm

B

thì phép quay ngược chiều

α °

tâm

O

có biến điểm

B

thành điểm

A

hay không?

Kiến thức cần nhớ

Điểm $A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $O$ khi và chỉ khi $O$ là trung điểm của $A A^{'}$ .
Phép quay ngược chiều $α °$ tâm $O$ là phép quay "ngược lại" của phép quay thuận chiều $α °$ tâm $O$ .
Phép quay bảo toàn khoảng cách đến tâm quay.

🧠 Phân tích tư duy

Ý a) hỏi về trường hợp đặc biệt

α = 180°

— dấu hiệu để nhớ lại định nghĩa đối xứng tâm (ba điểm thẳng hàng,

O

là trung điểm). Ý b) hỏi về tính "nghịch đảo" của phép quay — chìa khoá là phép quay ngược chiều đúng bằng góc đã quay sẽ đưa mọi điểm trở lại đúng vị trí cũ.

1Cách 1. Dùng trực tiếp định nghĩa phép quay và đối xứng tâm

Định hướng. Xét vị trí của $A^{'}$ so với $A$ và $O$ theo đúng định nghĩa phép quay $180°$ ; xét chiều quay ngược lại cho ý b).

a) Phép quay ngược chiều

180°

tâm

O

biến

A

thành

A^{'}

nghĩa là tia

O A

quay ngược chiều kim đồng hồ

180°

thành tia

O A^{'}

, tức tia

O A^{'}

là tia đối của tia

O A

, và

O A^{'} = O A

.
Do đó

O

nằm giữa

A

và

A^{'}

, đồng thời

O A = O A^{'}

, tức

O

là trung điểm

A A^{'}

.
b) Phép quay thuận chiều

α °

tâm

O

biến

A

thành

B

nghĩa là tia

O B

có được từ tia

O A

bằng cách quay thuận chiều

α °

.
Quay tia

O B

ngược chiều

α °

(đúng bằng góc vừa quay nhưng theo chiều ngược lại) sẽ đưa tia

O B

trở về đúng vị trí tia

O A

ban đầu; mà

O A = O B

(tính chất phép quay) nên điểm

B

trở về đúng vị trí điểm

A

Vậy a) $A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $O$ . b) phép quay ngược chiều $α °$ tâm $O$ biến $B$ thành $A$ .

2Cách 2. Mô tả bằng vectơ quay góc

Định hướng. Biểu diễn phép quay bằng "cộng góc" vào vị trí góc của điểm trên đường tròn tâm $O$ ; phép quay ngược chiều $α °$ tương ứng với việc trừ đi $α °$ .

a) Gọi vị trí góc của

A

trên đường tròn

(O; O A)

là

θ

. Quay ngược chiều

180°

cho vị trí góc mới là

θ + 180°

— đối diện hoàn toàn với

θ

qua tâm

O

, cùng bán kính

O A

.
Vị trí đối diện qua tâm với cùng bán kính chính là điểm đối xứng của

A

qua

O

, tức

A^{'}

.
b) Quay thuận chiều

α °

đổi vị trí góc từ

θ

(của

A

) thành

θ - α °

(của

B

).
Quay ngược chiều

α °

từ vị trí góc của

B

cho vị trí góc

(θ - α °) + α ° = θ

, đúng bằng vị trí góc ban đầu của

A

, và bán kính không đổi (

O B = O A

Vậy a) $A^{'}$ đối xứng với $A$ qua $O$ . b) đúng, phép quay ngược chiều $α °$ tâm $O$ biến $B$ thành $A$ .

Nhận xét. Cách 2 cho thấy phép quay ngược chiều $α °$ chính là phép quay "ngược" (đảo ngược) của phép quay thuận chiều $α °$ — hai phép quay này luôn triệt tiêu nhau.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần nhớ định nghĩa phép quay và định nghĩa đối xứng tâm, không cần dựng thêm khái niệm "vị trí góc" như Cách 2.

Đáp số. a)

A^{'}

đối xứng với

A

qua

O

. b) Có, phép quay ngược chiều

α °

tâm

O

biến

B

thành

A

Sai lầm thường gặp. Có bạn cho rằng phép quay ngược chiều

α °

và phép quay thuận chiều

α °

là MỘT (nhầm lẫn hai chiều quay) nên kết luận sai ở ý b) — hai phép quay cùng góc nhưng khác chiều luôn là hai phép quay khác nhau, trừ khi

α ° = 0°

hoặc

α ° = 360°

🚀 Mở rộng. Tổng quát, phép quay ngược chiều

α °

tâm

O

luôn là phép quay "nghịch đảo" của phép quay thuận chiều

α °

tâm

O

— thực hiện liên tiếp hai phép quay này sẽ luôn cho phép quay

0°

(giữ nguyên mọi điểm), một tính chất sẽ dùng lại khi học về nhóm các phép biến hình.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Ví dụ 4★★Trang 88— Xác định ảnh của các đỉnh đa giác đều qua nhiều phép quay liên tiếp

Ví dụ 4 (trang 88). Cho tam giác đều

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

như Hình 9.49. Hãy cho biết các phép quay ngược chiều lần lượt

120°

240°

360°

với tâm

O

sẽ biến các đỉnh

A, B, C

thành những điểm nào?

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều nội tiếp $(O)$ chia đường tròn thành $3$ cung bằng nhau, mỗi cung $120°$ .
Phép quay ngược chiều $α °$ dịch mỗi điểm theo chiều ngược kim đồng hồ đúng $α °$ trên đường tròn tâm quay.
Phép quay $360°$ giữ nguyên mọi điểm.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác đều nội tiếp chia đường tròn thành

3

cung

120°

bằng nhau — dấu hiệu để mỗi phép quay bội của

120°

luôn đưa một đỉnh này trùng khít vào vị trí một đỉnh khác, không lệch ra ngoài.

1Cách 1. Cộng dồn cung theo từng mốc quay

Định hướng. Ba đỉnh cách đều nhau $120°$ ; quay ngược chiều đúng $120°$ mỗi lần sẽ đưa đỉnh này sang đúng vị trí đỉnh kề tiếp theo chiều ngược kim đồng hồ ( $A \to B \to C \to A$ ).

Trên đường tròn

(O)

, theo chiều ngược kim đồng hồ, thứ tự các đỉnh là

A, B, C

(cách nhau

120°

).
Quay ngược chiều

120°

A \to B

B \to C

C \to A

.
Quay ngược chiều

240° = 2.120°

A \to C

(qua

B

B \to A

(qua

C

C \to B

(qua

A

).
Quay ngược chiều

360° = 3.120°

: mỗi đỉnh trở lại đúng vị trí ban đầu,

A \to A

B \to B

C \to C

Vậy bảng ảnh của $A, B, C$ qua ba phép quay là: $120° : A \to B, B \to C, C \to A$ ; $240° : A \to C, B \to A, C \to B$ ; $360° : A \to A, B \to B, C \to C$ .

2Cách 2. Dùng chu kì quay

3.120° = 360°

Định hướng. Vì $3$ lần quay $120°$ đúng bằng $360°$ (giữ nguyên mọi điểm), nên chỉ cần xác định ảnh sau $120°$ rồi lặp lại quy luật tuần hoàn chu kì $3$ .

Quay ngược chiều

120°

biến

A \to B

(vì cung

\overparen A B = 120°

theo chiều ngược kim đồng hồ).
Áp dụng liên tiếp: quay

240°

= quay

120°

hai lần liên tiếp, nên

A \to B \to C

, tức

A \to C

240°

.
Quay

360°

= quay

120°

ba lần liên tiếp =

A \to B \to C \to A

, tức

A \to A

(giữ nguyên).
Tương tự suy ra ảnh của

B

và

C

theo đúng quy luật tuần hoàn chu kì

3

đỉnh.

Vậy kết quả trùng khớp với Cách 1.

Nhận xét. Ba phép quay $120°, 240°, 360°$ này chính là ba phép quay giữ nguyên tam giác đều $A B C$ — sẽ được gọi tên chính thức ngay sau ví dụ này.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (lập bảng theo từng mốc quay) vì đề bài yêu cầu liệt kê rõ ảnh của từng đỉnh ứng với từng góc quay — trình bày dạng bảng tránh nhầm lẫn.

Đáp số. Quay ngược chiều

120°

A \to B, B \to C, C \to A

. Quay ngược chiều

240°

A \to C, B \to A, C \to B

. Quay ngược chiều

360°

A \to A, B \to B, C \to C

— mỗi điểm về đúng chỗ cũ.

Sai lầm thường gặp. Có bạn nhầm chiều quay (đổi ngược chiều thành thuận chiều) nên đảo ngược thứ tự ảnh, ra

A \to C

thay vì

A \to B

ở phép quay

120°

— phải luôn xác định đúng chiều ngược/thuận kim đồng hồ theo đúng đề bài trước khi lập bảng.

🚀 Mở rộng. Ba phép quay

120°, 240°, 360°

(tâm

O

) đều giữ nguyên tam giác đều

A B C

— đây là ví dụ đầu tiên về khái niệm "phép quay giữ nguyên một hình" được định nghĩa ngay sau ví dụ này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Luyện tập 2★★Trang 88— Xác định phép quay giữ nguyên hình vuông

Luyện tập 2 (trang 88). Cho hình vuông

A B C D

nội tiếp đường tròn

(O)

như Hình 9.50. a) Phép quay thuận chiều

90°

tâm

O

biến các điểm

A, B, C, D

thành những điểm nào? Phép quay này có giữ nguyên hình vuông

A B C D

không? b) Hãy liệt kê thêm ba phép quay khác với tâm

O

theo chiều kim đồng hồ giữ nguyên hình vuông

A B C D

Kiến thức cần nhớ

Hình vuông nội tiếp đường tròn chia đường tròn thành $4$ cung bằng nhau, mỗi cung $90°$ .
Một phép quay giữ nguyên một đa giác đều nếu nó biến các đỉnh của đa giác thành các đỉnh của chính đa giác đó.
Các phép quay giữ nguyên đa giác đều $n$ cạnh là các bội số của $\frac{360°}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vuông chia đường tròn ngoại tiếp thành

4

cung bằng nhau (

90°

mỗi cung) — dấu hiệu để mọi bội số của

90°

(tức

90°, 180°, 270°, 360°

) đều là phép quay đưa các đỉnh trùng khít vào nhau.

1Cách 1. Cộng dồn cung

90°

Định hướng. Bốn đỉnh hình vuông cách đều nhau $90°$ ; quay thuận chiều $90°$ đưa mỗi đỉnh sang đúng vị trí đỉnh liền kề theo chiều kim đồng hồ.

Theo chiều kim đồng hồ, thứ tự các đỉnh là

A, B, C, D

(mỗi cung

90°

).
Quay thuận chiều

90°

A \to B

B \to C

C \to D

D \to A

.
Bốn điểm ảnh

B, C, D, A

đúng là bốn đỉnh của hình vuông

A B C D

(chỉ đổi tên vị trí, không sinh điểm lạ) nên phép quay này giữ nguyên hình vuông

A B C D

.
Tương tự, quay thuận chiều

180° = 2.90°

cho

A \to C, B \to D, C \to A, D \to B

; quay thuận chiều

270° = 3.90°

cho

A \to D, B \to A, C \to B, D \to C

; quay thuận chiều

360° = 4.90°

giữ nguyên từng điểm.

Vậy a) $A \to B, B \to C, C \to D, D \to A$ — phép quay này giữ nguyên hình vuông $A B C D$ . b) Ba phép quay khác giữ nguyên hình vuông là các phép quay thuận chiều $180°, 270°, 360°$ tâm $O$ .

2Cách 2. Dùng điều kiện "đỉnh biến thành đỉnh"

Định hướng. Theo tính chất đã nêu ở Ví dụ 4, một phép quay giữ nguyên đa giác đều khi và chỉ khi nó biến tập đỉnh thành chính tập đỉnh đó; chỉ cần rà các bội số của góc ở tâm $90°$ trong khoảng $(0°; 360°]$ .

Góc ở tâm ứng với một cạnh hình vuông là

\frac{360°}{4} = 90°

.
Các bội số của

90°

không vượt quá

360°

là

90°, 180°, 270°, 360°

— đúng

4

giá trị.
Với mỗi giá trị đó, phép quay thuận chiều tương ứng đưa tập

{A, B, C, D}

về chính nó (chỉ hoán đổi vị trí cho nhau), nên đều giữ nguyên hình vuông.
Với

α ° = 90°

A \to B, B \to C, C \to D, D \to A

Vậy a) như Cách 1. b) ba phép quay còn lại là $180°, 270°, 360°$ (thuận chiều, tâm $O$ ).

Nhận xét. Hình vuông có đúng $4$ phép quay giữ nguyên nó (kể cả phép quay $360°$ ) — bằng đúng số cạnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ cần liệt kê các bội số của

90°

trong

(0°; 360°]

, không phải viết lại bảng ảnh cho từng góc như Cách 1.

Đáp số. a)

A \to B, B \to C, C \to D, D \to A

; phép quay này giữ nguyên hình vuông

A B C D

. b) Ba phép quay khác: thuận chiều

180°

, thuận chiều

270°

, thuận chiều

360°

(tâm

O

Sai lầm thường gặp. Có bạn liệt kê thêm cả những góc không phải bội của

90°

(như

45°

) — phép quay

45°

không đưa các đỉnh

A, B, C, D

về đúng vị trí đỉnh khác nên KHÔNG giữ nguyên hình vuông, dù tâm quay vẫn là

O

🚀 Mở rộng. Tổng quát, một đa giác đều

n

cạnh có đúng

n

phép quay giữ nguyên nó (tâm là tâm đa giác), ứng với các góc

\frac{360°}{n}, \frac{2.360°}{n}, \dots, \frac{n .360°}{n} = 360°

— sẽ gặp lại ở Thử thách nhỏ 2.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Thực hành★★Trang 88— Dựng ảnh của một điểm qua phép quay cho trước bằng thước và compa

Thực hành (trang 88). Cho điểm

O

và điểm

A

khác điểm

O

(H.9.51). Phép quay ngược chiều

60°

tâm

O

biến điểm

A

thành điểm

A^{'}

. Xác định điểm

A^{'}

theo hướng dẫn sau: vẽ đường tròn

(O; O A)

và tia

O x

sao cho

A O x = 60°

, tia

O x

cắt đường tròn

(O; O A)

tại điểm

A^{'}

. Vì sao cách dựng đó cho đúng điểm

A^{'}

là ảnh của

A

qua phép quay đã cho?

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa phép quay: điểm ảnh phải nằm trên đường tròn tâm quay bán kính bằng khoảng cách từ điểm gốc tới tâm, và tia nối tâm với điểm gốc phải quay đúng góc, đúng chiều để trùng tia nối tâm với điểm ảnh.
Giao điểm của tia và đường tròn là điểm vừa thuộc tia, vừa cách tâm đường tròn đúng bằng bán kính.

🧠 Phân tích tư duy

Định nghĩa phép quay đòi hỏi hai điều kiện: điểm ảnh cách tâm đúng bằng bán kính cũ, và góc quay đúng bằng số đo đã cho theo đúng chiều — dấu hiệu để kiểm tra bước dựng đường tròn

(O; O A)

(đảm bảo khoảng cách) và bước dựng tia

O x

với

A O x = 60°

(đảm bảo góc quay).

1Cách 1. Đối chiếu từng bước dựng với định nghĩa phép quay

Định hướng. Kiểm tra lần lượt hai điều kiện của định nghĩa phép quay ngược chiều $60°$ tâm $O$ cho điểm $A^{'}$ vừa dựng được.

Vì

A^{'}

thuộc đường tròn

(O; O A)

nên

O A^{'} = O A

— đúng điều kiện "điểm ảnh cách tâm bằng khoảng cách từ điểm gốc tới tâm".
Tia

O x

được dựng sao cho

A O x = 60°

và

A^{'}

là giao điểm của tia

O x

với đường tròn, nên tia

O A^{'}

chính là tia

O x

, tức

A O A^{'} = 60°

.
Tia

O x

được dựng theo chiều ngược kim đồng hồ kể từ tia

O A

(đúng theo yêu cầu đề bài), nên chiều quay từ

O A

đến

O A^{'}

là chiều ngược kim đồng hồ.

Vậy $A^{'}$ vừa cách $O$ đúng bằng $O A$ , vừa tạo với $O A$ góc $60°$ theo đúng chiều ngược kim đồng hồ — thoả mãn đúng định nghĩa phép quay ngược chiều $60°$ tâm $O$ biến $A$ thành $A^{'}$ .

2Cách 2. Kiểm tra bằng phản chứng (loại các điểm không thoả mãn)

Định hướng. Giả sử có điểm $A^{''}$ khác $A^{'}$ trên tia $O x$ hoặc trên đường tròn cũng "có vẻ" là ảnh của $A$ ; chỉ ra $A^{''}$ đó vi phạm một trong hai điều kiện của phép quay để khẳng định $A^{'}$ (giao điểm duy nhất của tia $O x$ với đường tròn về phía đã chọn) là điểm DUY NHẤT thoả mãn.

Nếu lấy điểm

A^{''}

trên tia

O x

nhưng

O A^{''} \neq = O A

thì

A^{''}

không thuộc đường tròn

(O; O A)

, vi phạm điều kiện khoảng cách — không thể là ảnh của

A

.
Nếu lấy điểm

A^{''}

trên đường tròn

(O; O A)

nhưng không nằm trên tia

O x

thì

A O A^{''} \neq = 60°

hoặc sai chiều quay — cũng không thoả mãn.
Chỉ có duy nhất giao điểm của tia

O x

với đường tròn

(O; O A)

— chính là điểm

A^{'}

đã dựng — thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện.

Vậy $A^{'}$ là điểm DUY NHẤT thoả mãn định nghĩa, nên cách dựng đã cho là đúng.

Nhận xét. Cách 2 giải thích vì sao phép dựng "đường tròn giao tia" luôn cho đúng MỘT điểm ảnh, không có trường hợp mập mờ hai điểm cùng thoả mãn.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đối chiếu trực tiếp hai điều kiện của định nghĩa, ngắn gọn và đủ chặt chẽ cho một bài thực hành dựng hình.

Đáp số. Điểm

A^{'}

(giao của tia

O x

với đường tròn

(O; O A)

, với

A O x = 60°

theo chiều ngược kim đồng hồ) chính là ảnh của

A

qua phép quay ngược chiều

60°

tâm

O

, vì

O A^{'} = O A

và

A O A^{'} = 60°

đúng chiều.

Sai lầm thường gặp. Có bạn dựng tia

O x

theo chiều THUẬN kim đồng hồ (ngược yêu cầu đề) nên tìm ra điểm đối xứng với

A^{'}

đúng qua đường thẳng

O A

— luôn phải xác định rõ chiều ngược/thuận kim đồng hồ trước khi dựng tia.

🚀 Mở rộng. Cách dựng "đường tròn tâm quay giao tia tạo góc đúng bằng góc quay" áp dụng được cho MỌI phép quay bất kì góc

α °

và bất kì điểm gốc nào, không riêng gì trường hợp

60°

trong bài này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Thử thách nhỏ 2★★Trang 89— Liệt kê tất cả các phép quay giữ nguyên đa giác đều

Thử thách nhỏ 2 (trang 89). Hãy liệt kê

6

phép quay giữ nguyên một lục giác đều nội tiếp một đường tròn

(O)

Kiến thức cần nhớ

Một phép quay giữ nguyên đa giác đều nếu nó biến tập đỉnh thành chính tập đỉnh đó.
Đa giác đều $n$ cạnh có đúng $n$ phép quay giữ nguyên nó, là bội số của $\frac{360°}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Lục giác đều có

6

đỉnh cách đều

60°

— dấu hiệu để các phép quay giữ nguyên nó phải là bội số của

60°

(tương tự quy luật đã thấy ở hình vuông tại Luyện tập 2), và có đúng

6

giá trị trong khoảng

(0°; 360°]

1Cách 1. Liệt kê trực tiếp theo bội số của góc ở tâm

Định hướng. Góc ở tâm ứng với một cạnh lục giác đều là $60°$ ; liệt kê tất cả bội số của $60°$ không vượt quá $360°$ .

Góc ở tâm:

\frac{360°}{6} = 60°

.
Các bội số của

60°

trong

(0°; 360°]

60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°

— đúng

6

giá trị.

Vậy sáu phép quay thuận chiều (tâm $O$ ) $60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°$ đều giữ nguyên lục giác đều $A B C D E F$ .

2Cách 2. Kiểm tra ảnh của một đỉnh rồi suy ra quy luật

Định hướng. Chỉ cần theo dõi ảnh của một đỉnh (chẳng hạn $A$ ) qua từng phép quay; hễ ảnh của $A$ rơi đúng vào một đỉnh khác của lục giác thì phép quay đó giữ nguyên cả hình.

Quay thuận chiều

60°

A \to B

(đỉnh kề) — thoả mãn.
Quay thuận chiều

120°

A \to C

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

180°

A \to D

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

240°

A \to E

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

300°

A \to F

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

360°

A \to A

— thoả mãn (giữ nguyên từng điểm).

Vậy cả sáu phép quay $60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°$ (thuận chiều, tâm $O$ ) đều giữ nguyên lục giác đều.

Nhận xét. Có thể liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ với cùng sáu giá trị góc — bài chỉ cần chọn một chiều và giữ nhất quán.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ một phép chia

360° : 60° = 6

rồi liệt kê bội số, nhanh hơn hẳn việc dò ảnh từng đỉnh như Cách 2.

Đáp số. Sáu phép quay (thuận chiều, tâm

O

)

60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°

đều giữ nguyên lục giác đều (có thể thay bằng chiều ngược kim đồng hồ, kết quả tương tự).

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên tính cả phép quay

360°

(nghĩ nó "không phải phép quay thật sự") nên chỉ liệt kê

5

phép — nhưng

360°

vẫn là một phép quay hợp lệ (theo định nghĩa, nó giữ nguyên mọi điểm) nên vẫn phải đếm.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, đa giác đều

n

cạnh luôn có đúng

n

phép quay thuận chiều VÀ

n

phép quay ngược chiều giữ nguyên nó — nhưng phép quay

α °

thuận chiều và phép quay

(360° - α °)

ngược chiều (với

0° < α ° < 360°

) thực chất là MỘT phép quay, nên tổng số phép quay khác nhau vẫn chỉ là

n

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 9.24★Trang 89— Nhận biết đa giác đều trong nhiều hình phẳng quen thuộc

Bài 9.24 (trang 89). Trong các hình phẳng sau (H.9.52): a) ngôi sao sáu cánh; b) hình chữ nhật; c) hình chữ thập (dấu cộng); d) lục giác đều; e) ngôi sao năm cánh. Hình nào là hình phẳng có dạng đa giác đều?

Kiến thức cần nhớ

Đa giác đều phải vừa lồi, vừa có cạnh bằng nhau, vừa có góc bằng nhau.
Ngôi sao nhiều cánh và hình chữ thập là các đa giác KHÔNG lồi (có góc lõm ở các khe giữa các cánh/nhánh).

🧠 Phân tích tư duy

Cả năm hình đều "trông cân đối" — dấu hiệu KHÔNG được đánh lừa bởi vẻ ngoài, mà phải kiểm tra đúng hai điều kiện lồi và cạnh–góc bằng nhau của định nghĩa cho từng hình.

1Cách 1. Xét tính lồi trước, sau đó xét cạnh và góc

Định hướng. Loại ngay các hình không lồi (sao, chữ thập); trong các hình còn lại, chỉ giữ hình có cả cạnh và góc bằng nhau.

a) Ngôi sao sáu cánh có các góc lõm ở khe giữa hai cánh liền kề

\Rightarrow

không lồi

\Rightarrow

không phải đa giác đều.
b) Hình chữ nhật là đa giác lồi, bốn góc bằng nhau (

90°

) nhưng hai cạnh kề không bằng nhau (trừ khi là hình vuông)

\Rightarrow

không phải đa giác đều.
c) Hình chữ thập có nhiều góc lõm ở các khe

\Rightarrow

không lồi

\Rightarrow

không phải đa giác đều.
d) Lục giác đều là đa giác lồi, sáu cạnh bằng nhau, sáu góc bằng nhau (

120°

mỗi góc)

\Rightarrow

là đa giác đều.
e) Ngôi sao năm cánh có các góc lõm ở khe giữa hai cánh liền kề

\Rightarrow

không lồi

\Rightarrow

không phải đa giác đều.

Vậy chỉ có hình d) (lục giác đều) là hình phẳng có dạng đa giác đều.

2Cách 2. Đếm số đỉnh lồi và số đỉnh lõm

Định hướng. Một đa giác lồi thì MỌI đỉnh đều là đỉnh lồi (góc trong nhỏ hơn $180°$ ); chỉ cần tìm một đỉnh lõm là loại được hình đó ngay.

a) Ngôi sao 6 cánh có

12

đỉnh, trong đó

6

đỉnh lõm (ở chân các cánh)

\Rightarrow

loại.
b) Hình chữ nhật có

4

đỉnh, đều lồi, nhưng cạnh dài khác cạnh ngắn

\Rightarrow

loại (không đều cạnh).
c) Hình chữ thập có

12

đỉnh, trong đó có đỉnh lõm ở các khe trong

\Rightarrow

loại.
d) Lục giác đều có

6

đỉnh, tất cả đều lồi, cạnh và góc đều bằng nhau

\Rightarrow

nhận.
e) Ngôi sao 5 cánh có

10

đỉnh, trong đó

5

đỉnh lõm

\Rightarrow

loại.

Vậy kết quả trùng với Cách 1: chỉ hình d) là đa giác đều.

Nhận xét. Mẹo đếm đỉnh lõm giúp loại nhanh các hình dạng sao/chữ thập mà không cần đo góc từng đỉnh.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần một câu "có góc lõm nên không lồi" cho mỗi hình sao/chữ thập là loại xong ngay, nhanh hơn việc đếm đỉnh lồi/lõm như Cách 2.

Đáp số. Chỉ có hình d) — lục giác đều — là hình phẳng có dạng đa giác đều.

Sai lầm thường gặp. Có bạn thấy ngôi sao "có các cánh bằng nhau" nên nhận nhầm là đa giác đều — cạnh bằng nhau CHƯA đủ, phải đồng thời LỒI (ngôi sao có góc lõm nên bị loại ngay từ điều kiện đầu tiên).

🚀 Mở rộng. Một ngôi sao đều (5 hoặc 6 cánh) thực chất là một đa giác SAO (star polygon) — vẫn có cạnh bằng nhau và góc bằng nhau theo từng loại đỉnh, nhưng KHÔNG lồi nên không được xếp vào nhóm đa giác đều theo định nghĩa THCS.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 9.25★★Trang 89— Nhận biết hình vẽ đúng một phép quay cho trước

Bài 9.25 (trang 89). Trong các hình dưới đây (H.9.53), hình nào vẽ hai điểm

M

và

N

thoả mãn phép quay thuận chiều

60°

tâm

O

biến điểm

M

thành điểm

N

Kiến thức cần nhớ

Định nghĩa phép quay: điểm ảnh cách tâm bằng đúng khoảng cách ban đầu, góc quay đúng số đo, đúng chiều đã cho.
Trên hình vẽ, các đoạn được đánh cùng một kiểu dấu tích (cùng số gạch) mới được coi là bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Phép quay đòi hỏi ĐỦ BA điều kiện:

O M = O N

(dấu tích đo độ dài phải khớp nhau), góc

M O N

đúng bằng

60°

, và chiều quay từ

M

đến

N

đúng là chiều kim đồng hồ (thuận chiều) — chỉ cần một trong ba điều kiện sai là loại được hình đó.

1Cách 1. Loại từng hình theo từng điều kiện

Định hướng. Kiểm tra lần lượt độ dài (dấu tích), số đo góc, rồi mới đến chiều quay cho cả bốn hình.

a) Không có dấu tích trên

O M

và

O N

nên không có căn cứ khẳng định

O M = O N

\Rightarrow

loại.
b)

O M = O N

(cùng một dấu tích), góc

M O N = 60°

, nhưng

M

nằm ở vị trí "thấp" (gần phương ngang) còn

N

ở vị trí "cao" — đi từ

M

đến

N

theo chiều gần nhất là chiều NGƯỢC kim đồng hồ

\Rightarrow

sai chiều, loại.
c) Góc

M O N = 50° \neq = 60°

\Rightarrow

loại ngay, không cần xét chiều.
d)

O M = O N

(cùng một dấu tích), góc

M O N = 60°

M

ở vị trí "cao" còn

N

ở vị trí "thấp" (gần phương ngang) — đi từ

M

đến

N

theo chiều gần nhất đúng là chiều kim đồng hồ (thuận chiều)

\Rightarrow

thoả mãn cả ba điều kiện.

Vậy chỉ có hình d) vẽ đúng hai điểm $M, N$ thoả mãn phép quay thuận chiều $60°$ tâm $O$ biến $M$ thành $N$ .

2Cách 2. Đối chiếu với hình mẫu trong định nghĩa (H.9.48a)

Định hướng. So sánh trực tiếp cách bố trí của mỗi hình với hình mẫu định nghĩa phép quay thuận chiều đã học: điểm gốc ở vị trí "cao" quay xuống vị trí "thấp hơn" theo chiều kim đồng hồ.

Theo H.9.48a, phép quay thuận chiều

α °

biến điểm gốc (vị trí cao) thành điểm ảnh (vị trí thấp hơn, lệch theo chiều kim đồng hồ), với hai bán kính bằng nhau.
Chỉ hình d) có đúng bố trí này:

M

ở vị trí cao,

N

ở vị trí thấp hơn theo đúng chiều kim đồng hồ, hai đoạn

O M, O N

cùng dấu tích, góc đúng

60°

.
Hình a) thiếu dấu tích; hình b) đúng bố trí NGƯỢC (từ thấp lên cao); hình c) sai số đo góc.

Vậy hình d) là hình vẽ đúng phép quay đã cho.

Nhận xét. Hình b) chính là hình vẽ đúng cho phép quay NGƯỢC chiều $60°$ biến $M$ thành $N$ — chỉ cần đổi "thuận chiều" trong đề thành "ngược chiều" thì đáp án sẽ là b) thay vì d).

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: loại nhanh theo thứ tự dấu tích

\to

số đo góc

\to

chiều quay — thường loại được

2

3

hình chỉ bằng mắt trước khi cần suy luận về chiều quay.

Đáp số. Hình d).

Sai lầm thường gặp. Có bạn chỉ kiểm tra số đo góc

60°

mà quên xét CHIỀU quay (thuận/ngược kim đồng hồ) nên chọn nhầm hình b) — số đo góc đúng chỉ là điều kiện cần, chưa đủ để xác định đúng phép quay.

🚀 Mở rộng. Đổi "thuận chiều" thành "ngược chiều" trong đề bài thì đáp án đổi từ d) sang b) — hai hình b), d) trong bài này vẽ đúng CẶP phép quay ngược nhau (thuận

60°

và ngược

60°

) cho cùng hai điểm

M, N

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 9.26★★Trang 89— Tính cạnh tam giác đều theo bán kính đường tròn ngoại tiếp

Bài 9.26 (trang 89). Cho tam giác đều

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

bán kính

2 cm

. Tính độ dài các cạnh của tam giác

A B C

Kiến thức cần nhớ

Góc ở tâm ứng với một cạnh của đa giác đều $n$ cạnh là $\frac{360°}{n}$ .
Định lí côsin trong tam giác: $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$ .
Trong tam giác cân, đường cao hạ từ đỉnh cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh.

🧠 Phân tích tư duy

Tam giác đều nội tiếp có góc ở tâm mỗi cạnh là

120°

— lớn hơn

90°

nên tam giác cân

O A B

không còn là tam giác đặc biệt "dễ nhìn" như tam giác đều hay vuông cân — dấu hiệu để dùng định lí côsin hoặc hạ đường cao để tính trực tiếp.

1Cách 1. Định lí côsin trong tam giác cân

O A B

Định hướng. $△ O A B$ cân tại $O$ với $O A = O B = R = 2 cm$ và góc ở đỉnh $A O B = 120°$ — áp dụng ngay định lí côsin để tính $A B$ .

A O B = \frac{360°}{3} = 120°

A B^{2} = O A^{2} + O B^{2} - 2. O A . O B . cos 120° = 2^{2} + 2^{2} - 2.2.2. (- \frac{1}{2}) = 4 + 4 + 4 = 12

A B = 12 = 23 (cm)

Vậy mỗi cạnh của tam giác đều $A B C$ dài $23 cm$ .

2Cách 2. Hạ đường cao từ tâm

O

Định hướng. Gọi $M$ là trung điểm $A B$ ; $O M$ vừa là đường cao vừa là phân giác của $A O B$ trong tam giác cân $O A B$ , đưa bài toán về tam giác vuông $O M A$ .

Gọi

M

là trung điểm

A B

. Vì

△ O A B

cân tại

O

nên

O M ⊥ A B

và

O M

là phân giác của

A O B

, tức

A O M = \frac{120°}{2} = 60°

.
Trong tam giác vuông

O M A

(vuông tại

M

A M = O A . sin A O M = 2. sin 60° = 2. \frac{3}{2} = 3 (cm)

A B = 2. A M = 23 (cm)

Vậy mỗi cạnh của tam giác đều $A B C$ dài $23 cm$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 dùng lượng giác trong tam giác vuông — không cần nhớ công thức côsin, phù hợp với chương trình lớp 9 học tỉ số lượng giác trước Chương IX.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2 (hạ đường cao, dùng

sin

) vì học sinh lớp 9 đã quen tỉ số lượng giác của góc nhọn từ Chương IV, không cần nhớ thêm công thức côsin tổng quát.

Đáp số.

A B = B C = C A = 23 cm \approx 3, 46 cm

Sai lầm thường gặp. Có bạn nhầm cạnh tam giác đều nội tiếp với cạnh lục giác đều nội tiếp cùng bán kính (bằng

R = 2 cm

) — phải phân biệt rõ góc ở tâm của tam giác đều (

120°

) khác với góc ở tâm của lục giác đều (

60°

🚀 Mở rộng. Tổng quát, cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính

R

luôn bằng

R 3

— công thức này dùng lại được ngay khi gặp bài toán tam giác đều nội tiếp với bán kính khác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 9.27★★★Trang 89— Chứng minh một lục giác ghép từ đỉnh và trung điểm cạnh hình thoi là lục giác đều

Bài 9.27 (trang 89). Cho hình thoi

A B C D

có

A = 60°

. Gọi

M, N, P, Q

lần lượt là trung điểm của

A B, B C, C D, D A

. Chứng minh rằng

M B N P D Q

là lục giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Hình thoi có một góc $60°$ thì đường chéo ứng với góc đó chia hình thoi thành hai tam giác đều.
Đường trung bình của tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó.
Hai tam giác cân bằng nhau (c.g.c) thì các cạnh và các góc tương ứng bằng nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Hình thoi có

A = 60°

nên đường chéo

B D

chia nó thành hai tam giác đều

A B D, C B D

— dấu hiệu để dùng tính chất trung điểm và tam giác đều thay vì đo đạc trực tiếp cả sáu cạnh, sáu góc.

1Cách 1. Dùng đường chéo

B D

và đường trung bình

Định hướng. Đường chéo $B D$ chia hình thoi thành hai tam giác đều $A B D, C B D$ (vì $A B = A D$ , $A = 60°$ và $C B = C D$ , $B C D = A = 60°$ do $A B C D$ là hình thoi); từ đó $M, N, P, Q$ đều là trung điểm các cạnh của hai tam giác đều này.

Vì

A B C D

là hình thoi có

A = 60°

nên

A B = A D

và

△ A B D

có

A = 60°

với hai cạnh kề bằng nhau

\Rightarrow △ A B D

đều, suy ra

B D = A B

.
Tương tự

B C D = 180° - A = 120°

… xét

△ C B D

C B = C D

(cạnh hình thoi) và

B D = A B = C B

(vừa chứng minh) nên

△ C B D

cũng đều.
Trong

△ A B D

đều:

Q

là trung điểm

D A

M

là trung điểm

A B

nên

QM

là đường trung bình,

QM = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B

và

QM ∥ B D

.
Trong

△ C B D

đều:

N

là trung điểm

B C

P

là trung điểm

C D

nên

N P

là đường trung bình,

N P = \frac{1}{2} B D = \frac{1}{2} A B

và

N P ∥ B D

.
Các cạnh còn lại

M B, B N, D P, D Q

bằng nửa cạnh hình thoi theo đúng định nghĩa trung điểm, tức

M B = B N = D P = D Q = \frac{1}{2} A B

.
Suy ra cả sáu cạnh

M B = B N = N P = P D = D Q = QM

đều bằng

\frac{1}{2} A B

.
Vì

QM ∥ B D ∥ N P

và

△ A B D, △ C B D

đều (

60°

mỗi góc), tính được mỗi góc của lục giác

M B N P D Q

đều bằng

120°

(góc ngoài của tam giác đều cộng góc đối đỉnh).

Vậy $M B N P D Q$ có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau ( $120°$ ) — là một lục giác đều.

2Cách 2. Toạ độ hoá

Định hướng. Đặt hình thoi vào hệ trục với $A$ tại gốc, $A B$ trên trục hoành, dùng góc $60°$ để tính toạ độ $C, D$ rồi suy ra toạ độ các trung điểm và kiểm tra trực tiếp.

Chọn

A (0; 0)

B (a; 0)

D (\frac{a}{2}; \frac{a 3}{2})

(vì

A D = a

A = 60°

C = B + D - A = (\frac{3 a}{2}; \frac{a 3}{2})

.
Tính

M, N, P, Q

là trung điểm

A B, B C, C D, D A

.
Tính độ dài cả sáu cạnh

M B, B N, N P, P D, D Q, QM

bằng công thức khoảng cách — đều ra

\frac{a}{2}

.
Tính góc tại mỗi đỉnh bằng tích vô hướng hai vectơ — cả sáu góc đều ra

120°

Vậy $M B N P D Q$ là lục giác đều, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 kiểm tra được đồng thời cả sáu cạnh và sáu góc chỉ bằng công thức, không cần lập luận hình học riêng cho từng tam giác đều.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay hai tam giác đều

A B D, C B D

là chìa khoá, từ đó suy ra mọi cạnh và góc chỉ bằng tính chất đường trung bình, không cần đặt hệ trục.

Đáp số.

M B N P D Q

là một lục giác đều (mỗi cạnh bằng

\frac{1}{2}

cạnh hình thoi, mỗi góc bằng

120°

Sai lầm thường gặp. Có bạn quên chứng minh

△ C B D

cũng đều (chỉ chứng minh

△ A B D

đều) nên chỉ suy ra được

3

trong

6

cạnh bằng nhau — phải chứng minh CẢ HAI tam giác đều thì mới đủ cạnh cho toàn bộ lục giác.

🚀 Mở rộng. Kết quả đúng cho MỌI hình thoi có một góc

60°

(không phụ thuộc độ dài cạnh) — đây là cách dựng lục giác đều nhanh chỉ từ một hình thoi và một cây thước có chia khoảng cách.

Mở bài này trong app ↗

Bài 19 · Bài 9.28★★★Trang 89— Chứng minh lục giác tạo bởi tam giác đều và ảnh qua phép quay là lục giác đều

Bài 9.28 (trang 89). Cho tam giác đều

A B C

nội tiếp đường tròn

(O)

như Hình 9.54. Phép quay ngược chiều

60°

tâm

O

biến các điểm

A, B, C

lần lượt thành các điểm

D, E, F

. Chứng minh rằng

A D B E C F

là một lục giác đều.

Kiến thức cần nhớ

Phép quay bảo toàn khoảng cách đến tâm và bảo toàn số đo góc, số đo cung.
Tam giác đều nội tiếp $(O)$ chia đường tròn thành $3$ cung bằng nhau, mỗi cung $120°$ .
Nếu $6$ điểm chia đường tròn thành $6$ cung bằng nhau thì lục giác nối chúng theo thứ tự là lục giác đều.

🧠 Phân tích tư duy

D, E, F

là ảnh của

A, B, C

qua CÙNG một phép quay

60°

— dấu hiệu để dùng tính chất phép quay bảo toàn khoảng cách và góc, biến ba cung

120°

của tam giác đều thành sáu cung

60°

bằng nhau, thay vì tính toán toạ độ từng điểm.

1Cách 1. Dùng tính chất bảo toàn cung của phép quay

Định hướng. Phép quay $60°$ biến $A, B, C$ (chia $(O)$ thành $3$ cung $120°$ ) thành $D, E, F$ ; vì phép quay bảo toàn số đo cung, các cung mới cũng phải khớp đều với các cung cũ, tạo ra $6$ cung $60°$ bằng nhau.

Vì

A B C

đều nội tiếp

(O)

nên

\overparen A B = \overparen B C = \overparen C A = 120°

(theo một chiều cố định).
Phép quay ngược chiều

60°

tâm

O

biến

A \to D

nên cung

\overparen A D = 60°

(ngược chiều kim đồng hồ); tương tự

\overparen B E = \overparen C F = 60°

.
Vì

D

là ảnh của

A

qua quay

60°

và

\overparen A B = 120°

, điểm

D

chia đúng giữa cung

\overparen A B

, tức

\overparen A D = \overparen D B = 60°

; tương tự

\overparen B E = \overparen E C = 60°

và

\overparen C F = \overparen F A = 60°

.
Vậy sáu cung liên tiếp

\overparen A D, \overparen D B, \overparen B E, \overparen E C, \overparen C F, \overparen F A

đều bằng

60°

.
Sáu cung bằng nhau nên sáu dây

A D, D B, B E, E C, C F, F A

bằng nhau, và sáu góc nội tiếp chắn các cung còn lại của lục giác

A D B E C F

cũng bằng nhau.

Vậy $A D B E C F$ có sáu cạnh bằng nhau và sáu góc bằng nhau — là một lục giác đều.

2Cách 2. Toạ độ hoá bằng góc trên đường tròn

Định hướng. Gán vị trí góc (trên đường tròn) cho từng điểm rồi cộng/trừ trực tiếp góc quay, đưa bài toán về so sánh sáu vị trí góc cách đều nhau.

Chọn vị trí góc của

A, B, C

lần lượt là

90°, 210°, 330°

(cách đều

120°

, cùng bán kính

R

).
Quay ngược chiều

60°

(cộng thêm

60°

vào vị trí góc):

D

ở vị trí

150°

E

ở vị trí

270°

F

ở vị trí

30°

.
Sáu vị trí góc của

A, D, B, E, C, F

theo thứ tự là

90°, 150°, 210°, 270°, 330°, 30° (= 390°)

— cách đều nhau đúng

60°

.
Sáu điểm cách đều

60°

trên cùng một đường tròn tạo thành lục giác đều theo đúng cách dựng đã học ở HĐ1.

Vậy $A D B E C F$ là lục giác đều, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho thấy rõ vì sao thứ tự đúng của lục giác phải là $A, D, B, E, C, F$ chứ không phải $A, B, C, D, E, F$ — các ảnh $D, E, F$ xen kẽ vào giữa các đỉnh gốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ cần lí luận về cung bằng nhau (không cần gán số đo góc cụ thể như Cách 2), phù hợp với kiến thức về góc nội tiếp đã học ở đầu Chương IX.

Đáp số.

A D B E C F

là một lục giác đều (sáu cạnh bằng nhau, sáu góc bằng nhau, mỗi cung nhỏ giữa hai đỉnh liên tiếp bằng

60°

Sai lầm thường gặp. Có bạn viết nhầm thứ tự lục giác thành

A B D C E F

hoặc

A B C D E F

— thứ tự đúng theo đề bài phải là

A, D, B, E, C, F

(xen kẽ đỉnh gốc và đỉnh ảnh), sai thứ tự sẽ dẫn đến hình vẽ tự cắt chính nó.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu quay một tam giác đều nội tiếp

(O)

đi một góc bằng đúng nửa cung mỗi cạnh (ở đây là

60° = \frac{120°}{2}

), ta luôn ghép được tam giác gốc và tam giác ảnh thành một lục giác đều.

Mở bài này trong app ↗

Bài 20 · Bài 9.29★★Trang 89— Liệt kê các phép quay giữ nguyên đa giác đều (áp dụng cho ngũ giác)

Bài 9.29 (trang 89). Liệt kê năm phép quay giữ nguyên một ngũ giác đều nội tiếp một đường tròn tâm

O

Kiến thức cần nhớ

Đa giác đều $n$ cạnh có đúng $n$ phép quay (tâm là tâm của đa giác) giữ nguyên nó, là bội số của $\frac{360°}{n}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Cũng như lục giác đều ở Thử thách nhỏ 2, ngũ giác đều có

5

đỉnh cách đều

\frac{360°}{5} = 72°

— áp dụng đúng quy luật "bội số của góc ở tâm" đã dùng cho hình vuông và lục giác đều.

1Cách 1. Liệt kê bội số của góc ở tâm

Định hướng. Tính góc ở tâm ứng với một cạnh ngũ giác đều rồi liệt kê các bội số của nó không vượt quá $360°$ .

Góc ở tâm:

\frac{360°}{5} = 72°

.
Các bội số của

72°

trong

(0°; 360°]

72°, 144°, 216°, 288°, 360°

— đúng

5

giá trị.

Vậy năm phép quay thuận chiều (tâm $O$ ) $72°, 144°, 216°, 288°, 360°$ đều giữ nguyên ngũ giác đều $A B C D E$ .

2Cách 2. Theo dõi ảnh của đỉnh

A

Định hướng. Với mỗi góc quay, xác định ảnh của đỉnh $A$ ; nếu ảnh rơi đúng vào một đỉnh khác của ngũ giác thì phép quay đó giữ nguyên cả hình.

Quay thuận chiều

72°

A \to B

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

144°

A \to C

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

216°

A \to D

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

288°

A \to E

— thoả mãn.
Quay thuận chiều

360°

A \to A

— thoả mãn (giữ nguyên).

Vậy cả năm phép quay $72°, 144°, 216°, 288°, 360°$ (thuận chiều, tâm $O$ ) đều giữ nguyên ngũ giác đều.

Nhận xét. Có thể liệt kê theo chiều ngược kim đồng hồ với cùng năm giá trị góc, kết quả tương đương.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: một phép chia

360° : 72° = 5

rồi liệt kê bội số, nhanh và chắc chắn không bỏ sót.

Đáp số. Năm phép quay (thuận chiều, tâm

O

)

72°, 144°, 216°, 288°, 360°

đều giữ nguyên ngũ giác đều (hoặc cùng năm giá trị đó theo chiều ngược kim đồng hồ).

Sai lầm thường gặp. Có bạn liệt kê thiếu phép quay

360°

vì nghĩ nó "không làm gì cả" — nhưng theo định nghĩa, phép quay

360°

vẫn là một phép quay hợp lệ (giữ nguyên mọi điểm) nên vẫn được tính là một trong năm phép quay.

🚀 Mở rộng. So sánh với Thử thách nhỏ 2 (lục giác đều,

6

phép quay) và Luyện tập 2 (hình vuông,

4

phép quay), ta thấy số phép quay giữ nguyên một đa giác đều luôn đúng bằng số cạnh của nó.

Mở bài này trong app ↗

Bài 21 · Bài 9.30★★Trang 89— Ứng dụng phép quay vào bài toán thực tế vòng quay mặt trời

Bài 9.30 (trang 89). Cho vòng quay mặt trời gồm tám cabin như Hình 9.55, tám cabin cách đều nhau quanh tâm. Hỏi để cabin

A

di chuyển đến vị trí cao nhất thì vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ quanh tâm bao nhiêu độ?

Kiến thức cần nhớ

Tám điểm cách đều nhau trên một đường tròn thì góc giữa hai điểm liên tiếp là $\frac{360°}{8} = 45°$ .
Quay thuận chiều kim đồng hồ một góc $α °$ đưa mỗi điểm của vòng quay dịch chuyển đúng $α °$ theo chiều đó.

🧠 Phân tích tư duy

Tám cabin cách đều nhau — dấu hiệu góc giữa hai cabin liên tiếp là

\frac{360°}{8} = 45°

; chỉ cần đếm cabin

A

cách vị trí cao nhất bao nhiêu "bước

45°

" theo chiều kim đồng hồ là ra góc quay cần thiết.

1Cách 1. Đếm số bước

45°

từ

A

đến vị trí cao nhất

Định hướng. Đếm theo chiều kim đồng hồ từ cabin $A$ đến vị trí cao nhất đi qua bao nhiêu cabin liên tiếp, mỗi bước cách nhau $45°$ .

Tám cabin cách đều nhau nên góc giữa hai cabin liên tiếp là

\frac{360°}{8} = 45°

.
Theo Hình 9.55, cabin

A

cách vị trí cao nhất đúng

3

bước theo chiều kim đồng hồ (ngắn hơn so với đi

5

bước theo chiều ngược lại).
Góc quay cần thiết:

3.45° = 135°

Vậy vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ $135°$ để cabin $A$ lên vị trí cao nhất.

2Cách 2. Tính hiệu hai vị trí góc

Định hướng. Gán vị trí góc cho cabin $A$ và cho vị trí cao nhất (tính theo chiều kim đồng hồ kể từ đỉnh), rồi lấy hiệu hai vị trí đó.

Chọn vị trí cao nhất làm mốc

0°

; theo chiều kim đồng hồ, mỗi cabin cách mốc trước một bội số của

45°

.
Cabin

A

ở vị trí

225°

theo chiều kim đồng hồ kể từ vị trí cao nhất (tức còn thiếu để đủ một vòng

360°

).
Góc cần quay thêm theo chiều kim đồng hồ để

A

tới mốc

0°

(một vòng đủ

360°

360° - 225° = 135°

Vậy góc quay cần thiết là $135°$ , khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cách 2 cho công thức tổng quát: nếu điểm cách mốc $θ °$ theo chiều kim đồng hồ thì cần quay thêm $(360° - θ °)$ theo đúng chiều đó để điểm về đúng mốc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1 (đếm bước

45°

) khi hình vẽ rõ số cabin cần đi qua — trực quan và ít khả năng tính nhầm hơn so với việc gán góc

225°

rồi trừ cho

360°

như Cách 2.

Đáp số. Vòng quay phải quay thuận chiều kim đồng hồ

135°

để cabin

A

di chuyển đến vị trí cao nhất.

Sai lầm thường gặp. Có bạn đếm nhầm chiều (đếm theo chiều ngược kim đồng hồ, ra

5.45° = 225°

) rồi chọn làm đáp số — trong khi đề yêu cầu RÕ RÀNG là quay THUẬN chiều kim đồng hồ, phải đếm đúng số bước theo chiều đó (ngắn hơn,

135°

), không phải theo chiều còn lại.

🚀 Mở rộng. Nếu vòng quay này quay ngược chiều kim đồng hồ thay vì thuận chiều thì góc cần thiết sẽ là

225°

(bù cho

135°

đủ

360°

) — luôn phải đọc kĩ chiều quay được yêu cầu trước khi tính.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 29. Tứ giác nội tiếp Đã hết lớp này🗂 Về mục lục Toán 9

📚 Cùng chương: Chương IX. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp

Bài 27. Góc nội tiếp
Bài 28. Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác
Luyện tập chung (trang 78–79)
Bài 29. Tứ giác nội tiếp
▶ Bài 30. Đa giác đều