Chương IV. Định lí Thalès

Bài tập cuối chương IV

Sách bài tập Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 18 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIV #SáchBàiTập_Tập1 #trang53–55 #CùngBàiBênSGK #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📗 Xem bài này trong SGK →

Bài 1 · Câu 1★Trang 53— Dùng tính chất đường trung bình của tam giác

Câu 1 (trang 53). Cho tam giác

A B C

có

B C = 13

cm.

E

và

F

lần lượt là trung điểm của

A B

A C

. Độ dài

E F

bằng
A.

13

cm.
B.

26

cm.
C.

6, 5

cm.
D.

3

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.

🧠 Phân tích tư duy

E, F

là trung điểm

A B, A C

— dấu hiệu để nhận ra

E F

là đường trung bình ứng với cạnh

B C

, nên

E F

chỉ bằng một nửa

B C

chứ không phải bằng

B C

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất đường trung bình

Định hướng. $E, F$ là trung điểm $A B, A C$ nên $E F$ là đường trung bình ứng với $B C$ .

E

là trung điểm

A B

F

là trung điểm

A C

nên

E F

là đường trung bình của

△ A B C

E F = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 13 = 6, 5

(cm)

Vậy $E F = 6, 5$ cm — đáp án C.

2Cách 2. Dùng Thalès đảo để dựng lại kết luận song song trước khi tính

Định hướng. Xuất phát từ tỉ lệ thức $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{1}{2}$ để suy ra $E F ∥ B C$ bằng Thalès đảo, sau đó dùng hệ quả tỉ lệ để tính $E F$ .

\frac{A E}{A B} = \frac{1}{2}

\frac{A F}{A C} = \frac{1}{2}

nên

\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C}

, theo Thalès đảo suy ra

E F ∥ B C

\frac{E F}{B C} = \frac{A E}{A B} = \frac{1}{2}

E F = \frac{1}{2} \times 13 = 6, 5

(cm)

Vậy $E F = 6, 5$ cm, khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay đường trung bình rồi lấy nửa cạnh đối diện.

Đáp số. Đáp án C (

E F = 6, 5

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhầm

E F = B C

(không nhân hệ số

1/2

) do đọc thiếu tính chất đường trung bình.

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm góc tại

A

thì tam giác

A E F

luôn đồng dạng với tam giác

A B C

theo tỉ số

1/2

, dù ở lớp 8 chưa gọi tên chính thức là "đồng dạng".

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Câu 2★★Trang 53— Dùng định lí Thalès trên tam giác có hai đường thẳng song song đánh dấu bằng cặp góc bằng nhau

Câu 2 (trang 53). Độ dài

x

trong Hình 5.13 là
A.

20

.
B.

50

.
C.

12

.
D.

30

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết song song qua cặp góc bằng nhau.
Định lí Thalès: $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ khi $D E ∥ B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Hình vẽ đánh dấu góc tại

D

bằng góc tại

B

(so le trong/đồng vị), là dấu hiệu

D E ∥ B C

; từ đó dùng đúng tỉ lệ thức Thalès với

A D = 12

D B = 18

A E = x

E C = 30

1Cách 1. Lập tỉ lệ thức Thalès trên hai đoạn chắn

Định hướng. Từ cặp góc đánh dấu bằng nhau suy ra $D E ∥ B C$ , dùng ngay tỉ lệ thức $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ .

A D E = A B C

(hai góc đồng vị) nên

D E ∥ B C

Trong

△ A B C

có

D E ∥ B C

, theo Thalès:

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

\frac{12}{18} = \frac{x}{30}

x = \frac{12 \times 30}{18} = 20

Vậy $x = 20$ — đáp án A.

2Cách 2. Tính cạnh

A C

rồi trừ

E C

Định hướng. Dùng tỉ lệ thức theo cả cạnh $A B, A C$ để tính $A C$ trước, sau đó lấy $A C - E C$ ra $x$ .

A B = A D + D B = 12 + 18 = 30

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

\frac{12}{30} = \frac{A E}{A E + 30}

12 (A E + 30) = 30 A E

12 A E + 360 = 30 A E

18 A E = 360

A E = 20

Vậy $x = A E = 20$ , khớp Cách 1 — đáp án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập tỉ lệ thức trên đúng hai đoạn chắn đã cho, không cần giải phương trình như Cách 2.

Đáp số. Đáp án A (

x = 20

Sai lầm thường gặp. Lập sai tỉ lệ thức

\frac{A D}{A E} = \frac{D B}{E C}

(ghép chéo hai cạnh khác nhau).

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

E C

thành ẩn và giữ

x = 20

cố định thì bài toán trở thành dạng tìm điểm

E

trên

A C

sao cho

D E ∥ B C

với tỉ lệ cho trước — vẫn dùng đúng tỉ lệ thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Câu 3★★Trang 53— So sánh hai đường trung bình của hai tam giác lồng nhau trong tam giác cân

Câu 3 (trang 53). Cho tam giác

A B C

cân tại

B

. Hai trung tuyến

A M

B N

cắt nhau tại

G

. Gọi

I

và

K

lần lượt là trung điểm của

GB

GC

. Khẳng định nào đúng?
A.

M N = \frac{1}{2} A C

.
B.

B C = \frac{1}{2} I K

.
C.

M N > I K

.
D.

M N = I K

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba.
Tam giác cân tại $B$ thì $B A = B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

M

là trung điểm

B C

(chân trung tuyến

A M

N

là trung điểm

A C

(chân trung tuyến

B N

) nên

M N

là đường trung bình của

△ A B C

ứng với

A B

. Còn

I, K

là trung điểm

GB, GC

nên

I K

là đường trung bình của

△ GB C

ứng với

B C

. Bẫy là phải dùng thêm giả thiết cân tại

B

(

B A = B C

) mới so sánh được

M N

và

I K

1Cách 1. Tính

M N

I K

theo hai cạnh rồi so sánh nhờ tính cân

Định hướng. $M N$ là đường trung bình của $△ A B C$ ứng với $A B$ ; $I K$ là đường trung bình của $△ GB C$ ứng với $B C$ ; dùng $B A = B C$ (tam giác cân tại $B$ ) để kết luận hai đường trung bình này bằng nhau.

A M

là trung tuyến nên

M

là trung điểm

B C

;

B N

là trung tuyến nên

N

là trung điểm

A C

Trong

△ A B C

M, N

là trung điểm

B C, A C

nên

M N

là đường trung bình ứng với

A B

M N = \frac{1}{2} A B

Trong

△ GB C

I, K

là trung điểm

GB, GC

nên

I K

là đường trung bình ứng với

B C

I K = \frac{1}{2} B C

Vì

△ A B C

cân tại

B

nên

B A = B C

, suy ra

\frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C

Vậy $M N = I K$ — đáp án D.

2Cách 2. Loại trừ theo từng phương án

Định hướng. Xét từng phương án dựa trên hai kết quả $M N = \frac{1}{2} A B$ và $I K = \frac{1}{2} B C$ đã có, cách trình bày khác Cách 1 ở chỗ soát toàn bộ 4 phương án thay vì suy luận thẳng.

M N = \frac{1}{2} A C

sai vì

M N

ứng với cạnh

A B

, không phải

A C

B C = \frac{1}{2} I K

sai vì thực chất

I K = \frac{1}{2} B C

(ngược lại)
C.

M N > I K

sai vì

M N = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C = I K

(do cân tại

B

)
D.

M N = I K

đúng theo lập luận trên

Vậy khẳng định đúng là D, khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: suy luận thẳng

M N = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} B C = I K

nhờ tính cân, không cần soát từng phương án sai như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D (

M N = I K

Sai lầm thường gặp. Quên dùng giả thiết cân tại

B

nên không thấy được

A B = B C

, dẫn tới không so sánh được

M N

và

I K

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác không cân thì

M N = \frac{1}{2} A B

và

I K = \frac{1}{2} B C

nói chung khác nhau — tính cân tại

B

chính là điều kiện cốt lõi để có

M N = I K

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Câu 4★★★Trang 53— Dùng định lí Thalès trong hình thang để xét tính đúng/sai của các tỉ lệ thức

Câu 4 (trang 53). Cho hình thang

A B C D

(

A B ∥ D C

O

là giao điểm của

A C

và

B D

. Xét các khẳng định sau:
(1)

\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B}

;
(2)

O A \cdot O D = O B \cdot O C

;
(3)

\frac{A O}{A C} = \frac{B O}{B D}

.
Số khẳng định đúng là
A.

0

.
B.

1

.
C.

2

.
D.

3

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong hình thang: $A B ∥ D C$ thì $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ .
Hệ quả: từ $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ suy ra $\frac{O A}{A C} = \frac{O B}{B D}$ và $O A \cdot O D = O B \cdot O C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Vì

A B ∥ D C

nên trong tam giác tạo bởi hai đường chéo,

O

chia

A C

và

B D

theo cùng một tỉ số

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}

(không phải

\frac{O D}{O B}

như khẳng định (1) viết). Bẫy của bài là phân biệt đúng chiều tỉ lệ thức thật với chiều bị đảo ngược có vẻ giống nhau.

1Cách 1. Xác lập tỉ lệ thức gốc rồi suy ra các dạng tương đương

Định hướng. Do $A B ∥ D C$ , dùng Thalès trong "tam giác" tạo bởi hai đường chéo cắt nhau tại $O$ để có tỉ lệ thức gốc $\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}$ , rồi biến đổi để kiểm tra từng khẳng định.

A B ∥ D C

, xét hai đường thẳng

A C, B D

cắt nhau tại

O

: theo Thalès,

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}

(tỉ lệ thức gốc, không phải như (1) viết)
(1) viết

\frac{O A}{O C} = \frac{O D}{O B}

— đây là nghịch đảo của tỉ lệ thức gốc, nói chung SAI (chỉ đúng khi

O B = O D

, tức

A B = D C

, hình bình hành đặc biệt)
(2) từ tỉ lệ thức gốc

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}

, nhân chéo được

O A \cdot O D = O B \cdot O C

— ĐÚNG
(3) từ

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D} = k

, cộng thêm 1 cả hai vế:

\frac{O A + O C}{O C} = \frac{O B + O D}{O D}

, tức

\frac{A C}{O C} = \frac{B D}{O D}

, nghịch đảo lại:

\frac{O C}{A C} = \frac{O D}{B D}

; tương tự có thể chỉ ra

\frac{O A}{A C} = \frac{O B}{B D} = \frac{k}{k + 1}

— ĐÚNG

Vậy có đúng $2$ khẳng định đúng là (2), (3) — đáp án C.

2Cách 2. Thử bằng số liệu cụ thể

Định hướng. Chọn một hình thang cụ thể có $A B \neq = D C$ , tính số liệu thật của $O A, O B, O C, O D$ rồi thay vào từng khẳng định để kiểm tra đúng/sai — cách kiểm chứng bằng số độc lập với biến đổi đại số ở Cách 1.

Chọn hình thang có

A B = 2

D C = 4

(tỉ số

A B : D C = 1 : 2

), khi đó

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D} = \frac{1}{2}

; lấy

O C = 4, O A = 2, O D = 6, O B = 3

(thoả tỉ lệ)
(1)

\frac{O A}{O C} = \frac{2}{4} = 0, 5

;

\frac{O D}{O B} = \frac{6}{3} = 2

;

0, 5 \neq = 2

— SAI
(2)

O A \cdot O D = 2 \times 6 = 12

;

O B \cdot O C = 3 \times 4 = 12

; bằng nhau — ĐÚNG
(3)

\frac{A O}{A C} = \frac{2}{2 + 4} = \frac{1}{3}

;

\frac{B O}{B D} = \frac{3}{3 + 6} = \frac{1}{3}

; bằng nhau — ĐÚNG

Vậy có $2$ khẳng định đúng, khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: biến đổi trực tiếp từ tỉ lệ thức gốc để xét cả ba khẳng định cùng lúc, chắc chắn hơn việc chọn số liệu riêng như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (có

2

khẳng định đúng).

Sai lầm thường gặp. Nhầm khẳng định (1) đúng vì thấy dạng "tỉ lệ chéo" quen mắt mà không nhận ra tử và mẫu đã bị đảo so với tỉ lệ thức gốc

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}

🚀 Mở rộng. Khẳng định (1) chỉ đúng trong trường hợp đặc biệt

O B = O D

, tức là khi

A B = D C

— lúc đó

A B C D

không còn là hình thang thực sự (hai đáy bằng nhau) mà là hình bình hành.

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Câu 5★★Trang 53— Dùng định lí Thalès với

D E ∥ A C

trong tam giác

A B C

Câu 5 (trang 53). Cho Hình 5.14, biết

D E ∥ A C

. Độ dài

x

là
A.

5

.
B.

7

.
C.

6, 5

.
D.

6, 25

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: nếu $D E ∥ A C$ ( $D \in B A$ , $E \in B C$ ) thì $\frac{B D}{D A} = \frac{B E}{E C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

D

trên cạnh

B A

với

B D = 5

D A = 2

;

E

trên cạnh

B C

với

B E = x

E C = 2, 5

;

D E ∥ A C

là dấu hiệu trực tiếp để dùng định lí Thalès trên hai đoạn chắn

B D, D A

và

B E, E C

1Cách 1. Lập tỉ lệ thức Thalès trên hai đoạn chắn

Định hướng. Áp dụng trực tiếp định lí Thalès với $D E ∥ A C$ .

Trong

△ A B C

có

D E ∥ A C

(

D \in B A

E \in B C

), theo Thalès:

\frac{B D}{D A} = \frac{B E}{E C}

\frac{5}{2} = \frac{x}{2 , 5}

x = \frac{5 \times 2 , 5}{2} = 6, 25

Vậy $x = 6, 25$ — đáp án D.

2Cách 2. Tính cạnh

B C

rồi trừ

E C

Định hướng. Dùng tỉ lệ thức theo cả cạnh $B A, B C$ để tính $B E$ gián tiếp qua $B C$ .

B A = B D + D A = 5 + 2 = 7

\frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}

\frac{5}{7} = \frac{B E}{B E + 2 , 5}

5 (B E + 2, 5) = 7 B E

5 B E + 12, 5 = 7 B E

2 B E = 12, 5

B E = 6, 25

Vậy $x = B E = 6, 25$ , khớp Cách 1 — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập ngay tỉ lệ thức Thalès trên hai đoạn chắn theo đúng thứ tự

B D, D A

và

B E, E C

đề đã cho, khỏi mất công đặt phương trình như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D (

x = 6, 25

Sai lầm thường gặp. Lập sai tỉ lệ thức

\frac{B D}{E C} = \frac{D A}{B E}

(ghép chéo hai cạnh khác nhau) thay vì đúng

\frac{B D}{D A} = \frac{B E}{E C}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

D A

thành ẩn số và giữ

x = 6, 25

cố định thì có thể tìm ngược vị trí điểm

D

trên

B A

bằng đúng tỉ lệ thức này.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Câu 6★★Trang 54— Dùng đường trung bình của hai tam giác phụ

A B G

và

A C G

Câu 6 (trang 54). Cho tam giác

A B C

, các đường trung tuyến

B D

và

C E

cắt nhau ở

G

. Gọi

I

K

theo thứ tự là trung điểm của

GB

GC

. Biết

A G = 4

cm, độ dài của

E I

D K

là
A.

E I = D K = 3

cm.
B.

E I = 3

cm;

D K = 2

cm.
C.

E I = D K = 2

cm.
D.

E I = 1

cm;

D K = 2

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba.
Trung tuyến $B D, C E$ cho $D$ là trung điểm $A C$ , $E$ là trung điểm $A B$ .

🧠 Phân tích tư duy

E

là trung điểm

A B

(chân trung tuyến

C E

I

là trung điểm

GB

— dấu hiệu để

E I

là đường trung bình của

△ A B G

ứng với cạnh

A G

. Tương tự

D

là trung điểm

A C

K

là trung điểm

GC

, nên

D K

là đường trung bình của

△ A C G

ứng với cùng cạnh

A G

1Cách 1. Dùng đường trung bình của

△ A B G

và

△ A C G

Định hướng. Cả $E I$ và $D K$ đều là đường trung bình ứng với cùng một cạnh $A G$ trong hai tam giác khác nhau, nên đều bằng $\frac{1}{2} A G$ .

E

là trung điểm

A B

I

là trung điểm

GB

nên trong

△ A B G

E I

là đường trung bình ứng với

A G

E I = \frac{1}{2} A G

D

là trung điểm

A C

K

là trung điểm

GC

nên trong

△ A C G

D K

là đường trung bình ứng với

A G

D K = \frac{1}{2} A G

E I = D K = \frac{1}{2} \times 4 = 2

(cm)

Vậy $E I = D K = 2$ cm — đáp án C.

2Cách 2. Dùng Thalès đảo trong hai tam giác phụ trước khi tính

Định hướng. Xuất phát lại từ tỉ lệ thức $\frac{B E}{B A} = \frac{B I}{B G} = \frac{1}{2}$ để có $E I ∥ A G$ bằng Thalès đảo, tương tự cho $D K$ , rồi dùng hệ quả tỉ lệ.

\frac{B E}{B A} = \frac{1}{2}

\frac{B I}{B G} = \frac{1}{2}

nên theo Thalès đảo,

E I ∥ A G

và

\frac{E I}{A G} = \frac{1}{2}

Tương tự

\frac{C D}{C A} = \frac{C K}{C G} = \frac{1}{2}

nên

D K ∥ A G

và

\frac{D K}{A G} = \frac{1}{2}

E I = D K = \frac{1}{2} \times 4 = 2

(cm)

Vậy $E I = D K = 2$ cm, khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay hai đường trung bình cùng ứng với cạnh

A G

, không cần dựng lại từ Thalès đảo như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (

E I = D K = 2

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhầm

E I

hoặc

D K

ứng với cạnh

B G

hay

C G

thay vì đúng cạnh chung

A G

, dẫn đến kết quả sai lệch giữa hai đoạn.

🚀 Mở rộng. Vì trọng tâm

G

chia trung tuyến theo tỉ số

2 : 1

nên có thể tính thêm

B G = \frac{2}{3} B D

và

E I

còn liên hệ với các đoạn trung tuyến khác qua cùng một tâm

G

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Câu 7★★Trang 54— Nhận biết hai đường thẳng song song vì cùng vuông góc với một đường thẳng, rồi dùng Thalès

Câu 7 (trang 54). Cho Hình 5.15, biết

E D ⊥ A B

A C ⊥ A B

. Khi đó,

x

có giá trị là
A.

2, 5

.
B.

2

.
C.

3

.
D.

4

Kiến thức cần nhớ

Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.
Định lí Thalès: $E D ∥ A C$ thì $\frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

E D ⊥ A B

và

A C ⊥ A B

là dấu hiệu để có

E D ∥ A C

(hai đường cùng vuông góc với

A B

), từ đó dùng Thalès trong tam giác

A B C

với

B D = 6

D A = 3

B E = 3 x

B C = 13, 5

. Bẫy là số

13, 5

trên hình chỉ toàn bộ cạnh

B C

chứ không phải riêng đoạn

E C

1Cách 1. Nhận ra

E D ∥ A C

rồi dùng Thalès trên cả cạnh

B A, B C

Định hướng. Vì $E D ⊥ A B$ và $A C ⊥ A B$ nên $E D ∥ A C$ ; áp dụng Thalès với $B A = B D + D A$ và $B C = 13, 5$ đã cho.

E D ⊥ A B

A C ⊥ A B

nên

E D ∥ A C

B A = B D + D A = 6 + 3 = 9

Trong

△ A B C

có

E D ∥ A C

(

D \in B A

E \in B C

), theo Thalès:

\frac{B D}{B A} = \frac{B E}{B C}

\frac{6}{9} = \frac{B E}{13 , 5}

B E = \frac{6 \times 13 , 5}{9} = 9

Mà

B E = 3 x

nên

3 x = 9

, suy ra

x = 3

Vậy $x = 3$ — đáp án C.

2Cách 2. Lập tỉ lệ thức trên hai đoạn chắn

B D, D A

Định hướng. Dùng trực tiếp tỉ lệ thức Thalès trên hai đoạn chắn $B D / D A$ và $B E / E C$ thay vì trên cả cạnh $B A / B C$ như Cách 1.

E D ∥ A C

nên

\frac{B D}{D A} = \frac{B E}{E C}

E C = B C - B E = 13, 5 - 3 x

\frac{6}{3} = \frac{3 x}{13 , 5 - 3 x}

2 (13, 5 - 3 x) = 3 x

27 - 6 x = 3 x

9 x = 27

x = 3

Vậy $x = 3$ , khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng thẳng tỉ lệ thức trên cả cạnh

B A / B C

(đã có sẵn số liệu

13, 5

là cả cạnh

B C

), tránh phải đặt biểu thức

E C = 13, 5 - 3 x

như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (

x = 3

Sai lầm thường gặp. Hiểu nhầm số

13, 5

trên hình là riêng đoạn

E C

thay vì cả cạnh

B C

, dẫn tới lập sai tỉ lệ thức và ra kết quả khác.

🚀 Mở rộng. Đây là mô hình đo gián tiếp quen thuộc: dựng hai đoạn vuông góc

E D, A C

cùng vuông góc với một cạnh để tạo ra hai đường thẳng song song, từ đó dùng Thalès thay vì đo trực tiếp đoạn khó tiếp cận.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Câu 8★★Trang 54— Dùng tính chất đường phân giác của tam giác

Câu 8 (trang 54). Cho

△ A B C

. Tia phân giác góc trong của góc

A

cắt

B C

tại

D

. Cho

A B = 6

A C = x

B D = 9

B C = 21

. Độ dài

x

bằng
A.

4

.
B.

6

.
C.

12

.
D.

14

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đường phân giác một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.

🧠 Phân tích tư duy

Phân giác góc

A

cắt cạnh đối diện

B C

tại

D

— dấu hiệu trực tiếp để dùng tính chất đường phân giác

\frac{D B}{D C} = \frac{A B}{A C}

, với

D C = B C - B D

phải tính trước.

1Cách 1. Tính

D C

rồi lập tỉ lệ thức đường phân giác

Định hướng. Tính $D C = B C - B D$ trước, sau đó áp dụng tính chất đường phân giác $\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}$ .

D C = B C - B D = 21 - 9 = 12

A D

là phân giác góc

A

nên

\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}

\frac{6}{x} = \frac{9}{12}

x = \frac{6 \times 12}{9} = 8

Vậy tính đúng ra $x = 8$ , nhưng giá trị này KHÔNG có trong bốn phương án A, B, C, D đã cho.

2Cách 2. Đặt ẩn trực tiếp và giải phương trình

Định hướng. Trình bày lại bằng cách đặt $x = A C$ là ẩn cần tìm ngay từ đầu tỉ lệ thức, giải phương trình để kiểm chứng độc lập với Cách 1.

D C = 21 - 9 = 12

Theo tính chất đường phân giác:

\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C} \Leftrightarrow \frac{6}{x} = \frac{9}{12} \Leftrightarrow 9 x = 72 \Leftrightarrow x = 8

Vậy $x = 8$ , khớp Cách 1 — kết quả này không trùng phương án nào trong A, B, C, D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Tính trực tiếp theo Cách 1 là đủ; không cần thử ngược từng phương án vì đề gốc SBT in các phương án chưa khớp với đáp số đúng.

Đáp số.

x = A C = 8

(tính đúng theo tính chất đường phân giác). Đề gốc trong sách bài tập in bốn phương án A.

4

, B.

6

, C.

12

, D.

14

nhưng không phương án nào bằng

8

— đây là sai sót của đề in gốc, đã đối chiếu khớp ở cả vietjack.com và tech12h.com (hai nguồn độc lập đều tính ra

x = 8

và cùng ghi nhận không có đáp án đúng).

Sai lầm thường gặp. Quên tính

D C = B C - B D

trước khi lập tỉ lệ thức mà lấy nhầm

D C = B C = 21

; hoặc viết ngược tỉ lệ thức thành

\frac{A B}{A C} = \frac{D C}{D B}

🚀 Mở rộng. Nếu đổi số liệu

B D = 9

thành

B D = 8

(giữ nguyên

A B = 6, B C = 21

) thì

D C = 13

và

x = \frac{6 \times 13}{8} = 9, 75

— vẫn không tròn số, cho thấy bộ số liệu gốc của câu này cần xem lại khi dùng để ra đề trắc nghiệm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Câu 9★Trang 54— Dùng tính chất đường phân giác của tam giác

Câu 9 (trang 54). Cho tam giác

A B C

có

A D

là tia phân giác của góc

B A C

. Biết

A B = 3

cm,

B D = 4

cm,

C D = 6

cm. Độ dài

A C

bằng
A.

4

cm.
B.

5

cm.
C.

6

cm.
D.

4, 5

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: $\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phân giác góc

A

cắt

B C

tại

D

với

B D, C D

đã biết — dấu hiệu để dùng ngay tính chất đường phân giác

\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}

mà không cần tính thêm

B C

1Cách 1. Lập tỉ lệ thức đường phân giác trực tiếp

Định hướng. $B D, C D$ đã cho sẵn nên dùng thẳng tỉ lệ thức đường phân giác để tính $A C$ .

A D

là phân giác góc

A

nên

\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}

\frac{3}{A C} = \frac{4}{6}

A C = \frac{3 \times 6}{4} = 4, 5

(cm)

Vậy $A C = 4, 5$ cm — đáp án D.

2Cách 2. Đặt ẩn và giải phương trình

Định hướng. Gọi $A C = y$ , thay trực tiếp vào tỉ lệ thức rồi giải phương trình — trình bày đại số để kiểm chứng độc lập với Cách 1.

Đặt

A C = y

(

y > 0

)

\frac{A B}{A C} = \frac{D B}{D C}

\frac{3}{y} = \frac{4}{6}

4 y = 18

y = 4, 5

Vậy $A C = 4, 5$ cm, khớp Cách 1 — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng

A C

từ tỉ lệ thức, không cần đặt ẩn như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D (

A C = 4, 5

cm).

Sai lầm thường gặp. Viết ngược tỉ lệ thức thành

\frac{A B}{A C} = \frac{D C}{D B}

(đảo vị trí

D B, D C

🚀 Mở rộng. Từ

B D = 4

C D = 6

suy ra

B C = 10

; có thể kiểm tra thêm bằng bất đẳng thức tam giác:

A B + A C = 3 + 4, 5 = 7, 5 > B C = 10

không thoả — cho thấy cần chọn đúng cạnh

A B, A C

kề với góc bị chia chứ không tuỳ ý gán số.

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Câu 10★★Trang 54— Dùng đường trung bình của tam giác đều để tính chu vi tứ giác tạo thành

Câu 10 (trang 54). Cho

△ A B C

đều, cạnh

3

cm;

M

N

lần lượt là trung điểm của

A B

và

A C

. Chu vi của tứ giác

M N C B

bằng
A.

8

cm.
B.

7, 5

cm.
C.

6

cm.
D.

7

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba.
$M, N$ là trung điểm nên $B M = \frac{1}{2} A B$ , $N C = \frac{1}{2} A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

M, N

là trung điểm

A B, A C

của tam giác đều — dấu hiệu để

M N

là đường trung bình (bằng nửa cạnh) và

M B = N C

cũng chỉ bằng nửa cạnh (vì

M, N

là trung điểm). Bẫy là cộng đủ bốn cạnh

M N + N C + C B + B M

chứ không chỉ tính

M N

1Cách 1. Cộng trực tiếp bốn cạnh của tứ giác

Định hướng. Tính riêng từng cạnh $M N, N C, C B, B M$ rồi cộng lại.

M N

là đường trung bình ứng với

B C

M N = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 3 = 1, 5

(cm)

B M = \frac{1}{2} A B = 1, 5

(cm) (vì

M

là trung điểm

A B

)

N C = \frac{1}{2} A C = 1, 5

(cm) (vì

N

là trung điểm

A C

)

C B = 3

(cm) (cạnh tam giác đều)
Chu vi

M N C B = M N + N C + C B + B M = 1, 5 + 1, 5 + 3 + 1, 5 = 7, 5

(cm)

Vậy chu vi tứ giác $M N C B$ bằng $7, 5$ cm — đáp án B.

2Cách 2. Tính theo chu vi tam giác

A M N

và tam giác

A B C

Định hướng. Chu vi tứ giác $M N C B$ bằng chu vi $△ A B C$ trừ chu vi $△ A M N$ rồi cộng lại đúng cạnh $M N$ dùng chung hai lần — cách tính gián tiếp qua hiệu chu vi thay vì cộng trực tiếp như Cách 1.

△ A M N

có

A M = \frac{1}{2} A B = 1, 5

A N = \frac{1}{2} A C = 1, 5

M N = \frac{1}{2} B C = 1, 5

(vì

△ A M N

cũng đều, cạnh

1, 5

cm)
Chu vi

△ A B C = 3 \times 3 = 9

(cm); Chu vi

△ A M N = 3 \times 1, 5 = 4, 5

(cm)
Chu vi tứ giác

M N C B

= (Chu vi

A B C

-

A M

-

A N

)

+

M N

(9 - 1, 5 - 1, 5) + 1, 5 = 6 + 1, 5 = 7, 5

(cm)

Vậy chu vi $M N C B = 7, 5$ cm, khớp Cách 1 — đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng trực tiếp bốn cạnh đã tính sẵn, không cần vòng qua hiệu hai chu vi tam giác như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B (

7, 5

cm).

Sai lầm thường gặp. Quên cộng cả bốn cạnh mà chỉ tính

M N + C B

(bỏ sót

B M, N C

), hoặc nhầm chu vi tứ giác bằng nửa chu vi tam giác

A B C

🚀 Mở rộng. Vì tam giác đều nên

△ A M N

cũng là tam giác đều cạnh

1, 5

cm (đồng dạng với

△ A B C

tỉ số

1/2

), một tính chất đặc biệt chỉ có ở tam giác đều chứ không đúng cho tam giác thường.

Mở bài này trong app ↗

Bài 11 · Câu 11★★Trang 54— Dùng đường trung bình của tam giác vuông (nhận biết qua Pythagore đảo) để tính chu vi tứ giác

Câu 11 (trang 54). Cho tam giác

A B C

có

A B = 6

cm,

A C = 8

cm,

B C = 10

cm. Gọi

H

I

K

lần lượt là trung điểm của

A B

B C

A C

. Chu vi của tứ giác

A H I K

bằng
A.

7

cm.
B.

14

cm.
C.

24

cm.
D.

12

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác bằng nửa cạnh thứ ba.
$H, K$ là trung điểm nên $A H = \frac{1}{2} A B$ , $A K = \frac{1}{2} A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

A B = 6, A C = 8, B C = 10

thoả

6^{2} + 8^{2} = 1 0^{2}

— dấu hiệu tam giác vuông tại

A

(Pythagore đảo), tuy vậy chu vi tứ giác

A H I K

vẫn tính được bằng đường trung bình mà không cần dùng tới tính vuông góc.

1Cách 1. Cộng trực tiếp bốn cạnh của tứ giác

A H I K

Định hướng. Tính từng cạnh $A H, H I, I K, K A$ rồi cộng lại; $H I, I K$ là hai đường trung bình, $A H, A K$ là nửa cạnh vì $H, K$ là trung điểm.

A H = \frac{1}{2} A B = 3

(cm);

A K = \frac{1}{2} A C = 4

(cm)

H I

là đường trung bình ứng với

A C

(vì

H, I

là trung điểm

A B, B C

H I = \frac{1}{2} A C = 4

(cm)

I K

là đường trung bình ứng với

A B

(vì

I, K

là trung điểm

B C, A C

I K = \frac{1}{2} A B = 3

(cm)
Chu vi

A H I K = A H + H I + I K + K A = 3 + 4 + 3 + 4 = 14

(cm)

Vậy chu vi tứ giác $A H I K$ bằng $14$ cm — đáp án B.

2Cách 2. Nhận ra chu vi

A H I K

bằng nửa chu vi

△ A B C

Định hướng. Vì cả bốn cạnh của tứ giác $A H I K$ đều bằng nửa một cạnh tương ứng của $△ A B C$ (mỗi cạnh $A B C$ xuất hiện đúng một lần dưới dạng nửa), tổng chu vi $A H I K$ bằng nửa chu vi $△ A B C$ — cách suy luận tổng quát khác với cộng từng số như Cách 1.

Chu vi

△ A B C = A B + B C + A C = 6 + 10 + 8 = 24

(cm)

A H + K A = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C

;

H I + I K = \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A B

Chu vi

A H I K = A H + H I + I K + K A = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A C + \frac{1}{2} A B = A B + A C = 6 + 8 = 14

(cm)

Vậy chu vi $A H I K = 14$ cm, khớp Cách 1 — đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: cộng trực tiếp bốn cạnh đã tính, tránh nhầm lẫn khi rút gọn tổng quát như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B (

14

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhầm chu vi

A H I K

bằng nửa chu vi

△ A B C = 12

cm (áp dụng sai công thức nửa chu vi cho toàn bộ tứ giác thay vì cho từng cặp cạnh

A B, A C

🚀 Mở rộng. Vì

A B^{2} + A C^{2} = B C^{2}

nên

△ A B C

vuông tại

A

; khi đó tứ giác

A H I K

(hình bình hành theo tính chất đường trung bình) thực chất là một hình chữ nhật vì góc tại

A

bằng

9 0^{\circ}

Mở bài này trong app ↗

Bài 12 · Câu 12★★★Trang 54— Dùng tính chất đường chéo hình thoi là phân giác kết hợp tính chất đường phân giác của tam giác

Câu 12 (trang 54). Cho hình thoi

A B C D

có

M

là trung điểm

A D

, đường chéo

A C

cắt

B M

tại điểm

E

(Hình 5.16). Tỉ số

\frac{E M}{E B}

bằng
A.

\frac{1}{3}

.
B.

2

.
C.

\frac{1}{2}

.
D.

\frac{2}{3}

Kiến thức cần nhớ

Trong hình thoi, mỗi đường chéo là đường phân giác của các góc ở đỉnh mà nó đi qua.
Tính chất đường phân giác của tam giác: $\frac{E M}{E B} = \frac{A M}{A B}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đường chéo

A C

của hình thoi

A B C D

luôn là phân giác của góc

A

(tính chất hình thoi) — dấu hiệu để trong

△ A B M

, đoạn

A E

(một phần của

A C

) chính là phân giác của góc

B A M

, từ đó dùng tính chất đường phân giác với

A M = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

(vì hình thoi có

A D = A B

1Cách 1. Dùng tính chất đường chéo hình thoi là phân giác, rồi tính chất đường phân giác của tam giác

Định hướng. Xét $△ A B M$ : $A E$ là một phần của đường chéo $A C$ , mà $A C$ là phân giác góc $B A D$ của hình thoi nên cũng là phân giác góc $B A M$ trong tam giác $A B M$ ; áp dụng tính chất đường phân giác.

A B C D

là hình thoi nên

A C

là phân giác của góc

B A D

, tức là tia

A E

là phân giác của góc

B A M

(vì

M \in A D

)
Trong

△ A B M

A E

là phân giác góc

A

, cắt

B M

tại

E

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{E M}{E B} = \frac{A M}{A B}

A B C D

là hình thoi nên

A D = A B

;

M

là trung điểm

A D

nên

A M = \frac{1}{2} A D = \frac{1}{2} A B

\frac{E M}{E B} = \frac{A M}{A B} = \frac{\frac{1}{2} A B}{A B} = \frac{1}{2}

Vậy $\frac{E M}{E B} = \frac{1}{2}$ — đáp án C.

2Cách 2. Đặt cạnh hình thoi bằng số cụ thể rồi tính trực tiếp

Định hướng. Gán cạnh hình thoi bằng một số cụ thể (ví dụ $4$ ), tính $A M$ rồi áp dụng đúng tỉ lệ thức đường phân giác như Cách 1 — cách kiểm chứng bằng số thay vì giữ ẩn tổng quát.

Giả sử cạnh hình thoi

A B = A D = 4

(đơn vị bất kì)

M

là trung điểm

A D

nên

A M = 2

A E

là phân giác góc

B A M

trong

△ A B M

(vì

A C

là phân giác hình thoi), theo tính chất đường phân giác:

\frac{E M}{E B} = \frac{A M}{A B} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Vậy $\frac{E M}{E B} = \frac{1}{2}$ , khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giữ ẩn tổng quát

A B

để thấy ngay tỉ số không phụ thuộc độ dài cạnh cụ thể, khỏi phải gán số như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (

\frac{E M}{E B} = \frac{1}{2}

Sai lầm thường gặp. Quên

A C

là phân giác của hình thoi nên không nhận ra

A E

đóng vai trò phân giác trong

△ A B M

, dẫn tới không tìm được tỉ lệ thức đúng.

🚀 Mở rộng. Nếu

M

là trung điểm

A D

được thay bằng một điểm

M^{'}

chia

A D

theo tỉ số

k

bất kì (không nhất thiết là trung điểm) thì công thức

\frac{E M ^{'}}{E B} = \frac{A M ^{'}}{A B} = k

vẫn đúng nguyên vẹn.

Mở bài này trong app ↗

Bài 13 · Bài 4.15★★Trang 55— Ghép chuỗi hai lần định lí Thalès qua hai tam giác phụ rồi dùng Thalès đảo

4.15 (trang 55). Cho tam giác

A B C

, điểm

I

nằm trong tam giác. Lấy điểm

D

trên

I A

, qua

D

kẻ đường thẳng song song với

A B

, cắt

I B

tại

E

. Qua

E

kẻ đường thẳng song song với

B C

, cắt

I C

tại

F

. Chứng minh rằng:

D F ∥ A C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh tam giác cắt hai cạnh còn lại tạo tỉ lệ thức.
Định lí Thalès đảo: nếu $I D / I A = I F / I C$ ( $D \in I A$ , $F \in I C$ ) thì $D F ∥ A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

D E ∥ A B

cho tỉ số

I D / I A = I E / I B

trong

△ I A B

;

E F ∥ B C

cho tỉ số

I E / I B = I F / I C

trong

△ I B C

. Ghép hai tỉ số qua

I E / I B

chung sẽ lộ ra

I D / I A = I F / I C

, đúng điều kiện của Thalès đảo trong

△ I A C

1Cách 1. Ghép hai tỉ lệ thức Thalès qua tỉ số chung

I E / I B

Định hướng. Dùng Thalès trong $△ I A B$ (vì $D E ∥ A B$ ) và trong $△ I B C$ (vì $E F ∥ B C$ ), cả hai đều chứa tỉ số $I E / I B$ , ghép lại để có $I D / I A = I F / I C$ .

Trong

△ I A B

có

D E ∥ A B

(

D \in I A

E \in I B

), theo Thalès:

\frac{I D}{I A} = \frac{I E}{I B}

(1)

Trong

△ I B C

có

E F ∥ B C

(

E \in I B

F \in I C

), theo Thalès:

\frac{I E}{I B} = \frac{I F}{I C}

(2)

Từ

(1)

và

(2)

suy ra

\frac{I D}{I A} = \frac{I F}{I C}

Trong

△ I A C

D \in I A

F \in I C

có

\frac{I D}{I A} = \frac{I F}{I C}

, theo định lí Thalès đảo suy ra

D F ∥ A C

Vậy $D F ∥ A C$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Đặt toạ độ $I, A, B, C$ tổng quát, tham số hoá $D$ trên $I A$ theo tỉ số $t$ , suy ra $E, F$ từ điều kiện song song, rồi kiểm tra $D F$ cùng phương $A C$ .

Đặt

I (0; 0)

A (a_{1}; a_{2})

B (b_{1}; b_{2})

C (c_{1}; c_{2})

;

D = t \cdot A

với

0 < t < 1

(điểm trên

I A

)
Vì

D E ∥ A B

và

E

trên

I B

nên

E = t \cdot B

(cùng hệ số

t

, theo Thalès trong tam giác

I A B

)
Vì

E F ∥ B C

và

F

trên

I C

nên tương tự

F = t \cdot C

D F = F - D = t (C - A) = t \cdot A C

Vậy $D F$ cùng phương $A C$ nên $D F ∥ A C$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: ghép trực tiếp hai tỉ lệ thức Thalès qua đại lượng chung

I E / I B

, gọn hơn việc đặt toạ độ như Cách 2.

Đáp số.

D F ∥ A C

(chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Chỉ dừng lại ở

I D / I A = I E / I B

và

I E / I B = I F / I C

mà không ghép hai tỉ lệ thức lại, nên không đủ điều kiện để dùng Thalès đảo cho

D F, A C

🚀 Mở rộng. Kết quả cho thấy

D, E, F

đồng dạng với

A, B, C

qua phép vị tự tâm

I

tỉ số

t = I D / I A

— mọi đoạn nối các điểm tương ứng (

D E ∥ A B

E F ∥ B C

D F ∥ A C

) đều song song với cạnh gốc.

Mở bài này trong app ↗

Bài 14 · Bài 4.16★★★Trang 55— Dùng đường trung bình hình thang và đường trung bình tam giác phụ để chia đều một đoạn thẳng

4.16 (trang 55). Cho tam giác

A B C

, các đường trung tuyến

B D

C E

. Gọi

M

N

theo thứ tự là trung điểm của

B E

C D

. Gọi

I

K

theo thứ tự là giao điểm của

M N

với

B D

và

C E

. Chứng minh

M I = I K = K N

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Đường trung bình của hình thang (nối trung điểm hai cạnh bên) song song với hai đáy; đường thẳng qua trung điểm một cạnh của tam giác song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba.

🧠 Phân tích tư duy

D, E

là trung điểm

A C, A B

nên

E D

là đường trung bình của

△ A B C

, do đó

B E D C

(đỉnh

B, C, D, E

) là một hình thang có hai đáy

B C

và

E D

, hai cạnh bên là

B E

và

C D

M, N

chính là trung điểm hai cạnh bên của hình thang này, nên

M N

là đường trung bình của hình thang — dấu hiệu để khai thác tiếp tính chất đường trung bình hình thang đi qua trung điểm hai đường chéo

B D, C E

1Cách 1. Dùng liên tiếp đường trung bình trong ba tam giác phụ

Định hướng. Trước tiên chứng minh $E D ∥ B C$ (đường trung bình $△ A B C$ ). Sau đó xét $△ E B D$ : $M$ là trung điểm cạnh $E B$ , đường thẳng qua $M$ song song $E D$ sẽ đi qua trung điểm cạnh $B D$ — chính là điểm $I$ . Tương tự xét $△ D C E$ để tìm $K$ .

B D, C E

là trung tuyến nên

D

là trung điểm

A C

E

là trung điểm

A B

Trong

△ A B C

E, D

là trung điểm

A B, A C

nên

E D

là đường trung bình ứng

B C

E D ∥ B C

E D = \frac{1}{2} B C

Xét

△ E B D

M

là trung điểm

E B

(giả thiết); đường thẳng qua

M

song song

E D

chính là đường thẳng

M N

(vì

M N ∥ E D ∥ B C

, do

M, N

nối hai trung điểm cạnh bên hình thang

B E D C

); theo định lí đường trung bình, đường này đi qua trung điểm cạnh

B D

, tức là

I

chính là trung điểm

B D

M I

là đường trung bình của

△ E B D

ứng với cạnh

E D

M I = \frac{1}{2} E D = \frac{1}{4} B C

Tương tự, xét

△ D C E

N

là trung điểm

D C

, đường thẳng qua

N

song song

E D

(chính là

M N

) đi qua trung điểm cạnh

C E

, tức

K

là trung điểm

C E

, và

K N = \frac{1}{2} E D = \frac{1}{4} B C

M N

là đường trung bình hình thang

B E D C

M N = \frac{B C + E D}{2} = \frac{B C + \frac{1}{2} B C}{2} = \frac{3}{4} B C

I K = M N - M I - K N = \frac{3}{4} B C - \frac{1}{4} B C - \frac{1}{4} B C = \frac{1}{4} B C

Vậy $M I = I K = K N = \frac{1}{4} B C$ , tức là $M I = I K = K N$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Gán toạ độ $A, B, C$ tổng quát, tính toạ độ $D, E, M, N$ , tìm giao điểm $I$ của $M N$ với $B D$ và $K$ của $M N$ với $C E$ , rồi so sánh ba đoạn bằng công thức khoảng cách — cách kiểm chứng đại số độc lập với lập luận hình thang ở Cách 1.

Đặt

A (0; 0)

B (4; 0)

C (0; 4)

(một tam giác cụ thể để kiểm tra, kết quả tỉ lệ không đổi với tam giác bất kì)

D

trung điểm

A C

D (0; 2)

;

E

trung điểm

A B

E (2; 0)

M

trung điểm

B E

M (3; 0)

;

N

trung điểm

C D

N (0; 3)

Đường thẳng

M N

: từ

(3; 0)

đến

(0; 3)

, phương trình

x + y = 3

Đường thẳng

B D

: từ

B (4; 0)

đến

D (0; 2)

; giao với

M N

tại

I

: giải hệ được

I (2; 1)

— đúng là trung điểm

B D = (\frac{4 + 0}{2}; \frac{0 + 2}{2}) = (2; 1)

Đường thẳng

C E

: từ

C (0; 4)

đến

E (2; 0)

; giao với

M N

tại

K

: giải hệ được

K (1; 2)

— đúng là trung điểm

C E = (\frac{0 + 2}{2}; \frac{4 + 0}{2}) = (1; 2)

M I = (3 - 2)^{2} + (0 - 1)^{2} = 2

;

I K = (2 - 1)^{2} + (1 - 2)^{2} = 2

;

K N = (1 - 0)^{2} + (2 - 3)^{2} = 2

Vậy $M I = I K = K N = 2$ (bằng nhau), khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập luận thuần đường trung bình để có ngay

M I = I K = K N = \frac{1}{4} B C

, đúng trọng tâm kiến thức chương IV, không cần đặt toạ độ như Cách 2.

Đáp số.

M I = I K = K N

(mỗi đoạn bằng

\frac{1}{4} B C

, chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Nhầm

I, K

là giao điểm

M N

với

B D, C E

tại vị trí bất kỳ mà không chứng minh chúng chính là trung điểm hai đường chéo hình thang

B E D C

, dẫn tới không tính được

M I, K N

chính xác.

🚀 Mở rộng. Kết quả

M N = \frac{3}{4} B C

và

M I = I K = K N = \frac{1}{4} B C

là một tính chất tổng quát của đường trung bình hình thang: đường trung bình luôn đi qua trung điểm hai đường chéo và bị chia thành đúng ba phần theo tỉ lệ liên quan tới hai đáy.

Mở bài này trong app ↗

Bài 15 · Bài 4.17★★Trang 55— Dùng tính chất đường phân giác kết hợp tính cân để suy ra tỉ lệ thức rồi dùng Thalès đảo

4.17 (trang 55). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

, các đường phân giác

B D

C E

(

D \in A C

E \in A B

). Chứng minh

D E ∥ B C

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác.
Tam giác cân tại $A$ có $A B = A C$ .
Định lí Thalès đảo: $\frac{A D}{D C} = \frac{A E}{E B}$ thì $D E ∥ B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

B D

là phân giác góc

B

cắt

A C

tại

D

C E

là phân giác góc

C

cắt

A B

tại

E

— dấu hiệu để dùng tính chất đường phân giác trong hai tam giác con và khai thác

A B = A C

(tam giác cân) để hai tỉ số bằng nhau, dẫn tới

D E ∥ B C

theo Thalès đảo.

1Cách 1. Dùng tính chất đường phân giác rồi Thalès đảo

Định hướng. Tính $\frac{A D}{D C}$ theo tính chất đường phân giác góc $B$ , tính $\frac{A E}{E B}$ theo tính chất đường phân giác góc $C$ , dùng $A B = A C$ để thấy hai tỉ số bằng nhau.

B D

là phân giác góc

B

trong

△ A B C

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}

C E

là phân giác góc

C

trong

△ A B C

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{A E}{E B} = \frac{A C}{B C}

Vì

△ A B C

cân tại

A

nên

A B = A C

, suy ra

\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{B C}

Do đó

\frac{A D}{D C} = \frac{A E}{E B}

Trong

△ A B C

D \in A C

E \in A B

có

\frac{A D}{D C} = \frac{A E}{E B}

, theo định lí Thalès đảo suy ra

D E ∥ B C

Vậy $D E ∥ B C$ .

2Cách 2. Dùng trục đối xứng của tam giác cân

Định hướng. Tam giác cân tại $A$ có trục đối xứng là đường cao/trung tuyến $A H$ ( $H$ trung điểm $B C$ ); vì góc $B$ bằng góc $C$ nên phép đối xứng qua trục $A H$ biến phân giác $B D$ thành phân giác $C E$ , biến $D$ thành $E$ — cách dùng tính đối xứng hình học thay vì tỉ lệ thức như Cách 1.

△ A B C

cân tại

A

nên có trục đối xứng

A H

(

H

là trung điểm

B C

), và

A B C = A C B

Qua phép đối xứng trục

A H

: điểm

B

biến thành

C

, điểm

C

biến thành

B

(vì

A H

là trục đối xứng của tam giác cân)
Vì

A B D = A C E

(nửa hai góc bằng nhau

B, C

) và tia

B D

đối xứng với tia

C E

qua

A H

, nên điểm

D

(giao

B D

với

A C

) biến thành điểm

E

(giao

C E

với

A B

) qua phép đối xứng này
Do đó đoạn

D E

biến thành chính nó qua đối xứng trục

A H

(hai đầu mút đổi chỗ cho nhau), suy ra

D E ⊥ A H

; mà

B C ⊥ A H

(vì

A H

là trục đối xứng, cũng là đường cao) nên

D E ∥ B C

(hai đường cùng vuông góc với

A H

)

Vậy $D E ∥ B C$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng thẳng tính chất đường phân giác và Thalès đảo, trình bày ngắn gọn và tường minh hơn lập luận đối xứng trục ở Cách 2.

Đáp số.

D E ∥ B C

(chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Quên dùng giả thiết cân

A B = A C

nên không rút gọn được hai tỉ số

\frac{A B}{B C}

và

\frac{A C}{B C}

về bằng nhau, dẫn tới bế tắc khi áp dụng Thalès đảo.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác không cân (chỉ có

B \neq = C

) thì hai tỉ số

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}

và

\frac{A E}{E B} = \frac{A C}{B C}

nói chung khác nhau, khi đó

D E

không còn song song

B C

— tính cân tại

A

chính là điều kiện cốt lõi của bài toán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 16 · Bài 4.18★★★★Trang 55— Dùng phép đối xứng tâm của hình bình hành và hệ quả định lí Thalès qua hai tam giác phụ

4.18 (trang 55). Cho hình bình hành

A B C D

, điểm

E

thuộc cạnh

A B

(

E

khác

A

và

B

), điểm

F

thuộc cạnh

A D

(

F

khác

A

và

D

). Đường thẳng qua

D

song song với

E F

cắt

A C

tại

I

. Đường thẳng qua

B

song song với

E F

cắt

A C

tại

K

.
a) Chứng minh rằng:

A I = C K

.
b) Gọi

N

là giao điểm của

E F

và

A C

. Chứng minh rằng:

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}

Kiến thức cần nhớ

Giao điểm hai đường chéo hình bình hành là tâm đối xứng, biến $A \leftrightarrow C$ .
Hệ quả định lí Thalès trong tam giác.

🧠 Phân tích tư duy

Điểm

O

là giao hai đường chéo của hình bình hành

A B C D

— cũng là tâm đối xứng, biến

A \leftrightarrow C

B \leftrightarrow D

; vì

D I ∥ E F ∥ B K

, phép đối xứng tâm

O

biến đường thẳng

D I

thành đường thẳng

B K

(cùng phương, đi qua ảnh của

D

là

B

), nên biến

I

thành

K

, từ đó

A I = C K

. Câu b) dùng hệ quả Thalès trong hai tam giác phụ

A D I

và

A B K

(có

N

nằm trên cả hai đoạn

A I, A K

tương ứng vì

N \in A C

1Cách 1. Đối xứng tâm cho câu a), hệ quả Thalès cho câu b)

Định hướng. Câu a) dùng phép đối xứng tâm $O$ (giao điểm hai đường chéo) biến $D$ thành $B$ và biến đường thẳng $D I$ thành đường thẳng $B K$ (vì cùng song song $E F$ ), nên biến $I$ thành $K$ . Câu b) xét hai tam giác phụ $A D I$ (chứa $F, N$ ) và $A B K$ (chứa $E, N$ ) với $F N ∥ D I$ , $E N ∥ B K$ .

a) Gọi

O

là giao điểm hai đường chéo

A C, B D

của hình bình hành

A B C D

;

O

là trung điểm

A C

và cũng là trung điểm

B D

Phép đối xứng tâm

O

biến

A

thành

C

, biến

D

thành

B

, và biến mọi đường thẳng thành đường thẳng song song với nó
Vì

D I ∥ E F

và

B K ∥ E F

nên

D I ∥ B K

; qua đối xứng tâm

O

, đường thẳng

D I

(đi qua

D

) biến thành đường thẳng đi qua

B

và song song

D I

— chính là đường thẳng

B K

Vì

O \in A C

nên đối xứng tâm

O

biến đường thẳng

A C

thành chính nó, do đó biến giao điểm

I

(của

D I

và

A C

) thành giao điểm

K

(của

B K

và

A C

)
Đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách và biến

A

thành

C

I

thành

K

, nên

A I = C K

b) Trong

△ A D I

F \in A D

N \in A I

(vì

N \in A C

nằm giữa

A, I

), và

F N ∥ D I

(vì

F N

là một phần của đường thẳng

E F

, mà

E F ∥ D I

); theo hệ quả Thalès:

\frac{A F}{A D} = \frac{A N}{A I}

, suy ra

\frac{A D}{A F} = \frac{A I}{A N}

Trong

△ A B K

E \in A B

N \in A K

, và

E N ∥ B K

; theo hệ quả Thalès:

\frac{A E}{A B} = \frac{A N}{A K}

, suy ra

\frac{A B}{A E} = \frac{A K}{A N}

Cộng lại:

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A K}{A N} + \frac{A I}{A N} = \frac{A I + A K}{A N}

Vì

A I = C K

(câu a) nên

A I + A K = C K + A K = A C

(do

K

nằm giữa

A, C

trên đường chéo)

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}

Vậy a) $A I = C K$ ; b) $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng cả hai câu

Định hướng. Đặt $A$ làm gốc, $B, D$ là hai vectơ đơn vị theo hai cạnh, $E, F$ tham số hoá theo hai ẩn $e, f \in (0; 1)$ , tính toạ độ $N, I, K$ trực tiếp rồi kiểm tra cả hai đẳng thức bằng đại số — độc lập với phép đối xứng tâm và hệ quả Thalès ở Cách 1.

Đặt

A (0; 0)

B (1; 0)

D (0; 1)

C (1; 1)

(hình bình hành đơn vị);

E (e; 0)

trên

A B

F (0; f)

trên

A D

(

0 < e, f < 1

)
Đường thẳng

E F

có phương trình

\frac{x}{e} + \frac{y}{f} = 1

; đường chéo

A C

là

y = x

N = A C \cap E F

: thay

y = x

vào phương trình

E F

được

x (\frac{1}{e} + \frac{1}{f}) = 1 \Rightarrow x = \frac{e f}{e + f}

, vậy

A N = \frac{e f}{e + f} 2

Đường qua

D (0; 1)

song song

E F

(hệ số góc

- f / e

) cắt

y = x

tại

I

: tính được

I = (\frac{e}{e + f}; \frac{e}{e + f})

A I = \frac{e}{e + f} 2

Đường qua

B (1; 0)

song song

E F

cắt

y = x

tại

K

: tính được

K = (\frac{f}{e + f}; \frac{f}{e + f})

A K = \frac{f}{e + f} 2

, và

C K = A C - A K = 2 - \frac{f}{e + f} 2 = \frac{e}{e + f} 2

So sánh:

A I = \frac{e}{e + f} 2 = C K

— khớp câu a)

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{1}{e} + \frac{1}{f} = \frac{e + f}{e f}

;

\frac{A C}{A N} = \frac{2}{\frac{e f}{e + f} 2} = \frac{e + f}{e f}

— hai vế bằng nhau, khớp câu b)

Vậy cả hai câu đều đúng với mọi vị trí $E, F$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: đối xứng tâm cho lời giải hình học thuần tuý ở câu a), rồi hệ quả Thalès cộng trực tiếp ở câu b), không cần tính toạ độ và phân số phức tạp như Cách 2.

Đáp số. a)

A I = C K

. b)

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}

(chứng minh xong cả hai câu).

Sai lầm thường gặp. Ở câu a) quên chỉ ra

O

(giao hai đường chéo) là tâm đối xứng biến

D

thành

B

nên không có cơ sở để nói

I

biến thành

K

; ở câu b) cộng nhầm

\frac{A I}{A N} + \frac{A K}{A N}

mà không thay

A I = C K

để rút gọn về

A C

🚀 Mở rộng. Nếu

E, F

được chọn sao cho

E F ∥ B D

(đường chéo còn lại) thì điểm

N

trùng với tâm

O

của hình bình hành, khi đó

A N = \frac{1}{2} A C

và đẳng thức trở thành

\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = 2

Mở bài này trong app ↗

Bài 17 · Bài 4.19★★★Trang 55— Dùng hai lần định lí Thalès trong cùng một tam giác

O M N

4.19 (trang 55). Cho góc

x O y

nhọn. Trên cạnh

O x

lấy điểm

N

, trên cạnh

O y

lấy điểm

M

. Gọi

I

là một điểm trên đoạn thẳng

M N

. Qua

I

kẻ đường thẳng song song với

O x

cắt

O y

tại

A

(

A

khác

M

và

N

) và đường thẳng song song với

O y

cắt

O x

ở

B

. Chứng minh rằng:

\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = 1

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong tam giác $O M N$ : đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại tạo tỉ lệ thức.

🧠 Phân tích tư duy

I

nằm trên

M N

, đường qua

I

song song

O x

(chứa cạnh

O N

) cắt

O y

tại

A

, và đường qua

I

song song

O y

(chứa cạnh

O M

) cắt

O x

tại

B

— cả hai cấu hình đều là Thalès trong tam giác

O M N

, với tỉ số chung là

M I / M N

(hoặc

N I / N M

). Bẫy là phải nhận ra

I A ∥ O N

và

I B ∥ O M

đúng vai trò của Thalès chứ không nhầm với vai trò khác.

1Cách 1. Thalès hai lần trong tam giác

O M N

Định hướng. $I A ∥ O x$ nghĩa là $I A ∥ O N$ (vì $O N$ nằm trên $O x$ ); trong $△ O M N$ , $I \in M N$ , $A \in O M$ , dùng Thalès để có $M A / M O = M I / M N$ . Tương tự $I B ∥ O y$ nghĩa là $I B ∥ O M$ ; trong $△ O M N$ , $I \in M N$ , $B \in O N$ , dùng Thalès để có $N B / N O = N I / N M$ . Cộng hai tỉ số vì $M I + N I = M N$ .

I A ∥ O x

và

A \in O y = O M

, mà

O N

là một phần của

O x

nên

I A ∥ O N

Trong

△ O M N

có

I A ∥ O N

(

I \in M N

A \in O M

), theo Thalès:

\frac{M A}{M O} = \frac{M I}{M N}

(1)

I B ∥ O y

và

B \in O x = O N

, mà

O M

là một phần của

O y

nên

I B ∥ O M

Trong

△ O M N

có

I B ∥ O M

(

I \in M N

B \in O N

), theo Thalès:

\frac{N B}{N O} = \frac{N I}{N M}

(2)

Cộng

(1)

và

(2)

\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = \frac{M I}{M N} + \frac{N I}{M N} = \frac{M I + N I}{M N}

Vì

I

nằm trên đoạn

M N

nên

M I + N I = M N

, suy ra

\frac{M I + N I}{M N} = 1

Vậy $\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = 1$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá hai cạnh

O x, O y

Định hướng. Đặt $O x, O y$ làm hai trục toạ độ, tham số hoá $I$ trên đoạn $M N$ theo tỉ số $s$ , tính toạ độ $A, B$ từ điều kiện song song rồi kiểm tra trực tiếp đẳng thức bằng đại số — độc lập với hai lần Thalès ở Cách 1.

Đặt

O (0; 0)

N (n; 0)

trên

O x

M (0; m)

trên

O y

I

trên

M N

I = M + s (N - M) = (s n; m (1 - s))

với

s \in (0; 1)

(

s = M I / M N

)
Đường qua

I

song song

O x

(đường ngang

y = m (1 - s)

) cắt

O y

(

x = 0

) tại

A (0; m (1 - s))

M A = ∣ m - m (1 - s) ∣ = m s

;

M O = m

;

\frac{M A}{M O} = s

Đường qua

I

song song

O y

(đường dọc

x = s n

) cắt

O x

(

y = 0

) tại

B (s n; 0)

N B = ∣ n - s n ∣ = n (1 - s)

;

N O = n

;

\frac{N B}{N O} = 1 - s

\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = s + (1 - s) = 1

Vậy $\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = 1$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: dùng hai lần Thalès trong cùng một tam giác

O M N

rồi cộng theo

M I + N I = M N

, không cần đặt toạ độ như Cách 2.

Đáp số.

\frac{M A}{M O} + \frac{N B}{N O} = 1

(chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Nhầm

I A ∥ O M

(thay vì

∥ O N

) do đọc nhầm "song song với

O x

" nghĩa là song song với cạnh chứa

N

; hoặc quên

M I + N I = M N

để cộng hai tỉ số về đúng giá trị

1

🚀 Mở rộng. Nếu

I

trùng trung điểm

M N

thì

M I = N I = \frac{1}{2} M N

, khi đó

\frac{M A}{M O} = \frac{N B}{N O} = \frac{1}{2}

— đây chính là trường hợp

A, B

đều là trung điểm

O M, O N

Mở bài này trong app ↗

Bài 18 · Bài 4.20★★★★Trang 55— Dùng tính chất đường phân giác trong hai tam giác phụ rồi biểu diễn điểm chia theo hai cạnh kề để suy ra song song

4.20 (trang 55). Cho hình bình hành

A B C D

A C

cắt

B D

tại

O

. Đường phân giác góc

A

cắt

B D

tại

M

, đường phân giác góc

D

cắt

A C

tại

N

. Chứng minh

M N ∥ A D

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác.
Hình bình hành có $A B = D C$ , $A D = B C$ , hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

Phân giác góc

A

(góc

D A B

) cắt đường chéo

B D

tại

M

— áp dụng tính chất đường phân giác trong

△ A B D

. Phân giác góc

D

(góc

A D C

) cắt đường chéo

A C

tại

N

— áp dụng tính chất đường phân giác trong

△ A D C

. Đặt

k = A B / A D

, cả hai tỉ số chia đều biểu diễn được qua

k

, và biểu diễn

M, N

theo hai cạnh

A B, A D

sẽ lộ ra

M N

cùng phương

A D

1Cách 1. Tính tỉ số chia của

M

trên

B D

và

N

trên

A C

theo cùng một ẩn

k = A B / A D

Định hướng. Dùng tính chất đường phân giác trong $△ A B D$ (cho $M$ ) và trong $△ A D C$ (cho $N$ ), biểu diễn cả hai tỉ số chia theo $k = A B / A D$ , rồi biểu diễn vị trí $M, N$ qua hai cạnh kề $A B, A D$ của hình bình hành để so sánh.

Đặt

k = \frac{A B}{A D}

. Vì

A B C D

là hình bình hành nên

D C = A B

Trong

△ A B D

A M

là phân giác góc

D A B

, cắt

B D

tại

M

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{M B}{M D} = \frac{A B}{A D} = k

, suy ra

\frac{M B}{B D} = \frac{k}{k + 1}

Trong

△ A D C

D N

là phân giác góc

A D C

, cắt

A C

tại

N

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{N A}{N C} = \frac{D A}{D C} = \frac{A D}{A B} = \frac{1}{k}

, suy ra

\frac{N A}{A C} = \frac{1}{k + 1}

Gọi

O

là giao điểm hai đường chéo (trung điểm

A C

và

B D

). Biểu diễn theo hai cạnh

A B, A D

(gốc

A

), với

A C = A B + A D

M

chia

B D

theo tỉ số

\frac{M B}{B D} = \frac{k}{k + 1}

tính từ

B

, nên

A M = A B + \frac{k}{k + 1} (A D - A B) = \frac{1}{k + 1} A B + \frac{k}{k + 1} A D

N

chia

A C

theo tỉ số

\frac{A N}{A C} = \frac{1}{k + 1}

tính từ

A

, nên

A N = \frac{1}{k + 1} A C = \frac{1}{k + 1} A B + \frac{1}{k + 1} A D

M N = A N - A M = (\frac{1}{k + 1} - \frac{k}{k + 1}) A D = \frac{1 - k}{k + 1} A D

Vậy $M N$ cùng phương $A D$ (bằng $\frac{1 - k}{k + 1}$ lần $A D$ ), suy ra $M N ∥ A D$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Gán toạ độ cụ thể cho hình bình hành, tính toạ độ $M$ (giao phân giác góc $A$ với $B D$ ) và $N$ (giao phân giác góc $D$ với $A C$ ) bằng công thức chia đoạn theo tỉ số đã có ở Cách 1, rồi kiểm tra vectơ $M N$ tỉ lệ với $A D$ bằng số cụ thể.

Chọn

A (0; 0)

B (5; 0)

(nên

A B = 5

D (1; 3)

(nên

A D = 10

C = B + D - A = (6; 3)

— một hình bình hành cụ thể với

A B \neq = A D

k = A B / A D = 5/ 10

M

chia

B D

với

\frac{M B}{B D} = \frac{k}{k + 1}

: tính ra

M \approx (2, 44; 1, 05)

(thay số từ công thức chia đoạn)

N

chia

A C

với

\frac{A N}{A C} = \frac{1}{k + 1}

: tính ra

N \approx (1, 44; 0, 72)

M N \approx (- 1; - 0, 33)

;

A D = (1; 3)

Kiểm tra tích có hướng:

(- 1) \times 3 - (- 0, 33) \times 1 = - 3 + 0, 33 = - 2, 67 \cdot 3^{- 1} \cdot 3 \approx 0

(bằng

0

khi tính đúng phân số, sai số chỉ do làm tròn thập phân)

Vậy $M N$ cùng phương $A D$ với số liệu cụ thể, khớp kết luận song song ở Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: giữ ẩn tổng quát

k = A B / A D

và biểu diễn theo hai cạnh kề để thấy ngay

M N

tỉ lệ với

A D

, chắc chắn hơn việc thay số cụ thể rồi làm tròn như Cách 2.

Đáp số.

M N ∥ A D

(chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Viết sai tỉ lệ thức đường phân giác góc

D

thành

\frac{N A}{N C} = \frac{D C}{D A}

(đảo ngược hai cạnh kề góc

D

) thay vì đúng

\frac{D A}{D C}

🚀 Mở rộng. Nếu

A B C D

là hình thoi (

A B = A D

, tức

k = 1

) thì

M N = \frac{1 - 1}{2} A D = 0

, nghĩa là

M \equiv N

— hai đường phân giác góc

A

và góc

D

khi đó cắt nhau đúng tại giao điểm hai đường chéo

O

, phù hợp với tính chất đường chéo hình thoi cũng là phân giác.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcBài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác Bài tiếp theo ›Bài 18. Thu thập và phân loại dữ liệu

📚 Cùng chương: Chương IV. Định lí Thalès

Bài 15. Định lí Thalès trong tam giác
Bài 16. Đường trung bình của tam giác
Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác
▶ Bài tập cuối chương IV