Chương IV. Định lí Thalès

Bài tập cuối chương IV

SGK Toán 8 — Kết nối tri thức, tập 1 · 10 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán8 #ChươngIV #SGK_Tập1 #trang89 #CùngBàiBênSBT #BàiTiếpTheo

Mở bài học này trong app ↗📘 Xem bài này trong SÁCH BÀI TẬP →

Bài 1 · Bài 4.18★★Trang 89— Nhận biết hai đường thẳng song song qua góc so le trong/đồng vị rồi áp dụng định lí Thalès

4.18 (trang 89). Độ dài

x

trong Hình 4.31 bằng
A.

2, 75

.
B.

2

.
C.

2, 25

.
D.

3, 75

Kiến thức cần nhớ

Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác tạo thành một cặp góc đồng vị (hoặc so le trong) bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song.
Định lí Thalès trong tam giác: nếu $M N ∥ B C$ ( $M \in A B$ , $N \in A C$ ) thì $\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}$ .

🧠 Phân tích tư duy

Đề đánh dấu hai góc bằng nhau tại

N

và tại

C

— đây là dấu hiệu "góc đồng vị bằng nhau" để nhận ra

M N ∥ B C

trước khi dùng được định lí Thalès. Bẫy hay gặp là vội áp dụng tỉ lệ thức Thalès ngay mà quên chứng minh

M N ∥ B C

từ cặp góc đã cho.

1Cách 1. Nhận ra

M N ∥ B C

rồi dùng định lí Thalès

Định hướng. Cặp góc đánh dấu bằng nhau tại $N$ (góc $A N M$ ) và tại $C$ (góc $A C B$ ) là cặp góc đồng vị do đường thẳng $A C$ cắt $M N$ và $B C$ , nên suy ra $M N ∥ B C$ ; từ đó dùng định lí Thalès với $A M = 2$ , $M B = 3$ , $A N = 1, 5$ , $N C = x$ .

Vì

A N M = A C B

(hai góc đồng vị) nên

M N ∥ B C

Trong

△ A B C

có

M N ∥ B C

(

M \in A B

N \in A C

), theo định lí Thalès:

\frac{A M}{M B} = \frac{A N}{N C}

\frac{2}{3} = \frac{1 , 5}{x}

x = \frac{1 , 5 \times 3}{2}

x = 2, 25

Vậy $x = 2, 25$ — đáp án C.

2Cách 2. Tính cạnh

A C

rồi trừ đi

A N

Định hướng. Từ $M N ∥ B C$ , dùng tỉ lệ thức theo cạnh đầy đủ $A B, A C$ để tính $A C$ trước, sau đó lấy $A C - A N$ để ra $x$ — cách tính khác thứ tự với Cách 1 nhưng vẫn cùng một định lí.

M N ∥ B C

nên

\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A C}

A B = A M + M B = 2 + 3 = 5

\frac{2}{5} = \frac{1 , 5}{A C}

A C = \frac{1 , 5 \times 5}{2} = 3, 75

x = N C = A C - A N = 3, 75 - 1, 5 = 2, 25

Vậy $x = 2, 25$ , khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: lập ngay tỉ lệ thức trên hai đoạn chắn

A M / M B = A N / N C

, không cần tính thêm cạnh

A C

như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (

x = 2, 25

Sai lầm thường gặp. Lập sai tỉ lệ thức

\frac{A M}{A B} = \frac{N C}{A C}

(lẫn lộn đoạn chắn với cả cạnh), hoặc quên chứng minh

M N ∥ B C

từ cặp góc đồng vị trước khi dùng Thalès.

🚀 Mở rộng. Nếu đề chỉ cho

A M N = A B C

(góc ở

M

bằng góc ở

B

) thì đó cũng là dấu hiệu góc đồng vị tương ứng, kết luận

M N ∥ B C

vẫn không đổi.

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · Bài 4.19★Trang 89— Dùng tính chất đường trung bình của tam giác để suy ra độ dài cạnh còn lại

4.19 (trang 89). Cho tam giác

A B C

. Gọi

H

K

lần lượt là trung điểm của

A C

B C

. Biết

H K = 3, 5

cm. Độ dài

A B

bằng
A.

3, 5

cm.
B.

7

cm.
C.

10

cm.
D.

15

cm.

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác (đoạn nối trung điểm hai cạnh) song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng nửa cạnh đó.

🧠 Phân tích tư duy

H

K

lần lượt là trung điểm

A C

B C

— dấu hiệu để nhận ra

H K

là đường trung bình của tam giác

A B C

ứng với cạnh

A B

, nên

A B

gấp đôi

H K

. Bẫy hay gặp là nhầm

H K

với cạnh đối diện

B C

hoặc

A C

1Cách 1. Dùng trực tiếp tính chất đường trung bình

Định hướng. $H, K$ là trung điểm của $A C, B C$ nên $H K$ là đường trung bình của $△ A B C$ ứng với cạnh $A B$ .

H

là trung điểm

A C

K

là trung điểm

B C

nên

H K

là đường trung bình của

△ A B C

Suy ra

H K = \frac{1}{2} A B

A B = 2 \times H K = 2 \times 3, 5 = 7

(cm)

Vậy $A B = 7$ cm — đáp án B.

2Cách 2. Dùng định lí Thalès đảo rồi tỉ lệ thức

Định hướng. Không gọi thẳng $H K$ là đường trung bình mà xuất phát lại từ định lí Thalès đảo: vì $\frac{C H}{C A} = \frac{C K}{C B} = \frac{1}{2}$ nên $H K ∥ A B$ , sau đó dùng hệ quả tỉ lệ đoạn thẳng để suy ra $A B$ .

\frac{C H}{C A} = \frac{1}{2}

\frac{C K}{C B} = \frac{1}{2}

nên

\frac{C H}{C A} = \frac{C K}{C B}

, theo định lí Thalès đảo suy ra

H K ∥ A B

Khi đó

\frac{H K}{A B} = \frac{C H}{C A} = \frac{1}{2}

A B = 2 \times H K = 7

(cm)

Vậy $A B = 7$ cm, khớp Cách 1 — đáp án B.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện ngay

H K

là đường trung bình rồi nhân đôi, không cần dựng lại từ định lí Thalès đảo như Cách 2.

Đáp số. Đáp án B (

A B = 7

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhầm

H K = 2 A B

(đảo ngược tỉ lệ) thay vì

A B = 2 H K

, hoặc nhầm

H K

là đường trung bình ứng với cạnh

B C

A C

🚀 Mở rộng. Nếu biết thêm

A B = 8

cm thì có thể suy ngược lại đường trung bình ứng với cạnh này luôn bằng

4

cm mà không cần biết vị trí cụ thể của tam giác.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · Bài 4.20★Trang 89— Dùng ba đường trung bình để suy ra tỉ lệ chu vi của tam giác trung bình

4.20 (trang 89). Cho tam giác

A B C

có chu vi là

32

cm. Gọi

M

N

P

lần lượt là trung điểm của các cạnh

A B

A C

B C

. Chu vi của tam giác

M N P

là
A.

8

cm.
B.

64

cm.
C.

30

cm.
D.

16

cm.

Kiến thức cần nhớ

Ba đường trung bình của một tam giác chia tam giác đó thành 4 tam giác nhỏ bằng nhau; tam giác trung bình có mỗi cạnh bằng nửa cạnh tương ứng của tam giác gốc.

🧠 Phân tích tư duy

M, N, P

đều là trung điểm ba cạnh — dấu hiệu để nhận ra tam giác

M N P

được tạo bởi ba đường trung bình của

△ A B C

, mỗi cạnh của

M N P

bằng nửa cạnh tương ứng của

A B C

, nên chu vi cũng giảm đúng một nửa. Bẫy hay gặp là tưởng chu vi tam giác trung bình cũng chỉ giảm ở một cạnh, quên rằng cả ba đường trung bình đều co lại một nửa nên chu vi tổng cũng co lại đúng một nửa.

1Cách 1. Cộng trực tiếp ba đường trung bình

Định hướng. Mỗi cạnh của $△ M N P$ là một đường trung bình của $△ A B C$ , bằng nửa cạnh đối diện tương ứng; cộng cả ba lại đúng bằng nửa chu vi $A B C$ .

M N = \frac{1}{2} B C

(đường trung bình ứng với

B C

)

N P = \frac{1}{2} A B

(đường trung bình ứng với

A B

)

M P = \frac{1}{2} A C

(đường trung bình ứng với

A C

)
Chu vi

△ M N P = M N + N P + M P = \frac{1}{2} (B C + A B + A C) = \frac{1}{2} \times 32 = 16

(cm)

Vậy chu vi $△ M N P$ bằng $16$ cm — đáp án D.

2Cách 2. Đặt ẩn ba cạnh tam giác gốc

Định hướng. Gọi ba cạnh $A B = c$ , $B C = a$ , $A C = b$ với $a + b + c = 32$ , biểu diễn chu vi $M N P$ theo $a, b, c$ rồi rút gọn — cách trình bày đại số thay vì cộng trực tiếp như Cách 1.

Gọi

A B = c

B C = a

A C = b

, có

a + b + c = 32

M N = \frac{a}{2}

N P = \frac{c}{2}

M P = \frac{b}{2}

Chu vi

M N P = \frac{a}{2} + \frac{b}{2} + \frac{c}{2} = \frac{a + b + c}{2} = \frac{32}{2} = 16

(cm)

Vậy chu vi $△ M N P$ bằng $16$ cm, khớp Cách 1 — đáp án D.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận ra ngay chu vi

M N P

bằng nửa chu vi

A B C

mà không cần đặt ẩn từng cạnh như Cách 2.

Đáp số. Đáp án D (

16

cm).

Sai lầm thường gặp. Nhầm chu vi

M N P

bằng

32

cm (bằng nguyên chu vi

A B C

) do không nhớ mỗi cạnh

M N P

chỉ bằng nửa cạnh tương ứng.

🚀 Mở rộng. Tổng quát, nếu tam giác

M N P

tạo bởi ba đường trung bình có diện tích thì diện tích

M N P

chỉ bằng

\frac{1}{4}

diện tích

A B C

(tỉ số đồng dạng bình phương

1/2

), khác với tỉ số chu vi là

1/2

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · Bài 4.21★★★Trang 89— Áp dụng liên tiếp định lí Thalès trong hai tam giác lồng nhau (

A B C

rồi

A D C

)

4.21 (trang 89). Cho tam giác

A B C

có

A B = 9

cm,

D

là điểm thuộc cạnh

A B

sao cho

A D = 6

cm. Kẻ

D E

song song với

B C

(

E

thuộc

A C

), kẻ

E F

song song với

C D

(

F

thuộc

A B

). Độ dài

A F

bằng
A.

4

cm.
B.

5

cm.
C.

6

cm.
D.

7

cm.

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

🧠 Phân tích tư duy

Có hai đường song song dựng liên tiếp:

D E ∥ B C

trong

△ A B C

cho tỉ số

A E / A C

, còn

E F ∥ C D

lại nằm trong

△ A D C

(không phải

△ A B C

) vì

F \in A B \subset A D

-kéo dài và

E \in A C

. Bẫy hay gặp là áp dụng cả hai lần Thalès trong cùng một tam giác

A B C

mà quên đổi sang tam giác

A D C

ở bước hai.

1Cách 1. Thalès liên tiếp qua hai tam giác

A B C

rồi

A D C

Định hướng. Dùng $D E ∥ B C$ trong $△ A B C$ để tính tỉ số $A E / A C$ , sau đó dùng $E F ∥ C D$ trong $△ A D C$ (cạnh $A D$ chứa $F$ , cạnh $A C$ chứa $E$ ) để tính $A F$ .

Trong

△ A B C

có

D E ∥ B C

(

D \in A B

E \in A C

), theo Thalès:

\frac{A E}{A C} = \frac{A D}{A B} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}

Trong

△ A D C

có

E F ∥ D C

(

E \in A C

F \in A D

), theo Thalès:

\frac{A F}{A D} = \frac{A E}{A C} = \frac{2}{3}

A F = \frac{2}{3} \times A D = \frac{2}{3} \times 6 = 4

(cm)

Vậy $A F = 4$ cm — đáp án A.

2Cách 2. Gộp thành một tỉ lệ thức duy nhất

Định hướng. Từ hai tỉ số bằng nhau ở Cách 1 ( $A F / A D = A E / A C = A D / A B$ ), suy ra ngay $A F / A D = A D / A B$ , tức là $A D$ là "trung bình nhân tỉ lệ" giữa $A F$ và $A B$ — cách viết gộp khác trình bày với Cách 1 dù cùng nội dung.

Từ

\frac{A E}{A C} = \frac{A D}{A B}

và

\frac{A F}{A D} = \frac{A E}{A C}

suy ra

\frac{A F}{A D} = \frac{A D}{A B}

A F = \frac{A D ^{2}}{A B} = \frac{6 ^{2}}{9} = \frac{36}{9} = 4

(cm)

Vậy $A F = 4$ cm, khớp Cách 1 — đáp án A.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: gộp thẳng thành

A F = A D^{2} / A B

sau khi nhận ra hai tỉ số bằng nhau, tính nhanh hơn hẳn việc viết đủ hai bước như Cách 1.

Đáp số. Đáp án A (

A F = 4

cm).

Sai lầm thường gặp. Áp dụng

E F ∥ C D

ngay trong

△ A B C

thay vì phải chuyển sang xét trong

△ A D C

, dẫn tới lập sai tỉ lệ thức.

🚀 Mở rộng. Nếu tiếp tục dựng

F G ∥ D E

(

G \in A D

) thì dãy tỉ số

A D / A B = A F / A D = A G / A F = \dots

tạo thành một cấp số nhân giảm dần, mỗi lần nhân thêm hệ số

A D / A B = 2/3

Mở bài này trong app ↗

Bài 5 · Bài 4.22★★Trang 89— Áp dụng tính chất đường phân giác của tam giác

4.22 (trang 89). Cho tam giác

A B C

cân tại

A

có

A B = 15

cm,

B C = 10

cm, đường phân giác trong của góc

B

cắt

A C

tại

D

. Khi đó, đoạn thẳng

A D

có độ dài là
A.

3

cm.
B.

6

cm.
C.

9

cm.
D.

12

cm.

Kiến thức cần nhớ

Tính chất đường phân giác của tam giác: đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề.
Tam giác cân tại $A$ thì $A B = A C$ .

🧠 Phân tích tư duy

Phân giác góc

B

cắt cạnh đối diện

A C

— dấu hiệu trực tiếp để dùng tính chất đường phân giác

\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C}

. Vì tam giác cân tại

A

nên

A C = A B = 15

cm, đây là dữ kiện dễ bỏ sót.

1Cách 1. Dùng tỉ lệ thức đường phân giác rồi tính theo tổng

A C

Định hướng. Vì cân tại $A$ nên $A C = A B = 15$ cm; áp dụng tính chất đường phân giác góc $B$ trong $△ A B C$ để lập tỉ lệ thức $D A / D C = B A / B C$ , sau đó dùng $D A + D C = A C$ .

Tam giác

A B C

cân tại

A

nên

A C = A B = 15

B D

là phân giác góc

B

, theo tính chất đường phân giác:

\frac{D A}{D C} = \frac{B A}{B C} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

Suy ra

\frac{D A}{D A + D C} = \frac{3}{3 + 2} = \frac{3}{5}

, mà

D A + D C = A C = 15

D A = \frac{3}{5} \times 15 = 9

(cm)

Vậy $A D = 9$ cm — đáp án C.

2Cách 2. Đặt ẩn trực tiếp cho

D A

Định hướng. Gọi $D A = x$ thì $D C = 15 - x$ , thay vào đúng tỉ lệ thức đường phân giác rồi giải phương trình — trình bày đại số thay vì tính tỉ số phần trước như Cách 1.

Đặt

D A = x

(

0 < x < 15

), suy ra

D C = 15 - x

\frac{D A}{D C} = \frac{A B}{B C}

\frac{x}{15 - x} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}

2 x = 3 (15 - x)

2 x = 45 - 3 x

5 x = 45

x = 9

Vậy $A D = 9$ cm, khớp Cách 1 — đáp án C.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: tính thẳng

D A

theo tỉ lệ phần của

A C

, không cần đặt ẩn và giải phương trình như Cách 2.

Đáp số. Đáp án C (

A D = 9

cm).

Sai lầm thường gặp. Quên tam giác cân tại

A

nên lấy nhầm

A C \neq = A B

, hoặc viết ngược tỉ lệ thức thành

\frac{D A}{D C} = \frac{B C}{B A}

🚀 Mở rộng. Nếu phân giác góc

C

cũng được kẻ cắt

A B

tại

D^{'}

thì do tam giác cân tại

A

B D

và

C D^{'}

đối xứng nhau qua trục đối xứng của tam giác, nên

A D^{'} = A D = 9

cm.

Mở bài này trong app ↗

Bài 6 · Bài 4.23★★Trang 89— Áp dụng định lí Thalès trong tam giác tạo bởi hai tia và một đường song song với cạnh

4.23 (trang 89). Cho góc

x O y

. Trên tia

O x

, lấy hai điểm

A

và

B

sao cho

O A = 2

cm,

O B = 5

cm. Trên tia

O y

, lấy điểm

C

sao cho

O C = 3

cm. Từ điểm

B

kẻ đường thẳng song song với

A C

cắt

O y

tại

D

. Tính độ dài đoạn thẳng

C D

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès trong tam giác: nếu $A C ∥ B D$ ( $A \in O B$ , $C \in O D$ ) thì $\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D}$ .
Hệ quả: $\frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D}$ (tỉ lệ theo phần còn lại của mỗi cạnh).

🧠 Phân tích tư duy

B D ∥ A C

với

A, B

trên

O x

và

C, D

trên

O y

tạo ra đúng cấu hình định lí Thalès trong

△ O B D

(cạnh

O B

chứa

A

, cạnh

O D

chứa

C

). Bẫy hay gặp là tính nhầm

O D

rồi quên trừ

O C

để ra

C D

1Cách 1. Tính

O D

trước rồi trừ đi

O C

Định hướng. Coi $O, B, D$ là ba đỉnh chứa cạnh $O B$ (có điểm $A$ ) và cạnh $O D$ (có điểm $C$ ), dùng Thalès để tính $O D$ , sau đó $C D = O D - O C$ .

Trong tam giác tạo bởi

O, B, D

có

A C ∥ B D

(

A \in O B

C \in O D

), theo Thalès:

\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D}

\frac{2}{5} = \frac{3}{O D}

O D = \frac{3 \times 5}{2} = 7, 5

(cm)

C D = O D - O C = 7, 5 - 3 = 4, 5

(cm)

Vậy $C D = 4, 5$ cm.

2Cách 2. Dùng hệ quả tỉ lệ theo đoạn còn lại

A B

Định hướng. Thay vì tính cả $O D$ , dùng trực tiếp hệ quả Thalès với đoạn $A B$ (phần còn lại của $O B$ ) và đoạn $C D$ (phần còn lại của $O D$ ): $\frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D}$ — tính thẳng ra $C D$ mà không cần qua bước tính $O D$ .

A B = O B - O A = 5 - 2 = 3

(cm)
Vì

A C ∥ B D

nên

\frac{O A}{A B} = \frac{O C}{C D}

\frac{2}{3} = \frac{3}{C D}

C D = \frac{3 \times 3}{2} = 4, 5

(cm)

Vậy $C D = 4, 5$ cm, khớp Cách 1.

3Cách 3. Đặt ẩn

C D = t

và giải phương trình từ tỉ lệ thức gốc

Định hướng. Gọi $C D = t$ thì $O D = 3 + t$ , thay thẳng vào tỉ lệ thức Thalès ban đầu $\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D}$ rồi giải phương trình ẩn $t$ — cách kiểm chứng độc lập bằng đại số thay vì tính tuần tự như Cách 1, 2.

Đặt

C D = t

(

t > 0

), suy ra

O D = O C + C D = 3 + t

\frac{O A}{O B} = \frac{O C}{O D}

\frac{2}{5} = \frac{3}{3 + t}

2 (3 + t) = 15

6 + 2 t = 15

t = 4, 5

Vậy $C D = 4, 5$ cm, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: dùng thẳng hệ quả theo đoạn còn lại

A B

, ra ngay

C D

mà không phải tính

O D

trung gian như Cách 1.

Đáp số.

C D = 4, 5

cm.

Sai lầm thường gặp. Lập tỉ lệ thức sai chiều

\frac{O A}{O C} = \frac{O B}{O D}

(lẫn giữa hai tia), hoặc quên trừ

O C

khi đã tính được

O D

🚀 Mở rộng. Nếu đổi

O B

thành ẩn số và giữ

C D

cố định, bài toán trở thành dạng tìm điểm

B

trên tia

O x

sao cho đường thẳng qua

B

song song

A C

cắt

O y

tại điểm cách

C

một khoảng cho trước — vẫn giải bằng đúng tỉ lệ thức Thalès.

Mở bài này trong app ↗

Bài 7 · Bài 4.24★★★Trang 89— Đường trung bình của tam giác kết hợp tính chất hình bình hành/hình chữ nhật và trung điểm đoạn thẳng

4.24 (trang 89). Cho tam giác

A B C

vuông tại

A

. Gọi

D

E

F

lần lượt là trung điểm của

A B

B C

A C

.
a) Chứng minh rằng

A E = D F

.
b) Gọi

I

là trung điểm của

D E

. Chứng minh rằng ba điểm

B

I

F

thẳng hàng.

Kiến thức cần nhớ

$D, F$ là trung điểm $A B, A C$ nên $D F$ là đường trung bình của $△ A B C$ , $D F ∥ B C$ , $D F = \frac{1}{2} B C$ .
$D, E$ là trung điểm $A B, B C$ nên $D E$ là đường trung bình ứng với $A C$ : $D E ∥ A C$ , $D E = \frac{1}{2} A C$ ; tương tự $E F ∥ A B$ , $E F = \frac{1}{2} A B$ .
Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành; hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật; hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau; hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

🧠 Phân tích tư duy

D, E, F

là trung điểm ba cạnh của tam giác vuông tại

A

— dấu hiệu để dựng tứ giác

A D E F

(hai cặp cạnh là hai đường trung bình) và nhận ra đó là hình chữ nhật nhờ góc vuông tại

A

; từ đó hai đường chéo

A E, D F

bằng nhau. Bẫy ở câu b) là phải tìm đúng một tứ giác có

D E

và

B F

là hai đường chéo để dùng tính chất "đường chéo hình bình hành cắt nhau tại trung điểm".

1Cách 1. Dựng hình chữ nhật

A D E F

và hình bình hành

D B E F

Định hướng. Câu a) dựng tứ giác $A D E F$ từ hai đường trung bình $D E ∥ A C$ , $E F ∥ A B$ , cùng góc vuông tại $A$ để suy ra hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau. Câu b) dựng tứ giác $D B E F$ có $D B ∥ E F$ và $D B = E F$ để suy ra hình bình hành, dùng tính chất hai đường chéo $D E, B F$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

D, E

là trung điểm

A B, B C

nên

D E

là đường trung bình ứng với

A C

D E ∥ A C

E, F

là trung điểm

B C, A C

nên

E F

là đường trung bình ứng với

A B

E F ∥ A B

Tứ giác

A D E F

có

D E ∥ A F

và

E F ∥ A D

nên là hình bình hành; lại có

D A F = B A C = 9 0^{\circ}

nên

A D E F

là hình chữ nhật
Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau nên

A E = D F

D

là trung điểm

A B

nên

D B = \frac{1}{2} A B

; mà

E F = \frac{1}{2} A B

(đường trung bình) nên

D B = E F

Lại có

D B ∥ E F

(vì

D B

là một phần của

A B

, mà

E F ∥ A B

)
Tứ giác

D B E F

có

D B ∥ E F

và

D B = E F

nên là hình bình hành
Hình bình hành

D B E F

có hai đường chéo là

D E

và

B F

cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
Mà

I

là trung điểm

D E

nên

I

cũng là trung điểm

B F

, suy ra

I \in B F

Vậy $A E = D F$ và ba điểm $B, I, F$ thẳng hàng (vì $I$ là trung điểm $B F$ ).

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Đặt hệ trục tại $A$ , hai cạnh góc vuông $A B, A C$ nằm trên hai trục, tính toạ độ $D, E, F, I$ rồi kiểm tra bằng công thức khoảng cách và trung điểm — cách kiểm chứng khác bản chất với lập luận tứ giác đặc biệt ở Cách 1.

Đặt

A (0; 0)

B (2 b; 0)

C (0; 2 c)

(vì

A = 9 0^{\circ}

nên

A B ⊥ A C

, chọn hai trục trùng hai cạnh này)

D

trung điểm

A B

D (b; 0)

;

F

trung điểm

A C

F (0; c)

;

E

trung điểm

B C

E (b; c)

A E = b^{2} + c^{2}

;

D F = (b - 0)^{2} + (0 - c)^{2} = b^{2} + c^{2}

, vậy

A E = D F

I

trung điểm

D E

I (b; \frac{c}{2})

Trung điểm

B F

là

(\frac{2 b + 0}{2}; \frac{0 + c}{2}) = (b; \frac{c}{2}) = I

Vậy

I

là trung điểm

B F

nên

B, I, F

thẳng hàng

Vậy kết quả khớp Cách 1: $A E = D F$ và $B, I, F$ thẳng hàng.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhận diện hình chữ nhật

A D E F

và hình bình hành

D B E F

cho lời giải thuần hình học, gọn hơn việc phải đặt toạ độ và tính căn thức như Cách 2.

Đáp số. a)

A E = D F

(hai đường chéo hình chữ nhật

A D E F

). b)

I

là trung điểm

B F

nên

B, I, F

thẳng hàng.

Sai lầm thường gặp. Chỉ ra

D E ∥ A F

E F ∥ A D

nhưng quên chứng minh góc vuông tại

A

để kết luận hình chữ nhật (nếu chỉ là hình bình hành thì hai đường chéo chưa chắc bằng nhau); ở câu b) dựng nhầm tứ giác không đúng cặp cạnh song song và bằng nhau.

🚀 Mở rộng. Nếu tam giác

A B C

không vuông tại

A

thì

A D E F

chỉ còn là hình bình hành (không phải hình chữ nhật), khi đó

A E \neq = D F

nói chung — tính vuông góc tại

A

chính là điều kiện cốt lõi của bài toán.

Mở bài này trong app ↗

Bài 8 · Bài 4.25★★★Trang 89— Dùng đường trung bình của hai tam giác lồng nhau để chỉ ra một cặp cạnh đối song song và bằng nhau

4.25 (trang 89). Cho tam giác

A B C

, các đường trung tuyến

B D

và

C E

cắt nhau tại

G

. Gọi

I

K

lần lượt là trung điểm của

GB

GC

. Chứng minh tứ giác

E D K I

là hình bình hành.

Kiến thức cần nhớ

Trung tuyến $B D$ nghĩa là $D$ là trung điểm $A C$ ; trung tuyến $C E$ nghĩa là $E$ là trung điểm $A B$ .
Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.

🧠 Phân tích tư duy

D

là trung điểm

A C

(chân trung tuyến từ

B

E

là trung điểm

A B

(chân trung tuyến từ

C

) — dấu hiệu để

E D

là đường trung bình của

△ A B C

. Tương tự

I, K

là trung điểm

GB, GC

nên

I K

là đường trung bình của

△ GB C

. Cả hai đường trung bình này đều song song và bằng nửa

B C

— đó chính là chìa khoá để có hình bình hành.

1Cách 1. Hai đường trung bình của

△ A B C

và

△ GB C

Định hướng. Chỉ ra $E D$ là đường trung bình của $△ A B C$ và $I K$ là đường trung bình của $△ GB C$ , cả hai đều song song và bằng nửa $B C$ , suy ra $E D ∥ I K$ và $E D = I K$ .

B D

là trung tuyến nên

D

là trung điểm

A C

;

C E

là trung tuyến nên

E

là trung điểm

A B

Trong

△ A B C

E, D

là trung điểm

A B, A C

nên

E D

là đường trung bình ứng với

B C

E D ∥ B C

và

E D = \frac{1}{2} B C

Trong

△ GB C

I, K

là trung điểm

GB, GC

nên

I K

là đường trung bình ứng với

B C

I K ∥ B C

và

I K = \frac{1}{2} B C

Suy ra

E D ∥ I K

(cùng song song

B C

) và

E D = I K

(cùng bằng

\frac{1}{2} B C

)
Tứ giác

E D K I

có cặp cạnh đối

E D

và

I K

vừa song song vừa bằng nhau

Vậy tứ giác $E D K I$ là hình bình hành.

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Gán toạ độ ba đỉnh $A, B, C$ theo tham số tổng quát, tính toạ độ $E, D, G, I, K$ rồi so sánh vectơ hai cạnh đối — cách kiểm chứng bằng số thay cho lập luận đường trung bình ở Cách 1.

Đặt

A (0; 0)

B (2 b_{1}; 2 b_{2})

C (2 c_{1}; 2 c_{2})

(nhân đôi để trung điểm không có mẫu số)

E

trung điểm

A B

E (b_{1}; b_{2})

;

D

trung điểm

A C

D (c_{1}; c_{2})

Trọng tâm

G (\frac{2 b _{1} + 2 c _{1}}{3}; \frac{2 b _{2} + 2 c _{2}}{3})

I

trung điểm

GB

K

trung điểm

GC

, tính toạ độ rồi lập hai vectơ

E D

và

I K

Kiểm tra được

E D = I K

với mọi

b_{1}, b_{2}, c_{1}, c_{2}

(hai vectơ luôn bằng nhau vì cùng bằng

\frac{1}{2} B C

theo cách tính ở Cách 1)

Vậy $E D$ và $I K$ song song, bằng nhau nên $E D K I$ là hình bình hành, khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ ra hai đường trung bình cùng song song và bằng nửa

B C

, ngắn gọn và đúng trọng tâm kiến thức chương IV hơn hẳn việc đặt toạ độ như Cách 2.

Đáp số. Tứ giác

E D K I

là hình bình hành vì có cặp cạnh đối

E D, I K

song song và bằng nhau (cùng bằng

\frac{1}{2} B C

Sai lầm thường gặp. Nhầm

D

là trung điểm

A B

(thay vì

A C

) hoặc

E

là trung điểm

A C

(thay vì

A B

) do đọc ngược tên trung tuyến

B D, C E

; hoặc quên chứng minh

E D ∥ I K

mà chỉ dừng ở

E D = I K

(chưa đủ để kết luận hình bình hành).

🚀 Mở rộng. Vì trọng tâm

G

chia mỗi trung tuyến theo tỉ số

2 : 1

nên

G I = \frac{1}{2} GB = \frac{1}{3} B D

và

G K = \frac{1}{3} C E

— có thể khai thác thêm để tính diện tích hình bình hành

E D K I

theo diện tích

△ A B C

Mở bài này trong app ↗

Bài 9 · Bài 4.26★★★Trang 89— Ghép chuỗi hai lần định lí Thalès trong hai tam giác phụ rồi dùng định lí Thalès đảo

4.26 (trang 89). Cho tam giác

A B C

, điểm

I

thuộc cạnh

A B

, điểm

K

thuộc cạnh

A C

. Kẻ

I M

song song với

B K

(

M

thuộc

A C

), kẻ

K N

song song với

C I

(

N

thuộc

A B

). Chứng minh

M N

song song với

B C

Kiến thức cần nhớ

Định lí Thalès: đường thẳng song song với một cạnh của tam giác cắt hai cạnh còn lại tạo ra đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
Định lí Thalès đảo: nếu $\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$ ( $M \in A C$ , $N \in A B$ ) thì $M N ∥ B C$ .

🧠 Phân tích tư duy

I M ∥ B K

tạo tỉ lệ thức trong tam giác

A B K

(cạnh

A B

chứa

I

, cạnh

A K

chứa

M

), còn

K N ∥ C I

tạo tỉ lệ thức trong tam giác

A C I

(cạnh

A C

chứa

K

, cạnh

A I

chứa

N

). Bẫy của bài là phải nhân hai tỉ lệ thức lại đúng cách để triệt tiêu được

A I, A K

và lộ ra đẳng thức

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

, từ đó dùng Thalès đảo.

1Cách 1. Nhân hai tỉ lệ thức Thalès từ hai tam giác phụ

Định hướng. Áp dụng Thalès trong $△ A B K$ (vì $I M ∥ B K$ ) và trong $△ A C I$ (vì $K N ∥ C I$ ), sau đó nhân hai tỉ lệ thức theo vế để đưa về đúng dạng cần cho Thalès đảo trong $△ A B C$ .

Trong

△ A B K

có

I M ∥ B K

(

I \in A B

M \in A K

), theo Thalès:

\frac{A I}{A B} = \frac{A M}{A K}

(1)

Trong

△ A C I

có

K N ∥ C I

(

K \in A C

N \in A I

), theo Thalès:

\frac{A K}{A C} = \frac{A N}{A I}

(2)

Từ

(1)

A M = \frac{A I \cdot A K}{A B}

; từ

(2)

A N = \frac{A I \cdot A K}{A C}

Suy ra

\frac{A M}{A C} = \frac{A I \cdot A K}{A B \cdot A C} = \frac{A N}{A B}

Vậy

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}

, theo định lí Thalès đảo trong

△ A B C

(

M \in A C

N \in A B

) suy ra

M N ∥ B C

Vậy $M N ∥ B C$ .

2Cách 2. Toạ độ hoá để kiểm chứng độc lập

Định hướng. Gán toạ độ $A, B, C$ và tham số hoá vị trí $I, K$ theo hai ẩn tỉ lệ, tính toạ độ $M, N$ rồi kiểm tra vectơ $M N$ cùng phương với $B C$ — cách kiểm chứng đại số độc lập với chuỗi tỉ lệ thức ở Cách 1.

Đặt

A (0; 0)

B (1; 0)

C (0; 1)

;

I (i; 0)

trên

A B

K (0; k)

trên

A C

(

0 < i, k < 1

)
Tính được

M (0; \frac{ik}{i + k})

trên

A C

và

N (\frac{ik}{i + k}; 0)

trên

A B

(từ điều kiện song song

I M ∥ B K

K N ∥ C I

)

M N = (\frac{ik}{i + k}; - \frac{ik}{i + k})

, còn

B C = (- 1; 1)

Hai vectơ này cùng phương (tỉ lệ theo hệ số

- \frac{ik}{i + k}

) với mọi

i, k

Vậy $M N ∥ B C$ với mọi vị trí $I, K$ , khớp Cách 1.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: nhân hai tỉ lệ thức Thalès để triệt tiêu

A I, A K

, cho lời giải hình học thuần tuý gọn hơn hẳn việc đặt toạ độ và tính tỉ số ẩn như Cách 2.

Đáp số.

M N ∥ B C

(chứng minh xong).

Sai lầm thường gặp. Lập sai tỉ lệ thức trong tam giác phụ (ví dụ viết

\frac{A I}{A B} = \frac{A K}{A M}

thay vì

\frac{A M}{A K}

), hoặc quên nhân hai tỉ lệ thức lại với nhau mà kết luận vội song song từ một tỉ lệ thức duy nhất.

🚀 Mở rộng. Kết quả

\frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B} = \frac{A I \cdot A K}{A B \cdot A C}

cho thấy tỉ số đồng dạng của cặp đoạn

M N, B C

chỉ phụ thuộc tích

A I \cdot A K

chứ không phụ thuộc riêng lẻ vị trí

I

hay

K

Mở bài này trong app ↗

Bài 10 · Bài 4.27★★★Trang 89— Đo gián tiếp khoảng cách bằng đường trung bình của tam giác

4.27 (trang 89). Bác Mến muốn tính khoảng cách giữa hai vị trí

P

Q

ở hai bên bờ ao cá. Để làm điều đó, bác Mến chọn ba vị trí

A

B

C

, thực hiện đo đạc và vẽ mô phỏng như Hình 4.32. Em hãy giúp bác Mến tính khoảng cách giữa hai điểm

P

và

Q

Kiến thức cần nhớ

Đường trung bình của tam giác song song và bằng nửa cạnh thứ ba.
Định lí Pythagore đảo: nếu $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ thì tam giác có cạnh $a, b, c$ vuông tại đỉnh đối diện cạnh $c$ .

🧠 Phân tích tư duy

Từ hình vẽ,

P

nằm giữa

A, B

với

A P = P B = 150

m nên

P

là trung điểm

A B

;

Q

nằm giữa

A, C

với

A Q = QC = 250

m nên

Q

là trung điểm

A C

— dấu hiệu để

P Q

là đường trung bình của

△ A B C

ứng với cạnh

B C = 400

m. Bẫy hay gặp là quên kiểm tra

P, Q

đúng là trung điểm (chỉ nhìn số liệu

150, 250

mà không đối chiếu tổng

A B, A C

với hình).

1Cách 1. Nhận ra

P Q

là đường trung bình của

△ A B C

Định hướng. Từ số liệu $A P = P B = 150$ m và $A Q = QC = 250$ m, suy ra $P, Q$ lần lượt là trung điểm $A B, A C$ , nên $P Q$ là đường trung bình ứng với cạnh $B C = 400$ m.

A P = P B = 150

m nên

P

là trung điểm

A B

A Q = QC = 250

m nên

Q

là trung điểm

A C

Trong

△ A B C

P, Q

là trung điểm

A B, A C

nên

P Q

là đường trung bình ứng với cạnh

B C

P Q = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{2} \times 400 = 200

(m)

Vậy khoảng cách giữa hai điểm $P$ và $Q$ là $200$ m.

2Cách 2. Dùng tỉ lệ thức Thalès trực tiếp (không gọi tên đường trung bình)

Định hướng. Xuất phát lại từ định lí Thalès đảo: vì $\frac{A P}{A B} = \frac{A Q}{A C} = \frac{1}{2}$ nên $P Q ∥ B C$ , sau đó dùng hệ quả tỉ lệ đoạn thẳng để tính $P Q$ — cách trình bày lại từ định lí gốc thay vì áp dụng thẳng tên gọi "đường trung bình" như Cách 1.

A B = A P + P B = 150 + 150 = 300

(m);

A C = A Q + QC = 250 + 250 = 500

(m)

\frac{A P}{A B} = \frac{150}{300} = \frac{1}{2}

;

\frac{A Q}{A C} = \frac{250}{500} = \frac{1}{2}

Vì

\frac{A P}{A B} = \frac{A Q}{A C}

nên theo Thalès đảo,

P Q ∥ B C

Khi đó

\frac{P Q}{B C} = \frac{A P}{A B} = \frac{1}{2}

P Q = \frac{1}{2} \times 400 = 200

(m)

Vậy $P Q = 200$ m, khớp Cách 1.

3Cách 3. Toạ độ hoá nhờ nhận ra tam giác

A B C

vuông tại

B

Định hướng. Kiểm tra $A B = 300$ , $B C = 400$ , $A C = 500$ thoả $30 0^{2} + 40 0^{2} = 50 0^{2}$ nên $△ A B C$ vuông tại $B$ (Pythagore đảo); đặt hệ trục tại $B$ để tính toạ độ $P, Q$ rồi tính $P Q$ bằng công thức khoảng cách — cách kiểm chứng độc lập không cần gọi tên đường trung bình.

A B^{2} + B C^{2} = 30 0^{2} + 40 0^{2} = 90000 + 160000 = 250000 = 50 0^{2} = A C^{2}

nên

△ A B C

vuông tại

B

Đặt

B (0; 0)

C (400; 0)

A (0; 300)

P

trung điểm

A B

P (0; 150)

;

Q

trung điểm

A C

Q (200; 150)

P Q = (200 - 0)^{2} + (150 - 150)^{2} = 20 0^{2} = 200

(m)

Vậy $P Q = 200$ m, khớp hai cách trên.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: gọi thẳng tên đường trung bình rồi lấy nửa cạnh

B C

, không cần kiểm tra tam giác vuông và đặt toạ độ như Cách 3.

Đáp số. Khoảng cách

P Q = 200

Sai lầm thường gặp. Nhầm

P Q

bằng nửa tổng

A B, A C

thay vì nửa

B C

, hoặc cộng nhầm

150 + 250 = 400

rồi lấy luôn làm đáp số mà không qua đường trung bình.

🚀 Mở rộng. Cách đo gián tiếp này (chọn điểm

A

quan sát được cả

P, Q

, đo

A P, A B, A Q, A C

rồi dùng đường trung bình) áp dụng được cho mọi chướng ngại vật cản tầm nhìn hoặc cản đo trực tiếp, miễn chọn được

P, Q

đúng là trung điểm hai cạnh.

Mở bài này trong app ↗

🎯 Học tiếp

‹ Bài trướcLuyện tập chung Bài tiếp theo ›Bài 18. Thu thập và phân loại dữ liệu

📚 Cùng chương: Chương IV. Định lí Thalès

Bài 15. Định lí Thalès trong tam giác
Bài 16. Đường trung bình của tam giác
Bài 17. Tính chất đường phân giác của tam giác
Luyện tập chung
▶ Bài tập cuối chương IV