Bài 1 · Luyện tập 1 · Bài 1★★Trang 116— Vẽ đường cao và tính diện tích tam giác trên lưới ô vuông
Luyện tập 1 · Bài 1 (trang 116). a) Vẽ vào vở các hình tam giác sau và vẽ đường cao lần lượt ứng với đáy BC, EG và IK của mỗi hình tam giác đó. b) Tính diện tích các hình tam giác ở câu a trong trường hợp mỗi ô vuông có cạnh 2,5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình tam giác bằng đáy nhân chiều cao rồi chia cho 2 (cùng một đơn vị đo).
Đường cao của tam giác là đoạn thẳng hạ từ một đỉnh, vuông góc với cạnh đáy đối diện (hoặc với đường kéo dài của cạnh đáy).
Trên lưới ô vuông, nếu đáy nằm ngang thì chiều cao chính là khoảng cách theo chiều dọc từ đỉnh còn lại xuống dòng kẻ chứa đáy.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba tam giác vẽ sẵn trên lưới ô vuông với ba dáng khác nhau: một tam giác có chân đường cao nằm giữa đáy, một tam giác có chân đường cao nằm ngoài đáy (phải kéo dài đáy mới vẽ được), và một tam giác vuông có đường cao trùng luôn với một cạnh. Việc đầu tiên là đếm đúng số ô vuông của đáy và của chiều cao trên lưới, rồi mới đổi ra xăng-ti-mét bằng cách nhân với 2,5. Bẫy của đề nằm ở tam giác DEG: đỉnh D không nằm phía trên đoạn EG nên đường cao phải vẽ kéo dài đáy ra ngoài, nhiều bạn vẽ nhầm đường cao chui vào trong tam giác.
1Cách 1. Đếm ô vuông rồi đổi ra cm, tính trực tiếp
Định hướng. Đếm số ô vuông của đáy và chiều cao từng tam giác trên lưới, đổi mỗi cạnh sang xăng-ti-mét bằng cách nhân với 2,5, rồi tính diện tích theo công thức đáy nhân chiều cao chia 2.
Tam giác ABC: đáy BC =4 ô =4×2,5=10 (cm), chiều cao =4 ô =4×2,5=10 (cm) Diện tích tam giác ABC là: 10×10:2=50 (cm²) Tam giác DEG: đáy EG =3 ô =3×2,5=7,5 (cm), chiều cao =4 ô =4×2,5=10 (cm) Diện tích tam giác DEG là: 7,5×10:2=37,5 (cm²) Tam giác HIK: đáy IK =2 ô =2×2,5=5 (cm), chiều cao =4 ô =4×2,5=10 (cm) Diện tích tam giác HIK là: 5×10:2=25 (cm²)
Vậy diện tích ba tam giác lần lượt là 50 cm², 37,5 cm² và 25 cm².
2Cách 2. Tính theo ô vuông trước, đổi cm² sau
Định hướng. Tính diện tích mỗi tam giác theo đơn vị ô vuông trước bằng công thức đáy nhân chiều cao chia 2, sau đó mới đổi sang xăng-ti-mét vuông bằng cách nhân với diện tích một ô vuông là 2,5×2,5=6,25 (cm²).
Một ô vuông có diện tích: 2,5×2,5=6,25 (cm²) Tam giác ABC có diện tích: 4×4:2=8 (ô vuông) Diện tích tam giác ABC là: 8×6,25=50 (cm²) Tam giác DEG có diện tích: 3×4:2=6 (ô vuông) Diện tích tam giác DEG là: 6×6,25=37,5 (cm²) Tam giác HIK có diện tích: 2×4:2=4 (ô vuông) Diện tích tam giác HIK là: 4×6,25=25 (cm²)
Vậy cả hai cách đổi đơn vị đều cho cùng kết quả 50 cm², 37,5 cm² và 25 cm².
3Cách 3. Dùng hình chữ nhật bao quanh mỗi tam giác
Định hướng. Với mỗi tam giác, dựng thêm hình chữ nhật có cùng đáy và cùng chiều cao rồi so sánh: diện tích tam giác luôn bằng nửa diện tích hình chữ nhật bao quanh nó, dù chân đường cao nằm trong, nằm ngoài hay trùng với một cạnh.
Tam giác ABC: hình chữ nhật bao quanh 10 cm ×10 cm, diện tích 10×10=100 (cm²), diện tích tam giác bằng nửa: 100:2=50 (cm²) Tam giác DEG: hình chữ nhật bao quanh 7,5 cm ×10 cm, diện tích 7,5×10=75 (cm²), diện tích tam giác bằng nửa: 75:2=37,5 (cm²) Tam giác HIK: hình chữ nhật bao quanh 5 cm ×10 cm, diện tích 5×10=50 (cm²), diện tích tam giác bằng nửa: 50:2=25 (cm²)
Vậy dù tính theo cách nào, ba tam giác vẫn có diện tích 50 cm², 37,5 cm² và 25 cm².
Nhận xét. Cách dựng hình chữ nhật bao quanh cho thấy rõ vì sao công thức diện tích tam giác luôn có ‘chia 2’ — tam giác luôn chỉ bằng nửa hình chữ nhật cùng đáy cùng chiều cao, kể cả khi chân đường cao nằm ngoài đáy như ở tam giác DEG.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: đổi đơn vị ngay từ đầu rồi tính một lần bằng cm², ít bước trung gian và không phải nhớ thêm hệ số 6,25.
Đáp số.Diện tích tam giác ABC là 50 cm²; diện tích tam giác DEG là 37,5 cm²; diện tích tam giác HIK là 25 cm².
Sai lầm thường gặp.Với tam giác DEG, nhiều bạn cố vẽ đường cao chui vào bên trong tam giác cho ‘giống’ hai tam giác kia, trong khi đỉnh D không nằm phía trên đoạn EG nên đường cao đúng phải kẻ vuông góc với đường kéo dài của EG, chân đường cao nằm ngoài đoạn EG (về phía bên trái E).
🚀 Mở rộng.Nếu đáy EG được kéo dài gấp đôi mà chiều cao giữ nguyên thì diện tích tam giác DEG thay đổi thế nào?
Bài 2 · Luyện tập 1 · Bài 2★★★Trang 116— Nhận biết quan hệ giữa bán kính-đường kính và chu vi các hình tròn lồng nhau
Luyện tập 1 · Bài 2 (trang 116). Chọn câu trả lời đúng. Trong hình bên, biết hình tròn bé nhất có bán kính 50 cm, hình tròn lớn nhất có bán kính 200 cm. a) Đường kính mỗi hình tròn màu xanh lá cây là: A. 100 cm B. 150 cm C. 400 cm D. 300 cm b) Chu vi hình tròn lớn nhất gấp mấy lần chu vi hình tròn bé nhất? A. 2 lần B. 3 lần C. 4 lần D. 5 lần
Kiến thức cần nhớ
Trong hình tròn, bán kính bằng nửa đường kính; đường kính bằng hai lần bán kính.
Chu vi hình tròn = đường kính × 3,14 = 2 × bán kính × 3,14, nên khi bán kính (hoặc đường kính) gấp lên bao nhiêu lần thì chu vi cũng gấp lên bấy nhiêu lần.
Khi các hình tròn tiếp xúc nhau dọc theo một đường thẳng đi qua tâm, tổng các bán kính/đường kính liên tiếp dọc đường thẳng đó bằng đúng bán kính (hoặc đường kính) của hình tròn lớn chứa chúng.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hình tròn bé nhất (bán kính 50 cm) nằm giữa, được bao quanh bởi bốn hình tròn xanh lá bằng nhau, và tất cả nằm gọn trong hình tròn lớn nhất (bán kính 200 cm) — ba loại hình tròn cùng tiếp xúc nhau dọc theo một đường bán kính của hình tròn lớn. Dấu hiệu quan trọng là đường bán kính của hình tròn lớn (200 cm) đi qua đúng bán kính hình tròn nhỏ ở giữa rồi đến trọn một đường kính hình tròn xanh lá, nên chỉ cần lấy 200 trừ đi 50 là ra đường kính hình tròn xanh lá. Bẫy của câu b là chu vi chỉ tỉ lệ với bán kính (không phải với diện tích), nên không cần tính cụ thể số đo chu vi mà chỉ cần so sánh tỉ số bán kính.
1Cách 1. Lấy hiệu bán kính lớn và bán kính bé để ra ngay đường kính
Định hướng. Đi theo đường bán kính của hình tròn lớn (200 cm): đoạn đầu tiên là bán kính hình tròn bé ở giữa (50 cm), đoạn còn lại chính là đường kính của một hình tròn xanh lá; so sánh tỉ số bán kính để trả lời câu b.
a) Đường kính hình tròn xanh lá là: 200−50=150 (cm), chọn đáp án B b) Chu vi hình tròn lớn nhất gấp chu vi hình tròn bé nhất số lần bằng tỉ số bán kính: 200:50=4 (lần), chọn đáp án C
Vậy a) đường kính hình tròn xanh lá là 150 cm (đáp án B); b) chu vi hình tròn lớn nhất gấp 4 lần chu vi hình tròn bé nhất (đáp án C).
2Cách 2. Tính bán kính hình tròn xanh lá trước, tính chu vi cụ thể ở câu b
Định hướng. Tính bán kính hình tròn xanh lá bằng cách chia đôi phần còn lại sau bán kính hình tròn bé, rồi nhân đôi ra đường kính; ở câu b tính hẳn số đo chu vi hai hình tròn rồi chia cho nhau.
a) Nửa đoạn còn lại sau bán kính hình tròn bé là: (200−50):2=75 (cm) — đây là bán kính hình tròn xanh lá Đường kính hình tròn xanh lá là: 75×2=150 (cm), chọn đáp án B b) Chu vi hình tròn lớn nhất là: 200×2×3,14=1256 (cm) Chu vi hình tròn bé nhất là: 50×2×3,14=314 (cm) Chu vi hình tròn lớn nhất gấp chu vi hình tròn bé nhất số lần là: 1256:314=4 (lần), chọn đáp án C
Vậy vẫn ra đường kính 150 cm và tỉ số chu vi 4 lần, khớp với Cách 1.
3Cách 3. Thử từng đáp án rồi loại trừ
Định hướng. Thử lần lượt từng đáp án của câu a: cộng đáp án đó với bán kính hình tròn bé (50 cm) xem có vừa đúng bán kính hình tròn lớn (200 cm) hay không; câu b thử theo cùng cách với tỉ số bán kính.
a) Thử đáp án A: 50+100=150, khác 200 (loại) Thử đáp án B: 50+150=200, đúng bằng bán kính hình tròn lớn (nhận) Thử đáp án C: 50+400=450, khác 200 (loại); đáp án D: 50+300=350, khác 200 (loại) b) Nếu chu vi gấp 4 lần thì bán kính cũng phải gấp 4 lần: 50×4=200, đúng bằng bán kính hình tròn lớn nhất (nhận đáp án C) Thử gấp 2, 3, 5 lần đều cho bán kính khác 200 cm (loại)
Vậy chỉ có đáp án B (150 cm) và đáp án C (4 lần) thoả mãn, khớp cả hai cách trên.
Nhận xét. Dù tính theo cách nào, mấu chốt vẫn là: đoạn 200 cm gồm đúng một bán kính bé cộng một đường kính xanh lá.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: nhìn thẳng vào cấu trúc ‘bán kính nhỏ cộng đường kính vừa bằng bán kính lớn’ và nhớ chu vi tỉ lệ thuận với bán kính, không cần tính chu vi cụ thể ở phần b) nên nhanh và khó sai số 3,14.
Đáp số.a) 150 cm (đáp án B); b) 4 lần (đáp án C).
Sai lầm thường gặp.Ở câu b, nhiều bạn tưởng chu vi cũng gấp 16 lần giống như diện tích (vì bán kính gấp 4 lần), trong khi chu vi chỉ tỉ lệ thuận bậc nhất với bán kính nên chỉ gấp đúng 4 lần, không phải bình phương của 4.
🚀 Mở rộng.Nếu hình tròn lớn nhất có bán kính gấp 5 lần hình tròn bé nhất (giữ nguyên cách sắp xếp bốn hình tròn xanh lá xung quanh) thì đường kính mỗi hình tròn xanh lá sẽ tính thế nào?
Bài 3 · Luyện tập 1 · Bài 3★★Trang 116— Tính chu vi nửa hình tròn (đường cong cộng đường kính)
Luyện tập 1 · Bài 3 (trang 116). Một cái ao dạng nửa hình tròn có kích thước như hình vẽ. Tính chu vi cái ao.
Kiến thức cần nhớ
Chu vi hình tròn đầy đủ = đường kính × 3,14.
Chu vi của một nửa hình tròn (theo viền thực tế) = nửa chu vi hình tròn đầy đủ + đường kính, vì bờ thẳng của nửa hình tròn cũng là một phần của chu vi cái ao.
Đường kính = 2 × bán kính.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho đường kính của cái ao (12 m) và yêu cầu tính chu vi — dấu hiệu để nhớ chu vi của một nửa hình tròn không chỉ có đường cong mà còn có cả cạnh thẳng (đường kính) khép kín bờ ao. Bẫy của đề là dễ nhầm chu vi nửa hình tròn với nửa chu vi hình tròn đầy đủ, quên mất cạnh đáy thẳng 12 m.
1Cách 1. Tính chu vi hình tròn đầy đủ trước rồi chia đôi, cộng đường kính
Định hướng. Tính chu vi hình tròn đầy đủ có cùng đường kính 12 m, lấy một nửa rồi cộng thêm đường kính để ra chu vi thật của cái ao (vì bờ ao còn có cạnh thẳng).
Chu vi hình tròn đầy đủ là: 12×3,14=37,68 (m) Nửa chu vi hình tròn (phần đường cong của ao) là: 37,68:2=18,84 (m) Chu vi cái ao là: 18,84+12=30,84 (m)
Vậy chu vi cái ao là 30,84 m.
2Cách 2. Tính bán kính trước rồi dùng công thức nửa chu vi = bán kính × 3,14
Định hướng. Tính bán kính trước, dùng công thức nửa chu vi đường tròn = bán kính × 3,14, rồi cộng thêm đường kính.
Bán kính cái ao là: 12:2=6 (m) Phần đường cong của ao là: 6×3,14=18,84 (m) Chu vi cái ao là: 18,84+12=30,84 (m)
Vậy vẫn được chu vi cái ao là 30,84 m.
3Cách 3. Gộp thành một biểu thức rồi đặt đường kính làm thừa số chung
Định hướng. Viết chu vi cái ao thành một biểu thức duy nhất: nửa chu vi hình tròn cộng đường kính, rồi tính gọn bằng cách đặt đường kính làm thừa số chung.
Chu vi cái ao là: 12×3,14:2+12 =12×(3,14:2+1) =12×2,57 =30,84 (m)
Vậy chu vi cái ao vẫn là 30,84 m.
Nhận xét. Ba cách đều quy về cùng một biểu thức, chỉ khác thứ tự tính; điều quan trọng nhất là không được quên cộng đường kính 12 m vào phần đường cong.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 2: tính bán kính trước rồi dùng thẳng công thức nửa chu vi = bán kính × 3,14, ít số hơn Cách 1 (không cần chia 37,68 cho 2).
Đáp số.Chu vi cái ao là 30,84 m.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn chỉ tính nửa chu vi hình tròn rồi dừng lại ở 18,84 m mà quên cộng thêm đường kính 12 m — đó mới là phần đường cong, còn cái ao thực tế còn có bờ thẳng nối hai đầu.
🚀 Mở rộng.Nếu cái ao có dạng một phần tư hình tròn (không phải nửa hình tròn) với cùng bán kính 6 m thì chu vi cái ao sẽ tính bằng biểu thức nào?
Bài 4 · Luyện tập 1 · Bài 4★★★Trang 117— Xét sự không đổi của diện tích tam giác khi đỉnh di chuyển trên một đường thẳng song song với đáy
Luyện tập 1 · Bài 4 (trang 117). Bạn Rô-bốt nói: ‘Dù lấy điểm E ở vị trí nào trên đoạn thẳng AB thì diện tích hình tam giác ECD không thay đổi.’ Bạn Rô-bốt nói đúng hay sai?
Kiến thức cần nhớ
Diện tích tam giác bằng đáy nhân chiều cao chia 2.
Trong hình chữ nhật, hai cạnh đối diện AB và DC luôn song song và cách đều nhau đúng bằng chiều rộng (chiều cao) của hình chữ nhật.
Khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng AB đến đường thẳng DC song song với nó luôn không đổi, bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng đó.
🧠 Phân tích tư duy
Ba hình vẽ cho thấy điểm E di chuyển tới ba vị trí khác nhau trên cạnh AB của hình chữ nhật ABCD, còn đáy DC và hai cạnh AD, BC luôn giữ nguyên. Dấu hiệu quan trọng là AB song song với DC nên khoảng cách từ bất kỳ điểm nào trên AB xuống đường thẳng DC đều bằng nhau, đúng bằng chiều cao của hình chữ nhật. Bẫy của đề là nhìn hình thấy tam giác ‘lệch’ đi nên tưởng diện tích cũng thay đổi theo.
1Cách 1. Lập luận trực tiếp bằng đáy và chiều cao không đổi
Định hướng. So sánh đáy và chiều cao của tam giác ECD ở cả ba vị trí của E: đáy luôn là DC, còn chiều cao luôn là khoảng cách từ AB xuống DC — khoảng cách này không đổi vì AB song song và cách đều DC.
Đáy DC của tam giác ECD ở cả ba hình đều bằng cạnh DC của hình chữ nhật, không đổi Chiều cao từ E xuống DC ở cả ba hình đều bằng khoảng cách giữa hai cạnh AB và DC, tức bằng cạnh AD, không đổi Diện tích tam giác ECD = DC × AD :2, không phụ thuộc vị trí của E trên AB
Vậy bạn Rô-bốt nói đúng: diện tích tam giác ECD không đổi dù E ở vị trí nào trên AB.
2Cách 2. Thử với số đo cụ thể
Định hướng. Gán cho hình chữ nhật một số đo cụ thể, tính diện tích tam giác ECD ở ba vị trí E khác nhau rồi so sánh kết quả.
Giả sử hình chữ nhật ABCD có DC =8 cm, AD =5 cm Vị trí 1 (E ở giữa AB): diện tích tam giác ECD =8×5:2=20 (cm²) Vị trí 2 (E lệch gần A): diện tích tam giác ECD vẫn =8×5:2=20 (cm²) vì đáy và chiều cao không đổi Vị trí 3 (E lệch gần B): diện tích tam giác ECD vẫn =8×5:2=20 (cm²)
Vậy cả ba vị trí đều cho cùng diện tích 20 cm², khẳng định bạn Rô-bốt nói đúng.
3Cách 3. Suy luận bằng phần bù với hai tam giác còn lại
Định hướng. Nhìn theo phần diện tích còn lại: hình chữ nhật ABCD có diện tích không đổi, hai tam giác màu cam (AED và EBC) cộng với tam giác xanh ECD luôn lấp đầy hình chữ nhật, nên khi tổng hai tam giác cam không đổi thì phần xanh (ECD) cũng không đổi.
Diện tích tam giác AED + diện tích tam giác EBC = diện tích hình chữ nhật − diện tích tam giác ECD Tổng hai tam giác cam luôn bằng nhau ở cả ba vị trí vì đáy chung AE+EB=AB không đổi và chiều cao AD không đổi: tổng đó =AB×AD:2, không đổi Suy ra diện tích tam giác ECD = diện tích hình chữ nhật − tổng hai tam giác cam cũng không đổi
Vậy theo cả ba cách, bạn Rô-bốt nói đúng.
Nhận xét. Cách nhìn phần bù cho thấy thêm một điều thú vị: tổng diện tích hai tam giác cam luôn bằng đúng diện tích tam giác xanh ECD, vì cả hai đều bằng nửa hình chữ nhật.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: chỉ ra ngay đáy DC và chiều cao AD không đổi, lập luận ngắn gọn mà chắc chắn, không cần gán số như Cách 2.
Đáp số.Bạn Rô-bốt nói đúng.
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhìn hình thấy tam giác ECD ở ba vị trí có dáng khác nhau (khi thì cân, khi thì lệch hẳn sang một bên) liền kết luận diện tích cũng khác nhau, trong khi hình dạng lệch chỉ do vị trí đỉnh E thay đổi, còn đáy và chiều cao — hai yếu tố duy nhất quyết định diện tích tam giác — vẫn giữ nguyên.
🚀 Mở rộng.Nếu E được phép di chuyển ra ngoài đoạn AB (trên đường thẳng chứa AB kéo dài) thì diện tích tam giác ECD có còn không đổi hay không? Vì sao?
Bài 5 · Luyện tập 2 · Bài 1★★Trang 117— Vẽ hình trên lưới ô vuông và tính diện tích hình thang
Luyện tập 2 · Bài 1 (trang 117). a) Vẽ vào vở các hình sau. b) Tính diện tích hình thang ABCD ở câu a, biết rằng mỗi ô vuông có cạnh 2,5 cm.
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2 (cùng đơn vị đo).
Trên lưới ô vuông, chiều cao của hình thang là khoảng cách theo chiều dọc giữa hai đáy song song.
Diện tích một ô vuông cạnh a là a × a.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba hình khác nhau trên cùng một lưới ô vuông (hình thang, hình thoi, hình bình hành) nhưng chỉ hỏi diện tích của hình thang ABCD, nên việc cần làm là đọc đúng hai đáy và chiều cao của riêng hình thang này trên lưới rồi mới áp dụng công thức. Bẫy của đề là đáy lớn DC khá dài (7 ô), dễ đếm thiếu nếu không dóng thẳng theo từng cột từ D đến C.
1Cách 1. Đọc số ô rồi đổi ra cm, tính theo công thức
Định hướng. Đếm số ô vuông của đáy bé AB, đáy lớn DC và chiều cao trên lưới, đổi mỗi cạnh ra xăng-ti-mét, rồi tính diện tích theo công thức hình thang.
Đáy bé AB =3 ô =3×2,5=7,5 (cm) Đáy lớn DC =7 ô =7×2,5=17,5 (cm) Chiều cao =4 ô =4×2,5=10 (cm) Diện tích hình thang ABCD là: (7,5+17,5)×10:2=125 (cm²)
Vậy diện tích hình thang ABCD là 125 cm².
2Cách 2. Tính theo ô vuông trước, đổi cm² sau
Định hướng. Tính diện tích hình thang theo đơn vị ô vuông trước bằng công thức (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2 theo số ô, sau đó đổi sang cm² bằng cách nhân với diện tích một ô vuông.
Diện tích hình thang ABCD theo ô vuông là: (3+7)×4:2=20 (ô vuông) Diện tích một ô vuông là: 2,5×2,5=6,25 (cm²) Diện tích hình thang ABCD là: 20×6,25=125 (cm²)
Vậy vẫn ra 125 cm², khớp với Cách 1.
3Cách 3. Chia hình thang thành một hình chữ nhật và một hình tam giác
Định hướng. Kẻ thêm một đường thẳng đứng từ B xuống DC để chia hình thang ABCD thành một hình chữ nhật và một hình tam giác, tính diện tích từng phần rồi cộng lại.
Hình chữ nhật (đáy bằng AB =3 ô, cao 4 ô) có diện tích: 3×4=12 (ô vuông) Hình tam giác còn lại (đáy bằng 7−3=4 ô, cao 4 ô) có diện tích: 4×4:2=8 (ô vuông) Diện tích hình thang ABCD là: 12+8=20 (ô vuông), đổi ra cm²: 20×6,25=125 (cm²)
Vậy diện tích hình thang ABCD vẫn là 125 cm².
Nhận xét. Cách chia nhỏ thành hình chữ nhật và tam giác chính là cách chứng minh vì sao công thức hình thang lại có dạng ‘(đáy lớn + đáy bé) nhân chiều cao chia 2’.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: đọc số ô rồi đổi cm ngay từ đầu, áp công thức một lần, ít phép tính trung gian nhất.
Đáp số.Diện tích hình thang ABCD là 125 cm².
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn đếm nhầm đáy lớn DC chỉ bằng 6 ô do không dóng thẳng cột từ D đến C trên lưới, dẫn đến tính thiếu diện tích; cần đếm từng cột dọc cẩn thận từ điểm D đến điểm C, đáy lớn DC thực ra dài tới 7 ô.
🚀 Mở rộng.Nếu chiều cao hình thang ABCD tăng thêm 2 ô nữa (các đáy giữ nguyên) thì diện tích mới sẽ là bao nhiêu?
Bài 6 · Luyện tập 2 · Bài 2★★★Trang 117— Tính diện tích hình đa giác bằng cách chia thành hình thang và hình tam giác
Luyện tập 2 · Bài 2 (trang 117-118). Số? ‘Tôi có một mảnh đất với hình dạng như hình bên, làm sao để tính được diện tích mảnh đất ấy?’ — ‘Bác hãy chia mảnh đất ấy thành hai phần, một phần hình thang và một phần hình tam giác rồi đo các khoảng cách trên mặt đất.’ Mảnh đất ABCDE được chia bởi đoạn thẳng AD thành hình thang ABCD (đáy bé BC =30 m, đáy lớn AD =55 m, chiều cao 25 m) và hình tam giác AED (đáy AD =55 m, chiều cao 27 m). Điền số thích hợp vào chỗ trống rồi tính diện tích mảnh đất ABCDE.
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2.
Diện tích tam giác = đáy × chiều cao : 2.
Muốn tính diện tích một mảnh đất có hình dạng phức tạp, ta chia mảnh đất thành các hình đơn giản (đã biết công thức) rồi cộng diện tích các phần lại.
🧠 Phân tích tư duy
Đề đã gợi ý sẵn cách chia mảnh đất ABCDE thành hai phần quen thuộc: hình thang ABCD (phía trên) và hình tam giác AED (phía dưới), chung cạnh AD. Dấu hiệu để nhận ra hướng làm là đề cho đủ số đo của cả hai đáy hình thang, chiều cao hình thang và chiều cao hình tam giác, đúng bằng số dữ kiện cần cho hai công thức. Bẫy của đề là dễ nhầm chiều cao 27 m (của tam giác AED) với chiều cao 25 m (của hình thang ABCD) vì cả hai đều là đoạn vuông góc với AD nhưng đo về hai phía khác nhau.
1Cách 1. Tính hình thang trước, tam giác sau
Định hướng. Tính diện tích hình thang ABCD trước, rồi tính diện tích hình tam giác AED, sau đó cộng hai kết quả để ra diện tích cả mảnh đất ABCDE.
Diện tích hình thang ABCD là: (55+30)×25:2=1062,5 (m²) Diện tích hình tam giác AED là: 55×27:2=742,5 (m²) Diện tích mảnh đất ABCDE là: 1062,5+742,5=1805 (m²)
Vậy diện tích mảnh đất ABCDE là 1805 m².
2Cách 2. Tính tam giác trước, hình thang sau
Định hướng. Đổi thứ tự tính: tính diện tích tam giác AED trước, diện tích hình thang ABCD sau, rồi cộng lại để kiểm tra chéo kết quả.
Diện tích hình tam giác AED là: 55×27:2=742,5 (m²) Diện tích hình thang ABCD là: (55+30)×25:2=1062,5 (m²) Diện tích mảnh đất ABCDE là: 742,5+1062,5=1805 (m²)
Vậy vẫn ra 1805 m², khớp với Cách 1 dù đổi thứ tự tính.
3Cách 3. Gộp thành một biểu thức chung rồi tính gọn
Định hướng. Nhận thấy cả hai công thức đều có mặt cạnh AD, gộp diện tích hình thang và tam giác thành một biểu thức chung rồi tính gọn.
Diện tích mảnh đất ABCDE là: (55+30)×25:2+55×27:2 =85×25:2+55×27:2 =2125:2+1485:2 =1062,5+742,5 =1805 (m²)
Vậy diện tích mảnh đất ABCDE vẫn là 1805 m².
Nhận xét. Dù tính theo thứ tự nào, chỉ cần không nhầm chiều cao 25 m của hình thang với chiều cao 27 m của tam giác thì kết quả luôn là 1805 m².
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1, đúng theo gợi ý của đề: tính hình thang trước, tam giác sau, rồi cộng — dễ kiểm tra lại từng bước nhất.
Đáp số.Diện tích mảnh đất ABCDE là 1805 m².
Sai lầm thường gặp.Một số bạn lấy nhầm chiều cao 27 m (của tam giác AED) để tính diện tích hình thang ABCD, hoặc ngược lại lấy 25 m để tính tam giác — cần nhớ 25 m là khoảng cách từ B xuống AD, còn 27 m là khoảng cách từ E lên AD, hai chiều cao đo về hai phía khác nhau của AD.
🚀 Mở rộng.Nếu chiều cao hình tam giác AED tăng thêm 3 m (các số đo khác giữ nguyên) thì diện tích mảnh đất ABCDE sẽ tăng thêm bao nhiêu mét vuông?
Bài 7 · Luyện tập 2 · Bài 3★★★Trang 118— Tính diện tích tứ giác bằng cách chia thành hình chữ nhật và hai tam giác vuông
Luyện tập 2 · Bài 3 (trang 118). Tính diện tích mảnh đất có hình dạng như hình bên, biết: AD =64 m; AE =72 m; BE =26 m; GC =30 m.
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình chữ nhật = chiều dài × chiều rộng.
Diện tích tam giác vuông = tích hai cạnh góc vuông chia 2.
Một hình tứ giác bất kỳ có thể chia thành hình chữ nhật và các tam giác vuông bằng một đường phụ vuông góc, rồi cộng diện tích các phần lại.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho một tứ giác ABCD không phải hình quen thuộc, nhưng hình vẽ đã kẻ sẵn đường phụ BG vuông góc với AD kéo dài (đi qua E), chia tứ giác thành ba phần: hình chữ nhật ADGE, tam giác vuông ABE và tam giác vuông BGC — cả ba phần đều tính được diện tích bằng công thức đã học. Bẫy của đề là chiều cao của tam giác BGC không phải chỉ là BE mà là cả đoạn BG = BE + EG, dễ bị bỏ sót phần EG (bằng AD) khi tính.
1Cách 1. Chia làm ba phần rồi cộng lại
Định hướng. Dùng đường phụ BG (đi qua E, vuông góc với AD) có sẵn trên hình để chia tứ giác ABCD thành hình chữ nhật ADGE, tam giác vuông ABE và tam giác vuông BGC, tính diện tích từng phần rồi cộng lại.
Diện tích hình chữ nhật ADGE là: 72×64=4608 (m²) Diện tích tam giác vuông ABE là: 72×26:2=936 (m²) Độ dài đoạn BG là: 26+64=90 (m) Diện tích tam giác vuông BGC là: 90×30:2=1350 (m²) Diện tích tứ giác ABCD là: 4608+936+1350=6894 (m²)
Vậy diện tích mảnh đất ABCD là 6894 m².
2Cách 2. Cộng hai tam giác trước, cộng vào hình chữ nhật sau
Định hướng. Cộng diện tích hai tam giác vuông ABE và BGC trước, rồi mới cộng với diện tích hình chữ nhật ADGE.
Diện tích tam giác vuông ABE là: 72×26:2=936 (m²) Diện tích tam giác vuông BGC là: (26+64)×30:2=1350 (m²) Tổng diện tích hai tam giác là: 936+1350=2286 (m²) Diện tích hình chữ nhật ADGE là: 72×64=4608 (m²) Diện tích tứ giác ABCD là: 4608+2286=6894 (m²)
Vậy vẫn ra 6894 m², khớp với Cách 1.
3Cách 3. Bao ngoài bằng một hình chữ nhật lớn rồi trừ phần thừa
Định hướng. Dựng thêm một hình chữ nhật lớn bao quanh toàn bộ tứ giác ABCD (cạnh ngang bằng AE cộng GC, cạnh đứng bằng BE cộng AD), rồi lấy diện tích hình chữ nhật lớn trừ đi hai tam giác vuông thừa ra ở hai góc.
Chiều ngang hình chữ nhật bao ngoài là: 72+30=102 (m) Chiều đứng hình chữ nhật bao ngoài là: 26+64=90 (m) Diện tích hình chữ nhật bao ngoài là: 102×90=9180 (m²) Diện tích tam giác thừa thứ nhất (góc trên bên trái) là: 72×26:2=936 (m²) Diện tích tam giác thừa thứ hai (góc trên bên phải) là: 30×90:2=1350 (m²) Diện tích tứ giác ABCD là: 9180−936−1350=6894 (m²)
Vậy diện tích mảnh đất ABCD vẫn là 6894 m², khớp cả ba cách.
Nhận xét. Cách bao hình chữ nhật lớn rồi trừ phần thừa là một mẹo hay khi hình có nhiều cạnh xiên — thường nhanh hơn việc chia nhỏ nếu hình bao dễ dựng.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: chia đúng theo đường phụ BG đã vẽ sẵn trên hình, ba phần rõ ràng, ít khả năng nhầm chiều cao nhất.
Đáp số.Diện tích mảnh đất ABCD là 6894 m².
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn tính chiều cao của tam giác BGC chỉ bằng BE =26 m mà quên cộng thêm EG = AD =64 m, trong khi chiều cao thật của tam giác BGC là cả đoạn BG = BE + EG =90 m.
🚀 Mở rộng.Nếu điểm E trùng với điểm G (tức BE vuông góc rơi thẳng xuống đúng DC, không cần đoạn EG) thì tứ giác ABCD trở thành hình gì và công thức tính diện tích sẽ đơn giản đi thế nào?
Bài 8 · Luyện tập 2 · Bài 4★★★Trang 118— Tính diện tích phần hình vuông nằm ngoài đường tròn nội tiếp
Luyện tập 2 · Bài 4 (trang 118). Chọn câu trả lời đúng. Diện tích phần màu xanh trong hình bên là: A. 13,76 cm² B. 114,24 cm² C. 50,214 cm² D. 136,96 cm²
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình vuông = cạnh × cạnh.
Diện tích hình tròn = bán kính × bán kính × 3,14.
Khi hình tròn nội tiếp hình vuông (tiếp xúc cả bốn cạnh), đường kính hình tròn bằng đúng cạnh hình vuông.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm và một đường tròn nằm trọn trong hình vuông, tiếp xúc cả bốn cạnh — dấu hiệu để nhận ra đường kính đường tròn đúng bằng cạnh hình vuông. Phần tô xanh là bốn góc còn thừa ra sau khi cắt bỏ hình tròn khỏi hình vuông, nên diện tích cần tìm bằng hiệu diện tích hình vuông và diện tích hình tròn. Bẫy của đề là dễ quên đường kính hình tròn bằng cả cạnh hình vuông (8 cm) chứ không phải một nửa.
1Cách 1. Lấy hình vuông trừ hình tròn
Định hướng. Tính diện tích hình vuông, tính diện tích hình tròn nội tiếp (bán kính bằng nửa cạnh hình vuông), rồi lấy hiệu để ra diện tích phần xanh.
Diện tích hình vuông ABCD là: 8×8=64 (cm²) Bán kính hình tròn là: 8:2=4 (cm) Diện tích hình tròn là: 4×4×3,14=50,24 (cm²) Diện tích phần màu xanh là: 64−50,24=13,76 (cm²)
Vậy diện tích phần màu xanh là 13,76 cm², chọn đáp án A.
2Cách 2. Ước lượng để loại bớt đáp án rồi tính lại
Định hướng. Ước lượng: phần xanh chỉ là bốn mẩu góc nhỏ nên diện tích phải nhỏ hơn nhiều so với hình vuông; dựa vào đó loại các đáp án quá lớn rồi tính lại để chọn đáp án đúng.
Diện tích hình vuông là: 8×8=64 (cm²), nên phần xanh phải nhỏ hơn 64 cm² rất nhiều — loại ngay đáp án B (114,24) và D (136,96) vì đều lớn hơn cả hình vuông Diện tích hình tròn xấp xỉ 4×4×3,14=50,24 (cm²), chiếm phần lớn hình vuông, nên phần xanh còn lại phải là số nhỏ, không thể là 50,214 — loại đáp án C Diện tích phần xanh là: 64−50,24=13,76 (cm²)
Vậy khớp đúng đáp án A (13,76 cm²).
3Cách 3. Tính diện tích một góc xanh rồi nhân bốn
Định hướng. Nhờ hình vuông và hình tròn đều đối xứng qua tâm, bốn góc xanh bằng nhau; chỉ cần tính diện tích một góc phần tư hình vuông trừ một phần tư hình tròn rồi nhân 4.
Một phần tư hình vuông có diện tích: 64:4=16 (cm²) Một phần tư hình tròn có diện tích: 50,24:4=12,56 (cm²) Diện tích một góc xanh là: 16−12,56=3,44 (cm²) Diện tích cả bốn góc xanh là: 3,44×4=13,76 (cm²)
Vậy diện tích phần xanh vẫn là 13,76 cm², đáp án A.
Nhận xét. Chia theo bốn góc đối xứng là một cách kiểm tra chéo tốt, đặc biệt khi hình có tính đối xứng rõ ràng như hình vuông chứa đường tròn nội tiếp.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: tính thẳng hiệu diện tích hình vuông và hình tròn, chỉ bốn phép tính, nhanh và ít rủi ro nhầm lẫn nhất.
Đáp số.Diện tích phần màu xanh là 13,76 cm² (đáp án A).
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn lấy bán kính hình tròn bằng 8 cm (bằng cả cạnh hình vuông) thay vì 4 cm, dẫn đến tính sai diện tích hình tròn và chọn nhầm đáp án; cần nhớ đường kính mới bằng cạnh hình vuông, bán kính chỉ bằng một nửa.
🚀 Mở rộng.Nếu hình vuông có cạnh gấp đôi (16 cm, đường tròn vẫn nội tiếp) thì diện tích phần màu xanh sẽ gấp mấy lần 13,76 cm²?
Bài 9 · Luyện tập 3 · Bài 1★★★Trang 119— Tính diện tích hình thang và so sánh diện tích hai tam giác có chung đường cao
Luyện tập 3 · Bài 1 (trang 119). Số? Cho hình vuông ABCD như hình bên và DE = EG = GH = HK = KC =1,3 cm. a) Diện tích hình thang ABCK là ? cm². b) Diện tích hình tam giác AKD gấp ? lần diện tích hình tam giác ADE.
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2.
Hai tam giác có chung chiều cao thì tỉ số diện tích của chúng bằng đúng tỉ số hai đáy tương ứng.
Trong hình vuông, hai cạnh đối diện luôn song song và bằng nhau.
🧠 Phân tích tư duy
Đề chia cạnh DC của hình vuông ABCD thành năm đoạn bằng nhau (mỗi đoạn 1,3 cm), điểm K là điểm gần C nhất — dấu hiệu để nhận ra ABCK là một hình thang có hai đáy AB và KC cùng nằm trên hai cạnh song song của hình vuông. Ở câu b, tam giác AKD và tam giác ADE có chung đỉnh A và cùng nằm trên đường thẳng DC nên có chung chiều cao là cạnh AD — bẫy của đề là phải nhận ra hai tam giác này có cùng chiều cao để so sánh diện tích chỉ qua tỉ số hai đáy, không cần tính diện tích từng tam giác.
1Cách 1. Công thức hình thang trực tiếp và tỉ số hai đáy
Định hướng. a) Nhận ra AB và KC là hai đáy song song của hình thang ABCK, chiều cao là cạnh BC của hình vuông, áp dụng công thức hình thang. b) Hai tam giác AKD và ADE có chung chiều cao là cạnh AD, nên tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy DK và DE.
a) Đáy KC là: 1,3 (cm); đáy AB (cạnh hình vuông) là: 6,5 (cm) Diện tích hình thang ABCK là: (6,5+1,3)×6,5:2=25,35 (cm²) b) Đáy DK gồm 4 đoạn: DK=4×1,3=5,2 (cm); đáy DE gồm 1 đoạn: DE=1,3 (cm) Tam giác AKD và tam giác ADE có chung chiều cao AD, nên diện tích tam giác AKD gấp diện tích tam giác ADE số lần là: 5,2:1,3=4 (lần)
Vậy a) diện tích hình thang ABCK là 25,35 cm²; b) diện tích tam giác AKD gấp 4 lần diện tích tam giác ADE.
2Cách 2. Chia nhỏ hình thang, tính riêng diện tích từng tam giác
Định hướng. a) Chia hình thang ABCK thành một hình chữ nhật và một hình tam giác vuông rồi cộng diện tích hai phần. b) Tính diện tích từng tam giác AKD và ADE theo công thức đáy nhân chiều cao chia 2, rồi lấy thương hai kết quả.
a) Hình chữ nhật (đáy KC =1,3 cm, cao AD =6,5 cm) có diện tích: 1,3×6,5=8,45 (cm²) Hình tam giác vuông còn lại (đáy 6,5−1,3=5,2 cm, cao 6,5 cm) có diện tích: 5,2×6,5:2=16,9 (cm²) Diện tích hình thang ABCK là: 8,45+16,9=25,35 (cm²) b) Diện tích tam giác ADE là: 1,3×6,5:2=4,225 (cm²) Diện tích tam giác AKD là: 5,2×6,5:2=16,9 (cm²) Tam giác AKD gấp tam giác ADE số lần là: 16,9:4,225=4 (lần)
Vậy khớp với Cách 1: a) 25,35 cm²; b) gấp 4 lần.
3Cách 3. Lấy hình vuông trừ phần bù; đếm số đoạn bằng nhau
Định hướng. a) Lấy diện tích hình vuông ABCD trừ đi tam giác vuông ADK (phần không thuộc hình thang ABCK) để ra diện tích hình thang. b) Đếm trực tiếp số đoạn bằng nhau trên DC để so sánh hai đáy mà không cần tính diện tích cụ thể.
a) Diện tích hình vuông ABCD là: 6,5×6,5=42,25 (cm²) Phần bù ngoài hình thang ABCK là tam giác vuông ADK, đáy DK =5,2 cm, cao AD =6,5 cm: diện tích 5,2×6,5:2=16,9 (cm²) Diện tích hình thang ABCK là: 42,25−16,9=25,35 (cm²) b) Đoạn DK gồm đúng 4 đoạn nhỏ (DE, EG, GH, HK), đoạn DE chỉ có 1 đoạn nhỏ; hai tam giác AKD và ADE chung chiều cao AD nên diện tích tỉ lệ đúng với số đoạn nhỏ: 4:1=4 (lần)
Vậy a) diện tích hình thang ABCK là 25,35 cm²; b) tam giác AKD gấp 4 lần tam giác ADE, khớp cả ba cách.
Nhận xét. Câu b cho thấy một mẹo hay: khi hai tam giác chung đỉnh và hai đáy cùng nằm trên một đường thẳng, chỉ cần đếm tỉ số độ dài hai đáy là biết ngay tỉ số diện tích, không cần tính số đo diện tích cụ thể.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: câu a áp công thức hình thang trực tiếp, câu b dùng tỉ số hai đáy trên cùng chiều cao — không cần tính diện tích cụ thể của từng tam giác nên nhanh nhất.
Đáp số.a) 25,35 cm²; b) gấp 4 lần.
Sai lầm thường gặp.Ở câu b, nhiều bạn tính riêng diện tích hai tam giác nhưng lại lấy nhầm đáy DK chỉ bằng 3 đoạn (thiếu một đoạn) do đếm ẩu từ D đến K, dẫn đến ra tỉ số 3 lần thay vì đúng 4 lần.
🚀 Mở rộng.Nếu lấy thêm điểm K' cách C một đoạn bằng 2 lần KC (tức DK' gồm 3 đoạn nhỏ) thì diện tích tam giác AK'D gấp mấy lần diện tích tam giác ADE?
Bài 10 · Luyện tập 3 · Bài 2★★Trang 119— So sánh diện tích ba hình khác dạng: tam giác, hình thang, hình tròn
Luyện tập 3 · Bài 2 (trang 119). Bạn Việt dùng đất sét để nặn hình tam giác, hình thang và hình tròn với kích thước như hình dưới đây. Hỏi hình nào có diện tích bé nhất, hình nào có diện tích lớn nhất?
Kiến thức cần nhớ
Diện tích tam giác vuông = tích hai cạnh góc vuông chia 2.
Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2.
Diện tích hình tròn = bán kính × bán kính × 3,14.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho ba hình có dạng khác nhau (tam giác vuông, hình thang, hình tròn) với số đo khác nhau, nên không thể so sánh bằng cách nhìn hình mà phải tính diện tích từng hình theo đúng công thức rồi mới so sánh. Bẫy của đề là hình tròn trông nhỏ gọn nhưng vì có bán kính 5 cm khá lớn so với hai hình kia nên diện tích lại lớn nhất; ngược lại hình thang trông to bản nhưng lại có diện tích bé nhất.
1Cách 1. Tính đủ ba diện tích theo đúng công thức rồi so sánh
Định hướng. Tính diện tích từng hình theo đúng công thức của nó (tam giác vuông, hình thang, hình tròn), rồi so sánh ba kết quả để tìm hình bé nhất và hình lớn nhất.
Diện tích hình tam giác vuông là: 7×7:2=24,5 (cm²) Diện tích hình thang là: (3+6)×4:2=18 (cm²) Diện tích hình tròn là: 5×5×3,14=78,5 (cm²) So sánh ba diện tích: 18<24,5<78,5
Vậy hình thang có diện tích bé nhất (18 cm²), hình tròn có diện tích lớn nhất (78,5 cm²).
2Cách 2. Ước lượng trước rồi tính lại để kiểm chứng
Định hướng. Ước lượng trước: hình tròn bán kính 5 cm có đường kính 10 cm lớn hơn hẳn các cạnh của hai hình kia nên nhiều khả năng có diện tích lớn nhất; hình thang có cả hai đáy và chiều cao đều nhỏ nên nhiều khả năng bé nhất. Tính lại để kiểm chứng.
Đường kính hình tròn là: 5×2=10 (cm), lớn hơn hẳn cạnh 7 cm của tam giác và các cạnh của hình thang Diện tích hình tròn là: 5×5×3,14=78,5 (cm²) — đúng như dự đoán, lớn nhất Diện tích hình tam giác vuông là: 7×7:2=24,5 (cm²) Diện tích hình thang là: (3+6)×4:2=18 (cm²) — đúng như dự đoán, bé nhất
Vậy khẳng định lại: hình thang bé nhất, hình tròn lớn nhất.
3Cách 3. So sánh mỗi hình với một hình bao quanh
Định hướng. So sánh mỗi hình với một hình vuông hoặc hình chữ nhật bao quanh có cạnh bằng số đo lớn nhất của hình đó, để thấy rõ mức chênh lệch trước khi tính chính xác.
Tam giác vuông nằm trong hình vuông cạnh 7 cm (diện tích 49 cm²), diện tích tam giác đúng bằng nửa: 49:2=24,5 (cm²) Hình thang nằm trong hình chữ nhật 6 cm ×4 cm (diện tích 24 cm²), diện tích hình thang nhỏ hơn: (3+6)×4:2=18 (cm²) Hình tròn nằm trong hình vuông cạnh 10 cm (diện tích 100 cm²), diện tích hình tròn là: 5×5×3,14=78,5 (cm²), chiếm phần lớn hình vuông bao quanh
Vậy hình thang có diện tích bé nhất (18 cm²), hình tròn có diện tích lớn nhất (78,5 cm²).
Nhận xét. Nhìn qua hình bao quanh giúp thấy ngay hình tròn ‘đặc’ hơn nhiều so với tam giác hay hình thang, dù cả ba đều được nặn từ cùng loại đất sét.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: tính thẳng cả ba diện tích theo đúng công thức rồi so sánh, không mất thời gian ước lượng hay dựng thêm hình bao.
Đáp số.Hình thang có diện tích bé nhất (18 cm²); hình tròn có diện tích lớn nhất (78,5 cm²).
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn nhìn hình thang có vẻ ‘to’ hơn tam giác nên đoán hình thang lớn nhất, trong khi hình thang có cả hai đáy và chiều cao đều là số nhỏ (3 cm, 6 cm, 4 cm) nên diện tích thực tế lại bé nhất trong ba hình.
🚀 Mở rộng.Nếu bán kính hình tròn giảm xuống còn 3 cm (giữ nguyên hai hình kia) thì thứ tự bé nhất — lớn nhất giữa ba hình có thay đổi không?
Bài 11 · Luyện tập 3 · Bài 3★★★★Trang 119— Tính diện tích hình thang bị khoét nửa hình tròn rồi cộng với diện tích tam giác
Luyện tập 3 · Bài 3 (trang 119). Tìm số thập phân thích hợp. Một rô-bốt cắt được ba mảnh vải màu xanh, đỏ và vàng như hình dưới đây. Hai mảnh vải xanh và đỏ đều có dạng hình thang (đáy bé 4 dm, đáy lớn 6 dm, chiều cao 3,5 dm) và bị khoét một nửa hình tròn đường kính 3 dm ở giữa cạnh đáy dưới; mảnh vải vàng là một hình tam giác (đáy 1 dm, chiều cao 1 dm). Tổng diện tích ba mảnh vải đó là ? cm².
Kiến thức cần nhớ
Diện tích hình thang = (đáy lớn + đáy bé) × chiều cao : 2.
Diện tích nửa hình tròn = bán kính × bán kính × 3,14 : 2.
Diện tích tam giác = đáy × chiều cao : 2.
1 dm² = 100 cm² (vì 1 dm = 10 cm nên 1 dm² = 10 cm × 10 cm = 100 cm²).
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hai mảnh vải xanh, đỏ giống hệt nhau (hình thang bị khoét một nửa hình tròn ở giữa đáy dưới) và một mảnh vải vàng hình tam giác nhỏ, yêu cầu tính tổng diện tích ba mảnh — dấu hiệu để chọn hướng làm là lấy diện tích hình thang trừ đi diện tích nửa hình tròn bị khoét cho mỗi mảnh xanh, đỏ. Bẫy lớn nhất của đề là đơn vị: các số đo cho theo đề-xi-mét nhưng đáp số lại hỏi theo xăng-ti-mét vuông, nên phải đổi đơn vị diện tích ở bước cuối cùng, không được quên.
1Cách 1. Tính theo dm² trước, đổi ra cm² ở bước cuối
Định hướng. Tính diện tích một mảnh vải hình thang (đã trừ phần khoét), nhân đôi vì có hai mảnh giống nhau, cộng thêm mảnh vải vàng hình tam giác, rồi đổi tổng diện tích từ dm² sang cm² ở bước cuối.
Diện tích một hình thang (chưa khoét) là: (4+6)×3,5:2=17,5 (dm²) Bán kính nửa hình tròn khoét là: 3:2=1,5 (dm) Diện tích nửa hình tròn khoét là: 1,5×1,5×3,14:2=3,5325 (dm²) Diện tích một mảnh vải xanh (hoặc đỏ) là: 17,5−3,5325=13,9675 (dm²) Diện tích hai mảnh vải xanh và đỏ là: 13,9675×2=27,935 (dm²) Diện tích mảnh vải vàng là: 1×1:2=0,5 (dm²) Tổng diện tích ba mảnh vải là: 27,935+0,5=28,435 (dm²) =28,435×100=2843,5 (cm²)
Vậy tổng diện tích ba mảnh vải là 2843,5 cm².
2Cách 2. Đổi hết ra cm trước, tính thẳng bằng cm²
Định hướng. Đổi tất cả số đo từ đề-xi-mét sang xăng-ti-mét ngay từ đầu, rồi tính diện tích trực tiếp bằng xăng-ti-mét vuông, khỏi phải đổi đơn vị ở bước cuối.
Đổi số đo: đáy bé 4 dm =40 cm; đáy lớn 6 dm =60 cm; chiều cao 3,5 dm =35 cm; đường kính khoét 3 dm =30 cm; cạnh tam giác vàng 1 dm =10 cm Diện tích một hình thang (chưa khoét) là: (40+60)×35:2=1750 (cm²) Bán kính nửa hình tròn khoét là: 30:2=15 (cm) Diện tích nửa hình tròn khoét là: 15×15×3,14:2=353,25 (cm²) Diện tích một mảnh vải xanh (hoặc đỏ) là: 1750−353,25=1396,75 (cm²) Diện tích hai mảnh vải xanh và đỏ là: 1396,75×2=2793,5 (cm²) Diện tích mảnh vải vàng là: 10×10:2=50 (cm²) Tổng diện tích ba mảnh vải là: 2793,5+50=2843,5 (cm²)
Vậy vẫn ra 2843,5 cm², khớp với Cách 1.
3Cách 3. Gộp thành một biểu thức duy nhất rồi mới đổi đơn vị
Định hướng. Viết gộp diện tích hai mảnh vải xanh, đỏ và mảnh vải vàng thành một biểu thức duy nhất theo dm², dùng tính chất một số nhân với một hiệu để tính gọn, rồi đổi sang cm² ở bước cuối.
Tổng diện tích tính theo dm² là: 2×[(4+6)×3,5:2−1,5×1,5×3,14:2]+1×1:2 =2×[17,5−3,5325]+0,5 =2×13,9675+0,5 =27,935+0,5 =28,435 (dm²) Đổi ra xăng-ti-mét vuông: 28,435×100=2843,5 (cm²)
Vậy tổng diện tích ba mảnh vải vẫn là 2843,5 cm².
Nhận xét. Dù đổi đơn vị trước hay sau, chỉ cần nhớ đổi đúng hệ số 100 lần (vì là đơn vị diện tích, không phải độ dài) thì kết quả luôn khớp nhau.
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 2: đổi hết ra xăng-ti-mét ngay từ đầu để khỏi phải nhớ nhân 100 ở bước cuối — đúng ngay đơn vị đề bài hỏi, ít khả năng quên đổi đơn vị nhất.
Đáp số.Tổng diện tích ba mảnh vải là 2843,5 cm².
Sai lầm thường gặp.Nhiều bạn tính đúng các bước nhưng quên đổi từ dm² sang cm² ở bước cuối (hoặc đổi nhầm nhân 10 thay vì nhân 100), dẫn đến chọn đáp số 28,435 thay vì 2843,5 — cần nhớ 1 dm² =100 cm², không phải 10 cm².
🚀 Mở rộng.Nếu đường kính nửa hình tròn khoét tăng lên 4 dm (giữ nguyên các số đo khác) thì tổng diện tích ba mảnh vải sẽ giảm đi bao nhiêu xăng-ti-mét vuông so với 2843,5 cm²?
Bài 12 · Luyện tập 3 · Bài 4★★Trang 119— Nhận biết quan hệ tỉ lệ giữa đường kính và chu vi khi phóng to hình tròn
Luyện tập 3 · Bài 4 (trang 119). Đúng, Sai? a) Đường kính của hình tròn màu đỏ gấp hai lần đường kính của hình tròn màu xanh. b) Chu vi của hình tròn màu đỏ cũng gấp hai lần chu vi của hình tròn màu xanh.
Kiến thức cần nhớ
Chu vi hình tròn = đường kính × 3,14.
Khi đường kính gấp lên bao nhiêu lần thì chu vi cũng gấp lên đúng bấy nhiêu lần (quan hệ tỉ lệ thuận bậc nhất).
Diện tích hình tròn tỉ lệ với bình phương bán kính (hoặc đường kính), khác với chu vi chỉ tỉ lệ bậc nhất.
🧠 Phân tích tư duy
Đề cho hình tròn xanh có đường kính là a, hình tròn đỏ có đường kính là a×2 ngay trên hình vẽ, nên câu a hiển nhiên đúng theo đúng số liệu đã cho. Điểm cần suy luận nằm ở câu b: phải kiểm tra xem khi đường kính gấp đôi thì chu vi có nhất thiết cũng gấp đôi hay không, bằng cách viết công thức chu vi theo đường kính. Bẫy của đề là nhiều bạn nghĩ ‘gấp đôi kích thước’ thì mọi đại lượng đều gấp bốn lần (như diện tích), trong khi chu vi chỉ gấp đúng hai lần.
1Cách 1. Viết công thức chu vi theo đường kính rồi so sánh
Định hướng. Câu a đọc thẳng từ số liệu đã ghi trên hình (đường kính đỏ =a×2, đường kính xanh =a). Câu b thay đường kính vào công thức chu vi để so sánh.
a) Đường kính hình tròn đỏ là a×2, đường kính hình tròn xanh là a, nên đường kính đỏ gấp đôi đường kính xanh — đúng b) Chu vi hình tròn xanh là: a×3,14 Chu vi hình tròn đỏ là: (a×2)×3,14=a×3,14×2 So sánh: chu vi đỏ gấp đúng 2 lần chu vi xanh — đúng
Vậy cả hai phát biểu a) và b) đều đúng (Đ).
2Cách 2. Thử với số đo cụ thể
Định hướng. Gán cho a một số đo cụ thể, tính chu vi hai hình tròn rồi so sánh trực tiếp bằng số.
Giả sử a=5 (cm): đường kính hình tròn xanh là 5 cm, đường kính hình tròn đỏ là 5×2=10 (cm) — đúng như câu a Chu vi hình tròn xanh là: 5×3,14=15,7 (cm) Chu vi hình tròn đỏ là: 10×3,14=31,4 (cm) So sánh: 31,4:15,7=2 (lần) — đúng như câu b
Vậy với số đo cụ thể, cả hai phát biểu vẫn đúng, khớp Cách 1.
3Cách 3. Đối chiếu thêm với diện tích để tránh nhầm lẫn
Định hướng. Đối chiếu thêm với diện tích để thấy rõ vì sao chu vi chỉ gấp 2 lần chứ không gấp 4 lần như diện tích, tránh nhầm lẫn hai đại lượng.
Diện tích hình tròn xanh (bán kính a:2) là: (a:2)×(a:2)×3,14 Diện tích hình tròn đỏ (bán kính a) là: a×a×3,14, gấp 4 lần diện tích hình tròn xanh (vì bán kính gấp đôi thì diện tích gấp 2×2=4 lần) Trong khi đó chu vi chỉ liên quan đến đường kính bậc nhất, nên chu vi hình tròn đỏ chỉ gấp đúng 2 lần chu vi hình tròn xanh, không gấp 4 lần như diện tích
Vậy a) đúng, b) đúng — nhưng cần phân biệt rõ: chu vi gấp 2 lần, còn diện tích gấp tới 4 lần.
Nhận xét. Đây là điểm dễ nhầm nhất của bài: ‘gấp đôi kích thước’ làm chu vi gấp đôi nhưng lại làm diện tích gấp bốn, vì diện tích tính theo tích của hai lần đường kính (hoặc bán kính).
⭐ Cách nên dùng khi đi thi.Đi thi nên dùng Cách 1: viết thẳng công thức chu vi theo đường kính rồi so sánh hệ số, không cần gán số cụ thể như Cách 2.
Đáp số.a) Đúng (Đ); b) Đúng (Đ).
Sai lầm thường gặp.Một số bạn cho rằng câu b) sai vì nghĩ đường kính gấp đôi thì hình tròn ‘to gấp bốn lần’ nên chu vi cũng phải gấp bốn — đó là đang nhầm quy luật của diện tích sang cho chu vi, trong khi chu vi chỉ tỉ lệ thuận bậc nhất với đường kính.
🚀 Mở rộng.Nếu đường kính hình tròn đỏ gấp ba lần đường kính hình tròn xanh thì chu vi và diện tích của hình tròn đỏ sẽ gấp mấy lần hình tròn xanh?
