Chương VIII. Những hình hình học cơ bản

Luyện tập chung (trang 65-66)

SGK Toán 6 — Kết nối tri thức, tập 2 · 4 bài tập, mỗi câu ít nhất 2 cách giải.

#Toán6 #ChươngVIII #SGK_Tập2 #trang66 #BàiTiếpTheo

Bài 1 · 8.35★★Trang 66— Nhận biết góc nhọn, vuông, tù, bẹt trên hình vẽ bằng ê-ke

8.35 (trang 66). Hãy dùng ê-ke để kiểm tra và cho biết góc nào là góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt có trong hình sau.

Kiến thức cần nhớ

Tứ giác có tổng bốn góc trong bằng 360°.
Hai đường thẳng cắt nhau tạo hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau và hai góc kề bù có tổng bằng 180°.
Góc bẹt là góc có số đo bằng 180°, hai cạnh của góc là hai tia đối nhau.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho một tứ giác ABCD ghép thêm hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E — dấu hiệu có hai nhóm góc cần xét: bốn góc tại các đỉnh tứ giác và bốn góc quanh giao điểm E. Dùng ê-ke để so trực tiếp với góc vuông là cách an toàn nhất khi đề không cho số đo cụ thể. Bẫy ở đây là góc bẹt tại E: học sinh dễ chỉ chú ý góc nhọn, góc tù mà quên hẳn hai góc AEC, BED bằng 180° vì ba điểm A, E, C (và B, E, D) thẳng hàng.

1Cách 1. Đặt ê-ke trực tiếp vào từng góc để so sánh

Định hướng. Đặt ê-ke lần lượt vào từng góc của tứ giác ABCD và tại giao điểm E của hai đường chéo, so sánh với góc vuông chuẩn của ê-ke để xếp loại.

Đặt ê-ke vào góc đỉnh A (giữa AD và AB): hai cạnh ê-ke áp khít AB, AD
Góc DAB = 90°, là góc vuông
Đặt ê-ke vào góc đỉnh B (giữa BA và BC): hai cạnh ê-ke áp khít BA, BC
Góc ABC = 90°, là góc vuông
Đặt ê-ke vào góc đỉnh C (giữa CB và CD): cạnh ê-ke lọt hẳn vào trong góc
Góc BCD lớn hơn 90°, là góc tù
Đặt ê-ke vào góc đỉnh D (giữa DA và DC): góc hẹp hơn góc vuông của ê-ke
Góc ADC nhỏ hơn 90°, là góc nhọn
Tại E, đặt ê-ke vào góc AEB: hẹp hơn góc vuông, là góc nhọn; góc CED đối đỉnh với góc AEB nên cũng là góc nhọn
Đặt ê-ke vào góc BEC: rộng hơn góc vuông, là góc tù; góc AED đối đỉnh với góc BEC nên cũng là góc tù
E nằm giữa A và C nên góc AEC = 180°; E nằm giữa B và D nên góc BED = 180°, đó là hai góc bẹt

Hình minh hoạ đầy đủ:

Tứ giác ABCD với hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm E ở giữa

Vậy góc vuông là góc DAB, góc ABC; góc nhọn là góc ADC, góc AEB, góc CED; góc tù là góc BCD, góc BEC, góc AED; góc bẹt là góc AEC, góc BED.

2Cách 2. Suy luận từ tổng bốn góc của tứ giác, không cần đo hết

Định hướng. Từ hình vẽ, AB vuông góc với AD và với BC nên chỉ cần dùng tổng bốn góc trong tứ giác ABCD bằng 360° để suy luận hai góc còn lại, không cần đặt ê-ke riêng cho góc C và góc D.

Góc DAB = 90° (AB vuông góc AD theo hình vẽ)
Góc ABC = 90° (AB vuông góc BC theo hình vẽ)
Tổng bốn góc trong tứ giác ABCD = 360°
Góc BCD + góc ADC = 360° − 90° − 90°
Góc BCD + góc ADC = 180°
Quan sát hình: cạnh AD dài hơn cạnh BC nhiều nên góc ở D hẹp còn góc ở C phải bù lại và rộng hơn 90°
Suy ra góc ADC nhỏ hơn 90° (nhọn) còn góc BCD lớn hơn 90° (tù)
Vì E nằm trên đoạn AC nên góc AEC = 180° (góc bẹt); vì E nằm trên đoạn BD nên góc BED = 180° (góc bẹt)
Bốn góc AEB, BEC, CED, DEA quanh E có hai cặp đối đỉnh bằng nhau; đo bằng ê-ke thấy góc AEB hẹp (nhọn) nên góc CED cũng nhọn, còn góc BEC, góc AED tù

Vậy góc vuông là DAB, ABC; góc nhọn là ADC, AEB, CED; góc tù là BCD, BEC, AED; góc bẹt là AEC, BED — khớp Cách 1.

3Cách 3. Dùng tính chất hai đường thẳng cắt nhau tại E (đối đỉnh, kề bù)

Định hướng. Tại giao điểm E của hai đường chéo AC và BD, dùng tính chất hai đường thẳng cắt nhau tạo hai cặp góc đối đỉnh bằng nhau và các góc kề bù có tổng 180° để suy ra ngay các loại góc tại E chỉ từ một lần đo; bốn góc quanh tứ giác vẫn kiểm tra bằng ê-ke như Cách 1.

Vì E nằm trên đoạn AC nên A, E, C thẳng hàng, góc AEC = 180° — góc bẹt
Vì E nằm trên đoạn BD nên B, E, D thẳng hàng, góc BED = 180° — góc bẹt
Góc AEB và góc CED là hai góc đối đỉnh nên góc AEB = góc CED
Góc AEB và góc BEC là hai góc kề bù (cùng nằm trên đường thẳng AC) nên góc AEB + góc BEC = 180°
Đặt ê-ke vào góc AEB thấy hẹp hơn góc vuông nên góc AEB nhọn, suy ra góc CED cũng nhọn
Từ góc AEB + góc BEC = 180° và góc AEB nhỏ hơn 90° suy ra góc BEC lớn hơn 90°, là góc tù, và góc AED (đối đỉnh với BEC) cũng tù
Đặt ê-ke vào bốn góc của tứ giác ABCD như Cách 1: góc A, góc B vuông; góc C tù; góc D nhọn

Vậy kết quả khớp hoàn toàn hai cách trên.

Nhận xét. Chỉ cần đo một góc tại giao điểm hai đường thẳng cắt nhau là suy ra được cả bốn góc quanh điểm đó nhờ tính chất đối đỉnh và kề bù, đỡ phải đặt ê-ke bốn lần.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 3 cho các góc tại E: chỉ cần đo một góc rồi suy luận đối đỉnh, kề bù ra ba góc còn lại, nhanh và khó sai hơn đặt ê-ke bốn lần.

Đáp số. Góc vuông: góc DAB, góc ABC. Góc nhọn: góc ADC, góc AEB, góc CED. Góc tù: góc BCD, góc BEC, góc AED. Góc bẹt: góc AEC, góc BED.

Sai lầm thường gặp. Nhầm góc BCD là góc nhọn vì áp ê-ke sai cạnh (đo phần góc trong tam giác nhỏ BEC thay vì đúng góc BCD của tứ giác); hoặc quên hẳn hai góc AEC, BED là góc bẹt vì chỉ chú ý xếp loại nhọn/tù mà bỏ sót việc ba điểm A, E, C (và B, E, D) thẳng hàng.

🚀 Mở rộng. Với bất kỳ tứ giác nào có hai góc kề một cạnh bằng 90° (như góc A, góc B ở đây), tổng hai góc còn lại luôn bằng 180°, nên chúng luôn là một góc nhọn và một góc tù, trừ khi cả hai cùng bằng 90° (khi đó tứ giác là hình chữ nhật).

Mở bài này trong app ↗

Bài 2 · 8.36★★★Trang 66— Tính góc trong tam giác đều có điểm phụ trên đường trung tuyến; xác định điểm nằm trong góc

8.36 (trang 66). Trong hình vẽ sau, cho tam giác đều ABC và góc DBC bằng 20°.
a) Kể tên các góc trong hình vẽ trên. Những góc nào có số đo bằng 60°?
b) Điểm D có nằm trong góc ABC không? Điểm C có nằm trong góc ADB không?
c) Em hãy dự đoán số đo góc ABD và sử dụng thước đo góc để kiểm tra lại dự đoán của mình.

Kiến thức cần nhớ

Tam giác đều có ba góc bằng nhau và đều bằng 60°.
Trong tam giác đều, đường trung tuyến, đường cao và đường phân giác kẻ từ một đỉnh là cùng một đường thẳng.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy thì góc xOz + góc zOy = góc xOy (tính chất cộng số đo góc).
Tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho tam giác đều — dấu hiệu để suy ra ngay ba góc đều bằng 60° mà không cần đo. Hình vẽ cho thấy D nằm trên đường thẳng nối đỉnh A với trung điểm cạnh BC, đây chính là đường trung tuyến — trong tam giác đều nó đồng thời là đường phân giác của góc A, nên góc BAD = góc DAC = 30° ngay lập tức. Bẫy của đề là câu b: dễ nhầm C nằm trong góc ADB vì cả ba điểm cùng nằm trong tam giác, nhưng phải xét đúng hai tia DA, DB tạo nên góc đó.

1Cách 1. Suy luận từ tính chất tam giác đều và đường trung tuyến

Định hướng. Tam giác ABC đều nên cả ba góc đều bằng 60°; đoạn AD nằm trên đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A, đường này đồng thời là đường cao và đường phân giác của góc A trong tam giác đều, nên AD chia đôi góc BAC.

Tam giác ABC đều nên góc BAC = góc ABC = góc ACB = 60°
AD nằm trên đường phân giác của góc A (đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác trùng nhau trong tam giác đều)
Góc BAD = góc DAC = 60° : 2
Góc BAD = góc DAC = 30°
Điểm D nằm trong tam giác nên tia BD nằm giữa hai tia BA và BC
Góc ABD = góc ABC − góc DBC
Góc ABD = 60° − 20°
Góc ABD = 40°
Trong tam giác ABD, tổng ba góc bằng 180°
Góc ADB = 180° − góc BAD − góc ABD
Góc ADB = 180° − 30° − 40°
Góc ADB = 110°

Vậy các góc có trong hình là góc BAC, góc BAD, góc DAC, góc ABC, góc ABD, góc DBC, góc ACB, góc ADB; trong đó ba góc bằng 60° là góc BAC, góc ABC, góc ACB.

2Cách 2. Đặt hệ trục toạ độ, tính bằng lượng giác

Định hướng. Đặt tam giác đều ABC vào hệ trục toạ độ với B, C trên một đường nằm ngang, tính toạ độ D từ điều kiện góc DBC = 20°, rồi tính các góc còn lại bằng công thức lượng giác.

Chọn B(0; 0), C(300; 0); tam giác đều cạnh 300 có chiều cao 300 . căn 3 : 2 nên A(150; 259,8)
D nằm trên đường thẳng đứng x = 150 (đường trung tuyến từ A) nên D(150; d)
Góc DBC = 20° cho tan 20° = d : 150
d = 150 . tan 20°
d = 54,6
Vậy D(150; 54,6)
Tính góc ABC bằng tan(góc ABC) = 259,8 : 150 = 1,732 nên góc ABC = 60°
Góc ABD = góc ABC − góc DBC = 60° − 20° = 40°

Vậy toạ độ xác nhận D nằm trên đường trung tuyến từ A, và góc ABD = 40°, khớp Cách 1.

3Cách 3. Đo trực tiếp bằng thước đo góc trên hình vẽ

Định hướng. Vẽ lại hình đúng tỉ lệ (tam giác đều, D trên đường trung tuyến từ A sao cho góc DBC = 20°), rồi đặt thước đo góc vào đỉnh B để đo trực tiếp góc ABD, không cần tính toán.

Dựng tam giác đều ABC bằng compa và thước
Dựng D trên đường trung tuyến từ A sao cho góc DBC = 20° (dùng thước đo góc dựng tia BD)
Đặt tâm thước đo góc trùng đỉnh B, cạnh 0° trùng tia BD
Đọc số đo tại tia BA trên thước
Kết quả đo được góc ABD khoảng 40°

Vậy số đo đo được là 40°, đúng như dự đoán và tính toán ở Cách 1, Cách 2.

Nhận xét. Ba cách cho cùng kết quả 40° vì D được xác định duy nhất bởi điều kiện nằm trên đường trung tuyến từ A và góc DBC = 20°; đo đạc chỉ nên dùng để kiểm tra lại kết quả suy luận, không thay được lập luận chặt chẽ.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 1: chỉ dùng tính chất tam giác đều và tổng ba góc trong tam giác, không cần vẽ hình chính xác hay tính toạ độ, nhanh và chắc chắn nhất.

Đáp số. a) Các góc: BAC, BAD, DAC, ABC, ABD, DBC, ACB, ADB; ba góc bằng 60° là BAC, ABC, ACB. b) D nằm trong góc ABC; C không nằm trong góc ADB. c) Góc ABD = 40°.

Sai lầm thường gặp. Nhầm góc ABD = góc ABC + góc DBC = 80° do không để ý tia BD nằm giữa hai tia BA, BC (phải trừ chứ không cộng); hoặc cho rằng C nằm trong góc ADB vì C và D cùng thuộc tam giác, trong khi C không nằm giữa hai tia DA và DB.

🚀 Mở rộng. Nếu thay góc DBC = 20° bằng một góc x° bất kỳ (0° < x < 60°) mà D vẫn nằm trên đường trung tuyến từ A, thì góc ABD = (60 − x)° và góc ADB = (90 + x)°, vì góc BAD luôn giữ nguyên 30° không phụ thuộc x.

Mở bài này trong app ↗

Bài 3 · 8.37★★Trang 66— Cộng, trừ số đo góc trong hình vuông có các tia phụ; xác định điểm nằm trong góc

8.37 (trang 66). Cho hình vuông MNPQ và số đo các góc ghi tương ứng như trên hình sau.
a) Kể tên các điểm nằm trong góc AMC;
b) Cho biết số đo của góc AMC bằng cách đo;
c) Sắp xếp các góc NMA, AMC và CMQ theo thứ tự số đo tăng dần.

Kiến thức cần nhớ

Góc của hình vuông tại mỗi đỉnh bằng 90°.
Nếu tia Oz nằm giữa hai tia Ox, Oy thì góc xOz + góc zOy = góc xOy.
Điểm nằm trong một góc thì nằm giữa hai tia chứa hai cạnh của góc đó khi nhìn từ đỉnh góc.

🧠 Phân tích tư duy

Đề cho sẵn hai góc 15° và 30° kề với hai cạnh của hình vuông tại đỉnh M — dấu hiệu để dùng tính chất cộng số đo góc thay vì đo trực tiếp. Vì bốn tia MN, MA, MC, MQ cùng nằm trong góc vuông NMQ theo đúng thứ tự, góc AMC chính là phần còn lại sau khi trừ hai góc đã cho khỏi 90°. Bẫy của đề là câu a: phải xác định đúng điểm P (đỉnh hình vuông) có nằm trong góc AMC hay không bằng cách so sánh vị trí các tia, không phải đoán bằng mắt.

1Cách 1. Đo trực tiếp bằng thước đo góc

Định hướng. Dùng thước đo góc đặt tâm tại M, đọc trực tiếp số đo góc AMC trên hình đã vẽ đúng tỉ lệ hai góc 15°, 30° cho trước.

Đặt tâm thước đo góc trùng đỉnh M, vạch 0° trùng tia MA
Đọc số đo tại tia MC trên thước
Kết quả đọc được là 45°

Vậy góc AMC = 45°.

2Cách 2. Tính bằng phép cộng, trừ số đo góc (tia nằm giữa hai tia)

Định hướng. Bốn tia MN, MA, MC, MQ đều xuất phát từ M và nằm trong góc vuông NMQ = 90° theo đúng thứ tự N, A, C, Q; dùng tính chất cộng số đo góc để suy ra góc AMC mà không cần đo.

Góc NMQ = 90° (góc của hình vuông tại đỉnh M)
Tia MA nằm giữa MN, MC nên góc NMC = góc NMA + góc AMC
Tia MC nằm giữa MN, MQ nên góc NMQ = góc NMC + góc CMQ
Suy ra góc NMA + góc AMC + góc CMQ = 90°
15° + góc AMC + 30° = 90°
góc AMC = 90° − 15° − 30°
góc AMC = 45°

Vậy góc AMC = 45°, khớp với kết quả đo ở Cách 1.

3Cách 3. Đặt hệ trục toạ độ, tính bằng lượng giác

Định hướng. Đặt M làm gốc toạ độ, MQ theo trục ngang, MN theo trục đứng, xác định toạ độ A, C từ các góc 15°, 30° đã cho rồi tính góc AMC bằng hiệu hai góc so với trục ngang.

Chọn cạnh hình vuông bằng 260, đặt M(0; 0), Q(260; 0), N(0; 260)
Tia MA lệch 15° so với MN nên MA hợp với MQ một góc 90° − 15° = 75°
A có toạ độ xấp xỉ (69,7; 260)
Tia MC lệch 30° so với MQ nên C có toạ độ xấp xỉ (260; 150,1)
Góc của MA so với MQ là 75°, góc của MC so với MQ là 30°
Góc AMC = 75° − 30°
Góc AMC = 45°

Vậy góc AMC = 45°, cả ba cách cho cùng một kết quả.

Nhận xét. Cách 2 (cộng số đo góc) nhanh nhất vì đề đã cho sẵn hai góc kề còn lại trong góc vuông NMQ, không cần dựng hình hay đo đạc.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi dùng Cách 2: chỉ một phép trừ 90° − 15° − 30°, không cần vẽ hình chính xác hay đo đạc, nhanh và chính xác tuyệt đối.

Đáp số. a) Điểm P nằm trong góc AMC. b) Góc AMC = 45°. c) Góc NMA (15°) < góc CMQ (30°) < góc AMC (45°).

Sai lầm thường gặp. Quên mất góc NMQ = 90° (góc vuông của hình vuông) nên cộng nhầm ba góc NMA, AMC, CMQ bằng 180° thay vì 90°, dẫn tới tính sai góc AMC = 135°.

🚀 Mở rộng. Nếu đổi góc NMA thành a° và góc CMQ thành b° (với a + b < 90°) thì góc AMC = 90° − a° − b° theo đúng cách tính ở Cách 2, không phụ thuộc kích thước hình vuông.

Mở bài này trong app ↗

Bài 4 · 8.38★Trang 66— Đo góc trên hình ảnh thực tế và so sánh với một ngưỡng cho trước

8.38 (trang 66). Trong hình bên, góc xOy là góc nghiêng khi đặt thang. Biết rằng góc nghiêng khi đặt thang đảm bảo an toàn là khoảng 75°, em hãy đo góc xOy để kiểm tra xem chiếc thang ở hình bên đã đảm bảo an toàn hay chưa.

Kiến thức cần nhớ

Muốn đo một góc cho trước, đặt tâm thước đo góc trùng đỉnh góc và một cạnh trùng vạch 0° của thước, rồi đọc số đo ở cạnh còn lại.
Trong tam giác vuông tạo bởi thang, tường và mặt đất, tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của một góc nhọn chính là tang của góc đó.

🧠 Phân tích tư duy

Đây là bài toán đo đạc trên tình huống thực tế (thang dựng vào tường), không có sẵn số liệu — dấu hiệu để dùng thước đo góc hoặc ước lượng tỉ lệ hình học thay vì tính toán đại số. Vì ngưỡng an toàn 75° đã cho trước, chỉ cần đo xong rồi so sánh trực tiếp, không cần chứng minh gì thêm. Bẫy dễ gặp là đặt tâm thước không đúng vào chân thang O, hoặc lẫn cả nét chữ nhãn y vào đoạn thang khi đo trên ảnh, làm số đo bị lệch khỏi 75°.

1Cách 1. Đo trực tiếp bằng thước đo góc trên hình

Định hướng. Đặt thước đo góc lên hình, tâm thước trùng điểm O (chân thang), vạch 0° trùng tia Ox (mặt đất), đọc số đo tại tia Oy (thân thang).

Đặt tâm thước đo góc tại O, cạnh 0° trùng tia Ox
Đọc số đo tại tia Oy trên thước
Kết quả đo được góc xOy khoảng 75°

Vậy góc xOy đo được khoảng 75°, đúng bằng ngưỡng an toàn nên chiếc thang ở hình trên đã đảm bảo an toàn.

2Cách 2. Ước lượng tỉ lệ chiều cao, chiều ngang của thang rồi tính bằng lượng giác

Định hướng. Xác định trên hình khoảng cách theo phương ngang và theo phương đứng từ chân thang O đến điểm ngọn thang, rồi dùng tỉ số giữa hai khoảng cách đó và hàm tang để tính góc nghiêng mà không cần đặt thước đo góc.

Gọi H là chiều cao (phương đứng) và Đ là chiều ngang (phương ngang) của đoạn thang đo được trên hình
Đo trên hình: H khoảng gấp 3,6 lần Đ
tan(góc xOy) = H : Đ
tan(góc xOy) xấp xỉ 3,6
góc xOy xấp xỉ 75°

Vậy góc xOy xấp xỉ 75°, đúng ngưỡng an toàn nên chiếc thang đã đảm bảo an toàn, khớp với Cách 1.

Nhận xét. Cả hai cách đều là ước lượng vì đây là một hình ảnh thực tế, không có số liệu chính xác cho trước; kết quả xấp xỉ 75°, đúng bằng ngưỡng an toàn nêu trong đề.

⭐ Cách nên dùng khi đi thi. Đi thi (hoặc thực hành ngoài đời) dùng Cách 1: đặt thước đo góc trực tiếp lên hình hoặc lên thang thật, nhanh và đúng theo đúng yêu cầu đề bài.

Đáp số. Đo được góc xOy khoảng 75°, đúng bằng ngưỡng an toàn nên chiếc thang đã đảm bảo an toàn.

Sai lầm thường gặp. Đặt tâm thước đo góc lệch khỏi điểm O (chân thang), hoặc lẫn cả nét chữ nhãn y ở đầu đoạn thang vào phép đo, khiến số đo bị lệch xuống dưới 75° và kết luận nhầm là chưa an toàn; hoặc ước lượng sai tỉ lệ H : Đ khiến tính tan(góc) ra kết quả nhỏ hơn thực tế.

🚀 Mở rộng. Nếu góc nghiêng đo được lớn hơn 75° (thang gần như dựng đứng) thì cũng không an toàn vì dễ bị đổ ngược ra sau — góc an toàn thực tế là một khoảng quanh 75°, không phải cứ nghiêng ít là nguy hiểm và dựng đứng là an toàn.

Mở bài này trong app ↗