📐 Công thức Toán 10

Mệnh đề là câu khẳng định có tính đúng hoặc sai (không vừa đúng vừa sai).

Phủ định của $P$ là $\overline{P}$: $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai và ngược lại.

Mệnh đề chứa biến: $P(x)$ — đúng/sai tuỳ giá trị của $x$.

$P\Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Mệnh đề đảo: $Q\Rightarrow P$.

$P\iff Q$ đúng khi cả $P\Rightarrow Q$ và $Q\Rightarrow P$ đều đúng.

$P$ là điều kiện đủ để có $Q$; $Q$ là điều kiện cần để có $P$.

Ví dụ: phủ định của "$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$" là "$\exists x\in \mathbb{R},x^2<0$".

$A\subset B\iff (\forall x,x\in A\Rightarrow x\in B)$;  $A=B\iff A\subset B$ và $B\subset A$.

$\varnothing \subset A$, $A\subset A$. Tập có $n$ phần tử có $2^n$ tập con.

Đếm: $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$.

Khoảng $(a;b)$, đoạn $[a;b]$, nửa khoảng $[a;b)$, $(a;b]$, $(-\infty ;a)$, $[a;+\infty )$, $\mathbb{R}=(-\infty ;+\infty )$.

Dạng $ax+by+c<0$ (hoặc $>,\le ,\ge$), với $a,b$ không đồng thời bằng $0$.

Nghiệm: cặp số $(x_0;y_0)$ thoả mãn bất phương trình.

B1. Vẽ đường thẳng $d:ax+by+c=0$.

B2. Lấy điểm $M(x_0;y_0)\notin d$ (thường là $O$), tính $a{x}_0+b{y}_0+c$.

B3. Thoả mãn → nửa mặt phẳng chứa $M$ là miền nghiệm; ngược lại lấy nửa kia.

Dấu $<,>$: bỏ bờ $d$ (nét đứt);  dấu $\le ,\ge$: lấy cả bờ.

Miền nghiệm của hệ = giao các miền nghiệm của từng bất phương trình.

Thường là một miền đa giác (có thể không bị chặn).

Tìm GTLN, GTNN của $F=ax+by$ trên miền đa giác nghiệm:

$F$ đạt GTLN, GTNN tại các đỉnh của đa giác → tính $F$ tại từng đỉnh rồi so sánh.

Đặt ẩn → lập hệ ràng buộc (nguyên liệu, thời gian, $x,y\ge 0$) → hàm mục tiêu $F$ (lợi nhuận/chi phí) → xét đỉnh.

$M(x_0;y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị, $\widehat{xOM}=\alpha$:

$\sin \alpha =y_0$;  $\cos \alpha =x_0$;  $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}(\alpha \ne 90^{\circ })$;  $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}(\alpha \ne 0^{\circ },180^{\circ })$.

$0\le \sin \alpha \le 1$;  $-1\le \cos \alpha \le 1$. Góc tù: $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$.

‖ : không xác định.

$\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$;  $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$

$\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$;  $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$;  $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$;  $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

$△ABC$: $a=BC,b=CA,c=AB$; $R$, $r$: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp; $p=\frac{a+b+c}{2}$; $S$: diện tích.

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ (tương tự cho $b^2$, $c^2$).

Hệ quả: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Góc $A$ tù $\iff a^2>b^2+c^2$.

Dùng khi biết 2 góc + 1 cạnh, hoặc cần tìm $R$.

Hê-rông: $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.

$m_a^2=\frac{b^2+c^2}{2}-\frac{a^2}{4}$ (tương tự $m_b$, $m_c$).

Ứng dụng: đo khoảng cách không tới được, chiều cao tháp, khoảng cách giữa hai tàu…

Vectơ $\overrightarrow{AB}$: đoạn thẳng có hướng; độ dài $|\overrightarrow{AB}|=AB$.

Cùng phương: giá song song hoặc trùng. Hai vectơ bằng nhau: cùng hướng và cùng độ dài.

Vectơ-không $\overrightarrow{0}$ cùng hướng với mọi vectơ.

Quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;  $\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{AB}$.

Quy tắc hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

$I$ trung điểm $AB\iff \overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$.

$G$ trọng tâm $△ABC\iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

$k\overrightarrow{a}$ cùng hướng $\overrightarrow{a}$ nếu $k>0$, ngược hướng nếu $k<0$; $|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot |\overrightarrow{a}|$.

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) $\iff \exists k:\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

$A,B,C$ thẳng hàng $\iff \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}$.

$I$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$;  $G$ trọng tâm: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$;  ${\overrightarrow{a}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2$.

Tọa độ: $\overrightarrow{a}(x_1;y_1)$, $\overrightarrow{b}(x_2;y_2)$: $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\ne \overrightarrow{BC}$ — phải nối đuôi: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$.

Góc giữa hai vectơ phải đặt chung gốc: $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC})=180^{\circ }-\widehat{ABC}$.

$a$: số gần đúng của $\bar{a}$. Sai số tuyệt đối ${\Delta }_a=|\bar{a}-a|\le d$ ($d$: độ chính xác), viết $\bar{a}=a\pm d$.

Sai số tương đối: ${\delta }_a=\frac{{\Delta }_a}{|a|}\le \frac{d}{|a|}$ — càng nhỏ càng chính xác.

Quy tròn $a$ đến hàng thấp nhất mà $d$ nhỏ hơn một đơn vị của hàng đó.

Chữ số sau hàng quy tròn $\ge 5$ thì cộng thêm $1$, $<5$ thì giữ nguyên.

Số trung bình: $\bar{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$.

Trung vị $M_e$: sắp tăng dần; $n$ lẻ → số chính giữa; $n$ chẵn → trung bình hai số giữa.

Tứ phân vị: $Q_2=M_e$; $Q_1$ là trung vị nửa dưới, $Q_3$ là trung vị nửa trên (bỏ $Q_2$ nếu $n$ lẻ).

Mốt $M_o$: giá trị có tần số lớn nhất.

Khoảng biến thiên $R=x_{\max }-x_{\min }$;  khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$.

Phương sai: $s^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$;  độ lệch chuẩn $s=\sqrt{s^2}$.

Giá trị bất thường: $x>Q_3+1,5{\Delta }_Q$ hoặc $x<Q_1-1,5{\Delta }_Q$.

Mẫu: $2;4;4;5;7;8;9;9$ ($n=8$).

Mỗi $x\in D$ cho đúng một $y=f(x)$; $D$ là tập xác định.

Đồng biến trên $K$: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ (đồ thị đi lên).

Nghịch biến trên $K$: $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ (đồ thị đi xuống).

Đồ thị là parabol, đỉnh $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$, trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}$.

$a>0$: bề lõm hướng lên, GTNN $=-\frac{\Delta }{4a}$;  $a<0$: hướng xuống, GTLN $=-\frac{\Delta }{4a}$.

Ví dụ: $y=x^2-4x+3$: đỉnh $I(2;-1)$, trục $x=2$, cắt $Ox$ tại $x=1$, $x=3$, cắt $Oy$ tại $(0;3)$; nghịch biến trên $(-\infty ;2)$, đồng biến trên $(2;+\infty )$.

① Xác định đỉnh $I$.  ② Vẽ trục đối xứng.  ③ Tìm giao với $Ox$, $Oy$ và điểm đối xứng.  ④ Nối thành parabol theo hướng bề lõm.

Có thể thay $\Delta$ bằng ${\Delta }^{\prime }=b^{\prime 2}-ac$ với $b=2b^{\prime }$.

Tìm nghiệm của tam thức → lập bảng xét dấu → chọn khoảng thoả mãn.

$a{x}^2+bx+c>0,\forall x\iff a>0$ và $\Delta <0$.

$a{x}^2+bx+c<0,\forall x\iff a<0$ và $\Delta <0$.

Nhớ xét riêng trường hợp hệ số $a$ chứa tham số bằng $0$.

Bình phương: $f(x)=g(x)$ → giải → thử lại điều kiện $f(x)\ge 0$ (hoặc $g(x)\ge 0$).

$\iff g(x)\ge 0$ và $f(x)=g^2(x)$.

$\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}\iff \overrightarrow{u}(x;y)$;  $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;y_B-y_A)$.

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{x^2+y^2}$;  $AB=\sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}$.

Trung điểm $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2}\right)$; trọng tâm $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$.

VTCP $\overrightarrow{u}(a;b)$ ⟷ VTPT $\overrightarrow{n}(-b;a)$. Hệ số góc $k$: $y=kx+m$.

${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$, ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ → giải hệ hai phương trình:

Có 1 nghiệm: cắt nhau;  vô nghiệm: song song;  vô số nghiệm: trùng nhau.

$\cos ({\Delta }_1,{\Delta }_2)=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ (góc từ $0^{\circ }$ đến $90^{\circ }$).

Tâm $I(a;b)$, bán kính $R$: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=R^2$.

Dạng khai triển: $x^2+y^2-2ax-2by+c=0$ với $a^2+b^2-c>0$; khi đó $R=\sqrt{a^2+b^2-c}$.

Tại $M(x_0;y_0)$ thuộc đường tròn: $(x_0-a)(x-x_0)+(y_0-b)(y-y_0)=0$.

$\Delta$ tiếp xúc đường tròn $\iff d(I,\Delta )=R$.

Tập điểm $M$: $M{F}_1+M{F}_2=2a$ ($F_1{F}_2=2c$, $a>c>0$).

Chính tắc: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, $a>b>0$, $c^2=a^2-b^2$; tiêu điểm $F_{1,2}(\mp c;0)$.

Tập điểm $M$: $|M{F}_1-M{F}_2|=2a$ ($0<a<c$).

Chính tắc: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$, $c^2=a^2+b^2$; tiêu điểm $F_{1,2}(\mp c;0)$.

Tập điểm $M$ cách đều tiêu điểm $F$ và đường chuẩn $\Delta$: $MF=d(M,\Delta )$.

Chính tắc: $y^2=2px(p>0)$; $F\left(\frac{p}{2};0\right)$, đường chuẩn $x=-\frac{p}{2}$.

Đường tròn: $R$ phải dương — luôn kiểm $a^2+b^2-c>0$.

Cộng: công việc làm theo phương án A hoặc B (không trùng) → $m+n$ cách.

Nhân: công việc gồm 2 công đoạn liên tiếp → $m\cdot n$ cách. Sơ đồ hình cây hỗ trợ đếm.

Quy ước $0!=1$. Tính chất: $C_n^k=C_n^{n-k}$;  $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^k=C_n^k$;  $A_n^k=k!C_n^k$.

Có sắp xếp, phân biệt vị trí (lớp trưởng, lớp phó; số có các chữ số khác nhau) → chỉnh hợp.

Chỉ chọn nhóm, không phân biệt vai trò (chọn đội, chọn bi) → tổ hợp.

Hệ số là $C_n^k$ (tam giác Pascal); số hạng tổng quát $C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$.

Không gian mẫu $\Omega$: tập mọi kết quả có thể; $n(\Omega )$ là số phần tử.

Biến cố $A\subset \Omega$; biến cố đối $\overline{A}=\Omega \setminus A$.

$\varnothing$: biến cố không thể;  $\Omega$: biến cố chắc chắn.

Các kết quả đồng khả năng: $P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$.

$0\le P(A)\le 1$;  $P(\Omega )=1$;  $P(\varnothing )=0$;  $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Đếm $n(\Omega )$ và $n(A)$ bằng quy tắc đếm, tổ hợp hoặc liệt kê/sơ đồ cây.

Gặp "ít nhất", "có ít nhất một" → dùng biến cố đối cho nhanh.

Chọn đồng thời → tổ hợp; lấy lần lượt có thứ tự → chỉnh hợp hoặc quy tắc nhân (phải nhất quán giữa $n(A)$ và $n(\Omega )$).

Kết quả $P>1$ hoặc $P<0$ là chắc chắn đã đếm sai.