📐 Công thức Toán 11

$180^{\circ }=\pi \text{rad}$;  $a^{\circ }=\frac{a\pi }{180}\text{rad}$;  $\alpha \text{rad}={\left(\frac{180\alpha }{\pi }\right)}^{\circ }$

Độ dài cung bán kính $R$, số đo $\alpha$ rad: $l=R\alpha$.

Sđ $(Ou,Ov)=\alpha +k2\pi$ (hay $a^{\circ }+k360^{\circ }$), $k\in \mathbb{Z}$.

Hệ thức Sa-lơ: $(Ou,Ov)+(Ov,Ow)=(Ou,Ow)+k2\pi$.

Điểm $M(x_M;y_M)$ biểu diễn góc $\alpha$: $\cos \alpha =x_M$, $\sin \alpha =y_M$.

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }(\cos \alpha \ne 0)$;  $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }(\sin \alpha \ne 0)$.

$-1\le \sin \alpha \le 1$;  $-1\le \cos \alpha \le 1$.

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$;  $\tan \alpha \cdot \cot \alpha =1$

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$;  $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$

Cos đối: $\cos (-\alpha )=\cos \alpha$, $\sin (-\alpha )=-\sin \alpha$.

Sin bù: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$, $\cos (\pi -\alpha )=-\cos \alpha$.

Phụ chéo: $\sin \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\cos \alpha$, $\cos \left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)=\sin \alpha$.

Hơn kém $\pi$ tan, cot: $\tan (\alpha +\pi )=\tan \alpha$, $\sin (\alpha +\pi )=-\sin \alpha$.

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$;  ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$

Dùng công thức nhân đôi và hạ bậc để rút gọn.

$f$ chẵn: $\forall x\in D,-x\in D$ và $f(-x)=f(x)$ — đồ thị đối xứng qua $Oy$.

$f$ lẻ: $f(-x)=-f(x)$ — đồ thị đối xứng qua gốc $O$.

$f$ tuần hoàn chu kì $T>0$ nhỏ nhất: $f(x+T)=f(x)$, $\forall x\in D$.

$y=\sin (ax+b),y=\cos (ax+b)$ có chu kì $T=\frac{2\pi }{|a|}$.

$y=\tan (ax+b),y=\cot (ax+b)$ có chu kì $T=\frac{\pi }{|a|}$.

$y=\sin x$ đồng biến trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$, nghịch biến trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$.

$y=\cos x$ đồng biến trên $(-\pi ;0)$, nghịch biến trên $(0;\pi )$.

$y=\tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$.

Dùng $-1\le \sin u\le 1$, $-1\le \cos u\le 1$.

$a\sin x+b\cos x$ có giá trị trong $\left[-\sqrt{a^2+b^2};\sqrt{a^2+b^2}\right]$.

$|m|>1$: vô nghiệm.

$|m|\le 1$, $m=\sin \alpha$: $\sin x=\sin \alpha \iff x=\alpha +k2\pi$ hoặc $x=\pi -\alpha +k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

$|m|>1$: vô nghiệm.

$\cos x=\cos \alpha \iff x=\pm \alpha +k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$.

$\tan x=\tan \alpha \iff x=\alpha +k\pi$ (điều kiện $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$).

$\cot x=\cot \alpha \iff x=\alpha +k\pi$ (điều kiện $x\ne k\pi$).

$\sin u=\sin v\iff u=v+k2\pi$ hoặc $u=\pi -v+k2\pi$.

Đổi $\cos v=\sin \left(\frac{\pi }{2}-v\right)$, $-\sin v=\sin (-v)$ để đưa về cùng tên.

$\sin x=\sin a^{\circ }\iff x=a^{\circ }+k360^{\circ }$ hoặc $x=180^{\circ }-a^{\circ }+k360^{\circ }$.

Không trộn độ và radian trong cùng một công thức nghiệm.

Dãy số: hàm $u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to \mathbb{R}$, kí hiệu $(u_n)$, $u_n$ là số hạng tổng quát.

Tăng: $u_{n+1}>u_n,\forall n$;  giảm: $u_{n+1}<u_n,\forall n$.

Bị chặn: $\exists m,M$ sao cho $m\le u_n\le M,\forall n$.

$u_{n+1}=u_n+d$;  $u_n=u_1+(n-1)d$.

Tính chất: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}(k\ge 2)$.

Tổng $n$ số hạng đầu: $S_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2}=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}$.

$u_{n+1}=u_n\cdot q$;  $u_n=u_1\cdot q^{n-1}$.

Tính chất: $u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}(k\ge 2)$.

Tổng: $S_n=u_1\cdot \frac{1-q^n}{1-q}(q\ne 1)$;  $q=1$ thì $S_n=n{u}_1$.

Lương tăng đều mỗi năm một khoản cố định → cấp số cộng.

Tăng/giảm theo tỉ lệ phần trăm cố định → cấp số nhân, $q=1+r$ hoặc $q=1-r$.

Chia dữ liệu thành các nhóm $[a_1;a_2),[a_2;a_3),\dots ,[a_k;a_{k+1})$ với tần số $n_1,n_2,\dots ,n_k$; cỡ mẫu $n=n_1+\cdots +n_k$.

Giá trị đại diện của nhóm $[a_i;a_{i+1})$: $x_i=\frac{a_i+a_{i+1}}{2}$; độ dài nhóm $h=a_{i+1}-a_i$.

Tìm nhóm $[a_m;a_{m+1})$ chứa trung vị (tần số tích lũy đầu tiên $\ge \frac{n}{2}$).

$M_e=a_m+\frac{\frac{n}{2}-C}{n_m}\cdot h$, với $C$ là tổng tần số các nhóm đứng trước.

$Q_1=a_p+\frac{\frac{n}{4}-C}{n_p}\cdot h$ (nhóm chứa $Q_1$);  $Q_2=M_e$.

$Q_3=a_q+\frac{\frac{3n}{4}-C}{n_q}\cdot h$ (nhóm chứa $Q_3$).

Nhóm chứa mốt $[a_m;a_{m+1})$: nhóm có tần số lớn nhất.

Cỡ mẫu $n=25$, $h=10$.

Mặt phẳng được xác định bởi: $3$ điểm không thẳng hàng; một đường thẳng và một điểm nằm ngoài nó; hai đường thẳng cắt nhau.

Giao tuyến của hai mặt phẳng: tìm $2$ điểm chung.

Giao điểm của $a$ và $(P)$: chọn $(Q)\supset a$, tìm $d=(P)\cap (Q)$; khi đó $a\cap d$ là giao điểm.

$a\parallel b$: đồng phẳng và không có điểm chung. Hai đường thẳng không đồng phẳng gọi là chéo nhau.

Ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến thì ba giao tuyến đồng quy hoặc đôi một song song.

Hai mặt phẳng lần lượt chứa $a\parallel b$ mà cắt nhau thì giao tuyến song song với $a$ và $b$.

$a\not\subset (P)$, $a\parallel b$, $b\subset (P)\Rightarrow a\parallel (P)$.

$a\parallel (P)$, $(Q)\supset a$, $(Q)\cap (P)=d\Rightarrow d\parallel a$.

$(P)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau cùng song song với $(Q)$ thì $(P)\parallel (Q)$.

$(P)\parallel (Q)$, $(R)$ cắt cả hai thì hai giao tuyến song song.

Định lí Thalès: ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì các đoạn tương ứng tỉ lệ.

Lăng trụ: hai đáy là hai đa giác bằng nhau nằm trên hai mặt phẳng song song; các cạnh bên song song và bằng nhau, các mặt bên là hình bình hành.

Hình hộp: lăng trụ có đáy là hình bình hành; bốn đường chéo đồng quy tại trung điểm mỗi đường.

Giữ nguyên tính thẳng hàng, thứ tự điểm, tính song song và tỉ số độ dài của hai đoạn cùng phương.

Trung điểm biến thành trung điểm, trọng tâm biến thành trọng tâm.

$\lim \frac{1}{n^k}=0(k\in {\mathbb{N}}^{\ast })$;  $\lim c=c$.

$\lim q^n=0$ khi $|q|<1$;  $\lim q^n=+\infty$ khi $q>1$.

$\lim u_n=a$, $\lim v_n=b$ thì $\lim (u_n\pm v_n)=a\pm b$, $\lim u_n{v}_n=ab$, $\lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{a}{b}(b\ne 0)$.

Phân thức bậc tử, mẫu theo $n$: chia cả tử và mẫu cho $n$ mũ cao nhất của mẫu.

Nhân lượng liên hợp: $\sqrt{A}-\sqrt{B}=\frac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}$.

$\lim u_n=a>0$, $\lim v_n=0$ và $v_n>0$ thì $\lim \frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

$\lim u_n=+\infty$, $\lim v_n=a>0$ thì $\lim u_n{v}_n=+\infty$.

Cấp số nhân có $|q|<1$: $S=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\cdots =\frac{u_1}{1-q}$.

$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=L$ khi với mọi dãy $x_n\to x_0$ $(x_n\ne x_0)$ thì $f(x_n)\to L$.

Hàm đa thức, phân thức (xác định tại $x_0$): $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Phân tích nhân tử rồi rút gọn nhân tử $(x-x_0)$, hoặc nhân liên hợp nếu có căn.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$;  chia tử và mẫu cho $x$ mũ cao nhất.

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=+\infty$;  $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$.

Dạng $\frac{L}{0}$ $(L\ne 0)$: xét dấu của tử và mẫu khi $x\to x_0^{\pm }$.

$f$ liên tục tại $x_0\iff \underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Tương đương: $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f(x)=f(x_0)$.

Liên tục trên $(a;b)$: liên tục tại mọi điểm của khoảng.

Liên tục trên $[a;b]$: liên tục trên $(a;b)$ và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=f(a)$, $\underset{x\to b^{-}}{\lim }f(x)=f(b)$.

Đa thức, $\sin x$, $\cos x$ liên tục trên $\mathbb{R}$; phân thức hữu tỉ, $\tan x$, $\cot x$, $\sqrt{x}$ liên tục trên từng khoảng của tập xác định.

Tổng, hiệu, tích, thương (mẫu khác $0$) của các hàm liên tục là hàm liên tục.

Hàm cho hai công thức: cho giới hạn bằng giá trị tại điểm nối.

$f$ liên tục trên $[a;b]$ và $f(a)\cdot f(b)<0$ thì phương trình $f(x)=0$ có ít nhất một nghiệm trong $(a;b)$.

$a^{-n}=\frac{1}{a^n}$;  $a^0=1(a\ne 0)$;  $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}(a>0)$.

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$;  $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$;  $(a^m{)}^n=a^{mn}$;  $(ab{)}^n=a^n{b}^n$.

${\log }_{a}b=\alpha \iff a^{\alpha }=b$ $(0<a\ne 1,b>0)$.

${\log }_a(bc)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$;  ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$;  ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$.

Đổi cơ số: ${\log }_{a}b=\frac{{\log }_{c}b}{{\log }_{c}a}$;  ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$.

$\log b={\log }_{10}b$;  $\ln b={\log }_{e}b$.

$a^x=b(b>0)\iff x={\log }_{a}b$;  $a^u=a^v\iff u=v$.

${\log }_{a}x=b\iff x=a^b$;  ${\log }_{a}u={\log }_{a}v\iff u=v>0$.

Luôn đặt điều kiện biểu thức trong lôgarit dương.

$a>1$: $a^u>a^v\iff u>v$;  ${\log }_{a}u>{\log }_{a}v\iff u>v>0$.

$0<a<1$: đổi chiều bất đẳng thức: $a^u>a^v\iff u<v$.

Gửi $A$ đồng, lãi suất $r$ mỗi kì, sau $n$ kì: $T=A(1+r{)}^n$.

Tăng trưởng mũ: $S=S_0{e}^{rt}$.

Góc giữa $a$ và $b$: góc giữa $a^{\prime }\parallel a$ và $b^{\prime }\parallel b$ cùng đi qua một điểm; $0^{\circ }\le (a,b)\le 90^{\circ }$.

$d\perp a$, $d\perp b$ với $a,b\subset (P)$ cắt nhau $\Rightarrow d\perp (P)$.

$d\perp (P)\Rightarrow d$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$.

Định lí ba đường vuông góc: $a\subset (P)$, $b^{\prime }$ là hình chiếu của $b$ lên $(P)$: $a\perp b\iff a\perp b^{\prime }$.

$(d,(P))$ là góc giữa $d$ và hình chiếu $d^{\prime }$ của nó trên $(P)$.

$SA\perp (ABC)$: góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$.

$(P)$ chứa một đường thẳng vuông góc với $(Q)$ thì $(P)\perp (Q)$.

$(P)\perp (Q)$, $a\subset (P)$, $a\perp$ giao tuyến $\Rightarrow a\perp (Q)$.

Góc phẳng nhị diện $[P,d,Q]$: góc giữa hai tia cùng vuông góc với cạnh $d$ tại một điểm, lần lượt nằm trong hai nửa mặt phẳng.

$d(M,(P))=MH$ với $H$ là hình chiếu của $M$ trên $(P)$.

$a\parallel (P)$: $d(a,(P))=d(M,(P))$ với $M\in a$ bất kì.

Hai đường thẳng chéo nhau: độ dài đoạn vuông góc chung.

Tỉ số: $MI$ cắt $(P)$ tại $I$ thì $\frac{d(M,(P))}{d(N,(P))}=\frac{MI}{NI}$ (với $M,N,I$ thẳng hàng).

Ví dụ: chóp $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{3}$: $V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.

$A\cup B$: $A$ hoặc $B$ xảy ra;  $AB=A\cap B$: cả $A$ và $B$ cùng xảy ra.

$A,B$ xung khắc: $A\cap B=\varnothing$.

$A,B$ độc lập: việc xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng xác suất của biến cố kia.

$P(A)=\frac{n(A)}{n(\Omega )}$;  $0\le P(A)\le 1$;  $P(\overline{A})=1-P(A)$.

Xung khắc: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

Tổng quát: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$.

$A,B$ độc lập $\iff P(AB)=P(A)\cdot P(B)$.

Độc lập thì các cặp $A,\overline{B}$; $\overline{A},B$; $\overline{A},\overline{B}$ cũng độc lập.

Đi qua biến cố đối: $P(\text{ıˊt nhaˆˊt một})=1-P(\text{khoˆng coˊ}).$

Mỗi nhánh ghi xác suất; nhân dọc theo nhánh, cộng các nhánh cùng kết quả.

Hình học: $f^{\prime }(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến tại $M(x_0;f(x_0))$: $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$.

Vật lí: $v(t)=s^{\prime }(t)$ (vận tốc tức thời), $a(t)=v^{\prime }(t)=s^{\prime \prime }(t)$ (gia tốc).