📐 Công thức Toán 12

Hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $K$:

$f^{\prime }(x)\ge 0\forall x\in K$ (dấu bằng chỉ tại hữu hạn điểm) $\Rightarrow f$ đồng biến trên $K$.

$f^{\prime }(x)\le 0\forall x\in K$ (dấu bằng chỉ tại hữu hạn điểm) $\Rightarrow f$ nghịch biến trên $K$.

① Tìm tập xác định $D$.

② Tính $f^{\prime }(x)$, tìm các điểm $f^{\prime }(x)=0$ hoặc $f^{\prime }(x)$ không xác định.

③ Lập bảng biến thiên, kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

$f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x_0$ $\Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.

$f^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi qua $x_0$ $\Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.

Phân biệt: điểm cực trị $x_0$ · giá trị cực trị $f(x_0)$ · điểm cực trị của đồ thị $M(x_0;f(x_0))$.

$f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)<0\Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.

$f^{\prime }(x_0)=0,f^{\prime \prime }(x_0)>0\Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.

$y=x^3-3x+1$, $y^{\prime }=3x^2-3=0\iff x=\pm 1$.

$M=\underset{D}{\max }f\iff f(x)\le M\forall x\in D$ và tồn tại $x_0\in D$ để $f(x_0)=M$.

$m=\underset{D}{\min }f$ định nghĩa tương tự với $f(x)\ge m$.

① Tìm các điểm $x_i\in (a;b)$ mà $f^{\prime }(x_i)=0$ hoặc $f^{\prime }$ không xác định.

② Tính $f(a),f(b),f(x_i)$.

③ Số lớn nhất là $\max$, số nhỏ nhất là $\min$.

Lập bảng biến thiên trên khoảng đó rồi đọc kết quả (có thể không tồn tại $\max$ hoặc $\min$).

$f(x)=x^3-3x+1$ trên $[0;2]$: $f^{\prime }(x)=0\Rightarrow x=1\in [0;2]$.

Chọn ẩn $x$ + điều kiện → lập hàm mục tiêu → tìm GTLN/GTNN.

Đạo hàm là tốc độ thay đổi: $v(t)=s^{\prime }(t)$, $a(t)=v^{\prime }(t)$.

$y=y_0$ là tiệm cận ngang nếu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=y_0$ hoặc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=y_0$.

$x=x_0$ là tiệm cận đứng nếu ít nhất một trong các giới hạn $\underset{x\to x_0^{\pm }}{\lim }f(x)$ bằng $\pm \infty$.

$y=ax+b(a\ne 0)$ là tiệm cận xiên nếu $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f(x)-(ax+b)\right]=0$.

Cách tìm: $a=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}$,  $b=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f(x)-ax\right]$.

Chia đa thức để đưa phân thức bậc hai/bậc nhất về dạng trên.

① Tập xác định.

② Sự biến thiên: $y^{\prime }$, giới hạn – tiệm cận, bảng biến thiên, cực trị.

③ Vẽ đồ thị: giao trục, điểm đặc biệt, tâm đối xứng.

Đồ thị có tâm đối xứng $I$ với $x_I=-\frac{b}{3a}$ (nghiệm của $y^{\prime \prime }=0$).

$a>0$: nhánh phải đi lên;  $a<0$: nhánh phải đi xuống.

Giao $Oy$ tại $(0;d)$ → dấu của $d$.

$y^{\prime }=\frac{ad-bc}{(cx+d{)}^2}$ → luôn đồng biến ($ad-bc>0$) hoặc luôn nghịch biến ($ad-bc<0$) trên từng khoảng xác định.

Tâm đối xứng $I\left(-\frac{d}{c};\frac{a}{c}\right)$ = giao hai tiệm cận.

Viết $y=px+q+\frac{r}{mx+n}$; có TCĐ và TCX; tâm đối xứng = giao hai tiệm cận.

Có $2$ cực trị hoặc không có cực trị (xét nghiệm của tử số $y^{\prime }$).

Số nghiệm của $f(x)=m$ = số giao điểm của đồ thị với đường ngang $y=m$.

Tiếp tuyến tại $M(x_0;y_0)$: $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+y_0$.

Vectơ, hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau: định nghĩa như trong mặt phẳng.

Độ dài $|\overrightarrow{AB}|=AB$; vectơ-không $\overrightarrow{0}$.

Ba điểm: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$;  $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}$.

Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$.

$I$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$;  $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

$G$ trọng tâm tam giác $ABC$: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$.

$G$ trọng tâm tứ diện $ABCD$: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}$.

$k\overrightarrow{a}$ cùng hướng $\overrightarrow{a}$ nếu $k>0$, ngược hướng nếu $k<0$; $|k\overrightarrow{a}|=|k|\cdot |\overrightarrow{a}|$.

$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ cùng phương ($\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}$) $\iff \overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}\iff \overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$;  ${\overrightarrow{a}}^2=|\overrightarrow{a}{|}^2$.

Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $a$.

$\overrightarrow{u}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}\iff \overrightarrow{u}=(x;y;z)$;  $\overrightarrow{OM}=(x;y;z)\iff M(x;y;z)$.

Trung điểm $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Trọng tâm $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$.

$[\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}]=(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1)$, vuông góc với cả $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\right|$;  $V_{ABCD}=\frac{1}{6}\left|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}]\cdot \overrightarrow{AD}\right|$.

$A(1;2;3),B(3;0;1)$;  $\overrightarrow{a}=(1;2;-2),\overrightarrow{b}=(2;1;2)$.

Mẫu có các nhóm $[u_1;u_2),\dots ,[u_k;u_{k+1})$: $R=u_{k+1}-u_1$.

Dễ tính nhưng chịu ảnh hưởng mạnh bởi giá trị bất thường.

Nhóm chứa $Q_1$ là $[u_m;u_{m+1})$: $Q_1=u_m+\frac{n/4-C}{n_m}\cdot (u_{m+1}-u_m)$.

Nhóm chứa $Q_3$ là $[u_j;u_{j+1})$: $Q_3=u_j+\frac{3n/4-C}{n_j}\cdot (u_{j+1}-u_j)$.

$C$: tần số tích lũy của nhóm liền trước; $n_m,n_j$: tần số nhóm chứa.

Khoảng tứ phân vị ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1$ (độ phân tán của $50\%$ số liệu giữa).

$x_i$ = giá trị đại diện (trung điểm nhóm), $n=n_1+\cdots +n_k$.

$s^2=\frac{n_1{x}_1^2+\cdots +n_k{x}_k^2}{n}-{\bar{x}}^2$;  $s=\sqrt{s^2}$.

$n=40$, giá trị đại diện $5;15;25;35$.

$R,{\Delta }_Q,s$ càng lớn → số liệu càng phân tán.

Mẫu ghép nhóm chỉ cho giá trị xấp xỉ của mẫu gốc.

$F$ là nguyên hàm của $f$ trên $K$ nếu $F^{\prime }(x)=f(x)\forall x\in K$.

Tách tổng, đưa về bảng.

Biết $F(x_0)=y_0$ → thay vào tìm $C$.

Ví dụ: $F^{\prime }(x)=2x$, $F(1)=3\Rightarrow F(x)=x^2+2$.

${\int }_a^{a}f=0$;  ${\int }_a^{b}f=-{\int }_b^{a}f$;  ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$

Quãng đường: $s={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$;  tổng biến đổi: ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)dx=F(b)-F(a)$.

Giới hạn bởi $y=f(x)$, $y=g(x)$, $x=a$, $x=b$: $S={\int }_a^b|f(x)-g(x)|dx$.

Với trục $Ox$: thay $g(x)=0$. Chia đoạn theo nghiệm của $f-g=0$ để phá trị tuyệt đối.

Vật thể có thiết diện $S(x)$: $V={\int }_a^{b}S(x)dx$.

Quay quanh $Ox$ hình giới hạn bởi $y=f(x)$, $Ox$, $x=a$, $x=b$: $V=\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$.

Kiểm lại bằng máy tính cầm tay.

$\overrightarrow{n}\ne \overrightarrow{0}$ có giá vuông góc với $(P)$ là VTPT; $k\overrightarrow{n}(k\ne 0)$ cũng là VTPT.

$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương, có giá song song hoặc nằm trong $(P)$ $\Rightarrow \overrightarrow{n}=[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}]$.

$(P)\parallel (Q)$: ${\overrightarrow{n}}_1=k{\overrightarrow{n}}_2$ và không có điểm chung.

Qua $A(1;-2;3)$, VTPT $\overrightarrow{n}=(2;-1;2)$.

Qua $M_0(x_0;y_0;z_0)$, VTCP $\overrightarrow{u}=(a;b;c)$:

Tham số: $\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$  Chính tắc ($abc\ne 0$): $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$

$\sin (\Delta ,(P))=\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{n}|}$ — chú ý dùng sin.

Qua $A(1;2;-1)$, VTCP $\overrightarrow{u}=(2;-1;3)$.

Tâm $I(a;b;c)$, bán kính $R$: $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2+(z-c{)}^2=R^2$.

$x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ là mặt cầu $\iff a^2+b^2+c^2-d>0$.

Khi đó tâm $I(a;b;c)$, $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$.

Đường kính $AB$: tâm là trung điểm $AB$, $R=\frac{AB}{2}$.

Tiếp xúc $(P)$: $R=d(I,(P))$.

Đi qua $A$: $R=IA$.

$P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}(P(B)>0)$: xác suất của $A$ khi biết $B$ đã xảy ra.

Công thức nhân: $P(AB)=P(B)\cdot P(A\mid B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$.

$A,B$ độc lập $\iff P(A\mid B)=P(A)\iff P(AB)=P(A)P(B)$.

Nhánh cấp 1: $P(B),P(\overline{B})$; nhánh cấp 2: $P(A\mid B),P(A\mid \overline{B})$.

Nhân dọc theo nhánh, cộng ngang các nhánh cùng kết cục $A$.

Hộp $5$ bi đỏ, $3$ bi xanh, lấy lần lượt $2$ bi không hoàn lại: $P(\text{laˆˋn 2 đỏ}\mid \text{laˆˋn 1 đỏ})=\frac{4}{7}$.

Tỉ lệ mắc bệnh $2\%$; xét nghiệm dương tính đúng $95\%$, dương tính giả $10\%$.

Phần III: điền đúng tối đa 4 ký tự (kể cả dấu $-$ và dấu phẩy) → làm tròn đúng yêu cầu đề.

Đọc BBT: giá trị cực trị ở hàng $y$, điểm cực trị ở hàng $x$.

Tiệm cận đứng: nhớ loại nghiệm mẫu cũng là nghiệm tử.

GTLN–GTNN trên đoạn: chỉ nhận điểm tới hạn thuộc đoạn.

Diện tích: quên trị tuyệt đối → kết quả âm hoặc sai.

Thể tích tròn xoay: quên $\pi$ hoặc quên bình phương $f^2(x)$.

Dùng máy tính cầm tay kiểm tra nhanh mọi tích phân số.

Mặt phẳng dùng VTPT, đường thẳng dùng VTCP — không nhầm.

Góc đường thẳng – mặt phẳng dùng sin; các góc còn lại dùng cos có trị tuyệt đối.

Mặt cầu khai triển: kiểm $a^2+b^2+c^2-d>0$ và nhớ hệ số $-2a$.

Tứ phân vị ghép nhóm: $C$ là tần số tích lũy của nhóm liền trước.

Phương sai: dùng giá trị đại diện là trung điểm nhóm.

Phân biệt $P(A\mid B)$ với $P(B\mid A)$; vẽ sơ đồ cây trước khi tính.

Làm chắc Phần I trước ($\approx 25$ phút), rồi Phần II, dành thời gian cho Phần III.

Với ý Đúng – Sai: kiểm từng ý độc lập, mỗi ý đúng đều có điểm.

Bài thực tiễn: đặt ẩn + điều kiện → hàm số/tích phân/xác suất → kiểm đơn vị.